Điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình phản ứng khuếch tán dạng hindmarsh rose với liên kết tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG BÁO CÁO ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO SỰ ĐỒNG BỘ HÓA TRONG MẠNG LƯỚI ĐẦY ĐỦ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG – KHUẾCH TÁN DẠNG HINDMARSH – ROSE VỚI LIÊN KẾT TUYẾN TÍNH Chủ nhiệm đề tài: TS Phan Văn Long Em AN GIANG, THÁNG 06 NĂM 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG BÁO CÁO ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO SỰ ĐỒNG BỘ HÓA TRONG MẠNG LƯỚI ĐẦY ĐỦ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG – KHUẾCH TÁN DẠNG HINDMARSH – ROSE VỚI LIÊN KẾT TUYẾN TÍNH Chủ nhiệm đề tài: TS Phan Văn Long Em AN GIANG, THÁNG 06 NĂM 2022 Đề tài nghiên cứu khoa học "Điều kiện đủ cho đồng hóa mạng lưới đầy đủ hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng HindmarshRose với liên kết tuyến tính", tác giả Phan Văn Long Em, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo kết nghiên cứu Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày 23 tháng 06 năm 2022 Thư ký ThS Nguyễn Thị Lan Phương Phản biện Phản biện TS Trần Ngọc Tâm TS Lê Ngọc Quỳnh Chủ tịch Hội đồng i LỜI CẢM TẠ Đề tài nghiên cứu thực Trường Đại học An Giang Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành đến Ban giám hiệu Trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm, Bộ mơn Tốn quý Thầy, Cô giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành cơng trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn quý Thầy, Cô phản biện, ủy viên Hội đồng Khoa học Đào tạo dành thời gian đọc góp ý cho Đề tài nghiên cứu khoa học An Giang, ngày 23 tháng 06 năm 2022 Tác giả TS Phan Văn Long Em ii LỜI CAM KẾT Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu cơng trình nghiên cứu có xuất xứ rõ ràng Những kết luận khoa học cơng trình nghiên cứu chưa cơng bố cơng trình khác An Giang, ngày 23 tháng 06 năm 2022 Tác giả TS Phan Văn Long Em iii TÓM TẮT Đề tài nghiên cứu cộng hưởng đồng mạng lưới đầy đủ bao gồm n nút Mỗi nút được giới thiệu hệ phương trình phản ứng khuếch tán dạng Hindmarsh - Rose, mơ hình đơn giản hóa từ hệ phương tình tiếng Hodgkin-Huxley Các hệ phương trình liên kết với liên kết tuyến tính Từ mạng lưới đầy đủ này, chúng tơi tìm điều kiện đủ cho độ mạnh liên kết để có cộng hưởng Kết cho thấy mạng lưới đầy đủ có nhiều nút việc cộng hưởng dễ Đề tài đưa kết phương pháp số để kiểm tra kết lý thuyết tìm Từ khóa: mạng lưới đầy đủ, liên kết tuyến tính, hệ phương trình phản ứng khuếch tán dạng Hindmarsh - Rose, đồng hóa iv ABSTRACT This theme studies the identical synchronization in a complete network consisting of n nodes Each node is represented by reaction-diffusion equations of HindmarshRose type which was simplified from the famous Hodgkin-Huxley model They are connected by linear coupling From this complete network, a sufficient condition on the coupling strength is identified to get the synchronization The result shows that the complete networks synchronize more easily if they have more nodes The paper also shows this theoretical result numerically and sees that there is a compromise Keywords: complete network, linear coupling, reaction-diffusion equations of Hindmarsh-Rose, synchronization v MỤC LỤC Danh sách hình vẽ vii Danh sách bảng ix Danh sách kí hiệu x Chương Giới thiệu tổng quan vấn đề nghiên cứu 1.1 Giới thiệu 1.2 Tình hình nghiên cứu nước 1.3 Tình hình nghiên cứu ngồi nước 1.4 Mục tiêu Đề tài 1.5 Câu hỏi nghiên cứu giả thuyết nghiên cứu 1.6 Đối tượng nghiên cứu 1.7 Phạm vi nghiên cứu 1.8 Phương pháp nghiên cứu 1.9 Đóng góp Đề tài 1.10 Phương thức chuyển giao kết nghiên cứu địa ứng dụng 1.11 Sản phẩm 1 5 5 6 6 Chương Sinh lý học tế bào 2.1 Cấu trúc tế bào 2.2 Xung thần kinh 11 Chương 3.1 Mô 3.2 Mô 3.3 Mô Mơ hình tốn học tế hình Hodgkin-Huxley hình FitzHugh-Nagumo hình Hindmarsh - Rose bào 16 16 21 23 Chương Điều kiện đủ cho đồng hóa mạng lưới đầy đủ hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng Hindmarsh-Rose với liên kết tuyến tính 27 4.1 Sơ lược mạng lưới tế bào thần kinh 27 4.2 Sơ lược đồng hóa 28 4.3 Điều kiện đủ cho đồng hóa mạng lưới đầy đủ hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng Hindmarsh-Rose với liên kết tuyến tính 30 4.4 Mô kết phương pháp số 33 Kết luận Kiến nghị 36 Tài liệu tham khảo 37 Chỉ mục 40 vi DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 2.1 Biểu diễn giản đồ tế bào thần kinh, kích thước đo 4µ (a) Tế bào đa cực, (b) tế bào lưỡng cực, (c) tế bào đơn cực (a) tế bào hình tháp, (b) tế bào hình sao, (c) tế bào Purkinje Mật độ ion bên màng tế bào 130µ Hình Hình Hình Hình 10 10 11 2.2 2.3 2.4 2.5 Hình minh họa cách đo điện nghỉ, trạng thái cân điện nghỉ vào khoảng −70mV 12 Hình 2.6 Màng tế bào trạng thái nghỉ xem pin điện, cực âm nằm bên tế bào cực dương bên ngồi, cịn kênh ion xem điện trở thay đổi tùy thuộc vào việc đóng mở chúng Hình 2.7 13 Ví dụ hình thành điện cân ion K+ Sự khuếch tán ion K+ tác động građien hóa học phía ngồi màng tế bào (a) tạo điện tích có hướng ngược chiều (b) lực khuếch tán lực điện 14 Mơ hình điện hoạt động 15 tích có giá trị tuyệt đối (c) Hình 2.8 Hình 3.1 Mơ hình thể màng tế bào xem tụ điện 17 Hình 3.2 Một ví dụ trạng thái đóng mở kênh ion 18 Hình 3.3 Một ví dụ trạng thái đóng mở khơng hoạt động kênh ion 19 Hình 3.4 Mơ nghiệm hệ phương trình (3.1) với I = Hình (a) thay đổi V theo thời gian; hình (b) thay đổi theo thời gian n màu đỏ, m màu xanh dương h màu xanh Theo hình (b), thấy dịng điện natri (màu xanh dương) nhanh so với khác chu kì điện hoạt động V hình (a) Hình 3.5 21 Mô nghiệm hệ phương trình (3.2) với I = Hình (a) thay đổi theo thời gian V ; hình (b) thay đổi theo thời gian n màu đỏ, m màu xanh dương h mà xanh lá, nhận thấy dòng điện natri (màu xanh dương) nhanh nhiều so với khác chu kì điện hoạt động V hình (a); hình (c) thể mối quan hệ n h (màu xanh dương) mặt phẳng (n, h), nhận thấy quan hệ xấp xỉ đường thẳng màu đỏ có phương trình h = 0.902 − 1.117n; hình (d) thể xấp xỉ m ≈ m∞ (V ) Hình 3.6 22 Các đường nullcline hệ phương trình (3.3) với I = 8, V -nullcline đường cong màu đỏ w-nullcline đường màu xanh dương vii 23 Hình 3.7 Hình (a) mô nghiệm (màu xanh dương) phương pháp số hệ phương trình (3.4) với α = 0.2, γ = 0.5,  = 0.01 I = 1, V˙ = màu đỏ w˙ = màu xanh Điểm giao hai đường nullcline gọi điểm kì dị Hình (b) mơ chuỗi thời gian (t, V ) 23 Hình 4.1 Mơ hình khớp thần kinh 28 Hình 4.2 Các mạng lưới đầy đủ từ đến 10 nút, nút đại diện cho tế bào mơ mơ hình dạng FHN cạnh đại diện cho liên kết hóa học mô hàm số liên kết phi tuyến tính Hình 4.3 Sự cộng hưởng mạng lưới đầy đủ gồm tế bào liên kết với theo kiểu điện học Hình 4.4 31 34 Biểu đồ độ mạnh liên kết tương ứng với số lượng tế bào mạng lưới đầy đủ 35 viii TÀI LIỆU THAM KHẢO Ambrosio, B., Aziz-Alaoui, M A (2012) Synchronization and control of coupled reaction-diffusion systems of FitzHugh-Nagumo-type Computers and Mathematics with Applications 64: 934-943 Ambrosio, B., Aziz-Alaoui, M A (2013) Synchronization and control of a network of coupled reaction-diffusion systems of generalized FitzHugh-Nagumo type ESAIM 39: 15-24 Aziz-Alaoui, M A., (2006) Synchronization of Chaos Encyclopedia of Mathematical Physics, Elsevier 5: 213- 226 Ambrosio, B., Aziz-Alaoui, M A., and P.V.L Em (2019) Large time behaviour and synchronization of complex networks of reaction-diffusion systems of FitzHughNagumo type IMA Journal of Applied Mathematics 84: 416-443 Belykh, I., De Lange, E., and Hasler, M (2005) Synchronization of bursting neurons: What matters in the network topology Phys Rev Lett 94: 188101 Braun, H.A., Wissing, H., Schafer, K., & Hirsch, M.C (1994) Oscillation and noise determine signal transduction in shark multimodel sensory cells Nature 367: 270- 273 Corson, N (2009) Dynamique d’un modèle neuronal, synchronisation et complexité PhD thesis University of Le Havre France (in French) Corson N., Aziz-Alaoui M.A (2009) Complex emergent properties in synchronized neuronal oscillations In: M.A.A and C Bertelle (eds.): From System Complexity to Emergent Properties Springer 243-259 Corson N & Aziz-Alaoui M.A (2009) Asymptotic Dynamics for Slow-Fast HindmarshRose Neuronal System, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, series B, Vol 16(4), pp : 535-549 Dtchetgnia S.R., Yamapi R., Kofane T.C & Aziz-Alaoui M.A (2013) Deterministic and stochastic bifurcations in the Hindmarsh-Rose neuronal model with and without random signal, CHAOS An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, Vol 23, pp : 033125 Ermentrout, G B., Terman, D H (2009) Mathematical Foundations of Neurosciences Springer, 419 pages FitzHugh R (1961) Impulses and physiological states in theoretical models of nerve 37 membrane, Biophysical J, Vol 1, p 445-466 Gabbiani F & Cox S (2010) Mathematics for Neuroscientists, 1st Edition, Academic Press Gerstner W & Kistler W M (2002) Spiking Neuron Models, signle neurons, populations, plasticity, Cambridge University Press Hodgkin, A L., Huxley, A F (1952) A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve J Physiol 117: 500-544 Izhikevich E.M (2004) Which model to use for cortical spiking neurons, IEEE Trans on Neuron Net 15(5), p 1063-1070 Izhikevich, E M (2007) Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting Terrence J Sejnowski and Tomaso A Poggio The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England, 435 pages Keener, J P., Sneyd, J (2009) Mathematical Physiology: Systems Physiology, Second Edition Antman S.S., Marsden J.E., and Sirovich L Springer, 608 pages Murray, J D (2002) Mathematical Biology I An Introduction, Third Edition Springer, 414 pages Morris C & Lecar H (1981) Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber, Biophys J.35, p 193-213 Nagumo, J., Arimoto, S., and Yoshizawa, S (1962) An active pulse transmission line simulating nerve axon Proc IRE 50: 2061-2070 Nguyen, L H and Hong K S (2011) Synchronization of coupled chaotic FitzHughNagumo neurons via Lyapunov functions Mathematics and Computers in Simulation 82: 590-603 Phan Van Long Em (2017) Identical synchronization in complete network of reactiondiffusion equations of Fitzhugh-Nagumo Tạp chí Khoa học Quốc tế AGU 5: 51-58 Phan Van Long Em (2021) Synchronization in complete network of reaction-diffusion equations of Fitzhugh-Nagumo type with nonlinear coupling Can Tho University Journal of Science Vol 13, No 2: 43-51 Phan Van Long Em (2021) Synchronization in complete networks of ordinary differential equations of Fitzhugh-Nagumo type with nonlinear coupling Dong Thap University Journal of Science Vol 10, No 5: 3-9 Pikovsky, A., Rosenblum, M., and Kurths, J (2001) Synchronization, A Universal Concept in Nonlinear Science Cambridge: Cambridge University Press 38 England, 432 pages Plotnikov, S A., Lehnert, J., Fradkov, A L., and Scholl E (2016) Synchronization in heterogeneous FitzHugh- Nagumo networks with hierarchical architecture Phys Rev E 94, 012203 Rauch J & Smoller J (1978) Qualitative Theory of the FitzHugh Nagumo Equations, Advances in Mathematics, Vol 27, p 12-44 Rehan, M and Hong K S (2012) Robust Synchronization of Delayed Chaotic FitzHugh-Nagumo Neurons under External Electrical Stimulation Comput Math Methods Med doi: 10.1155/2012/230980 Trappenberg T.P (2010) Fundamentals of Computational Neuroscience, 2nd edition, Oxford University Press, ISBN13 : 9780199568413, ISBN10 : 0199568413 39 CHỈ MỤC Sợi trục Sự đồng hóa D Độ mạnh liên kết Định nghĩa đồng hóa Điều kiện đủ Điện chia độ Điện hoạt động Điện nghỉ Điện cân 30 30 31 14 15 11 13 T Tế Tế Tế Tế Tế bào bào chất bào hướng tâm 10 bào ly tâm 10 bào trung gian 10 H X Hàm liên kết 30 Xung thần kinh 11 K Kết luận Kiến nghị 36 Kênh ion 12 Khớp thần kinh M Mơ hình FitzHugh-Nagumo 23 Mơ hình Hindmarsh-Rose 2, 29 Mô hình Hodgkin-Huxley 20 Màng tế bào Mạng lưới đầy đủ 30 Mạng lưới tế bào 27 N Nhân tế bào S Sợi nhánh 40 IAENG International Journal of Applied Mathematics, 52:2, IJAM_52_2_07 Sufficient Condition for Synchronization in Complete Networks of Reaction-Diffusion Equations of Hindmarsh-Rose Type with Linear Coupling Phan Van Long Em  Abstract— This paper studies the identical synchronization in a complete network consisting of n nodes Each node is represented by reaction-diffusion equations of Hindmarsh-Rose type which was simplified from the famous Hodgkin-Huxley model They are connected by linear coupling From this complete network, a sufficient condition on the coupling strength is identified to get the synchronization The result shows that the complete networks synchronize more easily if they have more nodes The paper also shows this theoretical result numerically and sees that there is a compromise Index Terms— complete network, linear coupling, reactiondiffusion equations of Hindmarsh-Rose, synchronization I INTRODUCTION S synchronization is a ubiquitous feature and studied in many natural systems and nonlinear science The word "synchronization" is of Greek origin, with syn as “common” and chronous as “time”, which means having the same behavior at the same time [1] Therefore, the synchronization of two dynamical systems usually means that one system copies the movement of the other When the behaviors of many systems are synchronized, these systems are called synchronous Studies by Aziz-Alaoui [1] and Corson [2] suggested that a phenomenon of synchronization may appear in a network of many weakly coupled oscillators There are a lot of different applications that have emerged to increase the power of lasers, control oscillations in chemical reactions, encode electronic messages for secure communications, or synchronize the output of electric circuits [1,3] Synchronization has been extensively studied in many fields and many natural phenomena reflect the synchronization such as the movement of birds forming the cloud, the movement of fishes in the lake, the movement of the parade, the reception and transmission of a group of cells [1,4-8] Therefore, the study of synchronization is necessary Specifically, the network of cells is considered in this work In the human brain, there are many cells, they connect to form a network A cellular network is a system of cells that are physiologically linked together The exchange between them is mainly based on electrochemical processes This paper studies the sufficient condition of coupling strength to obtain synchronization in a complete network of cells In which, each cell is described by a system of reactiondiffusion equations of Hindmarsh-Rose type To make the study easier, a complete network of n neurons interconnected together with linear coupling is investigated In 1952, Hodgkin and Huxley presented a fourdimensional mathematical model that could approximate the energizing properties of cell voltage [2,4,7] Based on this model, many simpler models have been published to describe the cell voltage dynamics In 1982, Hindmarsh J L and Rose R M published a new model named Hindmarsh-Rose model (HR) [9] known as a simplified two-dimensional model from Hodgkin-Huxley's famous system of equations [6] Although the model is simpler, it has many remarkable analytical results and retains the properties and biological significance It represents the equilibrium, activity, and bursting of the cell voltage The model has constituted a common form of two equations in the two variables u and v The first variable is the fast one called excitatory representing the transmembrane voltage The second one is the slow recovery variable describing several physical quantities, such as the electrical conductivity of ion currents across the membrane The Hindmarsh-Rose equations (HR) are given by:  du  v  u  au  I  dt   dv   bu  v  dt (1) where the parameters a  3, b  are constants determined Manuscript received November 21, 2021; revised February 25, 2022 This work is carried out under the funding of An Giang University, Vietnam National University, Ho Chi Minh City Phan Van Long Em is a lecturer of An Giang University, Vietnam National University, Ho Chi Minh City, VIETNAM; (e-mail: pvlem@agu.edu.vn) by practical experience, I presents the external current However, this model is not strong enough to describe the propagation of action potential To solve this problem, the cable equation is investigated This mathematical equation is derived from a circuit model of the membrane and its intracellular and extracellular space to provide a quantitative description of current flow and voltage change Volume 52, Issue 2: June 2022 IAENG International Journal of Applied Mathematics, 52:2, IJAM_52_2_07 both within and between neurons, allowing a quantitative and qualitative understanding of how neurons function Hence, the reaction-diffusion equations of Hindmarsh-Rose type (HR) are considered as follows:  du  dt  ut  v  u  au  I  d u u   dv  v   bu  v t  dt where u  u ( x, t ), v  v ( x, t ), ( x, t )      , d u (2) is a positive constant,  u is the Laplace operator of u ,    N is a regular bounded open set and with Neumann zero flux boundary conditions This system allows the emergence of a variety of patterns and relevant phenomena in physiology This system consists of two nonlinear partial differential equations of the incomplete parabolic type The first equation describes the action potential and the second one presents the recovery variable in the whole set of neurons Besides, the first equation is similar to the socalled cable equation It describes the distribution of the potential along the axon of a single neuron [6,7] System (2) is considered as a neural model and from this, a network of n coupled systems (2) based on HR type is constructed as follows: is meaningful and brings a practical application value to the currently applied mathematics II SYNCHRONIZATION OF A COMPLETE NETWORK In this paper, the synchronization is investigated in a complete network, i.e, each node connects to all other nodes of the network [10,11] For example, Figure shows the complete graphs from to 10 nodes Each node represents a neuron modeled by a system of reaction-diffusion equations of Hindmarsh-Rose type and each edge represents a synaptic connection modeled by a linear coupling function A network of n neurons (2) bi-directionally coupled by the electrical synapses, based on HR, is given as follows: n  u  v  u  au  I  d  u  g (ui  u j )  it i i i i syn  j 1, j  i   (4) vit   bui  vi i  1, , n,   where g syn is the coupling strength between ui and u j Definition (Ambrosio and Aziz-Alaoui, 2012) Let uit  vi  ui3  aui2  I  d ui  h(ui , u j )  vit   bui  vi i, j  1, , n, i  j ,  where (ui , vi ), i  1, 2, , n is defined by (2) (3) Si  (ui , vi ), i  1, 2, , n and S  (S1 , S2 , , S n ) be a network We say that S is identically synchronous if n 1  lim  ui  ui 1 t  i 1 L2 (  )  vi  vi 1 L2 (  )   Function h is the coupling function that determines the type of connection between neurons ui and uj Connections between neurons are essential of two types: chemical connection and electrical connection, where a chemical connection is more abundant than an electrical one For easy research, this paper only focuses on electrical connection, then the coupling function is linear [2,10,11] and is given by the following formula: Fig Complete graphs from to 10 nodes n h (ui , u j )  g syn  cij (ui  u j ), i  1,2, , n The system (4) can be rewritten as follows: j 1, j i The parameter g syn represents the coupling strength The coefficients cij are the elements of the connectivity matrix Cn  (cij ) nn , defined by: cij  if ui and u j are coupled, cij  if ui and u j are not coupled, where i, j  1, 2, , n, i  j In recent years, there have been many research papers on the resonance of the network of cells, but most of them only study cells stimulated by the system of equations of FitzHugh-Nagumo type [10,11] or the system of ordinary differential equations of Hindmarsh-Rose type [2], there is no research related to the system of reaction-diffusion equations of Hindmarsh-Rose type on a complete network of cells From there, it shows that the research on this issue n  u  v  u  au  I  d  u  g i i i i syn  (ui  u j )  it j 1, j  i  vit   bui2  vi  n  u1t  v1  u1  au1  I  d u1  g syn  (u1  u j ) (5) j 2  v   bu  v 1  1t i  2, , n   Let X  ui  u1, Y  vi  v1 and U  ui  u1 , i  2, , n We have then the system corresponding to the variables X , Y : Volume 52, Issue 2: June 2022 IAENG International Journal of Applied Mathematics, 52:2, IJAM_52_2_07 (see [12]) Hence, the neurons of the network (5) is globally asymptotically synchronized The theorem has been proven 3  dX  dt  Y  X  X (aU  U  ng syn )  X (6)   dY  bXU  Y  dt III NUMERICAL RESULTS AND DISCUSSION Theorem If the coupling strength g syn verifies the condition:  a2 (b  2a )  with 0  ,  , g syn  max  ,  b  3n 4n 4n(3   b )  for all initial conditions ui (0), v i (0), i  1,2, , n, between n subsystems modeling the function of neuron networks In the following, the paper shows the numerical results obtained by integrating the system (4) with n  3, a  3, b  5, I  0, d  1, i  1, 2,3, the system (5) will synchronize Proof Let’s choose the Lyapunov function as follows:  0; T      0; 200   0;100   0;100   1 E ( X , Y )    X  Y dx, 2    is a positive constant By taking derivative this Lyapunov function according to t , we have: where  X4  dE ( X , Y )     AX  BXY   Y  dx, dt   where A  U  aU  ng syn , B   bU  It can be seen that AX  BXY   Y  if the following two conditions are verified : (i) Since A  equation g syn U  aU  ng syn , the solutions of the A  are U1,2   2 a  a  3ng syn  This research focuses on the minimal values of coupling strength g syn to observe a phenomenon of synchronization if a2 a2  Therefore, A  if g syn  ; 3n 3n The integration of the system is realized by using C++ and the results are represented by Gnuplot, Fig illustrates the synchronization of the complete network of systems of reaction-diffusion equations of Hindmarsh-Rose type The simulations show that the system synchronizes from the value g syn  0.2 Fig 2(a), 2(b), 2(f), 2(g), 2(k), 2(l), 2(p), 2(q) represent the synchronization errors of the coupled solutions  u1 ( x1 , x2 , t ), u2 ( x1 , x2 , t )  and  u2 ( x1 , x2 , t ), u3 ( x1 , x2 , t )  , where t   0; T  and for all ( x1 , x2 )   In Fig 2(p) and 2(q) with g syn  0.2, the simulation shows that the synchronization errors reach to zero, it means: u1 ( x1 , x2 , t )  u2 ( x1 , x2 , t ) an u2 ( x1 , x2 , t )  u3 ( x1 , x2 , t ) for all ( x1 , x2 )   Fig 2(c), 2(d), 2(e), 2(h), 2(i), 2(j), 2(m), 2(n), 2(o), 2(r), 2(s), 2(t) represent the solutions ui ( x1 , x2 ,190), i  1, 2,3, of the network from when no synchronization has occurred B2   (3   b2 )U  2( a  2b)U  4ng syn   until they have the same shape, i.e, the synchronization is  performed ( b  a ) Before synchronization with g syn  0.05, Fig 2(a) This condition is satisfied if g  and  (ii)  A  syn 4n n(3   b2 )   b for all ( x1 , x2 )   ; Fig 2(b) represents the synchronization Then, if the coupling strength g syn verifies the condition: g syn  a2 (b  2a )2  with    ,  max  ,  ,  b2  3n 4n 4n(3   b )  2 we have AX  BXY   Y  dE ( X , Y )  0, for all X , Y It implies that dt the origin is globally asymptotically stable for E ( X , Y ) It leads to represents the synchronization error between u2 and u1 , error between u3 and u2 ; Fig 2(c) represents a solution u1 ( x1 , x2 ,190) ; similarly, Fig 2(d) and 2(e) represent the solutions u2 ( x1 , x2 ,190) and u3 ( x1 , x2 ,190) when they are coupled together; the results are similarly done for g syn  0.1 (Fig 2(f), 2(g), 2(h), 2(i), 2(j)), g syn  0.15 (Fig 2(k), 2(l), 2(m), 2(n), 2(o)) and g syn  0.2 (Fig 2(p), 2(q), 2(r), 2(s), 2(t)) For g syn  0.2, the synchronization occurs Volume 52, Issue 2: June 2022 IAENG International Journal of Applied Mathematics, 52:2, IJAM_52_2_07 Fig Synchronization in the complete network of connected cells electrically From the above result, in the case of three linearly coupled neurons, the coupling strength over or equal to g syn  0, 2, these neurons has synchronous behaviors By doing similarly for the complete networks of linearly identical coupled neurons, the values of coupling strength according to the number of neurons n are reported in Table In Table 1, for each value of n, we seek one necessary value of coupling strength to get the synchronization in complete network corresponding to n from to 20 TABLE I MINIMAL COUPLING STRENGTH NECESSARY TO OBSERVE THE SYNCHRONIZATION n g syn n g syn 0.2 g syn 0.124 10 11 0.1133 0.107 0.1 0.099 0.095 12 13 14 15 0.0935 0.0915 16 17 18 19 0.0873 0.0855 0.0853 0.0844 g syn 0.136 n n 0.1565 0.09 neurons n and the coupling strength reported in Table This function is as follows: 0.26 (7) g syn   0.07, n 1 In Fig 3, the function (7) is represented by a curve where the points corresponding to the coupling strengths are almost on It means that the coupling strength necessary to obtain the synchronization in complete network follows the law presented by (7) These simulations show that the bigger the number of neurons is, the smaller the coupling strength is It means that synchronization is easier when the number of neurons in complete networks is bigger 0.0885 20 0.084 Fig The evolution of the coupling strength with respect to the number of neurons IV CONCLUSION Following these numerical experiments, it is easy to see that the coupling strength required to observe the synchronization of n neurons depends on the number of neurons Indeed, the points in Fig represent the coupling strength of synchronization according to the number of neurons in complete network from Table 1, and we find a function presenting the relation between the number of This study gave a sufficient condition on the coupling strength to achieve the synchronization in the complete network of n linearly coupled systems of reaction-diffusion equations of Hindmarsh-Rose type Theorem shows that the bigger the value of n is, the smaller g n is Numerically, it displays that the synchronization is stable when the Volume 52, Issue 2: June 2022 IAENG International Journal of Applied Mathematics, 52:2, IJAM_52_2_07 coupling strength exceeded a certain threshold and depends on the number of neurons in graphs The bigger the number of neurons is, the easier the phenomenon of synchronization will be obtained Then, a compromise between the theoretical and numerical results can be reached In addition, it is necessary to conduct further studies on the different synchronization regimes in free networks coupled with chemical synapses REFERENCES [1] M A Aziz-Alaoui, “Synchronization of Chaos’’, Encyclopedia of Mathematical Physics, Elsevier, Vol 5, pp 213-226, 2006 [2] N Corson, “Dynamics of a neural model, synchronization and complexity’’ (Dynamique d'un modèle neuronal, synchronisation et complexité’), Thesis, University of Le Havre, France, 2009 [3] A Pikovsky, M Rosenblum and J Kurths, “Synchronization, A Universal Concept in Nonlinear Science’’, Cambridge University Press, 2001 [4] A L Hodgkin and A F Huxley, “A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve’’, J Physiol.117, pp 500-544, 1952 [5] J D Murray, “Mathematical Biology’’, Springer, 2010 [6] E M Izhikevich, “Dynamical Systems in Neuroscience’’, The MIT Press, 2007 [7] G B Ermentrout and D H Terman, “Mathematical Foundations of Neurosciences’’, Springer, 2009 [8] J P Keener and J Sneyd, “Mathematical Physiology’’, Springer, 2009 [9] J L Hindmarsh and R M Rose, “A model of the nerve impulse using two firstorder differential equations’’, Nature, vol 296, pp 162-164, 1982 [10] B Ambrosio and M A Aziz-Alaoui, “ Synchronization and control of coupled reaction-diffusion systems of the FitzHugh-Nagumo-type’’, Computers and Mathematics with Applications, vol 64, pp 934-943, 2012 [11] B Ambrosio and M A Aziz-Alaoui, “Synchronization and control of a network of coupled reaction-diffusion systems of generalized FitzHughNagumo type’’, ESAIM: Proceedings, Vol 39, pp 15-24, 2013 [12] D W Jordan and P Smith, “Nonlinear Ordinary Differential Equations, An Introduction for Scientists and engineers (4th Edition)”, Oxford,2007 Volume 52, Issue 2: June 2022