Xấp xỉ biến đổi laplace ngược

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHƠ HỒ CHÍ MINH

V

CHƯƠNG NGỌC DUY HƯNG

XẤP XỈ BIỂN ĐỒI LAPLACE NGƯỢC

LUAN VAN THAC SI KHOA HOC

CHUYEN NGANH: TOAN GIAI TICH

MA SO: 1.01.01

NGUOI HUGNG DAN: Tiến sỹ NGUYÊN CAM

Khoa Tốn - Tin Trường ĐHSP TP.HCM

Trang 2

LUẬN VĂN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH e Thầy hướng dẫn: Tiến sỹ NGUYÊN CAM Khoa Tốn - Tìn Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh e Thầy phản biện thứ nhất: e Thầy phản biện thứ hai: e Học viên thực hiện:

CHƯƠNG NGỌC DUY HƯNG

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI

HOI DONG CHAM LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

Trang 3

Loi Cam Ơn

Trước hết, tơi kính cẩn xin bày tổ lịng biết ơn sâu sắc

nhất đến Tiến sỹ Nguyễn Cam, Khoa Tốn - Tin Trường Đại Học 8ư Phạm Thành Phố Hồ Chi Minh Thay là người đã dạy

dỗ tận tình, dìu dắt, hướng dẫn, động viên, khuyến khích tơi

trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tơi cũng xin chân thành cắm ơn Qui Thầy, Cơ trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian qui báu của mình cho

việc nhận xét và phẩn biện luận văn; lời tri ân sâu sắc đến

tất cả Qui Thầy, Cơ giẳng dạy đã truyền đạt cho tơi kiến thức

v6 cung qui gia

Ngồi ra, tơi cũng xin bày tổ nơi đây lời cảm ơn đến Qui

Thầy, Cơ thuộc các Phịng, Khoa, Thư viện của Trường ĐHSP

TPHCM và Trường ĐHKHTN cũng như Ban Giám hiệu

Trường CDSP Séc Trang đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ

toi trong suét quá trình học tập, thực hiện và bảo vệ luận văn

Cuối cùng, kính gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả bạn

bé gan xa, Øia đình và người thân đã hỗ trợ, giúp đỡ tơi rất nhiều Đặc biệt là hương hồn của người Mẹ quá cố đã hy sinh

cả đời mình cho con

Trang 4

MỤC LỤC

Lửi mở đầu

Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

|,1 Những khái niệm cơ bản trong lý thuyết biến đổi Laplace |

1.2 Tích phản phức dành cho việc tính biến đổi Laplace ngược Đ I.3 Biểu diễn hàm bằng tích phân Laplace Ụ

|.4 Điều kiện khơng chỉnh của bài tốn tính biến đổi Laplace ngược 13

Chương ?: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐỂ TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

2.1 Tìm hàm gốc thơng qua cơng thức biến đổi ngược 15 2.3 Khai triển hàm gốc dưới đạng chuỗi hàm mũ 15

3.3 Trường hợp đặc biệt của khai triển hàm gốc dưới dạng chuỗi hàm mũ 17

2.4 Khai triển hàm gốc thành chuỗi hàm luỹ thừa Is

Chương 3: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DỰA TRÊN NHỮNG KHAI TRIỂN ĐẶC BIỆT

3.1 Biến đổi Laplace ngược với đa thức trực giao 21

3.2 Biến đổi Laplace ngược với đa thức Jacobi 27

3.3 Biến đổi Laplace ngược với đa thức Legendre 31

3.4 Biến đổi Laplace ngược với đa thức Chebyshev loại một 32

3.5 Biến đổi Laplace ngược với đa thức Chehyshev loại hai 33

3.6 Một phương pháp khác để tính a, 34

Chương 4: KHƠI PHỤC HÀM GỐC BỞI CHUỖI FOURIER VÀ KHAI TRIỂN THEO ĐA THUC CHEBYSHEY - LAGUERRE

4.1 Tính biến đổi Laplace ngược theo chuỗi sin Fourier 37 4.2 Tính biến đổi L.aplace ngược theo chuỗi các đa thức Chebyshev - Laguere 40

Kết luận

Trang 5

LỜI MỞ ĐẦU

Luan văn trình bày mơi số phương pháp tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược, cụ thể là khơi phục lại hàm gốc /() khi đã biết hàm ảnh F(p) Trong thực tế,

vì bảng đối chiếu giữa hàm gốc và hàm ảnh chỉ bao gồm một số trường hợp nhất

định khơng cho phép chúng ta xác định được mọi hàm gốc ƒ(r) từ một hàm ảnh

F(p) cho trước, do đĩ cần phải xây dựng xấp xỉ hàm gốc f(t) néu biét ham ảnh

Fip)

Cấu trúc luận văn gồm bốn chương:

- Chương l: Trình bày một số vấn để tổng quan về phép biến đổi Laplace

nguvc

- Chương 2: Giới thiệu một số phương pháp phân tích để tính biến đổi Laplace nguve như khai triển hàm gốc dưới dạng chuỗi hàm mũ, chuỗi hàm luỹ

thừa

- Chương 3: Tiếp tục trình bày một số phương pháp giải dựa trên những

khai triển đặc biệt cho phép tính biến đổi Laplace ngược dưa trên khai triển

chuỗi của hàm gốc theo các đa thức trực giao quen biết như đa thức Chebysitev,

Legendre va Jacobi,

- Chương 4: Hồn thiện việc tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược trên cơ sở

khơi phục hàm gốc /() từ các giá trị của hàm ảnh F(p) tại những điểm cách

đều trên trục thực và các giá trị của các đạo hàm của nĩ tại một điểm đơn

Tư tưởng chính của luận văn là chỉ ra được khía cạnh khai thác khả năng xấp

xỉ biến đổi Laplace theo chudi, theo đa thức trực giao và theo hàm tuần hồn trên cơ sở lý thuyết, tạo tiền để vững chấc hứa hẹn cho những ứng dụng trong

Trang 6

Chương l: GIỚI THIỆU VỀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC a 1.1 NHUNG KHAI NIEM CO BAN TRONG LY THUYET BIEN DOI LAPLACE:

Việc sử dụng các phương pháp tốn tử dựa trên nên tảng là phép biến đổi

Laplace đã được áp dụng trong tốn học, cơ học và kỹ thuật, khơng ngừng phát

triển trong nhiều thế kỷ qua Các phương phắp này đã đủm được những ứng dụng

rộng rãi trong lý thuyết độ dẫn nhiệt, kỹ thuật điện tử và radio, trong lý thuyết

phương trình vị tích phân, phương trình sai phân và nhiều vấn để khác nữa

Phương pháp tốn tử cĩ thể được chia làm bốn bước:

|) Chuyển từ hàm gốc /(/) sang hàm ảnh F(p);

3) Lập phương trình về F(} dựa trên các hiểu biết về (7): một phương

trình trên #{p) được giải quyết đơn giản hơn là trên /() (chẳng hạn một

phương trình vi phân thường được thay thế bằng một phương trình đại số, một

phương trình đạo hàm riêng được thay bằng một phương trình vị phân thường, );

3) Giải phương trình thu được về £(p);

4) Từ hàm anh F(p) ta đi khơi phục lại hàm gốc /(0)

Trong nhiều trường hợp, hước khĩ khăn nhất là bước thứ 4: tim ham gốc

f(t) tit ham ảnh F(p) hay là tìm biến đổi Laplace ngược Dựa vào bảng đối

chiếu giữa hàm gốc và hàm ảnh người ta cĩ thể tìm được hàm gốc từ một hàm ảnh cho sẵn Tuy nhiên, trong thực tế những bảng đối chiếu khơng chứa đựng tất

cả các trường hợp Do đĩ cần phải xây dựng các phương pháp tính xấp xỉ biến

đổi Laplace ngược

Trước hết chúng ta nhắc lại những vấn để quen thuộc về lý thuyết phép biến

Trang 7

Ch 1: GIỚI THIỆU VỀ BIẾN ĐỔI LAPIL.ACE NGƯỢC

1.1 Những khải niệm cơ bản trong lý thuyết biển đổi Laplace

Cho nửa đường thẳng 0</<#, một hàm f(r) ma (f(t) kha tich Riemann

trên bất kỳ đoạn hữu hạn [a,b] (0<a<b<#)

Với số phức p= ø +ir, phép biến đổi Laplace được định nghĩa bởi tích phân sau: F(p)= [f)£ "4 (1.1.1) Ũ Ở đây tích phân được hiểu theo nghĩa suy rộng, tức là # & J fe "dt = jim J fie dt (1.1.2)

Ta nĩi biến đổi Laplace của hàm /ƒŒ) là hàm F(p)' với mọi giá trị của

tham số ø sao cho tích phân (1.1.1) hội tụ

Cĩ thể kiểm chứng rằng nếu tích phân (1.1.1) hội tụ với pạ =Øy +ír„ thì

(1.1.1) sẽ hội tụ với mọi p=ơ+ir mà Re(p- pạ)=ơ =ơa >(), Thật vậy, xét

f

gt) = [/()e "du Nếu (1.1.1) hội tụ với p= p„ thì lim øŒ) tổn tại và do đĩ

it [—+#

ø{(r) bị chân trên 0<r<œ, tức là |ø(f)| < @< œ (Q là hằng số)

Để chứng minh sự hội tụ của tích phân (1.1.1), chúng ta dựa vào tiêu chuẩn

Trang 8

Ch 1: GIỚI THIỆU VỀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

1.1 Những khái niệm cá bản trong lý thuyết hiển đổi Laplace h ¡nh +(p-p,) | othe ` “na -1/- par pie Pe" “a “l/~/uldr+th} (p-p, ) [ alread ~“ a tlh wW 2 «21 < lola + be " Mahe ean + wen - Xét (1) do e>l nên từ Re(p- p,)=ơ—ø, >e suy ra e !“ f9! <e*t Do đĩ ta cĩ: (l)= | a + bye (Pte - a) |e" ha = |ø« + be PP _ ø(a) Le "| <2.00'" Tiếp tục xét (2) ta cĩ: ath (2)=\(p—p,) [ee "at ath “ <|(p- pạ) J @(t)e °”?9 “đt +(p~ pạ) Í tre ld a arth <|(- P.) |e ““Odi < Lip P py) fe“ ~er) » a a < SỊp ~ mị|e ath lp - Ð, | | Vậy ta được [ f(the ”'di|<2@ec*"+———— Oe*" a c se 24 #— Big

Số hạng cuối cùng khơng phụ thuộc vào > va vii bat ky cơ định (khi ø đủ

lớn) nhỏ hơn bất kỳ số dương cho trước Theo tiêu chuẩn 8øfzano - Cauchy tích

Trang 9

Ch l; GIỚI THIỆU VỀ BIỂN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

{1 Những khái nệm cơ bản trong lý thuyết biến đối L.aplace

Cho ø thay đổi trong một miễn đĩng và bị chặn 2 nằm trong nửa mặt phẳng

Re p > ø, Rõ rằng, với pc D thì tổn tại e và AZ để các bất đẳng thức sau xảy rá- Re(p- p,)=a-a, 2¢ ip-pisM h Với Rep>øy, xét dãy (,Q), 4; dinh ba FC p)= fem sande Khi đĩ, với th moi ¢ >0 va vi moi p thudc mién Re p> o, +2e, ta cd: , b £ | fe" fande— fe" finds < fe" fnjdr | of 0 U IE„(pì- F(p)< x * -È£ - er ¢ <M fe (Re pit (oq eM de <M fe tt wa es h b E

Do đĩ #2 (0p) hội tụ đều trong Ð tới tích phần (l.1.I)

Hơn nữa, F,(p)la ham giải tích theo p Thực vậy với mỗi be N xét p cơ

dinh sao cho Re p> oa,, theo định lý hội tụ bị chân Lebesgue: h he F(p)= lim f0 +)- F,(p) = lim [fine : Ln h—+0) h h~s0 4 ht h i | h = fife" lim dt =~ fife "at 0 Aw st 0 Theo dinh ly Weierstrass, hàm # giải tích theo p trên miễn Rep> oy h Vậy tích phân [fine Madr rõ ràng là một hàm giải tích theo ø, từ sự hội tụ I

đều của nĩ trong Ø tới tích phân (1.1.1), kéo theo #(p) là hàm giải tích trên miễn Ð và vì D là miễn trong bất kỳ của nửa mặt phẳng Re p > ø, nên hàm số

Trang 10

Ch 1: GIỚI THIỆU' VỀ BIỂN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

| Những khái mệm cơ bản trong ly thuyết hiến đối Laplace

Bay giờ, chúng ta xét tập £ những giá trị thực Z của tham số =đ+íf mà (1.1.1) hội tụ Đặt y là cận dưới nhỏ nhất của FE: y = info

Chú trị y được xác định bởi các tính chất dưới đây:

1) Khi # cĩ một giá trị hữu hạn thì phép biến đổi Laplace (1.1.1) là áp dụng được với £ trong nửa mặt phẳng mở Rep>z va F(p) la hàm chính qui theo trong nứa mặt phẳng này và sẽ khơng áp dụng được với £ đổi với ø trong nửa mặt phẳng Re p< Z 3) Khi y ==œ, biến đổi Laplace (1.1.1) áp dụng được với £ với mọi và F(p) là hàm chính qui trên khắp mặt phẳng phức 3) Khi z = +z, biến đổi Laplace (1.1.1) khơng áp dụng được với / với bất ky p nao

Số r cĩ thể được gọi là biên của chỉ số hội tụ và đường thing Re p =o = y là đường thẳng biên của miễn hội tụ của biến đổi Laplace

Hàm f dude gọi là hàm gốc nếu nĩ thoả ba tinh chat sau:

1) / xác định trên trục thức -# << # và |ƒ/ứ) khá tích trên mọi đoạn hữu

han;

2) / triệt tiêu với <0;

3) Biến đổi Laplace áp dụng được với £ với ít nhất một giá trị của ø nào đĩ

Dinh ly 1:

Với mọi hàm gốc ƒ thì tương tứng với mét sd y (es y <0) để biển đổi

(1.1.1) dp dung duoc với ƒ với bất kỳ p thoả Rep=ø >y và F(p) là hàm

Chỉnh qui trong nia mat phdng Re p=a>y Bién doi (1.1.1) khong ap dung

được với f tat p ma Rep<y.,

Trang 11

Chị 1; GIỚI THIẾU VE BIEN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

I.!_ Những khái niềm cơ bản trong lý thuyết biến đổi Laplacc

Việc xúc định yz thường là khĩ khăn Tuy nhiên cỏ thể ước lượng z bằng một sĩ cách như sau đây

Định lý 2:

Nếu cĩ hai số M(Ú< M <S#+) và đ(-m< <®} sao cho với mọi r>0, bất

dang thitc sau Xây ra: f(s Me™ (1.1.3) thiiacd y<a ® Chifng minh: Dat Rep=a>a@

Jrne Par = fro e'dt= [Meroe = l9 (I 6 ao-a <œ

Do đĩ tích phân (1.1.1) hội tụ tuyệt đối với Rep= ø >ưứ Vì z là chan dưới

của các giá trị của pø như thể nên # < ư, Định lý được chứng mình ®

Điều kiện (1.1.3) đúng cho một lớp hàm rất rộng, đặc biết với hầu hết các

hàm trong ứng dụng Vì lí do này hàm gốc f được định nghĩa khác đi chút ít theo đĩ hai tính chất đầu giữ nguyên trong khi đĩ tính chất thứ bạ được thay bằng: cĩ hai số Aƒ và ø để bất đẳng thức sau xây ra /(0)|< Afc”?,0<rt<øz

Định lý 3:

Nếu tích phân (1.1.1) hội tự tuyệt đối đối với p= p, =0, *ít, thì F(p) dẫn

tới () khi |p| => ø trong nửa mặt phẳng Re p= ơ >ơ,®

Chifng minh:

Trang 12

-f-Ch 1: GIỚI THIẾU VỀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

1 1: Những khái mệm cơ bản trong lý thuyết bi€n doi Laplace Đánh giá tích phân thứ hai: ic |M„|< firing Le ON dt < fone 7" a A a Vai ¢>0 cho trudc, chọn 4 để cho fru Ne "le =< va do dé |M, <5 A

với bất kỳ ø thoả Rep=o 2a,

Trang 13

-7-Ch 1: GIỚI THIỆU VỀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

1.2 TICH PHAN PHUC DANH CHO VIEC TINH BIEN ĐỔI

LAPLACE NGƯỢC:

Trên trục thực (-<f<ø) cho hàm gø(/) Ta nĩi hàm g dude biểu điển hởi

một tích phân kép phức Ƒøier nếu với mọi /(=œ<<øz}) phương trình sau thoa mãn: x | s[at +0)+ gứ =(0)]= = | ~Ắ# + ett [ e(x)e "ddr (1.2.1)

Phương trình (1.2.l) được gọi là céng thife Fourier

Giả sit f(t) là một hàm gốc tuỳ ý và cĩ một giá trị e sao cho /()£ *” là

một hàm khả tích tuyệt đối trên nửa trục [0,6] Dat e(f)= f(t)e" Chi ¥ ring

vai ¢<O hàmthì / triệt tiêu và do đĩ hàm ø cũng triệt tiêu

Gii sit ring g(r) cĩ thể được biểu diễn như tích phân Føư¿er (1.3.1) Để đơn giản cách ghi, chúng ta giả sử rằng các điểm gián đoạn của g(/) thì thoả phương trình sau: l e()= slate +0)+ g(t-0)] Cơng thức Fowrier của hàm g được viết lại thành: ` g(f)= về fe e(x)e "dxdt 2T ễ Do đĩ ta cĩ: ÿ a | 4 tconry " —te+it\« > iis Je Jroe dxdt (1.2.2) vii chi ¥ F(p)= [rine Mat là biến đổi Laplace của ƒ Vì /£()e “° khả tích Ũ

tuyệt đối nên trên đường thẳng p=e+¿r(=œ<r<ø)} thì biến đổi hội tụ với

mọi 7 và do đĩ nĩ sẽ hội tụ trong nửa mal phang Re p =o 2c Ngoaira, F(p) sẽ là một hàm chính qui giải tích trên Re ø = đ >€

Trang 14

-8-Ch.1: GIỚI THIỆU VỀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

}.3 Hiệu diễn hàm bing tich phan Laplace Khi ơ =c: F( p)= Fle+it)= [ne led Nady oO Từ (1.2.2) ta suy ra: f(!ì= - | Fic+irye dr Với p=e+if7(-#<7r<ø} tạ cĩ dị? = iắr và do đá: ƒft)=>—-= 2i ] | F( pyc! dp (1.2.3) Cơng thức (1.2.3) được gọi là cơng thức Mellin Định lý 4: Cho hàm gốc f(t) sao cho ø(fÌ= f(t)e”““ (với bất kỳ c } thoả mãn các điều Kien san:

1) a(t) khả tích tuyết đối trén nita trục (0.3):

3) ø(t) được biểu diễn bởi tích phân kép Fourier ;

3) Cac điểm giản đoạn của Ê thoả mãn nhương trình: f(†)= 1 /(r+)+ £ -0)Ì 3b

Khi dé, biéu dién (1.2.3) cia ham gdc f la ding @

Do định lý trên, vấn để tính biến đổi ngược Laplace trở thành tính tích phân

(1.2.3) của một hàm chính qui

1.3 BIEU DIEN HAM BANG TICH PHAN LAPLACE:

Trước tiền, chúng ta nhắc lại một số kết quả cần dùng về lý thuyết hàm số

phức

Bổ để Jordan:

Nếu trên một dãy nhất định các cung trịn Cụ |p = R„.Đe p< e(Đ, =»#,e cổ

định ), hàm F(p) héi tu déu về đổi với arg p thì với bát kỳ r >Ú, ta cĩ:

Trang 15

Ch.l: GIỚI THIẾU VỀ BIẾN ĐỐI I.APILACE NGƯỢC

|3 Biểu diện hàm hà ng tich phin Laplace lim F(p)e!'dp =0 (1.3.1) ‘3 K, Nếu các diéu kién tương tự đúng cho dãy các cúng tron Cy, |p|= R,, Rep >e thì với bất kỳ tr <0), tạ cĩ: lim ƒ F(}£”'dp=0 (1.3.2) Ch Định lý 5 ( định lý Cauchy ):

Nếu một hàm £(z) giải tích trong miễn đơn liên D, khi đĩ tích phân của f(z})

đọc theo mọi chủ tuyến đĩng CC nằm trong D sé bang 0:

Jf z)de =-0@

Định lý 6 ( định lý thang dw ):

Cho một hàm đơn trí f(z) liên tục trên biên CC của miễn D và giải tích trên

phản trong của D ngoại trừ một số hữu hạn các điểm kỳ dị ay.d đụ,

“”

Ta cỏ: [ftz)4z = 221) resf (a, ) (1.3.3)

c (=l

trong do resf(a) la giá trị thăng dự của hàm ` tại điểm a ®

Trang 16

Ch.!: GIỚI THIỆU VỀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

1.3 Biểu tiên hàm hằng tích phân Laplace

ms (2 =a) = lim eS =e (1.3.6)

res} (a)= lim — 2

KẾ see YZ sq ese wr (a)

Dinh ly 7:

Néu Fp) gidi tich trong nita mat phdng Re p>a va trong bdt ky) mia mat

phẳng ĐRep>c>œ hàm Ftp!ì hội tụ về Ú khi |p —> % và hội tự đều đối với are p

ve tich phan:

[ F(p)dp (1.3.7)

hội tt tuyệt đổi

Thi F(p) la ham ảnh của f(t)= | F(p).e"' dp (1.3.8) @ 2nt 2 Chifng minh: Lay ø, với Re p, >e, thì từ (1.3.8) ta cĩ: Je ““/u)wr= us “| | c'"FUpMp lá (1.3.9) 0 2m o _ Xét tích phân | e' F( p)dp: p=e+i.y.dp = idy thi ta vit lai thanh: | e"*Ƒ\( p)dp = jet" fe Mã + /.)dự Tà cĩ đánh giá: fe “E(e+iy)dy| < [IFt +) đu (1.3.10)

Theo gid thiét cla định lý thì tích phân (1.3.7) hội tụ tuyệt đối và do đĩ tích phân hên trái của (1.3.10) hội tụ đều theo / và khi đĩ chúng ta đổi thứ tự lấy

tích phần trong (1.3.9);

fe finde = = Í F(p)dp fe” "at =

Trang 17

Ch.l: GIỚI THIỆU VỀ BIỂN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

{3 Biểu diễn hàm bằng tích phân Laplace _—_ LÍ FUP) ap (1.3.11) 2m ~~ Pi, (trong đĩ |J£trNhdw= II Po Po vi Re(p-p,)<0 và £>0), Xét cung C„:jp=W Rep>c Theo giả thiét th trên cung này tì cĩ: Max #(p) = ứ, —>0 (R —> #) và khi đĩ; C P— Py —|p,| và ta được lim Í tp = Rove Ch P-Po Suy ra fe WF (t)dt = - — f- FUP) ap (1.3.12) i ri Bae Po

trong đĩ C„ là chủ tuyến đĩng tạo bởi cũng C„ và đoạn thẳng [c + ¿b.e - ¿b]

Chúng tủ tính tích phần bên phải của (1.3.12) bang cách sử dụng định lý F(p) bên trong chu tuyến Cc chỉ cĩ một điểm cực bat thường

P— Po

thang du Ham

cấp một tại ø= ø„ Thăng dư của nĩ ở tại điểm này c6 thé dude tinh tit (1.3.6)

và sẽ bằng #(p,) Khi đĩ từ (1.3.3) ta cĩ:

fe sundt = F(p,) (1.3.13)

ul

Vì p, la điểm bất kỳ của nửa mặt phẳng Re ø >c, ta suy ra từ (1.3.13) rang

F(p) là tích phân Laplace hội tụ với mọi p mà tại đĩ Rep>c Cuối cùng

chúng ta cấn chứng minh rằng tích phần này hội tụ tuyệt đổi

Chúng ta sẽ chứng mình rằng nếu các điều kiện của định lý được thoả mãn,

Trang 18

Ch.1: GIỚI PHIỆU VỀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

nghĩa của hàm gốc Thật vậy, với <0, theo bổ để Jordan chúng tạ cĩ

lim [e?F(pidp=0

L8

Do đĩ đường thẳng lấy tích phân trong cơng thức (1.3.8) cĩ thể được thay bằng chu tuyển C„ được định nghĩa trước đĩ Khi đĩ, với <0, theo định lý

Cauchy , ta cd:

- pe iin

f= Je F(p)dp =0 ^H1

vì e”fF(p) là giải tích trong C, Khi đĩ, tính chất (2) thộ mãn với f Ngoai

ra, chúng ta cịn chỉ ra được cơng thức (I.1.3) được thố mãn đối với / khi

œ =c Thực vay, tif (1.3.8) suy ra: col |/0)|= ma Í e”ˆF(p)dp | 2 se! [|Fl(e+iy)|dy = Me" 2k : (1.3.14) do đĩ bất đẳng thức (1.1.3) đúng

Bây giờ ta trở lại với tích phân (I.3.13) và chứng mình nĩ hội tụ tuyệt đối

Dat p, =x, +éy, theo (1.3.14) va x, >c, thi:

fle™ fina <M fer 0M lt = - ® d ù xy =f 1.4 ĐIỀU KIỆN KHƠNG CHỈNH CỦA BÀI TỐN TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC:

Bài tốn đi tìm lại hàm gốc từ hàm ảnh £(p) cĩ thể được coi như bài tốn

giải phương trình tích phân cấp mot:

Qœ

fe?’ finde = Fp) (1.4.1)

Trang 19

-13-Ch.1: GIỚI THIỆU VỀ BIỂN ĐỔI 1.APILACE NGƯỢC

{3 Điều kiện khơng chỉnh của hài tốn tỉnh biến đối L.aplacc ngước

trong đĩ (1.4.1) thuộc lớp các bài tốn khơng chỉnh Các bài tốn này cĩ hai tính chất quan trong như sau: chúng khơng luơn giải được đơi với tất cả các giá tri tham số xác định lời giải của bài tốn và những thay đổi nhỏ của tham số cĩ thể

dẫn tới những thay đổi lớn về lời giải

Với hàm ảnh #Ƒ(p) được biết xác định trên nửa trục thực p> va argp 1a

một biến thực Phương trình (1.4.1) cĩ thể khơng cĩ lời giải đối với tất cả hàm

f(p) liên tục hoặc thậm chí trơn khi p>ø Đặc biệt nĩ khơng giải được nếu

F(p) khong là hàm giải tích khi p >ø Giả sử rằng #(p) là hàm ảnh của một

hàm / và phương trình (1.4.1) là giải được Thay /() bằng hàm /() bởi

/)= #(f) là khá lớn trên một đoạn nhỏ và đồng nhất với ƒ(/) trên phẩn cịn

lại của nửa trục [0.+Z): Hàm gốc mới / sẽ liên kết với hàm ảnh #2(p) sai

khác với Ƒ(p) rất nhỏ với p>œ Khi đĩ với thay đổi nhỏ trong vẽ phải của

(1.4.1) cĩ lời giải £ thay đổi lớn trong mêtric thơng thường

Trang 20

-14-Chương 2:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

~ ,

ĐỀ TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

2.1 TIM HAM GỐC THONG QUA CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI NGƯỢC: Như chúng ta đã biết trong chương l, cơng thức tìm hàm gốc /() từ hàm ảnh

Fip):

|

je =— | e’' F( p)dp (2.1.1)

“c7T¡

Ở đây c là hồnh độ của nửa mặt phẳng hội tụ tuyệt đối của tích phân L.aplace Việc tính tốn trực tiếp /() bởi (2.1.1) là gặp nhiều khĩ khăn vì nĩ

địi hỏi những hiểu biết về hàm #Ƒ(p) của biến gid trị phức

p=c+fy(-< y<œ), Thế nhưng (2.1.1) là tích phân của một hàm giải tích lấy dọc theo một chu tuyến của mặt phẳng phức, nĩ cĩ thể được biến đổi và áp dụng các phương pháp quen thuộc của lý thuyết hàm biến phức, chẳng hạn như thay đổi đường lấy tích phân, tính các thăng dư, Trong một số trường hợp nhất

định các biến đổi như thế cho phép thu được những biểu thức thuận tiện cho việc

tính hàm gốc

Các phương pháp tính tốn hàm bằng các biến đổi của tích phân phức (2.1.I)

sẽ được để cập dưới đây

Trang 21

-1S-Ch.2: MOT SO PHUONG PHAP PHAN TICH ĐỀ TÍNH BIỂN ĐỔI LAPI.ACE NGƯỢC

3.2 Khui triển hàm gốc dưới dạng chuối hàm mũ

2) F(p) giải tích trên nữa mắt phẳng Rep>a ; a 3) Tơn tại một hệ gốm nhiễu đường trịn:

C, :|pl=R,.R, < Ry <.AR, > 2),

rrén dé F(p) héi tu déu vé 0 theo arg p;

cri

4) Với bất kỳ ¢> a, tich phan | F(p)dp hội tụ tuyệt đổi thì hàm gốc của Fp) diac tinh bai:

{= 3 resF(p)eP! (2.2.1)

lá

"

trong dé cde thang du được tính tại các cực điểm của hàm F(p) và tổng được lấy

trên nhĩm các cực điểm nằm trong hình vành khăn tạo bởi các đường trịn C„ kẻ nhau @ Chifng minh: Theo định lý 7, chương 1, #(p) là hàm ảnh của: cee f= fe F(prdp t+ a tla —

Ki hiéu C - mét phan của đường tron C, ti bén trái của đường thẳng

Re p=c, qua c+ib,, cdc diém của giao của đường thẳng này với đường trịn C,

và đặt ['„ là chu tuyển đĩng được tạo thành từ đoạn [c -Í.b„.v€ + i.b,, | vi cung C,

Trang 22

Ch.3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHAP PHAN TICH DE TINH BIEN DOI LAPLACE NGƯỢC

3.3 Irưởng hơn đặc hiệt của khai triển hàm gốc dưới dạng chuỗi hàm mũ

Ở đây các thặng dư được lấy tại tất cả các điểm kỳ dị của F(p) nằm bên

trong [| „ Đo đĩ định lý đã được chứng mình xong @

1.3 TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CỦA KHAI TRIỂN HÀM GỐC DƯỚI

DANG CHUOLHAM MU:

Chúng ta xét trường hợp £(p) là hàm phân thức hữu tỷ, thì ta cĩ kết quả sau: Định lý 2: Nếu hàm F(p)= ¬ f : là phân thức hữu tý và bậc của đa thức A(p) bé hon ) bạc của đa thức B(pì, khi đĩ hàm gốc của nĩ là: : ˆ | 4 an” tý | i= | F - kẹPt 2.3.1

ở đây p, là các cực điểm của F( P) va ny la các bậc của cực điểm và tổng đức

lây trên khắp các cực điểm ®

Chứng mỉnh:

Theo sự khai triển phân thức riêng phẩn của một hàm phân thức hữu tỷ, do tinh tuyến tính của biến đổi Laplace và do cơng thức: ! :; | ("e™ = is ở đây hàm ảnh ở phía bên phải và hàm gốc thì ở phía trái P~h Khi đĩ: | + xứ f0)=—— | £'F(pldp 21 (2.3.2)

trong đĩ e > max Rc p, và ø, là các cực điểm của F(p)

Theo định lý trước, tích phân (2.3.3) cĩ thể được thay bằng tích phân (2.2.3) vì Ƒ(p)->»0 khi øp => theo bé dé Jordan

Áp dụng định lý thăng dư cho tích phân (2.2.3) và cơng thức (1.3.4) để tính

thặng dư tại các cực điểm, ta đi đến cơng thức (2.3.1) ®

Trang 23

Ch.2: MOT SO PHUONG PHAP PHAN TICH DE TINH BIEN DOLLAPLACE NGƯỢC

344 Khai triển hàm gốc thành chuỗi hàm lũy thừa Đặc biệt, nếu các cực điểm là đơn, khi đĩ (2.3.1) được viết thành: ` = A(p, ) là i /0)=' TP (2.3.3) 2 Bip,)

Chi chú: Nếu đa thức Ư(p) cĩ các hệ số thực, khi đĩ đổi với mỗi nghiệm phức p cĩ tương ứng một nghiệm liên hiệp p Nếu đa thức 4() cũng cĩ các hệ xơ thực, khi đĩ: và do đĩ tổng của các biểu thức ae với tổng được tính đối với các P 3 A(p, ) eh yay 7 a nghiệm liên hiệp p, và Dị sé bằng với 2le—-—*—- Bi g và vì thê cơng thức Py (2.3.3) cĩ thể biểu diễn thành: ws A( p,) ke MP), ' 10= BG) rene t2 i?) `

trong đĩ tổng trong số hạng đấu là ứng với các nghiệm thực của Ư(p) và số

hạng thứ hai là ứng với các nghiệm phức với phần ảo dương

2.4 KHAI TRIEN HÀM GỐC THÀNH CHUƠI HÀM LŨY THỪA:

Giả sử rằng hàm ảnh F(p) là giải tích tại các điểm vơ hạn Khi đĩ, chúng ta

Trang 24

Chờ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHAN TICH DE ‘TINH BIEN DOLLAPLACE NGƯỢC

3.4 Khai triển hàm gốc thành chuỗi hàm lũy thừa Định lý 3 Néu F(p) la ham giải tích tạt điểm ở võ hạn và trong lân cân đĩ cĩ khai triển Laurent: F(p) = (2.4.1) k= thi hàm gốc của F(p) la 0< tên (2.4.2) (=1 (Á = Ì}: va F(p) la mat ham nguyên ‘e Chifng minh:

Theo giả thiết của định lý, hàm #() là giải tích trong miễn |p|> ® Đặt

jue và F(p)= F(`)= (4) thì ta cĩ: hàm ®(4)= 3 c,đ' sẽ giải tích trong t q a= = p'*'(0) = €, BH và theo bất đẳng thức Cauehw đối với hệ số Ì đường trịn ¿ < của nĩ, thì: p Từ bất đẳng thức cĩ được, với bất s t: ~ = MR‘ (k =1,2,3, )

fs lala i ay" vư GP - =M.Re™ (2443)

Rõ ràng chuỗi (2.4.2) hội tụ trên tồn mặt phẳng /, nghĩa là /() là mot

hàm nguyên theo biển /

Từ bất đẳng thức (2.4.3) ta cĩ ngay:

‘Him £(p) là hàm nguyên nếu nĩ giải tích trong tốn mật phẳng phức

Trang 25

-19-Ch.2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHAP PHAN TICH ĐỂ TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

2.4 Khai triển hàm gốc thành chuỗi hàm lũy thừa

|/œ)|<Œe”? ứ >0)

Vậy f(r) 1a hàm gốc vì thỏa (1.1.3)

Cuối cùng cịn phải chứng mình #(p) là hàm ảnh của /()

Trang 26

Chương 3:

BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DỰA TRÊN NHỮNG KHAI TRIỂN ĐẶC BIỆT

3.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC VỚI ĐA THỨC TRỰC GIAO:

Bài tốn tính biến đổi Laplace ngược cĩ thể được giải bằng các phương pháp dựa trên khai triển chuỗi của hàm gốc theo các đa thức trực giao”, đặc biệt theo

cde da thite Chebyschev, Legendre va Jacobi Bai todn nay, cuối cùng được qui

về bài tốn mơment trên đoạn hữu hạn và đã được nhiều nhà tốn học nghiên

cứu

Giả sử chúng ta biết phép biến đổi Laplace #(p) của hàm Ø()/():

F(p)= fer pen fend (3.1.1)

a

trong dé /(f) la hàm muốn tìm và A(t) là hàm khơng âm và khả tích tuyệt đối

trên [0,œ) Giả sử rằng /() khả tích trên bất kỳ đoạn hữu hạn [0,7] và thuộc vào lớp /„( 8ữ).(0.))} theo nghĩa: [onsen de <œ (3.1.2) » Trong tích phân (3.1.1) đặt x=e” suy ra lnx=ln(e “)=In(e')'==r hay R dx í=—Ìnx do đĩ đf =—— Ta cĩ: X *Các đa thức trực giao bậc n theo hàm trọng lướng øœ{x), kí hiệu @„{x), tiểu chúng tạo thành mội hệ ‘ 0, néu n tm

trức gia Hong Labi | ony, (dp, Cxdde = ore ce

Trang 27

Chà3: HIẾN ĐỐI E APE ACE NGƯỚC VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DỰA TRÊN NHỮNG KHAI THIẾN ĐẮC BIE * J Huéên đối | aplace ngiá& vớt đa thức trực giáo l X F(p)= -[#(-In x).f(-In x)" | bo | i ào = 1 <> F(p)= feb f(-Inx).x"dx f x i => F(p)= [x? cof ¥).@( x úx (3.1.3) oO trong đĩ @(x)= /(-lnx),ø(x)= AT NA) X

Do các điều kiện được đặt ra trên các hàm f(r) va Bir) nên tích phần

(3.1.3) hội tụ khắp nơi trong nửa mặt phẳng Re p>0, và vì thế đối với biến p

cĩ thể gan cho các giá trị 0.1.2 và chúng ta cĩ “mơmecnt trọng lượng” của

hàm (x):

j

tị =F()= [xÌ@(x)ø(x)ak (3.1.4)

ú

Bài tốn trở thành tim hàm @(x) theo các "mơment trọng lượng” yw, của nĩ,

điều này giống như tim ham /(/} từ các giá trị của hàm anh cha BU) f(y) tại

các điểm p=#(k=0.1.2, ) Xét đa thức q,(x)= dex" sao cho “mément a trọng lượng” của nĩ trùng với cde moment cla ham @(x), nghĩa là cĩ các È Ẻ È phương trình sau: 1 F(k) = [x‘o(xg,(xdde = 4, (0S k Sn) (3.1.5) q

Nếu đa thức như thể tồn tại, khi đĩ hàm ảnh của Ø(/)4„(e “) và cla BU) St)

trùng nhau tại các điểm p= &(k=0,l,2, n) và 4„(e”) cĩ thể được xem như

xấp xỉ của /(} theo một nghĩa nào đĩ

Ghi chú: Nếu e@,œ¿ e tạo thành một hệ các vectơ trong khơng gian „

Trang 28

Cha: BIEN DOLLAPLACE NGUUC VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DỰA THÊN NHỮNG KHÁI TRIẾN ĐẮC HIỆT

Ầ ¡ Hiến đốt Í aplace ngđớc với đa thức ỨC giàu

(Œ,.€, } (Pi.fa) e.«- (ứ,.£„ }

(£y.e, ) (ey.e} ok cne cave (£+.£„ )

LOC) (Osea) 2< (@,.€,

trong do (e,.e,) 1a ich v6 hung cua cic vectd e, va e,

Cho hệ các hàm /(x)( = l,2 m) với tích vơ hướng định bởi: h (ƒ⁄ /,)= fowoAOOF, Code, vai @ va f, la cic ham theo bien x va dinh thie Gram 1a: b h h [2.124 Í ()./((xdx fo If ax a % ‘ [ok i wf dx kiềks-gZi [ fy f,dx fo I fax [b2 TH fous

Định thite Gram luơn bằng 0 hoac kin hon 0 N6 bang 0 néu va chi nếu các Vecld &).€5 e, hode cic ham ff fh là phụ thuộc tuyến tính

Bay giờ chúng ta chỉ ra rằng điều kiện (3.1.5) xác định duy nhất đa thức

g„(x) Thực vậy, hệ (3.1.5) tạo thành một hệ gồm (0+1) phương trình đại số

tuyến tinh theo (741) dn ¢y.c) ¢, là các hệ số của đa thức g„(x) Định thức

của hệ này là định thức Gram của các hàm I.x.xỶ x”, và vì chúng là độc lập

tuyến tính, định thức là khác 0, do đĩ hệ (3.1.5) cĩ duy nhất lời giải, Do đĩ đa

thức ¿„(x) tổn tại và điều kiện (3.1.5) xác định nĩ một cách duy nhất Bây giờ

chúng ta xét một tính chất khác của đa thức g„(x): trong lớp các đa thức cĩ bắc

Trang 29

Ch.d: BIEN DOLLAPLACE NGUOC VA MOT SO PHUONG PHAP GIALDUA TREN NHONG KHAI TRIẾN ĐẶC BIẾT

1£ Biên đổi Laplace ngược với da thức trực giáo | ” “ = 2 fox] 4 - Ye, x |øeo - ats x | dx t 1 u a ! W | = 2 for] ot + >, ¢ x (« ~(Q#~ ~ cx") dx u II - 2 foro x)- » x |stats 0 ' " =~-2 @(x).xÌ 4{ X )đẩv + 2.[e(x)x" và -C xd =0 ( =f1 ) ) 0 íI ( Hay là ta cĩ:

Hệ cuối cùng này trùng với (3.1.5) và vi thé phiém hàm (3.1.6) cĩ một giá

trị đừng trên đa thức ¿„(x) Bây giờ chúng ta chứng mình rằng g„(x) tạo ra chủ

phiểm hàm (3.1.6) một cực tiểu tuyệt đổi trong lớp các đa thức cĩ bậc khơng

vu quá #

Đặt / (x) là một đa thức bất kỳ cĩ bậc khơng vượt quá 0ø, và 2 (x)z# g„(x)

Trang 30

Cha: BEEN DOLLAPLACE NGUUC VA MOT SO PHUONG PHAR GIẢI ĐỤA TRÊN NHỮNG KHÁI TRIẾN ĐẶC BIẾ 1

3 { Jluên đếu Í aplace đe% với da thức trực giáo

'

-2 [ø(x)[ø‹ x)- 4, (x) Le, (xed + foot x IeÈ(x)đv (3.1.7)

uv II

Số hạng thứ hai bên về phải của (3.1.7) bằng 0 Vì ?(x) khơng trùng với

q„(x) và £„(x)#0, số hạng cuối cùng trong (3.1.7) là dương và bất đẳng thức

dưới đây xãy ra:

[¿tx)[øtx) ~ P.{x)] dx > [øt)[ø(x) ~q,(x)] dx

a

0

Điều này chứng tỏ phiếm hàm (3.1.6) đạt cực tiểu tuyệt đối tại đ„(x)

Két „(x)(n=0,1.2, } là hệ các đa thức trực giao trên đoạn [0.1] ứng với

hàm trọng lượng @(x), và xét chuỗi Fø¿er tương ứng của g(x): *# 1 (x) - Yep, Với €, = foe) p, (dr u a [.ấy tổng hữu hạn ø số hạng của chuỗi: ŠS„(x)= 2Œ px) ' Đây là đa thức bậc khơng vượt quá n và nĩ cĩ thể được xem như một xấp xỉ của hàm @

Lấy hàm đa thức bất kỳ ,(x) bậc ø Đa thức 7? cĩ thể được khai triển theo

Trang 31

Chị; HỆ N ĐỔI EAPE XCE NGƯỢC VÀ MOT SO PHUUNG PHAP GIALDUS TREN NHONG KHALPRIEN DAC BIBT

7 | Btn dd) Laplace nguase wih da thite trite gine " f) | | | a“ ` = kù°4 -2 Joo A, p, de + fol A, p, | ức 0 0 0 Ụ 0

Theo bất đẳng thức Bunvakovsky ~ Cauchy va chii § ring p, 1a cae da thife trực giao trên đoạn [0.1 nên pŸ =l ¿= 0, và Jods =1 ta cd: 0 1 2 | > 3 fo S An ax < fol /4; + 4 + + 4] (pi * tỉ + + nà | ax Q 0 0 | " 4 < fo 4.1 < A 0 u q Với chú ý e, = [@tx)øtx)p,(xv)& ta suy ra được: 0 Ị n ở; = [»ø°4 - 2 Ác, + > A 0 0 * I = fop'dr+ > (-24c + A; + Ch 7 cj) 0 0 ¥ 4 = [o.g? dx - Yat V(A-e,) 0 0 0

Do d6, 52 dat cue ti€u néu va chi néu 4, =¢, (k =0,1, 7) Diéu nay 6 nghĩa là đa thức P, lam cho giá trị 5? eye tiéu khi A, = ¢, (k =0,1, ), te 1a:

PAxd= VAM WO = Dep) = S,00)

def) «0

Do do: q, (x) @ S,(x) (3.1.8)

Tir (3.1.8) ta suy ra ring:

lim q„(X)= lim S,(x) = lim Ye, P,(x)= S em)

k=0 =0

và sự hội tụ g„(x) => @(x) khi => # tương đương với khai triển hàm ø@(x) dưới

dạng chuỗi theo các đa thức trực giao Ø„(x): @(x)= Sc, p(x) Khi do ta xem

u

Trang 32

Chị! HIẾN ĐỐI E APE XCE NGƯỚC VÀ MỘT SỐ PHƯỢNG PHÁP GIÁI ĐỰA TRÊN NHỮNG KHÁI TRIẾN ĐẶC BIẾ 1 $2 luẻn đời { aplace ngước với đa thức IACOHI

3.2 BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC VỚI ĐA THỨC JACOBIE: Xét hàm trọng lượng dưới dạng:

@(x)= x“(I— x}”,ø >~I,/@ >~—l (3.2.1) Chúng ta sẻ xây dựng đa thức ¿„(x) Nhưng trước tiên xét các da thife Jacobi

chuyển đổi PJ“°“Ny), Chúng khác với đa thức Júeob¿ P,“'“Ny) ở chỗ xét trên

doan [0,1] thay vì [~1,1] nghĩa là: pm x)= PI“#(3x~1), x e|0,1| Các đa thức như thế phụ thuộc vào hai tham số, ký hiệu bởi øz Ø và được xắc định bởi: P.\4-Nx) s (=l) xt (1 = x)” x - "| (3.2.2) n' ay

Đẳng thức trên thường được gọi là cơng thức Rodrigues cho P*“!' Cắe da thức Ø !“”!x) tạo thành một hệ trực giao trên [0-1] với hàm trọng lượng

(@(x) = x”(I~ v)Ÿ, và ta cĩ các phương trình sau: i [x2 = xy! POMPOM (x)de =0,n em — (323): u | " - ot ; pf "(a ff) x = Fs Js (l—x) lb (x)| dy - F(rt++l)I(n+/+l) ; n(Qnea+ Pelline as B+) Ở đây, các đa thức trực giao trong mục 3.1 da được ký hiệu bởi ø,(x), được (3.24) thay bằng: >

Đa thức Jacobi xét trên đoạn hữu han fa,bf 2 da thức trực giáo theo him trọng lướng

Trang 33

Cb: BIEN DOLLAPLACE NGUUC VA MOTSO PHUUNG PHAP GIALDUA TREN SHOUNG KHALPRIEN DAC BIDT

1> Hiến đổi Laplace nguitte voy da thife JACOBI pm") ex = iW p4 \y) vn Các hệ số c, của khai triển của ø(x) trong các đa thức P,(x) cĩ giá trị là: | ay Cụ = [¿(x)øtx)p,G)áv = at fore yh (xyde =— 4 Vn i lộ

Vi li do nay, da thức g„(x) trùng với tổng riêng Š (x) của chuỗi Fourier

tơng quát, nghĩa là: q„(x)= 8„(x)= > Pix) (3.2.5) Ú ”4 Cĩ thể xây dựng một biểu thức đơn giản cho ø, theo các hệ số của đa thức P*“““' và lượng £() i Dat PB“) = Say (3.2.6) roll Khi do: a, = [@Lx)e(x)f7 9Í x)áw = A ‘ | ‘ ‘ =) ai" fo(x)x'etodx =Sal! uy = Sal Fi) (3.2.7) ie 0 jm) ied

Sử dụng cơng thức này, chúng ta cĩ thể tính các số hạng a, cla khai trién

(3.2.5) vì các số ø* đã biết và các giá trị của £() được cho trước

Vì vậy hài tốn tìm đa thức g„(x) là xấp xỉ của hàm g(x) đã được giải

quyết

Trong mục 3.1, chúng ta đã chỉ ra rằng sự hội tụ của đãy g„(x) tới @(x)

tướng đương với khai triển ø@{x) dưới dạng chuỗi các đa thức Jacobi:

/Z0)=@(x)= Px) = him $, (2) = lim qg„(x) (3.248) Howe

Trang 34

Chả BIẾN ĐỐI LLAPLACE NGƯỢỚC VÀ MỘT SỐ PHƯỚNG PHÁP GIẢI ĐỰA TRRÊN NHỮNG KHAI TRIỀN DAC BIET Ä2 Biên đối | aplace ngước với đa thức 1ACOHI

Định lý sau cho phép đm ra mối liên hệ giữa tổng riêng của chuỗi Fourier va

của chuỗi theo đa thức Jacobi Dinh ly 1: Cửa trên đoạn |=l.| một hàm (lo được: @(x) vét các tích phân cĩ giá trị hiều han sau: | fa =x)”“(l+ x)“|g(x)láx <n A aft Ny -†/ | (3.2.9) fu —x)“? ““(I+x)2‡ “3 |g(x)|áv <œ ‘|

Néu S_(x) la tong riéng thit n cia chudi theo cdc da thite Jacobi déi vi ham g(x) va o,(cos@) [a tong riéng tht n ctia chudi cosin Fourier cua ham:

b tay 2 +l

Œ(Ø) =(I—cosØ)/} “1(I+cosØ)2 “†!g(cosØ) (3.2.10)

thi trong Khodng (-1.1) hé thức sau vày ra:

tw By ve

fim | 8,(3) Masry? ex) =0 (3.2.11)

Sự hội tụ trên là đều trên các đoạn -Ì+£<x<l-£, với <c<19®

Từ định lý này kéo theo trong trường hợp đặc biệt nếu 0<Ø<z thì chuỗi

Fourier đối với hàm G(0) hội tụ tới 2[G(Ø+0)~G(Ø ~0)] khi đĩ với giá trị

tướng ứng x= cosØ tổng riêng Š (x) sẽ dẫn tới 2[e(Ø+ 0)— g( - 0)|

Định lý 2:

Cho G(Ø) là một hàm khả tích tuyệt đổi và tuần hồn chủ kỳ 2x trên [—-z.z|

và cho L là một đoạn bất kỳ trên trục x Nếu Œ{(8) cĩ biến phân bị chân trên 1,

“ ‘ |

thì chuối Foirier đổi với Œ() hội tụ tới giá trị sieu +0)-G(@é- 0)] tai moi

diém @ bén trong | Néu G(@) lién tuc trén |, khi dé chudi Fourier hội tụ đều

ti G(O) theo @ trén moi doan con bén trong | @

Trang 35

-30-Chĩ HIẾN ĐỔI ELAPE ACE NGƯỢC VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỤA TRÊN NHỮNG KIEAI TRIỂN ĐẶC BIẾT

12 Hiến đổi Laplaee ngưfc với đa thức TACOHI Định lý 3: Gid sit các điều kiện sau được thoả mãn đốt với @(x), 0 x< |: ! | T/ | a p #4~ } Dá-\ ¬ !) Các tích phân [x (I-x)” l@(x)lu và [x7 ®1(1=x) 2 “1i@(xlldv cĩ giá a“ t trị lều han;

3) @(x) là hàm cĩ biến phân bị chân trên † =|c.đd={0.1| Khi đĩ với bất kỳ x 6l, phương trình sat xây ra:

lim q„(x)= > P*“2(y) = sløtx +0)+@ø(x -()| (3.2.12)

7% “

Néu tx) liên tục trên |, thì trên bất kỳ đoạn c+ð<xSd-ởð

[0 <O< s(d _ ) cá sự hội tự đêu sau đây:

lim g„(x) = ah) = Ax) “ % (3.2.13)@

Các định lý 1,2 va 3 vita néu trén được trình bày trong cuốn “A handbook of

methods of approximate Fourier transformation and inversion of the Laplace

transformation” cia V.L.Krylov va N.S.Skoblya

Bây giờ ta trở lại bài tốn tim hàm gốc /(/) từ hàm ảnh #(}) xác đình bởi

phương trình (3.1.1) Thực hiện đổi biến x=e ” trong phương trình (3.1.3) với

hàm trọng litgng w(x) = x" (1- x), ta cĩ:

F(p)= [e ”*et“Mq~e enya

0

Từ định lý 3, chúng ta rút ra kết quả sau:

Trang 36

-30-Chị MIỄN ĐƠI ELLAPELACE NGƯỚC VÀ MỘT SƠ PHƯỢỚNG PHÁP GIẢI ĐỰA TKRÊN NHỮNG KHÁI TRIỂN ĐẶC BIẾ 1

Ä 3 Hiện đối Laplace ngete vc da thie LEGENDRE Nếu; “ I) Cac tich phan fete? [Pode va Lt _ Lệ œ +34 i pe V e 2 - [e 2 2" (le rụ/2P 1 |/(r)| # cĩ giá trị hữu hạn; a

2) Ham /(0) là cĩ biến phân bị chân trên [c, £](0 < e< đ < )}

Khi đĩ với bất kỳ /(e<r< đ) điều sau xãy ra:

lim q„(e )= sát POP ge ‘)=S [fu +0 £0 -0)]

o %

“fy thi su

Ngồi ra, nếu f lién tuc trên [c,d], khi dé vai bất kỳ ổ(0< ổ < a hoi tu sau IA déu theo ¢ én doan ¢+d s1sd-8:

lim g„(e ”)= #)

3.3 BIỂN ĐỐI LAPLACE NGƯỢC VỚI ĐA THỨC L.EGENDRE`:

Chúng ta xét trường hợp đặc biệt của hàm trọng lượng (3.2.1) khi a = Ø8 <0:

((Y)=Ì (tức là Ø8()=e”

Da thite Legendre chuvén đổi P* (x) sẽ là đa thức trực giao én doan [0,1]

với trọng lượng ø{x)= l Chúng được cho bởi (3.2.2) với œ=0.Ø=0 hoặc bởi

cơng thức:

2 “

Pˆ\(x)=(-IƑ" Si 1)! L mm 2) (n + &} x* =(—" 3 1)! [ _ vÀ 9

kad k! imp nik!

Trang 37

-3]-Chĩ 9: BIEN DOLLAPLACE NGƯỚC VÀ MỘT SỐ PHƯỚNG PHÁP GIẢI DỰA TRÊN NHỮNG KHÁI THIẾN DAC Bib}

%4 Hiến dint apiace ngược với đa thức CHEBYSHEY lour mot [(n+œ+l)E(n+ 8+l) - T(n+l)E(n+l) — 1 H(2n+dœ+/+1)U (net /+el) n2ntl)jE(n+l)l 2n+l a“ vi khai trién cla f(t) theo da thite Legendre chuyén déi la: MO = FV (3k +l)a, P te“) (3.3.1) ¿=(I

Lượng a, được tính từ (3.2.7), theo đĩ œ)°' là các hệ số của đa thức Legendre chuyển đổi P (x)

3.4 BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC VỚI ĐA THỨC CHEBYSHEV

LOẠI MỘT):

; I : ; -† -l s,

Trang 38

=92-Oh BIEN DOLLAPLACE NGUGC VA MOTSO PHUUNG PHAP GIATDUA TREN NHỮNG KHÁI TRIỂN ĐẶC HIỆT

Các hệ sd a, (K=01, ) dude tinh từ (3.3.7) với ơ'*! là các hệ số của đa thức Chebvshetw chuyển đổi loạt một T, (x)

Để thuận tiên hơn trong tính tốn chúng ta sử dụng biểu diễn lượng giác của đa thức 7 (x): T; (x) = cos[ø.arecos(2 x ~ l)] (3.4.2) Đổi biến 3x—I=cosØ(0<Ø<z).x=e ”.t=-2In £035, biểu thức (3.4.1) trở thành: /| ~2lncos 4 wt la - 23a cosh | (3.4.3) 2 7 hel 3.5 BIEN DOL LAPLACE NGUGC VỚI ĐA THỨC CHEBYSHEV LOAIHAI': Cho a= f= = hàm trọng lượng ø(+x) và /ứ) lần lượt cĩ dạng: L li Wy @(x)=x2(1—x)2,80)=e “?-e? ⁄ Hệ các đa thức Chebyshev chuyển đổi loại hai L/}(x) được xác định bởi: : * Ị

pray) =C_U,(x), trong dé C, = Sen

và nĩ là hệ các đa thức trực giao theo hàm trọng lượng @(x) trén doan [0.1]

Trang 39

-Ä313-Cb: BIEN DOLLAPLACE NGUUC VA MOTSO PHUONG PHAP GIALDUA TREN STUNG KHALTRIEN DAC HET

16 Mit phuting phip khae dé tinh dị Lý | * + T r= [x 2(l-xy2[U (x) ax = — Jx?0-x)?\U200J)& = tI và khai triển của /{f) theo các đa thức này cĩ dạng; eee t)=— Ue" 3.5.1 ra) eat ile") (3.5.1) =()

Các hệ số &, được tính từ (3.2.7), trong đĩ al"? là các hệ số của đa thức

Chebyshev chuyến đổi loại hai

Để thuận tiện hơn trong tính tốn đối với đa thức U(x), chúng ta đưa về

U*()= sin[(w + Ì)arecos(2x - L)] (3.52) 2v/x{l— x) Khai triển (3.5.1) khi đĩ cĩ dạng: dạng lượng giác: ( & ““ ộ —2Incos— |= sin(Á + Ì (3.5.3) f 4 ee Ne 3.6 MỘT PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ TÍNH a, :

Trở lại vấn để khai triển của /(2) theo đa thức Jacobi chuyén đối Trước

Trang 40

Chà1: HIẾN ĐỐI E XPILLACE NGUƯỢỚC VÀ MỘT NỔ PHƯỚNG PHÁP (GIẢI ĐA DREN NHOUNG KHALTRIEN DAC BIET %# Một phưởng nhắn khác để tính d, — —— - ———— ¬Í él 4 R = — Jr’ ¬ [x” ‘a - xy ; ldx * 0 Lấy tích phân từng phần £ lần, ta được: : = | p bị _ pLp ~]) (p TT” [rred-xe§4< sex 6e 9| A! ằ [(p+øz+/+k+2) \4

Vậy khai triển của x” theo đa thức p.“P)(y) cĩ dạng:

Và : pe EPO ems) wei a nlk+ prat B+2) 4 A trong đĩ rn, cĩ được từ (3.2.4) là tập các hàm f xác định trên đoạn [a,4] và bình SH nssa Sổ Chi chú: Xét Linx) phuiing kha tich theo ham trong ludng p(x), tife 1a : b ¬ [pin| funy dt < a 2 Cho hệ khả trực chuẩn của hàm ø, (x)(& =1,2 ) là đĩng trong /;,., nghĩa 2 là với /= /„, đẳng thức arseval nghiệm đúng: x h bh YA = [p(x) f”(v)áy, rong 6 f, = [pO foe, (dx (*) hel a a

thi với bất kỳ hai hàm /(x) và @(x) thuộc Khải chúng ta cĩ đẳng thức

Parsevaf mở rộng sau đây:

# b

3` f8 = [p(x)/()g(x)áy 9), Ant a

Để chứng mình điều này, xét hàm tổng /ƒ + g Vì nĩ nằm trong /7,.,, do (*)