Vành các tự đồng cấu và nhóm các tự đẳng cấu

Trang 1

Y- L690v

BO GIAO DUC - DAO TẠO _

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHƠ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN 9()O LUAN VAN TOT NGHIEP PAI HOC CHUYEN DE : DAI SO ĐỀ TÀI

VANH CAC TU DONG CAU

Trang 2

LOI NOI PAU

Ludn van tốt nghiệp là kết thúc quá trình đào tao ở trường đại học

nhám giúp cho sinh viên nấm lại hệ thơng các kiến thức đã học, cũng như

tảng cao thêm một bước về cách nhìn nhân và giải quyết vấn đề thực tế

bảng những kiến thức đã được trang bị trong thời gian học tập ở trường cũng như ở ngồi đời Từ đĩ bước vào bất nhịp với cơng việc trong nghành ngồi thưc tc

[Luận văn tốt nghiệp là nghiên cứu đầu tiên của em,trong đĩ bản thân -

cm: tứ lực là chính, nhưng bên cạnh đĩ cũng được sự chỉ dẫn của thấy cơ

trong khoa Tốn và sự đĩng gĩp ý kiến của bạn bè đặc biệt là sự hướng dẫn

tản tình của thầy giáo hướng dẫn MY VINH QUANG Ngồi ra, ngày hồn

thành luận văn hơm nay cịn gắn liền với cơng lao to lớn của cha me,anh chi và người thân đã giúp đỡ và động viên em trong suốt khĩa học.Em xin chân thanh cam on va ghi nhớ cơng lao đĩ

Mặc dù, cĩ nhiều cố gắng song kiến thức và thời gian cĩ hạn nên chấc rằng luận văn cĩ nhiều sai sĩt Em rất mong nhận được sự chỉ dẫn của các thầy cơ ở trường

Trang 3

MUC LUC

Trang

Lời nĩi đầu

Chương | :Các khái niệm cơ ĐẾN: c2 2c 2e sa 01

Chương II : Các tính chất của các tự đồng cấu - các tự đẳng cấu (04 I Nhĩm và vành các tự đồng cấu của nhĩm abel 04 2 Nhĩm các tự đẳng cấu của nhĩm abel 05

` X11 seed 06

Chương [II: Mơ tả End - Aut của các nhĩm và vành H I Mơ tả End- Aut của các nhĩm đặc biệt II

2 Mơ tả End- Aut của nhĩm Šz 18

3 Mơ tả End- Aut của nhĩm # 23

Trang 5

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS MY VINH QUANG

Chương I : CÁC KHÁI NIEM CƠ BẢN 1.Nửa nhĩm: Một tập hợp khơng rỗng X cùng với phép tốn 2 ngơi kết hợp đã cho trong X gọi là một nửa nhĩm Một nửa nhĩm cĩ phần tử đơn vị gọi là một vị nhĩm 2.Phần tử khả nghịch: Cho (X,.) là một vị nhĩm, ta nĩi:

¡.ueX khả nghịch trái nếu 3 ve X: v.u = I li u eX khả nghịch phải nếu 3 veX : u.v = Ì Ii.ueX khả nghịch nếu 3t eX : tu = u.t= Ì

Như vậy, u khả nghịch khi và chỉ khi u khả nghịch trái và u khả nghịch phải Thật vậy, (=) Vu eX = 3u '`eX (do u khả nghịch) uu” =e(X là vị nhĩm) { u lu =e Do đĩ u khả nghịch trái và khả nghịch phải (=>) Vu €X => JujeX: uu =e ( dou kha nghịch trái ) => 3u.€X :u,u,;=e

Ta cĨ: uu¡ = e(uu¡)= (u› u¡) (u u¡)= 0;(UU)U, =UyU¡=€ Vậy 3u;eX : uyu =u u¡ = e Do đĩ u khả nghịch 3.Nhĩm: Nhĩm là I vị nhĩm trong đĩ mọi phân tử đều khả nghịch 4.Nhĩm abel: Nhĩm X được gọi là nhĩm abel ( nhĩm giao hốn ) nếu phép tốn trong nhĩm X giao hốn ‘ 5.Nh6m con:

Giả sử X là một nhĩm.Tập con khác rỗng A của X gọi là nhĩm con của nhĩm X nếu A ổn định đối với phép tốn trong X và A cùng với phép tốn

Trang 6

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS.MY VINH QUANG

Ký hiệu : AcX

Nếu ta ký hiệu x`Ax =4x !ax / acẤ ? thì nhĩm con A là nhĩm con chuẩn

tắc khi và chỉ khi xAx c Á, VxeX

7.Tâm của nhĩm X :

Cho X là một nhĩm Ký hiệu tập con của X là:

Z(X) =$‡ae X fax =xa, V xeX } gọi là tâm của nhĩm X vữ Z(X) là

nhĩm con chuẩn tắc của nhĩm X

Thật vậy,giả sử a,be Z(X), khi đĩ V xeX, ta cĩ :

® (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab) => ab € Z(X) ® xa =ax = ax =xa"' =a'cZ(X) Do đĩ : Z(X) là nhĩm con của X Mặt khác : x Ìax = xÌxa = a e Z(X) Vậy Z(X) là nhĩm con chuẩn tắc của nhĩm X 8.Vành:

Vành là tập hợp X cùng với phép tốn cộng và phép tốn nhân đã cho

trong X thỏa các điều kiện sau:

¡ X cùng với phép cộng là nhĩm abel

ii X cùng với phép nhân là nửa nhĩm ii Phép nhân phân phối với phép cộng

VX,y,Z € X tạ CĨ: ;X (Y+Z) = XY + XZ

(y+Z) X = YX +ZX

Nếu phép nhân trong X giao hốn thì X là vành giao hốn

9.Ước của khơng:

Giả sử X là vành giao hốn phẩn tử ac X khác khơng gọi lđ ước của khơng

nếu tổn tại phần tử beX khác khơng sao cho ab = 0

10.Miễn nguyên:

Một vành giao hốn cĩ đơn vị, cĩ nhiều hơn một phần tử, khơng cĩ ước

của khơng được gọi là miền nguyên

11.Trường:

Vành giao hốn cĩ đơn vị, cĩ nhiều hơn một phần tử , mọi phần tử khác khơng đều khả nghịch ( đối với phép nhân ) gọi là trường

KHOA TỐN K.96 SVTH: NGUYEN THI TUYET SAM

Trang 7

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG

Như vậy tập X cùng với phép cộng và phép nhân là một trường nếu và chỉ néu :

i X cling phép todn cộng là nhĩm abel

ii X” = X\ {0} cdng phép todn nhan 1a nhém abel

iii.Phép nhan phân phối phép cộng 12.Đồng cấu nhĩm :

Một ánh xạ f từ nhĩm X đến nhĩm Y gọi là đồng cấu nhĩm nếu f bảo tổn

phép tốn, tức là:

f (x.y) = f(x) f(y), V x.y € X

Một đồng cấu f từ nhĩm X đến nhĩm X gọi là một tự đồng cấu của X Một đồng cấu đơn ánh gọi là đơn cấu , một đồng cấu tồn ánh gọi là tồn cấu, một đồng cấu song ánh gọi là đẳng cấu, một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu Nếu tổn tại một đẳng cấu từ nhĩm X vào nhĩm Y thì ta viết X = Y và nĩi X và Y đẳng cấu 13 Đồng cấu vành: Một ánh xạ f từ vành X đến vành Y gọi là đồng cấu vành nếu f bảo tổn các phép tốn Tức là: V x,y € X, ta cĩ: f (x + y) = f(x) + fly) f(x.y) =f(x) fly)

Một đồng cấu f từ vanh X dén vanh X goi 1A mot nf déng cau cia vanh X Một đơng cấu đơn ánh gọi là đơn cấu, tồn ánh gọi là tồn cấu, song ánh

gọi là đẳng cấu Một tự đổng cấu song ánh gọi là tự đẳng cất

Nếu tơn tại một tự đẳng cấu f từ vành X đến vành Y thì ta viết X z Y và nĩi X và Y đẳng cấu

Trang 8

CHUCNE i

CAC TINH CHAT CUA

CAC TU BONG CAU

VA CAC TU BANG CAU

Trang 9

Chương II : CÁC TÍNH CHẤT CUA CAC TY DONG CẤU

CÁC TỰ ĐẲNG CẤU

I.Nhĩm và vành các tự đồng cấu của nhĩm abel : 1.1 Định nghĩa:

Cho X là một nhĩm cộng abel Ta gọi End(X) là tập tất cả các tự đồng

cấu của X và ghi là :

End(X) = {f: X => X/ f là tự đồng cấu của nhĩm X }

1.2.Ménh dé :

Giả sử X là nhĩm cộng abel và End (X) là tập tất cả các tự đồng cấu của

X.Trong End (X) định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau :

Trang 10

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG b (End) (X), + ,.) là vành ® (End (X),+ ) nhĩm giao hốn (áp dụng câu a), e (End (X), ) là nửa nhĩm v f.g.h e End (X): f(gh) = (f.g).h se Luật phân phối: v f.g,h < End (X) ta cĩ :r f (g + h) = F.g + f.h Lis +h)f=g.f+h.f Vậy ( End (X), +,.) là vành 2 Nhĩm các tự đắng cấu của nhĩm abel : ^./ Định nghĩa: Cho X là nhĩm cộng abel /Ta gọi Aut (X) là tập tất cả các tự đẳng cấu của X và ghi là: Aut(X)= { Ê X —» X/f là tự đẳng cấu của nhĩm X } 2.2 Mệnh đề :

Giả sử X là một nhĩm cơng abel và Aut (X) là tập tất cá các tự đẳng cấu

Trang 11

ePhan uf dn vi: €

e Phần tử khả nghịch: u '<U(X) ,VueU(X)

b.U(End (X)) = Aut(X)

® Aut(X)C L(End(X))

Vf€e Aut(X) = F là song ánh

= 3f'eAut(X) do f(x+y)= fÌ(x) +f!(y)

Thật vậy ,giả sử: f'(x+y) = f'(x) +f`\(y) © ff'(x+y)= ff'(x+f!y)) Do f đồng cấu nên (x+y ) = £f'(x)+ ff'(y) <> X+y =x+y(h.nđúng) => fe U(End (X)) e U (End(X) ) c Aut (X)

Vv feEnd (X), do U(End (X)) la nhém nhân (do câu a)

=> 3f~' € U(End (X))sao cho rf f “'=ex

ie x =ex

=> fla song anh hay f € Aut (X)

Vay U(End (X)) = Aut (X)

3.Các mệnh đề: 3.1.Ménh dé :

Giả sử X,Y là vành và f: X->Y là đẳng cấu vành Khi đĩ f/ U(X) cảm sinh

đẳng cấu nhĩm F : U(X) -> U(Y') Chứng minh: Giả sửf:X ->Y là đẳng cấu vành x +> f(x) Khi đĩ f/ U(X) cảm sinh ra đẳng cấu nhĩm F:U(X) — U(Y) x + F(x)=Í(x) Thật vậy, s F là ánh xa: vx © U(X) > axe U(X) =>3!f(x')e U(Y) Mà f(x) f(x `) = f(x x"') = f(1) = 1 (do f là đổng cấu vành) => f(x) € UCY) hay F(x) € ULY) e Flà đồng cấu nhĩm

Vv xy € U(X), F(xy) = f(xy)

= f(x) f(y) (dof la déng cấu vành)

= F(x) F(y)

Trang 12

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG e F ja don anh Gia sf F(x)=F(y), V x,y © U(X) =f(x)=f(y) => x=y (dof đơn cấu) e F là tồn ánh: VyeU(Y),3x=f"'(y)eU(X) : F(x)=y That vay , Vye U(Y)>3y™ cU(Y) =3!f(y Ì)eU(X) Mà f(y).f(y `) = f(y y ”)=f(1) = l =f '(y) =f@") => f(y) e UX) Mặt khác : F(x ) = f(x) = f(f ~' (y)) =(f.f"' My) =y Vậy F là đẳng cấu nhĩm 3.2.Ménh dé :

Giả sử X là nh6m va a € X khi do:

f:X->X là 1 tự đẳng cấu của X và cịn gọi là tự đẳng cấu trong củaX x> axa ` Chứng minh: e f, là đồng cấu V x,y eX, ta cơ: f, (xy) =axya” = (axa”) (aya’) = f, (x) f,(y) ef, 1 đơn ánh Giả sử f, (x) = f,(y), V x.y € X = axa” = aya ` => x = y( vì trong nhĩm cĩ luật giản ước) e f, là tồn ánh vVyeX,3x=aya eX:f, (x) = f, (a`ya) = a(a'ya) a” = y Vậy f„ là một tự đẳng cấu của X 3.3.Ménh dé :

Gọi In (X) Là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu trong của X Khi đĩ:

a In (X) là nhĩm con của Aut (X)

b.X/⁄Z(X) z In(X)

Trang 13

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY_VINH QUANG Chifng minh: a In(X) là nhĩm con của Aut (X): Ta cĩ: ef, f, = far ¥ abe X That vay , YxreX: f,.f,(x) =f, (f, (x) = f, (bxb") = a(bxb")a’ = (ab) x (ab) = luw(X) e(f,)' eIn(X) Thật vậy, YaexX: f,:f, =f, = [;= Lin (x) Do đĩ : (f,)' © In (X) Vậy In (X) là nhĩm con của Aut (X) b X/Z(X) = In(X) Ta cơ: Z (X) = {a e X/ax = xa, V xe X} Xétf:x -> In (X) ar Í, Khi đĩ : e ƒ là đồng cấu vì: VabexX, tacdé:f(ab) = fy = f, f, =f (a) f(b) e f là tồn ánh vì: Vf, e In(X), luơn 3 a e X dé f (a) = fy Do đĩ f là tồn cấu nhĩm

Trang 14

eZ(X) c Kerf vi: ae Z(X) : ax = Xa ,V xe X xe X “Ta cĩ : f(x) = axa ˆÌ =x =>fÍ,=ld => a €é Kerf Vay X/Z(X) = In(X) Moi vành đều cĩ thể những vào vành các tự đồng cấu của nhĩm (X,+) Cụ thể ta cĩ mệnh để sau: 3.4.Ménh đề : Giả sử X là vành và a c X Khi đĩ: a.h„: X -> X là tự đồng cấu của nhĩm cộng của vành X Xx ax b Anh xah: X — End(X) 14 don cau vanh are h, Chifng minh:

a h„ là tự đồng cấu của nhém (X,+), thật vậy:

Vaec X,YV x,y € X, Ta cĩ: h; (X + y) = a (X + y)

= ax +ay

=h, (x) +h, (y) Vay h, € End (X)

b h là đơn cấu vành ,thật vậy:

Trang 16

CHUONE I

MO TA END- AUT CUA |

CAC NHOM VA VANH -

Trang 17

Chương IH : MƠ TẢ END - AUT CỦA CÁC NHĨM VÀ VÀNH

1 Mơ tả End ~ Aut của các nhĩm đặc biệt : 1.1.Định lý I : (mơ tả End (Z)) End (Z)=Z Xét k : End (2) —> Z f ee fl) Khi đĩ k là đẳng cấu vành , thật vậy: se k là đồng cấu vành : V fig e End (Z): k(f+ g) = (f+g)(1)= f(l)+g(1) k(f.g) = (fg 1) = f(g(l)) = Í(l)g(1) = k(f).k(g) ek là đơn ánh Giả sử Y f.g e End (Z): k (f) = k (g) => f(l) = g(l) =>VncZ:f(n.l) = nf(l) = ng(l) = g(n) =íng ® k là tồn ánh vVaecZ,3fe End (Z7) sao cho : f (1) = a = k (Ð Thật vậy , chọn f: Z -> Z x ax Khi d6:f 1a of ding cfu cha nhĩm(Z,+)của vành Z(mệnh để3 4,C.II) Vay End (Z)= Z

Ap dụng bổ để 2.3 chương II ta cĩ hệ quả sau :

Hệ quả 1.1 :(mơ tả Aut(Z))

Aut(Z) = Z>

Thật vậy,ta cĩ : End(Z) =Z(dinhly 1.1)

= U(End (Z)) s U(Z) = Z = {-I,1} =Z; (Mệnh để 3.) => Aut(Z) z 2 (bổ để 23)

Trang 18

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG 1.2 Định lý :(mơ tả End(Z, )) End(Z„) = Z2, Xétm:End(Z,) -> Z2, f b> f(T) Khi đĩ ¿ là 1 đẳng cấu vành , that vay: ® ¿ là đồng cấu vành : Giả sử Vf,g c End (Z„): @(f +g) = (f+g)(Ï)= f(T) + g(T) = 0(f)+ @(g) @(f g) = (f.g)(Ï) = f(g(T)) = f(g(T) 1) = (f) o(g) ® ¿ơ là đơn ánh Giả sử Vf,g ¢ End(Z,): @( = o(g) => f(T) = gí() =>V m €Z,:f(M) = mf(T) = mg (Ï) = g(m) ® ( là tồn ánh: V đ cZ„,3fe End (Z4) : f(Ï) = fđ = ọ (D That vay, chof: Z, + Z, kw mk Khi đĩ : + f là ánh xạ do : giả sử k,= k; © k; + nZ =k;ạ +nZ =(k,-k;) in => (mk ;- mk;):n = mk, = mk» => f(k,) = f(k2) + f là đồng cấu nhĩm do: V K; Ă; eZ„, ta cĩ : fK,+k;)= f&k; + k;ạ) = mŒ ;+ k;) = f(K,) + f(k2) Vay End(Z,)= Z, Hệ quả 1.2 :(mé ta Aut(Z,)) Aut(Z,) = Z,

Với Z„` là nhĩm nhân với các phần tử khả nghịch trong Z„

KHOA TOAN K.96 SVTH: NGUYEN THI TUYET SAM

Trang 19

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG That vay, End(Z,) = Z, (dinh ly 1.2) —> U/End(Z,)) = U(Z,) = Z" (ménh dé 3.1) => Aut(Z,) = Z,” (bb dé 2.3) 1.3 Định lý : (mơ tả End(Z”)) End (Z") = M,(Z) Với M, (Z2 ) là tập các ma trận cấp n hệ số € Z Xéte, =(l/0, OE Z" €2: SN sec 0)cZ G (ke ss««x Ibe Z" Voi fe End ( Z" ), ta cé: f(t¡) = ( ai: ¬-— đạ) c2" f(s) = (+ ty) EZ" f(y) Z ( 8ia« đạp ) € Z : Läp tưởng ứng 6 ; End (Z”) —» M, ( Z) ! be A= địt « địp đ3ị- đạn € M,( Z) đại ~ -: don Khi đĩ : ® 0 là ánh xạ Thật vậy, giả sử: f = g, V f,g c End (Z°) =f(e,)=g(e,), Vi => A,= Ag e 0 là đồng cấu vành Thật vậy, V f,f © End (Z"), ta c6: f(€;) = ( ayy đại) f(e›) = (â\+ Ay?) = (€,) = ( địg« -~- + đạn ) Và f (e)) = (By, * bại )

KHOA TỐN K.96 SVTH: NGUYEN THI TUYET SAM

Trang 20

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VIN NG

(+ f)J(e¡) =f(e¡}+ f(e)) = (ay)+ by) anit bey)

(f+ f Ke,)= [(e›)+ f(e›} =(ais+ Bị: aạy+bạ›)

(f +f len) = fley)+ Ê (€¿) =(Ais+ Diners dantDan)

aii+ by, esenbee aiz+b;„

a›¡‡ bày ksessee2 asa+Đ» => (Í+f)= A,vi'= : đạị¡+ bat daa nats anotb, địt ‹- địn bị; la nsee bạ Boy veces os bo) ái b>, = + đạt- -«- Aon bại Das = Ay + Ay’ (ff Mey) = f (IỔ 5A6 643esosees a„¡) = (ane Xa + Bạt tạ)

= a, f(e,) Pccnnes + ay: f (e,)

Trang 21

e 61a todn cau:

VAEM, (Z),A = Đy bái Qin

| Đ6ys-<-Ưe |

Chọn đồng cấu f sao cho f(e;) = ( aiy, đại)

f(e,) = ( ajg, -» Aan ) =O0(fHM=A e612 don cau: Vfekeré J Ay = 0 => f(e) =0, Vi= 1,2, n Vx=(% x.)cZ" —xXx = Xị€i¡*+ penaneews X45 Cy = f(x)=2x/f«) =0 >f=0 “ Vay End (Z")= M, (Z) Hé qua 1.3 :(mé ta Aut(Z")) Aut(Z") = M, (Z) Với M,`( Z) là tập tất cả các ma trận khả nghịch cấp n cĩ hệ số cZ Thật vậy, ta cĩ : End (Z°) z M, (Z) (định lý 1.3) = U(End (Z°)) z U(M,(Z)) = M,` (Z) (Mệnh để 3.1) = AutZ°) z M,`(Z) (bổ để 2.3)

Ngồi ra , ta chứng minh : M,` (Z) = {A € M, ( Z), det(A) = + 1}

Trang 22

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: VINH NG 1.4 Định lý : (mơ tả End(Z”,„)) End (Z”„) = Ma(Zm) Với M, ( Z„„) là tập tất cả các ma trận cấp n cĩ hệ số € Z„„ X6te, = (LƠ O) € Z'm 6c 8 Nay Lela Với f < End (Z”„), ta cĩ:

f(e,) = (fi, gessébeses 4:1) ¢Zm

f(e,) = ( Biar —._ÿ đan ) € Zi Lập tương ứng Ð : End (Z „) -> M, (Z„) f — Ay = ay) si” ato € M, (Zm) Ni x=: Khi đĩ : 6 là I đẳng cấu (chứng minh tương tự như định lý I.3) Vậy End(Z „) z M; (Z„) Hệ quả 1.4 :(mơ tả Aut(Z"„)) Aut(Z„) = M, (Zm) Với M,”(Z„) là tập tất cả các ma trận khả nghịch cấp n cĩ hệ số e Z„ Thật vậy, ta cĩ : End (Z„) = M,(Z„) (định lý 1.4) = U(End(Z'„)) =U(M, (Z„)) = M,”(Z„) (mệnh để 3.L) = Aut(Z„) z Mạ (Z„) (bổ để 2.3) 1.5 Định lý :(mơ tả End(Q)) End(Q) = Q VaeQ Ta định nghĩa f,: Q -> Q œ > Í, (Œ) =aœ Khi đĩ f, là đồng cấu nhĩm, tức là : f, e End(Q) Thật vậy, Vơ, c Q ta cĩ : f(œ+ Ð) = a (œ+) =aa + af = f(a) + f(B) Xétw : Q — End(Q) are f,

Khi d6 : y 1a dang c&u vanh ,that vay :

Trang 23

e y la déng cdu vành do :Va,beQ ,ta cĩ :

/(a+b)(œ) = Í;„»(œ)= (a+b)(œ) = aœ + bœ = a(œ)+f› (Œ) = (f, - f,)(œ) = ((a) + /(b)) (œ) \(a.b)(œ) = fap(œ) = (a.b)(œ) = a(b(œ )) = f, (fp(œ)) = (f, f,)(c) = (w(a) w(b)) (a) ey là đơn ánh do :giả sử Va,beQ :w(a) = (b) © f, = f, = f, (1)= f,01) => a = b ew la toan anh do: Yge End(Q),Ja= g(1) eQ saochof,= g Thật vậy, ta cĩ : g(m) = mg(1), VmeZ n&(‡)= sÍn2)= gín)= me() =#(7)=7 s(l)=2a=/,() >f, =g Vay End(Q) = Q Hệ quả 1.5 : (mé td Aut(Q)) Aut (Q) = Q’ Thật vậy, ta cĩ : End(Q) z Q (dinh ly 1.5) = U(End(Q)) = U(Q) = Q” (mệnh để 3.1) => Aut(Q) z QÝ (bổ dé 2.3) 1.6 Định lý : (mơ tả End(Q')) End(Q") = M,(Q) Với M;(Q) là tập các ma trận cấp n cĩ hệ số €Q (Mơ tả tương tự khi mơ tả End (Z°))

Trang 24

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS.MY VINH QUANG 2 Mơ tả End - Aut của nhĩm 22

2.1.Định nghĩa và tinh chai cia nhém ¥2

2.1.1.Binh nghia ~

Z là vành các số nguyên, ta gọi ŠZ là tổng trực tiếp đếm được của các

vành Z, tức là : ~

yz =$ (ât, â, ) /a,eZ , chỉ cĩ hữu hạn các a, + OF Với phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau :

Vía,, aa ) „ (Đị, » Ui ) E>, 2

Ta cĩ : (ai, e2 sec.) GB ccc Bc.ä

(N6 es Aiea Dass) mg D6 8c.Ð 2)

2.1.2.Tính chất :

&z là một vành cùng với phép tốn cộng và phép tốn nhân được định

nghĩa như trên 2.2 Định nghĩa và tính chất của vành M „(2) : 2.2.1 Định nghĩa : M,(Z) la tap các ma trận cĩ dạng : A =rzdit địa đạt ‹ đạp

Trong đĩ cột j , Vị = 1,2, chỉ cĩ hữu hạn phần tử {a,Ì,~.›, #0

Trong tap M,(Z) ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau : VA = [ay] , B = [by] ¢ M.(Z) Ta cĩ : s Phép cộng : (cộng thơng thường ) (A +B) = Š la + bu] M-(Z) e Phép nhân : " (A.B) = >, dix - Dy e M,(Z) Định nghĩa phép nhân hợp lý vì :

s(A B), xác định vì cột j của ma trận B chỉ cĩ hữu hạn phần tử # 0

nên tổng trên thực chất là tổng hữu hạn

Trang 25

Chon no = max fn, My } = a =O, Vi2m,lsjsm + Sai, b, Khii2nothi > a, b„ là tổng các phẩn tử cột j cba ma tran (A.B) và dịng = no ~ Tacé: a, =0, Vis fsm => Sa bạ Ta cĩ :(A.B),= >a, b = t Mm: ° -* 0 b, 0, ¥£2m,(dol) > Ya,.b, = 0 fom, +! => Ya,.b,=0 => (A.B), = 0,Vi2m fal

= Các phần tử trên cột j của ma tran (A.B) cĩ dèng > nạ đều = 0

= Cột j của ma trận (A.B) chỉ cĩ hữu hạn phần tử khác 0O

Vay YA,B e M,(Z) thì (A.B) ¢ M,(Z) 22 2 M,(Z) la một vành cùng với phép cộng và phép nhân được định nghĩa như trên Thật vậy , e®@(M„.(Z), +) là nhĩm với :

- Phần tử đối của ma trận Ae M.(Z) là -Ae M.(Z) - Phần tử đơn vị là ma trận O20 cuc Q «xe Ree — — ® (M„(Z), ) là nửa nhĩm ; VA,B,C e M,(Z) A(B.C) = (A.B)C se Luật phân phối : vVA.B,C € M.(Z) A(B +C) =AB+AC (B+C)A=BA+CA

2.3 Mơ tả Aut - End của nhĩm yz ỳ 2.3.1.Định lý :(mơ tả End( Ezy

End( >z) = M.(Z)

Với M„(Z) là tập tất cả các ma trận được định nghĩa như trên

KHOA TOAN K.96 SVTH; NGUYEN THLTUYET SAM

19 Tus -VIEm :

Tương Leet Mới, Ti eee j

ve peer sa oe

Trang 26

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG Thật vậy,Xéte, = (I,0 6 ) cŠZ Se # (QViÌ¿, «¿ Gas) e2? Ge = OO anne xÌy ):€ 22 Với fc End(Š z ), ta CĨ: 2 f(e,) = ( ayyyos.s „ đạis ) € 22 f(e>) = (aj>, s Ẩn2?„-‹ -< )€ 22

f(e,) = ( địa; * dan k *ˆ ) € yz

Trong đĩ hàng j ,Vj =1,2 chỉ cĩ hữu han phan tử ‡a„?, ›_ #0 Lập tương ứng 9 : End (2?) -> M„(Z) f B>— Á; =[âig địn 7 đạa đạn : c M„(Z) đại - đạn e Lá Khi đĩ 8 là đẳng cấu vành, thật vậy : +Ð là ánh xạ : Thật vậy , giả sử: f = g, V f,g e End(Š?) =f(©) = g(e), Ví => Ar — A, +9 14 déng cfu vanh Thật vậy, V f,f e End G2), ta cĩ:

f(e¡)= ( âu, eesesẻ » Antes) f(e>) — (ay, inane „ Ân?, )

[(€a) = ( 8n Aaao )

Vị = I,2, chỉ cĩ hữu han phần tử 4 ay È¡ „i2 #0

KHOA TỐN K.96 SVTH: NGUYEN THI TUYET SÂM

Trang 27

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP VHD: V UANG

Và [(e;) = thị, ¿4ư Da (ices )

f (+) = (bịa, 3s )

fie) — (Đyz„ Dons)

vị = I,2, chỉ cĩ hữu hạn phần tử ‹ bạÌ,.ià #0

(+f)(ej)= fej)+(ej)= (ai+ Bịy, aại+Bạ¡ ) (f+f Wes) os Í(e›)+ f (es) = (a¡s+ b)> 7 a„++bạ› ) _ :

(Í+Ÿ tg)= f(eg)+ F(eạ) = (aig+ Địp asg+Ðạs, )

rayy* bi; anehaste 8is*Đ\a 1

83+ Đạy, 8+a+b»„

=(f+f)= A,.„e ={

ne Dat eonsece taa+b¿

By y - Aig bị; acceso Siew

Boj Ary « b>; v6susk Banca: 7 : + : đat -. đnn bai da} Đạp = Ay + A? = O(f) + O(f) r(f.f le;) = f tÀ (tk » Agiy-.)

= f (aye Tt —=.—— + Bai &n,-.)

= af(e;) + + ay, f(e,) +

‹ =_ (aĐyi+ + ag dug + 081) Dg + % Agr Dan )

(fNgìm CB.“ , 8a)

| =_ ( âaigĐit+ + AanÐys+ AtsÐzi+ +4sgÐà+ )

KHOA TOAN K.96 SVTH: NGUYEN THI TUYET SAM

Trang 28

ayy byte agi Dint œ sài 8i„ĐÐ¡¡+ + đasÐ¡„+ => Ð (f, f) =Ay =

8iiĐz¡+ + Agi Dant - aisbai+ +aa»Ða»+

Ơ{H|sosec=-<< địa bị; 6esðsz2 Din

Trang 29

Áp dụng bổ để 2.3 chuong II ta c6 hé qua sau :

2 3.2 Hệ quả :(mơ tả Awf( Š 2 )) Aut(Šz) z M ,(Z) Với M', (Z) là tập tất cả các ma trận khả nghịch trong M„, (Z) That vay, End(£7)= M,(Z) (định lý 2.3.1) = L(End( #z)) = U(M,(Z)) = M”,(Z) (mệnh đẻ 3.1) = Aut( ŠZj z M”, (Z) (bổ đẻ 2.3) 3.M6 ta End — Aut cua nhĩm Œ„ 9 (C ) 3.1 Định nghĩa và tính chất của nhĩm œ : 3.1.1 Định nghĩa: — - «„ = LJ<£ g> (với p là số nguyên tố) Với g„- là căn nguyên thủy bậc p” của Ì,£„- = cos 22 + isin ex 3.1.2 Tinh chat: Gia sie"V1 la tập tất cả các căn bắc n của Ì trong trường số phức c Khi đĩ : _

a "V1 1a nhém con xiclic cba c*

ba = U<e,>(vai p là số nguyên tố) là nhĩm con vơ hạn

của Z* và Z„ khơng là nhĩm xiclic

Chứng minh :

a *ÝI là nhĩm con xiclic ca Z*

ô (đI, ) là nhĩm con của (ơ*, )

Thật vậy ,giả sử a,b e*ÝI Ta cĩ : (ab')"=a°(b*)!= ]

=ab'e "Vi

Do đĩ : ( "Y1, ) là nhĩm con của (Z* .)

e *ÍI là nhĩm xiclic

Thật vậy , Ta cĩ :

°ý]/z =‡ tập tất cả các nghiệm của đa thức x°-1cz [x]}

Trên Z{x| thì x*-1 c6 n nghiệm là 4 Ex Ì x-o 3 „4

Với & =cosk 2% +isink 2 =¢,"

Nên *Vl/ợ =Ì tụ E4, E)Ễ EìP, pị = 1 = em}

Do đĩ : ®ÍI = <1 ,¡ ị` „ 6ì !> =<e,5>.1<k< n-l

Với (k,n) =l

Vậy “V1 1a nhĩm xiclic sinh bởi €;* véi (k,n) = |

Trang 30

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG b.z = J<£z-> là nhĩm con vơ hạn của Z* vàz khơng , mm ,

là nhĩm xiche ,

eZ võ han, thật vậy m : 3z

kel PV] = <£,> với E„= cosa +1sin eS =2,'Vl = <ey> k=n /ÝI = <E„> Ta cĩ : < £ạ> CC<E#> C C<£p>C Và z_ =< tạ > LÍ <e#+> LÍ U <E „> LÍ =z,.vơ han e (Z, ) là nhĩm con của (Z*,.)

That vay :giả sử a,b cZ,

Khi đĩ : 3 k,Êsšao choxa € <£E „t> oe

ee < >

En

Giả sử k > £ ta c6: (a.b")? = a? (by! = 1

=> a.b'e +

Nhung ¢, khong là nhĩm xiclic,

That vậy:giả sử œ „ sinh bởi phần tử a là nhĩm xiclic

c.= <a>

Khi đĩ a <z_ nên 3ke N:aZ= I => a cĩ cấp hữu han

= z,.là nhĩm hữu han (vơ lý)

(trai vi cach xây dưng nhĩm Z )

Vậy Z_ khơng là nhĩm xiclic

3.1.3 Hệ quả :

Giả sử z, = U < „„> Khi đĩ mọi nhĩm con thực sự của # „- đều là

nhĩm xiclic cấp hữu hạn Chứng minh:

Ap dung cau a của tính chất trên ta cĩ:

°ÝI là nhĩm xiclic sinh bởi phẩn tử : £ „+ = cos 2 + isin 2%

Trang 31

Trang 32

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG 3.2 Định nghĩa và tính chất của vành Z n” 3.3.1 Định nghĩa : “p* "` | Vk, Zp? và Kas: = k,(modp")? Với phép tốn cộng và phép tốn nhân được định nghĩa như sau : VK = (k, Đ,, ) € Zp Ks i isin Ka nei Zpe e Phép cộng : K+K' = (k,+k¿ kạ + Ko ++) s Phép nhân : K.K'=(&,Ằ, k„ kạ ) 3.2.2 Tinh chat :

Trang 33

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG ® Chá sử (*) đúng với m = q (q >nì Tức là : k, # kạ(modp”) ® Ta chứng minh (*) đúng với m= q +l Tức chứng mình : k,., = k,(modp ") Ta cd: ky.) # k;(modp®) => k,.) =k,(modp*) => kari & ka (modp") Vậy k„ =k„(modp”) Vm >n Bây giờ ta chứng mình mệnh đẻ3.2.3 :

Giả sử Keẽ (Ấn các Ees s) ê (0Ơ)

(ga Goat EO nue.)

Khid6é:K.L40

That vay

Gĩi ¡ là chỉ số đầu tiên sao cho k, # 0(modp `)

Gọi j là chỉ số đầu tiên sao cho ft, # 0(modp') Khi đĩ xk,=p' “k với (k,p) = Ì 1; =p''£ với (,p)= I k,.¿¡ = k,(modp') (do bé dé 3.2.3) ={; ieyot = Kis) = k, + Ap’ ati" = (,+Bp af = pik + Ap' Gish p'}£'+ Bp' — ỏ F{ + = kf’ p+ Cp tty Dp’” =k,+j-¡ É,«,-¡ # 0(modp *"") >íc f : gts # O(modp‘**' ) cp”” = 0(modp *?' ) Dp'” = 0(modp tel ) Vậy tích hai phần tử trong Z „“ khác khơng là khác khơng Do đĩ : Z„*là miễn nguyên 3.2.4 Mệnh để :

Giả sử U(Z„*) là tập các phẩn tử khả nghịch của Z„* và Z„- được

Trang 34

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG Chưng minh : Do p là số nguyên tổ => Zp là trường =3 eZ„ :£ kụ= l Giả sử k,eZø Ví >I ,khi đĩ ; k, = kị (modp ) =2 (k, ,p) =l => (k,.p)=l, Vì >l Thật vậy , nếu (k, ,p) =p thì k, : p mà k, s k; (modp ) = K,=0(') do K,e Zp Do d6 : (k, p') =I => 36, v: 4k +vp =1 => &k, +vp =| => &k +vp =! > Gk =!

Nhu vay vk, cZ „ thì nghịch đảo của nĩ là i,

Trang 35

LUAN VAN TOT NGHIEP VHD: TS.MY VI

Trang 36

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS MY VINH QUANG koe k =SE, = €& p — je ee hay Œ; Reiss) € Zp e 8 là đồng cấu vành do: +Ø(0¡+0› )=9 (@¡)+ 9 (@;) ,V@¡, 0c End(ơ” ) That vay , gia 10 (E „) = eh (1) 92(E pr) =e (2) Khi đĩ theo định nghĩa của Ơ ta cĩ : Ø8(@¡)= (kị 0(@›)=@®\( k, ) Mặt khác từ (1) & (2) ta cĩ : 5 È ` (0; +O» HEp*) =e P Vân su ,

Trang 37

e614 tồn ánh :

V(K, , kạ )€Zp* ,xây dựng ánh xạ @ :Z,.—> Z,- như sau:

Giả sử: a cơ —=3n : ae <E „s> Ta định nghĩa: @(a) = a4

Ta chứng mình định nghĩa khơng phụ thuộc vào cách chọn n

Tức là : giả sử cĩ a=<£ „=>, ta chứng minh a‘ = a=, Ym en

Trang 38

4

TAI LIEU THAN KHAO

- Đại số đại cương - MY VINH QUANG NXB Giáo dục — 1999 -_ BT.Đại số đại cương-MY VINH QUANG.NXB Giáo dục-1999, -BT.Đai số - TRẦN VĂN HẠO và HỒNG KỲ NXB Đại học

và trung học chuyên nghiệp — 1980

Đại số — SERGE LANG NXB Đại học và trung học chuyên ˆ

nghiệp- 978

_ Introdution to comutative algebra - M.F ATIYAH and I.G MACDONALD Addison - Wesley Publishing compang,

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	1,67 MB