Góc euler biến số phụ trong phép biến đổi hurwitz

BO GIAO DUC VA BAO TAO TRƯỜNG DAL HOC SU PHAM TP HO CHi MINH KHOA VAT LY ala LUAN VAN TOT NGHIEP DE TAI: GOC EULER BIEN $0 PHU TRONG PHEP BIEN BO! HURWITZ GVHD : TSKH LE VAN HOANG SVTH THU Trường +'$I-': : NGUYEN THANH SON VIEN Phạm TP HỒ-GiÍii | NIÊN KHĨA: 2001 - 2005 | | LOI CAM ON Khoảng thời gian học tập trường Đai học ngấn so với đời người thời kì quan trọng việc hình thành kiến thức lực làm việc người Mỗi sinh viên chúng em với cách học riêng tích luỹ cho vốn kiến thức, tự rèn luyện lực để sau trở thành giáo viên tốt Trong giai đoạn này, khả nghiên cứu, kha nang tự học làm việc với tập thể dẫn phát triển sinh viên Viết tiểu luận hay trình bày buổi Seminar hình thức tốt giúp sinh viên học hỏi rèn kỹ nghiên cứu khoa học Nghiên cứu khoa học trình độ cao việc viết luận văn tốt nghiệp đòi hỏi nhiều thời gian, công sức nhiều kiến thức Chính vậy, để hồn thành luận văn này, ngồi nỗ lực thân, em cịn nhận nhiều giúp đỡ thầy cô, bạn bè Cho em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Văn Hồng, thấy tận tình dẫn, truyền đạt kiến thức hướng dẫn phương pháp làm việc để em hồn thành luận văn Em xin cảm ơn thấy Nguyễn Khắc Nhạp, thấy Lê Nam tận tình truyền đạt kiến thức, cung cấp tài liệu học lượng tử Cho phép em gửi lời cảm ơn đến tất Thấy, Cô khoa truyền đạt kiến thức cho em suốt khoá học tạo điểu kiện để em hồn thành luận văn Kính chúc sức khỏe q thay cô nhà trường Sinh viên thực Nguyễn Thành Sơn MUC LUC Trang MO BAU oocccccccccssssssssssssnnsrvnsarsnnnnenernnnsnnnnnanenennnnnnoannnnannnatnnnsennsenneenne CHƯƠNG I : PHEP BIEN DOI HURWITZ I.1 Một cách tổng quát hoá phép biến đổi Hurwitz L2 Dao động tử điều hoà chiểu phức nguyên tử hydro chiều 10 Phụ lục AI.1; Hệ ma trận Dirac ¿ tính chất 12 Phụ lục A1.2: Sử dung Mathematica chứng minh = ¿ #, 16 Phụ lục A.1.3 :Phương trình Schrodinger cho đao động tử điểu hơa chiều phÚC;: :- :: -cccc 222cc CHUONG II: GOC EULER TRONG PHEP BIEN DOI HURWITZ 17 H:1-XâY dựng tiến SỐ DŨNG20602222602020010 210G 2aabso 18 LED Phe ly BIN BỒ ĐỒ GA 20226si6ssose 21 Phụ lục A.2.1: Tính Ế+ theo giá trị ¿ Ø, 26 Phụ lục A.2.2: Tính đạo hàm riêng Ĩ, {a 29 Phụ lục A.2.3: Biểu diễn Hamiltonian khơng gian (*::#,) 31 Phu lục A.2.4: Tính chất hệ vectơ 4,„(F) . - 48 Phụ lục A.2.5: Phép quay góc Euler Hàm cẩu suy rộng 50 Phụ lục A.2.6: Hàm riêng toán tử momen động lượng 35 Phụ lục A.2.7: Tính chất hệ tốn tử ĨỞ, -2-5csccccc2 58 Phụ lục A.2.8: Sử dụng Mathematica để tìm vectơ 4,(?} 60 KẾT LUẬN 22222221222121021221020201111.21111.20 63 IV 9§0:900\:79/84:/(QịiađaaididadadẰA 64 Luận văn tốt nghiệp MỞ ĐẦU Nguyên tử hydro dao động tử điều hoà hai toán học lượng tử Đây số tốn mà phương trình Schrodinger có lời giải xác Vì vậy, mối quan hệ hai toán vấn để quan tâm lớn đối tượng nghiên cứu quan trọng nhiều nhóm nghiên cứu vật lý giới (xem [1-2] trích dẫn đó) Ngồi cịn ứng dụng nhiều tính tốn ngun tử (xem {3-4]) Đặc biệt sở mối liên hệ phương pháp dai số xây dựng [5-6] phương pháp nhóm nghiên cứu khoa vật lý trường Đại học Sư phạm hướng dẫn Lê Văn Hồng Phương pháp khơng ứng dụng thành công vật lý nguyên tử [7-9], vật lý chất rắn [10], mà vật lý hệ thấp chiều [1 1-13] Bản thân tổn mối quan hệ hai toán co ban cia học lượng điều thú vị Một trường hợp riêng mối liên hệ nguyên tử hydro năm chiểu dao động tử tám chiểu thiết lập nhờ vào phép biến đổi Hurwitz [14] Khởi điểm, phép biến đổi Hurwitz 1a su thiét lập hệ thức liên hệ không gian chiều 2 2 không gian chiểu sau: X, =2(uu, +u,u, —u,u, —u,u,), x, =2(uu, —u,u, +u,u, —uyu,), X, =2(M,M; +H;M, + Hy, +M„M,}, X, = 2(M,y — W;ly — ty, + w„,) Ở đây, thấy có bất cân đối chiều phép biến đổi Trong cơng trình [15] cân đối giải cách đưa “biến số phụ” ø,.ø ø, góc Euler Lúc phép biến đổi trở thành : Trang Luận văn tốt nghiệp (X,,X; X Oy Py) €> (,,; y ) Nhờ đó, mối liên dao động tử điều hoà chiểu với nguyên tử hyđro chiều khảo sát cách cụ thể Và thật vậy, sử dụng kết cơng trình (I5| cách thêm vào góc Euler trên, cơng trình [16] da phát điều thật thú vị Đó tìm thấy đơn cực * non-abelian"” ẩn dao động tử điểu hòa đưa tốn tử Hamilton dạng tốn tử Hamilton nguyên tử Hydro Sự xuất trường trường hợp giải thích “lý thuyết topo” Khi chuyển từ không gian chiểu sang chiều chiểu cịn lại bị "cắt” Do đó, chiều cịn lại phải ẩn bên trong, đặt trưng cho spin déng vi hạt Trong luận văn này, người viết đưa lý thuyết xây dựng biến số phụ phép biến đổi Hurwitz mà trường hợp riêng góc Euler Hay nói khác đưa cách tổng quát hóa phép biến đổi Hurwitz Ngồi ra, luận văn lần đâu tiên đưa phép tách biến phụ khỏi phương trình mơ tả chuyển động đơn cực non-abelian trường Coulomb Vé nguyên tắc, biến số phụ mô tả spin đồng vị chuyển động trường Coulomb cộng với trường điện từ có dạng đơn cực từ Cho nên việc tách biến số phụ khỏi phương trình Schodinger tách phụ thuộc vào spin đồng vị hạt Với hướng phát triển trên, nội dung luận văn trình bày sau: Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Nội dung chương trước hết giới thiệu phép biến đổi Hurwitz, sau phát triển kết cơng trình [15-16] phép biến đổi để đưa lý thuyết tổng quát xây đụng biến số phụ Cũng chương này, kết công trình [16] trình bày lại mối liên hệ dao động tử chiểu đơn cực “non-abelian” trường Coulomb năm chiều Trang4 Luan van tot nghiệp Chương II: Góc Euler phép biến đổi Hurwitz Nội dung chương thiết lập biến số chương I, từ biểu diễn tốn tử Hamilton diễn tốn uy Hamilton khơng gian Dirac Sau đó, tiến hành phân ly biến số góc góc theo điều kiện đặt không gian Việc biểu làm xuất trường đơn cực từ khỏi phương trình Schrodinger sở sử dụng hàm cầu suy rộng Sau ta xác định trường xuất phép biến đổi tách biến số góc khỏi hàm sóng Kết thu phương trình Schodinger cho hạt chuyển động khơng spin déng vị trường Coulomb trường điện từ có dang thé đơn cực từ chiểu Mục tiêu việc làm luận văn thơng qua học hỏi bước việc nghiên cứu khoa học Cụ thể là: Hồn thiện kỹ tính tốn Học sâu số vấn để liên quan đến môn học lượng tử Tìm hiểu vấn để liên quan đến phép biến đổi Hurwitz, Kustannhiemo -Stiefel, vận dụng số vấn để học lượng tử để tìm hiểu phát triển phép biến đổi Trau dồi kỹ tìm kiếm thơng tin, rèn luyện kỹ đọc dịch thuật tài liệu từ tiếng Anh Học vận dụng ngơn ngữ lập trình Mathematica để xử lý số cơng đoạn tính tốn phức tạp Trong luận văn số kiến thức, tính tốn phức tạp trình bày phẩn phụ lục sau chương để logic vấn người đọc tiện theo dõi để liển mạch Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG I PHEP BIEN DOI HURWITZ Chương giới thiệu phép biến d6i Hurwitz Day phép biến đổi nhiều quan tâm đối tượng nghiên cứu có tính thời [15- I6] Đây trường hợp riêng phép biến đổi Kustannheimo-Stiefel,biểu thị mối quan hệ nguyên tử Hydro (24-!) chiểu với dao động tử điều hoà 2* chiều Trong phép biến đổi Hurwitz, nghiên cứu mối quan hệ nguyên tử Hydro chiều với dao động tử điều hoà chiểu Nội dung chương phát triển công trình để đưa lý thuyết tổng quát phép biến đổi Hurwitz cụ thể lý thuyết xây dựng biến số phụ phép biến đổi 1.1 Một cách tổng quát hóa phép biến đổi Hurwitz: Các ma trận Dirac biểu diễn qua ma trận Pauli sau : ne oa, oo -(19} ` y, =-ifa, {cid, Th i Ø, 0 ơ, o, =2 x.— a; , L0 Ta xây dựng cách biểu diễn khác ma trận Dirac sau: ¥e= BYY27s (1.1) y; =8, Với cách đặt ta tính được: z.“[L ) ( I ma trận đơn vị cấp ) Đối với ma trận Dirac, tính chất biết như: Chương l: Phép biến đổi Hurwitz Trang Luận văn tốt nghiệp Te oe Y.Y⁄\, +Ƒ¿y, =2ð¿Ï , (1 ma trận đơn vị cấp 4) (1.2) để sử dụng tính toán cụ thể, phẩn phu lục A.I.l ta chứng thêm tính chất quan trọng sau: W.)„,)„ = 2ð„ð„ —ơ„ỗ„ =2P„7„ đó: Z„ =,7; ma trận phản đối xứng Bây ta thực phép biến đổi sau : x, ~ Ey, )uế, (1.3) ó,= /(6) (s,t =1,2,3,4) a6: €, ¢, 1a cdc bi€n cia khong gian chiểu phức; & „ liên hợp phức é,; //(£) hàm số tùy ý theo biến phức Với cách đặt vậy, giá trị X; xác định tường sau: x, =-16,6, -16,6, +1656, +1646), *; = đê + +ếy “cõi, x, = ~16)&, +1856, + 1656-18), x, =G 6,466, + GE, +45, x5 = 616, +626, - 2365 - Sabu (1.4) Đây cách viết dudi dạng phức phép biến đổi Hurwitz Còn biến số phụ đ,.ø,.ø, đưa vào cách tổng qt hố phép biến đổi Trong cơng trình [I5] góc đưa cụ thể định nghĩa góc Euler sử dụng cơng trình [16] để thu kết vật lý lý thú Trong phẩn ta đưa lý thuyết tổng quát xây dựng biến số phụ Hay nói khác ta đưa tiêu chí để xác định hàm số ƒ(È) Một tính chất quan trọng phép biến đổi Hurwitz Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang Luận văn tốt nghiệp cho ta hệ thức liên hệ khoảng cách không gian chiểu khơng gian chiều Tính chất liên hệ qua đẳng thức : r=jx,x, =£/ẽ, (s=12.34) (1.5) chifng minh bing Mathematica phan phu luc A.1.2 Bây ta xây dựng toán tử vi phân bậc không gian € , cho chuyển khơng gian thực phụ thuộc vào biến số phụ ø,.ớ, Để ta phải có điều kiện định cho hàm //(£) (i=1,2,3) Điều kiện /(Z) phải thoả mãn phương trình sau: 62g De = 216, ðệ, ””ơ£, (1.6) Từ điều kiện này, xây dựng toán tử Ï): ˆ T, = 1l: ———— — es ae |] 2p” =—Ì— (1.7) Điều kiện hàm /(£) (i=l,23 ) số: 76.3 L8 +e 0g, ễ, | |6 3) Sễ Si phải chọn cho hàm phụ thuộc vào biến số góc, khơng phụ thuộc vào biến X; hay nói khác hơn, ta kí hiệu sau: B;(6.4„#)=~27.|£ = Bb.) =i7 4£ a #) -&€ (1#) 3) Với điều kiện (1.8) nhờ vào tính chất phản đối xứng ma trận 77 ;, xây đựng toán tử 7,,7, nhu sau: Panis Chương I: Phép biến đổi Hurwitz mai Kà Trang Luận văn tốt nghiệp TÏ= Lr |*£-£‡)*a dễ, — ế, =" Các toán tử T, [ T= (Ø,.Ø;, Ace ag, (1.9) tạo thành hệ đại số kín thỏa mãn hệ thức giao hốn sau: S74 we (1.10) Từ (1.10) xem biến số ¢,,¢,,¢, nmhu góc Euler tng với toán tử phép quay ?),?,.7?, Đối với góc Euler , cần phải xây dựng tốn tử Ơ,,Ĩ,.Ơ, [17] cho: lƠ,.Ơ,]=¡=„Ơ, [7 Ó,]=0 TT,=0,0,=0 (1.11) Việc rõ sách giáo khoa géc Euler [17] Cu thé 1a tìm tốn tử Ĩ,.Ơ,.Ĩ, từ tốn tử TTF cách thay đổi biến số góc sau: ó, ‹c> ó, , ó, = -ó, ’ Như vậy, tốn tử Ơ,.O,.Ơ, xác định cơng thức: Ĩ, Ơ, = ~iB; (9, 9, -@,) = -iB; =-i co($, ge iB OA oiei rô B67" “Og 1B; › (Ø; ớ, Wa jo đa ae, es iB; (ó;.ó, "hàn (1.12) Bây tìm tốn tử động lượng khơng gian Sử dụng (1.3) qua vài phép biến đổi ta được: Lol 622-4 0g, với: £:)- San “ a {2od, (r ore) Og, cất] (1.13) (1.14) Từ (1.13) viết tốn tử động lượng sau: Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang