BO GIAO DUC VA DAO TAO
DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH TRUONG DAL HOC SU PHAM e LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z z z ` 2 BAN NHOM CAC TOAN TU VA MOT SO AP DUNG CHUYEN NGANIL : TOAN GIAL TICH MA SỐ : I.01.01
NGƯỜI THỰC HIỆN: LÍẺ KHÁNH LUẬN
THANE PHO HO CHL MINH
Trang 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH TRUONG DAI HOC SU PHAM
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
Trang 3LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 1997
2K KK
Thay huéng dan:
Tién Si: NGUYEN CHi LONG
Khoa Toán - Đại Học Sư Phạm
Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh
Thay phan bién 1:
Phó Tiến Sĩ: TRINH CONG DIEU
Khoa Toan - Dai Hoc Su Pham |
Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh
Thầy phản biện 2:
Phó TiếnSĩ: DAU THE CAP
Khoa Khoa Hoc Co Ban
Trường Sĩ Quan Kỹ Thuật Vin-Hem-Pich
Người thực hiện :
LÊ KHÁNH LUẬN
Khoa Thống Kê - Toán - Tin Học
Trường Đại Học Kinh Tế Thành Phố Hồ Chí Minh
Trang 4LỜI CÁM ƠN
* Chân thành biết ơn thầy : TS NGUYÊN CHÍ LONG - Khoa Toán Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Người đã hướng dẫn giúp đỡ tôi trong việc nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn này
* Chân thành cám ơn quy thay:
- PTS TRỊNH CÔNG DIỆU - Khoa Toán Đại Học Sư Phạm Thành Phố
Hồ Chí Minh Đã đọc và cho ý kiến phản biện luận văn
- PTS BAU THE CAP - Trường Sĩ Quan Vin ~ Hem - Pich Đã đọc và
cho ý kiến phản biện luận văn
* Chân thành cám ơn quý thầy:
- Phó GS PTS NGUYEN TRONG KHAM - TS TRAN VAN TAN -
PTS NGUYEN BICH HUY - Pho GS TS TRAN HUU BONG — PTS
DƯƠNG LƯƠNG SƠN - Phó GS PTS BÙI TƯỜNG TRÍ - PTS TRAN
HUYEN — PTS TRINH CONG DIEU Di tin tam gidng dạy truyền dat
kiến thức cho tôi trong thời gian học Cao học
- Quý cán bộ và nhân viên phòng nghiên cứu Khoa Học đã giúp đỡ tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học Cao học cũng như thời gian hoàn thành luận văn này
Thành phố Hồ Chí Minh 1997
Trang 5MỤC LỤC
CHUONGI:
BAN NHOM CAC TOAN TU BI CHAN TREN KHONG GIAN
BANACHVA TOAN TU SINH CUA CHUNG $1 Dinh nghĩa và ví dụ về C° - bán nhóm
§2 Những vấn đề cơ sở phát sinh việc xây dựng bán nhóm 83 Sinh vô hạn của C° - bán nhóm
CHƯƠNG lI :
BÁN NHÓM CÁC TOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH
VA DINH LY HILLE - YOSIDA-PHILLIPS
$1 Dinh nghia va m6t sé tinh chat cia gidi thifc todn tr
$2 Dinh ly Hille - Yosida - Phillips và một số hệ quả
3 Phương trình tiến hóa trong không gian Banach
CHUONG III: _
MOT SO AP DUNG CUA BAN NHOM CAC TOAN TU
$1 Ap dung dé khảo sát phương trình vi phân trong không
gian Hilbert tổng quát
l)_ Toán tử đơn điệu cực đại và tính chất 2) Nghiệm yếu, nghiệm mạnh
3) Giải bài toán tiến hóa
4) Chính qui
$2 Ung dung của bán nhóm trong trường hợp A là toán tử tự liên hợp
§3 Ứng dung của lý thuyết bán nhóm vào một số bài toán cụ thể 1) Bài toán I : (Mô tả quá trình truyền nhiệt)
2) Bài toán 2 : (Về sự dao động của mặt cầu cong)
Trang 6GIỚI THIỆU MỞ ĐẦU
Trong vòng vài ba thập niên gần dây, Giải Tích Hàm có nhiều ứng dụng
quan trọng trong các ngành vật lý lý thuyết, ngành chế tạo máy, ngành xây
dưng nghiên cứu cấu trúc, lý thuyết điều khiển tối ưu, sinh học.v.v và "Lý
Thuyết Bán Nhóm Của Các Toán Tử" là một bộ phận quan trọng của Giải
Tích Hàm mà kể từ khi cuốn sách nổi tiếng "Funcuonal Analysis and
Semigroups" của E.HiIIe & R.S Phillips [4] và cuốn "Functional Analysis” của K.Yosida [6] xuất bản, nó chứng tỏ ngày càng có nhiều ứng dụng: hiện nay nó vẫn còn là vấn để thời sự đối với các nhà Toán Học, kể cả Toán Học Lý Thuyết và Ứng Dụng Vì một hệ động học, một hệ tiến hóa, có thể diễn tả
như là một bán nhóm liên tục mạnh của các Tốn tử trong khơng gian
Banach hay khong gian Hilbert thích hợp do đó để có thể nghiên cứu được
tôt mô hình cụ thể của hệ động học, hệ tiến hóa ta cần nghiên cứu về bán nhóm liên tuc mạnh biểu diễn hệ
Trong luận văn này chúng tôi trình bày trong chương [ những vấn đề cơ sở, các yêu cầu cho việc xây dựng bán nhóm của các toán tử tuyến tính liên tục
và toán tử sinh của nó: các khái niệm và định nghĩa cơ bản
Trong chương II chúng tôi đưa ra đặc trưng đầy đủ của một toán tử mà
ho sinh ra bán nhóm liền tục mạnh qua định ly Hille-Yosida-Phillips và các định lý liên quan Chương III dé cap đến các ứng dụng của lý thuyết vào không
gian Helbert tổng quát, vì việc kiểm tra xem định lý Hille-Yosida-Phillips khá
phức tạp nên các tiêu chuẩn khác (dễ kiểm chứng hơn) khẳng định một toán tử
sinh ra bán nhóm liên tục mạnh được đề cập chỉ tiết ở đây
Trong [3|, W.Krabs đã dùng lý thuyết điều khiển trong không gian Hilbert cua Lions va ly thuyết hàm Cosin để giải quyết bài toán điều khiển
cánh tay Robot không có phần nhiều phi tuyến Trong chương này chúng tôi sử dụng kết quả mới trong [2] làm rõ thêm việc sử dụng lý thuyết bán nhóm của
các toán tử để giải quyết bài toán này và thu được kết quả tương tự Kết quả
mới Khác về việc ứng dụng của lý thuyết vào việc tìm nghiệm của bài toán "Sự dao động của mặt cầu cong”, "Quá trình truyền nhiệt” cũng đã đạt được kết quả
bước đầu
Các điểm chính của luận văn đã được báo cáo trong Seminar của Tổ
Toán Ứng Dung Khoa Toán Đại Học Sư Pham ngày 23/10/1997 Nhân dịp này
chúng tôi xin xhân thành cảm ơn Thầy PTS-Trịnh Công Diệu PTS-Đậu Thế
Cấp PTS -Nguyễn Bích Huy đã có nhiều góp ý bổ ích về đề tài nghiên cứu và
Trang 7CHUONG I
BAN NHOM CAC TOAN TU BI CHAN TREN KHONG GIAN
BANACH VA TOAN TU SINH CUA CHUNG
§ 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ VỀ C° - BẤN NHÓM
Về phương diện đại số một bán nhóm là một cặp (S, *) trong đó S là tập khác trống
và * là phép liên kết các phần tử trong S sao cho x, y e S thì x * y e S và phép * có tính
kết hợp Một bán nhóm có thể có hoặc không có phần tử đơn vị Bán nhóm có phần tử
đơn vị gọi là vị nhóm
Trong tiểu luận này chúng tôi nghiên cứu một vài lớp bán nhóm đặc biệt của các
toán tử trong không gian Banach Các bán nhóm này có những ứng dung rất quan trọng
trong phương trình vị phân thường, phương trình vị phân đạo hàm riêng, và do vậy nó có ứng dụng quan trọng trongcơ học, vật lý cũng như trong các ngành khoa học kỹ thuật khác Cho X là một không gian Banach, ký hiệu B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chận trền X Lớp bán nhóm đầu tiên mà ta quan tâm là lớp Bán nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.1:
C` - bán nhóm hay bán nhóm liên tục manh của các toán tử tuyến tính bị chân trên khong gian Banach X la ho {T(t)},., ¢ B(X) sao cho:
(i) T(s)T(t) = T(s +t) v6i Vs, t 20 t>U ` -
(ii) T(0) = [I, toán tử đồng nhât trên X
(11) Với mỗi x e X T(0x liên tục theo t trên [O, s) , lập thành bán nhóm bởi (¡),
bán nhóm này là giao hoán, vì :
T(S)T(U = T(s+t)Q= T(t+s) = T(U T(s) Vs20,t20
Ví dụ 1.2 : (C” - bán nhóm của những phép biến đổi)
()_ Cho X=C|0, ø]
Rõ ràng, e X nếu f là hàm liên tục trên [0, ) sao cho f(x) ti€n về một giới hạn
hữu hạn khi x —> œ Với chuẩn
f|_, = suplf(x)| (fe X) (1.1)
xa0,=)
X trở thành không gian Banach
Với mỗi t>0, ta định nghĩa toán tử T(t) trên X như sau :
Với mỗi hàm fe X ta định nghĩa hàm T(Đf trên [0, ©) bởi
Trang 8có nghĩa vì x+t>0 Toán tử T() là toán tử tịnh tiến
TU, <flL, (feX) (1.3)
Với mọit>0, do đó T() e B(X) và ta có (vì JT(0)| = |I[= 1)
IT()|=
Hơn nữa, (¡) và (ii) của Định nghĩa 1.1 1a tức khắc ta có một bán nhóm đại số với
phép đồng nhất Ta còn kiểm (ii) trong Định nghĩa 1.1 Ta phải chứng tỏ rằng khi t—> 0„
sup [T(t ](x) - f(x) = sup f(x +t) - f(x)| > 0 (1.4)
x 0,20) x 0,20)
Giả sử có một số œ sao cho f(x) > a khi x 3 +00 Vậy với mọi e >0, có số A (tùy thuộc e) sao cho
tex) -al <5 khi x>A
Đặc biệt, nếu x>A và t>0,thì x+t>A sao cho
f(x+0—f(x)| <|f(x +9 —ø|+|œ — f(x)| ae ¬=#
=> sup (x+U-f(x)|<e với Vt>0 (1.5)
rq A.x)
Trén khodng kin bi chan [0, A + 1] f liên tục và như vậy liên tục đều Do đó với e > 0 ở trên có õ (tùy thuộc Ä và như vậy tùy thuộc e) với Ơ < ồ< Ì sao cho :
f(x+U-f(x)<e với Vxe|0,A|và Vtvới 0<t<õö
—=supIf(x+U-—f(x)|l<# với 0<t<ö (1.6)
Kết hợp (].Š) và (1.6) ta đã chứng minh rằng với mọi e >0 có 8 = õð(£) > 0 sao cho
sup Í(xX+U-l(X)j<£ vel O<t<d
x<0.z)
Do đó khi t—> 0„, ta có (1.4) như đòi hỏi Điều này hoàn tất việc chứng minh rằng họ {T(0},xo là C° - bán nhóm của các toán tử tuyến tính bị chận trên (C{0, ], || |)
() Có L7 tương tư (¡) với l <p< z Ta lấy : 5 l/p X=L"(0, wm) , If}, = {lo 0)? ax như thông thường Với f € X ta dinh nghĩa T(t) f boi: [ T(t) f ](x) =fCx +t) x20, Vt20 Tương tự (].3) ta xét: (Tat = fy fox + olP dx = [fC dy < fo [fF dy = [fl Do đó với mỗi L> 0 ta có:
Tit) <ifl, (feX) (1.7)
Vay (T(t)} so c B(x) và thỏa (¡) (1) của Định nghĩa 1.1 dễ dàng như trước Để thiết
lập tính liên tục manh chúng ta phải chứng minh rằng khi t — 0+,
Trang 9l/p
T(tf - rl = (tra +1)- F(x)" ax} > 0 (1.8)
Giả sử rằng f eCZ (0,5) tức là f có đạo hàm vô hạn và có giá compact nghĩa là có
số thực a và b với 0 < a< b< ø sao cho f(x)= 0 nếu xe[a,b] Giả sử mà không làm mất
tính tổng quát rằng 0 < t< a/2 thì f(x+U - f(x) sẽ bằng không bên ngoài Hi Hơn nữa
định lý giá trị trung bình, vxe| $b và te lo] , có 9e(0,1) sao cho
f(x+U-f(x)= t(x+ơ 0
Mặt dù Ơ tuỳ thuộc trong ví dụ đầu theo x và t, chúng ta thấy rằng x+Ôt sẽ luôn nằm
trong khoảng š ,b+ 1 trên đó f bị chận bởi một hằng số M Vậy 0 < t< 5 ta đạt được :
l l
“ees = [(22lfx+0~106|Pdx|P
| | |
je,’ ( Mai d ID 2Iff(x+0| dx‡” <jƒ22(tM)Pdx‡P = uM Ð_(tM)PdxÝP =tM(b—Š)P ¬
và khi t —> 0, cho ta (1.8) Việc chứng minh đúng cho moi f € L°(0, +09), ta biét
CZ(0.z} trà mặt trong L? (0 ø) với l < p< s, do đó tôn tại dãy {f,}7_, của các hàmsố
trong Cá (0.2) sao cho |f if, - tI, —0 khi n — œ với e >0 cho trước, chọn một hàm đặc
biệt trong day nay Chang han fy sao cho :
€
fy -— fi <= 1.9
lx - fÍ, 5 (1.9)
Với hàm này và a.b.M trong trường hợp trước thì với 0 <t< 5 dung bat dang thức tam
Trang 10Định nghĩa 1.3 :
Cho {T()},x c B(X) là C” -bán nhóm của các toán tử tuyến tính bị chận trên không
gian Banach X.{T(t)},>9 gor la :
(i) C°- bán nhóm đẳng cư nếu {T(t)f| = ||f|| với Vt>0,f e X (ii) Cˆ”- bán nhóm không dãn nếu |T()|<1 với Vt>0
Lớp bán nhóm thứ hai mà chúng ta quan tâm là lớp Bán nhóm liên tục đều Dinh nghia 1.4: UC - Bán nhóm liên tục đều các toán tử bị chặn trên không gian Banach X là họ {T(t)},>0 CG B(X) sao cho: (i) T(O)=1, todn uf déng nhat trên X (11) T(s)T(t) = T(s +) v6i mois, t= 0 (ñ) IT@)-I|—>0 khi t— 0+ Ghi chu : UC- bán nh6m => C7 - bán nhóm Dinh nghia 1.5:
C” - nhóm hoặc nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính trên không gian Banach X la ho {T(t)}; <2 B(X) sao cho :
(i) T(O)=1
Gi) T(@s)T()=T(s+U — VLUseRl
(11) Với mọixeceX, T()x x khit> 0+
Vấn đế]: Tìm l hàm f xác định trên [0, ®) và lấy những giá trị thực sao cho:
(i) f(0)=l
(1) f(S)Í(U = Í(s +
(il) liên tục trên [0.s) (liên tục phải tại 0)
Đỉnh lý 1.6 : (Lời giải phương trình hàm của Cauchy)
Nếu F: [0 s) — RỶ thỏa (¡) _—_ (ii) của Dinh nghia 1.1 wén, thi f c6 dang f(t) = e
với một hằng A nào đó (t>0)
tA
Chung minh:
Trước tiên ta chứng minh Í(t) > 0 với moit> 0
e That vay, do tinh liên tục và do f(0) = I > 0Ô ta có f(t) > 0 trong một khoảng [0, tị] với t¡>0
e_ Giả sử rằng có f(t›) = 0 với t› > 0 nào đó Thế thì với mọi t > t› ta có :
Trang 11f(U = Í(L- t›) f(b) =f(t-ts).0=0 do (il)
Trái lại chọn một số dương n sao cho nL, > t,
Ta c6 (do (ii)) f(nt,) = [f(t,)]" #0, mau thudn với phát biểu trước rằng f(t) =0, VL> t›
Vậy thì không có t, dé f(t) =0 va do (iii) suy ra f(t) >0 , Vt>0
* Dac biét cho f(1) =B>0 (ii) => f(n) = B®
e VG6i t= E30 ta CÓ :
« f(p) = f(tq) = [f0] = [f(t)]* = BP l
= f(t) =(B°)* =B', (BP)2 là số dương duy nhất căn bậc q của BP?
Với t >0 là số vô tỷ Ta có thể tìm một dãy số {t,}°, những số hữu ti sao cho t, >t, vi f(t )=B" cho n—> =, do Ÿ liên tục ta có f()=B' L= 0 thì hiển nhiên
Vâyf(0U=B'`, Vt>0
Vì B >0 ta có thể lấy A = log, B và ta được f(U) = e
Do đó cho một C° - bán nhóm [T(0](xzo c B(X) Ta có thể viết T()=exp(tA)
ở đây A là một toán tử theo nghĩa nào đó Vấn đề đặt ra là :
Vấn đề 2:
()_ Cho A, vấn để đătra exp(LÀ) là gì và làm thế nào để tính T(t) ?
(ii) _ Cho bán nhóm {T(t)}, lam thé nao dé tim A và nó có duy nhất không?
(ii) Ta có thể đặc trưng lớp cửa của các toán tử A mà nó có được từ €C”-bán
nhóm và UC-bán nhóm
(iv) Cac ap dung cua ching ?
Những câu trả lời thoả mãn cho tất cả những câu hỏi này và cũng cung cấp cơ sở cho
tât cả như sau :
Chúng ta có thể nhắm vào A trong Định lý 1.6 Ta thấy rằng f không chỉ liên tục
Trang 12Chú thích : (Nhắc lại vài tính chất cơ bản của vi phân và tích phân trên không gian Banach)
Các phép toán cơ sở của các tính toán thông thường là vi phân và tích phân, và kết
hợp với các phép toán của không gian vectơ (cộng và nhân vô hướng), và các phép toán topo (gidi han)
Cho ham f: [a,b] > Y_ không gian Banach Khi đó tương tự như đối với hàm thực ta có đạo hàm của hàm ftại x e {a, b] là : f/(x) = lim f(x +h) — f(x) h—>0 b Tích phân của hàm f trên [a, b], ký hiệu ƒf(txit là giới hạn của tổng a " DM P(E, Ay tụ.) với max {|t -tL-j|,l<ks n} —>0 khin>o k=l
trong đó a=t,<ti< <tạq=b_, š;¿ec€(t.¡, ty)
Hoàn toàn tương tự như tích phân đối với hàm số, tích phân của hàm nhận giá trị
trên không gian Banach Y cũng có các tính chất cơ bản sau
Định lý 1 c : Cho Y là Không gian Banach và cho f: [a,b]— Y liền tục Thì :
(i) jaca = jose fo (11) I Pr(ydtl < | arco (iii) TẾ f(u)du) = f() te[a,b] Nhân xét : I Từ Định nghĩa của bán nhóm, chúng ta có:
() Nếu {T@)};zo c B(X) là C°- bán nhóm và xeX , thì ÍoT(u)xdu hiện hữu như
một phần tử của X với mọit>0
(ii) Néu {T()},so c B(X)là UC-bán nhóm thìƒ, T(u)du tổn tại như một phần tử
của B(X) với Vt>0
2 Ta sẽ sử dụng Định lý 1.7 theo ý nghĩa của chú thích và từ đó ta sẽ có :
ị { T(u)xdul < [ it()xiu < [ IT(0)| Jx|du (1.14)
“(fj Tu)du) = TU (t>0) (1.15)
dưới điều kiện thích hợp
Trang 133 Theo Dinh lý 1.7 và các Định nghĩa C” - bán nhóm, ÚC - bán nhóm ta có : (a) Nếu /T(t)},., <B(X) là C"- bán nhóm và x«X cố định thì l 2 “bo T(u)xdu-—>x_ theo chuẩn trên X khi t0, (b) Nếu {T()},sọ 6 B(X) là UC-bán nhóm, thì | ; -Ía T(uxlu —>L theo chuẩn trên B(X) khi t— 0, | Cho {T(1)};¿sọ c B(X) là UC-bán nhóm Vai trò của toán tử A xác định bởi cách sau là rất quan trọng Ax = lim T@)x—x t>0+ l Chú ý rằng không phải Vx e X giới hạn (1.16) đều tồn tại do đó toán tử A chỉ xác định trên một bộ phận của X (1.16) Vi du 1.8: (i) ChoX=C[0.0], fe X jJf|_ =supjf(x)| như trong ví du 1.2 (i) x20 vGi T(t) nhu (1.2),(1.16) tim gia tri cua — T(Uf-f lim — t—>Ú+ l Giả sử giới hạn này tồn tại và bằng gC[0,]_ Thì khi t—› 0+ f(x+U—(x | supe te — g(X) — 0 x20! L | Đặc biệt với mỗi x e[0,+] cố định |f(x + U — f(x) SUP———————— x>0l
Đo đó f khả vị bên phải tại mỗi x>0 và đạo hàm bên phải là hàm liên tục ø Suy ra f có đạo hàm hai bên tại mỗi x > 0 và f '(x) = g(x)
Trang 14ca df Af=f hoặc (Af) = — (1.17) dx Chú ý rằng điều kiện trên của f ung là điều kiện đủ Để thấy rõ điều này ta xét: Ly +
PHO ED = ECO] = P09 = " '[f(u) - f(x)]du
Lý luận như phép lấy đạo hàm của (1.5) và (1.6), ta có thể nói rằng, vì f' <C[0,>] VỚI 7£ >0 =õ >0 sao cho
f(u)—f(x)|<e với mọi x,ue[0,) sao cho |x—u|<õ Vậy nếu x>0 và 0<t<ð ta có : | =U +t) — f(x)]- f(x) gop sú=tö=& ni t /T00L=† , do đó : —— -rÌ < <£ néu O<t<6 | x Suy ra A[ tổn tại và Af = .Vậy miền xác định D(A) của tốn tử A khơng là cả X=€ |0.z] mà một tập con riêng D(A) = {f<C[0, +]: F' tồn tại và f' <C[0, + ]}
và với F<D(A) (1.17) đúng ( Sự thật D(A) là một không gian con ) (ii) Ta có thể chứng minh tương tự cho trường hợp
l
X=L (0z) (l<p<z) li, = to IS) PdxIP
Trong lý thuyết tích phân Lebesgue ta nói rằng f là liên tục tuyệt đối nếu F là tích phân theo cận trên của hàm khả tích địa phương g, tức là :
f(x) = ip g(u)du (x > 0)
Ở đây ø khả tích trên [0.x] voi moi x20
Hiển nhiên Ể liên tục tuyệt đối thì f liên tục (h.k.n.) và f(x) = g(x) (h.k.n.) Hàm liên tục tuyệt đối gọi tắc là A.C
Ta có thể chỉ ra phương cach cua vi du 1.2 (ii) rang véi T(t) cho bGi (1.2)
D(A) = {feL? (0,0): fla A.C va f €L? (0,0) }
Af=f (feD(A))
với [' là (h.k.n) đạo hàm (h.k.n) của f Một lần nữa ta dễ dàng kiểm rằng D(A) là không
gian con tuyến tính của L?(0.+) và rằng D(A)zL?(0,~)
§ 3 SUNH VÔ HẠN CỦA C° - BẾN NHÓ MI :
Định nghĩa 1.9 :
Cho {T()},so c B(X) là C"-bán nhóm của các toán tử tuyến tính bị chận trên không gian Banach X và với mỗi t>0.cho A, eB(X) được định bởi :
Trang 15li:
t
sinh (vô hạn) của {T()}( xo là toán tử A: D(A)c X >X định bởi D(A)= {xeX | A,x có giới hạn(trong X)khi t— 0+ }
Ax= lim A,x (xeD(A)) t—>Ũ+ AL = (1.18) Định lý 1.10: Cho chudi luy thiva f(z) = Sa,z" trong đó biến thực có bán kính hội tụ n=0 R>0(R= s cũng có thể) Cho X là không gian Banach và LeB(X) với |L[<R Thì œ chuỗi luỹ thừa S)a,L* hội tụ về toán tử f(L) e B(X) tương ứng với chuẩn n=0 JfL)[= sup(|f(L)XỈ:x e X vai |x] =) jf(L)x| = sup { X ˆ:xX€X và xz0} Chứng miinh : Với n= 0,1,2, cho L„= Sa,L _ (LeB(X)) va s, = Slay Ll) Do định k=0 k=o x nghĩa của bán kính hội tụ Slay! |z/* hội tụ nếu lz|<R Đặc biệt, vì ILI er thi day k=0 (si, 29 €6 tong riéng phan la day Cauchy Vay , với e >0 có N sao cho Sm —Sa|<e với Vm.n2=N Vì vớim>n>N ,tacó: | m m
Lạ TLa|>| Saut!]s Say\ I= sa =sạ <: k=n+l k=n+l
Vậy {L, }~_9 la day Cauchy trong B(X) Va do X 1a Banach nén B(X) ciing 1a
không gian Banach Vì B(X) đầy đử nên {Lạ}n-o hội tụ về một toán tử trong B(X) Và
toán tử này thường ký hiệu bởi f(L), như nó được suy ra từ L và f(z)
Để diễn giải Định lý 1.10 ta cho 2 trường hợp đặc biệt mà chúng ta sẽ đòi hồi sau
Định lý 1.11: Cho X là không gian Banach và LeB(X) với |[L| <1 Thi (I-L)‘t6n tai va
là toán tử tuyến tinh bi chan trên X nghĩa là thuộc B(X) và
(-L) '= WLP (1.19)
=0
Trang 16Chung minh : n + L,= SL k=0 (I-L)L, = (I-L)(I+L+bL°+ +L") = 1-L™" (1.20) x Khin-> <.(I-L)L, >(I-L)( LỄ) vì I-L bi chan k=0
Leh sib" 50 wi ILI<l dodo FL°t 1
moi su hoi tu theo chuan todn wf tén B(X) Vay cho n> x trong (1.20) cho :
(-L)( SLE) =1 va wong we ( LỄ )(1-L) = I
k=0 k=0
Vậy I-L là ánh xạ I-I từ Xvào X vậy (I-L) ' tồn tại và được cho bởi (1.19), chan
cua (I-L) thi theo Định lý 1.10
Ví dụ I.12 : ( mũ của một toán tử tuyến tính bị chân )
c r1"
Chuỏi ldy thifa cho expz, ghi © —_ „hội tụ cho mọi z, do đó R=ø n=0 Nl
Vậy với mọi toán tử tuyến tính bị chận bất kỳ L trên không gian Banach X chuỗi
\ — hortu ve mot phan wr cua B(X) Ta sé viet m1 + L" cs expL= 3, — (LeB(X)) n=0 l )¡nh lý 1.13: Cho X là không gian Banach và A <B(X) Thì các tóan tử : T(t) = exp (tA) te R tao thành một UC-nhóm của các toán tử tuyến tính bị chận trên X có A là sinh vô hạn Chung minh:
Xem ví dụ 1.12 ( với L=tA ) T(t) ¢ BCX) moi so thực t
Hiện nhiên T(0) = I Ta kiểm T(s)T(U=T(s+U) Nhớ lại tạ có expw.expz =exp(w+z) cho mọi số thực bằng cách dùng chuỗi luỹ thừa và bố trí lại chuỗi chúng thoả do chuỗi
hỏi tụ tuyệt đối Với trường hợp toán tử thì tương tự, với vai trò hội tụ tuyệt đối được kiểm bởi sự hội tụ tuyệt đối với chuẩn trên B(X) Điều này kéo theo chuỗi cửa exp(sA) và
cxp(L\) được sắp xếp lại và các số hạn có thể được nhóm lại như trường hợp vơ hướng vì cúc tốn tứ saA và LàÀ ( và như vậy lũy thừa của chúng cũng vậy ) giao hoán
Ta quên đi vấn đề chỉ tiết Theo ghi chú šau định nghĩa 1.5, ta phai chứng mình
rang khi t>0~ exp(tA) - I} > 0
Tir chudi luy thừa ,
Trang 17a exp(tA) - Ii = 7 ñt⁄8 oi] x <> =exp(t\Al)-140 khi t>0- 7 n=1
Điều nay tao cho ta có được một UC-nhóm Để chứng tỏ A là sinh la chú ý rang khit> 0+ (Ti) - | -A|-l = (Ay \— al = lệ GÀ, 3 - zl n: | Ln=2 mM! Z (tụ ex sal —1 | 5 cos _ exp tlal —||All—> 0 ( dùng L'hôpital ) U cng n Vậy trong trường hợp này 10)- hội tụ về A do đó điều kiện của (1.16) được thỏa t
Vậy A là sinh của ÚC - nhóm {TO} ep:
(hi chú : Ta đã đề cập trên rằng hội tụ theo chuẩn trong B(X) được lấy từ hội tụ tuyệt
đối của những số thực Cũng là ý tướng hội tụ đều của hàm số Chẳng hạn nếu A là một
(tA)?
n!
thtra vi exp(tA) thi héi tu déu nén cdc tap con compact của R' cho phép ta suy ra
exp(tA) a ham lién tuc d6i vdi t Hon nifa ta c6 thé (phan biét ) lay vi phan chudi s6 han
bơi số hạn như ta thường làm Tương tự việc A ¢ BCX) chudi luy thifa cho exp(taA) hoi tu
(tA)”
n!
suy ra rằng ánh xạ TT: R'— B(X) định bởi T()=exp(tA) là liên tục và chuối luỹ thừa có là liên tục với mỗi n=0.l.2 .Sự thật rằng chuỗi luỹ
sỏ có định thì hàm f(U) =
theo chuadn và f_R_—› B(X) định bởi fn(U= là liền tục( n= 0,1,2 ) cho phép ta
thẻ lấy vi phân theo từng số hạn như ta thường làm
Định lý 1.14: Cho X là không gian Banach và A ceB(X) với -z<t<x, cho T(t)=exp(tA) Taco:
Trang 18Chung minh : (i) Bat dang thức dưới đây cho n —> + ta được kết quả muốn tim yk U |Add k jy GA) < tÚÌ Ù K=o k' kz0 K'
(ii) là kết quả cua (iii), kha vi suy ra liên tục
(ii) có thể được sử dụng như đã chỉ ra trong ghi chú trên Một cách thay đổi ta có
thẻ dùng tính chất của UC-nhóm được thiết lập trong Định lý 1.13 Vậy hz0,teR` ta có:
T(t +h) — T(t) h =T(0———†=t†———H) T(h)-I ,T(h)—I
khih->0-~ biểu thức thứ 2 và thứ 3 hội tu theo chuẩn trong B(X) đối với T(U0A va AT(t)
tương ứng Ta có kết quả tương tự khi h—›0-— suy ra bởi việc xét UC-nhóm sinh ra bởi - T(+h)- T(U A tong mot Kiểm tương tự Suy ra giới hạn hai phía lim tỒn tại trong h—>0 HN) và được cho bởi T()A = AT(0) Dùng qui nạp ta chứng minh được (1.22) Dinh ly 1.15:
Neu A la sinh v6 han cua mot UC - ban nhóm của các toán tử tuyến tính bị chân tren Khong gian Banach X , thi Ac B(X)
Chứng minh :
Trang 19Khi t-›0~ tốn tử trong ngoặt vng đầu tiên sẽ tiến theo chuẩn của B(X) tới (T(s)-[) bởi qui tắc Lhôpital khi đó toán tử thứ 2 xác định trong B(X).Vậy sinh vô hạn A cua UC - ban nhom /T(t)}, „ được cho bởi :
A =(T(s)-D(jŠ T(u)du) ˆ eB(X)
Điều này hoàn tất chứng minh Ghi chú :
(T()-1)( j2 T(u)du)"° =(eŸŠ — 1)(0e*^du) "1 )
= (e*^~D([Š —]ÿ)" =(e =D(-(*^ =I))"!= A) A A Định lý 1.16 : Cho X 1a kg Banach va cho {T(t)},59 6 B(X)là C”- bán nhóm Thì tồn tại một hằng SỐ œ >0 va M21 sao cho IT(y|<Me™ (t>0) (1.23) Chứng miinh : Nếu công thức (1.23) nghiệm đúng : thì |T(t)| phải bị chận đều trên bất kỳ tập con compact có dạng )<tát, | Do đó trước hết là ta xây dưng tính bị chận đều gần 0 và dùng cấu trúc đại số để hoàn tất chứng minh |
be chifng minh rang ton tại t, >0 sao cho |/T(t)] bi chan với 0<t<t,, ta lý luận
bằng phản chứng Nếu không có t, như vay thì với mỗi n=l.2 ta có thể tìm t, sao
cho 0<tạ¿ S—= và T(t;)|>n Từ nguyên lý bị chân đều ta biệt rằng nếu {[T(tạ)x|}= là n
một dãy bị chân của những số với mọi xeX, thì {|T(,) },.¡ là một dãy bị chận.Chúng ta
biết rằng nếu {/T(t¿)J}a-¡không bị chận ta có thể tìm được xeX sao cho
LT(t)x.}a-¡ không bị chân Đối với x cố định này, ta định nghĩa f : [0,1] R'bdi f(t) =
T()xI.Bởi định nghĩa I và ghi chú sau nó ta có f liền tục và như vậy bị chận trên [0,1]
Nhưng +t„ =[0.1] với mọi n, vậy {f(t¿)}„¿-¡ = {[f(ta¿)x|}n-¡ bị chân mâu thuẫn Do đó tổn
lait saocho JT()/<M với mọi 0<t<t,, với M là hăng số Vì JT(0)| = lI[= 1, nên ta có
M>]
Bây giờ lấy t<[0,~) bất kỳ Ta có thể viết t= ntạ+ s với n là số không âm và 0<s<t_ Do tính chất của bán nhóm :
Trang 20(t—S) L = T(U'< T(¿)IˆIT(s)|<M?M=M.M 9 <M.M'9 | >0O Dat MO = e° với © =+ log, M20 Thi Lọ vị M>l] va t 0 |T(t)| < M(e® )' = Me va (1.23) được thiết lập Ty Dinh ly 116 taco:
Ky hiéu C°(M, @) : V6is6 thuc cé dinh M>1 va @ 20 , ta ghi C°(M,q@) 1a lớp của những
C"— ban nhom {T(t)},s9 thoả (1.23) Bổ đề 1.17: Cho {T(1)},xo c B(X) là C”- bán nhóm của lớp C”(M,o) và vớit>0 ta định nghĩa S()<B(X) bởi : S(t) =e T(t) (1.24) Thì họ {S(t)},59 là C”- bán nhóm của lớp C°(M,0) Chứng minh : | Định nghĩa |.! (i) va (ii) 1a dễ kiểm cho S(t) Dé kiém tinh lién tuc manh, cho xeX và xét lim S(Ux—x Ta có : [30+ IS(1)x — x) < jS(0x = T(0x|+[T(0x = x] = |e“ = 1Í [T(0xj|+|T)x - x|
Khi t->0+_ biểu thức thứ 2 tiến về 0 bởi tính chất liên tục mạnh của ƒT(t)},„ và biểu thức thứ nhất tiến về 0 vì [T(9)x| bị chận Vậy (S()},„„ là
C`"- bán nhóm của các toán tử bị chận trên X Cuối cùng :
'S(0|= le "®T(0| =e"®T(0|<e"®(Me°9 =M
Vậy (1.23) được thoả bởi S(U với =0 Điều này hoàn tất chứng minh
Trang 21T(h)-I T h) -I (T(t)x) = Tey( —h ( bởi tính giao hoán ) Vi x =D(A)va T(t) liên tục phía bên phải hội tụ theo chuẩn của x tới T()Ax
Vậy T(0xeD(A) và AT(0x = T()Ax (xeD(A)) (1.26)
Với t>0 phía bên phải đạo hàm của T(t)x được cho bởi
T(t+h)x— T(t _T(h)-I
im RTO tim <tr yx = AT Dx = T(QAx
h—>0+ h h—>0+
ở đó ta dùng tính chất bán nhóm và việc tính toán đưa đến (1.26)
[uy trì việc xét đạo hàm bên trái của T(t)x với t >0 được cho bởi : T(t+h)x —T(t)x lim T(t)x — T(t — h)x ie 1 “ — lim thay h bởi -h lì >U— h h0+ h ( ’ T h woe = lim T(—h)TUX=X— AxI+ lim T(t—h)Ax ho0+ h h>0+
Vi X=D(A) 86 han dau tién 120 vì JT(t-h)[ là bị chận trên 0<h<t trong khi đó số
hạn thứ hai là T()Ax bởi tính liên tục của T(t)}, „ Xem điều này cho 0<h<t
T(t— h)Ax - T()AxI = [T@— h)Ax — T(L— h)T(h)Ax|
<T( = h)|.|Ax T(h)Ax||< Me?6=*)||Ax — T(h)Ax| < Me” |T(h)Ax - Ax| >0 khi h->0+
Vay dao hàm phía bên trái của T(0)X tại CO tồn tại và bằng T()Ax Điều đó kéo
thcö đạo hàm hai bên của T()X tạit >0 tồn tại và bằng T(t)Ax (1.25)suy ra (1.26) Chú ý: Tạ có sự liên tục đồng thời của T(0x với t va x, điều này được suy dễ dàng từ bất dang thức : | T(s)x = T(Uy( <JT(3)(x — y)|| + [T(s) T0)y| <T@)l.|x = y + |T(0ÍL[T(s — t)y ~ y| cùng với Dinh ly 1.16 (ta lay s>t khong lam mat tinh tong quát ) Định lý 1.19: Cho ;T(t);,.,<=B(X) là C”- bán nhóm với sinh vô hạn A Thì D(A)= X Hơn nữa A:D(X) cX—>X là toán tử đóng Chứng minh :
Cho xe<X Trước hết ta sẽ chưng minh rằng với mọi t >0 phần tử Vv, = (jT(u)xdu thuộc D(A)
Trang 22Tih)-1 |
— — (f0 T(u)xdu]} = = (p(T +h)x -T(u)x}du
Nhu trong chứng minh của Định lý 1.15 ta có thể lấy T(h) qua dấu hiệu tích phan
bởi tính chất liên tục Biểu thức cuối cùng có thể viết như sau :
l1 l ] ]
nh ẦT(v)xdv - , JoT(v)xdv = ; tt T(v)xdv — LjðT(v)xdv
bởi các tính chất của tích phân lại một lần nữa trong Định lý 1.15 cho h->0~ va dùng
định lý cơ bản của phép tính vi tích phân trên X, ta suy rằng : a [T(u)xduj = T(t)x - x lim hw- aA ` A ea ] ` ` Vay y, €D(A) va Ay, =T(t)x-x Bay gid cho x, =-y, Thì x¿ eD(A) vì D(A) t
ˆ wes v: | - T co MAL: la Khong gian con tuyén unh.vGi Ax, =-Ay, Hon nữa, bởi qui tác L’hopital `
t |
ẤN == fy TMu)xdu —> T(0)x = x khi t->0+
Vậy x là giới hạn của dãy các phần tử trong D(A) và , vì xeX là bất kỳ, D(A) = X
Đề chứng mình A đóng cho xạ elD(A), xạ ~X va Ax, >~y (eX) Ta phai ` ne ee d chung minh rang x ¢ D(A) va Ax = y Boi Dinh ly 1.18, dị ` (Ung = T(t)Ax, t =2 T(Xp — Xu = T(UX„ụ — T(0)Xa = [y T(w) Ax , du (t>0) (1.27) vì u> T(u) liên tục trén [0.t] , T(u)| bị chận với 0<u<t do đó : | | 1 ot | | | | i TanaAx du = fT wydul = (T00 An ~ yldui < fy [Tu |Axy — yiidu <c]Axy — yilt ( có một hằng số c nào đó )
Vay j2 T(u)Axadu —> j T(u)ydu và cho n—> œ ,(1.27) cho ta: T(UX-X = jy T(w)ydu vì T(t) én tuc T()x—x 1 „ > a - |, T(u)yydu > y khit>0+ do qui tac L’hopital l L Vậy xeD(A) và Ax = y như yêu cầu Điều này hoàn tất chứng minh Định lý 1.20:
Cho X là không gian Banach và cho {S(t)},„ và {T(t)},., là những C”- bán nhóm cua các toán tử bị chận trên X có cùng sinh vô hạn A Thì S(Ð = T( với Vt>0 (le
C_ - bản nhỏm được xác định duy nhất bởi sinh vô hạn của nó ) Chứng minh :
Trường hợp t=0 là tam thường vì S(0) = T(0) = I[ do định nghĩa
Trang 23Gia sử VÝW( >0, S(0x=T(0x VLe[0.tG] Với L>0 cố định , xeD(A) ta định nghĩa f: [0.t]—> X Boi f(s) = T(t-s) S(s)x O<s<t Xét f(0) = T(t-0) S(O)x = T(t)Ix = T(t)x f(t) = T(O) S(t)x = S(t)x
do đó ta bắt đầu tại T()x và kết thúc tại S(0x
Để chứng minh f(s) là hằng số ta chứng minh đạo hàm của f(s) bằng 0
đa —S)S(S)x}= orc —s)}S(s)x + T(t- s)-Ó S(s)x
ds ds ds
= -T(t-s)AS(s)x + T(t-s)AS(s)x = 0
Ở trên ta đã áp dụng (1.25) trong Định lý 1.18, với t được thay bởi cả t-s và s, va T(t) được thay bởi T(t-s) và S(s) Vay f(s) là hàm hằng trên 0< s< t và do đó ta đã chứng minh
rằng S(Ux = T(0)x với mọi xeD(A), cuối cùng, cho xeX Bởi Định lý 1.19, tổn tại một day {x,},-; € D(A) sao cho x, 3x khin> x Do trường hợp trước S(0)xạ= T()Xạ với
n= 1,2 Cho nx va ding tinh lién tuc cua S(t) va T(t) cho S(t)x = T(t)x với mọi
xeX Vay S(t) = T(t) nhu nhifng todn tử trên X và điều này hoàn tất chứng minh cho t >0
Ta đã chứng minh và sử dụng tương tự (1.22) cho n=l Với giá trị n tổng quát để xác
dinh D(A*) cua A*® , ta có thể xét một kết quả cho n=2 Bởi định nghĩa <A’:
X=D(A') ẤN cho bởi :
D(A>)-= ƒxeD(A)|Ax eD(A) }
A7x = A(AX) (xelD(A”)) (1.28) Định lý 1.21 : Cho A là sinh vô hạn cửa một C”- bán nhóm của lớp C”(M.0) Nếu xeD(A") thì: !AxI” < 4M” |Aˆx/.Ix| (1.29) Chứng minh : Cho xeD(A”) Bằng cách dùng (1.25) hai lần va lấy tích phân hai lần như trong (1.27) với L>0
T(t)x-x = Ío T(@)Axdu = j (j2 T(v)A(Ax)dv + Ax)du
=_ Í2(Đ du)T(v)A”xdv + tAx = Í0(L— v}T(v)A “xdv+tAx
thay đổi thứ tự tích phân được chứng minh bởi sự hội tụ theo chuẩn Vậy :
| 1 | 3
Ax = =T()x——=x~ =Ía(L— v)T(v)A“xdv
Trang 24= ‘AX| <- -(IT(0 )XỈ + R)+-f (t= V)|T(V)A” xidv (do Định lý 1.17 (i)) TỶ (tTV)Mdv — (vì M>1) vy
= = “ l|+ -|A”x le b=“ lh |+ = |e x| với moi t>0
Trang 25CHUONG II
BÁN NHÓM CÁC TOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH
VÀ ĐỊNH LÝ HILLE - YOSIDA - PHILLIPS ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦ 4 ỨC TỐN TỶ Vấn đề tìm ý nghĩa cho exp(tA) với A: D(A) c X — X là tốn tử tuyến tính khơng bị chăn Khi A là một số thực (hoặc tạp) Ta có : n e“ = lim (+) (2.1) nœ n l 2? , Do eZ =k-s} Ta có thể viết 1P -i 7° e' = lim (-4) | “in| 2(2-0) | (2.2) nñn—œ n
Ta muốn xét trường hợp A là toán tử và có thé xay ra D(A) # X Với A là toán tử,
một cách hình thức ta có thể xem e'ˆ được biểu diễn như sau : =|" e'A = lim ee | (2.3) noc! t\t Bén trong (2.3) c6 mot todn ur dang (AI- A)! (v6i A= —) t Ví dụ : Cho X = C|0, œ]
feX nếu f là hàm số có giá trị thực và liên tục trên [0, œ) sao cho f(x) tiến về một giới hạn hữu hạn khi t—> œ Với chuẩn
If[ = sup [foo (f € X)
x €[ 0,00)
X trở thành không gian Banach
- Với mỗi L>0, ta định nghĩa toán tử T(t) trên X như sau :
T(t): X X f lo Tf
vGi [T(t)f} (x) = f(k+0 (x>0)
- Thì {TŒ)},zo là C° - bán nhóm của các toán tử tuyến tính bị chận trên (C[0,œ] , |.)
Trang 26Af=f_ hoặc (AN(x) = tba)
dx
Vậy (AI - A) là một biểu thức vi phân, ta có thể nghĩ (AI - A)” là một toán tử tích
phân và (AI - A)' e B(X) với những điều kiện thích hợp
Ta viết : R(A,A)=(AI- A)! (biểu thức này có nghĩa) (2.4) - Khi R(^, A) là trường hợp số, ta có : a _ feel dt A-A 9 - Trường hợp toán tt, vdi T(t) =e , ta có thể nghĩ : R(A, A) = fe“ T(t)dt (2.5) 0 theo nghĩa này hay nghĩa khác dưới điều kiện thích hợp Định nghĩa 2.1 :
Cho X là không gian Banach thực và A : D(A) c X — X là toán tử tuyến tính
() - Tâp giải thức của A, ký hiệu p(A)
p(A)={AeRÌ (AI- A)! eB(X)} (2.6)
(ii) Phổ của A, ký hiệu o(A)
o(A) =R\ p(A) (2.7)
(iii) Với À € p(A), ta viet R(A, A) = (AI - A)! © B(X)
gọi là toán tử giải thức của A tại À Định lý 2.2 : (Phương trình giải thức)
Cho X là không gian Banach thực và A : D(A) c X — X là toán tử tuyến tính Nếu
À l€ p(A) như các toán tử trên X thì
R(A, A) - R(p, A) = -(A - h)R((, A) Rín, A) (2.8)
Chifng minh :
Với xe Xtacó:
(RA, A) - Rín, A)]x = R(À, A) [(H - A) Rí(h, A)x - (AI - A)R(u - A)x] R(A,A)f(M - A) - AI - A)}x] = RA, A){(u - À)IjR(h, A)X
(u - A)R(A - A)R(u A)x = - (A- n)R(A, A)R(t, A)x và (2.8) được thỏa
Bổ đề 2.3 :
Cho {T(t)} p59 1a Cˆ bán nhóm của các phép không dãn trên không gian Banach X với sinh vô hạn A : D(A) CX > X Thi với xeD(A) và số thực ^ >0, phần tử
AI
R(^)x=Íge T(9)xdt (2.9)
tồn tại như phần tử của D(A) và
Trang 27AR(A)X = Í e ““AT()xdt = jZe “T(0Axdt (2.10)
Chứng minh:
Tích phân trong (2.9) hội tụ theo chuẩn và ta đã có sự đánh gia
©_ —À, co —} l
|R(A)xl| < fy e “ITC Ix|dt < |x|Í) e “dt =~ |p| (2.11)
vì T(t) là một phép không dãn với mỗi t>0 Rõ hơn, R(A)x= lim y, véi nœ y= foe“ T(t)xdt ( tat nhién, y, ty thudc x ) Ánh xa t> e *#T(t\)x từ [0,n] vào X là liên tục và ta có y=~ lim y,, kcèœ "` nk -^Š, (j-])n jn ở đó =—Ye JT(,)x với <š,<—
tổng tương ứng đối với phân hoạch của [0,n] ra k phần bằng nhau Bởi Định lý 1.18,
T(š,)x eD(A) với mỗi j=l, ,k và vì D(A) là không gian con tuyến tính ta kết luận rằng
vay €D(A) và rằng,bởi (1.25), -Xš ~É nk —e | nk - AYnk= : -AT(0x= 2e j=l T(E JAX j=l
Tuy nhiên, phía bên phải hội tụ về zạ =Íje ““T()Axdt ,do lý luận trước của chúng
ta áp dụng đối với Ax hơn nữa x Vậy với mỗi n,
Ya,eD(A) với mỗi k=l,2,
Ynk *Ÿn + AYnyg->Zn khi k>o
vi A dong do Dinh ly 1.19, suyra y„ eD(A) và AY, =Zn>
ie A(joe “'T(tyxdt) = [ge “T(t)Axdt = (Pe AT(t)xdt
với n=l.2 cho n->øœ, biểu thức trên Nếu ta viết Z=ÍƑe“T()Axdt,
tích phân hội tụ theo chuẩn, thì z là giới hạn của zạ khi n-> œ(bởi lý luận trước của
chúng ta với x thay bởi Ax) Vậy ta có,với n=l,2,
YynelD(A), yn >RA@)X, AYn=Za >⁄“ , A đóng
Do đó R(A)xceD(A) ,và AR(^A)x=Z với việc thay thế Z và dùng (1.25) , ta được
Trang 28Ghi chu :
Bo dé 2.3 chứng tỏ rằng , dưới những điều kiện đã trình bày , một toán tử đóng có
thể xuyên qua dấu hiệu tích phân, đôi khi đơn giản hơn ta chứng minh cho những tóan tử
bị chân
, $ 2 DINH LY HILLE - Y A - PHI
Định ly 2.4 : ( Hille-Yosida - Phillips : Can )
Nếu toán tử tuyến tính A :D(A)cX->X là sinh vô hạn của Cc? bán nhóm các phép không dãn trên không gian Banach X, thì :
() — A là toán tử đóng với D(A) trù mật trong X
(ii) Tập giải thức p(A) chứa tất cả các số thực dương ^,„ và với À >0
|
JR(2 A)| < F (2.12)
Chứng minh:
(1) C6 dude do Định lý 1.19
(ii) Theo Bổ để 2.3, với A>0, ta xác định toán tử R(^.) trên X bởi (2.9)
R(A)x = [e “T()xdt với xeX
Ta sẽ chứng minh rằng R(2.) = (AI—A) ` = R(ÀA,A) như chúng ta đã mong muốn từ
(2.5) Với xeX và h>0, theo Định lý I.I5 và 1.19 ta có : : T h} —]| œ woh -x 7A ko, R(A)x =~ [Fe T(t hyxdt~ = [Fe “T(t)xdt 1 sh ess =pe fre T(u)xdu~ fe eT (t)xdt | =_e “le “T@)xdt- [pe —)t Tiyxdt) == [5° € eT (t)xdt | ? 4 =2, l A -/ =r(c — Iie T()xdt= se he “T(t)xdt
Bởi Định lý căn bản và qui tắc L'Hôpital, vế phải hội tụ theo chuẩn về
AÍ*e “T()xdt- lim ee T(h)x = AR(A)x-x khi hoO+
h>0+
Bởi Định nghĩa 1.9, R(2)xelD(A) va AR(A)x= AR(A)x—x
dod6 (AI—A)R(A)xX =x véi moixeX (2.13)
Trai lai v6i x e D(A), tY Bổ đề 2.3 ta có :
R(A)AX = foe ““T()Axdt = A(jore “T(t)xdt = AR(A)x
R(A)(AI — A)x = AR(A)x — R(A) AX
bdi (2.13) = AR(A)x — AR(A)x = (AI-— A)R(A)x = x
Trang 29Suv ra R(2^)(ÀAI=À)x=x_ với mọi xel2(À) (2.14)
(2.13) và (2.14) chứng tổ rằng với 2 >0, R(À.A) tồn tại và R(2A,A)=R(^À) được cho bởi (2.9).Hơn nữa
|R(A, A)l < > bởi (2.11)
và việc chứng minh được hoàn tất
Định nghĩa 2.5 :
Cho A :D(A)cX->X là toán tử tuyến tính thoả (¡) và (1) của Định lý 2.4 Mỗi
À >0 ta định nghĩa xấp xỉ Yosida A;, của A bởi:
A; = A RA,A)-AI=2AAR(2.A) (2.15)
như toán tử trên X
Chú thích :
1 Bởi giả sử R(A,A) eB(X), biểu thức đầu tiên của A; chứng tổ rằng A; eB(X)
với mỗi À >0 Biểu thức thứ hai suy ra R(^.A) ánh xa từ X vào D(A) và viết
À“R(A.A)—2I= À(AI= A)R(A.A)+2AR(A,A)—ÀL= ÀI+ÀAR(A.A)—ÀL= AAR(A,A) KA A A-A I—A tA A;_ thực sự xâp xi với A theo nghĩa nào đó 2.Tương tự trường hợp so, ghi A; = +> A khi À->øœ, nêu ra rằng Định Lý 2.6 :
Cho A thoa () và (1) theo Định lý 24 và với À >0, cho A; được định nghĩa bởi (2.15) Thi v6i moi x € D(A)
lim A; X = Ax (2.16)
Chung minh :
Vì lim A;x= lim AAR(A.A)x = lim AR(A, A) AX xe D(A)
“—>%® feo —>
( lý luận tương tự theo dao ham cua (2.14) ), ta chỉ cần chứng minh rằng lim ÀAR(À.A)y=y_ với mọi yeX (2.17)
/.—>%®
Néu ye D(A) ,tacd AR(A,A)y-y=R(A,A)Ay bởi(2.14) vì R(A)= R(A,A)
Vay |AR(^A.A)y - y||= |R(A.A)Ay| < 'RÓ A)E |Ay| n Ay| bởi (2.12) và (2.17) suy ra | |
trường hợp nay Voi yeX do D(A) tu mat tong X Ta có dãy y, € D(A) sao cho y, 7 y khi n— sœ
Trang 30< AR@ A){y—ygl|+lAR(A.A)y,= vÍ+lyn VI
< yy |+lARQAY,—Yal II | tla YI bdi (2.12)
Giá sử có N sao choy = va|< VỚI n>N().Với n=N ,có A sao cho AR(.A) yn = YN| ig 4 với À>A_ bởi trường hợp trước
Vay void > A (và với n=N ở trên)
JAR(A,A)y - yi] < stots =_e va vie>O batky, (2.17) dude chifng minh
Dinh Ly 2.7:
Trong ghi chú của Định lý 2.4 và Định nghĩa 2.5, với mỗiA >0,A; sinh một UC-bán
nhóm của các phép không dãn {exp(tA+)},„„ Hơn nữa với bất kỳ xeX,.À>0,u >0 và t>0
exp(LA;)X —exp(t Axl kế tla; X— A„xl (2.18)
Chứng minh:
Ta da thay rang A, sinh UC-(bán)nhóm trong Định lý 1.13 Để chứng minh rằng
mỗi toán tử exp(tA;) là một phép không dẫn, ta dùng việc đánh giá iexp(tA;)|= lexp(~0l +IA RA, A)) < |exp(-0U)| lexp AT R(A, AI
bc) CXpC/ÀAl)=e “J, Hơn nữa bởi (1.21) và (2.12),
or
| 3 | y; A ( )
expla R(A,A)| <exp(tA|RA.A)l)<c | 2 =e t2
Vậy C©Xp(tA;)'Š co “Me =] (2.19)
cho một phép khỏng dãn như yêu cầu
Trong phần thứ 2 của chứng minh ta đã dùng lý luận mà hình như trong chứng minh
của Định lý 1.20 và nhớ lại Định lý gía trị trung bình và những kết quả tương tự Với bất Kỳ xeXN và t>0, ta viết:
d
CXp(l A; )X - eXp(tA,)X = Ío lexp(sA;)exp(t( —§) Au)x]ds
I Íscxp(t Au)€expGS{tA ; —LA utd it Ag ~tA utxds
l
U[pexp(ts A; )exp(t(1—s) Au)(A¿ — Au)Xds
vi (s >0 và t(I-s)>0 , cả hai số mũ có chuẩn <1, bởi phần đầu của chứng minh
Vậy lexp(tA ;)X — exp(t A,)x| < tÍg L-l|A; i= Ayxids = WA; xo Aux!
ohu veu cau
Trang 31Sư trình bày sau đạt được (2.18) như đã chứng minh Ta đang cố gắng đạt được một
bán nhóm với T(U = exp(tA) như một giới hạn của các bán nhóm {eXp(LAa) Hay Mũ ta tin
rang vidi han ton tại Sử dụng dãy Cauchy tốt hơn thay vì dùng dãy hội tụ Ghi chú sau
Định nghĩa 2.5 đưa ra rằng, vì A; tiến đến A theo nghĩa nào đó khi À->œ, A;xX va Aux sẽ gần nhau nếu A và u đủ lớn và do đó ta có sự giống nhau với dãy Cauchy
(2.18) sẽ đưa ra rằng một sự tương tự của việc sử dụng exp(tA; )x chúng ta có thể đạt
đến giới hạn mong muốn
Định Lý 2.8 : ( Hille-Yosida - Phillips : Đủ )
Cho X là không gian Banach và cho A : D(A) cX —X là toán tử tuyến tính sao cho: (¡) — A là đóng và D(A) là không gian con trù mật của X
(ii) p(A) chứa tất cả các số thực dương 2 và với À >0 iR(A, A) $ >|— Thì A 1a sinh vô hạn của C” -bán nhóm của các phép không dãn trên X Chứng minh : Cho x € D(A).Thi bởi (2.18) với mỗit>0 ,ÀÄ>0 và >0, AzX— AI | CXP(LA;)X ~€Xp(LAu)XỊ SI
< tÍÌA; x— Ax| +|Ax — Au x} 2.20)
Bởi (2.16) phía vế phải co thể làm nhỏ bất kỳ bởi lấy A và u đủ lớn Vậy vỏi bất
4 - ^“ ° o ^ Š l8 Lx `
kš dãy số thực 2u>0 sao cho A¡ >> ø khi n—>ø các phần tử {exp(tA;,)X] , thành l= làp mót dãy Cauchy trong X Bởi sự đầy đầy đủ: dãy hội vậy lim exp(tA;)x tồn tại với
?.—>Z
mỏi t>0 bởi
T(x = lim eXp(LA;)X (2.21)
”.—=Z
That dé dàng kiểm rằng T(0) là toán tử tuyến tính trên không gian tuyến tính D(A) xử T(JX:= lim €xp(tA;)x|< lim lexp(tA;.|| Í|x| = |x|
Lx Ö—ỳœ
Vì cxp(LA; ) là một phép không dãn, bởi Định lý 2.7.Vậy T() bị chân trên D(A) và vì DA) trù mật trong X ta có thể nới rộng T(0 liên tục trên X
Rö ràng với xeX ,cho
T(Ox = lim T(x | (2.22)
Trang 32Ở đó (xa}, là 1 dãy bất kỳ của các phần tử trong D(A) hội tụ về x Dễ dàng kiểm
rằng giới hạn độc lập của dãy {xn},_, và , bởi trường hợp trước và liên tục theo chuẩn
{T()xỈ = lim [T() xa| < lim |xall = [|
nx ñ—œ
Suy ra , với mỗi t>0, T(t) là một phép không dãn trên X Chúng ta sẽ chứng minh
rằng họ của các toán tử {T(t)},„¿ là một C”- bán nhóm các phép không dãn có A là sinh
của nó Trước hết ta ghi rằng T(0)x = x với mọi xeX
Thật vậy , với xeD(A) , điều này suy ra ngay tức khắc (2.21) vì exp(0A;)=l và
trường hợp tổng quát là có ngay từ (2.22) Giống như vậy , chú thích 2.12 với s>0,t>0
va xelXA)
T(s+UDx = lim exp((s + A;)X = lim exp(s Az) exp(t Ay )x
7„—>œ À—>œ
Tuy nhiên lexp(s A;)©xp(t A;)xX— T(s)T(t)x|
= /exp(s A;,) {exp(t A,)x — T(x} + {exp(s Aj) — T(s) {T(x}
<lexp(s A,)| |exp(tA;)x — T()x||+|[T(0| fexp(s A;)x — T(s)x|
(do tính giao hốn)
< |exp(tA;)x — T()xÍ + lexp(s A;)x — T@)x|
( do Định lý 2.7 )
—>() khi À — œ do (2.21)
Vậy T(s+Ux = T(s)T(0)x với xeD(A)
Do tính liên tục và tính đồng nhất , các kết qủa vẫn đúng với mọi xX
Vậy như toán tử trên X, T(s+U = T(s)T(0 và T(s+U = T(t+s) = T(UT(s) Vậy ta có một
bán nhóm các phép không dãn trên X Do tính liên tục mạnh, ta trở lại (2.20) và cho u— đạt được, từ (2.16),
lexp(tA;)x~— T()x|<t|A;x— Ax| — với xeD(A)
Cố định t, >0 và xétmoiL [0.t,] đồng thời Với xeD(A) cố định, và e>0, tồn tai A sao cho
|A,x=Axj< VỚI À>A
0
= exp(tA; )x — T(t)x| < lo * = e_ | tọ với mọi À>Â_ và mọi te [0,t,]
Vậy, với xeD(A) cố định , exp(tA, )x hội tụ đều về T(0x với te[0,t,] khi A—> œ
Vi dnh xa th exp(tA, )x 18 lién tuc trén [0,t,] , do đó ánh xa t> T(t)x cũng liên tục bởi
su tudng ty cua dinh ly tiéu chudn vé su héi tu déu Su han ché x Ee D(A)c6 thé được đổi
chỗ bởi lý luận tương tự như những điều trên ( chang han , theo Dinh ly 2.6 ) Vậy ta có
Trang 33C_ — bán nhóm của những phép không dãn Việc còn lại là chứng minh rằng A là sinh của
bán nhóm này Chẳng hạn, cho sinh của {T()},x„ọ ghi bởi B ( Ta sẽ chứng minh rằng d
A=B) BGi (1.22) je eens.) = A, exp(sA; ) =exp(sA; )A; như các toán tử trên X S
Vậy bởi (2.21), với mọi xe D(A) và 0
T()x-x=_ lim (exp(tA;)x—X) = lim [jexp(sA;)A;xds (2.23)
À,—>cO
2.>—>œ
Vì exp(0A, ) = I Như đã chú thích ở trên , exp(sA, )y hội tụ về T(s)y đều trên [0.t] với mỗi yeD(A) cố định và A,x hội tụ về Ax bởi (2.16) khi À —> © Dễ dàng suy rằng khi À->œ, exp(sA,) A,x hội tụ về T(s)Ax đều trên [O,t].Vậy ta có thể qua giới han
dưới dấu tích phân trong (2.23) đạt được
T(0x-x = ÍoT(s)Axds (xeD(A))
- T(t)x == X lt 2 ý 5 ‘
=> lim —= lim - lo T@)Axds = lim T()Ax = T(0)Ax= Axbởi qui tắc LHopital
EesIE L 130+ t t>0+
Vậy xeD(B) và Bx = Ax Vì xeD(A) là bất kỳ, ta kết luận rằng D(A)c D(B) và Ax= Bx với xeD(A), 1e B là nới rộng của A Trái lại I ep(A) bởi giả sử (1) trong khi đó bởi Định lý 2.4 (1), I ep(B) vì B là sinh của C” -bán nhóm các phép không dãn Vậy một bên
là Ính xa (I-B) từ D(B)—>X là 1-1 Trai lai, v6i x e D(A), (I-B)x = x-Bx = x-Ax = (I-A)x
do trên suy ra (I-B)D(A) = (I-A)D(A) = X.Vay I-B là ánh xạ 1-1 từ D(A) vào X Điều này
nvh1a là D(A) = D(B) và Ax = Bx trên miền xác định chung Vậy A = B và chứng minh
đã được hoàn tất
Hệ Qua 2.9:
Cho {T(t)},.) 14 C°- ban nhóm cửa các phép không dẫn trên X với sinh vô hạn A
Nếu 4, là xấp xỉ Yosida của A, thì
T()x= lim €xp(tA, )x với mọixeX (2.24)
se
Chung minh:
Do Dinh ly 2.8 , vé phai xdc định một C”— bán nhóm các phép không dãn trên X với
sinh A Bởi Định lý 1.20, bán nhóm này phải là {T(t)},„ạ do đó tương ứng với các phần
tứ xác định toán tứ tương tự trong B(X) và (2.24) được suy ra
Ta có: le ”“T(0xdu < [7e t8°?)1IT(0| [x|dt < |x|jg e Sát = a
°
Trang 34với 2 >0 do vậy chúng ta trình bày mà không cần chứng minh sư tương đương của định lý Hille-Yosida
Dinh ly 2.10 :( Hille-Yosida - Phillips )
Cho X là khơng gian Banach Tốn tử tuyến tinh A: D(A) Cc X > X [a sinh v6 han
: của C°— bán nhóm của các phép không dãn trên X nếu và chỉ nếu thỏa : () _ A là toán tử đóng và D(A) là kg tuyến tính trù mật của X
(i)_ p(A) chứa {AeR!:A >0} và IR(A,A)|< = với mọi ^ >0 Chứng minh : Có ngay suy từ Định lý 2.4 và Định lý 2.8 Dinh nghia 2.11 : Hai chuẩn | | và | | tên không gian vectơ định chuẩn X là tương đương nếu tổn tại các hằng số C¡ vàC;› sao cho : Ix|l<C¡jxJ và |x|<€Ca|x| với x e X Ghi chu:
Ý nghĩa đằng sau của chuẩn tương đương 1a bat ky tinh chat topo nào có bởi (x |)
thì cũng có bởi (x | ) và ngược lại Chẳng hạn nếu {xạ} hội tụ tới x với chuẩn || | thì nó
cũng họi tụ tới x với chuẩn | |, và nến" {x„} là Cauchy với chuẩn ¡ | thì nó cũng Cauchy
với chuẩn | Vậy nếu (x, | | ) la day du thi (X,| |) cũng đầy đủ và ngược lại Lại nữa,
nếu L là một toán tử bị chận (đóng) trên X theo chuẩn | | , thì nó cũng đúng cho L theo
chuẩn _ (mặc dù trong trường hợp này của toán tử bị chận chuẩn của nó sẽ thay đổi nói chung một cách đáng kể) Để diễn giải ý nghĩa ta chứng minh một định lý tương tự 2.4
Dinh ly 2.12:
Cho A :D(A)c X—>X la sinh v6 han cua C’—ban nhém cua lớp C?(M0) VỚI M>] Thì
()_ A là toán tử đóng và D(A) là không gian con tuyến tính trù mật của X
Trang 35Xi = sup/T(t)x| xeX (2.26)
t>0
Vi T(0)x =x taco |x| =||T(O)x|] < sup/T(t)xi| = |x|
t>0
Và bởi giả thiết ta có , |T(0)x| < [T(0| |x| < M|x| với mọi t>0
do đó |x|< M|x| Bởi Định ngĩa 2.11, | | và || || là những chuẩn tương đương trên X, sự thể Ix| là một chuẩn kiểm dễ dàng
Do ghi chú sau Định nghĩa 2.11, (X,| |) là một không gian Banach Ta sẽ viết | | và
) va B(X,
|) Điều này không gây nhầm lẫn
| | tương ứng với những chuẩn trên B(X,
Bởi (2.26), với t>0 và bất kỳ xeX
[T(t)x| = sup|T(s)T(t)x| = sup|T(s + t)x|| = sup|[T(u)x| s>0 s>0 udt < sup|T(u)x| = sup|T(t)x|| = |x| u>0 t>0 sao cho /T(t)|<l với mọi t>0 Hơn nữa vì tính liên tục mạnh là một tính chất topo, ta có ), ho ƒT()},.„ là C”- bán nhóm của thể suy luận rằng, khi các toán tử từ (X.| |) vào (X,| t20 ), sinh A dude
các phép không dãn Bởi Định lý 2.4 áp dụng cho không gian Banach (X,
xác định đóng và trù mật với |R(ÀA,A)|<—_ với ÀA >0 Vì các tính chất đóng và trù mật là w
\)
cdc tinh chat topo, bay gid (i) suy ra khong gian Banach diac biét cua chúng ta (X,
Cũng vậy, với À>0,xeX vàn=l,2,
ROLA)"X) S ROA) X | <|R(A,A) | |x{ 5 " < i
= R(2,A)"| < M
lÌ | x"
việc chứng minh định lý đã được hoàn tất
Chứng minh (¡) và (ii) của Định lý 2.12 không những cần mà còn đủ để đặc trưng
sinh của C”- bán nhóm của C”(M,0), chúng ta thực hiện toán tử khác trên không gian
(X.| |) và dùng Định lý 2.8
Định lý 2.13 :
Cho (X,| Ï) là không gian Banach và A : D(A) c X > X toán tử tuyến tính thoả (¡) va (ii) cua Định lý 2.12 Thì A là sinh vô hạn của C”- bán nhóm của lớp C”(M,0)
Trang 36Trước hết ta xây dựng một chuẩn tương đương trên X theo sự cần thiết của chúng ta
Theo Định lý 2.12 biểu thức (2.25) suy ra tổn tại M để
À°R(2.A)*| bị chặn đều với mọi 4 > 0 và mọi n= 1,2 i= =3 A°R(.A)9 = lIZl = M>l với >0, ta định || bởi H”R(u,A)°x Su” R(u,A)P Ix| ix, = Sup H n>0 M <q eel < M|x| kiểm ||, là một chuẩn trên X với n=0 tacó |x| >|R| Suyra |x|< Ix, < M|x| (2.27)
Vậy || va || l tương đương nhau
Kiểm tra được juR(H.A)|, <]
R(u,A) là A toán tử : (x, | Ñ > (x | )
Cho À thỏa0<x<kt và xe X ta viết y = R(A,A)x thì lời giải của phương trình vi
phân (Định lý 2.2) cho
y= R(u, A)x +(uh- A)R(p,A)R(A,A)X
= lR(h,A) {x+(h- À)R(À,A)X} = R(h,A){x+(h- À)y]
Trang 37Dat x= lim XH (x € X) (2.30)
LU —> 2c
(2.27) =_ jxÌ<.x| <M|xi (2.31)
Vay || la một chuẩn tương đương trên X Đây là chuẩn mà ta cần tìm Bởi tính chất
bat bién topo (i) cua Định lý 2.8 thỏa, cho —>o (2.28) và (2.30) cho R(A,A)”x sk = Ira ais | ia 3 đó ta sử dụng lại ghi chú của chứng minh Dinh ly 2.12
“đằng ứng với | | A là sinh của C° - bán nhóm các phép không dãn {T(Đ}\xo
Trở lại chuẩn | |, ta có C° - bán nhóm bởi tính bất biến topo với |T(0)| < 1 dẫn đến
IT@)x| <|T()x| < < |x| < M|x|
5ởi (2.20) Ie <M Vậy {T(0}a ›o là lớp C” - bán nhóm C”(M,0) sinh bởi A và chứng
minh được hoàn tất s “A - a >, tv ind + : Nếu A và B là những sinh vô hạn của C” - bán nhóm {T(U}(xo và (S(Œ)])so= {e ”“T()}.s, thì BE=A-øl tức là IƯ(B)=D(A)và Bx= Ầx-@x vớix € D(A) Chung minh: Cho x € D(A) vah>O, ta xét: ¬ _ V—øh _ _ S(h)x — x _ S(h)x- Thx | T(h)x—x _+ ÌT(h)x + T(h)x—x h h h Số hạn thứ nhất của vế phải hội tụ về -œT(o)x = -œx khi h > 0 Với bất kỳ x Vậy _S(h)X—X T(h)x-x lim ————— = -x + lim —————— h>0 h h—>0 h => BXx=-@X+AÀXx > B=A-al
Dịnh lý 2.15 : (Hille - Yosida - Phillips - Miyadera - Feller)
Cho X là không gian Banach Toán tử tuyến tính
Trang 38Chứng minh:
= (can) Cho A là sinh vô han của bán nhóm {T(0)}, › o của lớp C”(M.œ) và cho
B=A- øI Do Bổ đề 2.14, B là sinh của lớp bán nhóm {e ”” T(0}, xo của lớp C°(M,0) Do Định lý 2.12 (1ñ), B là đóng va D(B) = X Do d6 A =B + ol va D(A) = D(B) và (1) da được chứng minh Trở lại Dinh ly 2.12 (ii), p(B) chifa {A € R; A> 0} va bai (2.25) M nÌ< I~ 42 *Ã với A>0,n=l1,2, (2.33)
Tuy nhién AI - A= AI-(B+ aI) =(A-@)I-B = R(À,A) = R(À - œ,B)
Vay néurz>othidrA-w >0, (2.33) tacé thé thay Abdi A-@
| M
= |(R(A -@, B))"| < ——
(A-ø)”
<= : (du)Do Định lý 2.13, B là sinh cửa C” - bán nhóm {S(U}¿ xo của lớp C”(M,0)
Nếu ta đặt T(U = e”S(U vớit>0, lý luận tương tự Bổ đề 1.17 ta được {T(0}, so là một
bán nhóm của lớp C”(M.0) và do Bổ đề 2.14 sinh của nó là A (ROB) ( R(A.A))” <
§ 3 PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Cho X là một không gian Banach Xét phương trình : Z(0+ AZ(0 = f0 te[0.T] (2.34) Z(0)= Z A TRƯỜNG HỢP THUẦN NHẤT Trường hợp f(U=0 zt<[0.TỊ (2.34) trở thành : Z(t) + AZ(t) = 0 Le[0.T] (2.35) LOS = Z Dinh ly 2.16:
Nếu -A là sinh của một C” - bán nhóm {Ty} t>0” thì mọi Z„ <D(A) (2.35) có một lời
giải duy nhất Z(t) sao cho : )_Z()eD(A) vt [0.TỊ M) - ⁄{U liên tục tuyết đối với t >0 il) /ZŒ)—=Z,4j >0 khi t>0 IV) (0= T(02, Chứng minh :
Ro rang Z(t) = T(t) Z, la mot Idi giải của (2.35) ,
Vì nếu xe D(A) thì T(UxeD(A) với0<t< + va AT(t)x = T(K)AX
Trang 39hơn nữa: “Ta = -ÃÄ J(Ðx =-l(DAxX t
Thật vậy :
nếu xeD(A), thì từ T() Anx= AnT(0x ta được
lim AhT(t)x= lim T()Ahx =T()(lim Ahx) =—T()Ax h—>0 h—0 h—>0 Vậy T()xeD(A) và AT(t)x = T(t)Ax Hon nữa, nếu t>0,h >0 thì x-T(t-h ImpSS — T(t)Ax} = lim T(t — h)(AnpX — Ax) + lim[ T(t - h) - T()]Ax =0 h>0 h h—>0 h—>0
kiểm dễ và jimi UR TE Be - T(t)Ax} = limT(t)[A,x ~ Ax] = 0
hai két qua trén cho ta “T(x tôn tại và bang -T(t)Ax
t
Le, < T(t) = -T(QAX (2.36)
Để chứng minh sự duy nhất của lời giải , ta giả sử rằng có m6t Idi gidi y(t) cua
(2.35), sao cho thoả :
y(t) + Ay(t) = 0
va y(O) = 0
Ta muốn chứng minh rằng y(U)= 0
Với mỗi t>0, cho : u(s) =T(t-s)y(S) 0 <s<t- Thì u(s) liên tc tuyệt đối và :-
Trang 40Do đó u(U = y() = u(h) = T(t-h)v(h) Choh->0, vi y(h) > 0, ta có u()=y()=0,
VỚI mỖI t >0
Vậy y=0 nghiệm đúng
B- TRƯỜNG HỢP KHÔNG THUẦN NHẤT :
Z(t) + AZ(t) = f(t), te [0,T] (2.37)
Z(0) = Z,
Dinh ly 2.17:
Cho A được xác định như trong Dinh ly 2.16, Z, e¢ D(A) Cho ham f(t) sao cho
f<C'({0,T];X) Thi (2.37) có một lời giải duy nhất thoả :
1) Z(t) kha vi lién tuc trong (0,T) ii) Z(t)eD(A) , t>0 111) iZ(t)—Zoll, —>0 khi t->0 iv) Z(t) = T(t) Z, ~[ T(t-s)f(s)ds (2.38) tich phan trén 1a tich phan Riemann Chifng minh : Vì [(L) liền tục, tích phần [Tá - §S)f(s)ds được xác định theo tích phần Riemann Cho: Z(t)=T()Z, + | T(ts)f(s)ds | (2.39)
Vì ta biết rằng số hạng đầu tiền T()Z,„ vế phải của (2.39) thỏa phương trình thuần
nhất (2.35) và điều kiện đầu Z(0)=Z” , nó chứng tỏ rằng số hạn thứ hai thỏa (2.37) và số hạn đầu có giá trị 0 Ta ghi số hạn này bởi v(t), v()= [T( —s)f(s)ds Trước tiền ta chứng