Phương trình phản ứng khuếch tán và bài toán ngược ứng dụng trong sinh học

SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Phương trình phản ứng khuếch tán tốn ngược sinh học Đơn vị thực hiện: Phịng thí nghiệm Mở Chủ nhiệm nhiệm vụ: TS Võ Hồng Hưng TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11/2020 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Phương trình phản ứng khuếch tán tốn ngược sinh học Viện trưởng: Đơn vị thực hiện: Phịng thí nghiệm Mở Chủ nhiệm nhiệm vụ: Tiến sĩ Võ Hoàng Hưng Nguyễn Kỳ Phùng Võ Hồng Hưng TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11/2020 Phương trình phản ứng khuếch tán toán ngược sinh học MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất III Chương trình giáo dục đào tạo 10 IV Hội nghị, hội thảo 11 V File liệu 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO CÁC PHỤ LỤC PHỤ LỤC : Liouville type result and long time behavior for Fisher-KPP equation with signchanging and decaying potentials PHỤ LỤC : Principal spectral theory of time-periodic nonlocal dispersal operators of Neumann type PHỤ LỤC : Recovering the historical distribution for nonlinear space-fractional diffusion equation with temporally dependent thermal conductivity in higher dimensional space PHỤ LỤC : Minh chứng đào tạo thạc sĩ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phương trình phản ứng khuếch tán tốn ngược sinh học MỞ ĐẦU Phương trình phản ứng khuếch tán có dạng ut u F ut J u F có nhiều ứng dụng sống Chẳng hạn, u biểu diễn cho trạng thái, nồng độ/mật độ chất, u biểu diễn cho dân số địa điểm xác định thời điểm Bởi tính ứng dụng mơ hình này, hướng nghiên cứu liên quan đến tốn thuận/ngược cho phương trình thu hút nhiều nhà khoa học ngồi nước quan tâm Tuy nhiên, tốn ngược liên quan đến phương trình phản ứng khuếch tán thường tốn khơng chỉnh Chính vậy, phương pháp số thơng thường (ví dụ phương pháp phần tử hữu hạn sai phân hữu hạn) thường không mang lại nghiệm xấp xỉ ổn định cho tốn Do đó, đề tài này, chúng tơi nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa cho tốn ngược liên quan đến phương trình phản ứng khuếch tán với tập trung vào phương trình phản ứng khuếch tán miền hình cầu hai lớp nghiên cứu số toán mở liên quan đến phương trình phản ứng khuếch tán hai dạng: khuếch tán địa phương không địa phương Lời cảm ơn đến ICST Nhóm nghiên cứu xin chân thành cảm ơn Viện Khoa học Công nghệ Tính Tốn Tp HCM, đặc biệt GS TS Nguyễn Kỳ Phùng, TS Đoàn Xuân Huy Minh, chị Trần Thị Cẩm Giang anh Nguyễn Văn Thắng hết lòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi sở vật chất, thủ tục hành để chúng tơi hồn thành đề tài cách tốt Bên cạnh đó, tài trợ tài Viện nhóm nghiên cứu ghi nhận với lòng biết ơn sâu sắc Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phương trình phản ứng khuếch tán tốn ngược sinh học ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Phịng thí nghiệm Mở, Viện Khoa học Cơng nghệ Tính Tốn Chủ nhiệm nhiệm vụ: Võ Hồng Hưng Thành viên nhiệm vụ: Trà Quốc Khanh, Trần Thị Khiếu, Trần Nhất Luận Cơ quan phối hợp: Trường Đại học Sài Gòn Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phương trình phản ứng khuếch tán toán ngược sinh học KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC Mặc dù ứng dụng Toán học lĩnh vực Sinh học biết đến từ lâu, vòng nhiều năm trở lại đây, hướng nghiên cứu lĩnh vực trở nên chuyên sâu trở thành hướng Tốn học đương đại Có nhiều mơ hình tốn học đề xuất để giải vấn đề thực tế xảy lĩnh vực khoa học tự nhiên, đặc biệt sinh học, sinh thái học, y học, di truyền học,… Đơn cử, nghiên cứu giúp hiểu rõ việc làm mà quần thể, ví dụ vi-rút loại gen, phản ứng tác động lực bên Dựa tảng phát triển hướng nghiên cứu này, dự án này, trước tiên, chúng tơi muốn nghiên cứu khía cạnh khác phát triển mơ hình đề xuất Berestycki et al [21] để nghiên cứu vận động quần thể tác động biến đổi khí hậu Mơ hình ban đầu xây dựng phương trình khuếch tán phản ứng với tốc độ cưỡng c với biểu diễn mật độ dân số số giả định tốc độ việc biến đổi khí hậu Một ví dụ điển hình hàm nghiên cứu [1] x  \ [0, L] − sm  f ( x, s ) =  s   sm ' 1 − K  x  [0, L],    với m, m ', , số cho trước Bên cạnh đó, mơ hình tương tự xem xét bối cảnh loài cạnh tranh với thực Potapov Lewis [25] Trong nghiên cứu này, tác giả nghiên cứu tồn (coexistence) hai lồi tác động biến đổi khí hậu Các mơ hình với số chiều cao với kiểu hàm tổng quát nghiên cứu sau [26, 27], điều kiện quan trọng sau đặt limsup  s f ( x, 0)  | x|→ (2) Điều kiện có nghĩa mơi trường hồn tồn khơng thuận lợi gần điểm vơ cùng, tức vùng thuận lợi có giá compact Một cách xác hơn, tồn m, R cho  s f ( x, 0)  −m  | x | R Ở đây, đại lượng  s f ( x, 0) hiểu tốc độ tăng trưởng bình quân đầu người ban đầu Trong [30], tác giả H-H Vo (Võ Hoàng Hưng) mở rộng kết Berestycki et al [21, 26, 27], điều kiện (2) khơng cịn dùng đến Một cách xác hơn, báo đó, tác giả xem xét tốn miền hình trụ vơ hạn, tức  =   với  miền bị chặn, tức tác giả nghiên cứu tốn Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phương trình phản ứng khuếch tán tốn ngược sinh học ut − u = f ( x1 − ct , y, u ) t  0, x  ,  t  0, x    u (t , x1 , y ) = Sự khác biệt hàm giả sử hàm dạng hỗn hợp bất lợi gần vơ Ở đây, ta liên tưởng miền nghiên cứu mơi trường có chứa vùng thuận lợi bất lợi, mở rộng nhiều cách đến vô cùng, cụ thể  s f ( x1 , y, 0)   s f ( x1 , y, 0)  với ( x1 , y )   x1 →  , phụ thuộc vào vị trí Ảnh hưởng cạnh tranh lẫn vùng đóng vai trị quan trọng việc mơ tả tính tồn lưu tuyệt chủng lồi tồn miền Một ví dụ mơi trường mơi trường lồi hệ sinh thái núi cao, môi trường sống chúng phức tạp, không đồng rời rạc biến đổi khí hậu tạo hiệu ứng khác mảng mơi trường chúng Về mặt tốn học, điều kiện tồn cục tính chất phổ đề xuất báo để mơ tả mơi trường khơng thuận lợi tồn cầu vơ cực Cụ thể đề tài này, đạt kết quan trọng, tổng hợp thành báo khoa học đăng tạp chí tốn học uy tín sau : Liouville type result and long time behavior for Fisher-KPP equation with sign-changing and decaying potentials J Differential Equations 268 (2020), no 10, 5629–5671 Trong báo đạt kết sau : - Đầu tiên, đưa điều kiện đơn giản theo lý thuyết phổ để chứng minh tồn tài nghiệm phương trình aij ( x)ij u + Kqi ( x)iu + f ( x, u( x)) = x  N , (S ) f s ( x, 0) đổi dấu tùy ý tiến không | x |→  Để làm điều đó, chúng tơi đề xuất loại giá trị riêng suy rộng có trọng dùng để đặt điều kiện cho f s ( x, 0) vơ Sau dùng điều kiện để chứng minh tồn nghiệm dương phương trình ( S ) - Thứ hai, { aij ( x) } ma trận đồng qi ( x) có giá compắc, chứng minh được tồn ngưỡng K * cho phương trình ( S ) có nghiệm không âm đồng K  K * - Cuối nghiên cứu tiệm cận theo thời gian dài phương trình tiến hóa tương ứng với phương trình nghiệm dừng ( S ) có dạng : Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phương trình phản ứng khuếch tán tốn ngược sinh học (| x | +1)− t u(t , x) = aij ( x)ij u + Kqi ( x)iu + f ( x, u( x)) x  N , ( ES ) với  [0, 2] Do ( ES ) khơng phải phương trình có dạng chuẩn nên trước tiên chúng tơi cần phải chứng minh tính đặt chỉnh phương trình ( ES ) Sau đó, thú vị chúng tơi chứng minh điều kiện đầu tiến đủ mạnh nghiệm phương trình ( ES ) tiến nghiệm phương trình ( S ) khơng gian Lp ( N ) có trọng với p  [1, ] , điều trường hợp đặc biệt thú vị điều kiện đầu có giá compắc Principal spectral theory of time-periodic nonlocal dispersal operators of Neumann type (accepted for publication on Mathematische Nachrichten) Trong thập kỷ qua, phương trình phản ứng-khuếch tán với phân tán không địa phương trở thành chủ đề nghiên cứu chun sâu khơng thách thức mặt tốn học mà cịn sử dụng để mơ tả nhiều tượng xác giới thực Trong nhiều hệ thống sinh học, sinh vật di chuyển khoảng cách xác suất chuyển tiếp từ vị trí sang vị trí khác thường phụ thuộc vào khoảng cách mà sinh vật di chuyển Trong báo này, quan tâm nghiên cứu vài giới hạn giá trị riêng tốn tử khơng địa phương loại Neumann liên quan đến tham số tuần hồn theo thời gian, có ý nghĩa động lực học quần thể sinh vật Chúng tơi tồn tranh giới hạn giá trị riêng dựa tốc độ phân tán lớn hay nhỏ phạm vi phân tán phân loại theo "Chiến lược ổn định sinh thái" tính bền bỉ Bài tốn phản ứng-khuếch tán không địa phương kiểu Neumann thu hút nhiều nhà khoa học lớn nghiên cứu P Bates, A Friedman, W Shen, C Cortazar, J Coville, … nghiên cứu trước chủ nhiệm đề tài đạt số kết quan trọng định việc hiểu sâu trị riêng, nguyên lý cực đại tốn tử khơng địa phương loại Neumann liên quan đến tham số tuần hoàn theo thời gian Trong báo nghiên cứu lý thuyết trị riêng cho tốn tử có dạng khuếch tán khơng địa phương có dạng Neumann sau : L[u ](t , x) := −ut (t , x) + D  k  x − y  u (t , y ) − u (t , x) dy + a(t , x)u (t , x) (t , x)    ,   N  J   với k [0, 2) đạt ba mục tiêu : - Các giới hạn theo độ phân tán trị riêng 1 ( − L ) D → D →  tham số tuần hoàn theo thời gian - Các giới hạn theo miền phân tán trị riêng 1 (− L)  →  →  với tham số tuần hoàn theo thời gian Nguyên lý cực đại cho tốn tử có dạng khuếch tán khơng địa phương loại Neumann với tham số tuần hoàn theo thời gian Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phương trình phản ứng khuếch tán toán ngược sinh học Những kết tản lý thuyết quan trọng để nghiên cứu sâu tác động loại khuếch tán không địa phương động lực học loài sinh vật tác động điều kiện ngoại cảnh mơ hình tốn học hợp lý Recovering the historical distribution for nonlinear space-fractional diffusion equation with temporally dependent thermal conductivity in higher dimensional space J Comput Appl Math 345 (2019), 114–126 Trong báo chúng tơi nghiên cứu chỉnh hóa cho tốn nhiệt ngược thời gian N với dạng khuếch tán bậc phân theo khơng gian có dạng ut ( x, t ) + q(t )(−) u( x, t ) = f ( x, t , u( x, t )) ( x, t )  d [0, T ] (KC) Phép tính đạo hàm bậc phân đời vào cuối kỷ XVII, sau phát triển phép tính cổ điển Trong thời gian dài, phép tính phân số coi lĩnh vực toán học túy khơng có ứng dụng thực tế Tuy nhiên, có thập kỷ gần đây, người ta nhận thấy đạo hàm bậc phân cơng cụ hữu ích để tạo mơ hình đầy đủ so với phép tính thứ tự số ngun Phương trình khuếch tán bậc phân theo khơng gian suy cách thay Laplacian khuếch tán cổ điển phương trình với phiên bậc phân tổng quát mà dạng khuếch tán cổ điển dạng đặc biệt Người ta biết rõ phương trình khuếch tán bậc phân theo khơng gian mơ hình hóa khuếch tán dị thường bước nhảy dài hạt (phân tử nguyên tử) Ví dụ, lý thuyết độ co giãn độ dẻo (cơ học), mơ hình polyme protein (hóa sinh), việc truyền siêu âm sóng (kỹ thuật điện), mơ hình hóa mơ người tải trọng học (y học) Với định nghĩa tích phân, đạo hàm bậc khơng ngun cho phép mơ tả trí nhớ đặc tính di truyền vật chất khác Rất nhiều ứng dụng tìm thấy gần liên quan đến tượng tự nhiên mô tả đạo hàm bậc không nguyên làm cho việc nghiên cứu mơ hình tốn học với đạo hàm bậc khơng ngun có ý nghĩa quan trọng Nghiệm phương trình nhiệt ngược thời gian hầu hết khơng chỉnh, để giải vấn đề này, tác giả đưa phương pháp chỉnh hóa dựa phương pháp chỉnh hóa Tikhonov bậc phân Điểm thú vị toán này hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời gian để mô tả khuếch tán trình dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian Trong nghiên cứu này, đạt kết chỉnh hóa nghiệm tốn (KC) ước lượng sai số nghiêm chỉnh hóa nghiệm xác có dạng Hưlder phương pháp biến đổi Fourier Bên cạnh chúng dùng định lý điểm bất động bất đẳng thức Gronwall để chứng minh tồn nghiệm đồng thời đưa ví dụ số minh họa phương pháp sai phân hữu hạn Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phương trình phản ứng khuếch tán tốn ngược sinh học II CÁC TÀI LIỆU KHOA HỌC ĐÃ XUẤT BẢN Liouville type result and long time behavior for Fisher-KPP equation with sign-changing and decaying potentials J Differential Equations 268 (2020), no 10, 5629–5671 Principal spectral theory of time-periodic nonlocal dispersal operators of Neumann type (accepted for publication on Mathematische Nachrichten) Recovering the historical distribution for nonlinear space-fractional diffusion equation with temporally dependent thermal conductivity in higher dimensional space J Comput Appl Math 345 (2019), 114–126 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page mn header will be provided by the publisher 3.1 Effects of the dispersal rate In this subsection, we investigate the effects of the dispersal rate on the principal spectrum point and prove Theorem A To highlight the dependence on D, we write L as LD We prove two lemmas before proving Theorem A The first lemma gives some results on λ1 (−LD ) for small and large D Lemma 3.1 Assume (H1)-(H3) There hold − max a ≤ λ1 (−LD ) ≤ − a, ∀D > R×Ω R×Ω For each <   1, there exists D ∈ (0, 1) such that − max aT −  ≤ λ1 (−LD ) ≤ − aT + , Ω ∀D ∈ (0, D ) Ω P r o o f By Proposition 2.4 and an approximating argument (as explained in Remark 2.5), we may assume, without loss of generality, that λ1 (−LD ) is the principal eigenvalue of −LD Then, λ1 (−LD ) = λp (−LD ) = λ0p (−LD ) due to Theorem 2.7 (1) Let λ = − maxR×Ω a and φ ≡ It is easy to check that (LD + λ)[φ] = a + λ ≤ 0, namely, (λ, φ) is a test pair for λp (−LD ), and hence, λ1 (−LD ) = λp (−LD ) ≥ − maxR×Ω a Similarly, it is easy to check that (λ0 , φ0 ) = (− minR×Ω a, 1) is a test pair for λ0p (−LD ), namely, (LD + λ )[φ0 ] ≥ It follows that λ1 (−LD ) = λp (−LD ) ≤ − minR×Ω a (2) It is easy to check that for each x ∈ Ω, the function t 7→ φ(t, x) := e Rt [a(s,x)−aT (x)]ds , t∈R is a positive T -periodic solution of φt = a(t, x)φ − aT (x)φ In particular, φ ∈ X ++ For <   1, set λmax = − max aT −   Ω and λmin = − aT +   Ω Using the fact min[0,T ]×Ω φ > 0, it is straightforward to check that for each <   1, there exists < D  such that for each D ∈ (0, D ), there hold (LD + λmax )[φ] ≤ and (LD + λmin   )[φ] ≥ This together with the definitions of λp (−LD ) and λp (−LD ) and Theorem 2.7 ensure that for each <   1, there holds for all D ∈ (0, D ) This completes the proof λmax ≤ λ1 (−LD ) ≤ λmin   In the second lemma, we prove a Poincar´e-type inequality of the operator M : L2 (Ω) → L2 (Ω) defined by Z M[f ](x) = − J(x − y)[f (y) − f (x)]dy, x ∈ Ω, Ω where J is as in (H2) Lemma 3.2 Let J be as in (H2) and it is symmetric with respect to each component There holds Z Z Z M[f ](x)f (x)dx = J(x − y) [f (y) − f (x)] dydx, Ω Ω Ω and there exists C > such that Z Z M[f ](x)f (x)dx ≥ C Ω for all f ∈ L2 (Ω) with R Ω f (x)2 dx Ω f (x)dx = Copyright line will be provided by the publisher 10 Hoang-Hung Vo: Nonlocal dispersal operators of Neumann type P r o o f It is easy to check that M is bounded and symmetric, hence, self-adjoint Moreover, for any f ∈ L2 (Ω), we see from the symmetry of J that Z Z Z Z hM[f ], f iL2 (Ω) = − J(x − y)f (y)f (x)dydx + J(x − y)f (x)2 dydx Ω Ω Z Z ZΩ ZΩ J(x − y)f (x)2 dydx =− J(x − y)f (y)f (x)dydx + Ω Ω Ω Ω Z Z J(x − y)f (y)2 dydx + Ω Ω Z Z = J(x − y) [f (y) − f (x)] dydx ≥ Ω Ω This says that M is nonnegative Then, there exists a unique bounded self-adjoint operator K : L2 (Ω) → L2 (Ω) such that M = K2 Obviously, is an eigenvalue of M with constant functions on Ω being eigenfunctions Moreover, it is known (see e.g [30]) that is an isolated algebraically simple eigenvalue of M R Thus, there holds the decomposition L2 (Ω) = E1 ⊕ E2 , where E1 = span{f ≡ 1} and E2 = {f ∈ L2 (Ω) : Ω f dx = 0} Moreover,R M is invertible onRE2 , which leads to the invertibility of K on E2 As a result, there is C > such that Ω (K[f ])2 dx ≥ C Ω f dx for all f ∈ E2 Since hM[f ], f iL2 = kK[f ]kL2 (Ω) , the lemma follows Now, we prove Theorem A Proof of Theorem A By Proposition 2.4 and an approximating argument, we may assume, without loss of generality, that λ1 (−LD ) is the principal eigenvalue of −LD Moreover, we may assume, without loss of generality, that σ = Write λD for λ1 (−LD ) for simplicity Let φD ∈ X ++ satisfy the normalization kφD kL2 ([0,T ]×Ω) = and the eigen-equation LD [φD ](t, x) + λD φD (t, x) = 0, (t, x) ∈ R × Ω (3.1) (1) Dividing (3.1) by φD and integrating the resulting equation over [0, T ] × Ω, we use the periodicity of φD to find   Z TZ Z TZ Z φD (t, y) − dydxdt + a(t, x)dxdt + T |Ω|λD = (3.2) D J(x − y) φD (t, x) Ω Ω Ω The symmetry of J ensures     Z Z Z Z φD (t, y) φD (t, x) J (x − y) − dydx = J(x − y) − dydx, φD (t, x) φD (t, y) Ω Ω Ω Ω ∀t ∈ [0, T ], which together with (3.2) yields s "s #2 Z Z Z Z TZ D T φD (t, y) φD (t, x) J(x − y) − dydxdt + a(t, x)dxdt + T |Ω|λD = Ω Ω φD (t, x) φD (t, y) Ω It follows that λD ≤− T |Ω| Z T Z a(t, x)dxdt Ω (2) By Theorem 1.2 and Lemma 3.1 (2), for each <   there exists D ∈ (0, 1) such that  Z  − max aT (x) −  ≤ λD ≤ D J (x − y) dy − aT (x) , ∀D ∈ (0, D ) x∈Ω x∈Ω Ω Letting D → 0+ , we find − max aT (x) −  ≤ lim inf λD ≤ lim sup λD ≤ − max aT (x), + x∈Ω D→0 D→0+ ∀0 <   x∈Ω Copyright line will be provided by the publisher mn header will be provided by the publisher 11 The result follows (3) Multiplying (3.1) by φD and integrating the resulting equation over [0, T ] × Ω, we find from the periodicity of φD and the normalization that T Z Z Z  Z T Z a(t, x)φ2D (t, x)dxdt+λD = J (x − y) [φD (t, y) − φD (t, x)] dy φD (t, x)dxdt+ D Ω Ω Ω (3.3) Calculations as in the proof of Lemma 3.2 using the symmetry of J give  Z T Z Z J (x − y) [φD (t, y) − φD (t, x)] dydx dt Ω Ω Z T Z Z  J(x − y) [φD (t, y) − φD (t, x)] dy φD (t, x)dxdt = −2 Ω Ω It then follows from (3.3) that  Z Z Z Z TZ D T − J(x − y) [φD (t, y) − φD (t, x)] dy dxdt+ a(t, x)φ2D (t, x)dxdt+λD = Ω Ω Ω Since a(t, x) is bounded and {λD }D1 is bounded by Lemma 3.1 (1), there exists C > such that  Z Z Z D T J(x − y) [φD (t, y) − φD (t, x)] dy dxdt ≥ −C (3.4) − Ω Ω R φ (t, x)dx for t ∈ R and set ψD = φD − φD Applying Lemma 3.2, we find from Define φD (t) = |Ω| Ω D (3.4) that  Z Z Z Z TZ T J(x − y) [ψD (t, y) − ψD (t, x)] dydx dt M[ψD (t, ·)](x)ψD (t, x)dxdt = Ω Ω Ω  Z Z Z C T J(x − y) [φD (t, y) − φD (t, x)] dydx dt ≤ = D Ω Ω R Since Ω ψD (t, x)dx = for all t ∈ [0, T ], we can apply Lemma 3.2 to find Z Z ψD (t, x)dx ≤ C1 M[ψD (t, ·)](x)ψD (t, x)dx, ∀t ∈ [0, T ] Ω Ω for some C1 > Hence, Z T Z ψD (t, x)dxdt ≤ Ω C1 C D (3.5) Integrating (3.1) over Ω and dividing the resulting equation by |Ω|, we find  Z  Z ∂t φD = D J(x − y) [φD (t, y) − φD (t, x)] dy + a(t, x)φD (t, x) + λD φD (t, x) dx |Ω| Ω Ω Z = λD φ D + a(t, x)φD (t, x)dx |Ω| Ω R Setting a(t) = |Ω| a(t, x)dx, we find Ω ∂t φD − [a(t) + λD ] φD = |Ω| Z  a(t, x) φD (t, x) − φD (t) dx = |Ω| Ω  Z a(t, x)ψD (t, x)dx Ω Copyright line will be provided by the publisher 12 Hoang-Hung Vo: Nonlocal dispersal operators of Neumann type It follows from the variation of constants formula that Z Z t R Rt t [a(s)+λD ]ds [a(s)+λD ]ds τ + e a(τ, x)ψD (τ, x)dxdτ, φD (t) = φD (0)e |Ω| Ω t ≥ Since a(t, x) and {λD }D1 are bounded, we deduce from (3.5) and Hăolders inequality that   Rt D (t) = φD (0)e [a(s)+λD ]ds + O √ , ∀t ∈ [0, T ] (3.6) D RT for all D  Since φD (T ) = φD (0), there must hold either φD (0) → or [c(t) + λD ] dt → as D → ∞ If φD (0) → as D → ∞, then (3.6) implies that φD (t) → as D → ∞ uniformly in t ∈ [0, T ] This together with (3.5) yields that φD = ψD +φD converges in L2 ([0, T ]×Ω) to as D → ∞ However, kφD kL2 ([0,T ]×Ω) = RT for all D  1, which leads to a contradiction Hence, there must hold [a(t) + λD ] dt → as D → ∞, that is, Z Z TZ T a(t, x)dxdt lim λD = − a(t)dt = − D→∞ T T |Ω| Ω This completes the proof 3.2 Effects of the dispersal range We study the effects of the dispersal range characterized by σ on the principal spectrum point To highlight the dependence on σ > and k ≥ 0, we write Lσ,k for L We prove Theorem B Proof of Theorem B By Proposition 2.4 and an approximating argument, we may assume, without loss of generality, that λ1 (−Lσ,k ) is the principal eigenvalue of −Lσ,k (1) By Theorem 1.2 (2), we find     Z x−y D λ1 (−Lσ,k ) < k J dy − a (x) , T σ σN x∈Ω σ Ω which implies lim sup λ1 (−Lσ,k ) ≤ − max aT σ→∞ Ω It remains to show that lim inf λ1 (−Lσ,k ) ≥ − max aT σ→∞ (3.7) Ω To so, let us fix some constant φ0 > It is easy to check that for each x ∈ Ω, the function t 7→ φ(t, x) := e Rt [a(s,x)−aT (x)]ds φ0 , t∈R (3.8) is a positive T -periodic solution of the ODE vt = a(t, x)v − aT (x)v Clearly, φ ∈ XΩ++ and we may choose φ0 such that supR×Ω φ = For any δ > 0, we see that for each (t, x) ∈ R × Ω,   Lσ,k − max aT − δ [φ](t, x) Ω Z      D x − y φ(t, y) − φ(t, x) = −φt (t, x) + k J dy + a(t, x) − max aT − δ φ(t, x) (3.9) σ σ σN Ω Ω Z    D x − y φ(t, y) − φ(t, x) ≤ k J dy − δφ(t, x) σ σ σN Ω R
φ(t,y)−φ(t,·) As minR×Ω φ > and σDk Ω J ·−y dy → as σ → ∞, there is σδ > such that σ σN ∞   Lσ,k − max aT − δ [φ] ≤ 0, ∀σ ≥ σδ , Ω Copyright line will be provided by the publisher mn header will be provided by the publisher 13 which implies that λ1 (−Lσ,k ) = λp (−Lσ,k ) ≥ − max aT − δ, ∀σ ≥ σδ Ω The arbitrariness of δ > then yields (3.7) Hence, the limit limσ→∞ λ1 (−Lσ,k ) = − maxΩ aT follows (2) For k ∈ [0, 1) and x 7→ a(t, x) is Lipschitz continuous, we first prove the inequality lim inf λ1 (−Lσ,k ) = lim inf λp (−Lσ,k ) ≥ − max aT σ→0+ σ→0+ Ω Rt Let φ(t, x) := e [a(s,x)−aT (x)]ds Clearly, x → φ(t, x) is Lipschitz continuous uniform in t ∈ R, that is, there is M > such that (3.10) sup φ(t, x) − φ(t, y) ≤ M |x − y|, ∀x, y ∈ Ω t∈R For any  > and (t, x) ∈ R × Ω, we have   Lσ,k − max aT −  [φ](t, x) Ω  Z   D ≤ k Jσ (x − y) φ(t, y) − φ(t, x) dy − φ(t, x) σ    ZΩ  D x−y  = k J φ(t, y) − φ(t, x) dy − φ(t, x) N σ σ Ω σ Z   D = k J(z) φ(t, x + σz) − φ(t, x) dz − φ(t, x) σ Ω−x σ By (3.10), there holds φ(t, x + σz) − φ(t, x) ≤ σM |z|, ∀x ∈ Ω, z∈ Ω−x σ (3.11) Hence,   Z Lσ,k − max aT −  [φ](t, x) ≤ DM σ 1−k Ω < 0, J(z)|z|dz − φ(t, x) Ω−x σ (t, x) ∈ R × Ω for all < σ  The supremum characterization of λp (−Lσ,k ) yields λ1 (−Lσ,k ) ≥ − maxΩ aT −  Hence, lim inf λ1 (−Lσ,k ) = lim inf λp (−Lσ,k ) ≥ − max aT −  σ→0+ σ→0+ Ω The arbitrariness of  implies lim inf λ1 (−Lσ,k ) = lim inf λp (−Lσ,k ) ≥ − max aT σ→0+ σ→0+ (3.12) Ω Now let k = 0, we shall prove the reverse inequality lim sup λ1 (−Lσ ) ≤ − max aT , σ→0+ (3.13) Ω where Z Lσ [ψ] = −ψt (t, x) + D Jσ (x − y)(ψ(t, y) − ψ(t, x))dy + a(t, x)ψ(t, x) Ω For any  > 0, there exists an open ball of radius  B such that aT +  > maxΩ aT in B ∩ Ω Let φ be a function defined as (3.8) such that supR×Ω φ = and φe : R × RN → [0, ∞) be a T -periodic, continuous function satisfying φe = φ in R × B  , φe = in R × (RN \B2 ) and sup φe ≤ sup φ = R×RN R×RN Copyright line will be provided by the publisher 14 Hoang-Hung Vo: Nonlocal dispersal operators of Neumann type Obviously, φe (t, ·) ∈ C (RN ) for each t ∈ R In fact, we can assume, the approximation argument, φ is C , then φe (t, ·) ∈ C (RN ) by its definition We see Z h i Jσ (t, x) : = Jσ (x − y) φe (t, y) − φe (t, x) dy N ZR h i = J(z) φe (t, x + σz) − φe (t, x) dz, RN where the symmetry of J with respect to each its component is used By the fourth-order Taylor’s expansion with remainder, we find X X ∂ α φe (t, x) σ |α| z α + σ Rα (t, x)z α , φe (t, x + σz) − φe (t, x) = α! |α|=4 1≤|α|≤3 where α = (α1 , , αN ) is the usual multiple index, and Z (1 − s)3 ∂ α φe (t, x + sσz)ds Rα (t, x) = α! R Since J is symmetric with respect to each component, there hold RN J(z)z α dz = for |α| = or and R J(z)zi zj dz = for i 6= j Therefore, RN Z Z N X X ∂x2i φe (t, x) 2 Jσ (t, x) = σ J(z)zi dz + σ Rα (t, x) J(z)z α dz N N R R i=1 |α|=4 ep (a, −L e σ is defined by e σ , where L e σ ) be the principal eigenvalue of the operator −L Let λ O O O Z e σ [ψ] = −ψt (t, x) + D L Jσ (x − y)ψ(t, y)dy − Dψ + a(t, x)ψ(t, x) O O Note that it is an operator of Dirichlet type Take φ = φe = φ in RN × B  For (t, x) ∈ R × B  , one has   1/4 σ e [φ ](t, x) LB − max aT +  +  Ω   Z 1/4 =D Jσ (x − y)φ (t, y)dy − Dφ (t, x) + aT (x) − max aT +  +  φ (t, x) Ω B Z  ≥D Jσ (x − y)φe (t, y)dy − φe (t, x) + 1/4 φe (t, x) B "Z  # Z e e e =D Jσ (x − y)φ (t, y)dy − φ (t, x) − Jσ (x − y)φ (t, y)dy + 1/4 φe (t, x) RN B2 \B Z = DJσ (t, x) − D Jσ (x − y)φe (t, y)dy + 1/4 φe (t, x) B2 \B = Jσ1 (t, x) + Jσ2 (t, x) + Jσ3 (t, x) + Jσ4 (t, x) where Z N X ∂x2i φ˜ (t, x) = Dσ J(z)zi2 dz, N R i=1   Z D x−y e φ (t, y)dy, Jσ (t, x) = − N J σ σ B2 \B Jσ1 (t, x) Jσ3 (t, x) = 1/4 φe (t, x) and Z X Jσ4 (t, x) = Dσ Rα (t, x) |α|=4 J(z)z α dz RN Copyright line will be provided by the publisher mn header will be provided by the publisher 15 Since minR×Ω φ > 0, one has minR×B  φ(t, x) > uniformly in  Choosing  = σ , we find the following estimates hold √ sup |Jσ1 | ≤ C1 σ ; sup |Jσ2 | ≤ C2 σ N ; inf |Jσ3 | ≥ σC3 ; sup |Jσ4 | ≤ C4 σ R×B  R×B  R×B  R×B  Indeed, the first, the third and the fourth ones are simple consequences of the fact that φe = φ on B  For the second one, it follows from the boundedness of J, φe and the formula of an N-dimensional volume of a Euclidean ball of radius r π N/2 VN (r) = rN , Γ( N2 + 1) where Γ is the gamma function defined by Γ(N + 21 ) = (N − 12 )(N − 32 ) 12 π Since N ≥ 1, the term Jσ3 dominates all terms Jσ1 , Jσ2 , Jσ4 for σ small enough Hence, for < σ  1, there holds   √ e σB − max aT + σ + σ [φ ] ≥ in R × B σ2 L σ2 Ω By Theorem 2.1, we have ep (a, −L e0 (a, −L e σB ) = λ e σB ) ≤ − max aT + σ + λ p σ2 σ2 √ σ Ω ep (a, −L ep (a, −L e σ ) and thus eσ ) ≤ λ Proposition 6.1(2)[32] yields λ B Ω σ ep (a, −L e σΩ ) ≤ − max aT + σ + λ √ σ (3.14) Ω Let e aσ (t, x) = a(t, x) + D − D R Ω−x σ J(z)dz, obviously lim sup ke aσ (t, x) − a(t, x)k∞ = 0, (3.15) σ→0 t∈[0,T ] and we derive, by Proposition 6.1(3),[32] that ep (e ep (a, −L eσ ) − λ e σΩ )| ≤ sup ke |λ aσ , −L aσ (t, x) − a(t, x)k∞ , Ω (3.16) t∈[0,T ] ep (e e σ ), for σ small enough, is the principal eigenvalue of the operator where λ aσ , −L Ω Z e σΩ [ψ] = −ψt (t, x) + D L Jσ (x − y)(ψ(t, y) − ψ(t, x))dy + a(t, x)ψ(t, x) Ω Combining (3.14), (3.15), (3.16), we pass to the limit as σ → and get the desired inequality ep (e e σΩ ) ≤ − max aT , lim sup λ1 (−Lσ ) = lim sup λ a σ , −L σ→0+ σ→0 Ω which proves (3.13) Maximum principle In this section, we prove the maximum principles in Theorem C and Theorem D Proof of Theorem C Assume, without loss of generality, that σ = Let λ1 = λ1 (−L) for simplicity and φ ∈ X ++ be a principal eigenfunction of −L associated to λ1 (1) =⇒ (2) Note that L[φ] = −λ1 φ Since λ1 ≥ 0, (2) follows with ϕ = φ Copyright line will be provided by the publisher