Định lý minimax và một số ứng dụng

Trang 1

—'- £40909

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trang 2

Em xin chân thành cảm ơn thây : PTS NGUYÊN BÍCH HUY đã hướng dẫn em hồn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy ,cơ trong Khoa đã giúp đã

Trang 3

LỜI NĨI ĐẦU

Một số bài tốn lý thuyết cũng như ứng dụng đưa đến việc trả lời

câu hỏi : với những điều kiện nào thì ta cĩ ¡nf sup f(x.y) = sup inf f(x,y) (*),

weM ay :

io

trong 46 f 14 mét ham sé thyc trén tap tich MxN Cac dinh ly chi ra nhitng diéu kién

để (*) được thưc hién goi chung là định lý minimax

Năm 1928 , Johann von Neumann , nha tốn học người Mỹ gĩc Hungarv ,

là người đầu tiên đưa ra các điểu kiện để cĩ (*) Định lý minimax da được

nhiều nhà tốn học quan tâm ,Cho đến nay dinh ly minimax đã cĩ nhiều dang

tổng quát khác nhau nhằm ứng dung trong các lĩnh vực khác nhau như : ứng

dung trong bài tốn điểm bất đơng , ứng dụng trong lý thuyết trị chơi các bài tốn kinh tế

Trong luận vẫn này chúng tơi trình bày lại một trong các đang của định

lý minimax và mơt số ứng dung của chúng Luân văn này được chia làm 3

chuơng

Trong chương I chúng tơi trình bày một số kiến thức về tơpơ và khỏng

gian vectơ tơpơ Những kết quả được nêu ra ở đây là cơ sở lý luận cho những chương sau

Trong chương II , chúng tơi trình bày về định lý minimax vàbất đẳng thức KyFan , bền cạnh đĩ chúng tơi cũng trình bày một kết quả nhỏ của chúng tỏi

ở cuối chương

Trong chương III chúng tơi trình bày 2 ứng dung của định lý minimax là

ứng dung trong các bài tốn điểm bất đơng và ứng dung trong các bất đẳng

thức biến phân

Vì khả nang con han hep va biféc dau hoc tap nghiên cứu khoa học chắc

chấn khơng tránh khỏi những sai sĩt Kính mong được sự tha thứ và chỉ bảo của các thầy các cơ

BAI HOC SU PHAM TPHCM 15 /5 /2000

Trang 4

iv

MUC LUC

Lời nĩi đầu iii

CHƯƠNG I: Một Vài Kiến Thức và Kết Quả Chuẩn Bị i

A.Compắc 1

B.Tơpơ đầu ,tơpơ cuối xác định bởi họ ánh xạ 1

C.Djnh ly Brower 2

D.Hàm nửa liên tục ,hàm compắc dưới 2

E.Khơng gian vectơ tơpơ 3 4 F.Khơng gian phản xạ CHƯƠNG II :Định Lý Minimax và Bất Đẳng Thức KyFan 5 A/ Dinh ly minimax 5

B/ Bat dang thức KyFan

CHUGNG II: Ung Dung 16

A/ Ung dụng vào bai tốn điểm bất động 16

B/ Ứng dụng vào các bất đẳng thức biến phan 19

Trang 5

CHƯƠNG I I: Tế: vi 0 N THUC VA

KET QUA CHUAN BI

A COMPAC :

Cho khơng gian tơpơ X và A là một tập con khác rỗng tùy ý của X

Họ các tập con #ˆ của X được gọi là một phủ của A nếu Ac Uy, zF Nếu > chỉ cĩ hữu hạn phần tử thì ta gọi đĩ là một phủ hữu hạn Cho #¡,.Z:là 2

hai cái phd cla A , ta nĩi Z¡ là phủ con của #; nếu F e #; thì F e #;

Nếu mỗi phần tử của phủ # là mở trong X ta gọi Z là một phủ mở

Định nghĩa Ì :

Cho X là một khơng gian tơpơ , A là một tập con khác rỗng tùy ý của X Tập A được gọi là compắc nếu từ mọi phủ mở tùy ý của A đều cĩ thể rút ra một

phủ con hữu hạn

Khơng gian tơpơ X được gọi là compắc nếu từ mọi phủ mở của X tổn tại phủ

con hữu hạn

Định lý I:

Khơng gian tơpơ X là compắc khi và chỉ khi một họ bất kỳ các tập đĩng cĩ giao hữu hạn khác rỗng thì cĩ giao khác rỗng

Định nghĩa 2 : (tơpơ đầu xác định bởi một họ ánh xa)

Giả sử X là một tập hợp, ((Y,, ?()}, „ s là một họ các khơng gian tơpơ, {Í,}, „ s là một họ ánh xạ f, : X => Y, Tơpơ yếu nhất 7 trên X sao cho các ánh xạ f, đều liên tục goi là tơpơ đầu xác định bởi họ ánh xạ {Í,}, ; s « Họ B tất cả các tập hợp dang AV) trong đĩ s, e S V, e FT vdii= I k là a=! một cơ sở của khơng gian tưpơ (X 7) Định lý 2 :

Cho họ (f,|,.s ((Y, Z)} ,s như trên X được trang bị tơpơ đầu xác định bởi ho {|Í,} s ø : Z —> X là ánh xa từ khơng gian topd (7, D) vao (X, 7Ð Khi đĩ g liên tuc nếu và chỉ nếu mọi ánh xa hợp Í g : Z —> Y, là liên tục

Trang 6

một họ ánh xa f, : X, —> Y từ khơng gian tơpơ (X,, 7#) vào Y

Tơpơ mạnh nhất 7 trên Y sao cho tất cả các ánh xạ f, đều liên tục gọi là tơpơ

cuối xác định bởi họ {Í,};«s

Với mọi Vc Y, V e 7 nếu và chỉ nếu: f-'(V) e 74,Vs e §

Định lý 3 :

Cho họ {(X., f⁄)},«s (f},«s xác định như trên, Y được trang bị tơpơ cuối xác định hởi họ {Í,|}.„s , ø : Y —> Z là ánh xạ từ khơng gian tơpơ (Y, 7) vào khơng gian

tơpơ (Z., ?) Khi đĩ g liên tục khi và chỉ khi với mỗi s € S 4nh xa hop gof, : X, >

Z là hiên tuc

C DINH LY BROUWER :

Dinh ly 4 (Brouwer) :

Moi ánh xạ liên tục F: C —>› C từ một tập hợp lơi, compấắc C CIR" vao chính nĩ đều cĩ ít nhất một điểm bất đơng x” = f(x`)

D HAM NUL NTUC, HAM CO f

Định nghĩa 4 :

Cho ánh xạ f : (X Ø => R

¡) f được gọi là nửa liên tục dưới nếu {x e X | f(x) >r} e Tđối với Vr e R

ii) f được gọi là nửa liên tục trên nếu {x © X | f(x) <r} e 7 đối với Vr e R

Nhận xét : f nửa liên tục dưới © - f nửa liên tục trên

iii) f được gọi là compắc dưới (tương ứng trên) nếu F '((-z r]) (tương ứng

F!((-z, r]) ) là compắc tương đối trong X đối với Yr e R

- Định lý 5 :

Cho f : X ->|R các mệnh dé sau tương đương :

1) f nửa liên tục dưới trên X

ii) Với mọi x e X với mọi À e R kà f(x) > À tốn tại một lân cận V, của x trong

X sao cho Í(u) > ^ đối với mọi u e Vị, iii) Xx, > x ta cd: f(x) s lim inf f(x.)

Chứng minh

i) => ii) : hién nhién

ii) — iii): Cho A EIR va xeX sao cho f(x) > À, khi đĩ tổn tại một lân cận V,

của x sao cho f(x) > À với mọi x e V, Mặt khác với mọi lân cận V, 3œ¿ : Wœ >

Trang 7

aS inf f(x, ) Slim inf fix, )

Vi A 06 thé gan f(x) nổi cách tùy ý, ta cĩ điểu phải chứng minh iii) => j) : VÀ elR ta chứng minh A = {x Ì f(x) < A} là đĩng

Thật vậy {x„} là mét day trong A va x,-> x Do iii) tacé:

f(x) Sliminf f(x,)<A

Đo đĩ x e A hay A là đĩng Nhận xét :

I Nếu f là liên tục dưới và compắc dưới thì f đạt cực tiểu

2 Nếu f, (i = 1n) là những hàm liên tục dưới thì : fÍ;(x) = max /,(+) là nửa liền tục dưới Chứng mình 1 Dat a= inf {f(x) : x e X] ta cần chỉ ra rằng A = {x e X | f(x) = œ} # Ø Lấy dãy a, + @ va dat A, = {x | f(x) <a} ta cĩ A„ compắc khác rổng với mọi n, A„ ‡ A do đĩ A # Ø

2 VA eR tacé A; = {x eX | f(x) SA} dong véi moi i=1,2,.,n

Ta lạicĩ À = {X € X| f(x) SA} = đ1a, do đĩ A đĩng Vậy f, là nửa liên tục dưới,

E, KHƠNG GIAN Định nghĩa 6 :

Ta nĩi một tơpơ 7 trên khơng gian tuyến tính X tương thích với cấu trúc đại số, nếu các phép tốn đại số trong X liên tục đối với tơpơ đĩ, tức là :

| Anh xa: (x,y) > x + y từ X x X vào X là liên tục, nĩi rõ hơn với mọi lân cận

V của điểm x + y đều tổn tại một lân cận U, của x và một lân cận U, của y sao cho

nếu x` e U,.,y` e U, thì x'+y` e V,

2 Ánh xa (x.œ) > œx từ X x KỊ vào X là liên tục: nĩi cách khác với mọi lân cận

V của ax cĩ một g > 0 và một lân cận U của x sao cho nếu | cx" -al<e.x'eU thì œ`x` e V

Một khơng gian tuyến tính X trên đĩ cĩ một tơpơ tương hợp vơi cấu trúc đại số

gọi là một khơng gian vectơ tập hay khơng gian tuyến tính tơpơ.,

F TƠ

Định nghĩa 7 :

Giả sử X là khơng gian tuyến tính định chuẩn và X” là khơng gian liền hợp với

X Tơpơ yếu nhất trên X xác định hởi họ hàm f: X —> R, f e X” được gọi là tps yếu trên X và ký hiệu là ø(X, X `)

Trang 8

| Luận Văn Tất Nghiệp ĐHSP — — GVHD : PTS Nguyễn Bích Huy

B=(){xeX xi(x)—x‡(x¿)|<e | trong đĩ x„ eX,x} e X”(¡= In), e một vl số dương là một cơ sở lân cận của xạ trong tơpơ yếu trên X ; NG GIAN PHA Định nghĩa 8 :

Khơng gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là một khơng gian phản xạ nếu

phép nhúng chuẩn tắc từ khơng gian X vào khơng gian liên hợp thứ hai X””

Trang 9

CHƯƠNG Il: DINH LY MINIMAX va BAT DANG THUC KYFAN Luận Văn Tết Nghiệp ĐHSP A DINH LY MINIMAX : Cho các tập hợp M, N và hàm f: M xN > R ta sé ký hiệu :

vì = sup inf f(x,y) v? = inf supf(x,y)

yeN xe€M xeM veN

Gọi là họ các tập con hữu hạn của N, với Ke ` ta định nghĩa : ’ + vi = inf sup f(x,y) ¡VƠ = SUP VK xeMveK Kes Ta dễ dàng kiểm tra vị <v” ,VKez#Z nên v°<v”Do vậy vì <v?<v? Định lý AI : Giả sử M, N là các tập lơi trong các khơng gian vectơ và hàm f: MxN >lR thỏa mẫn : i) Vy € N, ham x > f(x,y) là lỗi ii) Vx e M, hàm y > f(x,y) là lõm, Khi đĩ vì = v" Chứng mình u Với K = [yi.Y+ yu]} 6 tạ đặt Ll" =(AER NSA, =] i=!

Ta định nghia anh xa Fy: M —> R" như sau :

F(x) = (FOX yị) , Đ(X, y‡) Í(X y¿)) và đật Ww„ = sup in! <A,F (xX) > Nếu ta chứng mỉnh được : v Sw, VKe# (1) Wx <v' VKe# (2) Thì sẽ cĩ vŸ = sup ve < sup We SV <v' Ke⁄ Ke&⁄

Chitng minh (1) Voie > 0 ta ký hiệu LÍ = (1 I 1) va sé chứng mình

(ww + £)1 € co(Fx(M)) +|R} Nếu điều nay khong dung thi then dinh ly tach tap lỗi ta tim duvc A € R" A # Ơ sao cho :

<À (wx +£)+> < infkKÀ.v >:v e co(Ex(M))+lR” |

< inf k A.W > -veF,(M)+R°}

= inf <A, F(x) + inf <A,u > (3)

veM u<«R "

Từ đây suy ra inÏ <^,u >#-ø dod6 phdicé AER? Do vay inf <A,u>=0

Trang 10

Luận Văn Tốt Nghiệp ĐHSP_ GVHD : PTS Nguyễn Bích Huy Phẫn tử À=A./Š'A, cĩ nghĩa và thuộc ", từ (3) ta cĩ :

sl

W„ +£ES infk À„F„(x) >:xX€ MÌ< Wy

Ta gặp mâu thuẫn, vậy phai c6 z, e co(Fg(M)) ,u, e R} sao cho

(W¿ +£)À= 7¿ + U,

Mặt khác, do định nghĩa của co(Fx(M)) phải cĩ xạ, xa, X„ € M sao cho :

z, =3 _œ,F,(x,) Từ đây ta cĩ: w„ +e>3 œ,f(x,.y,) Vj=l, n Do M léinén Sax=x' 6M, và do giả thiết ¡) ta cĩ : w, +62 Daf(x,.y,) Vj= l.n is} 2 f(x’, y,) Vj=lI,n Do đĩ :w,„ +£ > max f(x’, y,) 3 ve Choe ~ 0 ta 66 (1) Chitng minh (2): Voi méi A € &", phdn wr y;, =P hy, eN và do giả thiết ii) Ta cĩ : Š'Af(x.y,)<f(X.y,) vxeM —_— éM vst Do dé int VAtiwy,) int f(x.y,) $ vì xe: Lấy sup của vế trái khi À e F* ta cĩ: wy < vỶ Vậy định lý được chứng mình, Định lý +12 -

Giả sử M là khơng gian tơpơ và hàm f: M xN —> R thỏa mãn :

i) dy) € N sao cho ham x + [(x, yo) là compắc dưới

ii) Vy SN haomx es f(x,y) 12 na lién uc duéi

Khi do v' =v" va tén tai diém x eM sao cho sup f(x.y) = v”

yen

Chứng minh

Đặt S, = JveM Í fx.y) < v”| Ta cĩ nếu y`e Ke# thì (1S, #Ø Thật

ver

vay ham l,(x)= max f(x.y) là nửa liên tục dưới và compắc dưới nên đạt giá trị

nhỏ nhất điểm này sẽ thuộc (3S,

yer

Vi S, déng va S, compde nên từ nhận xét trên ta cĩ (}S, #Ø

Trang 11

GVHD 1 PTS Neguy Với mọi x e (S, ta cĩ sup f(x,y) < v2 nên vỶ < vỀ Vậy yeN yeN Từ định lý AI, A2 ta nhận được các định lý sau : Định lý A3 : Giả sử M, N là các tập lỗi trong các khơng gian vectơ và M được trang bị tơpơ Cho hàm f : M x N —> R thỏa mãn :

¡) Vy eN ,hàm x L› f(x.,y) là lỗi, nửa liên tục dưới 3yạ e N, hàm x + f(x,y¿) là compắc dưới

ii) Hàm y Í(x,y) là lõm Vx eM

Khi đĩ v' = vỶ và tồn tại xeM sao cho : vÌ = sup f(x,y)

yeN

Định lý A4 (Von Neumamn) :

Giả sử M, N là các tập lỗi trong các khơng gian vectơ được trang bị tơpơ va

ham f: Mx N —R thda min

i) Ham x > f(x,y) là lổi, nửa liên tục dưới Vy € N,

Tén tai yo e N sao cho hàm x > f(x,ya) là compắc dưới

ii) Ham y +> Ì(x,y) là lõm, nửa liên tục trên

Tổn tại xạ e M để y + f{x., y) là compắc trên

Trang 12

B BAT DANG THUC K Y FAN:

Cho cdc tap hdp M, N va hm f: Mx N-WR Néu C là một ánh xa từ M vào N ta ký hiệu : f'(C) = inf f(x,C(x)) Néu ye N thì ta cĩ một ánh xạ hằng x > y, ta ký hiệu nĩ là y va f(y) = inf f(x, y) xeM Nếu € là một họ các ánh xạ từ M vào N, chứa các ánh xạ hằng thể thì v' Ssupf'(C)<v* (1) Ce £ Mệnh đề BI : v` = sup f`(C) (2) canh Trong đĩ NỶ! là ho tất cả các ánh xa từ M vào N Ching minh :

Xét ø > 0 tùy ý Với mỗi x e M ta tim được y,,eN sao cho

sup f(x,y) f(xy, J +e Do dinh nghia ve tacd ve <f'(y, res sup f!(C)+e

yeN Cen"

Doe > 0 tùy ý, ta cĩ vỶ < sup f!(C) kết hợp với (1) ta cĩ (2)

can"

Dinh lf BI:

Giả sử M là một khơng gian tơpơ N là một tập lỗi trong một khơng gian vectơ

tơpơ và hàm f; M xN =— R thỏa mãn các điều kiện sau :

I) Tổn tại y¿ e N sao cho x > f(x, yụ) là comắc dưới

Hàm x +> [(x,y) là nửa liên tục dưới Vy € N 2) Hàm y > f(x,y) là lõm Wx eM Khi đĩ v°= sup inf f(x,C(x)) (3) Ce#:M.N;xeM Trong đĩ # (M, N) là họ tất cả các ánh xạ liên tục từ M vào N Chúng minh :

Gui a là về phải của (3) Ta cĩ, do (]) : a < v?

Cho g > 0 tùy ý ta tìm thấy do mệnh để BI ánh xa (cĩ thể khơng liên tục)

C.: M > N sao cho: v- s C.)+e (4)

Với mỗi x e M ta tìm được do tính nửa liên tục dưới của ánh xạ x ++ f(x,y) mot

lân cận V, cda x sao cho: Vx'e V, : [(x.C„(x)) <f(x'.C.(Xx)*+£ (5)

bat M, =[x|f(x.y,) $ v7} Tap Mạ compắc nèn cĩ thể phủ bởi hữu hạn các tập

V.= V,(¡= 1 , n), Đặt Vụ = MÀM,,, Ta cĩ (V, :í =0,n} là một phủ mở của M

Gọi Íp,.! =0,n} là phân hoạch đơn vị tương thích với phủ mở này Lập ánh xạ C,

Trang 13

Luận Văn Tốt Nghiệp ĐHSP GVHD : PTS Nguyễn Bich Huy, C,(x)= pạ(x).yạ +3 p,(x)C,(x,) pl Từ giả thiết i) ta cĩ : f(x,C,(x))> p,(x)f(x.y,)+Š`p,(x)f(x,C,(x,)) (6) yl

Với mỗi x e M thì cĩ ¡ = 0,n sao cho p(x) > 0 Nếu pu(x) > 0 thì x © Vp nén f(x,ya) > v”

Néu p(x) > 0 thi x € V, (với ¡= I,n) do đĩ từ (4), (5) ta cĩ :

f(x,C,(x,)) > f(x,.C.(x,))-e> vŸ—2g

Kết hợp với (6) ta cĩ f(x,C;, (x)) > vˆ = 2e và do đĩ ta được : vì= 2e <f(C,)<a

Cho e => 0 ta cĩ điểu phải chứng minh

Bổ đề BI : (Bất đẳng thức Ky Fan cho khơng gian hữu han chiéu)

Giả sử K là tập lỗi compắc trong R” và hàm ọ : K x K => R thỏa mãn :

i) Ham x + @(x,y) nửa liên tục dưới Vy € K

i) Ham y => 0(x,y) lõm với moi Vx e K

Khi đĩ tổn tại x € K sao cho sup @(x, Y) < sup @(y,y)

yeh yek

Chứng mình :

Áp dung định lý BI ở trên và định lý A2 phần định lý minimax ta tìm được

xeK sao cho :vÌ = sup @( x, y)= sup inl XX, C(Xx))

yek Ce@ik KR) SEM

Vi K là tập lỗi compắc, C : K —> K liên tục nên theo định lý Brouwer C cĩ

„ điểm bất động x,: e K Do đĩ, ta cĩ ;

inl @(X, C(x)) <S@(x, C(x, )“@(x N pS HY y)a

Nhân xét :

Để chứng mỉnh bổ để BI ta đã sử dụng định lý Brouwer vẻ điểm hất đơng Bây giờ giả sử bổ để đúng, ta sẽ chứng minh định lý Brouwcr là đúng Xét ánh xạ C e ®(K,K) Ta định nghĩa @ : K x K — R hỏi : @(x.y) = <C(X) - X y - X> Hàm @ thỏa mãn các giả thiết i) ii) của bổ để B1, nên tạ cĩ x K thỏa mãn : sụp < C(x)—x,y~x><0 yeR Lấy y =C(x) ta cĩ ||C(x) - x| S0 hay C(x)=x,

Giả sử ta cĩ ® y là một họ các ánh xạ từ N vào M, chứa các ánh xa hằng Với

C e ®# ta định nghĩa : fˆ”(C) = sup f(C(y).y)

yes

Như vậy : vÌ < inf fˆ(C)<v”

Trang 14

Luận Văn Tốt Nghiệp ĐHSP_ — _ GVHD : PTS Nguyễn Bích Buy,

Định lý B2 :

Giả sử M là một khơng gian tơpơ, N là một tập lỗi trong một khơng gian vectơ tơpơ và hàm f: M x N — R thỏa mãn các điều kiện sau :

¡) Tổn tại y„ e N để x + f(x,y¿) là compắc dưới

Ham x > f(x,y) nửa liên tục đưới với mọi y eN

H) Hàm y > Í(x,y) lõm Vx eM

Khi đĩ tổn tai x e M sao cho

sup f(x,y) = inf sup f(C(y).y)

yen Ce#tNMI veM Chứng mình Tacĩ inf f (C)<v” nên cẩn chứng minh tổn tại x eM sao cho: Ce€(N.M) sup f(x,y) Š sụp f(C(y).y) ,với mọi Ce “ (N.M), yen yeN

Do dinh ly A2 ta im ane 5 xX € Msaocho:

mu£p y) =v" =supinf sup f(x.y)

Kes SM veg

Xét K = |V‹.Y› Y.} Ta đặt E° = [À e R} ISA, =1}.Tacé VC € “(N,M)

i=]

inf max f(x.y,)= inf sup 2, f(x.y,)

xeM l‹¡sa Mu ie!

< inf sup 3 À,[(x.y,)

— eS" er

= inf if sup A, 7)

we xem iat

Xét p: E°x š" = R , @(u À) = vì rece, Y,).Y,)

Trang 15

_Luận Văn Tất Nghiệp DHSP GVHD : PTS Nguyễn Bích Huy

Định lý B3 :

Giả sử K là tập lỗi, compắc trong một khơng gian vectơ tơpơ, là một ánh xạ

từ K x K vào R thỏa mãn các điều kiện sau: ) Hàm x + œ(x,y) nửa liên tục dưới VyeK

ii) Ham y + @(x,y) là lõm YxeK

Khi đĩ tổn tại Xe K sao cho sup@(X, y) Ssupoly, y)

yeK

Ching minh :

Chú ý rằng ánh xa đồng nhất liên tục nên từ định lý B2 ta tim dude X € K

sao cho : supg{X,y) = inf supœ(C(y),y) <supo(y.y) M

yek COMER yok yek

Nhận xét:

Nếu các điều kiện của định lý BI, B2 được thỏa mãn , khi đĩ:

sup inf f(x,C(x))= int sup f(C(y), y) (7)

Cee nM SEM Ce#¿N.MI yẹx

Trong các định lý này, tơpơ trên N đĩng vai rị như một tham số Tơpơ này càng mạnh thì họ #(N.M) càng lớn trong khi họ (M,N) càng nhỏ, do đĩ để cĩ

đẳng thức (7) ta phải đặt các điều kiện chặt hơn Bây giờ ta sẽ đưa vào N một tơpơ mạnh hơn moi tơpơ tuyến tính cảm sinh trên N mà với nĩ định lý B1 B2 đúng

Định nghĩa

ie sử N là một tập lồi trong khơng gian vectơ

Với mỗi tập hữu hạn K at Y.,Y3 Vạ } CN ta định nghĩa ánh xạ affin

By: =" => N như sau : B,(^À) = SA,

i!

2 Tơpơ cuối trên N xác định bởi họ các ánh xa B„.K e Z được gọi là tơpơ hữu

hạn trên N

Như vậy nếu tập lơi N được trang bị tơpơ hữu hạn thì ta cĩ :

- Ảnh xạC :N — M liên tục khi và chỉ khi các ánh xạ Cạđx liên tục WK e⁄Z

- Nếu ánh xạ p0: M ->#", ð(x) = (pi(x) pa(x)) liên tục thì ánh xạ C : M =>N

.C(x) = ®_p,(x)y, =B¿ „ đ(x) liên tục với mọi K = [y¡, Y3 vu} CN

Mệnh đề B2 :

I Tơpơ hữu hạn trên tập lỗi N c Y mạnh hơn thu hẹp trên N của mọi tỏpư tuyến

tính tren Y

Trang 16

Luận Văn Tốt Nghiệp ĐHSP GVHD :PTS Nguyễn Bích Huy

2 Mọi ánh xa affin C : N —>› X (X là một khơng gian vectở) liên tục nếu trên N và X xét tơpơ hữu hạn

Chứng minh :

I Gọi I: N —› Y là ánh xạ nhúng Với Ke#Z” ,K= (y¿, Yạ} ta cĩ :

LB (A) = ЈÀ,y, nên IoB„ liên tục, từ đây ta cĩ điểu phải chứng minh

rel

2 Giả sử C : N => X là một ánh xa affin , K = {y;, ys, y„}, ta cĩ :

CoÕx (1) = C(®ˆÀ,y,) =3 À,C(y,) =B.,¿,(À) nên Cạ8y là liên tục

Định lý B4 :

Cho M là một khơng gian tơpơ, N là một tập lồi được trang hị tơpơ hữu hạn và ƒ: MxN => R thỏa mãn các điều kiên sau :

0) 3ya 6N để x + f(x,yo) là hàm compắc dưới

Vy e N thì hàm x > f(x,y) là hàm nửa liên tục dưới ii) Wx € M, ham y +> f(x,v) là lỗm

Khi đĩ tổn tại X € M sao cho:

supf(X.y)= sup inf f(x.C(x))= inf supt(Cly).y)

ven ee MN) SEM UaFINM> ven

Chứng minh :

Ta lắp lại phép chứng minh của định lý BI, Ánh xạ C, ở đĩ cĩ thể được viết ở

dang C,=Bxup voi K= {yo (x,) C (x,)} (â =(p,(x) p,(x)) nờn

C, e #đ(N,M) với N được trang bị tơpơ hữu hạn

Với C € @(N.M) thi ánh xạ ¿ được sử dụng ở chứng minh định lý B2 cĩ dạng q@({.À) = 3A,[(C,By (u).y, ) nên ánh xa u => 0(it,À) nửa liên tục dưới VÀ, e =" *

Bổ để B2 :

Tổn tai dãy suy rơng {x„} =M sao cho :

vKe⁄Z 3ơ,: lim su sup tx )] <v" `“ yeh Chiing minh : VKe # tacĩ inf sup f(x y) <v” Do đĩ Yn = 1,2, t6n tai xx, € M théa man M ve sup f(x, y)<v" ee vek n

bat A= ¥ xN,trong À ta định nghĩa thứ tự như sau :

a, = (Ky m)) < ơs=(K›.n›) néu K, < K;.n, Sn;

Khi LK.m>n ta cĩ :

Trang 17

Luận Văn Tốt Nghiệp ĐHSP GVHD : PTS Nguyễn Bích Huy

sup f(x, ¥) < supfÍ(x, „.Y) < v1 $=: < v° xử yeh yel m n Nếu cố định Kạ e #, với K Đ Ko ta cĩ sup su ) <veat (Limi K.ni\ yeK, n Do dé

lim sup sup oo) = inf sup lap (5, m9 | $v’

(KaI>(R¿.LI| yeK¿ L1 PIKa.1'01 mi Kal| yeK¿

Dinh ly BS:

Giả sử K là tập lỗi trong khơng gian vecto pd X,@: Kx K —> R là hàm

thoả man các điều kiện sau :

i) Vy € K, ham x + @(x,y) là nửa liên tục dưới đối với tơpơ hữu hạn 3y, e K sao cho x > @(x,yạ) là compắc dưới (đổi với tơpơ cảm sinh)

li) Vx e K,hàm y > @0(x,y) lõm và nửa liên tục trên đối với tơpơ cảm sinh trên K

1H) (p là hàm đơn điệu theo nghĩa :

+0(y,y) S0 VyeK

+ (0(X,Y) +(0(y.x) >0 Vxy eK

Khi đĩ tốn tại X e K sao cho : supq@(X.v) < 0

yer

Chiing minh

Tacé v" <sup inf max x,y)

$seZ \£€0( ŠI y@col SI

Áp dung định lý B4 và bổ để BI (bổ để Ky Fan cho trường hợp hữu hạn chiều) ta

được : inf sup @(x,y) < supq(y.y) <0

vec G3! ecoy S) yeK

Vay v’ <0

Ap dung bố để B2 ta tìm được dãy {x„} c K sao cho;

vyeK, 3o(y): lim sup @(x, y) < v” <0

tui y I

[3o giả thiết 1) tổn tại dầy con mà ta vẫn ký hiệu là {x„} hội tụ về SeK Ta sẽ chứng minh X là cần tìm.Giả sử trái lại 3y eK:(X.y)>0 (8)

Trang 18

Luận Văn Tốt Nghiệp ĐHSP : GVHD : PTS Nguyễn Bích Huy

0 < lim sup {@(x „.z) + @(z.x„)]

a2zaizl

S lim sup g(x, ,z)+ lim supg(z,x,) 50+ {z,x)

azatz} a2aiti

Trong lý luận trên ta thấy ta đã sử dụng giả thiết y > ọ(x,y) là nửa liên tục trên

Từ (9).(10) và tính lõm của hàm x+> Q(X +t(y—X),x) ta c6 0 < @(zz) mâu

thuẫn với giả thiết ii) @

Nhdn xét

Trong định lý B5 nếu x+>f(x,y) là nửa liên tục dưới đối với mọi y và là

compắc dưới đối với một y„ nào đĩ trên cùng một tơpơ thì ta cĩ thể bỏ giả thiết y > f(x,y) nửa liên tục trên với mọi x và cĩ thể thay điểu kiện @(x,y) + @(y,x) > 0,

x,y bằng mơi điều kiện yếu hơn : Yx,y eK, 0(x,y) <0 = @(y,x) >0 ,Thật vậy ,

ta lắp lai phép chứng miính của định lý B5 Ta cần chứng minh ọ(z X) >0 Giả sử trái lại @(z, X) < 0 thế thì do giả thiết trên ta cĩ @(X 2) >0

+ Nếu ø( Ä ,z) = 0 cũng do trên ta cĩ @(z,X) >0 , ta gặp mâu thuẫn

+ Nếu ø( & ,z) > 0 thế thì do x > f(x,y) nửa liên tục dưới nên : lim sup @(x„.Z) > lim InÍ 0(x Z) > (X,z) >0

Điều này trái với sự tổn tại của dãy {x„} ta cĩ điều phải chứng mình @

Bây giờ ta sẽ làm yếu hơn tính "nửa liên tục dưới trên N” bằng tính "nửa liên

tục dưới trên giao của N với mọi khơng gian con hữu hạn chiều” Muốn vậy ta sẽ

đưa vào N một tơpơ mạnh hơn thu hẹp của mọi tơpơ tuyên tính trên N mà với

tơpơ đĩ tính “nửa liên tục dưới trên giao của N với moi khơng gian con hữu han chiều ” suy ra được tính "nửa liên tục dưới trên N”,

Định nghĩa

Giả sử N là một tập lồi trong khơng gian vectơ E

| Hoi với mỗi tập hữu hạn K = [y; .y„} CN ta định nghĩa tập

T*={aeR"| Day, N| và ánh xạ Ax: TSN nh sau; Ax (a) = Yay,

1=] =]

2 Topo cudi én xdc dinh bdi ho Ax K e⁄ gọi là tơpị tr - hữu hạn trên tập lỗi N

Bổ đề B3 : Giả sử N là một tập lỗi trong khơng gian vectơ X Khi đĩ : I Tơpơ r` - hữu hạn yếu hơn tơpơ hữu hạn trên N

2 Nếu Ï: N => R là nửa liên tục dưới đối với tơpơ t`- hữu han thì nĩ cũng nửa

liên tục dưới đối với tơpơ hữu han

Ching minh

Trang 19

I Ta cĩ F" c TẾ và ánh xạ nhúng I„ : F° —> TẾ liên tục Do Ax : TẾ > (N, 1’)

liên tuc nên B = Ax ¿ Íg : E” => (N,t') liên tục Điều này đúng cho mọi tập hữu

hạn K c N nên theo định nghĩa của tơpơ hữu hạn ta cĩ t' < t

2 Gọi I là ánh xạ đồng nhất trên N, ta cĩ I: (N, t) —> (N, t') liên tục Ta viết

f:(N, t) — R ở dang f = f,I thì thấy f là nửa liên tục đưới đối với :.E

Bổ đề B4 :

Giả sử N là một tập lỗi wong khơng gian vectơ tơpơ X và f: N —> R là nửa liên tuc dưới trên giao của N với mọi khơng gian con hữu hạn chiểu của X

Khi đĩ f cũng là nửa liên tục dưới đốt với tơpơ 1` - hữu hạn

Chứng minh

Xét K là một tập con hữu hạn của N Ta lập tập hợp TẾ và ánh xa A„ như ở

định nghĩa của tơpơ t' - hữu han Ta chỉ cần chứng minh ánh xa fyAg : TẾ —> R là

nửa liên tục dưới Điều này đúng do fyÁy chính là thu hẹp của f trên giao của N

với khơng gian con hữu hạn chiều sinh bởi K,

Định lý Bĩ :

Giả sử N là một tập lỗi trong khơng gian vectơ tơpơ X Hàm f: N xN > R théa:

1) Vy €N, hàm x > Í(x.v) nửa liên tục dưới trên giao của N với mọi khơng gian

con hữu hạn chiều

3y, eN, hàm x > Í(x,vu) là compắc dưới

it) VxeœN, y f(x,y) lõm và nửa liên tục trên

ti) f là hàm đơn điệu

Khi đĩ tổn tại X œ N sao cho sup f(X.y) <0

yeN

Chứng minh : Ap dụng bổ để B3, B4 ta thấy các điểu kiện của định lý B5 được

thỏa mãn

Nhận xét:

Từ chứng minh của định lý B5 ta thấy rằng nếu tập N là compắc thì điều kiện thứ hai trong (ï) của định lý B6 khơng cẩn phải kiểm tra ( và cũng cĩ thể nĩ

khơng thỏa )

Trang 20

Luận Văn Tốt Nghiệp ĐHSP_ — — GVHD : PTS Nguyễn Bích Huy|

CHUONG III : ỨNG DỤNG

A Ấ :

®Cho Y là khơng gian vectơ và Y” là khơng gian liên hợp đại số của Y,tên VY,

Y” xét các tơpơ yếu

Giả sử P c Y” là một nĩn lỗi (nghĩa là aP + bP c P ,Va,b >0) và P' là nĩn,với

PF:=[yeY:<f.y><0VfeP|

Định lý :

Giả sử K là khơng gian mêtric compắc và E : K —> Y” là một ánh xạ đa trị chat

(nghĩa 1a F là một ánh xạ từ K vào 2Ÿ” \ [Ø]) thỏa mãn các điều kiện sau :

I.¡) F là P-hemi liên tục trên, tức là Vy e Pˆ hàm x > ơ(F(x),y) là nửa liên tục

trên, rong d6 of F(x).y) = sup <2,y >

seFens

ii) F(x) + P 1a tap I6i déng Vx € K

2 Tén tai inh xa C ; P~ => K liên tục đổi với tơpơ hữu han trên Pˆ sao cho

ơ(F(C(v)).y)>0,VyeP_,

Khi đĩ tổn tại X e K sao cho Ø8 e F(X) + P

Ching minh

Xéthamom:Kx P° — R nhw sau x.y) = - of F(X) y)

Hàm này nửa liên tục dưới đối với x do giả thiết li) và lõm theo y Do định lý B4

ta tìm được X œ K sao cho: supd@(X,y) < sup@(C(y) y) Ỷ yeP yer ÍЛ giả thiết 2) ta cĩ (@(C(y).y) <0, do dé ta suy ra 0 < of F(X ),y) Vy © Po OnéuyeP Hen nda talaicé: ơ(P,y)= : +onéuyeP Nên ta cĩ Ư < ø(F(X) + PP, y) Vy e Y Mặt khác tập F( X ) + P là lồi đĩng nên phải cĩ Ơe F(X) + P Hệ quả : Giả sử Y là khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều F: B(0,a) —> Y- liên tục thỏa mãn điều kiện : #x e Y |(x||= a = <F(x) (x)> 20 Khi đĩ tổn tài X e B(0.4) thỏa mãn 9 e F( X) Chứng mình

Ap dung định lý cho K= B(0,a).P= (8}.,C : Y —> K là ánh xạ y nếu ÌyÏ <a

C(y)= az nếu |y| > a' _ iV

~

Trang 21

| Luận Văn Tốt Nghiệp ĐHSP — GVHD : PTS Nguyễn Bích Huy

@ Giả sử X là một khơng gian tơpơ, Y là một khơng gian lồi địa phương

F:X ->2Ì là một ánh xa đa trị, p e Y” ta định nghĩa : ơ(F(x),p) = sup < Py >

yeF(x;

Anh xạ F gọi là hemi- liên tục trên nếu với moi p e Y”, hàm x => Ø(F(x),p) là nửa liên tục trên

Định lý : Giả sử

I K là tập lồi, compắc trong khơng gian Hausdorff lồi địa phương X 2.F:K->2Ì/{Ø| là hemi" liên tục trên và F(x) là tập lổi Vx e K

3 Hàm f: K x K —= R thỏa mãn

Vy eK,x ›Í(x,y) nửa liên tục dưới

ii) y > f(x,y) la ham lỗi x e K li) f(y,y) S0 Vy eK 4 Tập (xeK| sup f(x,y) <0} là đĩng y<Ftx¿ Khi đĩ tổn tại X e K sao cho:X = F(X) và sup f(X.y)<0 yef(x) Chứng mình

Ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử Vx e K thì hoặc x #£ F(x) hoặc

a(x) = sup f(x.v) >0 Ta nhận xét rằng nếu x £ F(x) thì do định lý tách tập lơi

+ef:‹ x4

tổn tại pc X thỏa man : <p.x> - ø(F(x).p) > 0

Đặt A, =[xeK:dơ(x) >0}, Ap = [xeK:<p.x >—øơ(F(x).p) >0}.Thế thì do giả thiết phản chứng ta cĩ K c A,!+.( LJ A,)

pen’

Do gid thiét 2) va 3)(i) ta cĩ A›, A, 1a cde tap mở do d6 t6n tai hitu han p) p,

sao cho Kc A, 4(UA, ) Gọi {a, : i =0.n] là một phân hoạch đơn vị tương thích

với phủ mở này và xét ánh xạ @ : K x K —> R định hởi :

( x, Y) = a,(x)f(x.y) + Sa,(x) < pP x—Y>

i=!

Hàm + nửa liên tục dưới theo x lõm theo y và @(y,y) < 0.Áp dụng định lý KyFan

ta tim được X e K sao cho supœ(Š.y) <0 Ta sẽ chứng mình cĩ ÿe K sao cho yeK (0(X.ÿ) > 0 và do đĩ cĩ mâu thuẫn Nếu œ(X)<0 ta lấy ÿeF(X) tùy ý Nếu ơ(X) >0 ta lấy ÿeF(X)thỏa mãn đ(Y) 3

!(Ý.Ÿ)> Ta chứng minh ÿ là phần tử cần đm Vì {a,.¡ =0 I n} là một phân hoạch đơn vị nên tổn tại ¡ để a(X) > 0

+ Nếu a/(X) >0 thì X e A¿ do đĩ œ(X) >( Vậy f(X,ÿ) >0 và œ(X.ÿ) >0

Trang 22

Luận Văn Tốt Nghiệp DHSP

+ Nếu a(Ä) > 0 với ¡ = l,2, n thì % e A, , do dé <p,.X >>o(F(X),p,)2<p,,¥ > (doy € F(X))

Vậy <p,,X~-Yÿ >>0 và do đĩ o(X,y)>0

Định lý được chứng minh

Trang 23

Định nghĩa :

Cho X là một khơng gian vectơ, A : X —> X” là một ánh xạ từ X vào khơng gian

liên hợp X” của nĩ, ta gọi A là ánh xạ đơn điệu nếu <Ax — Ay.x— y>20 Vxy eX

Dink ly 1

Cho E là khơng gian vectơ tơpơ, C là một tập lỗi compắc trong E va A là ánh xạ

từ C vào E” (khơng gian các phiếm hàm liên tục trên E) thỏa mãn các điều kiên :

i) A la anh xa don diéu

ii) A liên tục trên giao của C với mọi khơng gian con tuyến tính hữu hạn chiều

Thế thì tổn tại x; e C sao cho (AXo, Xe = y) $0 Vy EC

Chứng minh

Đặt @(x,y) = (Ax, x-y) Ta sẽ kiểm tra rằng ( thỏa mãn các điều kiện của định lý

B6 Ta cĩ @(X,Y) + ofy.x) = <Ax — Ay,x — y> 20 và @(x.x)<0 nên @ là hàm đơn

điệu

Hàm y ><Ax, x —y> là lõm và liên tục Cuối cùng, ta kiểm tra rằng xI->@(X,Y)

là nửa liền tục dưới trên giao của € với mọi khơng gian con hữu hạn chiểu E c X

Xét đãy {x,} CC =E x¿ => x, ta cần chứng minh :

liminf < Ax, x, > 2 < AX,x>

Ta cĩ <AX„, Xu> - <AX.X> = <AX, - AX,X> + <AXq, X„ - x> nên chỉ cần chứng

minh diminf < Ax,,X, -xX>20 °

Ta cĩ : < AX„ - ÁX/, X„ - X> > <ÂX„, X¿ - X> ><ÂX, X¿ - X>

=> liminf< AX„,.X, - x> > lim <Ax,,%,-x>=0.8

Định lý 2 :

Cho E là khơng gian Banach phản xa, B là hình cầu đơn vị đĩng và A : B => E

là ánh xa đơn điệu , liên tục trên giao của B với mọi khơng gian con hữu hạn

chiéu Thế thì trong B cĩ ít nhất một điểm xạ sao cho (Axạ, xụ = y) <0 VyeB

Chứng minh

Đặt ø(x,y) = (Ax x —y) và chú ý rằng trong khơng gian phản xạ tập lơi đĩng là compắc yếu

Từ nhận xét trên ta để dàng suy ra hàm y >œ(x,y) là nửa liên tục trên đối với tơpơ yếu (vì tập (yeB /@(x,y)z^] là lỗi đĩng với mọi ÀeR) Các điểu kiện cịn lại được kiểm tra một cách tương tư như ở định lý trên

Trang 24

Luận Văn Tết Nghiệp ĐHSP_ — ` GVHD : PTS Nguyễn Bích Huy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Aubin J.P, E keland I, Applied Nonlinear Analysis

John Wiley and Sons , 1984

2 Nirenberg L Bai giảng về giải tích hàm phi tuyến NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp , 1986 3 Hồng Tụy, Giải tích hiện đại , T.1,2,3

NXB Giáo dục , 1978