IRUONG DATHOC SU PHAM TRHCM KHOA TOAN — TIN
fe if oS
LÝ THUYẾT ÁNH XA DA TRI &
Trang 2Lý thuyết ánh xạ đa trị và
Tiếp cân đa trị vào bài tốn tối ứu và điều khiển
Luận ván tốt nghiệp
Chuyên ngành Tốn
S{' thực hiện - Hùi The Anh Khdéas 1998 — 2002
Neuiti luting dan : TS Trinh Cong Dieu
Phản hiện
[Luận văn được bảo vệ tại bộ miên Tốn Ứng Dung
Trang 3MUC LUC
OPO Oe Li Aan
[rang
Lời nĩi đâu |
Chuong I: Vinh lién tuc va tap bất biến 4
của ánh xạ đa trị
§1.No sánh Topo \
$) Anh xa da ty `"
94, Topo trong PAX) 5
§4.Đác trưng của các khải niệm liên tục 10
§5 Tap bat bién va vectd néng cha duh xa da tn 15 ( hương II: Tiếp cận đa trị định lý Fakas 3)
ÿ1.Bài tốn Quy hoạch tuyển tính 23
32.Dinh ly akas "5
94 1iép can da trị của định ký Eakas 20
$4.Chiing minh dinh ly Fakas $2
và áp dung vào cạp bài tốn doi ngau
( hương HIf: Tính điều khiển được của các hệ động lực i
§1.Tính diệu khiển được của bao hàm thức sai phân M
$2 Tinh dieu khiển được của hệ đừng a7
Kết luận 39
Trang 4Past SA tot igluep Dar hoe
LOENOLDAU
ls thuyer anh va da ti la mot lý thuyết đa dude khao s4t va thu due nhieu ket
quái trong nhưng thạp mien gần đây, Nĩ cho mọi cách tiếp cần khác đối với nhưng
van đe (đứa 11 đa được khảo sát trước đây, đc từ đĩ rút ra những két luạn đã cĩ vi plat lien ra nhưng tính chảt mới, Troug phạm ví luận vấn: 7Ý THỊ YÊT (NH
XÃ ĐA TRỤ VÀ TIẾP CẬN ĐA TRỊ VÀO BÀI TỐN TỔI ỨU VA DIEU KITTEN” tic gid
toi làn hiệu trọt cách Hiếp can da tm cda mor so van dé trong ly thuyet Qui
hoach myen tink (QHTT) và lý thuye dieu Khiểcn, Nĩi dung của luận vàn được
chia Thanh ft chiteng:
Chương : Tỉnh lien tục vụ tạp bat bieo cia doh xa da to
Chufgng HW: Tiep can da tn dink ly Fakas,
Chifong HE: Tink dicu khiển được của các họ đa tì,
(hương Í néu các đác trưng khác nhau của các khái niém liên tục Kẻ đến là
các khái niệm vectd riêng và tập bất biển của ánh xa da trị (cĩ thể xem đây như
mot sử thở rịng khái niệm vectd riêng và khơng gian con bất biến của ảnh xa
tuyến tính cho ảnh xạ đa trị), Một vài kết quả vẻ sự tồn tại vectơ riêng của dn|i xã
chuyen vị và đối ngầu của quá trình lơi và lơm củng được khảo sát ở đoạn cuoi
Chương lÍ sẻ xem xét một cách tiếp cạn da trị định lý Fakas va sau đĩ là áp dụng của định lý này vào bài tốu QiTTT từ đĩ cho ta kết luận vẻ sự lỏn tại
oghiem cia cap bai todn QHTT doi ngau khong địi xứng,
Chương cuỏi trình bày tính đạt được, điều khiển được cha cac hé bao hain thite
sai phan và hẹ đừng mà chủ yếu sẻ là xem xét hai văn để chính : khú nào hệ đạt
được, điệu khiển được ?
Đĩ là tồn bộ nội dung của luạn xản này Trong khí trình bày những van đẻ
não được trích đán sẻ cĩ phí cụ thể nguồn gĩc và những vấn dé đĩ chỉ được nêu kết quả phản lớn khơng chứng tainh: luận văn chi néu và chứng mình nhưng kct
qua ma ching tơi tìn được Xin được kết thúc phẩn trở đầu bằng một vài ghi chú
thơng nhĩ vẻ ký hiệu chúng:
+ Cac khat mem va thuat ng vẻ Chải tích lun chúng tơi đừng theo Phan Đức
Chinh [7]
Trang 51 jeline yp? | P1 l3 t(Qw Khát ni xà that mp xe Gai teh li chu" ter ding they 5x ¿HH hes] -U ding de chi quad cau mở và quả can đĩng đơn vị trong khong pian dink clin,
+ X* la khong gian hen hop cha khong gian dinh chuan Xo voi mor ENO uh
<\ \> ding de chi gid ri cha phidm hams tain
+ MP ba cde tap con khác rịng của khong gian dinh chuan No \ Cae non
dow cafe hate cna M Pla M'=J†xeN :<v.v>>0.YxeMI P°ˆz({xeN:<x.x>>0,YveP| ky luou MOP Bà các nĩn đồi cực am của MP xác định bởi: Me ADP Ps PE Now chan va non lita cua tap M ky higu bOM) va ree(M) WM= (x EN sayin per) rec(€MI = [EM | trong đĩ øy(.) là lim tựa của tạp M Do ta ham so tir NỈ vào lap so tate img rong xúc clink bởi Gw(X` }=sup{<x”.x>:xe MỊ Ngồi ra: rMì< (]ÀM 44
Cuor cing em xin bày tơ lịng bịct ơn sâu sắc đến thầy Trịnh Cơng Điệu dì hết lịng giúp đợ em hồn thành luận văn này
[rong quá trình làm em cĩ tham khảo một số tài liệu, xin gửi đến các tác giả
lới cảm ơn sâu sắc
Em xin chân thành cảm dn cdc thay cĩ trong Khoa Tốn - Tin học trường DHSP Tp.HCM đã tro điều kiện cho em hồn thành luận van nay
TPHCM ngày 30 tháng † năm 3003 SVTH > Bi The Anh
Trang 6| nam vân tội giết | 3a lụt
CHUONG I: |
TÍNH LIÊN TỤC VÀ TAP BAT BIEN CUA ANH XA DA TRI
§1.SO SÁNH CÁC TƠPƠ
1.1.1.Khái niệm khơng gian tơpơ:
(họ X là mọt tập hợp: Một họ “7 những tạp hợp con của X dude gor lA mot topo
iren X neu ho “7 thỏa các điệu kien: I)@ €“7 Xe “7 wNéu Goe 7 (¥ael) (1 1a tap chi so baitky) thi JG =F ol iwNéeuG,G,e FihiG,~G,e 7
Mot khơng gian tơpơ là một bộ gồm tạp hdp X va mot topo tren Lap hợp ay ky
liệu (X 7) Khi d6 c4c phản tử của họ 7 được gọi là các tập: mở trong khơng gian
topo CX, 7)
1.1.2 Cơ sở và tiền cơ sở:
Mot họ con 2 của Z được gọi là cơ sở trong khơng gian tơps(X.Z7)khi và chỉ
khi mọi phẩn tử của Z7 là hợp cĩ thể của các phản tử trong 2
Một họ con Ø của Z được gọi là tiền cơ sở trong khơng gian tơpơ (X.7)khi và
chỉ khi mọi giao hưu hạn cĩ thể của các phản tử trong ơ lập thành một cơ sở của
(X.F)
Dinh ly 1.1.1:
Ho “Z các tập cen của X là một cơ sở của một tơpơ ndo dé trén X néu vai U
và V của Z2 và với mời xeL'V đẻu 3W e⁄Z : xeW và WcL'-.V,
1.1.3.1.ân cân:
Cho (X 7) 1a khong gian tơpơ AC X Nếu V là một tập trở chứa A ta nĩi V là một lân cận mở của 4 Tổng quát một tập Lc X được gọi là Z lân cận của A nếu nĩ chứa một tập mở chứa A
Trường hợp A={x|thù ta nĩi lân cạn V của A là một lân cạn của x và x là điểm
trong của V,
1.1.4.So sánh tơpơ:
Gia sử “7, và 7, là 2 tơ pơ trên cùng mọt tập hợp: nêu 2C Fy ta ndi topo 7, lA
yeu hon topo 7, hay topé FZ, min hon topo F,, Khi dé ta ky hiện “7< 7,
7, va 7, được gọi là tương đương (hay tudng dudng) topo neu:
:< 7; và “7;< “7¡ (Ký hiệu: “2; = ^!\)
Trang 7| uan vận tết nghiep at học Định lý 1.1.2: ( ho (N 2) (N.22) là các khơng gian tơpð, Điều kiện cần và đủ để 7< 2; là : 7ZxeX neéu V là mọt 7; lan cạn của x thì củng là mọt 2, lăn can của x 1.1.Š Xnh xạ liên Lục:
(nả sử f: X=*Y là một ánh xa từ khĩng giản tơpo (X 7) vào khơng gian topo Y và x„eX, ta nĩi f liên tuc tại x¿ nếu với mọi lân cậnW của f{x„} tồn tại | lâu cận V
của x„ sao cho: í(VìCW
Ta nĩi F là ánh xa liên tục nêu £ liên tục tại mọi xeX Từ định oghia ta suy ra
cic ket qua sau Định lý 1.1.3:
Chot(X Fy) (X.F,).¥ là các khong giản top và ánh xạ tf; X —+ Y
Gia su FS 7,
Néu £ (X.7,)—Y liên tục
Trang 8Luan vito tol nghiep Dar hoe
§2 ANH XA DA TRI
1.2.1.Các khái niệm: Cho A.B là hai tạp hợp
|Phép tướng ứng F cho mọi phản tử của À ứng với mọt tập coa của B được gọi là ánh xa đã 1ì từ 2X vào B Ký hiệu: I:A¬B x => E(x)c B Vị dụ: E10! |[—+»{Ø.1] [t.1) neu x € Q \{0} Fixy= 4{O1} nếu xeQ > néu x =0
Qui ước: tit day vé sau ta viet “cho anh xa da wi FAB” thay cho F:A-B
( sả sử ta cĩ ánh xa đa tn F: XY AcX, Ta dinh nghia:
+DomF = DiF) = {x : F(x) # O}
-FAd= Foo
aA
+lmF = R(F) = F(X)
+ là ánh xạ khơng tẩin thường nếu D(E) # +F là ánh xa chat nếu D(E) = X Định nghĩa 1.2.1: Cho anh xa đa trị E: X—> Y graph của E.ký hiệu grF là tập hợp: grF={|(x y) e X:Y: ye F(x)] Định nghĩa 1.2.2: Cho ánh xạ đa trị F: X —>Y, ta gọi ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F`: Y — X xác định bởi: F '{y) ={x: F(x)2 y] Ta cĩ nhạn xét sau: +grF ` = {(y.x)€ Y‹X : (x.y)€ grF] +xeE F (ypc ye F(x) = (x we grk
1.2.2.Các khái niệm đặc biệt:
Giả sử (TL! là mọt tính chất của tập hợp (lỗi đĩng, mở ) trong khơng gian cĩ cau tric X va ánh xạ đa trí F: X—+Y Ta nĩi E là ánh xạ đa trị (T! nếu và chỉ nẻu grl là tập hợp cĩ tỉnh chất (T) trong X‹Y (với cấu trúc tương ứng)
Trang 9Luan vin tol aghiep Dai hoc
Ngồi ra, ta nĩi F là ánh xạ da tri gid i (T) néu và chỉ nếu :VxeX F(x là tập he cd tinh chat (1) Cho * 14 phép toan trên tập hdp (hop giao jva FG 1 cac anh xa da tri ta dinh neha: P*G là ánh xa đa trị xác định bởi: F*C(x)= F(x)*G(x) Vị dụ: L: XY.GÄX—¬#7” Thì F G:X¬Y Z2 > Fix) Gin) 1.2.3.C ác tính chất cơ bản :
Ciiả sử, tá cĩ FP: XY 1a doh xa da tri va Ac X, tadinh nghia:
Trang 10| tan vần tọt nghiep )at lộc
b được gọt là nửa liên tục trên tại xe XE) khi và chủ khi: YW là lần cận của F(x¿!, 3 V là lân cận của x„sao cho:
vxeV:F(xìicW Định nghĩa 1.2.4:
(ho X.Y là các khĩng gian tơpơ
|: X—>Y là ánh xạ đa trị
Ì- được gọi là nửa liên tục đưới tại xạ€ Í3(E) khu và chỉ khi:
Wveelx„) W V là lân can của vụ 3 LÝ là lân cận của x¿ sao chớ:
Yael: Finn Veo
Dac tiet, trong tru@ng hdp X Y 1a khơng gian metric tif dinh nghĩa trên ta cĩ: F Ja ntfa hén tuc du@i tai x.€ D(F) khi va chi khic
V yeel(Xa).VX,=>yta cĩ day (y,): y,€ FO yo
Chifng minh:
(=): Với mơi keN, xét B(yva, 1/4) là một lân cận của yọẹ Do F nifa lién tuc dưới cho nẻn: WyseF() 3 L' là lân cận của xạ ta cĩ thể giả sử là B(x L/k) sao
cho:
Vxe B( l/k!: F(x)~ B(y, l/k)ì#@
Giả sử (x„Ilà một đây hội tụ về x„ klú đĩ ít nhất một phần tử của dây (x„) giả sử
là x, sao cho: x, e B(xo 1/) Lấy bất kỳ xy eF(x)~ B(ya l/) thi day (y,) 1a day cần tì (='): Hiển nhiên Định nghĩa 1.2.5: [ là nửa liên tục trên ( dưới) nẻu F nửa liên tục trên ( đưới) tại mọi xeX Ví dụ:
Cho ánh xạ đa ứrị F: R> R (R khơng gian các số thực với tơpơ thơng
thường ) được xác định bởi grEF như hình về:
Theo định nghĩa ta thấy:
+F nửa liên tục trên tại u nhưng
khơng nửa liên tục dưới tại điểm này
+F nửa liên tục dưới tại v nhưng
khơng nửa liên tục trên tại điểm này
Trang 11Ï nan v 10 0t nghiep at lọc
§3 TOPO TRONG P(X)
(ho doh xịt đa trị b-N—Y (trong §4 04 §4 ta chi set nhufng anh va chat we doh
xã cĩ don = NỊ, nhạn thay rằng cĩ thể xem Í- như ia mot dnb xa (don trị từ X vào PLY! (tập các tập cịn của Y), neu khong cé gi oham lần ta sẽ phì là
| X-+P,(Y! vì vạy nếu ta cĩ thể xảy dung dude cau tnic topo ten PAY) thì việc
nghien cứu các tính chát liên tục cia cha anh xa da i bX Y sé wd thanh vice
nghien cứu sự liên tục của anh xa đơn trị :X —» PY) Trong phan nay cong vice
của chủng” ta sẻ là xây dựng cầu trúc tơ trén PAY)
L.3.1.lơpỡ trên:
(1À xử 1a cĩ khơng gián topo (X.F), Ge 7 Ta ky hieu: | G]= {Le P⁄4X): Uc GÌ
và đạt = {[ G|]: Ge}
Khi dé ta kiém tra dude rang Gf 1A mot co sd topo wong P(X) va ta goi topo sinh Ixt cosa 70 1a topo tren Ky hieu 7,
Vi dy: Cho khong gian topd (X.7) vai F = (@ XỊ thì FZ, = (o PAN} 1.3.2.Tĩpơ dưới:
Ciiả sử ta cĩ khơng gian tơpơ (X77), e7 Ta ký hiệu: l;= (UeP(X):L'-G # @|
đát 4£ = (ly > Ge | Ta kiểm wa được rằng 4£ là một tiền cơ sở của P„(N) và ta
201 10pO sinh bởi 4@ là tơpơ dưới Ký hiệu “7;
Vi dy: Cho khong gian topo (X.7) với “7 = (@ XỊ thì 2, = |@ P/X"| 1.3.3.C ác tính chất: ( Tho khơng gian tơpê (X2), G67, và tập đĩng F Ta cĩ: Định lý 1.1.1:{4| 1 Tơpo trên 7, 1a topo thỏ nhất trong các tơpơ mà các tập cĩ dang | G] là mở 4) Tops dudi Z7, là tơpị thơ nhất trong các tơpơ mà các tạp cĩ dạng [| F]Ị là đĩng € hứng mình:
1) Suy trực tiệp từ định nghĩa
i) Suy trực tiếp từ nhận xét[ F| = lựy
Ï ương tự ta cĩ:
Trang 13L uan vân tốt nghiệp Dai hoc
§4 ĐẶC TRỨNG CA CÁC KHÁI NIỆM LIÊN TỤC
Muc 2 ta da nêu các khái niệm liên tục, Trong mục này sẽ nêu các phát biểu
tương đương với định nghúa của khái nệm liên tục và sau đĩ là vài áp dụng nhỏ rong việc chứng mình các định lý cơ bản
Định lý 1.4.1:
Cho X.Y là các khơng gian topo và ảnh xạ đa trị:
F:X¬Y
Klii đồ các mệnh để sau tương đương:
1) ÄE là nửa liên tục trên
8) N€ụ G là mở trong Y thì Fˆ*(G) là mở trong X,
iii) Anh xa (doo wi) Fs X— (PAY), FZ, ) là liên tục
iv) Vai moi xeX mơi đây (X¿ J„-¡C X và x„—> x và neu G 1a mot tap md trong Y với Í'(x)Œ € thì :
3 œ,: Vư >œ, thì F(x„)c G Chifng minh:
i) => Hi Ta sẽ cm F:X—( Pa(Y ), 2, ) là liên tục tại mọi xeX
Thật vậy giả sử LJI G, Hà một lân cận cuả F(x„)—= 3i, : F(x,! c| G, | xl nghia la , F(x, ) CG, Mat khac do F nifa lién tuc rên nên 3V là lân cận Xạ sao: F(V) CG, hay Vxe V: F(x)<= Gị €>F(x)<[ G¡ | Vay F; X => ( Pa(Y) Z4 ) là liên tục tại mọi HEX tức là F':X—>(P„{Y) “7, ) là liên tục iii) => HH) Tacĩ: F°(G) ={x ©X: Fa Gp = fx CX FO EL.GIPHP Gp do F:X —- Po(Y) liên tục nên F~Ì GÙ mở trong X Vậy [-ˆ (G) mổ trong X ili) > iv)
Ta cé F: X— (PAY), 24 ) liên tục cho nên:
với mơi xeX mỏi đây (X„)„.¿C X và x„—>x thì:
Trang 14[ uan vần tới ngiượp Par hoe
bey kh {X1 (hội thee topo (PY YY) Feo
Mat khác với C:mở trong Y' thỏa CGOE(x! thì :
[ <i] 1a mot lan can cia F(x) rong (PLY) FZ, ) (*)= day: Va>ay: Fixe [.G]
= F(x ic G
iw) = 1) Giả sử G md trong Y nhumg F(G) khong md trong X
Cho nén, 3x ,€ F'(G) sao cho:
edgy thes x ¢k°(G)vacl \X > Ko Theory), do Fix,ic G nen: 3u,.:Vœ >ơ, thì F(x,.)c € hay x,E€F (GK!) Vậy E*(G1 là mở
ii) = iIVới mọi xạ bất kỳ, gọi G là một lân cận của F(x¿) trong Y, rưràng
WEP (G), mat khdc ta lai cd:
F'(G) = V la tap mé trong X(do ii)
nen ØxeV: F(x)€ G
Vậy F nửa liên tục trên tại Xạ Cho nén, F ofa hiên tục trên Vậy định lý được chứng nùnh
Định lý 1.4.2:
(ho X.Y là các khơng gian tơpê và anh xa da tri: F:X¬Y
Khi đĩ các điều sau tương đương:
i) F là nửa liên tục dưới
ii) Nếu G là mở trong Y thì F (G) là mở trong X
Hi} Anh xạ F : X— (PAY) ,) là liên tục
Trang 15[ dạn vận tốt ngluepn Đại học
That vay aia si ye E '(G) nghúa là E(Xu}e G
("ào nên F(x„)~- Í„ Í= 1.2 n
= F(xg) -G,# 0 Vi= 1.2 0
Lavy € Hx) G, DoF 1 na lén tuc dưới nên:
với G, là lân cận của y, 3V, là lần cạn của xụ sao cho: F(x) G,#@.Vxe V,,¡=l.3 n Sux ra cổ V = (1V, là lạn cạn của x„ để: tel F(x)-.G, #¿.VxeV,Vi=l.3 n tức Ja Ve F ‘(G) (dfem) lit) = lÌ) điển này được suy trực tiếp từ nhận xét sau: [ (Gi=[xeX:F(xI- G#gJ=[xeX:E(x)iel¿ |] =E !(1¿„) ii) = VÌ
Ta cé F: X— ( Pol Y) F) lien tuc cho nên:
với mơi xeX mỏi đây (X„)la.¡(C X và x„=>x thì:
F(x„)—> F(x) (hội tụ trong ( Pw(Y) Z,))(*)
Mặt khác với G mở trongY thỏa Cj F(x) # @ thì : l„ là một lân cận của F(x) trong (P(Y) Z,)
(?)ì =: 3ơa:VWdœ >ơa: F(X„}€ la = F(Xu}› G #@,
iv) => 1) Giả sử G mỡ trong Y nhưng F (G):khơng mở trong X
( "ho nên 3œ„œ F(G) sao cho:
XX,),„, thỏa rác» SERS!
en Xo
Theo tv), do F(xo)> G # @ nên :
3ưœạ¿: Vd >de thì F(x„)~ G # ® hay x„eEF (GX!)
Vay F (G) la mở,
ii) = Ì) Với mọi xạ bất kỳ, gọi G là một lân cận của ye F(x¿) trong Y rorang
x ,€F (G), mat khac ta lai co:
F(G) = V là tập mở trong X (do ii)
nên WxeV : F(x)¬G#@, Vậy F nửa liên tục đưới tại Xo Cho nên E nửa liên tục đưới
Vậy định lý được chứng minh
Mot vai 4p dung:
Trang 16[ H;tn cấu lọt naltegt 221 lọt t las N,Y là các klioftg #1: tope va cali sa dans I:\`—Y,G:À—¬Y [nhì lý 1.4.3: od Hà nứa liên tục tren = (Neu G ki tap dong trong Ý thì E (G1 là tạp đĩng treme NY 1 F là nứa lien pc đưới = (Neu G là tập dong trong Y thi P'CCs) 1a tap dong trong Nb Chifng minh;
1a cĩ E atta lien tie tren
= F(YVWđ = NÚ: (G} lì mở trone X #G mở trong Y, = f (1): déng rong X ¥G md trong Y uM hitig minh tung tf Dinh ly 1.4.3: Cho Y da chinh quy b nifa tien tuc tren va b ảnh xa da tr gai tri dong thi F la anh va dong Chifng minh: Coit SU(N, ¥,) (NED) 1a | day suy rong trong erE và: (X, V.) —> (X vì la sé cn ring (a ye grF
Thịt vậy, giả sử (x, ve grF thì ye YM(xi
đá lại cĩ [y† FLx) là những tập đĩng trong Y là khơng gian chinh qui
= 3 Gi,G, là các tạp mở trong Y thỏa : Gi, G,#@ veŒG,.F(xic@G, Bay gi XÉI (X¿)¿‹p : X„—> X theo iv) trong dinh ly 1.4.1, Ta cĩ nạ sao cho Vn>n; tủ : hxc Gy, =yeG,
iu thudn vai yo— y Vay ta yee grb
hay | : dong 1a ánh xạ đồng Định lý 1.4.5:
Neu FTA nửa liêu tục dưới thì cÍ: nửa lien tục đười,
re day cl la anh xa da tn xae dinh bah clin) = cl Pax) Chifng minh:
Cua suG la md trong Y STACY ta co:
N GeOaekA) Geo (doG md)
Trang 17[ nạp vn tơi nghưẹp Dai hoe
=(clF} (L7 =F (G}: mở
Vay theo nm) trong định Jý | 1.3 tà eé cH: nửa hien tục dui, Eịnh lý 1.4.6:
¡t Neụ E:, G là nửa liên tục ren thì [ G nữa lieu tục wen
đì Nếu E, C là nửa liên Hìc đưới Hà E G nữa liên tục đưới
Chifng minh:
iMiid si? A la md trong Y
ta coh GCA) = F}(Á} G'(A) là mở trong X = E Œinửa liên tục trên,
i} wang a i)
Trang 18{ tan ân tọt Iiplueln [đa học
$5 TAP BAT BIEN VA VECTO RIENG CUA ANH XA DA TRI
Nhuf mot id rong các khái niệm của ánh xạ tuyển tính, trong giải tích đa trị ngươi ta cung dinh nghia tap bat bien vecid meng va tri meng cha doh xa da tei, Trong đoạn nầy sẻ xem XI sự tơn tại veetd riéng của ánh xạ chuyển vị và ảnh xạ
doi ngau cua anh xa đa trị, Trước tien Ja mot vai qui ude
Ke wr day ta ghi X để chỉ khơng gian Banach va F dé chi doh xa da tri tit X
vào chính nĩ
+1 la bi chan néu đĩ là ánh xạ chạt thỏa: llyll < œ(IIxIrl)VxeX,#y£fF(X)
+ là quá trình neu grF là nĩn
+l- là ảnh xạ lom nếu đỏ là ánh xạ chát thẻa:
E(ex ‹fWy)— đF(x) + fE(y9.vx.vN:vd.fÐ 0œ: f1
+ Aah xa chat F 1a dudi cong tinh neu:
F(x+y0C F(XxHE(y)
+ Anh xa chat F 1a thuan nhất dương nều:
fe FiO)
(ANd =AR(X) TREX TA > 0
+ Anh xạ chặt Í' là quạt nếu F là đưới cộng tính và thuần nhất đương +F 1 Anh xa da wi Lipschitz trén tap Ac X néu va chi néu:
Ja > 0: F(x, )C F(x, b+ a@lix, — x, |B Vx,.x7 EA
khi F Ja anh xa da ti Lipschitz trén mot lận cận nào đĩ của Ư ta nĩi F là ánh xạ đa
trị Ï ipschitz địa phương tại 0 và œ gọi là hằng số L.ipsehitz địa phương của F tại 0,
Đặc biệt khi F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên X ta nĩi vá tất F là ánh xạ đa trị
Lipschitz Ta ky hiéu:
+ :dé chi cac anh xa chat Lipschitz từ X vào X +⁄£,: để chỉ các ánh xạ chát từ X vao X théa:
0el'(0) và Lipschitz địa phương tại Ư
+⁄6,: đẻ chỉ các ánh xạ thuần nhất đương thuộc vẻ 4, +ứy :chí làng số L schitz địa phương của F tai 0
1.5.1.Tập bất biến và vectơ riêng:
Định nghĩa 1.5.1: |1
Cho anh va da trike XX Mc X ta nĩi:
i) M là tạp bái biến đối với F nếu F(M)= M Hơn nữa, nếu F(M)=M tà nĩi
VE 1a tap bạt đọng đĩi với E,
Trang 19[.uaii vận tốt nghiệp Đại học
Nhận xét:Neu M bất biến với [- thì M“ dơnE là tập bất biển suy rộng đối với F
dẻ cho tiện thay vì nĩi “*M là tập bất biến (bất biến suy rộng)đối với F”ta nĩi “M bat bién (bat bién suy rongjvdi F” hay “M bất biển (bất biến suy rộng)
Dinh nghĩa 1.5.2: | I |
Cho F và xeX Ta nĩi x là vectơ riêng của F nếu x # 0 và cĩ 2.eR sao:
Ax € F(x)
7 dude goi 1A tri riêng của F tng vdi vectd riéng x
Nhận xét: Trong trường hợp F là ánh xạ tuyển tính thì định nghia trên trùng với
dinh oghia trị riêng và vectơ riêng thơng thường
Trị riêng của vectơ riêng trong ánh xạ đa trị khơng nhất thiết phải duy nhất né cĩ thể cĩ nhiều và âm hoặc đương Ví dụ: cho ánh xạ đa trị F:R->R xác định bởi l-(x) = (x.z ) nhận thấy rằng trị riêng của vectơ riêng x =- l là những 2 >- l
Sau đây là một vài tính chất của tập bất biến: Mệnh dé 1.5.1: Cho E là ánh xạ lỗi Nếu M bất biến suy rộng thì coM cùng bất biến suy rộng (€ hứng minh: Giả sử xạ ecoM a a => X_ =) a,x,.x, €M.a, 20.5°a, =1 i=t sel = F(xo)= F(S°a,x, )Đ Sa, F(x, do F 1éi) et ml Ta lại cĩ M bất biến suy rộng nên : 3y,eF(x,)=M.Vi =l,n = F(x,)c.coM # ¿,Vx„ ecoM = coM bất biến suy rộng Mệnh để 1.5.2: Cho F là một quá trình:
Trang 20Ï nạn văn tot nghiệp Đại học
Vay conM bal bien suy rong
")C “hứng trình tướng tự,
Từ 23 mệnh de trên ta cĩ hẹ qua sau:
Hệ qua 1.5.1:
Cho F là quá trình lơi
Nêu M bắt biển suy rịng thì con(coM) cùng hất biến suy rộng Ménh dé 1.5.3:
Cho F là ánh xa lỏm nửa liên tục dưới
Neu M bất biên thì cơM bất biến Chứng minh: Lay x €coM h H `e 3` đ¡X¡.Œ 20,5 a; =l.x¡;eM i=l i=l " n fiom | Fix 3 đ;F(Xị ) i=] Do M bat bién nén F(x;) cM V6i xg €coM => 3x, ecoM: xạ —> Xo Mật khác do F nửa liên tục đưới cho nén Vy €F(x9).dy, e F(x, l(n €NYYn ay ni — }»=yecoM mà yn eF(xạ)C cơM Vậy F(xg) C coM nên ceM bất biến, Mệnh để 1.5.4: Cho F là nửa liên tục đưới Nếu M là bất biến với F thi clM cũng bất biến Chứng minh:
i)Ldy x eM vậy 3x„ eM:x„ — x.Vì E là nửa liên tục dưới nêu:
Trang 21[ ti vận bọt ¿lieu liaa học eye de
Nhan xét: dev mingneul € Lhay be Lhthib 1a ofa lien tục dưới [3o đĩ từ
dink I tren ta se rút ra được tinh de 1.1.1 wong [LE] ma chi can dicu kien cua F là nif tien tục đưới,
Ménh dé 1.5.5: | I |
("ho E là ánh xa đa trị thuận nhất dưỡng từ X vào X nếu Xạ là vectd tiếng ứng
với trí rieng khơng âm thì K = {2x„: 2 2 0Ị là nĩn lơi đĩng bất biển suy rộng với
§
1.5.2.Đối ngẫu và chuyển vị của ánh xạ đa trị:
Vẻ khái nệm ánh xạ đời ngắu và chuyển vị của ánh xạ đa trị đã được dé cap
trong [1] o6 the xem day như là một sư mở rong của khái niệm tốn từ tuyến tỉnh
liên hợp của tốn tử tuyến tinh và trong phản nay ta xem xét các tính chất vẻ tap
bất bịch của ảnh xạ đối ngáu và chuyển vị, Ta sẽ dùng các ký hiệu như trong {l]:
+[` để chỉ ảnh xạ chuyến vị của E, tÏ'” đe chỉ ảnh xạ đối ngâu của F
Nhung trước tien ta sẽ nhấc lại các khái mẹ chuycn vị và đối ngâu của ánh
xa đã tít (các khá! tiệm này được trích địt từ [ |1
Chuyển vị của ánh xạ F là quả trình lỗi E” từ X” vào X” xác định bởi: y'eF(x)© (y, x )elWgrF)
Neu grF ba non thi:
veF(x)=(v`.Xx)<S<x`.y> YxeDomF Vye Fix) (1.5.1)
va khi d6 1°" 14 nh xa déng én X° vdi pd yeu’,
Cho Fe) doi ngau (hay lién hop) cia F la anh xa F* ty X° vao X° wie dinh
bởi:
_ |Jê,C,(x”.0) nếux' eb(F(0)) nếu x` #(F(0))
Trong đĩ Ê/C£x'`0) là đưới vị phân suy rộng tại 0 cla ham soLipschitz dia phương tại 0 :C¿(x` .(với C4 ) là hàm tựa của F), Với mơi xe b(F(0)) ơ;llx 1 là
hang so Lipschitz địa phương tại 0 của Cg(x”,,) theo [2| ta cĩ F”(x'! là tập lồi khác
O.compic yeu’ va:
F” (x`)
sup(lly 1: vÌeF (x`)J< ag lx
Đặc biệt khú Ee 46; là ánh xa lơm thi ham sé Cex.) a ham Idi Lipschitz địa phương tại 0do đĩ EF“(x ) chính là đười ví phân của hàm lơi theo nghia giải tích lịi,
Suy r4, mới x` el(F(0)) thì:
ve FÍ(V) = <yÌx>+Cj(v00S Cv x)VxeN (153)
Kh Eeẽ 4, là ánh xa lơi thì hàm số C¿tx' ! là ham lom Lipschitz địa phương tại 0
do đồ moi x` eb(F(0)) thù:
Trang 22| nên xân lọt nghưệp Dar hoe \ 6l ”(4X )Ì= <v roe Cy 2 Cdn xpvxeX (15.3) bw CES bie S 2) ta thay néw Fe &, 18 anh xa loi hay lom thị: F"(0={0 (1.5.4) và ảnh xa l-” là đĩng yếu” Ví dụ]: Neu T là ánh xạ tuyển tính từ X vào X thi Te &, va T(X)zff(v )=<x TL» aghia la f và T” đều chính là tốn tử tuyển tính liên hợp của T Ví dụ 2: Cho T là tĩan tử tuyển tính liên tục từ X vào X và M là nĩn lỏi chứa 0 Í- là ánh va đa trị xác định bài : F(x)=T(xI+M là inh va loiva Fe, Khi đĩ chuyển vị của E xác định bởi: ĩc Tx nếu x eM' F(x d= - o nẻu x £M” Định lý 1.5.1: [1] iNéu Fe 2 va M#o là tập lỏi thi b(F(M = -(F')' (-b(M)) H)Nếu Fe &, va K # @ là nĩn lơi thì [F(K)J'=(F”!'(K}) Dinh ly 1.5.2: [1]
i)NEu Oe int(domF) thi : ddmF” = - b(F(0))
iNéu Fe &, thi:
sup{llv ll: y`e F(x `0} < œrllxÌll, Vx'e don,
0 Nếu E là thuần nhất đương thì F* thu hẹp lên (domfF”)-( domE”) là
ánh xạ đơn try do dé: F(0)={0]
Hơn nửa, nếu E bi chan thi F là ánh xa đơn trị,
Định lý 1.5.3: [1]
Cho F œ 4 lơi và K là nĩn lỏi đĩng của X Ta cĩ K bất biển đối với F khi và
chỉ khi K* là tập bất biến suy rộng với E”
Nhận xét 1.5.1:
Trường hợp, F cĩ grF là nĩn và M bắt biển với E, với mọi xe M theo |.Š.] ta suy ra:
v'elFf(x)—(y ,x)<<x,y> YxeM,VyeF(x) (*)
Trang 23| tran vân lợi n#luep si lọc
tà <A sos) ¥ vel
=) EM
ughia fa MoE bat bien vei F
[Định ly 1.S.4:{ I |
Neu Mil tạp chứa 0 bat bien voi dnhxa lomb eL, thi b(M)” là tập bất bien suy rong vai PY wong đĩ b(M)” là bao déng ctla b(M) doi vai topo yeu *, Nhan xét 1.5.2: Neu Fla anh xa Jom va Pe, va M bát biển với E với mĩi x 6e M: theo 1.5.2 fa suy ra: ve F”(X`)= <v”, x>+ Cy(x 0< Cx, xI.VxeM = <y xe SCHN LN) do M bái biến với E nên: =:<\ \>S sup{<x x>: xe MỊ S0(dox eM lì tức là y`e M
hay M- là tập bất biến với E'
Ghi chú: Ciic định lý trên (từ 1Š | đến 1Š 1 } được trích dân ti [1] wong đĩ [I| chỉ neu lén hai nhạn xét 1.5.1 và 1.5.2 nhưng khơng chứng mình, Mật khác định lý 1.5 1 địi hỏi điều kiện F phải Lipschitz ta cĩ thể chứng mình định lý tranh
hơn nhưng chỉ cần Ê là nửa liên tục đưới: Định lý 1.S.S: ¡Nếu F là nữa liên tục dưới và Mze@ là tập lỏi thì b(F(M))=-(E”)` (-b(M)) Chifng minh: i/Theo dinh ménh dé!.2.1 trong [1] ta cé: b(F(M))=(F")'(-b(M)) bây giờ ta sẻ em: b(F(M)) = b(F(M)) That vay.ta co: (4 F(M)) > bUF(M)) Dé em: F(M)) c b(F(M )) ta lấy bất kỳ y®€ b(CM))ta sẻ chứng nrính : y`e bfF(M"
Vdi moi € M.coday (x, )saocho x, € Mix, x
Vị E nửa liên tục đưởi cho nên :
với bảt kỳ y eEF(xI.cĩy, el'(X,Jsaocho:y, => y
Trang 24| tần v0 Đột im (2ä11 lộc
- « ye >-+ <y¥ ly >
Dodo:<y iv > < supe y iyo uy e [(MIj
= sup} y.y>:yerM |< sup}< y`.v>veF(M \ <4
nghĩa là v` e h(F(M)) < dfcm,
Nhu vay tif dink ly trên ta cổ thể súy ra trực tiếp định lý 1.5.1 mà ở ii! khơng
cạn điều kien K là nĩn loi
15.3.Vectd riéng cia ánh xạ chuyển vị và đối ngẫu:
[rong đoan này chúng ta sẻ trình bày điển kiện đủ dể chuyển vil * va doi
ngau F* cd veetd rieng Ung vdi tri riêng khơng âm
Bo dé 1.5.1: [1]
( ha M là tạp lỏi trong X TacĩM' =0} khi và chí khi conM # X, Hơn
nửa,tneu 1itÀXÍ # @thì M— = {0} tương đương với 0 € intM
(lở để này được kiểm tra dẻ đàng bằng định lý tách tạp lỏi )
Định lý 1.5.6: [1]
Cho Fex8, P # {0} là nĩn lỏi đĩng yếu của X` Nếu P là tập bất biến suy rộng đổi với chuyển vị E` và intP’ # @ thì F” cĩ một vectơ riêng ứng với giá trị
riêng khong Am thuộc vẻ P
Hé qua 1.5.5:
Cho Pe & M bat biển thỏa:
con(M!là nĩn lỏi # Xvà in[conM]z $
thì E * cĩ mọt vectơ riêng ứng với giá trị riêng khơng âm trong [conM]”, Chifng minh: M bất biến — "mệnh để L5? , conM bất biến — "ếnh để LS4 , cGIM bất biến Ap dụng định lý 1.5.6 ta cĩ đfcm Tương tự ta củng cĩ hệ quả sau: Hệ quả I.S.6: Cho Fe +,.M là tập lỏi bất biến thỏa: con(M)# X va immlconM|z ộ
thì [- * cĩ một vectơ riêng ứng với giá trị riêng khơng ám trong [conM ['
Đơi với E là guá trình lịnn ta cĩ Kết quả sau:
Trang 25| da *.ấn tĩt tielielt ai li
Hệ quái 1.8.7:
Chobe & tom, Mla tap for bat bien thoi
comcoM)= \va aitfeontcoM)| 4 ệ
heb (como vectd rieng ng với siá trị rene khong am trone [con( coX T1] ( hứng mình:
Chobe 4£, = L:nửa liên tục dưới
men đe |,Ấ ‹ > 2Ä bài biến ent de | X.3-‡ Ấ* 4 » con(coM) bất biến
Ap dunng dink ty 1.5.6 taco dlem
Ghi chú : từ hệ qué 15,6 va 1.5.7 ta cĩ thể suy ra được hệ quả 1.3.1 va 13.2 trong {If Cho Pe 06M # X và M đĩng Nếu M bất biến với F và r(MI) là nén lỗi thỏa điều kiện mi(r(M)I # @ thị FÍ cĩ một vectở riêng ứng với giá trị riêng khong am trong [r(M)}]', Trong [1] khong c6 kết quả ve su ton tai vectd rieng của qua trink lom O day, trong he qua 1.5.7 ta đá cĩ mọt đâu hiệu cho thấy sự tỏn tại veel meng cia qué trink Jom,
Định lý 1.S.7: | I |
Cho Ee4£,, P # {0| là nĩn bội dong yeu ola XỔ Nếu P là tạp bất biển suy
rong doi VGi anh xa lien hdp F* ya intP" + @ thì E” cĩ mọt vectơ riêng ứng với giá
trị riêng khơng âm thuọc vẻ P,
Hé qua 1.5.8: | I |
( ho F e6, là ánh xạ lơm.M là tập cơn của X chứa 0 sao cho bˆM [0}, Nêu M bat bién vai F va intirecM) = >
thi F* c6mot vectd éng Ung với giá trì riêng khơng âm thuộc về b(M)”, Nhận xét 15.3:
Trong hẹ quả L.Š.8 điều kiện b(M) # {0| và intirecM) # ệ cĩ thể thay bởi: con(coM) # X và int(con(coM))z ¿
Khi đĩ vectơ riêng sẻ thuọc vẻ MƠ Thạt vạy do nhan xét 1.5.2 ta sẻ cĩ:
M bat bien với FY
Hon ava F(M)c M9 0.nén Mc bUF(O)) = domh® = M bất biến suy rong
va cune tif con(eoM)4 X va int(con(coM))z ở ta sẻ cĩ
M #{O0)va intM » 4
Ap dung dink Iv 1.5.7 ta eo dfem
Trang 26Lion bn tol nehiep Die hos
CHUONG il:
TIEP CAN DA 'TREDINH LY FAKAS
Din lý Eakas là mọi định lý quan trọng wong ly thuyet QHTT, Trong phan nay
của lưạn vân chủng ta sẻ xem xét mọt ứng dung của định lý này vào bài tốn
QHTT va từ đĩ nút ra những ket luận cho cap bài tốn doi ngiu khơng đơi xứng Trước ten se nhac lai mot vai ket quả vẻ bài tốn Quy hoạch tuyen tinh,
§1.BÀI TỐN QHTT
QuY lioach tuyến tình là mọt trong những lớp bài tốn tơi ưu dude nghien cứu
trọn xe cả vẻ phương diện lý thuyết lần thực hành, nĩ chiếm một vị trí quan trọng trong tịi tì hĩa vì hại lẻ: đơn giản và cĩ ứng dung rong ai Trong phan này chúng
ta se nhấc mọt vài khẩi niệm và mọt số két quả cd ban trong QHTT 2.1.1.Các khái niệm: Ta đã biết mọt bài tốn QHTT luơn cĩ thể đưa được vẻ dạng chuẩn tấc: <€.X >—> max (P⁄4Ax<b (*) x>0.xeR" (**) ở đây ce R" be R™ A lama trận cấp man Tap hop: D = { xe R": x théa (*) va (**)|
được gọi là tạp các phương án chấp nhận đượccủa bài tốn (P)
+ xạ được gọi là nghiệm tối ưu của bài tốn (P) nếu và chỉ nếu:
<C.X>2 <c.X> Vxe D
+ M được gọi là giá trị tối ưu của bài tốn (P) nếu và chỉ nếu giá trị của hàm
mục tieu ti ngliẹm tối tt là M., Khu (P) cĩ nghiệm, tập:
Do = {Xo€ D+ <e, Xo> = 7) (7 là giá trị tơi ứu của (P)) được goi là tập phương án tỏi ứu hay tập nghiệm cia bai todn (P)
Nhân xét : D và D„ là những tạp lỏi trong RỀ
Ta nhấc lại mọt số kết quả sau
Định lý 2.1.1:
Neu f(x) = <c x> bi chan tren trong D = Dy #0
Trang 27| 1a v8 t1 nghiợp Đại học
Coaatnhied phuvny phap de giai bar toan (P), mot trong các phương pháp đĩ
le tluet Jap mot bai toan khac tube Ung với bài tốn (P1 mà tá gọi là bài tốn đội
nga £oi giải bài tốn này để từ đĩ suy ra nghiệm của bài tốn (P1, [rong nhiều
ining hep viec neluen ctf bar todn doi ngau (6 ra thuan Gen hon nhieu Hon nifa
khi phản tích đồng thời cập bài tốn đổi ugau va bai tedn ban đầu se nhan dude
những kết luan hay cả vẻ tến học lần kinh tế
2.2.1.C dp bài tốn đổi ngẫu khơng đổi xứng: Che A 1A ma tran cấp man beR”.ceR" Net bài tốn: “xX >> min Đạt: } b.v > max (hb Ax eb (HH XÌy ¢ m IX oO Xt R" Y= R Ta gọi (1) và (H) là cáp bài tốn đối ngắu khơng đổi xứng Ta cĩ định lý sau: Định lý:
Néu mot trong hai bai ton (1) và (H) cĩ nghiệm thì bài tốn cịn lại cùng
cĩ nghiệm và khú đĩ giá trị tối ưu của hai bài tốn là bằng nhau
Định lý trên cĩ thể rút ra từ các kết quả cĩ trong giáo trình (QHTT đang trình bày trong trường ĐDHSP (TPHCM) dựa vào mỗi quan hệ giữa các bài tốn đối ngầu ( đơi xứng):
<¢X >—> max <b.v >> min
(P)‡Ax<b (P’) {Ay Se
x>0.xeR" yv>0.yeR”
Trong luạn văn này sẽ trình bày một cách tiếp cận khác đựa vào định lý Fakas
để chứng mình định lý trên (điều này được đẻ cập ở chương §3)
Trang 28( 3H X¿IÐ8 lệ H,-lỆH')* Prius lw
§2.DINITLY PARAS
in lý Pakus thutng co harcach phat lev sau Dinh ly Eakas:
(Tho AR ts fete cape nish
bla ma tran capa Kho dd trong 2 dieu sau
Jve R" ASU Ino
ib NZ OLy ER: DEAS,
la lop cĩ duy nhất | dieu dung aghia las hoac ta) dung, * sài hoặc
IE| S21; 1) đúng)
Dinh ly 2.2.1:
(ho \ Tao tran Gap ten Dia ma traneap ml
Kin do 2 dicu sau tp đương:
i) Neuve R" ANS O= bys) Ww) 3y>0.ve R”:b=y.\
Nhân xét: Điều kien i} cla hai dink ly tren 1a phi dink của nhau Do đĩ, định
lý Íakas và định lý 3 } | tưởng đương ( "hứng núnh:
(=1 Giä sử ta cĩ định ÍÝ ÍÝakas, ta se chứng mình định íý >3 3 |
+i tik giả sứ cĩ 1) tức là 1) trong dinh ly Fakas khong thẻ xây ra cho nen ib) trong dink ly Eakas phải xây ra đĩ củng clúnh là t1 trong định ty
314,
+= tk gì sử cĩ 8Ì vì H) trong định lý Eakas củng chính là li) trong định lý 3.1, Do đề đ) rong định lý bakas 1a ding vay +) trong dinh ly bakas
khong xây ra hay 0) trong định lý 3 31 là đúng (do nhan vet tren) ( =': Chứng trunh tương tự
Trang 29Lian van tot ngitep ban hoe
S32 TIEP CAN DA TRECUA DINILLY FARKAS
Dinh IS bakas oO olucu cách tiếp cạn thoug thường trong các tài liệu khác
ngưới tà chứng minh định lý nay bing nhưng phép biến đổi khá rác rồi Trong phun này chúng tơi muốn giới thiệu tội cách tiếp cận định lý này bằng lý thuyc!
đa trị (được trình bày trong [3|J)- là cách tiếp can kha mdi cho thay sức manh của
lý thuyct này, Trước khí đi vào chứng mình định lý ta hãy xem xét một số Kết quả Sab Dinh ly 2.3.1: (‘ho X la khong gian định chuẩn, XỈ là khong gian liên hợp của Xx ve NỈ, Dat: Q;=[xeX:<x.x>=0| Q,=[xeX:<y.x>=0J| Neu Q, € Q; thì một trong hai điều sau xây ra: lÌ y =)
ii) BAe K: y' =Ax' Khi do Q, = Q¿
định lý tren được đẻ cập nhiều trong các giáo trình giải tich ham (cd thé xem [8]) Ching toi se khong đi vào chứng mình rà chủ yếu là việc sử dụng kết quả này để chứng trừnh định lý quan trọng sau:
Định lý 2.3.2:
Cho X là khơng gian định chuẩn, L là khơng gian cơn của X, A là nĩn lỏi đĩng trong X cĩ phản khác trong khác rong (int A # © ), hơn nửa: L ~ int A #Ø (# ),
Nếu x: L => R là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên L và:
<x x>20VxEL OA,
Thi t6n tai mét théc ti€n %' cba x’ Jén X sao cho: &' : liên tục trên X
.<‡.x>>0,VxeA
Chứng minh:
© trường hợp l: x` = 0 trên L thì {` = 0,
e© Trường hợp 2: x’ # Ota dat A\={xel:<v.x>=0]
Trang 30| tacith Ss An totnghiep Dar hoe
|y,.Y› €B,(x„,.ri=[ imLXV ly, +Y, =p OX Vy td WSR No HHO EX LS PSK 92 > =O Ma: *+ <4 ,Wị =< x Ag > +a 2n] al” =0 + <x ot) > >0 hi Nên <x y,><O0(!viy, © Lovina, Vay A, > im A=@
Mat khac: A, #@(do0 € A, ) vi:
A, la tap 16i vì nĩ là khơng gian con của X
Trang 31| Han ván tới nelep | 3i học
Day da met ket quad Kha quan tong se vier thdc tien mot phiém hans tuyen th Puy ohien, yeu cau của đính lý ở điều kiện (*) là rất khỏ đây khơng phải là
mot dicu kien dé dang cé được, Vì vậy, vấn đẻ đát ra là: “Khi nào thì điều kiẹn
(*1 bọ được ?” Định lý ep theo se trinh bay van de nay,
Dinh lf 2.3.3:
Neu N là khơng sian định chuẩn hữu hạn chiéu vA A 14 nén đa điện lỏi thì
điện kiện (*) của định lý 3 3,2 cĩ thể bỏ được
( hứng mình:
[3o A là nĩn đa diẹn lỏi nen :
3ay.d¿ 0, 6X: ÀA =co(con{ a¡ ay 8y |)
(a,: là các phương sinh của A) oo dink ly 3 2 3 nên ta chỉ xét trường hợp L — im A = ©,
[he thì theo định ly tách tập lỗi: 3x; e€X `:<x/.x>=0Vxel <Xxi.X>>0VxeinA (1) Khơng mát tính tổng quái và để đơn giản viec chứng mình ta cĩ thể giả sử: X=R*°.A=(xeR": x20) khu đĩ: A = cĩ (cơn | Œị, Œ ©, }) Do xị: # 0 nên: Gidst Jey <x), e> #0 (l= <x), e)>>0 Vaye, €L Bây giờ ta đặt: Lị = < e, L > Thế thì A, = L, ~ A cũng là một nĩn đa diện lỗi Gid sử A; = co (con{ bị, bạ, bự |) Nếu b, nào đĩ thuộc L thì < x¡” b, >= 0
Trang 32| dán xin lọt nghiep E3an họ
Như xay, néu ta địt Ý¡: là ánh xạ tuyen tính thỏa: <Y,.C¿>=<\ ,G¡> <9,.x>=<xX.X> Vxel (*) thì ý, là thác triển của x' từ L lén L., hon nifa: <yý,.b,>>0 VJj-1 3 Vir <ÿ$i.b,>=<§¡.X>+2,<W( eẲ> In: <ý,.e,>>Í<x,.x>/2,Í nen: 2,<ý,,€>+ <X,.x>20,Vị € | ơ,<ÿ,.(@>+ <Ý,.\>>0 <ÿ,.b>>0 Viel neu i£l , đi nhiên: <ÿ,`, b>> 0 (đo (#)), Vay <0) b>20 , Visl2.k
Cho nen: <y,.x>20 Wxe Ay=A Ly
Nhu vay ta laicé L, A, ¥) théa cac diéu kién cha dinh ly 2.3.2
+Neu L,- int A, # thì theo định lý 2.3.2 ta sé c6 dfem
+Néu L,~ int A, = 0 thi tiép tuc quá trình trên ta sẻ được phiém ham
can tim dé ¥ rang do X 1A bitu han chieu nén qué trình trên sẻ dừng lại ở hưu hạn
bước,
Bay giờ ta sẻ trình bày con đường tiếp cận đa trị đối với định lý Fakas Định lý 2.3.4: [3|
(ho X Y, Z là các khơng gian tơpơ Ac X Bc Z va các ánh xạ đa trị:
Trang 33[ tạp xâm per rplnuetn | ai học
I nh lý 2.3.6: | 3|
Choh g tla che ánh xã đa trị thốa he = gt
1 Nens, Ê” nữa lien te tren dưới: = h uửa liên tục trên dưới 1, 1P Net ø đứa licn tuc đưới, F mở tướng đồi trong R(1) thì h lien tục
tướng địi trong R&T)
Chifng minh;
1Ð | hén nen
Hibachi can chứng mình: P ` nữa ben tục dưới trên RE) là xong That vay
neu Gr la tap met trong N thi:
[fic] =fyeY five Geol
= [v€Y :[xeN:Í(xi=v| G29} = fr hime trong ROP),
= 1 ntfa hén we du@i tren RU = hints hen te dit tron RUD) Định lý 2.3.7: [4| Choh da anh xa da triva gf sđơn trị thỏa : lị<z ƒ ` NGu (f04,) = 104.) = gay) = #(x,)0(*) thì lì đơn trị trên Ref) €C hứng minh:
Ta cĩ: h(y) = g.F”(y) = g{x: XI = yỊ
Từ (*) = lhị dơa trị trên R(Ê) Định lý 2.3.8: [1| Cho f: X—¬Y và g: X—>Z thỏa Í(X¿) = Í(X:) —= g(X¡) = g(x,) (?) g:liên tục, f mở tương đối trong R(f\ the thì 2 điểu sau tương đương: i) freA => gíx)e€B, i) Sh: g=hf te ROf—+Z liên tịc thỏa: h(A - R(Đ)ìc B Chifng minh:
i> ihren otuen
i= arDath = gt) = bh đứa trị và liên tục trên R(f) hơn nửa híÁ Rific
B tdo định lý 3.2 5) — g = h.[
Định lý 2.3.9: |3|
Cho X.Y.Z là các khơng gian định chuẩn : A B lắn lượt là các nĩn lơi đĩng
trong Y “thỏa :B (-B) = {0}
S: X<+Y là dob xa tuyen tink md trong Ri 1
T: X—+Z là ánh xạ tuyen tính lien tue
Trang 34E gan ván tĩt điglucp Dar hos
Rln da 3 điện san Hfdip đương 1) Sinie A= Tie B by oa TS LS trong do Ls ROS) 2 1a ánh xã tuyen tinh Hiến tực thỏa - L(AX ktŠS))c H (hifng minh: i= i) * Hiển nhiên,
i} = iit Theo dinh ty 2.3.8 ta chican chitng minh $ T thỏa điều kien( #1, That vay gia sul: Sexy = Styis SW y= 0
Từ n < Hx-y)=Ohay Tx) = Tey) (dfem)
Như vậy từ định lý 2.5.2 2.3.3, 2.3.9 1a co dinh ly sau: Định lý 2.3.10: [3]
Với giả thiết như định lý 2 3.9 nhưng Z = R (khơng gian các số thức): ÀA B là các nĩn li đĩng trong Y R thỏa mtA #0 va R(S) HA # ©, The thì hai điều sau
tưởng ương:
i) SX(xIeA = T(x) > B
ii) «= 31L:T=1.S trong đĩ L:R(S)-+R là ánh xạ mryền tỉnh liên tuc khơng
am wen A,
[ldn nừa, trong trường hợp X.Y la cdc khong gian Banach hitu han chicu va A là nĩn đa diện lỏi thì điều kiện R(S)- intA # © cĩ thể bỏ được
(€ hứng minh:
Đây hồn tồn là hệ quả của các định lý 3 3.3, 3.3.3 3 3.9 với:
bB = |xeR : x> 0|
Tĩm lại các noi dung ( tif dinh ly 2.3.4 dén 2.3.10) da dude trinh bay trong [4] Tuy nhiên ở đây dinh ly 2.3.7 da dude chifng minh va quan trong 1A dinh ly 2.3.10 trong [3] khong chifng minh ma chi néu tài liệu trích dân chúng tơi đã chứng mình được định lý này dựa vào các định lý 3,3 3 và 3.3.3
Trang 35| Hàn tật tt te lượt: 921 lọ §4.,CHỨNG MINH ĐINH LÝ & ÁP ĐỰNG VÀO CẬP BÀI TỐN ĐƠI NGẤU 24.1.Chưững mình định lý Fakas:
Do \ 14 ma tran cap nen b 1A ma tran cap ml Cho nén cd the xem ÁX.b là 3 anh <a tuyen tinh: A R° => R™ vai Ati = Ax “hh: R°—R với=l(v) = <=bÙ x> thi \, —li là ánh xạ tuyến tính liên tục và A là ánh xa md trong REA) (lo n†úven lý ánh xạ mỡ), Nếu đạt: = = {xeR" xs O} = =4 1A nbn da dien loi va intA =O BS =(xeR x20) The thị theo định lý 2.3.10 ta c6 hai diéu sau tung duong: 1b Ax SO0O>-bx 20( bn £0), ii) dye R™: bzyA, y:R”=>R 1a anh xa tuyén tinh lien tuc sao cho Wxuj2 0 Vxec4
Nhan thay.diéu kien “ y: R°R là ánh xạ tuyển tinh liên tục sao cho
yz 0 Wre” = =y >0 Do đĩ ta cĩ thể viết lại:
¡ì Nếuxe R°*: Ax<0=: bx š 0, li) 3y>0.ye R”:b=yA
Đây là điểu ta muốn chứng mình
2.4.2.Ap dụng vào bài tốn QHTT:
Trang 36[ tan v4 6t 0elt Dạ lọc la cĩ š là phương án tơi ứu của (Pì z: 3fđeR””" thỏa A'=e bu =cx AX sb n20
Bay gud chiding ta chiépg minh ve mdi quan hệ của cái bai ton QHTT doi ngau
da dược de cại trong phần 1 Trước tiến ta hày nhấc lại định ly:
( “ho \ La ma tran cap oan beR™ ceR* va cup bán tốn: < c,y >> mun < D.\ >> AN (1) va (UAT y=b AXS¢ y 20 Ta co dinh ly sau:
Nêu miệt trong hai bài tốn cĩ nghiệm thì bài tốn cịn lại cùng cĩ nghiện: và
khi đĩ giả trị tơi ưu của hai bài tốn là bằng nhau, Giả sử (lì cĩ nghiệm x Ta luơn cĩ: <b.x>=<Aly,x>=<y,Ax><<c.y> nạhia là : (*) <Ù,X><c,y>
với mọi y thuọc tạp phương án chấp nhận được của (II)
Theo định lý tren ta lại cĩ: ÿ 6 R” thỏa :
A'y=c
bỹ =cx
g>0
I3o đĩ, từ ( *)=: ý là nghiệm của (Il)và by =cX (đícm), ( hiểu ngược lại chứng minh tương tự
Trang 37Í tan Sin tới felHelt định lọc (HƯƠNG HI: -
TINH DIEU KHIEN DUGC CUA CAC HE DONG LUC SL TINILDIEU KHIEN DUGC CUA BAO HAM THUC SAI PHAN
lrong phan nay ching ta se xem xết một số đặc trưng của tinh điều khiển được
của bao ham thife sai phan trong khong gian Banach Neu khong cĩ gì nhằm tan ta se ding (Dy) de chi bao ham thife sai phan tưng ứng với ảnh xạ da tri b ed dang: (Dạ a SN \,€X.k=z01.2 4.1.1 ác định nghia: | l | Tap dat dude tif 0 & buée k của (Dẹ) là: R(F.k) = FCO) Tap dieu khien dude ve 0.8 bude k ctia (Dp) a: C(E,Kì = (PY) (0) Tap quan sát được ở bước k của (Ï);) là: Qt F.k) = imF* Dat R(F) =LJR(E.k) C(F)=LJCŒ.kì ‘i Qi) = JQUF.k) kel
lần lượt là các tap (theo thứ ny dat dude tif Otap dieu khi€én dude ve O4ap quan
sắt due ctia he (De),
Định nghĩa 3.1.1: |! |
Hệ (I)r! được gọi là:
(I)zero đạt được ở bước k nẻu R(F.k)z,
(3)zero đạt được địa phương ở bước k nếu 0€ intR(E-.k)
(4)zero đạt được xấp xi ở bước k nếu R(F.k)= X
(1lzero đạt được xáp xi địa phương ở bước k néu Ú € int(R(1'.kH.,
(Sivero dat dude Rib y= X
Trang 38bilan Sn for netep dat hoe
(D)Zero - đại được địa phương nen 0 ta(Đ(E-.K},
(73zcro dat dude xap xi neu R(E.k) = X
(Đizero- đạt được xáp xỉ địa phương nềũ 0€ mÉR(F.K),
la sẽ định nghìa các khái niệm zcro-điều khiển được của he (DP) tue ww như các khái niệm zcro- đạt được bằng cách thay các nhĩm từ” đạt được” bởi
“điều khiên được”: "R(EF,k) "bằng “C(E,k)” và R(EF) bằng C1 ).Và cùng để cho gọn thì trong các khải niệm trên ta sẽ bổ tiếp đầu ngữ "zero”, ví dụ: thay vì nĩi "zero-
dal duve™ ta sé noi “dat dude”, Nhân xét 3.1.1: De ý rằng: C(F.k) = RE 'K) C(F) = RIF’) Tức là tính điều khiển được của (DÐy) chính là tính đạt được (tương ứng) của (D, ) Định nghĩa 3.1.2: [1 | Hẹ (Ð;) được gọi là:
(1) quan sắt được ở bước k nẻu Q(F,k) = {0]
(3! quan sát được nếu C(F )= |0]
Qui ước : từ đây vẻ sau ta sẽ gọi chung các khái niệm trên là các khái niệm
điều khien được
Định nghĩa 3.1.3: [1]
Hẹ (D¿) được gọi là thỏa điều kiện rank nếu cĩ k sao cho: in[F*(0)] # @
3.1.2.Tính điều khiển được của quá trình lồi:
Cho F là ánh xạ đa trị từ X vào X, Ta định nghĩa col' cùng là ánh xạ đa trị từ X vào X xác định bởi:
gr(coF ) = cơ(grE )
Trong phan nay ta sé xem xét vài kết quả vẻ tính đạt được của hẹ (D,.„¿)
Định lý 3.1.1:
Cho Ee 4y, lịm và E thỏa dieu kién rank,
Neu F` khơng cĩ vectơ riêng ứng với trị riêng khơng âm thì họ (D,.¿! đạt được
Nap Xi
€ hứng mình:
Chả sử (l2, „£! khong đạt được xdp xi, tức là:
Trang 39[ tin Ste tot aghig dian hoe Rtcol:) £ XN = [ ivok “(01 ax ae il | Joor*(O))» X s-‹ = LJco(F*(00) #X bel
Ta lai co PNO) BA nĩn bắt biến cha F Do dé, theo he qui 1.5.5 a cĩ PF cĩ
vectd rieng ứng với trí riêng khơng am treng [cleo F*(0)))]' Vậy (Đ,„! đạt được
tap xi
Định ly 3.1.2:
Chobe &, lom va F théa diéu kien rank
Neu FŸ khơng cé vectd riêng ứng với trì rieng khơng am thi he (D,,,) dat dude xát xi địa phương, Ching minh: Gud si (D,.¢) khong dat được xap xi tie 1a: 0 £ int R(col:) = con co] X kel = cou{ ÙeE`(0n Ìz X kel = cĩ e0) +X se
Ta lại cĩ F0) là tập bất biển của F Do đĩ, theo nhận xét 1,5.3 ta c6 F 06
vectơ riêng ứng với trị riêng khơng âm trong [(F (0017 Vậy (Ð,.y) đạt được xấp xỉ
Đơi với quá trình lịm ta cĩ kết quả sau:
Định lý 3.1.3:
Cho F là quá trình lỏim.Neu M # @ là tập bất biến thỏa cl(co(conM 4X thi
(Dy) khong dat dude
Chifng minh:
'[heo mệnh để I5 2 và 1,5,3 ta cĩ cl(co(conM 1 là bat bien vdi ben nia ta
lại cĩ cl(co(conM)! là nén loi đĩng chứa 0 do đĩ EF(OIC cl(co(conM)) cho nến
RE 0C cl(co(conM Vậy R(E)£XN hay (y1 là khong đạt được
Trang 40[ Hàn vÄ0 Fội net đạn lu
§2 TINH DIEU KITTEN DUG CUA TE DUNG
\ lo Ta ede khong gian Banach, A.B fA cic doh xa tuven tink hen tue i NU
vao \ Lic U for théa 0c B
lạt XỀ—+N được xắc định bởi:
FulXụy: 3X) £ A “Xi 2:2 A§§¡ +4 va Sos Li anh xa đa trị từ X vào X xác định bởi cơng thức: Sivy = An 4+ conBbQ SX) = AXR+ BQ I, da ánh xạ tuyển tính liên tục, S€ 4, là ánh xa lơi Tương ứng với S, s tạ cĩ báo lan thức: X,., ESA,) (Dg) "lx, eX age i= 0.1.2 š [Xp es(x,) _ OSH) eX i=0,1.2 ‘Ta co: R(D tì =E((B@?) C(D, 2) = [xe X: -A'xe F((BG1| RiD., i) = E/((conB@3))
C{D,.¡=[xeX: A'xe F/((conBQ@!|
Vi Oe BQ va BQ 1a tap lỏi cho nên:
R(D;.¡) =conR(D,.) va CDs i)=conCrD, i)
suy fa R(D.) = conR(D, va C(D.i= conC(D,)
Dinh nghĩa 3.2.1: [1]
He (D,) thỏa điều kiện rank nếu cĩ số tự nhiên k sao:
m(A*'BQO + +ABQ +BO)#@
Định lý 3.2.1: |I |
Nếu (Ð.) thỏa điều kiện rank thì các mệnh đẻ sau tương đương:
(1) lle (D,! là zero- đạt được địa phương
(3) A' khơng cĩ vectd ricng ứng với trị riêng khơng âm trong (BÉ2)'
(3) XN là nĩn lỏi đĩng nhỏ nhất trong các nĩn lỏi đĩng chứa B2 mà bái
bien vai A
Định lý 3.2.2:{ I Ị
Gia side 3, ní2 # @, Hẹ (DÐ,) là zero đạt được địa phương klu và chỉ khu hai
điều kien sau được thỏa: