Sự đồng bộ hóa của hệ thống các phương trình phản ứng khuếch tán Fitzhugh-nagumo có nghiệm dạng xoắn ốc

Trong bài viết này, sự đồng bộ hóa được nghiên cứu đối với hệ thống mạng đầy đủ. Mỗi phần tử trong hệ được mô phỏng bằng một hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng FitzHugh-Nagumo, đặc biệt mỗi hệ phương trình trong hệ thống đều có nghiệm dạng xoắn ốc.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) SỰ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ THỐNG CÁC PHƢƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG KHUẾCH TÁN FITZHUGH-NAGUMO CĨ NGHIỆM DẠNG XOẮN ỐC  Phan Văn Long Em(*) Tóm tắt Đồng hóa tượng phổ biến nhiều hệ thống tự nhiên khoa học phi tuyến Trong báo này, đồng hóa nghiên cứu hệ thống mạng đầy đủ Mỗi phần tử hệ mơ hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng FitzHugh-Nagumo, đặc biệt hệ phương trình hệ thống có nghiệm dạng xoắn ốc Kết cho thấy hệ thống mạng có số lượng phần tử nhiều đồng hóa dễ, hình dáng nghiệm xoắn ốc còn, nhiên khác lúc đầu Từ khóa: Độ mạnh liên kết, hệ thống đầy đủ, nghiệm xoắn ốc, mơ hình FitzHugh-Nagumo, đồng hóa Đặt vấn đề Mơ hình FitzHugh-Nagumo (FHN) biết mơ hình hai chiều đơn giản hóa từ hệ phương trình tiếng Hodgkin-Huxley [5], [6], [7], [8], [9], [10] Tuy mơ hình đơn giản hơn, có nhiều kết giải tích đáng ý giữ tính chất, ý nghĩa mặt sinh học Mơ hình tạo thành từ hai phương trình hai biến u v Biến biến nhanh, gọi biến hoạt náo, thể cho điện áp màng tế bào Biến thứ hai biến chậm, thể cho số đại lượng vật lí phụ thuộc thời gian độ dẫn điện dòng ion ngang qua màng tế bào Hệ hương trình FitzHugh-Nagumo biểu diễn hệ sau, sử dụng kí hiệu [1], [2]:  du  dt  f (u )  v (1) ,   dv  au  bv  c  dt đó, a, b c số ( a b số dương),   f (u )  u  3u Dựa mơ hình này, báo tập trung nghiên cứu hệ phương trình đạo hàm riêng sau:  du  dt   ut  f (u )  v  du u , (2)   dv  v  au  bv  c t  dt đó, u  u( x, t ), v  v( x, t ), ( x, t )   , du số dương, u toán tử Laplace u , (*) Trường Đại học An Giang 54   N tập mở bị chặn hệ thỏa mãn điều kiện Neumann biên ( N số nguyên dương) Hệ phương trình gồm hai phương trình đạo hàm riêng phi tuyến dạng parabolic, cho phép thể nhiều hình dạng phong phú tượng có liên quan đến điện áp màng tế bào mặt sinh lý học [1], [2] Chú ý phương trình cịn gọi phương trình dây cáp, mô tả lưu chuyển điện dọc theo thân tế bào [5], [7] Ở Hình 2, có hai hình ảnh tương ứng với hai nghiệm hệ hai thời gian t khác khơng gian chọn   0;100  0;100 Hình 2(a) mô tả nghiệm u ( x1 , x2 ,0) phương trình (2) thời điểm t  Hình 2(b) mơ tả nghiệm u( x1 , x2 ,190) thời điểm t  190 , nghiệm gọi nghiệm xoắn ốc hay sóng xoắn ốc Hình ảnh có dạng xoắn ốc thấy nhiều ứng dụng Các sóng xoắn ốc quan sát nghiên cứu điện tế bào não tim Ở trái tim, sóng điện có hình dạng chức tim có vấn đề, liên quan đến vấn đề loạn nhịp tim [9] Ngồi ra, kết tìm thấy tim loài thỏ, vỏ não chuột cống tim loài cừu Đối với hệ phương trình (2), với a  1, b  0, 001, c  0,   0,1, du  0,05, để tạo nghiệm có hình xoắn ốc miền  chia làm bốn phần có diện tích gần Trên miền nhỏ đó, chọn điều kiện ban đầu hàm (u( x,0), v( x,0)) , cho hàm lệch pha cách TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP đặn vịng trịn định mức hệ phương trình (1) Các điều kiện ban đầu chọn Hình bên dưới, phương pháp số sai phân hữu hạn, nghiệm dạng xoắn ốc tạo Hình (u( x,0), v( x,0))  (0, 1) (u( x,0), v( x,0))  (1,0) (u( x,0), v( x,0))  (1,0) (u( x,0), v( x,0))  (0,1) Hình Điều kiện ban đầu cho phép hệ phƣơng trình (2) có nghiệm dạng xoắn ốc Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) tế bào liên kết với mặt sinh lý học Sự trao đổi chúng chủ yếu dựa vào q trình điện hóa Bài báo trình bày đồng hóa hệ thống đầy đủ tế bào Trong đó, tế bào mơ tả hệ phương trình đạo hàm riêng dạng FHN Hệ phương trình (2) xem mơ hình tế bào, từ xây dựng mạng lưới tế bào gồm n hệ phương trình (2) liên kết với hệ sau:   uit  f (ui )  vi  du uu  h(ui , u j ) i, j  1, , n, i  j, (3)  i i  vit  aui  bvi  c Hình Nghiệm có dạng xoắn ốc (2) tƣơng ứng với điều kiện ban đầu đƣợc cho Hình (Hình (a) mơ tả nghiệm u( x1 , x2 ,0) phƣơng trình (2) thời điểm t  , Hình (b) mơ tả nghiệm u( x1 , x2 ,190) thời điểm t  190 ) Tương tự, chia miền  thành 16 (tương ứng 64) phần nghiệm hệ phương trình (2) có dạng (tương ứng 16) xoắn ốc minh họa Hình (tương ứng Hình 4) (ui , vi ), i  1,2, , n định nghĩa phương trình (2) Hàm số h hàm liên kết mơ tả hình thức liên kết tế bào i j Hình thức liên kết tế bào có hai dạng: hóa học điện học Bài nghiên cứu tập trung vào dạng liên kết theo kiểu điện học, hàm liên kết hàm tuyến tính cho cơng thức sau: n h(ui , u j )  g n  cij (ui  u j ), i  1,2, , n (4) j 1 Tham số g n mô tả độ mạnh liên kết Các hệ số cij phần tử ma trận liên kết Cn  (cij )nn thỏa: cij  i j có liên kết, Hình Nghiệm có dạng xoắn ốc (2) (Hình (a) mơ tả nghiệm u( x1 , x2 ,0) phƣơng trình (2) thời điểm t  , Hình (b) mơ tả nghiệm u( x1 , x2 ,190) thời điểm ( t  190 ) Hình Nghiệm có dạng 16 xoắn ốc (2) (Hình (a) mơ tả nghiệm u( x1 , x2 ,0) phƣơng trình (2) thời điểm t  , Hình (b) mơ tả nghiệm u( x1 , x2 ,190) thời điểm t  190 ) Trong não người có nhiều tế bào, chúng liên kết với tạo thành mạng lưới tế bào Một mạng lưới tế bào hệ thống cij  nếu i j liên kết, i, j  1,2, , n, i  j Như trình bày trên, sóng xoắn ốc tìm thấy nhiều nơi thực tiễn Đặc biệt, xuất chúng tim người dấu hiệu rối loạn nhịp tim Nếu tế bào hệ thống tim có sóng xoắn ốc thời điểm rõ ràng gây ảnh hưởng không nhỏ đến hoạt động tim Vì thế, việc nghiên cứu đồng hóa hệ thống tế bào cần thiết Sự đồng hóa hệ thống đầy đủ tế bào Sự đồng hóa tượng vô quan trọng tự nhiên khoa học phi tuyến, đặc biệt mạng lưới hệ phương trình dao động liên kết yếu với [3], [4] Nó có nghĩa có đặc tính thời điểm Do đó, mạng lưới gồm hai hệ phương trình đồng hóa có nghĩa hệ 55 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP phương trình chép đặc tính hệ phương trình kể từ thời điểm Khi đó, mạng lưới hệ phương trình gọi đồng Trong báo này, kết nghiên cứu thực hệ thống đầy đủ, nghĩa phần tử hệ thống liên kết với tất phần tử lại Ví dụ Hình hệ thống đầy đủ từ đến 10 phần tử liên kết với Nhắc lại rằng, phần tử hệ thống tế bào mô hệ phương trình phản ứng-khuếch tán dạng FHN cạnh đại diện cho liên kết tế bào mô hàm số liên kết Do nghiên cứu liên quan đến hệ thống đầy đủ tế bào liên kết theo kiểu điện học nên hệ (3) trở thành: n   uit  f (ui )  vi  dui ui  g n  (ui  u j )  j 1, j  i v  au  bv  c i i  it i  1,2, , n (5) hệ phương trình FHN Kết cho thấy đồng hóa hệ thống thực kể từ giá trị g3  0,025 Các hình (a), (b), (f), (g), (k), (l), (p), (q) mô tả độ sai lệch cặp nghiệm  u1 ( x1, x2 , t ), u2 ( x1, x2 , t )   u2 ( x1, x2 , t ), u3 ( x1, x2 , t )  , t  0;T  với ( x1 , x2 )  Ở hình (p) (q) với g3  0,025, kết cho thấy u1 ( x1 , x2 , t )  u2 ( x1 , x2 , t ) u2 ( x1 , x2 , t )  u3 ( x1 , x2 , t ) với ( x1 , x2 )  Các hình (c), (d), (e), (h), (i), (j), (m), (n), (o), (r), (s), (t) mô tả nghiệm xoắn ốc ui ( x1 , x2 ,190), i  1,2,3, hệ thống từ chưa có đồng hóa xảy chúng có hình dạng giống nhau, nghĩa đồng hóa thực Kết cho thấy có đồng hóa xảy hình dạng xoắn ốc thay đổi so với ban đầu, thấy xoắn ốc tồn Định nghĩa 1: Đặt Si  (ui , vi ), i  1,2, , n S  (S1 , S2 , , Sn ) hệ thống hệ phương trình Hệ S gọi đồng hóa n 1  lim  ui  ui 1 t  i 1 L2 (  )  vi  vi 1 L2 (  )   Hình Sự đồng hóa hệ thống đầy đủ tế bào liên kết theo kiểu điện học Sự đồng hóa xảy g3  0,025 Trƣớc có đồng hóa với g3  0,005, Hình (a) mơ tả độ sai lệch u2 u1 , với ( x1 , x2 ) ; Hình (b) mơ tả độ sai Hình Hệ thống đầy đủ từ đến 10 phần tử đƣợc liên kết với Mỗi phần tử hệ thống đƣợc mơ hệ phƣơng trình phản ứng-khuếch tán dạng FHN cạnh đại diện cho liên kết đƣợc mô hàm số liên kết Kết phƣơng pháp số Trong phần này, kết báo thực phương pháp số hệ (5), n  3, f (u)  u  3u, a  1, b  0,001, c  0,   0,1, dui  0,05, i  1,2,3 Phương pháp số thực hiên C++, 0;T     0;200  0;100  0;100 với Kết thể Hình 6, mơ tả tượng đồng nghiệm xoắn ốc 56 lệch u3 u2 ; Hình (c) thể nghiệm xoắn ốc u1 ( x1 , x2 ,190); tƣơng tự, Hình (d) (e) thể nghiệm xoắn ốc u2 ( x1 , x2 ,190) g3  0, 01 chúng đƣợc liên kết với nhau; kết đƣợc thực tƣơng tự g3  0,01 (Hình (f), (g), (h), (i), (j)), g3  0,023 (Hình(k), (l), (m), (n), (o)) g3  0,025 (Hình (p), (q), (r), (s), (t)) Đối với g3  0,025 tƣợng đồng hóa xảy Bằng phương pháp số, kết nghiên cứu cho phép tìm độ mạnh liên kết đủ nhỏ cần thiết để tượng đồng hóa xảy hệ thống mạng lưới tế bào Bằng cách làm tương tự trường hợp n  3, kết Bảng cho thấy thay đổi Taïp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THAÙP độ mạnh liên kết tương ứng với số lượng tế bào tăng dần từ đến 20 hệ thống đầy đủ Bảng Bảng giá trị độ mạnh liên kết đủ nhỏ cần thiết để tƣợng đồng hóa xảy hệ thống đầy đủ tế bào, tƣơng ứng với số lƣợng tế bào tăng dần từ đến 20 n 10 11 gn 0,025 0,015 0,012 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,0045 n 12 13 14 15 16 17 18 19 20 gn 0,004 0,0038 0,0035 0,0032 0,003 0,0028 0,0026 0,0024 0,0023 Dựa kết đạt được, thấy độ mạnh liên kết để đồng hóa thực hệ thống đầy đủ phụ thuộc vào số lượng tế bào hệ Thật vậy, Hình 7, điểm màu xanh giá trị độ mạnh liên kết tương ứng với số lượng tế bào có hệ đầy đủ, đường cong màu đỏ mô cho liên hệ cho công thức sau: 0,051 (6) gn   0,00041, n 1 đó, n số lượng tế bào có mặt hệ thống đầy đủ Như vậy, độ mạnh liên kết cần thiết cho đồng hóa hệ thống đầy đủ giảm dần số lượng tế bào có hệ tăng lên tuân theo quy luật cho cơng thức (6) Hình Biểu đồ độ mạnh liên kết tƣơng ứng với số lƣợng tế bào hệ thống đầy đủ Độ mạnh liên kết giảm dần số lƣợng tế bào tăng lên tuân 0, 051 theo quy luật g n   0, 00041 n 1 Kết luận Bài báo cho thấy kết đồng nghiệm dạng xoắn ốc hệ thống đầy đủ hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng FitzHugh-Nagumo Kết cho thấy nghiệm dạng xoắn ốc thay đổi hình dạng có đồng hóa xảy ra, nhiên chúng có dạng xoắn ốc khác với ban đầu Hơn nữa, số lượng tế bào hệ thống tăng dần độ mạnh liên kết cần thiết để xảy đồng hóa giảm dần Điều có nghĩa dễ làm cho hệ thống đầy đủ đồng số lượng phần tử hệ tăng lên Trong báo tiếp theo, tác giả nghiên cứu đồng hóa nghiệm xoắn ốc trường hợp hệ thống không đầy đủ với liên kết dạng hoá học./ Tài liệu tham khảo [1] Ambrosio, B., & Aziz-Alaoui, M A (2012), “Synchronization and control of coupled reaction-diffusion systems of the FitzHugh-Nagumo-type”, Computers and Mathematics with Applications, (64), pp 934-943 [2] Ambrosio, B., & Aziz-Alaoui, M A (March 2013), “Synchronization and control of a network of coupled reaction-diffusion systems of generalized FitzHugh-Nagumo type”, ESAIM: Proceedings, Vol 39, pp 15-24 [3] Aziz-Alaoui, M A (2006), “Synchronization of Chaos”, Encyclopedia of Mathematical Physics, Elsevier, Vol 5, pp 213-226 [4] Corson, N (2009), Dynamique d'un modèle neuronal, synchronisation et complexité, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Le Havre, Pháp [5] Ermentrout, G B., & Terman, D H (2009), Mathematical Foundations of Neurosciences, Springer [6] Hodgkin, A L., & Huxley, A F (1952), “A quantitative description of membrane current and ts application to conduction and excitation in nerve”, J Physiol., (117), pp 500-544 [7] Izhikevich, E M (2007), Dynamical Systems in Neuroscience, The MIT Press [8] Keener, J P., & Sneyd, J (2009), Mathematical Physiology, Springer 57 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP [9] Murray, J D (2010), Mathematical Biology, Springer [10] Nagumo, J., Arimoto, S., & Yoshizawa, S (1962), “An active pulse transmission line simulating nerve axon”, Proc IRE., (50), pp 2061-2070 SYNCHRONIZATION IN COMPLETE NETWORKS OF REACTION-DIFFUSION EQUATIONS OF FITZHUGH-NAGUMO WIHT SPIRAL SOLUTIONS Summary Synchronization is a ubiquitous feature in many natural systems and nonlinear science In this paper, synchronization is studied in complete networks Each element of the network is represented by a system of FitzHugh-Nagumo reaction-diffusion; especially every subsystem has a spiral-type solution The result shows that those networks of greater elements synchronize more easily, and their spiral solutions are maintained, but different in forms Keywords: Coupling strength, complete network, spiral solution, FitzHugh-Nagumo model, synchronization Ngày nhận bài: 24/8/2018; Ngày nhận lại: 28/02/2019; Ngày duyệt đăng:19/4/2019 58 ... kết đồng nghiệm dạng xoắn ốc hệ thống đầy đủ hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng FitzHugh-Nagumo Kết cho thấy nghiệm dạng xoắn ốc thay đổi hình dạng có đồng hóa xảy ra, nhiên chúng có dạng. .. bào hệ thống tim có sóng xoắn ốc thời điểm rõ ràng gây ảnh hưởng không nhỏ đến hoạt động tim Vì thế, việc nghiên cứu đồng hóa hệ thống tế bào cần thiết Sự đồng hóa hệ thống đầy đủ tế bào Sự đồng. .. phương trình đồng hóa có nghĩa hệ 55 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP phương trình chép đặc tính hệ phương trình kể từ thời điểm Khi đó, mạng lưới hệ phương trình gọi đồng