LUẬN văn THẠC sĩ HAY dãy farey và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————————— VŨ NGỌC TÚ DÃY FAREY VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————————— VŨ NGỌC TÚ DÃY FAREY VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - Năm 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ (Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội) Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phịng sau Đại học, q thầy giảng dạy lớp Cao học K7C (2014- 2016) Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Người viết luận văn Vũ Ngọc Tú LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu 1 Dãy Farey 1.1 Các tính chất dãy Farey 1.1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Dãy Farey 1.1.3 Tính chất dãy Farey 1.2 Độ dài dãy Farey 11 1.3 Xấp xỉ số vô tỉ qua dãy Farey 13 1.3.1 Xấp xỉ tốt 13 1.3.2 Mô tả hình học phép xấp xỉ vơ tỉ dựa vào dãy phân số Farey 16 1.4 Đường tròn Ford 19 1.5 Từ đại số đến hình học ngược lại 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Áp dụng 29 2.1 Hàm Zeta 29 2.2 Áp dụng dãy phân số Farey 30 2.3 2.2.1 Dãy phân số Farey giả thuyết 32 2.2.2 Chứng minh chiều xuôi mệnh đề tương đương 33 2.2.3 Chứng minh chiều ngược lại 35 Một số ví dụ khác áp dụng dãy phân số Farey 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Số học lĩnh vực cổ xưa toán học lĩnh vực tồn nhiều toán, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, nhiều lý thuyết lớn toán học nảy sinh Nếu trước số học xem ngành lý thuyết xa rời thực tiễn ngày nhiều thành tựu số học có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống thơng tin, mật mã, kĩ thuật máy tính Trong số học có số đặc biệt ngồi tính chất đẹp đẽ kì diệu số cịn có ứng dụng bất ngờ sâu sắc toán học lĩnh vực khác Dãy Farey đặt theo tên nhà địa lý học John Farey, ông mô tả dãy phân số Farey vào năm 1816 Trong viết Farey đưa câu hỏi sau: Có số phân số tối giản có giá trị khác khoảng (0,1)? Với mong muốn tìm hiểu vấn đề dãy Farey chọn đề tài “Dãy Farey áp dụng” Mục đích luận văn trình bày lại số kết công bố Farey ứng dụng với lí thuyết khác Luận văn gồm có chương Chương 1: Trong chương chúng tơi trình bày lại dãy Farey, tính chất, độ dài, xấp xỉ số qua dãy Farey, mối quan hệ dãy phân số Farey đường tròn Ford LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2: Đưa áp dụng dãy Farey vào lý thuyết khác Mặc dù cố gắng nhiều luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong có ý kiến đóng góp thầy bạn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Tác giả Vũ Ngọc Tú LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Dãy Farey 1.1 1.1.1 Các tính chất dãy Farey Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.1 Một hàm số f xác định N+ nhận giá trị trường số thực R gọi hàm số học Nói cách khác, hàm số học ánh xạ f : N+ → R Định nghĩa 1.1.2 Cho f : N+ → R hàm số học Hàm f gọi hàm nhân f = ( nghĩa tồn số n ∈ N+ để f (n) = 0) với a, b ∈ N+ thỏa mãn (a, b) = f (ab) = f (a).f (b).) Ví dụ Hàm số học f : N+ → R xác định f (a) = am , m ∈ Z hàm nhân Định lí 1.1.3 (Cơng thức tổng trải) Nếu số ngun dương n có phân tích tiêu chuẩn n = pα1 pα2 pαs s với hàm nhân f ta có   αj s f (d) = d|n f (pji ) 1 + i=1 j=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Khai triển tích vế phải hệ thức ta có:   αj s f (pji ) 1 + i=1 j=1 = f (pλ1 )f (pλ2 ) · · · f (pλs s ), ≤ λi ≤ αi , i = 1, , s, = f (pλ1 pλ2 · · · pλs s ), f hàm nhân, = f (d), d = pλ1 p2λ2 · · · pλs s d|n Định lý chứng minh Định nghĩa 1.1.4 Hàm số học φ : N+ → R, n → ϕ(n), φ(n) số nguyên m thỏa mãn:    0 (m, n) = 1, ta viết tất số từ đến mn theo bảng sau: ··· n n+1 n+2 n+3 ··· 2n ··· ··· ··· ··· ··· (m − 1)n + (m − 1)n + (m − 1)n + · · · (m − 1)n + n Ta thấy số nguyên tố với n tất số nằm cột i ∈ {1, 2, , n} cho (i, n) = Mỗi cột hệ thặng dư đầy đủ theo modulo(m) nên cột có φ(m) số nguyên tố với m Do số nguyên tố với m n φ(m)φ(n) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác ta lại có φ(mn) số tự nhiên k mà = k = mn cho (k, mn) = Nhưng (k, mn) = (k, m) = (k, n) = Do φ(mn) số ngun dương khơng vượt q mn nguyên tố đồng thời với m n Điều chứng tỏ φ(mn) = φ(m)φ(n) 1 Ví dụ Ta có 36 = 22 32 , đó: φ(36) = 36.(1 − )(1 − ) = 12 Do có 12 phân số với mẫu số 36 Hàm Euler sử dụng để trả lời cho câu hỏi có phân a số tối giản nằm với b bất kì, a < b, (a, b) = Một dãy b phân số tối giản gọi dãy Farey 1.1.2 Dãy Farey a thỏa mãn ≤ a < b b ≤ n, (a, b) = 1, b = xếp theo thứ tự tăng dần gọi dãy Định nghĩa 1.1.6 Tập hợp phân số tối giản phân số Farey cấp n, kí hiệu Fn Các số 0, gọi phần tử sở tập hợp phân số Farey viết dạng 1 Ví dụ F1 = { , } 1 1 F2 = { , , } 1 F3 = { , , , , } 3 1 1 F4 = { , , , , , , } 3 Ta biểu diễn dãy phân số Farey sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 32 Hàm Mertens hàm biến đổi chậm, tăng giảm nhiều bước, khơng có n cho |M (n)| > n Năm 1885, nhà toán học người Hà Lan Thomas Joannes Stieltjes gải thiết khơng có n cho |M (n)| > n1/2 , trăm năm sau vào năm 1985 chứng minh sai Andrew Odlyzko Herman te Riele Tuy nhiên, giả thuyết Riemann tương đương với giả thiết yếu sau : M (n) = 0(n + ) (2.4) > Nói cách khác, với C : Với + M (n) = 0(Cn2 ) Nghĩa |M (n)| bao n1/2+ Suy tương đương với giả thuyết Riemann cách sử dụng dãy phân số Farey 2.2.1 Dãy phân số Farey giả thuyết Như giả thiết Mertens, trước hết ta cần mệnh đề tương đương, cần phải sử dụng số định nghĩa sau Định nghĩa 2.2.3 Cho L(n) độ dài dãy Farey Fn rv số hạng thứ v dãy Ta định nghĩa hiệu: δv = rv − v/L(n) (2.5) Ví dụ 14 F5 = { 01 , 15 , 14 , 13 , 25 , 12 , 35 , 32 , 34 , 45 , 11 } L(5) = 11 δ1 = − 11 = − 11 δ2 = − 11 = 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 33 δ11 = 1 − 11 11 =0 Năm 1924, định lí Franel-Landau ra: L(n) |δv | = o(n + ) (2.6) v=1 với > n liên quan đến Fn , tương đương với gải thiết Riemann Đây liên kết dãy Farey giả thuyết Riemann Để tương đương với giả thuyết Riemann, phần lại luận văn chứng minh điều đó, nghĩa là: L(n) 1 |δv | = o(n + ) ⇔ M (n) = o(n + ) (2.7) v=1 Vì vậy, điều Mertens giả thiết đúng, tương đương với giả thuyết Riemann Chúng ta chứng minh mệnh đề tương đương từ trái qua phải từ phải qua trái Chìa khóa để chứng minh liên quan đến δv M (x) Nếu điều thực bắt đầu chứng minh (2.7) Để làm điều này, hàm thực xác định đoạn [0, 1] Cho rv kí hiệu cho phần tử chuỗi Farey, Tổng số hàm điểm dãy Farey liên quan đến hàm Mertens hàm phương trình sau: L(n) ∞ f (rv ) = v=1 2.2.2 k=1 k n j f ( )M ( ) k k j=1 (2.8) Chứng minh chiều xuôi mệnh đề tương đương Trong phần này, ta phải L(n) 1 |δv | = o(n + ) ⇒ M (n) = o(n + ) v=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 34 Sử dụng cơng thức (2.8) áp dụng cho hàm số f (u) = e2πiu ta L(n) ∞ 2πiu e n e2πij/k M ( ) k j=1 = v=1 Bổ đề 2.2.4 k k=1 k 2πij/k j=1 e (2.9) = trừ k = trường hợp điều đơn giản với phương trình đưa từ trước L(n) e2πirv M (n) = v=1 L(n) e2πi[v/L(n)+δv ] = v=1 L(n) L(n) e = 2πiv/L(n) (e 2πiδv v=1 ⇒ |M (n)| ≤ e2πiv/L(n) − 1) + v=1 L(n) 2πiδv v=1 |(e − 1)| + Sắp xếp lại vế phải ta L(n) |eπiδv ||(eπiδv − e−πiδv )| |M (n)| ≤ v=1 L(n) | sin(πδv )| =2 v=1 L(n) ≤ 2π |δv | v=1 Sử dụng (2.6) vầ cho 2π.K( ) = K ( ) ta có bất đẳng thức sau |M (n) ≤ K ( )n1/2+ | Vì M (n) = o(n1/2+ ), ∀ > LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 35 2.2.3 Chứng minh chiều ngược lại Trong phần ta phải M (n) = o(n1/2+ ) ⇒ |δv | = o(n1/2+ ) Định nghĩa 2.2.5 Đa thức Bernoulli Vị trí thứ n đa thức Bernoulli Bn (u) thỏa mãn phương trình x+1 Bn (u)du = xn (2.10) x ¯n (u) Đa thức Bernoulli mở rộng với chu kì 1, kí hiệu B Ví dụ 15 ¯1 (u) = u − [u] + B B1 (u) = u + (2.11) (2.12) ¯1 (u) Hình 2.1: Đồ thị B1 (u) B LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 36 Tính chất đa thức Bernoulli sử dụng sau: k−1 )] Bn (ku) = k n−1 [Bn (u) + Bn (u + ) + + Bn (u + k k (2.13) Chú ý tính chất sử dụng cho đa thức Bernoulli tuần hoàn Định nghĩa hàm G sau: L(n) ¯1 (u + rv ) B G(u) = (2.14) v=1 Và I là: [G(u)]2 du I= (2.15) Sử dụng (2.8) ta viết G sau: ∞ G(u) = k=1 k ¯1 (u + j )M ( n ) B k k j=1 Áp dụng (2.13) ∞ G(u) = ¯1 (ku)M ( n ) B k k=1 (2.16) Có hai biểu thức cho G, hai cách để đánh giá I Đầu tiên xét phương trình (2.14) Cơng thức với hàm Farey rv , hàm giảm xuống tăng với đường dốc L(n) rv rv+1 Giữa rv rv+1 , G hoạt động hàm G(u) = L(n)u − v − 1/2, Điều cách biểu diễn I : L(n) rv I= v=1 L(n) = v=1 (L(n)u − v − 1/2)2 du rv −1 (L(n)u − v + 1/2)3 rv |rv −1 L(n) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 37 Hình 2.2: G(u) sử dụng phần tử F3 F4 Hình 2.3: G(u) sử dụng phần tử từ F5 Vì số hạng dãy Farey 0, r0 = nên: L(n) I= v=1 (L(n)rv − v + 1/2)3 (L(n)rv−1 − v + 1/2)3 − L(n) L(n) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 38 Thay L(n)rv = L(n)[rv − I= 3L(n) = = 3L(n) 3L(n) v L(n) + v L(n) ] = L(n)δv + v L(n) [(L(n)δv + 1/2)3 − (L(n)δv−1 − 1/2)3 ] v L(n) [(L(n)δv + 1/2)3 − (L(n)δv − 1/2)3 ] v L(n) v L(n) 1 [2.3(L(n)δv )2 + ( )3 2 δv2 + = L(n) v=1 12 (2.17) Nó cho ta cơng thức rõ ràng cho I Sử dụng G(u) (2.16) tổng hữu hạn, ta đánh giá I sau: L(n) L(n) I= a=1 Cho Iab = n n M ( )M ( ) a b b=1 ¯ ¯ B1 (au)B1 (bu)du ¯1 (au)B ¯1 (bu)du B (2.18) mà đánh giá cách rõ ràng Để tìm cơng thức rõ ràng cho Iab , ta cần xét ba trường hợp b = b a nguyên tố a b không nguyên tố Lúc đầu, khó để xem xét trường hợp này, công thức cho b = thu hai trường hợp thu được, cung cấp cho công thức cho giá trị a b Trường hợp 1: b = a Ia1 = ¯1 (au)B ¯1 (u)du B (2.19) Thay v = au ⇒ du = a−1 dv = a ¯ ¯ v −1 B1 (v)B1 ( a )a dv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 39 Thay v = k + t ⇒ dv = dt = a−1 a−1 ¯ k=0 B1 (k ¯1 ( k t )dt + t)B a a ¯1 (2.13) Sử dụng tính tuần hồn B = a−1 a−1 ¯ t ¯ B1 (t)B1 (a a )dt 1(t − 2t )2 dt ⇒ Ia1 = (12a)−1 Trường hợp 2: Với a b nguyên tố Giống bước trên, ta tìm công thức sau: Iab = a −1 =a −1 ¯1 (t)B ¯1 (a bt )dt B a ¯1 (t)B ¯1 (bt)dt B Giống (2.19) ta thay a = Vì vậy: = a−1 I1b = a−1 (12b)−1 = (12ab)−1 Trường hợp 3: a b không nguyên tố Cho c = (a, b) ước chung lớn a b Thì a = αc b = βc Iab = ¯1 (αcu)B ¯1 (βcu)du B c −1 =c ¯1 (αt)B ¯1 (βt)dt B = Iαβ (12αβ)−1 Thay αβ = ab c2 ta được: c2 = 12ab Bây phải tính giá trị Iab với giá trị a b Nếu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 40 a b nguyên tố nhau, đặt c = 1, khơng ngun tố nhau, cho c = gcd(a, b) trước Điều dẫn đến kết cuối I là: ∞ ∞ I= a=1 n n c2 M ( )M ( ) a b 12ab b=1 (2.20) Sử dụng M (n) = 0(n1/2+ ), ∀ > 0, tồn C thỏa mãn M (n) < Cn(1/2)+ Thay giá trị M (n) ta được: ∞ I< a=1 ∞ n 1/2+ n 1/2+ c2 C( ) C( ) a b 12ab b=1 1+2 =n ∞ C2 12 ∞ c2 (αcβc)(3/2)+ a=1 b=1 ∞ ∞ ∞ 1+2 =2 C 12 a=1 b=1 c=1 c2 α3/2 β 3/2 c3/2 c , dùng công thức I (2.17), tổng vô hạn hội tụ đến Cho K + 12 L(n) δv2 < Kn1+2 L(n) v=1 Lấy bậc hai hai vế ta được: L(n) (δv2 ))1/2 < K 1/2 n1/2+ L(n)1/2 ( v=1 Bước cuối rằng: L(n) L(n) 1/2 |δv | ≤ L(n) v=1 (δv2 ))1/2 ( (2.21) v=1 Điều thực cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 41 Schwarz: L(n) L(n) |δv | = | v=1 (±1)δv | v=1 L(n) ≤ (1 + + + + 1)1/2 ( L(n) (δv2 ))1/2 v=1 L(n) 1/2 = L(n) (δv2 ))1/2 ( v=1 Do ta thu được: L(n) |δv | < K 1/2 n1/2+ v=1 với > Vậy L(n) |δv | = o(n1/2+ ) v=1 Kết thúc chứng minh mệnh đề (2.7) 2.3 Một số ví dụ khác áp dụng dãy phân số Farey Định lí 2.3.1 Nếu α nằm hai số hạng liên tiếp a c dãy b d Farey Khi đó, bất đẳng thức α− x √ bd 1 + 2 b b Từ suy d2 − √ 5bd + b2 < (2.25) Bằng vài phép biến đổi đại số ta √ = = √ √ 1 (2 − 5)b2 + (2 + 5)bd + d2 √ + = − b2 (b + d)2 b(b + d) 5b2 (b + d)2 √ √ √ (6 − 5)b2 − 4( − 1)bd + 4d2 d2 − 5bd + b2 √ − √ 5b2 (b + d)2 5b2 (b + d)2 √ √ ( − 1)b − 2d − (d2 − 5bd + b2 ) √ (*) 5b2 (b + d)2 Theo (2.25) kết (*) số thực dương Do đó: 1