Góc euler biến số phụ trong phép biến đổi hurwitz

Trang 1

BO GIAO DUC VA BAO TAO

TRƯỜNG DAL HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

KHOA VAT LY

ala

LUAN VAN TOT NGHIEP

DE TAI:

GOC EULER BIEN $0 PHU

Trang 2

LOI CAM ON

Khoảng thời gian học tập tại trường Đai học tuy rất ngấn so với đời người nhưng đây là thời kì rất quan trọng trong việc hình thành kiến thức và năng lực làm việc của một con người Mỗi sinh viên chúng em với mỗi cách

học riêng đều tích luỹ cho mình vốn kiến thức, tự rèn luyện các năng lực để sau này trở thành một giáo viên tốt Trong giai đoạn này, khả năng nghiên cứu,

kha nang tự học và làm việc với tập thể dẫn được phát triển trong mỗi sinh

viên Viết tiểu luận hay trình bày ở các buổi Seminar là hình thức rất tốt giúp

sinh viên học hỏi và rèn các kỹ năng về nghiên cứu khoa học Nghiên cứu khoa

học ở trình độ cao hơn như việc viết luận văn tốt nghiệp địi hỏi nhiều thời

gian, cơng sức và nhiều kiến thức mới Chính vì vậy, để hồn thành bài luận văn này, ngồi sự nỗ lực của bản thân, em cịn nhận được rất nhiều sự giúp đỡ

của thầy cơ, bạn bè

Cho em được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Văn Hồng, thấy

đã tận tình chỉ dẫn, truyền đạt kiến thức và hướng dẫn phương pháp làm việc

để em cĩ thể hồn thành luận văn

Em xin cảm ơn thấy Nguyễn Khắc Nhạp, thấy Lê Nam đã tận tình

truyền đạt những kiến thức, cung cấp tài liệu về cơ học lượng tử

Cho phép em gửi lời cảm ơn đến tất cả Thấy, Cơ trong khoa đã truyền đạt kiến thức cho em trong suốt khố học và tạo điểu kiện để em hồn thành

luận văn này

Kính chúc sức khỏe quý thay cơ nhà trường

Sinh viên thực hiện

Trang 3

MUC LUC

Trang

MO BAU oocccccccccssssssssssssnnsrvnsarsnnnnenernnnsnnnnnanenennnnnnoannnnannnatnnnsennsenneenne 3 CHƯƠNG I : PHEP BIEN DOI HURWITZ

I.1 Một cách tổng quát hố phép biến đổi Hurwitz 6

L2 Dao động tử điều hồ 4 chiểu phức và nguyên tử hydro 5 chiều 10

Phụ lục AI.1; Hệ ma trận Dirac ¿ và các tính chất 12

Phụ lục A1.2: Sử dung Mathematica chứng minh = ¿ #, 16

Phụ lục A.1.3 :Phương trình Schrodinger cho đao động tử điểu hơa 4 chiều phÚC;: :- :: -cccc 222cc 17 CHUONG II: GOC EULER TRONG PHEP BIEN DOI HURWITZ H:1-XâY dựng tiến SỐ DŨNG20602222602020010 210G 2aabso 18 LED Phe ly BI N BỒ ĐỒ GA 20226si6ssose 21 Phụ lục A.2.1: Tính Ế+ theo các giá trị ¿ và Ø, 26

Phụ lục A.2.2: Tính các đạo hàm riêng của Ĩ, đối với {a 29 Phụ lục A.2.3: Biểu diễn Hamiltonian trong khơng gian (*::#,) 31

Phu lục A.2.4: Tính chất của hệ vectơ 4,„(F) . . - 48

Phụ lục A.2.5: Phép quay các gĩc Euler Hàm cẩu suy rộng 50

Phụ lục A.2.6: Hàm riêng của tốn tử momen động lượng 35

Phụ lục A.2.7: Tính chất của hệ tốn tử ĨỞ, -2-5csccccc2 58 Phụ lục A.2.8: Sử dụng Mathematica để tìm thế vectơ 4,(?} 60

KẾT LUẬN 2 22222221222121021221020201111.21111.20 0 63

Trang 4

Luận văn tốt nghiệp

MỞ ĐẦU

Nguyên tử hydro và dao động tử điều hồ là hai bài tốn cơ bản của cơ

học lượng tử Đây là một trong số rất ít các bài tốn mà phương trình

Schrodinger của nĩ cĩ lời giải chính xác Vì vậy, mối quan hệ giữa hai bài

tốn này là vấn để được sự quan tâm rất lớn và là đối tượng nghiên cứu quan

trọng của nhiều nhĩm nghiên cứu vật lý trên thế giới (xem [1-2] và các trích dẫn trong đĩ) Ngồi ra nĩ cịn được ứng dụng trong nhiều tính tốn nguyên tử

(xem trong {3-4]) Đặc biệt trên cơ sở mối liên hệ này phương pháp dai số đã

được xây dựng [5-6] và là phương pháp chính của nhĩm nghiên cứu khoa vật

lý trường Đại học Sư phạm dưới sự hướng dẫn của thẩy Lê Văn Hồng

Phương pháp này khơng những được ứng dụng thành cơng trong vật lý nguyên

tử [7-9], vật lý chất rắn [10], mà cịn trong vật lý các hệ thấp chiều [1 1-13] Bản thân sự tổn tại mối quan hệ giữa hai bài tốn co ban cia cơ học

lượng là một điều rất thú vị Một trường hợp riêng của nĩ là mối liên hệ giữa

nguyên tử hydro năm chiểu và dao động tử tám chiểu sẽ được thiết lập nhờ vào phép biến đổi Hurwitz [14] Khởi điểm, phép biến đổi Hurwitz 1a su thiét

lập hệ thức liên hệ giữa khơng gian 5 chiều và khơng gian 8 chiểu như sau:

2 2 2 1 2 2 2 2

X, =2(uu, +u,u, —u,u, —u,u,), x, =2(uu, —u,u, +u,u, —uyu,), X, =2(M,M; +H;M, + Hy, +M„M,}, X, = 2(M,y — W;ly — ty, + w„, )

Ở đây, chúng ta thấy cĩ sự bất cân đối về chiều trong phép biến đổi trên Trong cơng trình [15] sự mất cân đối đã giải quyết bằng cách đưa ra các “biến số phụ” ø,.ø ø, là 3 gĩc Euler Lúc này phép biến đổi trở thành :

Trang 5

(X,,X; X Oy Py) €> (,,; y )

Nhờ đĩ, mối liên hê giữa dao động tử điều hồ 8 chiểu với nguyên tử hyđro 5

chiều được khảo sát một cách cụ thể hơn Và thật như vậy, sử dụng kết quả

cơng trình (I5| bằng cách thêm vào 3 gĩc Euler như trên, cơng trình [16] da phát hiện một điều thật thú vị Đĩ là tìm thấy một đơn cực * non-abelian"” ẩn

trong dao động tử điểu hịa khi đưa tốn tử Hamilton của nĩ về dạng tốn tử

Hamilton của nguyên tử Hydro Sự xuất hiện một trường mới trong trường hợp

này được giải thích bằng “lý thuyết topo” Khi chuyển từ khơng gian 8 chiểu

sang 5 chiều thì 3 chiểu cịn lại bị "cắt” mất Do đĩ, 3 chiều cịn lại phải ẩn bên trong, đặt trưng cho spin déng vi của hạt

Trong luận văn này, người viết sẽ đưa ra lý thuyết xây dựng các biến

số phụ trong phép biến đổi Hurwitz mà trường hợp riêng là các gĩc Euler

Hay nĩi khác hơn sẽ đưa ra một cách tổng quát hĩa phép biến đổi Hurwitz Ngồi ra, trong luận văn lần đâu tiên đưa ra được phép tách biến phụ ra khỏi

phương trình mơ tả chuyển động của đơn cực non-abelian trong trường

Coulomb Vé nguyên tắc, 3 biến số phụ mơ tả spin đồng vị chuyển động trong trường Coulomb cộng với trường điện từ cĩ dạng thế đơn cực từ Cho nên việc

tách biến số phụ ra khỏi phương trình Schodinger là tách sự phụ thuộc vào spin đồng vị của hạt

Với hướng phát triển như trên, nội dung của luận văn sẽ được trình bày

như sau:

Chương I: Phép biến đổi Hurwitz

Nội dung chương này trước hết là giới thiệu về phép biến đổi Hurwitz, sau đĩ phát triển các kết quả của cơng trình [15-16] về phép biến đổi này để đưa ra lý thuyết tổng quát xây đụng các biến số phụ Cũng trong chương này, kết quả

của cơng trình [16] được trình bày lại về mối liên hệ giữa dao động tử 8 chiểu

và đơn cực “non-abelian” trong trường Coulomb năm chiều

Trang 6

Luan van tot nghiệp

Chương II: Gĩc Euler trong phép biến đổi Hurwitz

Nội dung chương này là thiết lập các biến số gĩc theo các điều kiện đã đặt ra ở chương I, từ đĩ biểu diễn tốn tử Hamilton trong khơng gian mới Việc biểu diễn tốn uy Hamilton trong khơng gian mới làm xuất hiện trường đơn cực từ Dirac Sau đĩ, tiến hành phân ly biến số gĩc ra khỏi phương trình Schrodinger

trên cơ sở sử dụng hàm cầu suy rộng Sau đĩ ta xác định trường xuất hiện

trong phép biến đổi khi đã tách biến số gĩc ra khỏi hàm sĩng Kết quả thu

được là phương trình Schodinger cho hạt chuyển động khơng spin déng vị

trong trường Coulomb và trường điện từ cĩ dang thé đơn cực từ 5 chiểu

Mục tiêu của việc làm luận văn là thơng qua đĩ học hỏi được các bước

cơ bản của việc nghiên cứu khoa học Cụ thể là:

Hồn thiện kỹ năng tính tốn

Học sâu hơn một số vấn để liên quan đến mơn cơ học lượng tử Tìm

hiểu các vấn để liên quan đến phép biến đổi Hurwitz, Kustannhiemo

-Stiefel, vận dụng một số vấn để cơ bản của cơ học lượng tử để tìm

hiểu và phát triển phép biến đổi trên

Trau dồi kỹ năng tìm kiếm thơng tin, rèn luyện kỹ năng đọc và dịch

thuật các tài liệu từ tiếng Anh

Học và vận dụng ngơn ngữ lập trình Mathematica để xử lý một số

cơng đoạn tính tốn phức tạp

Trong luận văn này một số kiến thức, tính tốn phức tạp sẽ được trình

Trang 7

CHƯƠNG I

PHEP BIEN DOI HURWITZ

Chương này chúng ta sẽ giới thiệu phép biến d6i Hurwitz Day là phép biến đổi được rất nhiều sự quan tâm và là đối tượng nghiên cứu cĩ tính thời sự [15-

I6] Đây là trường hợp riêng của phép biến đổi Kustannheimo-Stiefel,biểu thị

mối quan hệ giữa nguyên tử Hydro (24-!) chiểu với dao động tử điều hồ 2*

chiều Trong phép biến đổi Hurwitz, chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa

nguyên tử Hydro 5 chiều với dao động tử điều hồ 8 chiểu Nội dung của chương này là phát triển các cơng trình ở trên để đưa ra lý thuyết tổng quát về phép biến đổi Hurwitz cụ thể là lý thuyết xây dựng biến số phụ trong phép biến đổi này

1.1 Một cách tổng quát hĩa phép biến đổi Hurwitz:

Trang 8

Te oe

Y.Y⁄\, +Ƒ¿y, =2ð¿Ï , (1 là ma trận đơn vị cấp 4 ) (1.2)

để cĩ thể sử dụng các tính tốn cụ thể, trong phẩn phu lục A.I.l ta sẽ chứng

mình thêm một tính chất quan trọng như sau: W.)„,)„ = 2ð„ð„ —ơ„ỗ„ =2P„7„ trong đĩ: Z„ =,7; là ma trận phản đối xứng Bây giờ ta thực hiện phép biến đổi sau : x, ~ Ey, )uế, ĩ,= /(6) (s,t =1,2,3,4) (1.3)

trong a6: €, ¢, 1a cdc bi€n cia khong gian 4 chiểu phức; & „ là liên hợp phức

của é,; //(£) là các hàm số tùy ý theo các biến phức

Với cách đặt như vậy, các giá trị X; được xác định tường mình như sau: x, =-16,6, -16,6, +1656, +1646), *; = đê + +ếy “cõi, x, = ~16)&, +1856, + 1656-18), (1.4) x, =G 6,466, + GE, +45, x5 = 616, +626, - 2365 - Sabu

Đây chính là cách viết dudi dạng phức của phép biến đổi Hurwitz Cịn các biến số phụ đ,.ø,.ø, được đưa vào như một cách tổng quát hố phép biến đổi

này Trong cơng trình [I5] các gĩc này được đưa ra cụ thể như định nghĩa các

gĩc Euler và nĩ được sử dụng trong cơng trình [16] để thu được kết quả vật lý rất lý thú Trong phẩn này ta sẽ đưa ra lý thuyết tổng quát xây dựng các biến

số phụ này Hay nĩi khác hơn ta sẽ đưa ra các tiêu chí để xác định các hàm số

ƒ(È) Một trong những tính chất quan trọng của phép biến đổi Hurwitz là nĩ

Trang 9

cho ta hệ thức liên hệ giữa khoảng cách trong khơng gian 5 chiểu và trong

khơng gian 8 chiều Tính chất này liên hệ qua đẳng thức :

r=jx,x, =£/ẽ, (s=12.34) (1.5)

được chifng minh bing Mathematica trong phan phu luc A.1.2

Bây giờ ta xây dựng các tốn tử vi phân bậc một trong khơng gian € , sao cho

khi chuyển về khơng gian thực nĩ chỉ phụ thuộc vào các biến số phụ á ø,.ớ, Để như vậy ta phải cĩ những điều kiện nhất định cho các hàm //(£) (i=1,2,3)

Điều kiện đầu tiên là /(Z) phải thoả mãn phương trình sau: 62g De = 216, ðệ, ””ơ£, Từ điều kiện này, chúng ta xây dựng tốn tử Ï) : (1.6) ˆ 0 T, = 1l: es ae |] ———— — =—Ì— 2p” (1.7)

Điều kiện tiếp theo là các hàm /(£) (i=l,23 ) phải chọn sao cho các hàm

số: 76.3 L8 +e | | 6 3) chỉ phụ thuộc vào các biến số 0g, ễ, Sễ Si gĩc, khơng phụ thuộc vào các biến X; hay nĩi khác hơn, ta cĩ thể kí hiệu như sau: B;(6.4„#)=~27.|£ = #) (1#) Bb.) =i7 4£ a -&€ 3)

Với điều kiện (1.8) và nhờ vào tính chất phản đối xứng của các ma trận 77 ;,

chúng ta xây đựng các tốn tử 7,,7, nhu sau:

Panis mai KÃ

Trang 10

Luận văn tốt nghiệp TÏ= |*£-£‡)*- dễ, — ế, (Ø,.Ø;, Ace ag, (1.9) Các tốn tử T, tạo thành một hệ đại số kín thỏa mãn hệ thức giao hốn sau: Lr a S74 we (1.10) =" [ T=

Từ (1.10) chúng ta cĩ thể xem các biến số ¢,,¢,,¢, nmhu là các gĩc Euler tng với các tốn tử của phép quay là ?),?,.7?, Đối với các gĩc Euler , chúng ta cần phải xây dựng các tốn tử Ơ,,Ĩ,.Ơ, [17] sao cho:

lƠ,.Ơ,]=¡=„Ơ, [7 Ĩ,]=0 TT,=0,0,=0 (1.11)

Việc này được chỉ ra rất rõ trong sách giáo khoa về géc Euler [17] Cu thé 1a

chúng ta sẽ tìm được các tốn tử Ĩ,.Ơ,.Ĩ, từ các tốn tử TTF bằng cách

thay đổi các biến số gĩc như sau:

ĩ, ‹c> ĩ, , ĩ, = -ĩ, ’

Như vậy, các tốn tử Ơ,.O,.Ơ, cĩ thể xác định bằng cơng thức:

Ĩ, = = ~iB; (9, 9, -@,) ge iB OA “Og 1B; › (Ø; ớ, Wa (1.12)

= -iB; ($,, oie jo ae, es

Ơ, =-i co B67" i rơ đa iB; (ĩ;.ĩ, "hàn

Bây giờ chúng ta đi tìm tốn tử động lượng trong khơng gian mới Sử dụng

(1.3) và qua một vài phép biến đổi ta được:

Trang 11

‘ = -j— fA ở: >„, ` — ,g Ðð

Pa “là al O55,

Để thuận tiện cho việc phân ly biến số gĩc , chúng ta viết lại tốn tử xung lượng như sau: p, =i + Ay FH), 2 (1.15) trong đĩ, các hàm 4A,,(7,¢) dude xac định như sau: ~ BỊB —-B,B ~ BIB: -B;B; ` "vn 3.6 4 4 A, = sư: A ` (1.16) B; 8, ~ B, B; B; 8, - B; B; BY ~ B›

ska “+ sat Si:

Điều kiện cuối cùng đối với các hàm /(£) là chúng phải được chọn sao cho A„ chỉ phụ thuộc vào biến tọa độ X; Với điều kiện này, ta viết được tốn tử

động lượng dưới dạng sau:

. LỔ cà, mê «—— favŠ ee

P, = Fe, + Ay (FQ, ee Ẹ BE tổ, i) (1.17)

Vậy, chúng ta đã cĩ được phép biến đổi Hurwitz tổng quát Trong phép biến đổi chúng ta đã cĩ những điều kiện cụ thể và tổng quát để xây dựng ra 3 biến sỐ gĩc

L2 Dao động tử điều hồ 4 chiều phức và nguyên tử hydro 5 chiều:

Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hịa trong khơng gian 4 chiểu phức cĩ dạng như sau :

Hw(€)=Zw(é) , (1.18)

Trang 12

1 đi Lk ae

2aEaE T2 Siêu:

Với Z là trị riêng của A ứng với hàm riêng ự (xem phu luc A.1.3)

Ta viết lại (1.18) đưới dạng khác:

- _ #

26,6, 06,06, §6,

Jv(e)=-Lorv(s) (1.19)

và sau đĩ ta chuyển (1.19) về khơng gian F Bằng cách sử dụng (1.17) ta

tính được tốn tử p’ =p,p, trong khéng gian ế và tương tự như vậy, từ

(1.6)(1.9)(1.11) ta tính được Ở° trong khơng gian này Tổng hợp lại, ta cĩ ? go nơ Ì l2: „ 2 — 1 ie + 44, | ae (1.20) Thé (1.20) vao (1.19) ta tim được: 2 if pd og on Vcd atl ea ey

k 2 +440, | +o? Zlvze Eự(.ø) (1.21)

trong đĩ £ = _ ga" xem như là năng lượng của hạt

Từ phương trình (1.20) nếu chúng ta tìm được hệ nghiệm yw sao cho chúng khơng chứa các biến số gĩc nghĩa là chúng thoả mãn các phương trình:

Ơ,ự = Ơ,ự =Ơ,w =0 (1.22)

thì (1.21) chính là phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro trong khơng

gian 5 chiểu Trong trường hợp tổng quát thì phương trình (1.21) mơ tả hạt cĩ

spin déng vị chuyển động trong trường Coulomb và trường thế đơn cực từ [16]

Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ phương trình này trong chương II

Trang 13

PHU LUC A.1.1: HE MA TRAN z, VÀ TÍNH CHẤT

Vdi cach xac dinh nhu 6 (1.1) ta cĩ dạng tường mình của hệ ma trận Z¿ như sau ; 0 0 0 -i 0 00 -1 0 0 -/ 0 0 01 0 “=lo -i 0 0 melo 10 OT -¡ 0 0 0 -100 0 0 0 -i 0 0010 10 0 0 00 0 i 0001 0 1 0 0 Als 0 o o†? “PHI oo 0P rf 0-1 0 0 -¡ 0 0 0100 00 0 -1 Các tính chất của hệ ma trận trên : l/y, =" - 2/ y,y, +#,#, =2ð„† (1 là ma trận đơn vị cấp 4) 3 (y,)„(r;)„ = 2ư„ð„ — ư„ỗ„ —27„7„

Với tính chất | ta dé đàng nhận thấy khi viết hệ ma trận dưới dạng tường mình

Trang 14

Luận văn tốt nghiệp 0 5 1 0 Yale I IOs} 1) _{9 øØ,j0 /Ị) (-l 0 ke123 ?\ =! o, 0|! 0 =I) ; ( K=1,2,3) > ah HY %e =O (k= 12,3) Với Ys: y4 =Ï fƑƒ 0 Y0 ø,Ì 0 1 = =o ° EN) ihe 8) edo _(0 ø,Y! Đau 0 —l pane | 0 0 II} ‘ly 0 (7 0Y0 7\ (0 7 re lO SIAL 0) (=7 0)” (0 /Y1 0\ (0 ¡ ™s“\r oho 1) Uo)’ — Ys¥ + ¥,¥; =0 (k= 1,2,3,4) Suy ra: ¥,¥, + ¥4¥, = 204! (i,k=1,2,3,4,5) Chứng mính tính chất 3: Ma trận ÿ =i7;y phản đối xứng Ta cĩ từ định nghĩa 0 0 0 -il/(0 0 -i 0) (0 -i 0 0 zyaq? 9 -í 0||0 0 0 ¡| |? 0 0 9 0 -¡ 0 0||l¡ 0 0 0| |0 0 0 -¿ -¡ 0 0 0)40 -¡ 0 0) (0 0 ¡ 0

Từ hệ ma trận Z¿ xác định ở trên, ta tiến hành tính tốn bằng cách biểu diễn các ma trận đưới tập hợp các phần tử như sau :

Trang 15

Luận văn tốt nghiệp (y,),, = (-i6,,6,, - 15,5, +15,,6,, +16,,5,,), (7), =(-5,.5,, + 5,25, + 5,5 —5,,5,), (y,), =(Cid,,6,, +15,,6,, +15,,5, -16,,5,2), (z.)„ = (6, ổ,› + ư,;ổ,, + ð,yổ„ + ổ,„ổ;) Ứ.), = (6ơ, + ð.:ổ; — ổ.sổa ~ð„„ổ„)

Từ cách biểu diễn như trên, ta cĩ ;

(z.)„(,).„ =(-đ„ư,„ =ð,›ổa +ð,sổ +ð,„ð; Xổ, ổ + ổ,;ổ,; —ổ,yổ,; —ð,„ða)

= -0,,6,,0,,6,4 — 6,,6,40,:0,, + 6,,6,,6,,0, + 6,,0,,0,40,, — 6,,0,;6,,6,4 — 6,56,,0,,20,3 + 6,56,30,30,2 + 66,4040) + 5,,0,,6,,6,4 + 6,,6,,0,,0,, — 6,,6,.6,,0, — 6,,6,.0,,0,) + 5,6), 6:8 y4 + 6,46)6,29,5 — O40, O30 y2 — FO Oya -

Trang 16

Luận văn tết nghiệp ba Ồ,„¿Ư,;Ư„Ư,› + 640,020 4 + 640,030, =- 6, 40,0,40,2 (z.)„.), =(6,„ư› +ð,;ổ„ +ð,yổ, +ð,„ð; Xơ, + ổ,;ổ,„ +ð,yổ„ +ð„„ổ;;) = ư„ỗ;ư,ỗ,; + ư„ư:ổ,;ổ,„ + ổ„,ổ,yổ,;ổ,, + ổổ,;ổ,„ổ,; + 5,,6,,5,,6,, + 6,6,,6,.6 4 + 6,46,,5,,5., + 5,36,,5, 45,» + 6,,5,,5,,6,, + 5,355.8, + 5,35,5,,5,, + 5,35,,0,49,3 + 6, ,6,,0,,6,, + 0,40,,0,20,4 + 6,46,.0,,0,, + 6,46,0, 40,5 (75), Oso = (EF + 5,28) - 645s - FF MOO + F252 — Fy ~ Fra) = 6,,5,,5,,6,, + 5,552.) — 5,)5,5,,5,3 — 5,55 ,45e4 + 5,,6,,6,,6,, + 6,36,.6,.5,5 — 6,55,5, 45,3 — 596,35 ,45,4 — 5.,6,,6,,5,, — ð,›ỗổ,;ổ,; + 646,36 ,8,3 + 546,36 45 o4 — 5, 45,46,,5,, — 54540 4x8 + F e454 5383 + Ogg Org Pus Ova

Trang 17

Luân văn tốt nghiệp

PHỤ LỤC A.1.2: CHỨNG MINH r = ¿ ế,

Để chứng mình biểu thức này chúng ta sẽ sử dụng Mathematica, mặt dù việc chứng minh biểu thức trên bằng tính tốn thơng thường là khơng quá khĩ khăn và phức tạp, nhưng việc tính tốn với 50 số hạng trong biểu thức trên cũng

khá dài và mệt mỏi Trong khi đĩ, Nếu sử dụng Mathematica thì chỉ cần nhập

vào 5 biểu thức là ta cĩ kết quả

Nhập các biểu thức của x¿ (i=l,2,3,4,5) Sau đĩ dùng lênh Simplify để tính và làm gọn biểu thức xp +x} +x} +x} +x,

reir My we eT e Efe Ege Le E50 Eg ¢ Te Efe Ene Te Ege dy,

trị: Xạ =8 =ÊT *Ế¿ + €5% E54 €5% En - EG 4% 1;

tre Xs m =1 + Ệj €3 + 1 «€2 *+Ê(+ 1+ €3 ae Ey - Te Efe &o,

tri = Xã mỆI + Ệ3 + Ê2 *Ê4 + €3 *ết + €Ạ *Ế2/

Trang 18

PHU LUC A.1.3:

XAY DUNG PHUGNG TRINH SCHRODINGER

CHO DAO DONG TU DIEU HOA TRONG KHONG GIAN 4 CHIEU PHỨC

Để đơn giản, trước hết ta xét đối với khơng gian 1 chiểu phức: ễ =x+ử, ¿ =x-Ùy Hamiltonian cho dao động tử điều hồ trong khơng gian 2 chiều thực cĩ dạng : , Boe, Boek SN” 2W 7244:7181

Biến đổi các phép tính vi phân tương ứng, ta cĩ

8 ,ơ& 2ơ& ơ@& ơ@œ ,ơ ơ cơ ơ 81 8 atte +—— >) =(—-i— ti) = ORE Gx OZ ayOE xốp ốc x dy ox dy oe op

Như vậy ta cĩ thể viết lại như sau:

Ä Ở 1, se

_= 2 OBE 5% +— 2 110, Cễ

Đây chính là Hamiltonian cho dao động tử điểu hồ I chiểu phức Với hệ đơn

vị nguyên tử ta cĩ thể viết lại: 2

| @ ay 1 Ø2 ££`

20/£` 2

Tổng quát hĩa lên ta cĩ dao động tử trong khơng gian 4 chiểu phức tương ứng

Trang 19

CHUONG II

GOC EULER TRONG PHEP BIEN DOI HURWITZ

Ở chương này chúng ta sẽ xác định các giá trị đ,.ĩ,.ø, bằng cách chọn các hàm f,./,./, sao cho nĩ thoả mãn các điều kiện mà chuơng I đã để ra Sau khi tìm được các biến số gĩc này chúng ta sẽ biểu điễn Hamiltonian trong khơng gian (X;-ổ,) từ đĩ xuất hiện trường đơn cực từ Dirac trong Hamiltonian Nghiệm của phương trình Schrodinger lúc này là các hàm sĩng phụ thuộc vào các gĩc Euler, chúng ta sẽ tiến hành tách hẳn sự phụ thuộc vào 3 gĩc Euler của các hàm sĩng này Khi đĩ chúng ta sẽ cĩ các hàm sĩng chỉ phụ thuộc vào tọa độ, đĩ là nghiệm cho bài toấn nguyên tử

hydro 5 chiéu trong trường Coulomb và trường điện từ cĩ dạng thế đơn cực từ 5 chiều

II.1 Xây dựng biến số gĩc:

Ở phần này chúng ta sẽ xác định các gĩc ø,.ớ,.ø,, từ đĩ chúng ta sẽ biểu diễn tốn tử Hamilton trong khơng gian (x;,Ø,),

Dựa vào những điều kiện ở chương I, chúng ta chọn ƒ,, ý,, /, cĩ đạng sau:

Trang 20

Luận văn tốt nghiệp 9, =arge, +args, ¢, =argé, — ATBể ; (2.1) mm S252 — $151 trong đĩ: = ¥ :[0,2 7), ¢,:[0,2 x), ớ :{0, 7)

Các gĩc này trùng với kết quả của cơng trình đã được xác định trong [15]

Khi đĩ bán kính vectơ trong khơng gian x, thỏa mãn cơng thức: r=4jX4X¿ =6, (s=1,2,344) (2.2) Vì vậy, ta cĩ phương trình : thự/(r.6)= Ew(r.ĩ), ở đây tốn tử Hamilton cĩ đang 2 2 if @ ; la, Z a-{i(- oo +4460, tơ l a trong đĩ: a ina Ae are > j{cos¢?, 0 cosố, Ơ Ơ ee (= oA, * tang, hố K) PI › _ j Sin6, ơ _ sing, 8 ee as ( sing, dg, tang, d¢, THIÊN Z) (xem phụ lục A.2.3)

Đây là 3 tốn tử momen động lượng của một hạt bất kỳ chuyển động trong trường

xuyên tâm khi được biểu diễn qua 3 gĩc Euler ĩ, với

ˆ

OG, =1,: 0, =L,; 0,=1,;

Chương II: Gĩc Euler trong phép biến đổi Hurwitz Trang 19

Trang 21

Trang 22

Lúc này ta thấy vai trị của é, và £, ; & và ếy đổi chỗ cho nhau Hay nĩi cách

khác, nếu ta xem #, là £, ; ¿, là Š; thì phép biến đổi lúc này rất giống với phép

biến đổi trong trường hợp 1, ta chỉ việc thay thế x, bing -x; ; x; bằng -x; thì ta cĩ

ngay kết quả phép biến đổi mới Với trường hợp này, dạng của 3 tốn tử O, khơng

thay đổi, trong khi đĩ hệ thế vectơ 4„ chuyển thành: | A,, = —$ (X55 89-455 %y50) r(r —= x,) A, = I ia as ie ied La (2.7) | A, = rr Sy AC Tay XU Ái

Ta nhận thấy rằng hệ thế vectơ ở (2.7) và (2.4) tương đồng với nhau Sự khác nhau

ở đây là dấu của Z trên trục x; (tại điểm kì đị) Hay nĩi cách khác, đối với trường

hợp ! điểm kì dị là tập hợp trên trục Øx; trong khi ở trường hợp 2 nĩ là trục =Øx; Như

vậy, giá trị gĩc xác định ở (2.6) đã làm thay đổi chiểu của 7 tại điểm kì dị Từ đây ta cĩ nhận xét rằng: Nếu ta đặt các giá trị đ,,ø,,ĩ, thích hợp thì kết quả chúng ta sẽ tìm

được giá trị của 7 tại điểm kì dị của hệ vectơ là cả trục xs Và như vậy, kết quả sẽ cĩ

một trường thế mới với tính chất topo khác biệt như của đơn cực từ Vấn để này là để

tài của một nghiên cứu khác

IL2 Phân ly biến số gĩc:

Ta biết rằng trong phần trước, tốn tử Hamilton cĩ chứa các gĩc Euler ĩ,,#,,ø, thơng

qua các tốn tử Ơ, Do đĩ, nghiệm riêng của phương trình (1.21) cĩ chứa 3 gĩc Euler

Mục đích của chúnhg ta là tách hẳn sự phụ thuộc của nghiệm riêng phương trình

Schodinger vào 3 gĩc Euler, khi đĩ chúng ta sẽ cĩ một hàm sĩng chỉ phụ thuộc vào

tọa độ, đĩ là nghiệm của nguyên tử Hydro 5 chiểu trong trường Coulomb và trường

thế dạng đơn cực từ

Như ở phẩn trước chúng ta đã nĩi, các tốn tử Ơ, cĩ cấu trúc đại số tương tự như cấu trúc đại số của tốn tử momen động lượng trong khơng gian 3 chiều biểu diễn qua các gĩc Euler, Nghiệm riêng của @°,OĨ, là hàm cầu suy rộng „(Ø,) đối với các biến

ĩ,.ø,.ø, (hay cịn gọi là hàm Wigner)(xem phụ lục A2.6):

Ta cĩ:

Trang 24

Luận văn tốt nghiệp OG,7.6)=O Vg, 79,6) = Š g,()Ơ*ø/ (,), g^~/ Suy ra: Ở°GŒ „(.#,)= /(7 +l)G „(Ẻ.é,) (2.14) Tương tự, ta cũng cĩ: 7G, 7.0) =T, Y £, (7)9/,(6,) = > £,7)pe/,() ws =pŠSg,Œ)01(6,) = pG„Œ.#,) (2.15) 7

Đưa các phương trình (2.1 1),(2.12) vào (2.13) ta được :

(Ay FO, + 4,, (ĐƠ, + 4, 0Ơ ) Š g,00ø2,(8)= a,() „^/ a Š gu (P002 (6)

Trang 25

trong đĩ @==/,=/ +l, /ƒ =l,/, ứng với mỗi giá trị của j ta cĩ một phương trình Tập hợp các phương trình này ta được hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, hệ phương trình này được biểu diễn qua ma trân sau:

Í~a, —JAy J2/A - 0 0 J2/4, -a,-U-Ù4„ j42/-0A, 0 h, = 0 AX2/-ÌÙA, —a;-U-2)4u 0 is ` đồ ai aap Ay 0 0 0 \2jA,, —a, +jAy |

rõ ràng trong ma trận trên, các phan wy déu bing 0, trừ các phần tử sau:

(Ay ders = j(2j+2~kX&~= ĐA, (P) (h,),„ ==a,(7)=Œ+l~=k)A,ứ), (h,),, = (¡+1! —k)k4, () Để phương trình (2.16) cĩ nghiệm khơng tắm thường thì det(b, ) = 0 ( k=1.,2, 2/+l ) (2.17)

Từ điều kiện (2.17) dẫn đến một phương trình bậc 2/+/ theo ẩn a,(), từ đĩ ta tìm được z,(7) Thế a,(F) tìm được vào phương trình (2.16), ta cĩ được (2/+!J) phương

trình theo g,(?) ứng với mỗi giá trị của ^4(1,2,3.4.5) Từ đĩ ta cĩ thể tìm thành phần

khơng chứa gĩc của hàm sĩng Œ,„(Z,#,) Bây giờ, đưa (2.10) vào phương trình (1.21),

và sử dụng các phương trình (2.13) (2.14) (2.15), ta thu được phương trình:

BÍ:Z-+s.ø) +4 5 : +/U+9 -2ly, (F) = EY, (7) (2.18)

Như vậy, chúng ta đã xây dựng được mối liên hệ giữa dao động tử điểu hồ trong

khơng gian 4 chiểu phức (tương đương với 8 chiểu thực) và nguyên tử hydro trong

khơng gian 5 chiểu đặt trong trường điện từ (a9)

r

Trong phương trình (1.21) ta chỉ cĩ 5 biến số toạ độ, các biến số gĩc ứng với 3 chiểu khơng gian mất đi đã được chuyển vào cấu trúc bên trong của hạt_ goi là spin đồng vị

Ở đây, spin déng vi là cấu trúc nội tại của hạt được biểu diễn qua 3 tốn tử của phép

quay ứng với 3 gĩc ø,.đ,.ø, Nhưng trong (2.18), chúng ta đã tách hẳn sự phụ thuộc vào 3 gĩc Euler, nghĩa là tách hẳn sự phu thộc vào spin đồng vị của hạt, Phương trình

Trang 26

(23.18) lúc này là Schrodinger cho nguyên tử hydro 5 chiểu trong trường Coulomb và

trường thế dạng đơn cực từ 5 chiều

Để tìm zø,(7) chúng ta sẽ giải phương trình (2.17) Việc giải phương trình (2.17) một

cách tổng quát rất khĩ khan và mất nhiều thời gian Tuy nhiên với việc sử dụng phần mềm Mathematica chúng ta sẽ giải quyết bài tốn này một cách để dàng Vì vậy chúng ta sẽ giải phương trình này với các trường hợp cụ thể j=/,2,3,4,5 bing

Mathematica (xem phụ lục A2.8) Từ các trường hợp cụ thể này chúng ta nhận thấy

Trang 27

PHU LUC A.2.1: TINH & THEO CAC GIA TRI x, VA 9,

Trang 29

hay: & (ix, + x)+ & (, +x.) = 26, (66 +74)

ee E,= é (ix, +x,)+ Salix, +x;)

HÀ NEG +E) -

Thế các giá trị ¢),6> da tinh 6 trén, ta dude:

ct ares

by ple eG 1 2 2 3 tá Noose 2 2 ‘

Hồn tồn tương tự cho Ge „ ta tính được:

Trang 30

PHỤ LỤC A.2.2

TINH CAC DAO HAM RIENG CUA ĩ, ĐỐI VỚI #,.é}

Tinh cdc dao ham cia 9,9, déi với Ef, Từ (9) và (10): $i — plate) $2 = old) ễn ’ ấn ; Huy 446 =-iInbt, ý.=6, =-inệt Từ đĩ ta cĩ : ổ, “yee, và >, =n Suy ra: a -i tH iH az, 22° O& 26° 8, 2,' 0£ 2£" ag, _-i % i Of i 06 -i az 26° af 2° Of, 28° OG 2£" Tính các đạo hàm của %; déi với šZ ¬ø |

hp yee) ao) ue [2 € [eg

ae & 18 GE+EENEES SE+EEVEE

522

Trang 31

ơ, õ — l&Š eee Để đã tán (đế

Đ(2arc Số) lữ

xã 252 | lo -E¢, riẾt- -& ee,

Trang 32

PHU LUC A.2.3: BIỂU DIỄN TỐN TỬ HAMINTON TRONG KHƠNG GIAN (%;›:6,)

Tốn tử Haminton trong (2.2) được viết: 2 i 206,0€, 1 8 wil, 2 Bây giờ chúng ta sẽ viết lại trong khơng gian (%X¿-ố,), a Trước hết ta tính ơ£,8£,`' @ _ a, 0% 2 “Ta cĩ: eg,” a ag: Ax, ag" ag, Suy ra: Ox, 0 or, 0 8 OH 0H 2 A

OE OE OE0E ox, OF OF ox, OOF Ẵ "OE" OE Og _Ơx 0 ơx[Ơx, 2 ờ ð | ð , 234 2 _ 6; ơx, ơệ | ơ, Ox, ơ£, 0ĩ, ]ơx, 06,08, Ơĩ,

, 4 , 26, 2

0g, Z Ox, O¢, 09, ) 09,

_ Ox, 0 &, % F | % ơ_„ 06 aH, 8? “ơgơ£ Ox, OE” OE &, &, dF0E 06 dF dE, A604,

, {2 2d, , a oe â ơ

0g, Ơ£, “ae Og, ) Ox, O¢,

Bây giờ ta tính từng số hạng trong biểu thức trên:

Trang 35

_ og, Op, _ _ Of, Đĩ, + 2b; Gĩ, 3l 2> BE BE Đệ Đệ OE, OF -? Po 2 26; 26, - 26, 2é, E (r +x,)sin® ĩ,'

ơĩ, Ơ, _ ơý, ơý, _ 2ø, ơý,

Trang 36

_(l@@@Ì ¡ ¡[ 6 lss

EE, +&,€, | 26,€, 2, tế +62, 6;

| veers fo | # oi g, Ea =0

"lee +€,€; 26,8, 2ã; a +; bĩ:

9ý, Ơý, Đĩ, 0ý, 2ĩ Of, 2ý, AG, ag, OE; OE, 08; 0ặ đg OE, OE;

|j#g#@ | ¡1ï é és ễi

|e£ +ễ;Z; | 266, 26, &é +66, Vee

{Jes |i i (_& (Ee), "lee +6, )26¢, 26,| 66 +44, V4; Vay: 6/ D, = 2 ở - 2 ổ SỔ 2 2 - 4cos = ở D= (r+x,)sin' & OF (Œ+x)sind 66 r+x ơđ (r+x;)sinĩ 2426 g-| 34 56 ,„ 96 %,\ 2 2 _„ 2 8

— ơÿ, ơ£, ag 22, Jà, Độ Ox, 34,"

Trang 37

— 4

(r+x,)sin? ở,

* ĩ `

Ễ sinỶ a +0155 +616 |

Với Giina được xác định ở phụ lục A2.1, ta dược kết quả sau:

Giấc +¡ết = 2 Íeos4 ~1)x, —x, sing, sing, +x, sind, cos] (1)

Thế kết quả nay vào biểu thức tinh E,, ta dude : 2 Ea =Ðnng [x, sing, — x, cos ¢, | Gx, 06, , ax, Op, OY, Ox, Og, dx, 0g, 0g; ” 8g, a "BE 6&; 0€, d€; co if -?-Š]=- [#6 iác 6 cá lg & & St 2| đĩ £,¢; a £, = PHO Meee ee 2 a * + el 2 ĩ, PP + Saat dy D Sat Side kos S - đa hin h | ¬

_ (r+x,)sin?ĩ, Ề *; sin* a + 2-2 ie &,é, Joss 6

Thế (1) vào biểu thức trên ta được :

E,; = ns [x; + x,cotang, sin ¢, — x,cotang, cos ¢, |

Trang 38

Luận văn tốt nghiệp -( -i,¢) eS -ié, ei EE +46, NEE (66 +66 V4 | lễ Đo „ -i€,€, ee, $6; tổ? \ ég, "lee +6) Đã; ĩ, tan 2? ne

“ee “is's)+— Te ig;63) Xs

Peotan 2tan 2tan

- +x) rex x lãi Es) na ĩ, 4 ,„\ “tan” (£;£, —i¢, ễn )- 2 x, (r+x,) Với €,,4¢5 được xác định ở phụ lục A2.1, ta được kết quả sau: ~ (r + x, )sin ¢,

&,é,-&¢, = = [(c0s 4, = l)x, + x, sin g, cos¢, + x, Sin ố; sin | (2) Thế (2) vào biểu thức đang tính ở trên ta được :

2 (r+x,)

B= [- x, cos¢, — x, sing, ]

pO OG, , Or OH OH Oxy | OH, a

Trang 39

Thế (2) vào biểu thức trên ta được: —2

Œ+<) ng, [- x, cos ¢, — x, sin đ, |

nạ”

Ox, 06, Ox, By | AG, Ox, | OH, Ar

0g, 0g, tay, 0g, "8g 0g, “AE 0&,

7 i{&- & iS -Š] = 6a: GS - Z6] 2\¿ £ $ £J 2L s 1A 5/ E,, = ls.- ~ 6:8; )oos? &—i(6"e, - ~ 66; )in® 8 — in | vế ĩ; _ 4 (r + x,)sin’ ¢, Thế (1) vào biểu thức trên ta được : 2 (r+x,) Ề x sin’ + (ESE, - EE; Jos :

L x, + x,cotang, cos ¢, + x,cotanø, sin $,]

Trang 40

Luận văn tốt nghiệp ớ, ĩ, ĩ 2cotan®* 2tan™ 2tan © - (r+ x,) 2-4 r+Xx, —_2 (ste +2", J+ (r+x,) 2 ote: 2 NT T000 275v Thế (1) vào biểu thức đang tính ở trên ta được : 2 (r+x,) a [x, sin ¢, — x, cos ¢, Ì

ơx Ơĩ , Ox, OG, , AG dx, | Og, ax

6€, Og; „3 ơễ; "BE, 0g; ” 86, a 3{£ 6 8 & 1g G +;¿£) EE, Kết 2 Tí E;, = 216 6 & 6 đế SiS = - x, COs” a (;£.+£:é: | 4 (r+x,)sin’ ĩ,

Với Ế;„ế¿ được xác định ở phụ lục A2.1, ta được kết quả sau:

Eig, + £483 = -5[(cos4, -1)x, + x sing, sing, +x, sin 4, cos ,],(a

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	3,09 MB