Dãy farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HẠNH DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN XẤP XỈ TỐT SỐ VƠ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HẠNH DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC TRANG MỞ ĐẦU CHƢƠNG SỐ VÔ TỶ 1.1 Một vài ý nghĩa hình học số vơ tỷ 1.2 Số  1.3 Số e 13 1.4 Số vô tỷ đại số số vô tỷ siêu việt 20 CHƢƠNG DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ 28 2.1 Dãy Farey 28 2.2 Định lý Pick 39 2.3 Ứng dụng dãy Farey xấp xỉ tốt số vô tỉ 41 2.4 Mơ tả hình học phép xấp xỉ vơ tỷ dựa vào liên phân số 55 dãy Farey KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỞ ĐẦU Trong tốn học, số vơ tỉ số thực số hữu tỷ, nghĩa khơng thể biểu diễn dạng phân số a với a, b số nguyên, b  b Tập hợp số vô tỉ kí hiệu  I  x   x a  , a, b  , b   b  Người ta chứng minh rằng, tập hợp số vơ tỉ có lực lượng lớn tập hợp số hữu tỉ Nói khác đi, tập hợp số vơ tỷ có lực lượng đếm Chúng ta thường quan tâm tới số e , e ,  e ,   cho e số số vô tỷ Tuy nhiên điều cần phải chứng minh Lý thuyết số liên quan tới vấn đề Trừ trường hợp đơn giản, vấn đề nói thường cực khó chúng thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tiếng (Euler, Liouville, Cantor, Catalan, Napier… ) Vì vậy, việc tìm hiểu ý nghĩa kết liên quan đến số vô tỷ tìm tịi xấp xỉ số vơ tỉ Tốn học điều cần thiết có ý nghĩa giảng dạy nghiên cứu toán học Một cơng cụ để tìm xấp xỉ tốt số vô tỷ dãy Farey liên phân số Tập phân số dương tối giản, nhỏ 1, có mẫu số khơng vượt q n, xếp theo thứ tự tăng dần gọi dãy Farey thứ n Dãy Farey đối tượng nghiên cứu Số học có nhiều ứng dụng sâu sắc nghiên cứu xấp xỉ số vô tỷ Nếu trước đây, Số học xem ngành lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, ngày nay, nhiều thành tựu số học có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống, thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính Trong số học có số đặc biệt mà người ta thường gọi số Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an vàng toán học Ngồi tính chất đẹp đẽ diệu kỳ nó, số cịn có ứng dụng bất ngờ sâu sắc toán học lĩnh vực khác Việc tìm hiểu số vàng toán học (chẳng hạn số e số  ) cần thiết có ý nghĩa Chúng ta thử hình dung rằng, tốn học thiếu vắng số e  tình hình tốn học phát triển nào? Với lý trên, sở tham khảo tài liệu số học có liên quan cơng bố thời gian gần đây, luận văn “Dãy Farey ứng dụng tốn xấp xỉ tốt số vơ tỷ” nhằm tìm hiểu sâu ý nghĩa kết sâu sắc số vô tỷ ứng dụng dãy Farey xấp xỉ số vô tỷ Bố cục luận văn gồm chương, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn: Giới thiệu khái niệm trình bày chứng minh chi tiết a) Một vài tính chất hình học số vơ tỷ b) Dãy Farey; Định lý Pick c) Xấp xỉ số vô tỷ Giải số tập số vô tỷ dãy Farey Phương pháp nghiên cứu luận văn: - Sử dụng lý thuyết chia hết vành số nguyên tính chất số hữu tỉ - Sử dụng công cụ giới hạn dãy số hàm số thực - Sử dụng tính chất đa thức dãy Farey xấp xỉ tốt số vô tỉ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn tận tình dạy bảo ân cần, chu đáo Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh giảng dạy tổ chức hướng dẫn cho học tập nghiên cứu Xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Cửa Lò – Sở Giáo dục Đào tạo Nghệ An, gia đình, anh chị em đồng nghiệp quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Tuy cố gắng trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, song chắn cịn có nhiều thiếu sót, tác giả mong góp ý, bảo thầy giáo bạn đồng nghiệp TÁC GIẢ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an CHƢƠNG SỐ VÔ TỶ 1.1 Một vài ý nghĩa hình học số vơ tỷ 1.1.1 Số vơ tỷ Trong tốn học, số vơ tỉ số thực số hữu tỷ, nghĩa biểu diễn dạng phân số a , a , b  , b  Nói cách khác, số b vơ tỉ số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Tập hợp tất số vơ tỉ kí hiệu  I  x   x a  , a, b  , b   b  Ví dụ số vơ tỷ: Số thập phân vơ hạn có chu kỳ thay đổi: 0,1010010001000010000010000001 Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 Số  = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 693… Số lôgarit tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536 Chúng ta xuất phát định lý đơn giản số vô tỉ, mà gần biết, định lý có nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắn liền với tên tuổi nhà toán học Hy-lạp tiếng: Pithagoras, người phát số vô tỉ Sự kiện đánh phát minh vĩ đại nhân loại, tương đương với tầm cỡ phát minh Hình học phi Euclid Nhờ phát minh mà phát độ dài đường chéo hình vng có cạnh đơn vị, đo phân số, số vô tỷ (xem [10]) 1.1.2 Định lý Pithagoras số vô tỉ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chứng minh Giả sử 2 a với a, b số nguyên đó, cho b (a, b)  (1) a  2b2 Từ suy (2) Từ (2) suy a chẵn Vì vậy, a chẵn, a lẻ a lẻ Khi cho phép đặt a  2a1 với a1 số nguyên Từ đó, thu từ (2): 4a12  2b2 hay b2  2a12 Như hai a b số chẵn Điều mâu thuẫn với giả thiết (1), suy không biểu thị dạng a Định lý chứng minh.■ b 1.1.3 Định lý Nếu số nguyên m luỹ thừa bậc n số nguyên đó, n m số vơ tỉ Chứng minh Giả sử phát biểu sai, có số nguyên a b cho n Do a m  , (a, b)  b a n  mbn (3) (4) Nếu b  a n  m đó, mâu thuẫn với giả thiết định lý, b  Do đó, tồn nguyên tố p ước b Do đó, từ (4) suy p ước a n hay p ước a Như p ước chung a b, điều a b nguyên tố Bởi vậy, định lý chứng minh ■ 1.1.4 Định lý Giả sử f ( x)  x n  a1x n1   an đa thức đơn hệ với hệ số nguyên Khi đó, nghiệm phương trình f ( x)  số nguyên số vô tỉ Chứng minh Giả sử phát biểu khơng Khi đó, tồn phân số hữu tỉ tối giản a , b  nghiệm phương trình f ( x)  Ta có: b Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an n a a    a1   b b hay Do a n  a1a n1b   anbn  a n    a1a n1b   anb n  n 1   an  Như vậy, b ước a n Vậy có số nguyên tố p (ước nguyên tố b) ước a n Do đó, p ước nguyên tố chung a b Điều trái với giả thiết a phân số tối giản Bởi vậy, định lý chứng minh ■ b 1.1.5 Hệ Cho m, n số nguyên dương Nếu n m khơng phải số ngun số vô tỉ Chứng minh Số lý n n m nghiệm phương trình x n  m  Như vậy, theo định m số nguyên số vô tỉ Nhưng giả thiết khơng phải số ngun Vậy từ ta có Ví dụ n m số vô tỉ ■ 2, 3, 5, 2, 3, 5, số vô tỷ 1.1.6 Dựng đoạn thẳng có độ dài vơ tỉ Cho trước đoạn thẳng có độ dài đơn vị Hãy dùng thước compa dựng đoạn thẳng với độ dài theo dãy sau: 1, 2, 3, , n Đầu tiên dựng tam giác vuông cân, cạnh góc vng có độ dài đơn vị, từ dựng cạnh huyền có độ dài tiếp tục dựng đoạn vng góc với đoạn Từ đoạn có, ta đầu mút, suy độ dài cạnh huyền tam giác vng nhận cạnh làm cạnh góc vuông Cứ tiếp tục ta dựng đoạn thẳng có độ dài n (thực sau dựng vài đoạn nhỏ, ta tổ hợp đoạn nhỏ đó, để dựng đoạn lớn hơn, mà không cần phải tuần tự) Hình vẽ minh họa đây: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 Nếu n hộp chứa n + nhiều đối tượng hộp chứa nhiều đối tượng 2.3.3 Định lý Cho n số nguyên Khi đó, tồn phân số  x với  y (n  1) y x cho y  y  n (3) Chứng minh Ta biết với số nguyên h  ,  h   h   Xét n + số 0,    , 2   2  , ,  n  1   n  1  (4) Tất số rõ ràng thuộc đoạn 0,1 Chúng ta chia đoạn thành n+1 khoảng có độ dài sau n 1      n n 1  , ,  0, ;   ;…;   n  n  n       n 1 n 1  (5) Chúng ta đặt số (4) vào vị trí chúng (5) Chúng ta biết  số không nằm bên trái tận khoảng  0,  , xảy trường hợp n 1   i) (n + 1) số lại số vô tỉ phân bố n khoảng    n n 1  , ,   đến    n 1 n 1   n 1 n 1  Trong trường hợp theo ngun lý Dirichlet có khoảng chứa hai nhiều số (4), ii) Khoảng thứ chứa nhiều số bên cạnh Trong trường hợp khoảng (5) chứa hai nhiều số (4) Xét khoảng chứa q1   q1  q2   q2  với q1 q2 thỏa mãn:  q1  q2  n  Chúng ta suy Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45  q   q     q   q    n 1 2 1 Từ  q2  q1    q2    q1   n 1 Làm gọn biểu thức cách đặt q2  q1  y  q2    q1   x , thay vào (3) định lý chứng minh ■ Chú ý rằng, định lý phân số x không cần tối giản y 2.3.4 Định lý Có vơ hạn phân số tối giản  x cho y x  y y (6) Chứng minh i) Cho n số nguyên dương  nằm hai số hạng liên tiếp a c f n b d Trong phần 2.3.3 a c thoả mãn bất đẳng thức b d  x  với y  n y (n  1) y Lúc  x  y y ii) Ta chứng minh phần 2.1.14  nằm vô hạn cặp khác phân số Farey liên tiếp có độ phức tạp ngày tăng Điều suy tồn vô hạn phân số bất khả quy x x cho    y y y iii) Phần ii) chứng minh trực tiếp sau Giả sử số phân số thoả mãn (6) hữu hạn Cho phân số Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 x x1 x2 ; ; ; k y1 y2 yk (7) Khi ta ln ln tìm thấy số ngun m cho  xi  yi m với i  1, 2,3, , k Với m biết theo Định lý 2.3.3 tồn phân số xm 1   ym  m  1 ym ym  thoả mãn (6) Ngoài xm cho ym xm không trùng với phân số (7) ym  xm 1   ym  m  1 ym m  xi  yi m với i  1, 2,3, , k Vậy có mâu thuẫn Bởi số phân số thỏa mãn (6) vô hạn ■ 2.3.5 Định lý Cho  nằm hai số hạng liên tiếp   a c dãy Farey Khi b d a c     b 2b d 2d Chứng minh Có hai khả năng:   Dấu “=” khơng xét   a a     b 2b b 2b a số vô tỉ Trong trường hợp thứ định lý b Trong trường hợp thứ hai ta có  a a    b b 2b (8) Ta biết Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 c a   d b bd c a c a             d b d b   Ngoài Bởi theo (8) c       bd  d  2b Suy c 1 1           d bd 2b 2d bd 2d   2b  d  b  1  2 2d 2b d 2d 2 Định lý chứng minh ■ Ví dụ Cho     0.414213 Rõ ràng  nằm hai số hạng liên tiếp 17 5 f17 Khi ta có    12 12 122 Tương tự  nằm hai số hạng liên tiếp hợp   12 f 29 Trong trường 12 29 12  29  292 2.3.6 Định lý Nếu  nằm hai số hạng liên tiếp a c dãy Farey Khi b d đó, bất đẳng thức  x  (9) y y2 thoả mãn phân số sau: a ac c ; ; b bd d Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 Chứng minh Nếu phân số a c thỏa mãn (9) Khi đó, định lý b d hiển nhiên Vì vậy, giả thiết  a  , (10) b 5b c   (11) d 5d Cộng vào (10) (11) thu c a 1       d b d  5b Dấu đẳng thức khơng xảy số vơ tỷ số hữu tỷ Nhưng biết c a ,   d b bd 1  1      bd d  5b Từ suy d  5bd  b2  (12) Bằng vài phép biến đổi đại số ta      b   bd  d  1 1   2  2  b  b  d   b  b  d  5b  b  d        b   bd  4d d  5bd  b 2   2 5b  b  d  5b  b  d  2    b  2d   d 2 5b  b  d   5bd  b  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 = số thực dương (theo (12)) Do  1 1   2  b b  d   b  b  d   (13) Chứng minh tương tự ta  1  1   2  d b  d   d  b  d   Chỉ có hai khả năng:  nằm (14) a ac ac c  nằm b bd bd d Trong trường hợp thứ ta có ac ac a  a 1          bd bd b  b  b b  d  5b2 (theo (10))  1 1  2     b b  d   5b (theo (13))   1 b  d  Do ac   bd b  d  (15) Trong trường hợp thứ hai có  ac c ac   bd d bd 1 c        5d d  d b  d   (theo (11))   1  2    5d  b  d   5d Do  ac  bd b  d  (16) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (theo (14)) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 Từ (15) (16) suy định lý chứng minh ■ Định lý suy trực tiếp từ Định lý 2.3.6, gọi Định lý Hurwizts 2.3.7 Định lý (Hurwizts) Tồn vô hạn phân số hữu tỉ tối giản  x cho y x  y y2 Bây chứng minh khơng thể hồn thiện kết cách thay số lớn Để điều cần thiết lập định lý 1   , bất đẳng thức 2.3.8 Định lý (Hurwizts) Cho    x  y  y2 (17) có hữu hạn nghiệm Chứng minh Cho phân số a thỏa mãn (9), nghĩa ta có b 1 a (18)   b  b2 Để chứng minh định lý ta phải b có hữu hạn giá trị khác Lúc từ bất đẳng thức (18) suy    5   b  b   1 a  b    1 a   b a 1 a 1    b b a b =  1 a 1  b Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn  5   C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 = a  ab  b b2 a2  ab  b2 tích số số vơ tỉ nên khác Suy  1   5  2  b  b  b Hoặc     b2       (19) Đặt     với  số thực dương Khi ta có     b2    Nghĩa b2  ( ) Như ta chứng minh b có hữu hạn giá trị khác Bởi định lý ■ Chứng minh cách thứ hai: Bất đẳng thức cho thoả mãn phân số a nên ta có b 1 a   b  b2 (20) Để chứng minh định lý ta phải b có hữu hạn giá trị khác Vì   nên viết lại (20) dạng 1 a    với   b 5b Suy 5b b   a  2 5b Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 Hay 5b  b  a 2 5b Bình phương hai phía thu 5b2  b2     a  ab  5b Cho nên a  ab  b    2 5b Ta có a  ab  b2  a  ab  b2    2 5b2   2 5b2 Do a  ab  b    2 (21) 5b Giả sử b có vô hạn giá trị khác thoả mãn (20) Khi với giá trị đủ lớn b,   2 5b trở thành số thực dương  Bởi với giá trị b a  ab  b2  (22) a  ab  b2 số nguyên Phương trình (22) tương đương với phương trình sau 4a  4ab  b2  5b2 Suy  2a  b    5b  Khi 2a  b  5b Điều xảy ra, 5b số vô tỉ Vậy điều giả sử xảy ■ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 1 dạng tương tự Chú ý  số tùy ý khác thay Định lý 2.3.7 số lớn Vì vậy, ta có kết 2.3.9 Định lý Cho  số vơ tỉ tùy ý khác tồn vơ hạn phân số 1 dạng tương tự Khi x thỏa mãn y  x  y 2 y2 Mọi xấp xỉ tốt  thảo luận chương thỏa mãn bất đẳng thức có dạng  với vơ hạn phân số x  y  yh x Nhưng giới hạn  h gì? Câu hỏi trả lời y định lý sau 2.3.10 Định lý Cho   1 Khi đó, giá trị lớn h thỏa mãn  x  y  yh có vơ hạn nghiệm giá trị lớn  h = Chứng minh Chúng ta biết từ kết trước bất đẳng thức cho thoả mãn h = Giả sử bất đẳng thức    thoả mãn vô hạn phân số x  y  y 2 x Nghĩa y Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54  x  y   y  y thoả mãn vô hạn phân số Nhưng biết  y  với giá trị đủ lớn y, với   tùy ý Nghĩa  x  y 3y có vơ số nghiệm Nhưng điều mâu thuẫn với Định lý 2.3.8 Do   phần thứ định lý chứng minh Còn phần thứ hai thiết lập mục 2.3.7 2.3.8.■ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 2.4 Mơ tả hình học phép xấp xỉ vô tỷ dựa vào liên phân số dãy Farey Xét số thực   Trong mặt phẳng tọa độ xét đường thẳng d qua gốc tọa độ O có hệ số góc  Nếu   d chứa điểm nguyên, có tọa độ  a, b  với b   a Nếu  số vô tỷ d khơng chứa điểm ngun ngồi gốc tọa độ O Về mặt hình học, phân số b xấp xỉ tốt  đường thẳng qua a  a, b  gốc tọa độ có hệ số góc gần với hệ số góc d số tất đường thẳng qua gốc tọa độ điểm nguyên  a, b'  (b’ thay đổi) Xét dãy điểm có tọa độ  Qk , Pk  Qk hội tụ thứ k biểu Pk diễn phân số liên tục  Theo tính chất liên phân số hội tụ lẻ lập thành dãy tăng ngặt, hội tụ chẵn lập thành dãy giảm ngặt (xem [1]), nên điểm Ak  Qk , Pk  , k  1,2, liên tiếp đổi phía so với đường thẳng d (nghĩa Ak , Ak 1 nằm hai nửa mặt phẳng đối xác định đường thẳng d) tia OAk tiệm cận dần tới d Hơn nữa, tam giác OAk Ak 1 có diện tích Dãy thương riêng phân số liên tục biểu diễn mơ tả hình học sau: Giả sử e1 , e2 vectơ sở (có tọa độ tương ứng (1,0), (0,1)) Như e1 nằm d, e2 nằm d Chọn a0 số nguyên dương lớn cho: e3  e1  a0 e2 nằm d Chọn a1 số nguyên dương lớn cho: e4  e2  a1.e3 nằm d Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 56 Cứ tiếp tục q trình dãy vectơ ek có hệ số góc tiến tới k Bài tập Chứng minh tọa độ vectơ ek mô tả hội tụ phân số liên tục biểu diễn  Hơn hệ số a0, a1,… thương riêng phân số liên tục biểu diễn    a0 , a1 , a2 , b a Bây giờ, xét số hữu tỷ dương   , a, b  0,  a, b   ứng  với điểm P  P  a, b  mặt phẳng tọa độ Như số hữu tỷ dương ứng với điểm nguyên góc phần tư thứ hệ tọa độ Nối O(0,0) với điểm P ta tia d Nếu ta xét điểm P nằm tam giác  n xác định điều kiện 0 x yn với n dương số điểm thỏa mãn hữu hạn (tam giác có đỉnh (0,0), (0,n), (n, n)) Và tia d tương ứng chia góc phần tư thứ thành số hữu hạn góc, giống nan quạt Từ ta xếp tia ngược chiều kim đồng hồ, nghĩa xếp tia theo chiều tăng hệ số góc Đây cách xếp tương ứng với xếp phân số dãy Farey Fn Các tính chất dãy Farey phát biểu Định lý 2.1.8 mơ tả hình học sau: i) Hai điểm P(a,b) Q(c, d) xác định hai tia cạnh tam giác  n ad  bc  ii) Trong tam giác  n1 , tia xác định R(s,t) nằm hai tia OP OQ chỉ OPRQ hình bình hành (với giả thiết OP OQ nằm cạnh  n ) Mô tả cho phép ta liên hệ dãy Farey với Định lý Pick Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 57 KẾT LUẬN Nội dung luận văn bao gồm: 1- Giới thiệu tính chất số vơ tỉ; lịch sử hình thành tính chất đặc biệt số vàng Toán học (các số e  ) 2- Trình bày chi tiết chứng minh: Số e số vô tỉ; Số  số vô tỉ 3- Chỉ ứng dụng số e  toán học ngành kỹ thuật khác có ứng dụng cơng cụ tốn học 4- Giới thiệu định nghĩa số tính chất dãy Farey ứng dụng dãy Farey Số học 5- Giới thiệu số kết lý thuyết xấp xỉ tốt số vô tỉ phân số hữu tỉ, nội dung có nhiều ứng dụng tính tốn thực tiễn 6- Mơ tả mối liên hệ dãy Farey với Định lý Pick Tìm tịi ứng dụng khác số vô tỉ dãy Farey vấn đề tiếp tục tìm hiểu sâu luận văn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn