(Luận văn) dãy farey và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————————— VŨ NGỌC TÚ lu an n va p ie gh tn to DÃY FAREY VÀ ÁP DỤNG d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - Năm 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————————— VŨ NGỌC TÚ lu an n va p ie gh tn to DÃY FAREY VÀ ÁP DỤNG nl w Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP d oa Mã số: 60.46.01.13 nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - Năm 2015 ac th si Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ (Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội) Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho lu an Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy n va cô giảng dạy lớp Cao học K7C (2014- 2016) Trường Đại học Khoa Học tn to - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu ie gh tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học p Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, nl w người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt d oa trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! lu nf va an Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Người viết luận văn z at nh oi lm ul Vũ Ngọc Tú z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Mục lục Mở đầu lu Lời cảm ơn an n va p ie gh tn to Dãy Farey Các tính chất dãy Farey nl w 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Dãy Farey 1.1.3 Tính chất dãy Farey d oa 1.1.1 nf va an lu lm ul Độ dài dãy Farey 11 1.3 Xấp xỉ số vô tỉ qua dãy Farey z at nh oi 1.2 13 Xấp xỉ tốt 13 1.3.2 Mơ tả hình học phép xấp xỉ vô tỉ dựa vào dãy z 1.3.1 gm @ co l phân số Farey 16 Đường tròn Ford 19 1.5 Từ đại số đến hình học ngược lại 26 m 1.4 an Lu n va ac th si Áp dụng 29 2.1 Hàm Zeta 29 2.2 Áp dụng dãy phân số Farey 30 2.3 2.2.1 Dãy phân số Farey giả thuyết 32 2.2.2 Chứng minh chiều xuôi mệnh đề tương đương 33 2.2.3 Chứng minh chiều ngược lại 35 Một số ví dụ khác áp dụng dãy phân số Farey 41 lu an 45 Tài liệu tham khảo 46 n va Kết luận p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Số học lĩnh vực cổ xưa toán học lĩnh vực tồn nhiều toán, giả thuyết chưa lu an có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, n va nhiều lý thuyết lớn toán học nảy sinh tn to Nếu trước số học xem ngành lý ie gh thuyết xa rời thực tiễn ngày nhiều thành tựu p số học có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống thông tin, nl w mật mã, kĩ thuật máy tính Trong số học có số đặc biệt ngồi d oa tính chất đẹp đẽ kì diệu số cịn có ứng an lu dụng bất ngờ sâu sắc toán học lĩnh vực khác nf va Dãy Farey đặt theo tên nhà địa lý học John Farey, ông mô lm ul tả dãy phân số Farey vào năm 1816 Trong viết Farey đưa câu hỏi sau: Có số phân số tối giản có giá trị khác z at nh oi khoảng (0,1)? Với mong muốn tìm hiểu vấn đề dãy Farey chọn đề tài “Dãy z gm @ Farey áp dụng” Mục đích luận văn trình bày lại số kết công bố Farey ứng dụng với lí thuyết khác m co l Luận văn gồm có chương Chương 1: Trong chương chúng tơi trình bày lại dãy Farey, an Lu tính chất, độ dài, xấp xỉ số qua dãy Farey, mối quan hệ dãy n va phân số Farey đường tròn Ford ac th si Chương 2: Đưa áp dụng dãy Farey vào lý thuyết khác Mặc dù cố gắng nhiều luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong có ý kiến đóng góp thầy bạn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Tác giả lu an Vũ Ngọc Tú n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Dãy Farey lu an va n 1.1 Các tính chất dãy Farey tn to Một số kiến thức chuẩn bị p ie gh 1.1.1 w Định nghĩa 1.1.1 Một hàm số f xác định N+ nhận giá trị oa nl trường số thực R gọi hàm số học Nói cách khác, d hàm số học ánh xạ f : N+ → R an lu nf va Định nghĩa 1.1.2 Cho f : N+ → R hàm số học Hàm f gọi hàm nhân f 6= ( nghĩa tồn số n ∈ N+ lm ul để f (n) 6= 0) với a, b ∈ N+ thỏa mãn (a, b) = f (ab) = z at nh oi f (a).f (b).) Ví dụ Hàm số học f : N+ → R xác định f (a) = am , m ∈ Z z gm @ hàm nhân l Định lí 1.1.3 (Cơng thức tổng trải) Nếu số ngun dương n có phân tích m co tiêu chuẩn n = pα1 pα2 pαs s với hàm nhân f ta có   αj s X Y X 1 + f (d) = f (pji ) an Lu i=1 j=1 n va d|n ac th si Chứng minh Khai triển tích vế phải hệ thức ta có:   αj s Y X 1 + f (pji ) i=1 j=1 = X f (pλ1 )f (pλ2 ) · · · f (pλs s ), ≤ λi ≤ αi , i = 1, , s, = X f (pλ1 pλ2 · · · pλs s ), f hàm nhân, = X f (d), d = pλ1 p2λ2 · · · pλs s d|n Định lý chứng minh lu an Định nghĩa 1.1.4 Hàm số học φ : N+ → R, n 7→ ϕ(n), φ(n) n va số nguyên m thỏa mãn: gh tn to    0 (m, n) = 1, ta viết tất số lm ul từ đến mn theo bảng sau: n+2 ··· ··· ··· n n+3 ··· 2n ··· ··· ··· @ n+1 z z at nh oi (m − 1)n + n l gm (m − 1)n + (m − 1)n + (m − 1)n + · · · m co Ta thấy số nguyên tố với n tất số nằm cột i ∈ {1, 2, , n} an Lu cho (i, n) = Mỗi cột hệ thặng dư đầy đủ theo modulo(m) nên cột có φ(m) số nguyên tố với m Do số nguyên n va tố với m n φ(m)φ(n) ac th si Mặt khác ta lại có φ(mn) số tự nhiên k mà 6= k 6= mn cho (k, mn) = Nhưng (k, mn) = (k, m) = (k, n) = Do φ(mn) số nguyên dương không vượt mn nguyên tố đồng thời với m n Điều chứng tỏ φ(mn) = φ(m)φ(n) 1 Ví dụ Ta có 36 = 22 32 , đó: φ(36) = 36.(1 − )(1 − ) = 12 Do có 12 phân số với mẫu số 36 lu Hàm Euler sử dụng để trả lời cho câu hỏi có phân a số tối giản nằm với b bất kì, a < b, (a, b) = Một dãy b phân số tối giản gọi dãy Farey an n va Dãy Farey gh tn to 1.1.2 a thỏa mãn ≤ a < b b ≤ n, (a, b) = 1, b = xếp theo thứ tự tăng dần gọi dãy p ie Định nghĩa 1.1.6 Tập hợp phân số tối giản w d oa nl phân số Farey cấp n, kí hiệu Fn nf va an lu Các số 0, gọi phần tử sở tập hợp phân số Farey viết dạng 1 Ví dụ F1 = { , } 1 1 F2 = { , , } 1 F3 = { , , , , } 3 1 1 F4 = { , , , , , , } 3 z at nh oi lm ul z gm @ m co l Ta biểu diễn dãy phân số Farey sau: an Lu n va ac th si x α − < với < y < n y (n + 1)y z at nh oi lm ul z Chứng minh Cho α nằm hai số hạng liên tiếp @ l gm Fn a c dãy Farey b d b ≤ n, d≤n (1.4) an Lu ad − bc = −1 m co Khi đó, ta có: (1.5) n va ac th si 14 Hơn nữa: a a+c c < < b b+d d Do có hai khả năng: α nằm c d Trong trường hợp thứ : α − a a+c a+c và b b+d b+d a a+c a < − = (1.5) b b+d b b(b + d) Nhưng b + d ≥ n + (theo định lí (1.1.7)) Bởi vậy: α− a < b b(n + 1) lu an Trong trường hợp thứ hai: chứng minh cách tương tự ta được: va n c −α< d d(n + 1) gh tn to p ie Vậy oa nl w c a thoả mãn bất đẳng thức : b d x α − < với < y ≤ n y (n + 1)y d c a hai số hạng dãy phân số tối giản b d √ Ví dụ Sử dụng n = 78 Khi α = − = 0, 6457513 nằm 20 31 hai số hạng liên tiếp Fn Ta có: 31 48