BÙI ĐÌNH THẮNG ĐỀ TÀI HÀM GREEN CHO TỐN TỬ ELLIPTIC KHƠNG ĐỀU CHUYEN NGANH : GIAI TICH ^ ~ LUAN VAN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn T.S — DƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Trang 1BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HCM
BÙI ĐÌNH THẮNG ĐỀ TÀI
HÀM GREEN CHO TỐN TỬ
ELLIPTIC KHƠNG ĐỀU
CHUYEN NGANH : GIAI TICH ^ ~ LUAN VAN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn T.S — DƯƠNG MINH ĐỨC
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Đại học quốc gia FP.HCM
TP Hồ Chí Minh
2001
Trang 2LOI NOI DAU
Luan van này gồm hai chương Trong chướng môi chúng tôi chứng minh chi
tết một số kết quả về hàm Green trong mot bai bdo cha Gruter va Widman Cac
kết quá trong chướng mội được chúng tôi mở rộng và trình bày trong chương hài
Chúng tôi đã làm rõ nhiều chỉ tiết chứng mình trong hài báo của Giruter và Widman, Phan đóng gúp chủ yếu của chúng tôi ở chương hai Trong chương hai các
phương trình có thể suy biến hoặc kỳ dị và nhất là không clliptic đểu Bài toán tìm nghiệm cho loại phương trình này đã được khảo sát nhiều, nhưng vấn để hàm
(ireen cũng như sự đưa hài toán vẻ phương trình tích phân qua hàm Green cho loại
phương trình này chưa được làm nhiều, Để giải quyết các vấn để này, chúng tôi đã
khảo sát cẩn thân mốt số tính chất của không gian Sobolev có trọng Đắc biết
chúng tôi đã tìm được mốt số ước lượng cho hàm ireen trong trường hợp này, các
kết quả này khác đồi chút so với trường hợp cllipuc đều Chính ý tưởng tìm các kết quả dạng mới đã giúp chúng tôi giải được bài toán vì có lễ việc tìm các kết quả giông hết như trong trường hơn clliptic-đều là không tưởng,
Chúng tôi xin cảm ơn các thấy Dương Mình Đức, Nguyễn Bích Huy va Đăng Đức Trọng đã hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quí giá để chúng tơi hồn
thành luận văn này
Chúng tôi cũng gởi lời cảm ơn đến các thấy có, những người đã mang lai
cho chúng tôi những kiến thức trong suất quá trình hoc tập
Chúng tôi xin cảm dn Khoa Toán Trường Đai Học Sư Phạm TP.HCM,
phòng sau Đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho quá trình chuẩn bi luận vẫn
Trang 3MUC LUC
Chương | Ham Green cho phương trình clliptic đều Trang |
Chương 3 Hàm Green cho phương trình elliptic không đếu Trang 9
Trang 4CHUONG |
HAM GREEN CHO PHUGNG TRINH ELLIPTIC DEU
Trong chướng này, chúng tà chứng mình chỉ tiết một số kết quả trong bài báo |4|
của Giruler-Widman vẻ hàm Cireen cho todn uf Elliptic có dang ch) hu Dita? Dyn) () day chting ta ding qui ude Einstein: mot chi sé xuat hién 6 én và dưới xẻ chỉ mót nhép công, Ví du: "„m" (eye, » ate iS af, ' ƒ |
a! la cde hàm xác định trong miền © hị chân của #È”.» > 3 sáo chủ 4t d9,
Trong chương này chúng ta luôn giả xử tổn tại các hằng sổ VÀ - 0 sao cho
“4 !(r)§u, < Ä |€|(w|
VEPs a (Gs,
với mới fg Ro var e®
Những kết quá chính về hàm Green dude cho bai định ly sau
Trang 5G day, khong gian Linh, „, > Ì là không gian Banach các hàm đo được xác định
hii chuan :
Illy supp Pde EDL fled lo ele
‘ou
vat | A] Ta do do Lebesgue cia tap A,
Trang 6Bay get thay / và p ở hệ thức trên hởi | fi’ ` và ta đước pot | | I0, ; Cf Lem! Lee “ot _——Ì Ị—? + = goth (——\+\| pre sap HOF te EQ ff Fs tO Ay] eB pers bce eee i (EIP—* |UHPP=£) sup tle eat tf l> ope tol
Bo dé dui day mà chứng mình có thể xem trong [3] sẽ được sử dụng
Bo dé 2 Nếu ð là nghiệm không âm thuốc W'2(O) cua bat phuomy trink Lu < 0,
kÍu dhỉ tồn tại hằng số C'Ín | sao chủ với mọt a + Ì và B | rpccdd: stip a < yn Syren | „2® biếu the : f tụ BI íÌ 2 go | OF chiy Ị l —— ( | [4 \ Ching minh cua định lý 1; Xét phiếm hàm làn hi chan trén HW) -(0) Ding tinh elliptic của /, ta thấy dang song tuyển tính : alucey / aT Dad a
liên tuc và xác định dương trên 1Á, ˆ(2) Theo định lý Lax-Milgram, t6n tai duy
Trang 7VỊ vậy ca Á ~ Í sue che tí xu yl ie | wt Gt ' ae ade Ce! | altel R ) | a? hat Di = / albert D,_ : âu ` dđọcg , |( | (——— ct “ hy vip? (+ €1? Gir) > O} Nhu vay: Cr ar ` ' , (it gel IGF, A “asl! Gil ) <= si $ l6 h h ct’ ice w(t - CoH : | ua (7 < ‘) ` A Tu dé suy ra (Gr AG hay là (27 > tI Bay gut ching ta ude lung NGF 7u „~—3 Cho ¿ là hàm xác định trên tận VY Các hàm ¿7 và ¿ lấn lượt được định nghĩa Tư sau adel neu „(| > tl celal \ lì néu ø(;| < Ú =,(z | néu ¿(| < U (+ {TỊ : 0 neu ula} > 0 Từ định lý 1.74 trong ||, hàm thử (0) (4 | 7y tì thuộc H1, iO), Bar i, (¡Ct! (2Ir)] + } ta được / a! DE DGP(GR AH? Ị P a I v5 Aw) Ị Ị Vi vay )#' |? Cate / cl ee Mot ở (Gi?) /
Tiến theo chúng tà xét cíy) - (lš€Z2(z| — lị| , cũng từ định lý 1.74 trong |6|,
Trang 8Hát ` Wy lat eo! „— 3 | ` |, wo <(`A Nhĩ vậy tà đã chứng minh Worl, I sear! lí u„— 2
Trang 9Nêu /‡ (rỊ Z +? chúng ta xét miễn (? đủ lớn sao cho By rị C t1 Khi đó chúng
E1 o
ta me rong toda uf £ trên ©! và được hàm (2 Han chế (7 xudng © chiing ta thay
rằng L(( =~ Gy) (trong ©, Nhưng trên ¿?,[1 GY < (7P và từ nguyên lý
cựức đại (xem [3|) suy ra C2 < € trên tồn miễn ©, Vì (11) là đúng cho (2 nén chiing ta đã chứng minh (11) cho C2 Cit day chúng ta chứng tỏ rằng 112) OCP || < ¢'(nt, ALA) tị — | ẻ piu! va | 1 |< Pr .) a Chon ham ythoay ¡ hén ngồi B (0Ì: y Utrong
Dar Ce? nhe mot hàm thử Nếu # > Ip ta dude:
Trang 10Pz) Hữn nữa |©, | 8), <r < (C1 |jm — Ì„ Như thể ì nel , cá |S? | wo <( và (l2) đã được chứng mình, Bay gut xct day p,, vas, 7 u Do (12), bé dé | và bằng tien H— trình dường chéo chúng ta tìm được day con ( ;T" của GP hội tụ yếu về GC trong Hà, .„` ° ° : (t?1 với mọi « € |1 Ke tứ — Ì Chủ , trong (*(0) khi đó lì" (GÍ, oc) 'Q[sv) “ụ uu Vi line (CM, r} tim Ị yop ly) Bey Aw) ii My “al “ye M i nen | a DG yD, ety) nụ Tiếp theo chúng tá đưa ra các đc lượng cho Œ và 2Œ, ! Ký hiệu = <r< yp 1.9), {re Gir) >t) ta cd “— Zz lý Ir < ; in I |\( Wi @.) 5 lites inf l|( i (| g#-£Ẻ] pre < timing Ÿ|0, |P |(fmlt~£ ứ ` a ' "1 10) <#l0,lf (a7 Pt NV Ta | ! Ị (92, Js (Eịn : cry!
Cho - — p= | chiing ta due (5), Bang lap luận tương tư chúng tá được (6) Từ
bát đẳng thức (Œ/Ptrạ<€©'|r— m- ~# vớđị hấu hết ¿ 2 I?,;(Ì: kết hơn với
Trang 11du ,
= Suy ra Mir)
’ »—2
Như vậy, với hẳu hết ¡ c © \ /
pha suf GUM hort manh ve GC trong LO) wai LS p<
hoi tuvé Gor) vei hau bet 2 pi p1!
Ci) <0 |= yO
Vi Jf uty ¥ nén (8) duce chitng minh,
De od (19) ta xet ey & Ola — yh sist (yD) var l|lz—1/| Xẻéthàm”€ » WW By Ay, ~~ c's (1) hang mot trong (1` A, Cy) va bằng khóng hén ngoài li t* | rs] —_=- te ¬ = I< ý | và (/2(< —, Xem (¿/ như mỏi hàm thử và được \ y BAS ƒ >» | | Des “ủy < \| DC) || Day | C <= >| pal i— | | Dy |" a ) "0 ~ Se) ees Suy ra pals | ner yse | (Dylon l, B, (ay) "e1 > 2 | = } < (3 2 / < ( el? ” sup) (¿2 l., \ Rr ty) =n a a D> 4 Chon mot ham , twong tu, bang mot irén 2, (v7) va bang khong ben ngoai H,(y)}, haa on c ! | aod, < — | Dar) : Bo By ony B, \ By (a) 5 5 tí | =— | aD (r2 ( |/?1“12 BO By a) 2 "ụ | -_ in J) L
<= C72 {pers stipe (“I2 <a ul (:
Trang 12CHƯƠNG 2
HAM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG ĐỀU
Trong chương này, chúng tôi mở rồng một phần các kết quả trong chương môi Trước
hết chúng tôi giới thiệu hài toán; Gói 0} là một miền bị chăn trong #È”, s > 1 Với mới ø cố định thuộc về ©, tạ tìm một hàm (2 trên ©) © © sao cho:
(141 / OG wD wel Slab ye € CO) ty EO (}
d day ¢°'(0?) la tần hợp các hàm khá vị liên tục với gid Compact trong 1 a" Lr)
là những hàm xác định trong © thoa cdc diéu kién sau: eattr) a (rh Visg †1.3.: g ^ e Ton tai Mar} > O sao cho A be J2 — ?(UI với s > l và ala VEE, > M¿] |€|! V€ € RY e Ton tai Ati) > 0 sao cho Ae LO) vei oe + ø Và (2€, A(4) l€ll | | VE ay © Dinh nghĩa | Vi un © O00) va ~ š đạt ".Ì | r|| Ly (| (41) u/),ø+|2 |1 1 “oO
Trang 13Jan oer aes s cl.F
` ’ —> HỆ z0! — `0 ‘ fon tat (¿( gì, được ký dieu là (ý, thước: TÍ k , (111 la
nghrem cua phiamy trình
i115) fw pen, viy) Yee erty) "ụ 116) Gir) > 0 117) | <(` l NM Adee > (181 I(l\, Se! ` #ÉM + fy J(n 4) iis) ((1} <£'*|z# — | Định lý 3 được chứng mình hằng các bước sau Ú Nhận xét 2 Wai A '(¡)c 1 2— ?(O] tự có; Vú € (0) I , th Se | : L | LJOu [f9 < (| \2 4) 24 | \|/2u|?]2 < Cove a Dud uy2 i) “a “oO `, Khóng gián các hàm liên tuc và khả ví liên tục trên # lấn lượt được ký hiệu hởi CR) va eR)
Hổ để 3 Gia se fe OUR) WP < ix va (0) U Khu đố, nếu we MYO) the fla EW FA(O) wa Di leh Ph O De Chứng mình Ta ed day u,,, © C' (9) sao cho Jim Ị a? DC ‘ ` su — MÌÍ),Ítt,„ — HỊ OO, a t Khi dé f(s ECU) Với l:2,., và
Trang 14Tich phan dau 3 vé phai hoi tu ve 0, Dow, hoi tu ve « trong £'(O) nén
cd day conn, hỏi tụ vẻ ¿ hấu hét Phối hơp với định lý hội tụ bị chăn , suy ra
tích phản thứ hai ở về phải cũng hỏi tú về Ú Như thể có dãy con suy, sao cho
[ưu 9 hội tú về f(á) trong 11 °(0]
Hổ để 4 Gia sa fe COUR (tyhi vdi ly > 0, l|f|l„„ < boo, FE CUCURD
Trang 15(f(ny— (ler ae
vii mors thuốc về Me Ket hop vei dinh IW hoi tu bi chan, suy ra lu Í al’ Dada f(a) -ffinyr tt 4) ) W Mãt khúc ta có / Pte yDyods Ị [)ƒ (+1 „da Yee cla) 0 “ọ Suy ra Ị I(wu)l2) di | l){(| „tr Vr-€(} (0) "` " Dodd ftv) hoi ve Pfu) trong '“ Bổ để 5Cho óc HH, (Ó), H NXéeổ£ 3 = và ¿(r | - O hd hết trên SL NKhỉ dó Dla(r| - t hấu hết trên *, HH cú: thước: H1 2(0] tư Du mẻ ¡ c (Ì [) | ¿| =Ù¿@ ` nẻt £ C €}\ Chứng mình HVới : c H xét các hàm f[:¡ | : va dis) : Khi đó sẽ fla) va T hia) Theo hở đẻ 4, ta có Du néu ate) > 0 Du / OO ncuair) <0 va bu ~)u neu ols) < (I nếu ø{r) > Ú
TH Dn Da — Da suayra De (hấu hết trên (rct) nie} 0)
mVi sow) Deo | Pa nên di! được suy ra từ chứng mình của i)
BG dé 6Che Ie la fap compact trong © Gra sity thage (C(O) vay SO ve mort £ khủng thước ÍẺ Khi đi g thuốc II (0 | Hưmn mữu có thé chon day ") thuoc (1101, không âm, hội tụ về trong W1 (0)
Trang 16Chứng mình Đại vat i ct—e2 nếu z(z}J > I Í () néu z/(z| < tÌ Khu đó - thuốc €°!((1) và J) , —— neu wir) > 0 Dv vn te (I néu s(zJ < (l Tu và | a De Yg Wye = Dag | / a! Dy —— HỊ” ‘> () yu bs đây 0) (+£€(!- s{r) > 1 VÌ hi ——— Wye | = | lì với moi ở thuộc ft} , hơn nữa — — tị <{ vir | 2
Từ dink ly hoi tu ba chan, suy ra
lim | WUD —= Du Dye — Ay) (|
rf
Dov dd yp = WHC),
Bổ để 7 gia sự la ham không am thuốc (1 (1, Khi đó tổn tại dây vụ, không
Trang 17Der ule Mtn aio) wi haw het ¡¿ £ tt) nén | us | iM M | | iM | i \ 9) (P\ =1) Hơn nữ, , hội tú về ¿ trong /'(0), Đật/ fe eo ute) Ob, suy ra lin (1Ó | 7! ‘) k ` i, Như thể (211 lim | a! Dade 0 “OVO /
Tif (20) va (20) suy ra G hoi tu ve 0 trong lu) Theo bé dé 6, tn tai day
) Khong am, thude 10) hoi tu ve a trong 1) (0), Bo dé duce chứng mình
WW
- + + ` - # ` ° 2 ` ‘7 a
ly 1đ, XCI môi miễn (+! chứa (+! Mú ròng các hàm s¿'/ thành các hàm ¿ xác
‘ s lị % ‘i , ; : a
dinh trén Oo vdia (4) AY Ye © 4) OL & day 4” La ky higu delta Kronecker Ta
se gor i 7 (0) La khong gian day di hoa etia C(O) theo chuẩn | I - Wel yes if tý Del t9 \ ‘? Bổ để 8Cho « = H120), ae W'*(Q), Gid sử rằng %0 > Otrén 1) Khi đó \ jua-ap EN 1 (UN) và ll\ - Du néwweé Din — a) 7 + 4) \ ` f1 i) neu ! tớ S {r€(!- đ[r) > abel} Chứng mình
XÉI dây 4, — 0 Wong I1 (2) và g, — Wong We), Moly lan
lướt thude COO) va CO, Theo bb dé 7 66 thé chon thụ > 0 Tit bi dé 6,
(yb EWC va
ay =1) | Oe - Dy nẻu ¿ € Đụ
(I néu ¿ £ €Œ``, a,
Trang 18Yt đáy â ơ > F õy I {ret 4,0) tị (+ VỊ u„-„u| < I", “hea („ — u] trong th LS va S\ ny nen jim | lem ef im | ln wl) @ ““ ĐÀ VS “* SAN | I%› đó: lim (8), See | fim | ( eI Tl 0 vi/ {+€t:u(r) (r|} Vi vay: | “ Du - te) — Dia trị NIH, —4 mm rÌ = l),|w — uy) | aU Day, ~ Diy )—(Da- I3), - Diy }— (Pu — Dyn) 7? ms ‘, Ị 4212 — Diy Msn, - Dit | | a( Da — Dai Dyu— Dia) "oa \ tây ` si ` \ 2 aU Dine Din, |— 12w - Dwi Doy, - Din, 1\— (Diu — Dye) Jey 2Í ae Da — Dawu — l),0| s | a(n Dewy Diu = lu) ( h Ls “` I
Hiểu thức cuối cùng tiến về khong, Do dé (a) © WY ACO)
Hổ để 9 Gid sit rang ð € H'12(0] “ee (0, u > O thea
Trang 19B6 dé 10 Cho | <1 <2 Goto, 16 RR Ta cé bat dang thite: r’ ( " = (í.,~—:! a.- Í —_ = g a 7 | (là 9 < (šUa ta,n,)3 | F(a 1,)2)r-l | ee 1 € ) Chứng mình Tến tai các số nhức ø, b sao cho | er | (2a,s,1 3 | ih) (e"? Lie ' ler ib (ni | đa, 1 ở, 2 | 2 2 2 | / ỉ ‡ _ ab oh = 1% ay — 3 2 > 2
3 day |=) chi modun etia sé phife =
Ap dung bé dé 2.27 trong [1 J ta oni:
bl” BP 7
aio a-t ) y a}:
ar | => < (5 Tee] li |!
Từ đây suy ra kết luận của hổ đẻ
Bổ để II Khóỏng gián Ws "({h) phan xa vt Por <2 Chứng minh XI í(, + € Wey (2), Thưo hổ để 10, ta có: et ý wir tr ' „, —=t oo ia ith) 2 itu 'J)s—h:—r”' 2 - | =
< (sứ2,a1),e1Š sla? Deedes? ye iJ
Trang 20Dev ring — 1 < Lt bat dang thite Minkowski suy ra: —— src r{m=l].-1- HỆ (0 DDE yr i WD pS) Ty - (? a | (| (0) SA a + da HE), lý — min H— = mự — li Từ 122I!, (231 và ;(r - || r, xuy ra: | / ! | |f — Ì
“he Ver Ay le3 i@@ lee re; @° < (ana ae r— | SNM ae Pol ay f _——ễ , ,', la CÚ; ee | Cuối cùng, da a , ft | và ! l2 | gel (=u! —ii ited | att a 1 | 3 ` 100-147 v8c1,£ Ade colt Hãt đẳng thức trên nói lén tính lối đếu, tức cũng là tính phan xa eta W700), Chờ đây chúng ta có thể chứng mìính dinh ly 2 Xét phương trình (24) / at DGED, » | : Yee Wy) mee Aw)
Trong đó l(wì là quả cấu tâm hán kính ø (241 có nghiệm (2# € I 2/0] hởi
Trang 23Ude luuing diém cho (1;
Trang 25Neu /‡< 1+ tà dùng ước lượng (25) và được : ~ 2Í tr¿ a’ D,GP PG < (1{u.1, Xịh 4 “ON B kề pi) I - ¿ Da, (re OQ (a4 DGPD,GP)Z > 1) Ta ed: ^ a DCP DE -0,n(0\ 8,0) —2n— 4) 2) BLA < C”ín, se, ý, A, ALR tj % Đặt HP 09212?~24J suy ra: =2 ~=3|—g} đc (01,0) N] < Cfassalg, ALAN! in-2g 4, * ~ fen Ca micg A AY dt 229 Mặt khác —š#Hụ |0,nH,(w| < CN" < Crnel®r- Như vậy : — dụ I$), |< Cte one, AL Agena tena Hay là: | ea DC Day - < ('{nu.rn.+,À ÀJ : 21g tự | 21—24 Nót cách khác r | f (ua? D,GED,GPYy2 yr < Ca, ang AL ALO) ty Yn trại 2< `
Theo bố để LÍ, khơng gian 1Í ; ‘'()) phan xa nén tén tai day con ( van ky hicu
Trang 26Mặt khác (2/ hoi tu yếu ve G trong [2724 (CH với | < NT =9 1 | Đặt!) {ve Gir) > th tà có: ] = ——- = ft, eset < (2222) 2n=2y ỊỚ (2n~3q'?m->—°! Weer f ny (9, : Ị i ng — ($2,) 2n—2q fn —2q : “1 my ———m——D Cty \)( 22522) 229 = (4) | 24-29! 2n—2q eee") : ( bess — ae erie (9) | 2n—29q ˆ NV tá |Ị€ ;⁄“ | = II inl Oe? L, Way (<2) ~ po | tụ HỮ] ($2, ) gu, ˆ )u—2g ˆ I ra Cag Vy by Bay jo, | 20-2 Fay (e229) |) 224 (|0 ( JH =0 f et A | the / +! 7 on Ban Ba ( (re yf hi j=" “4 [$2 |=" =] =f! =“ Do do Ju- >w we | » , )1"—24 (TT To ate Ane Í | ng < { (arg \)( hy 2 2 |0, |*" 3` n—2q Cho = — 3 - 1 ta due: l|f2|| , „ < €1\n0,‹.ÀI I ne 2 —2y
Vi Cr | bi chan nén theo định lý Rellich có dãy con €2? hỏi tự về (2 trong
Trang 28TAI LIEU THAM KHAO
JIJR.A Adams Sobolev spaces, Academic press, 1975,
|2| ID M Đức, N.C Phúc va N.Y, Trayén Weighted inequalities and applications te partial differential equations, Preprint,
13) D.Gilbarg va N.S Tridinger Eiiptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, 1983,
[4] M.Giruter va K.O.Widman The Green function for uniformly elliptic equation,
Manus.Math, 1482,
[ã| Y.⁄.Chen và LaC Wu Second order elliptic equations and elliptic systems
Mathematical monographs 174 Amer Math Soc,Providence, 1998