Định lý minimax và bài toán xấp xỉ

Trang 1

At AK

BỘ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trang 2

Stink lhia gut thiy ce /

Trong gua trink hee lip đực “cường

SHIP Thnk phi Hee Chi Mink om

dé nhdin ditvo st giing day rit nhiel

link cia cde lhiéy cé treng (đường nhil

titel vac cabé du Ấẹc thay Nguyen

canh dé ban chit nhiém hhouw lean cang yuan tim lac diéu hitn che chiing em thuc hién Cain vitn lil nghtitp Cua diy eit wth hay long tiél cn chin lhinh

rita mint din lél cd cdo thy “xị

hay ⁄ lin dia lien aghien edu khea

hoc nin chide chin ông (kế khbG

nhiing thitu sol va han ché Em hinh

meng cic lhiy cé hittng din dé gti em

cc duoc nhiing let thite dingy din nhidl

Thành phố Hồ Chí Minh Tháng 5/ 2000

Trang 3

MỤC LỤC

LỜI GIỚI THIỆU

CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU

Trang 4

LOI GIGI THIEU

Nhằm mục đích giải quyết một số vấn để trong lý thuyết trò chơi ngẫu nhiên , năm 1928 Johann Von Neumann - nhà toán học lỗi lạc người Mĩ gốc Hungary - đã chứng minh một kết quả quan trọng liên quan đến các điều kiện để cho dang thifc inf sup f(x,y) = sup inf f(x.y) (*) xdy

yeY xeX xeX yeY

ra trong đó f là một hàm số thực xác định trên tập tích X‹ Ỵ Có thể nói rằng kết quả của Von Neumann là công trình nghiên cứu đầu tiên về định lý mỉnimax Kể từ đó đến nay , nhiễu dang khác nhau của định

lý này đã ra đời nhằm phục vụ cho các ứng dụng khác nhau Các công

trình này gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn như KyFan,

M Sion , Hoang Tuy , Jurgen Kindler

Trong luận van nay chúng tôi sẽ trình bày định ly minimax ma Jurgen Kindler , nha toan học người Đức, đã chứng mình vào nim

1996 Mặc dù được phát biểu dưới một hình thức đặc thù nhằm phục

vụ cho các ứng dụng riêng của nó nhưng , một cách gián tiếp , từ định lý minimax của Kindler có thể suy ra một số định lý minimax trước đó ( J Kindler, Uber splere anf Kovenxen Mengen , Oper , res Verjahren

26 (1997) 695-704 ) Một ưu điểm khác của kết quả này là việc mở”

rộng phạm vi xem xét các điểu kiện để đẳng thức (*) xảy ra trong

trường hợp X là một không gian tôpô còn Y là một tập hợp bất kỳ Định lý minimax ra đời nhầm giải quyết một số vấn để của lý thuyết trò chơi ngẫu nhiên nên đĩ nhiên trước hết nó được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực này Bên cạnh đó , như trên đã nói , mỗi dạng khác nhau của định lý minimax có những ứng dụng riêng Cho đến nay người ta đã biết được một số ứng dụng của định lý minimax trong các lĩnh vực như toán kinh tế, lý thuyết xác suất ngẫu nhiên , các bất đẳng

thức biến phân , các định lý điểm bất động Với những nét đặc thù

riêng định lý minimax của Kindler có ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực toán lý thuyết mà đặc biệt là ứng dụng vào bài toán xấp xỉ Nhiều

định lý cổ điển về sự xấp xỉ như định lý Stone - Weiertrass , định lý

Kakutani -Stone -Bonsal chỉ là những trường hợp đặc biệt của định

ly minimax nay

Do trình độ hiểu biết và thời gian có hạn , trong luận văn này chúng tôi dừng lại ở việc sắp xếp , hệ thống lại các kết quả và giải thích rõ các chứng minh của Kindler mà chúng tôi trích ra từ {2] Bên

Trang 5

cạnh đó trong quá trình suy nghĩ để thực hiện luận văn chúng tôi đã

bổ sung thêm cách chứng minh bổ để II:I,2 và đưa bổ để Machado

cũng như dịnh lý hội tụ của Dini vào luận văn như là những hệ quả cuả

dinh ly minimax

Chúng tôi sắp xếp luận văn thành 3 chương :

Chương I: Giới thiệu về định lý minimax và một số kiến thức cần

thiết nhằm phục vụ cho các chương tiếp theo

Chương II: Trinh bay néi dung dinh ly minimax ctia Kindler và

mot

số dạng khác của nó khi xét Y là một họ các hàm số

thực xác định trên X

Chương HH: Trình bày ứng dụng của định lý minimax trong đó chủ yếu là bài toán xấp xỉ

Với những đặc điểm vừa nêu chấc chấn luận văn này sẽ có những thiếu sót về hình thức cũng như nội dung Vì vậy chúng tôi kính mong

nhận được sự góp ý của các thầy cô để giúp chúng tôi có được những

hiểu biết chính xác hơn Trong quá trình làm luận văn chúng tôi luôn

nhận được sự hướng dẫn tân tình của thầy Nguyễn Bích Huy, nhân dịp này chúng tôi muốn được bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình

Ngày I2 tháng 5 năm: 2000

Trang 6

CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU

ỊỊ GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ MINIMAX

Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ và a: X x Y —> R là một hàm số thực,xác định trên tích X x Y Chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau:

a (X.Y)=inf sup ăx,y) ; a« (X.Y)=sup inf ăx.y)

veY xeX xeX yeY

Bài toán được đặt ra ở đây là tìm những điều kiên để đẳng thức

à(X.Y)=ạ(X.Y) xảy rạTa có thể thấy rằng ăX.Y)> ạ(X.Y).Do đó

đẳng thức a”(X.Y)=ạ(X,Y) xảy ra khi và chỉ khi ạ(X.Y) > a*(X.Y) Bài toán này được giải quyết lần đầu tiên bởi J Von Neumann

vào năm 1928 Khi đó ông đã xét X,Y là những tập compac lồi trong

các không gian Euclide tương ứng R° và R"

Dinh ly 1:(J Von Neumann 1928)

Cho X c R” ,Y c R” là những tip compac Idi va a 1A mét ham sé thực xác định trên tích X ; ỴGiả sử ta có: (¡ )Với mỗi y cố định, hàm số x + ăx.y) là hàm lõm liên tục trên X (ii)Với mỗi x cố định, hàm số x + ăx,y) là hàm lồi liên tục trên Ỵ Khiđó á(X,Y)=ạ(X,Y)

Kết quả của Von.Neumann đã được khái quát hóa dưới nhiều dạng khác nhaụ Dưới đây chúng tôi sẽ giới thiệu một kết quả của

M.Sion.Trong kết quả này Sion đã xét X.Y là những tập compac lỗi

trong các không gian vectơ t6p6.D6ng thời ông cũng thay tính lôi lõm

bằng tính tựa lổitựa lõm và thay tính liên tục bằng nửa liên tục trên,

nửa liên tục dướị

Dinh ly 2: (M.Sion - 1958)

Cho X.Y là các tập compac lỗi trong các không gian vectơ tôpô tudng ting E va F: a: X.Y —>R là một hàm số thực xác định trên tích X+ Y thỏa các điều kiện sau:

(¡) Với mỗi y cố định, hầm số x l—>ăx.y) tựa lõm và nửa liên tục

Trang 7

(ii )Vđi mỗi x cố định,hàm số y I—>ăx,y) tựa lồi và nửa liên tục dướị Khi đó tacó: (X.Y)=ạ(X,Y) "hú ý:

e Hàm x l—>ăx,y) là tựa löm, nửa liên tục trên nếu với mọi số thực r, tập hợp những x thuộc X sao cho ăx,y)> r là tập lỗi và đóng

e Hàm y l—>ăx,y) là tựa lỗi , nửa liên tục dưới nếu với mọi số thực r,

tập hợp những y thuộc Y sao cho ăx,y)< r là tập lỗi và đóng

1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CÂN THIẾT

2.1 Ham nửa liên tục: a) Định nghĩa: Cho X là một không gian tôpô và f là một hàm số thực xác định trên X Khi đó ta nói: * f nửa liên tục trên trên X nếu với mọi số thực r tập hợp { xeX : f(x)>r} là tập đóng + f nửa liên tục dưới trên X nếu với mọi số thực r tập hợp { xeX : {(x< r } là tập đóng Nhận xét: f nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi -f nửa liên tục dưới trên X b) Một số tính chất : Ø Bổ đề I:

Cho X là một không gian compac và f là một hàm số thực xác định trên X Khi đó nếu f nửa liên tục trên (tương ứng f nửa liên tục dưới ) thì f đạt giá trị lớn nhất (tương ứng giá trị nhỏ nhất) trên X Chung mình: Giả sử f nửa liên tục trên trên X Ta đặt A = { xeX : f(x) =M=sup f(x)} xeXx

Goi {r.]usx c Q là dãy tăng các số hửu tỉ hội tụ đến M và đặt A,=lxeX: f(x)> 6 } Vn EN Do f nửa liên tục trên trên X nên A„ là tập đóng với mọi n thuộc N Mặt khác A„ khác rỗng và A„„; c A; VY n Từ đó ta suy ra họ { Aa : neN } là họ có tâm trong không gian compac X.Do đó M{A,: ne N } #@ Ngodi ra dé thay rằng A=“{A„ : neN]

Trang 8

nên A # Ø Vậy tổn tại xeX để cho f(x)=sup{ f(x): xeX) nghĩa là f đạt giá trị lớn nhất trên X

Nết f nửa liên tục dưới trên X thì -f nửa liền tục trên trênX Theo

chứng minh ở trên -f đạt giá trị lớn nhất trên X_ Từ đó suy ra f dat gid trị nhỏ nhất trên X

Bổ đề 2:

Cho f và g là hai hàm số xác định trên không gian tôpô X Nết f và g nửa liên tục trên trên X (tương ứng nửa liên tục dưới trên X ) thì các hãm: số f+g và h=min{f,g} cũng nửa liên tục trên trên X

Chiitng minh:

Do nhận xét ở trên nếu h nửa liên tục trên thì -h nửa liên tục đưới , nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp các hàm nửa liên tục trên

Giả sử f và g nửa liên tục trên trên X Lấy một số thực r bất kỳ.Đặt

A={ xeX : Í(x)+g(x) < r} và B=|xeX : min{f(x),ø(x)} > r}.Vì tập hợp

các số hữu tỉ là đếm được nên ta có thể viết Q={r„: neN} Lúc đó ta có A=|xeX :f(x)< r-g(x)}= (J({ xeX: f() < rm } ¬ (xe X: øŒ) < r-ra}) là một tập mở trong X bởi vì các tập (xeX : f(x)< r„} và (xeX : g(x)< r-r.} là mở Điều này chứng tỏ f+g nửa liên tục trên trên X Cũng vậy

ta có B=|xeX : f(x)> r} ¬ {xeX : g(x)> r] Vì f và g nửa liên tục trên

trên X nên đễ dàng suy ra B là tập đóng trong X Vậy h=min[f,g} nửa

liên tục trên trên X

2.2 Họ hàm tách các điểm của một không gian tôpô:

a) Định nghĩa:

Cho X là một không gian tôpô, Y là một họ các hàm số thực xác định trên X Ta nói Y tách các điểm của X nếu với mọi x;,x; thuộc X,

xị # xạ tổn tại y thuộc Y sao cho y(x¡)#y(%;).!

b) Bổ đẻ:

Cho X là một không gian compac Haussdorf Khi đó C(X) tách các điểm của X Ở đây C(X) là không gian các hàm số thực liên tục trên X Chiing minh:

Kết luận của chúng ta ở đây là hệ quả trực tiếp của hai định lý sau (Tôpô đại cương- Nguyễn Xuân Liêm):

Trang 9

Định lý 1: Nếu X là không gian compac Haussdorf thì X là không gian chuẩn tấc.nghĩa là,với hai tập đóng bất kỳ F, F 'có giao bang rong thì tồn tại hai tập mở G, G'` sao cho G>G'=@Ø.GF,G 5F

Định lý 2: Nếu X là không gian chuẩn tắc và E, F' là các tập đóng có

giao bằng rỗng thì tổn tại một hàm liên tục f từ X vào đoạn [0,1] sao

Trang 10

CHƯƠNG II : ĐỊNH LÝ MINIMAX HỊ0 Một số định nghĩa và ký liệu

Cho X là một không gian compac ; 2 là một họ các hàm từ X vào đoạn

(0,1] và H là một họ các hàm f từ X vào R C¿ |-œ]

0.4 Các định nghĩa: a) Dinh nghia 1:

Giả sử 9‡ là một họ các tập đóng trong X Ta nói Z ché RK nếu với mỗi

E thuộc Wì tổn tại hai tập đóng F¡và E› khác E mã F\ C2 E: = F sao cho W c>0,3zeZ.:z(Xx)<£ VXe€F›\F) và z(Xx)> l-e VXeF;\F:

b) Dinh nghia 2 : Ho ham H duoc goi la

e Định hướng giảm trên một tập đóng F nếu với mọi hạ, h› thuộc H tổn tại một phân tử h thuộc H sao cho h(x)< hị(x) ^ hăx),V x e Ẹ

eZ lồi nếu với mọi h,hạ thuộc H và với mọi z thuộc Z tổn tại một phần

tử h thuộc H sao cho h(x)< z(x)h;(x) + (1-z(x))hăx) Wx e X

(.2.Các ký hiệu:

Cho Y là một tập hợp bất kỳ và a:X ‹ Y —> R (Q2 {-ø} là một hàm số từ tích X ‹ Y vào R t2 {-©} sao cho với mỗi y cố định , hầm x I> ăx,y)

nửa liên tục trên trên X

Trong các phần sau ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây:

a’ (X.Y)=inf sup ăx,y) ; as(X.Y)=sup infăx,y)

yeY xeX xeX yeY

R- = RU{[-09}

uA v=min{u,v} ;u v v=max{u,v}

F(X) là tập hợp tất cả các tập đóng chứa trong X C(X') là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên X USC(X) ={ f: X >R‹ sao cho f nửa liên tục trên trên X]

LSC(X)= -USC(X)={| f: X — R‹ sao cho f nửa liên tục dưới trên X] Filt H={F € F(X) \ {Ø} sao cho H định hướng giảm trên F]}

- Const H=|F e F(X)\ {@} sao cho h là hàm hằng trên F v h e HỊ

- Mult H={ z: X — [0,1] sao cho zh¡ + (1-z)hạ e H ,Vhụạ, hoe HỊ

1.1 Định lý minimax

1.1 Bổ để (1H:I1,1):

Giả sử K là họ tất cả các tập đóng không rỗng trong X sao cho a (X.Y)=á (ẸY) với mọi E thuộc K Khi đó :

(1.1.a) K chứa một phần tử tối tiểụ

Trang 11

(Ị1.b) Cho E›¿ thuộc K Giả sử tổn tại Fị, Ese F(X) \ (Ø} mà E;¡ (¿

E›=Fs

sao cho : V y¡, y2 € Y va Ve>Otdntai ye Y và tổn tại hàm số uw: lo (0.11 thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) ăx.y) < M(X) ăX,Y¡) + (l-H(X)) ăX.V›) +E VX EF)

(ii) H(X)<£ VX € Fa\F (iii) kHÍX)> l-£ Vx €F¿\ Eạ

thì Eu không là phần tử tối tiểu của K

Chứng mình:

(Ị1.a) K được trang bị quan hệ thứ tự bao hàm,nghĩa là, F; < F› nếu

F;C Fạ Trên K ta xét xích { F¡ : ¡ e1I} Xích này có cận dưới thuộc K là

=f{[E, : ¡e IỊ Thật vậy , dễ thấy mọi giao hữu hạn của các tập F, là không rỗng nên F cũng không rỗng ,vì X là không gian compac Hơn nửa , với mọi ¡ thuộc I, F¡ chứa F Do đó ta chỉ cần chứng mình

a (X.Y)=à(Œ,Y) hay là a (Œ,Y) > a (X.Y), vì ăX.Y)> a (F,Y).Với mỗi

y thuộc Y ta ký hiệu X(y) =|xe X : ăx,y)> a (X,Y)} Vì hàm x l—

ăx.y) nửa liên tục trên trên X nên X(y) là tập đóng và ngoài ra X(y) khác rỗng Mặt khác, dé thay rang F, X(y) không rỗng với mọi ¡el

Từ đó ta suy ra [F, X(y) : iel} là họ có tâm trong không gian comipac

X Vậy Fn X(y) z= n{ Ẹ¬ X(y): ¡ e I} # Ø Suy ra a (Œ,Y)z aŒ ^

X(y).Y)>a (X.Y)

Cuối cùng áp dụng bổ để Zorn ta có thể kết luận rằng K có phần tử tối tiểụ

(1.1.b) Chúng ta sẽ chứng minh rằng tổn tại một tập con không rỗng

của Fs mà nó thuộc K Tập con đó hoặc là F¡ hoặc là F)

e Giả sử a (FạY) > max{a (F\,Y),à (:,Y)} thì tổn tại hai số thực n

va & sao cho a’ (Fỵ Y) >n >&>max{a (F;,Y),a (F,,Y)}

e Với mỗi j = l, 2 ta chọn y; €Y sao cho sup {ăx,y;) : xeF¡ } <Š

Khi đó rõ ràng y¡ # yz, Vì nếu ngược lại ta sẽ có sup { ăX,V¡): x © Fp J = sup {ăx,y)): x € F) UF2} <&, suy ra a (FạY) < & (v6 ly !)

e Gọi M là số thực đương thỏa mãn điều kiện :

Trang 12

e Với yạ y; và e đã chọn tổn tại yeY và hàm số Ịt ; X l—> [0.1] thỏa

các điều kiện (¡) (ii), (iii) Do đó nếu x e F¡ SE: thì theo (¡ ) ta suy ra

ñ(X.Y) <€ H(X) ăX.Y¡) # (l-H(X)) ĂX,y3+E < H(X)š + (l-H(X))Š +£ <

Ete <n: néu xe F, \ F; thi theo (¡ ) và (ii) ta suy ra ăX.V) -Š- £ <

H(X)[ĂX.Y¡)-Š ] + (Ï-H(X)) [ăX,y3)-Š ] < Ö + e (M-Š) =n-É-£ nên ăx.y) <

1) : tương tu néu x € F; \ F, thi ăx.y) < n Nhu vay vdi moi xe Fo

ăx.y) < n Diéu nay chứng tỏ a (Œo,Y) < n (mâu thuẫn với cách chọn '\

)

e Do đó ta có thể kết luận a (F¿ Y)= max {a (F,,Y), a (F:,Y)]}, nghĩa

là tổn tại j e {1,2} sao cho a ( Fo,Y) = a (ŒF,.Y), suy ra F, e K.Vậy Eụ

không là phần tử tối tiểu của K

1.2 Bổ đề (H;1.2):

Cho F là một tập đóng của X Ta ký hiệu ặ, Y)= { ặ.y):X

—>R‹ x l—> ăx.y) với y eY } Nếu F e filt ă Y) thì a Œ,Y) =

ăP LY)

Chứng mình:

e Từ giả thiết F e filt ặ, Y) ta suy ra với mọi y¡ y› eY tồn tại y Y sao cho ặ y)< ặ, Yị) A ặ, y:) trên F Do đó bằng lý luận qui nạp ta có thể chứng minh rằng với mọi họ hữu hạn y¡, ya, y„ e Y tổn tại y

cY sao cho ăx,y) < min {ĂX,Y¡) , ăX,Y2), , ăX.ya)} VX EF

eVới mỗi y eY ta đặt F(y) = {x e F: ăx,y) > a (F, Y)] Do ăx,y)

nửa liên tục trên theo x nên F(y) là tập đóng trong X Ngoài ra F(y)

khác rỗng vì nếu F(y) bằng rỗng thì a `(F,Y) < ăF,Y) (vô lý!') Kết

luận của chúng ta sẽ được chứng minh nếu giao của tất cả các F(y) ( yeY ) khác rỗng ; bởi vì lúc đó 3x eF: ăx.y) > a (F,Y) V y eY nên

suy ra ạ(F,Y)2 a (F,Y) Mặt khác vì X là không gian compac nên ta chỉ

cần chứng minh giao của một họ hữu hạn bất kỳ các F(y) là khác rỗng

Lấy họ hữu hạn y¡, y: , y„ bất kỳ các phần tử cla Y Do chứng

minh trén tổn tại ỳeY sao cho ăX,ỳ) S min{ăx,y)) , ăx.y2) ăx.¥n)} Vx € F Thé ma Fly’) # @ nén 3 x’e Fy’): ăx’, ỳ) $ ăx’,y;) Vje{1.2 n} Từ đó suy ra x` e “+{F(y¡):j=l.2 n} Vay ¬(F(y;:

j=L.2 n] # Ø (PPCM)

1.3.Định lý (H1): (định lý minimax)

Giả sử tổn tại tập Z c (z: X |0, 1]}.Z# Ø sao cho :

(1.3.a) Zchẻ F(%X})\ fltặ, Y)

(1.3.b) ặ Y) là Z lỗị

Trang 13

Khi đó ta có :

max inf ăx,y) =inf max ăXx.y)

xeX yeY veY xeX

Chứng mình:

Gọi K là họ tất cả các tập đóng trong X sao cho a (X.Y) = a (F.Y) với

mọi E thuộc K.Theo bổ để(II;1,1) K chứa phần tử tối tiểu là Fp

Giả sử Fa ø filtă,, Y).Từ (1.3.a) ta suy ra ton tại hai tập đóng F,, F›

khác E› mà E¿ v2 Es =Eu sao cho : V >0 3z e Z thỏa điều kiện z(x)< £ nếu xe Fs\F;¡ và z{x)> l-e nếu x e E\\ E:.Mặt khác V y,; y2 EY va z được chọn ở trên , do (1.3.b) ,tổn tại yeY sao cho ăx.y) < z(x) ăx.y)) +(1-z(x))ăx,y2) Vx e X Như vậy F¿ thỏa các điểu kiện của (1.1.b) ở bổ

để(H;1.1) nên E¿ không là phần tử tối tiểu của K Điều mâu thuẫn này

chứng tỏ Fo e filt ặ , Y)

Ap dụng bổ để (111,2) ta suy ra as(X,Y) > as(Fa Y)= a (Fo,Y) =

á(X,Y)2 ăX,Y) Do dé a (X,Y) = a+(X,Y)

Vì các hầm x l—> ăx,y) và x l—> inf ăx,y) nửa liên tục trên trên X yeY

nên chúng đạt giá trị lớn nhất trên X.Vậy ta có: inf max ăx,y) = max inf ăx,y)

yeY xeX xeX yeY

11.2, Dinh lf minimax trong trường hợp Y là một họ các hàm

Trang 14

Xét x¿ thuộc G ,ta có : b(xẹy(Xo)) < œ Do (2.1.a) ta suy ra [te l:

b(x¿„t) < œ } là một tập lỗi nên tổn tại một lân cân Ít;, t›] — I của y(x¿)

sao cho b(x„„t )< œ VI e{t t3]

Đặt V, = {[x eX : b(x.U <œ|},te[t.àlvà V=øă{V, :telt, bị

| Vì ham x | b(x,t) nửa liên tục trên trên X nên V, mở trong X ÿyte[tịta].Mặt khác cũng do (2.1.a) để thấy ring V = Í, 3! nên nó cũng là tập mở trong X, và ngoài ra x¿ e V Bây gid ta chon U=Vony '({t,.t›]) thì do tính liên tục của y ta sẽ có U là một lân cận của x¿ và U cG Do đó G mở trong X

Vậy hàm x l—> b(x,y(x)) nửa liên tục trên trên X

2.2 Bổ đề(H;2.2):

Cho Z là một họ các hàm từ X vào đoạn [0,I] Nếu với mọi y eỴ y liên tục và một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

(2.2.a) V (n,ơ,y)e N ‹ (0,=) ‹ Y ta có [n (y-yAœ)|A Le Z

(2.2.b)0<y<l Yy eY và (I- y”)" e2 với mọi (m,n,y) eN‹xN;:Ỵ

Lúc đó ta có : Z2 chẻ F(X)\ const Ỵ

Chứng mình:

*® Lấy F e F(X) \Const Y_ Tổn tại y € Y sao cho y không là hàm hang trén F Chon x; , X2 € F va các số thực œ, thỏa điều kiện

Y(Xị) < œ < B < y(a)

eNéu điều kiện (2.2.a) xảy ra thì ta đặt K; = [œ,s) và Ka={-œ,B] Tiếp

theo chọn số tự nhiên n sao cho n > và xét hàm số q xác định

œ~8

bởi hệ thức q(t )=[n(t-t A œ)]^Al ,t e 1 Lúc đó ta có g(t =0 Vt EK, \ K,

và q(t) =l VY t eK; \ Kạ

eNếu điều kiện (2.2.b) xảy ra thì ta đặt K;= [0 , B] va K, =[ ạ 1] Theo một kết quả của định lý Jewett ( [4] ) ta có : Ve>0 3m,n EN sao cho nếu q là hàm số xác định bở hệ thức q(t )= (1- /")° ,t e{0,1] thi g(t ) > I-

E Vt e€K;\ K› và q(t )< e V te K›\ K:

* Bây giờ lấy e > 0 bất kỳ ta chọn z=q.y và F,=Er+y '(K,¿),¡=l,2 Khi đó rö ràng z e Z và ta có Fi UF) =F vi F) UF: =F [y (K)) Uy"

(K›) ]}=FnX Ngoài ra ta có : VX cF( \Fa = F y (Ky \K>) thi y(x) €

K¡ \K: nên z(x) =q[y(x)] > l-e và tương tự như thé 2(x) < e V x e E› \ Fì

Vậy ta có thể kết luận Z chẻ F(X) \ const Ỵ

Trang 15

2.3 BO dé 11;2,3:

Giả sử với mọi y thuộc Y, y là hàm liên tục Khi đó (a) = (b)= (c)

trong đó (a) ,(b) ,(c) là các mệnh dé sau đây:

(a) {0,1} c Y =D(X) c mult Ỵ

(b) l-y eY và y" eY V eY ¬D(X), vn eN

(c) Y A D(X) ché F(X) \const (Y 4 D(X)) Đặt biệt ta luôn có Y “ chẻ

F(X) \ const Y “ Trong d6 D(X) = {| f eC(X): O<f < 1} va

Y*=D(X) 7 mult Ỵ

Chitng minh:

e (a)= (b) Lấy y eY D(X) Vì {0.1} c Y c mult Y nên ta suy ra l-y

e Y bởi vì l-y = Ị(I-y) +0.ỵ Ngoài ra ta có y° =ỵ y"! + (I-y).0 nên

bang ly ludn qui nap ta cé thé suy ra ring y" €Y Vy € YO D(X) va Vn

eN

e (b) — (c) Ta áp dụng trực tiếp bổ đề II:2,2 trong đó Z và Y đều được thay bing YO D(X)

Bây giờ nếu Y ® = D(X)n nult Y thi Y “ ché F(X) \const Y Z, That vay

với mọi h € Y" , hién nhién I-h e Y “; Đồng thời do ta có thể viết

h'.y,+(1-h").y; = h[h*!.y, + (1-h*”).yz] + (1-h).ya nên bằng qui nap ta suy ra h" € mult Y va do dé h" € D(X) m mult Ỵ Vay theo chifng minh

ở phần trên ta suy ra điểu phải chứng minh

2.4 Định lý H:2,1 : Giả sử ta có:

(2.4.a) Với mỗi x e X ,hàm t l—> b(x,t ) là hàm lồi

(2.4.b) Nếu y(x¡) = y(xạ) Vy eY thì suy ra b(x;, y(x)) = b(xs, y(xa)) Vy

eỴ

(2.4.c) V6i mỗi y e Y, hàm x l—> b(x ,y(x)) nửa liêntục trên trên X

(2.4.đ) mult Y chẻ F(X) \ const Ỵ

Khid6é: max inf b(x,y(x)) = inf max b(x,y(x))

xeX yeY yveYxeX

Chiing minh:

Dat az =OX.Y-R-

(x,y) > ăx,y) = b(x,y(x)) Lúc đó ta có:

e Hàm x l—> ăx,y) = b(x,y(x)) nửa liên tục trên trên X với mỗi y e Ỵ

e Mult Y chẻ F(X) \ filt ặ, Y) Thật vậy vì ta đã có multY chẻ

F(X)\const Y va const ặ, Y) c filt ặ, y) nên ta chỉ cần chứng minh

Trang 16

const Yc const ặ , Y) Lay F € const Y Véi moi y e Y y la ham hang trén F Do do tif (2.4.b) ta suy ra b(xX;,¥(xX;)) = b(x2, y(x)) Wy EY và VXx,.xseE, nghĩa là ặ ,y ) là hàm hằng trên E với mọi y €Y Suy ra F e const ặ,Y) Vay const Y c const ặ Y)

e ặ ¥) 1A mult Y lỗị Thật vậy với mọi y¡ y› thuộc Y và với mọi z

thuộc multY ta chon y = Z.Vyị +(T-Z) yà thì y 6 Y va do (2.4.a) ta có ăx,Y)S Z(X) ăX.Y¡) + (l-Z(X)) ăx,y›) Vậy theo định nghĩa, ặ Y) là

mult Y lồị

Cuối cùng bằng cách áp dụng định lý H;1 ta suy ra hệ thức

max inf b(x.v(x)) = mí max b(x,y(X))

xeX veY yeY xeX

Chú ý:

Trong định lý II;2,1 nếu với mỗi x thuộc X ,hàm số t l—> b(x.t) là hàm không giảm thì hai điều kiện (2.4.b) và (2.4.đ) có thể thay bằng điểu kiện (2.4.d`') mult Y chẻ F(X) \ filt Y Bởi vì khi đó ta có filt Y c

filtặ Y)

Hệ quả:

Định lý H;2.! vẫn còn đúng nếu ta thay điểu kiện (2.5.c) bởi điều

kiện sau:

(2.5.c`) Với mỗi t e I hàm x l—> b(x,Ð) nửa liên tục trên trên X ; với mỗi x e X, hàm t l—> b(x,Ð lỗi trên I và liên tục tại -© nếu -© elI; với mọi y € Y, y là hàm liên tục Chitng minh : Kết quả này là hệ quả trực tiếp của bổ để II;2,! và định lý I;2,1 2.5 Dinh lý H;2,2 : Giả sử ta có :

(2.5.a) Với mỗi x e X ,hầàm t l—> b(x,t) là hầm lồi

(2.5.b) Với mỗi y e Y ,hàm x I—>b(x,y(x)) nửa liên tục trên trên X (2.5.c) Với mọi y e Y, y là hàm liên tục

Khi đó tổn tại F¿ e const Y ” sao cho

inf max b(x,y(x)) = inf max b(x.y(x))

yeY xeX yeY xeFy

Hơn nữa nếu YỶ tách các điểm của X thì ta có :

Trang 17

inf max b(x,y(x)) = max inf b(x,y(x))

veY xeX xeX yeY

Chứng minh :

Dat a: X:Y => R:

(x,y) l—> ăx.y) = B(x, y(x))

Gọi K là họ tất cả các tập đóng của X sao cho ăX.Y)= a (ẸY)

với mọi F thuộc K Theo bổ để H;1.1 K có chứa phần tử tối tiểu Fạ Giả sử F¿ # const Y “ Ta sẽ chỉ ra dưới đây một sự mâu thuẫn

Theo bổ để II;2,3 Y “chẻ F(X) \ const Y Ÿ Do đó tổn tại hai tập đóng F\, F› khác F¿ mà F\ t2 F› = Fạ sao cho Ve>03ze Y ° thỏa các

diéu kién sau : z(x) 2 l-e V xe F,\ F2 va z(x) 4 Vxe F¿a\ F¡ Mặt khác

vdi moi y; , y2 € Y ta dat y =z Yy¡ + (1-z) y2 thi r6 rang y € Y va ta c6é ĂX.¥) S Z(X) ăx y)) + (1-z(x)) ăx, y2) Vx EX Ap dung bổ dé Il;1,] ta

suy ra Eu không là phần tử tối tiểu của K (mâu thuẫn !)

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ F e const Y ” Thêm vào đó do tính

nửa liên tục trên của hàm x l—> b(x,y(x)) trên các tap compac X và F ta

có thể đi đến kết luận : tổn tại Fạ e const Y “ sao cho

inf max b(x,y(x)) = inf max b(x,y(x))

yeY xeX yeY xeF›

Bây giờ nếu Y ” tách các điểm của X thì với moi F € const Y * , F chi

có một phần tử ,nghĩa là card F = 1 Do đó F¿={ x`} Vậy ta suy ra :

Inf max b(x,y(x)) = max inf b(x,y(x))

yeY xeX XeX yeY

Hệ quả:

Giả sử rằng các điều kiện (2.1.a) , (2.1.b) , (2.1.c) của bổ để H;2,1 được thỏa mãn và một trong hai điều kiện sau xảy ra:

() y(x¡) = y(x;) V y e Y suy ra b(x;,y(x;)) = b(x;y(x3)) V y e Y ; đồng

thời một trong hai điều kiện (2.2.a) và (2.2.b) của bổ đề II;2,2 thỏa mãn

với Z =mult Ỵ

(li) y(x¡) =y(x›) V y eY m D(X) suy ra b(x¡,y(xị)) = b(x:.y(x›)) VyeY;

đồng thời Y D(X) c mult Ỵ

Khi đó ta có :

yeY xeX xeX yeY

Chứng minh :

Trang 18

Đật a: XY OR

(x.y) l—> ăx,y) = B(x, y(x))

Khi đó rõ ràng ta có ham x l—> ăx,y) nửa liên tục trên trên X với mỗi y cho trước của Ỵ

e Nếu điểu kiện (¡ ) xảy ra thì ta dễ dàng chứng minh được mult Y chẻ F(X) \ filt ặ, Y) và ặ., Y) là mult Y lỗị Vậy áp dụng định lý H;1 ta suy ra inf max b(x,y(x)) = max inf b(x.y(x))

yeY xeX xeX yeY

se Nếu điều kién (ii ) xảy ra : trước hết bằng cách áp dụng định lý II:2.2

ta suy ra t6n tai Fy € const Y" sao cho

inf max b(x,y(x)) = inf max b(x,y(x)) (***)

yveYxecXx yeY xeFy

Thế mà ta lại có const Y “ C const ặ , Y) Thật vậy lấy F e conxt Y " thì với mọi y e Y,y là hàm hằng rênF Dễ thấy D(X) + multY=Y” D(X) ¬Y nên Vy e Y O D(X), y cũng là hàm hằng trên

Ẹ Từ đây ta suy ra Vy e Y ,ặ, y) là hàm hằng trên F nhờ vào (ii ) Điều này chứng tỏ E e const ặ, Y)

Vay ton tai Fy € const ặ , Y) thỏa hệ thức (***) Do đó

inf max b(x.y(X))=inf inf b(x,y(x))S max inf b(x,y(x))s inf max

b(x.y(x))

yeY xeX yeY xeFy xeX yeY yeY xeX

Vay :

yeY xeX xeX yeY

Trang 19

CHUONG III : UNG DUNG HỊ1 ĐỊNH LÝ HULL

1.1 Bổ đề II;I :

Nếu Y là một tập con của USC(X) sao cho mult Y chẻ F(X)\ filt Y

thì khi đó với mỗi f LSC(X), hai mệnh để sau tương đương :

(Ịl.a)VxeX 3yeY: y(x)<f()

(l.l.b) dye Y: y(x)< f(x) VxeX Chiing minh : Dat a: XY—>R.- (x,y) I> ăx,y) = y(x) — f(x) Khi đó ta có : e Với mỗi y e Y ,hàm x l—> ăX,V) = y(x) - f(x) nửa liên tục trên trên X

e Mult Y ché F(X) \ filt ặ, Y) Thật vậy vì mult Y chẻ F(X) \ filt Y

nên ta chỉ cần chứng minh filt Y c filt ặ, Y) Lấy F e filtY_ Với moi

yVị,yY›€ Y3dyec€Y : y(X) Ss yx) a yăX) V x e F Nhưng từ hệ thức Y(X) <Y¿(X) A yox) Vx eF ta suy ra y(X)-ÍX) <S (y¡(Xx) -fX)) ^ (yăx)-f(x)) V x e F hay 1a ă x, y) S ăx, y;) A ăx,y2) V x e F Do đó F € filtặ , Y)

Vay filt Y c filt ặ , Y)

e RO rang 1a ặ , Y) 1a mult Y lồi Bằng cách áp dung dinh ly IT;1 ta suy ra

inf max [y(x)-f(x)] = max inf [y(x) — f(x)]

yeY xeX xeX yeY

Thế mà biểu thức ở vế phải là âm do (1.1.a) Do đó tổn tại y e Y : y<

f, nghĩa là y(x) < f(x)

Điều ngược lại là hiển nhiên 1.2.Djnh ly Hull :

Nếu Y là một tập con của USC(X) sao cho mult Y ché F(X) \ const Y thì với mỗi f e LSC(X) , hai ménh dé sau day tudng dudng nhau :

(l.2.a) VX:,x:eX Vec>03yecY:

vằ)< ÑxJ)+e:về vu): d09-6)x 2 ‹ £

Trang 20

(1.2.b) f(x) = inf sup { y(x):f+ðồ>yceY ].xeXx >0 Chứng mình : *( 1.2.a) => (1.2.b) Lấy xạ e X bất kỳ Trước hết ta sẽ chứng minh rằng V e >0 3 y € : |

Y: (Í(Xa) - £) “” < y(Xo) < Í(Xo) + Ẹ

Dat Y° = {vy œ Y : y(Xo) > (Í(Xo) -E) ^ 4 | Từ (1.2.a) ta suy ra Ý £

khác rỗng Mặt khác vì Ỳ c Y nên dễ dàng chứng minh được mult Y Œ multfỲ và const Y c const Y’ c filt Y° Do do ta suy ra muit Y” chẻ

F(X)\ filt Y° bai vi mult Y ché const Ỵ Bing cach ap dụng bổ để IH;I

trong d6 Y dude thay bang Y’ va f dude thay bang f+ , ton tai y e€

Ý sao cho y < F + Rõ ràng khẳng định của chúng ta là đúng

Bây giờ ta sẻ chứng mình

f(x„ ) = inf l(ỗ ) , trong đó l(ð) = sup { y (xo): f+ ồ >y e Y] ơ>0

Cho ư > 0 bất kỳ Nếu I(Š ) < f(xo ) thì ta chọn e = min { f(x») — 1(8 ), hồn c ô } Khi đó theo chứng minh trên tồn tại y Y sao cho :

|

(f(Xo) - €) A = < y(Xo) < f(xo) +e

hay suyra 1(8) < y( Xo) <f(xo) +8 (v6 ly !)

Điều mâu thuẫn này chứng tổ với mọi ỗ >0 ta luôn có I(ỗ) < y(xạ) < f(xo) + ồ Cuối cùng nếu e là một số dương bất kỳ thì ta chọn ô < £ Lúc đó ta có l(Š) < y(Xo) < Í(Xu) + ẹ Vậy (xa) = inf sup {y(xo) : f+6>y € Y} 5>0 * (1.2.b) => (1.2.a) Giả sử f(x) = inf sup {y(x) :f+8>yeY), xeX 5>0 Liy x;}.x2 eX va e>0 Vi f(x.) = inf { (5): 8>0 } néntén tai §>0 5>0

sao cho f(x.) < 1 (8 ) < f(x.) + © Diéu nay chifng t6 ton tai y € Y sao

Trang 21

Chú ý:

Nếu trong định lý Hull ta có f(x)< + V x eX thì điều kiện (1.2.a) có thể thay bởi điều kiện

(1.2.4) Vx¿.,xseX Ve>0 3dyecY:

y(x¡)< Í(Xj))+£ ;¡ y(Xạ) > Í(x›) -Ẹ 1.3 Các hệ quả :

a) H@ qual:

Nếu Y là một tập con của C(X) thỏa mãn các điều kiện sau : (ạl)Y tách các điểm của X

a:.2)38.Y¥=R+Y=7

(ạ3) mult Y ché F(X) \const Y

Khi đó với mỗi f e LSC(X) ta có f(x) = sup {| y(x):f>y eY },xeX Chứng mình :

* Trường hợp Í(x) < + œ V x e X Ta sẽ chứng mình họ Y thỏa man các điểu kiện của định lý Hull Lấy xạ, x: e X bất kỳ và e >0 Nếu x¿ = x2 thi ta dat y = yo — yo(x;) + f(x)) , trong đó yạ là một phần tử bất kỳ cella Y Néu x; + x2, do Y tach các điểm của X nên tổn tại yạẹ e Y sao cho y(x¡) # y(x) ; ta đặt y a, [ (¥o - Ye(X3)).f(Xị) + (Yø(Xị) —

y(x,)~ y(,)

Yo ) Í(Xx;) ] Lúc đó do (ạ2 ) ta luôn có y e Y và y(x, ) =f (X,) ¡ = 1,2

„nghĩa là tổn tại y e Y sao cho y(Xị) < f(x¡) + £ và y(X2) 2 f(x2)-e Do đó áp dụng định lý Hull ta suy ra

f(x) = inf sup { y(x):f+5>yeY},xexX

ô>0

Nhưng vì R Y = R + Y = Y nên rõ ràng ta có :

f(x) = sup { y(x):f>y eY}

* Trường hợp tổng quất, ta có f(x) = sup { f(x) An: n EN } = sup

sup n

EN

(y(x):fAn>ye Y} <sup | y(x):f>y e Y|< f(x)

Vậy f(x) = sup {[y(x):f>yeY|}|VxeX b) Hệ quả 2 :

Nếu Y là một tập con của C(X) thỏa các điều kiện sau đây :

Trang 22

(b.l) Y tách các điểm của X (b2)R Y=R+Y =Ỵ (b.3) Y A D(X) c mult Ỵ Khi đó với mỗi f ¢ LSC(X) , f(x) = sup { y(x): f 2>y € Y} Vx eX Chitng minh : Vi R.Y=R+Y=Y nên ta dễ dang suy ra { 0.1 } C Y A D(X) c mutt Ỵ Ấp dụng bổ để H;2,3 ta có Y © D(X) ché F(X) \ const (Y ¬ D(X))

Mặt khác const (Y 3 D(X) ) = const Ỵ Thật vậy hiển nhiên const Y c

const (YO D(X) ) nén ta chi cần chứng mình const (Y 7 D(X) ) c const

Ỵ Lấy Eeconst( Y ¬ D(X)) thì với moi y e Y tổn tại các số tự nhiờn

Y=" â Ơ (do (6.2) va Os BO ci uxex Suy m, n sao cho a>" Y ™ D(X) nên nó là hàm hằng trên F: từ đó ta suy n ra FeconstY Vay constY = const ( Y D(X)) Từ đó ta suy ra mult Y che F(X) \constY Ap dung hé qua | tacé: f(x) = sup {y(x):f>ye<Y }VxeX c) H? qua 3:

Nếu X là một không gian compac Haussdorf và f: -> R‹ là hàm nửa liên tục dưới trên X thì f(x) = sup { y(x): f>y e Y }VxeX Chứng mini : Vì X là không gian compac Haussdorf nên C(X) tách các điểm của X Ngoài ra ta cũng có R C(X) = R + C(X) = C(X) và C(ŒX) ¬ D(X) = D(X)emult Ỵ Do đó áp dụng hệ quả 2 ở trên ta suy ra điểu phải chứng minh 111.2 SU LONG NHAU CUA CAC HAM 2.1 Định lý IHH:2 :

Cho Y là một tập con của C(X) thỏa các điểu kiện sau :

(a) VY;.y›s€ Y suyra y,; vyre Ỵ (b) MultY chẻ F(X)\const Y

Khi đó nếu g e USC(X) : feLSC(X) và f > g thì hai mệnh để sau đây tương đương :

Trang 23

(1) VXx:.X:ceX 3y€Y:y(X;)>g(xị) và y(X2) < f(x)

(i) JyeY:f>y>g, nghia là f(x) >y(x) >g(x)VxeœX

Chưững mini :

© (i )=> (ii) Lấy xe e X bất kỳ Đật Ý = | y e Y : y(Xo) > g(Xø)]} - Chứng minh tương tự như phan chứng mỉnh của định lý Hull ta suy ra tổn tại y eÝ sao cho y < f; nghĩa là 3 y e Y : y(xo) > g(x) Va y < fF Do đó nết ta đật Y¿= {[ye Y:y<f] thì với mỗi xe X3yeceÝY;: y(x

)> g(X)

Bây gid ta dat a :Xx.Y;->R‹

(x,y) l—> ăx,y) = g(X) - y(X)

Khi đó với mỗi y e Y¿, hàm x l—> ăXx,y) = g(x) - y(x) nửa liên tục trên trên X Mặt khác ta có X e filtặ, Y,), bởi vì Vy; , y› 6 Y¿ tổn tại y=yiVYa € Y, và g(X) - Y(X) = g(X) - (yi(X)VY3(X)) S (B(x) -

Y¡(X)) A ( 8(X) - yăX)) hay ăX,Yy) < ăX.,Vị) A ăx, y2) V x € X Do do

áp dụng bổ dé H;1,2 ta suy ra

inf max [g(x)- y(x) ] = max inf [ g(x) - y(x) ]

y eY;, xe X xeX ye Y;

Thế mà do (¡ ) nên vế phải âm Vậy tổn tại y e Y sao cho f > y >g

®(ii ) = (¡) : hiển nhiên

2.2 Các hệ quả : a) Hệ quả l :

Giả sử Y là một tập con của C(X) thỏa các điều kiện sau :

(ạl) V Y\¡, Vạ 6 Y suy ra Yị vyạe Ỵ (ạ2) mullt Y chẻ F(X) \const Y

(ạ3) Y tách các điểm của X

(a4) R+Y=R.Y=Ỵ

Khi đó nếu g e USC(X) ;f eLSC(X) và f>gthì 3yeY sao cho f>y>g

Chitng minh :

Ap dung dinh ly II] ; 2 ta chi can chitng minh V x, , x2 € X 3y € Y sao

cho y(x; ) > g(x) va y(X> ) < f(x.) Lay x; x» © X ,ta chọn các số thực œ¡ , œa sao cho Í(x; ) > oj > g(x;) (i= 1,2) trongdé néu x, =x,

thi ta chon @, = a Bay gid trong trudng hdp x; = x2 ta dat y = yụ -

Yu(X¡) + œ;, với y¿ là một phần tử bất kỳ ctla Y ; trong truGng hap x, = xạ do (ạ3) tổntaiyoeY: y(x;) # yOu), và vì thế ta có thể đặt y

Trang 24

| ˆ v.(x)=y,\&:) luôn có y œ Y và ngoài ra y(x,)=œ, ,i¡= l,2 Vậy Vxị,xạceX 3y€ Y: y(X¡) > g(x¡) và y(xạ) < Í(x;) (DPCM) - Í[(Yø- Yu(X3) Œi + ( Vo(XI) - Yo ) Œ+ ]} Do (ạ4) ta bì Hệ quả 2 : ( Định lý Hahn)

Giả sử X là một không gian compac Haussdorf Khi đó nếu g e

USC(X) feLSC(X) và f>g thì tổn tại y e C(X):f>y>g

Chitng minh :

Ta áp dụng trực tiếp hệ quả 1 Các điểu kiện (ạ1 ) (ạ2) (ạ3) etla

hệ quả 1 là hiển nhiên với Y = C(X) Ta cần chỉ ra mult C(X) chẻ

F(X)\ const C(X) Vi { 0,1} c CCX) ¬ D(X) c mult C(X ) nên , theo bổ để II ; 2.3, ta suy ra D(X) chẻ F(X) \ const D(X) Điều này chứng tỏ

mult C(X) ché F(X) \ const C(X) , vi ta có D(X) c mult C(X) và const D(X) = const C(X)

HỊ3 XẤP XỈ ĐỀU

3.1 Định lý IIE; 3,1:

Nếu Y là một tập con của LSC(X) sao cho yị v yae Y Vyi,yae Y

thì với mỗi f USC(X) ¬R`, hai mệnh để sau đây tương đương : (1) Í(X)= mÍ sup | y(x):f+ð>yeY) xeXx >0 (ii) inf sup | y(x) — f(x) | =0 yeY xeX Chứng mình : o( i) => (ii) Gia st f(x) = inf sup { y(x) :f+6>y eY } >0 Lấy >0 đặt Ý={yeY:y<f+ồ] th Ỳ khác rỗng Bây giờ xét

hàm số a:X Ý > R‹ ,(X, y) l— ă x, y)= f(x) - y(x) Ta có : với mỗi y e Ỳ.hàm x l— ă X.y) = f(x) - y(x) nửa liên tục trên trên X ; Vị Vy¿y,ysycỲ yịv yye Ỳ nên tương tự định lý HH : 2 ta chứng

minh được X e filtặ , Ý) Do dé dp dụng bổ để II; 1, 2 ta suy ra

Trang 25

inf max [ Ế(x) - y(X) ]= max inf [f(x) - y(x)]

yeY xeX xeX yeÝ

Mặt khác , với mỗi x eX , ta có mf [f(x) - y(x) ] = f(x) — sup y(x) =

yveÝ yeY

f(x) — sup { y(x): f+8>y € Y) < Ọ Suy ra inf max [ f(x)- y(x)] < 0

yeỲxeX

Điều này chứng tỏ tổn tại y e Y sao cho f-&<y <f+£ Vậy ta có inf sup | y(x) — f(x) | =0

veY xeX

e(ii =(i¡)Giả sử — infsup Ìy(x)—f(x)| =0

yveY xeX

< | ¥(Xy)—-f(Xo) |< sup | y(x) - Í(x) l<e hay là Í(xụ) - 6< y(Xo) < f(x) +ẹ xeXx

Cho 6 > 0, néu I(ỗ) = sup { y(Xo) : f + ỗ > yeY]} < f(x») thì ta chọn e = mín { xạ) -I(ỗ), ð | ; khi đó theo chứng mình trên tổn tại y € Y thỏa

hệ thức l(ỗ) < y(xu) < Í(xo)+ ô (vô lý !) Vậy V ð > 0 ta luôn có f(xo) < l(ồ)

Bây giờ nếu r là một số thực dương bất kỳ , ta chọn ô < r thì f(x¿) < 1(8) < f(x» ) +r Diéu nay chitng td f(xo) = inf sup { y(xo): f+ð>yeY }

5>0

Hệ quả l : ( Định lý Kakutani — Stone — Bonsall )

Giả sử Y là một dàn con của C(ŒX), nghĩa là Y thỏa diéu kién V y, ,

ya€ Y suy ray, Aya€ Y và yịvy;e Ỵ Khi đó điểu kiện cẩn và đủ

để Y trù mật trong C(X) là nếu fe C(X) thì Vx;,xạeX VWe>od 3

y € Y saocho y(x;) Ss Ẩ(Xj) +£ và y(Xa) > Í(Xa) -E

Chứng thỉnh :

Ap dung định lý II ; 3,1 ta chỉ cần chứng minh điều kiện trong hệ quả

tương đương với điều kiện (¡ ) của định lý II ;3, 1 Bằng cách chứng

minh tương tự như chứng mính của định lý Hull ,trong đó ta lưu ý rằng vìy;^Ay›eY Vyi,y: c Y nên fẩiltY"° = F(X)\{Ø) Do đó mult Y"

luôn chẻ F(X)Milt Ỳ

E1 Hệ quả 2:( Định lý hội tụ Dini )

Cho f,,f f„ là một đãy tăng các hàm số thực liên tục trên không gian tôpô X và f là một hàm số thực liên tục trên X Nếu với

Trang 26

mỗi x thuộc X dãy số [f„(x)} hội tụ về f(x) thì day {f,} hội tụ đều về f trong C(X) Chứng mình : Đạt Y = [Í( f›, f, } Khi đó dễ thấy rằng Y là một dàn con của C(X) Mặt khác v xị, x: < X và v¿ +0 ta có thể giả sử f(x;)< f(xs) Vì {f.(x¿)} hội tụ về f(x,) và {f„(xa)} hội tụ về f(x;) nên tổn tại các số tự nhiên nị, n: sao cho f,(x)) < f(x)) te Vwu>øn, vA fxs) > fx) cWn>n Từ đó suy ra tổn tại số tự nhiên nạ =max (n¡ n›} sao cho

f(xy) < Í(xI) # £ và fq(X¿) > Í(Xxạ) - & Van, Vay ap dung hé qua | ta

suy ra inf{||f,-/ |: n eN} = 0, Ngoai ra day [f,-f] là dãy giảm Do đó đãy {f,} héitu déu vé f

3.2 Định lý LH:3,2 :

Cho Y là một tập con không rỗng của C(X) Khi đó với mỗi f e C(X) tổn tại K e const Y ” sao cho:

inf lf-» | = inf max | f(x) - v(x) |

ye Y yeY xeK

Đạt biệt nếu Y ” tách các điểm của X thì tổn tại x° e X thỏa

YyeY,y la ham liên tục trên X

Do đó áp dụng định lý H;2,3 ta suy ra tổn tai K € const Y Ÿ sao cho

Trang 27

Bây giờ nếu Y ” tách các điểm của X thì K chỉ có một phần tử Do đó

từ hẻ thức trên ta suy ra tổn tại x° eX:

inf |/ - y | =inf | y(x®) - f(x°)

yeY yveY

Các hệ quả : a) H¢ qual:

Néu Y la một tập con của C(X) thỏa các điều kiện sau : (ạl) Y là một đại số con của C(X)

(ạ2) Y D(X) tách các điểm của X

Khi đó Y trù mật trong C(X) khi và chỉ khi ý x eX 3y eY:y(x)#0 Chứng minh :

e Điều kiện cần là hiển nhiên

e Điều kiên đủ : Lấy f thuộc C(X)

vì YỶ“5YnD(X) và Y m¬ D(X) tách các điểm của C(X) nên ta suy ra

b)Hệ quả 2 : ( Định lý Stone — Weierstrass )

Nếu Y là một tập con của C(X) thỏa các điều kiện sau : (b.I) Y là đại số con của C(X)

(b.2) Y tách các điểm của X

(b.3) Y chứa hàm l

Khi đó Y trù mật trong C(X)

Chitng minh :

Ap dung hệ quả I ta chỉ cần chứng minh Y ¬ D(X) tách các điểm của X Giả sử x:,x:eX ,do(b2),3yeY: y(x;) # y(Xxs) Vì Y là đại

Trang 28

số con của X và chứa hàm 1 nên ta suy ra ( y +{z | )/2.|v| Y

D(X) va ngoai ra ta 6 ( y(xXy) + [yf ) /2.|v{ # (C y(X‡) + ÍH| )/2.|ð{ Vậy

Y n D(X) tách các điểm của X

b) Hệ quả 3 :

Cho Y là một không gian vectơ con của C(X) và Z là một tập con khác rỗng của C(X) thỏa điều kiện Z Y c Ỵ Khi đó với mỗi f C(ÄX) tổn tại K e const Z sao cho:

inf |/ - y| = inf max | f(x) - y(x) |

veY yeY xeK

Chứng mình :

Ấp dụng trực tiếp dinh ly [II ;3,2 ta can chifng minh const Y “ const

o:

ĐạtZ'=R.Z+RcC(X).Vì Z Y c Y nên ta suy ra Z' ¬D(X)cC Y * = mult Y ¬ D(X) Thật vậy nếu z` e Z' ¬ D(X) thì z'=ơœ.z+ trong đó œ e Rvàz eZ Khiđó Vyịy:aeY, z`.y¡ + (l-z`)

y› =(Œ.Z+).yị +(l-œ.Z-).y› =0 [Z (yị -= Y3)] # B ( Yì — Y2)

+yac€ Ỵ Từ đó đễ dàng suy ra z` e mult Y ¬ D(X) Do đó Z` A D(X)

c Y” Điều này chứng tỏ const Y ” c const (Z` 7 D(X) )=const Z

Chú ý :

Chúng ta có thể tiếp cận với định lý Stone - Weierstrass bằng con

đường khác thông qua việc chứng minh bổ đề Machado như là một hệ

quả của định lý minmax

Hệ quả 4 : (Bổ để Machado 1959 )

Cho X là một không gian tôpô compac ; Y là một đại số con của C(X) Khi đó với mỗi f e C(X) tổn tại K € const Y sao cho

inf |/ - y[ = inf max |f(x) ~ y(x) | (*)

yeY yeY xeK

Chứng mình :

Ap dụng định lý IH;3,2 tổn tại K e const Y” sao cho đẳng thức (*) thỏa mãn Ta cần chứng minh K e constỴ Giả sử K £ constY khi đó 3

ỳ œ Y mà ỳ không là hàm hằng trên K Không mất tính tổng quất ta

có thể giả sử {r| = Ị Nếu (ý)` không là hàm hằng trên K, ta chọn

Trang 29

y=(y}` thì 0<inf{ y(x): xe K }< sup (y(x):xeK]<1.Nếu

(ỳ) là hàm hằng trên K thì ta phải có ỳ(x) = l hoặc ỳ(x) = - l Vx cK: lúc đó ta chọn y= 3⁄4 (ỳ) + 3⁄4ý thì 0< inf [ y(x): xeK ]} < sup { y(x): x e K] <l Như vậy nếu K £ const Y thì 3y e Y” sao cho y không là hàm hằng trén X (v6 ly !) Vay K € const Y

Từ hệ quả 4 này ta cũng có thể suy ra định lý Stone — Weierstrass mot

cách đơn giản với lưu ý rằng nếu Y tách các điểm của X và K e const

Y thì K chỉ có một phần tử 3.3 Dinh lý HH:3,3 :

Giả sử Y là một tập con của D(X) thỏa điều kién {0.1} c Y c mult Y va fe D(X) thỏa điều kiện const Y c const { f } Khi đó tổn tại x° e X sao cho inf | — f= inf | y(x®) — f(x°) | yeY yeY Chitng minh : Ap dung bé dé II;2,3 ta suy ra Y ché F(X) \const Y Dat a:Xx.Y—R (x,y) >ăx,y) = | y(x) f(x) | Khi đó ta có :

s® Với mỗi y Y ,hàm x l—> ăx,y) nửa liên tục trên trên X

se Const Y c constặ, Y), bởi vì , nếu F e const Y thì V y e Y ta có

y là hàm hằng trên F ; đồng thời f cũng là hàm hằng trên F ( do const Y

C const { f } ; từ đó suy ra ặ, y)= |y - | là ham hang trén F Do

d6 F € const ặ Y)

sặ Y) là Y lỗi, bởi vì, Vy;,yạe Y VzeY thì tỔn tại y=z yụ

+(l-Z).yae Y và ăx,y)= Ìz(x) y¡() + (I-z(x)) yăx) - x) Ì <

z(x).Ìy(x) - f(x)| + (1-z()) Ìys(x) - f(x)Í=z(x) ăx.yj)+ (1-zŒ)

AăX.V3)

Bây giờ áp dụng bổ để H;1,2 ta suy ra

inf max | y(x) - f(x) | = max inf | y(X) - f(x) |

yeY xeX XeX yeY

Vậy tổn tại x? e X sao cho

inf |y- /| = inf | y(x®) — f(x®) |

yveY yeY

Trang 30

Cac hé qua : a) H¢ qua 1:

Giả sử Y là một tập con của D(X) sao cho {0,1} c Y c mult Y; flà

một phần tử bất kỳ của D(X) Khi đó điều kiện cần và đủ để f thuộc

bao đóng của Y là hai điều kiện sau đây thỏa mãn :

(ạl)y(x;)=y(x)WyeY => f(x) = f(x.) , với mỗi (Xị.X;) eXxX

(ạ2) V(x£)eXx(0,œ) 3yeY: | y(x) - f(x) |<ẹ Chứng minh :

e Điều kiện cần là hiển nhiền

e Điều kiện đủ :

Tir (ạ1) ta suy ra const Y c const {f} Ap dung dinh lý IH;3,3 ta suy ra

tổn tại x° e X sao cho

inf ||y— /| = inf | y(x°) — f(x®) Ì

yeY yeY

Mặt khác V e>0, do (ạ2) nên tổn tại y eY mà | y(x°) - f(x°) | <E,

Do đó ta suyra ¡inf{y- ƒ|=0 Vậy f eế

yeY

b) Hệ quả 2 : ( Prolla )

Trong hệ quả 1 , nếu diều kiện (ạ2) được thay bằng điều kiện (ạ2') Với mỗi x e X mà 0< f(x)< I 3y e Y sao cho 0< y(x) < L

Khi đó kết luận f thuộc bao đóng của Y vẫn đúng

Chứng mình :

Ta chỉ cần chứng minh (ạ2') kéo theo (ạ2) Do bổ để II;2,3 ta suy ra l-ye Yva y"eY VyeY,VneN.DatS={x eX: y(x) €{0,1}

VyeY} ị

e Nếu x e S thì do (ạ2') ta suy ra f(x) e {0.1) Do đó VWe>03yeY

: y(x) = f(x) hay | y(x) - f(x)| <ẹ

e Néu x ¢ S thi t6ntaiy € Y:0<y(x)<1.Liicnay Vm neN tacé

(km) e N.N) trù mật trong đoạn [0.1] Do đó Ve >0 3yec

Y: Ìy(x) -f(x)Ì < ẹ Vậy ta luôn có (ạ2') kéo theo (ạ2)

111.4, DINH LY VE GIAO CUA CAC TAP DONG

Trang 31

Cho 4 là một tập con không rỗng của F(X) \ (Ø) Định lý sau đây sẽ cho ta một diéu kiện để ¬ {[ H :h e 4 } khác rỗng

Ta sử dụng ký hiệu M( 5 ) để chỉ tập hợp {| McX:(Hị 9M) U(H2\ M)e1äVH, Hạc ä Khi đó dễ dàng chứng mình được M(S) là đại số các tập con của X

Định lý IHH;4 :

Giả sử rằng với mỗi tập đóng E của X E khác rỗng và có nhiều hơn

M(®) sao cho F¡ \F:CM;F:\F;,CX\M Khi đó ^¬|H:Hex)

khác rỗng Chứng mình :

Với mỗi M e M(5), ta ký hiệu lu : X ->R là ánh xạ từ X vào R sao

cho lw (x)= Ì V x eM ; và ký hiệu Z2 = | lx+:M eM(S) }

Dat a:X.x.3— (0,1)

(x,H) l— ăx,H) = l‹ (X)

Trong đó là (x)= Ì, nếu x e H và lu(x) =0, nếu x £H

Khi đó ta có :

e Với mỗi H e A%_ hàm x l-> ăx, H) nửa liên tục trên trên X

sặ, 1) là Zlổi , bởi vì, VH,, Hạ e %X V lv e Z tổn tại H =(H;

e Z chẻ F(X) \ filt ặ , 3) Thật vậy , lấy F e F(X) \ IŒX), với I(X) là họ các tập đóng trong X mà nó chỉ có một phần tử Từ giả thiết suy ra tổn tại hai tập đóng F¡, F; khác F mà F\ t2 F› = F và tổn tai M € M(3)

sao cho F\ \ F› c M và F; \F¡ cX\ÀM Ta chọn lweZ thi Im(x) =O <

với X € F; \F¿¡ và Iw (X) > l-e với x e F¡ \F¿ Điều này chứng tỏ Z ché F(X) \I(X) Mat khac I(X) c filt ặ , 3) Vay Z ché F(X) \ filt ặ ,

SJ)

Ap dung dinh ly IT;1 ta cé

mun max lx(x) = max min In(x) = | Hes xeX xeX Hed

Trang 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Dominique Azé , éléments d’analyse convexe et variationnelle

Ellipses , Paris ,1997

[2] Jurgen Kindler , Topological minimax theorems and approximation

Journal of mathematical analyse and application , 210 , 8-21 ,(1997) 8-20

[3] Hoàng Tụy, giải tích hiện dại 1,2,3

[4] R J Jewett , A avariation on the Stone —Weierstrass theorem, Proc, Amer Math Soc 14 (1963) ,690-693

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	2,08 MB