Vành các tự đồng cấu và nhóm các tự đẳng cấu

Y- L690v BO GIAO DUC - DAO TẠO _ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHƠ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN 9()O LUAN VAN TOT NGHIEP PAI HOC CHUYEN DE : DAI SO ĐỀ TÀI VANH CAC TU DONG & NHOM CAU CAC TU GVHD SVTH : TS MY VINH QUANG : NGUYÊN THỊ TUYẾT SÂM | { Trưng Ye > EE THuur-viin É gi Hạc sẻ ““ Pa , pt >< TP.H6 Chi Minh — 2000 tee = LOI NOI PAU Ludn van tốt nghiệp kết thúc trình đào tao trường đại học nhám giúp cho sinh viên nấm lại hệ thông kiến thức học, tảng cao thêm bước cách nhìn nhân giải vấn đề thực tế bảng kiến thức trang bị thời gian học tập trường đời Từ bước vào bất nhịp với cơng việc nghành thưc tc [Luận văn tốt nghiệp nghiên cứu em,trong thân cm: tứ lực chính, bên cạnh dẫn thấy khoa Tốn đóng góp ý kiến bạn bè đặc biệt hướng dẫn tản tình thầy giáo hướng dẫn MY VINH QUANG Ngoài ra, ngày hoàn thành luận văn hơm cịn gắn liền với cơng lao to lớn cha me,anh chi người thân giúp đỡ động viên em suốt khóa học.Em xin chân cam on va ghi nhớ cơng lao Mặc dù, có nhiều cố gắng song kiến thức thời gian có hạn nên chấc luận văn có nhiều sai sót Em mong nhận dẫn thầy trường Thành phố Hồ Chí Minh,ngày 10 tháng nam 2000 Sinh viên : Nguyễn Thị Tuyết Sâm - MUC LUC Trang Lời nói đầu Chương | :Các khái niệm ĐẾN: c2 2c 2e sa 01 Chương II : Các tính chất tự đồng cấu - tự đẳng cấu (04 I Nhóm vành tự đồng cấu nhóm abel 04 Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel 05 ` X11 seed 06 Chương [II: Mô tả End - Aut nhóm vành H I Mơ tả End- Aut nhóm đặc biệt II Mô tả End- Aut nhóm Šz 18 Mơ tả End- Aut nhóm # 23 Tài liệu tham khảo CHUCNEI CAC KHAINIEM CŨ BAN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS MY VINH QUANG Chương I : CÁC KHÁI NIEM CƠ BẢN 1.Nửa nhóm: Một tập hợp khơng rỗng X với phép tốn ngơi kết hợp cho X gọi nửa nhóm Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm 2.Phần tử khả nghịch: Cho (X,.) vị nhóm, ta nói: ¡.ueX khả nghịch trái ve X: v.u = I li u eX khả nghịch phải veX : u.v = Ì Ii.ueX khả nghịch 3t eX : tu = u.t= Ì Như vậy, u khả nghịch u khả nghịch trái u khả nghịch phải Thật vậy, (=) Vu eX = 3u '`eX (do u khả nghịch) uu” =e(X vị nhóm) { u lu =e Do u khả nghịch trái khả nghịch phải (=>) Vu €X => JujeX: uu =e ( dou kha nghịch trái) => 3u.€X :u,u,;=e Ta cÓ: uu¡ = e(uu¡)= (u› u¡) (u u¡)= 0;(UU)U, =UyU¡=€ Vậy 3u;eX : uyu =u u¡ = e Do u khả nghịch 3.Nhóm: Nhóm I vị nhóm phân tử khả nghịch 4.Nhóm abel: Nhóm X gọi nhóm abel ( nhóm giao hốn ) phép tốn nhóm X giao hốn ‘ 5.Nh6m con: Giả sử X nhóm.Tập khác rỗng A X gọi nhóm nhóm X A ổn định phép tốn X A với phép toán cảm sinh nhóm Nếu A nhóm X ta viết A ab € Z(X) ® xa =ax = ax =xa"' =a'cZ(X) Do : Z(X) nhóm X Mặt khác : x Ìax = xÌxa = a e Z(X) Vậy Z(X) nhóm chuẩn tắc nhóm X 8.Vành: Vành tập hợp X với phép toán cộng phép toán nhân cho X thỏa điều kiện sau: ¡ X với phép cộng nhóm abel ii X với phép nhân nửa nhóm ii Phép nhân phân phối với phép cộng VX,y,Z € X tạ CÓ: ;X (Y+Z) = XY + XZ (y+Z) X = YX +ZX Nếu phép nhân X giao hốn X vành giao hốn 9.Ước khơng: Giả sử X vành giao hoán phẩn tử acX khác không gọi lđ ước không tổn phần tử beX khác không cho ab = 10.Miễn ngun: Một vành giao hốn có đơn vị, có nhiều phần tử, khơng có ước khơng gọi miền ngun 11.Trường: Vành giao hốn có đơn vị, có nhiều phần tử , phần tử khác không khả nghịch ( phép nhân ) gọi trường SVTH: NGUYEN THI TUYET SAM ty KHOA TOÁN K.96 LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS.MY VINH QUANG Như tập X với phép cộng phép nhân trường néu : i X cling phép todn cộng nhóm abel ii X” = X\ {0} cdng phép todn nhan 1a nhém abel iii.Phép nhan phân phối phép cộng 12.Đồng cấu nhóm : Một ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y gọi đồng cấu nhóm f bảo tổn phép toán, tức là: f (x.y) = f(x) f(y), V x.y € X Một đồng cấu f từ nhóm X đến nhóm Một đồng cấu đơn ánh gọi đơn cấu cấu, đồng cấu song ánh gọi đẳng tự đẳng cấu Nếu tổn đẳng cấu từ nhóm X X Y đẳng cấu 13 Đồng cấu vành: X gọi tự đồng cấu X , đồng cấu toàn ánh gọi toàn cấu, tự đồng cấu song ánh gọi vào nhóm Y ta viết X = Y nói Một ánh xạ f từ vành X đến vành Y gọi đồng cấu vành f bảo tổn phép toán Tức là: V x,y € X, ta có: f (x + y) = f(x) + fly) f(x.y) =f(x) fly) Một đồng cấu f từ vanh X dén vanh X goi 1A mot nf déng cau cia vanh X Một đông cấu đơn ánh gọi đơn cấu, toàn ánh gọi toàn cấu, song ánh gọi đẳng cấu Một tự cấu song ánh gọi tự đẳng cất Nếu tôn tự đẳng cấu f từ vành X đến vành Y ta viết X z Y nói X Y đẳng cấu KHOA TOAN K.96 SVTH: NGUYEN THI TUYET SAM CHUCNE i CAC TINH CHAT CUA CAC TU BONG CAU VA CAC TU BANG CAU LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS.MY VINH QUANG Chương II : CÁC TÍNH CHẤT CUA CAC TY DONG CẤU CÁC TỰ ĐẲNG CẤU I.Nhóm vành tự đồng cấu nhóm abel : 1.1 Định nghĩa: Cho X nhóm cộng abel Ta gọi End(X) tập tất tự đồng cấu X ghi : End(X) = {f: X => X/ f tự đồng cấu nhóm X } 1.2.Ménh dé: Giả sử X nhóm cộng abel End (X) tập tất tự đồng cấu X.Trong End (X) định nghĩa phép cộng phép nhân sau : Vf, ge End (X), VxeX tacd: (f+ gx) = f(x) + g(x) (f.gx) =f(g(x)) Khi đó: aä (End (X), +) nhóm b (End (X) +,.) vành Chứng minh: a (End (X), +) nhóm s End (X) có phép tốn ngơi: V f,g c End (X), Y x,ye X, ta có: (f+ g) (x+y) =f(x + y) + g(x + y) = f(x) + f(y) + g(x) + gy) (f+ gx) +(f+eXy) = f(x) + fly) + g(x) + g(y) Do d6: (f+ g (x+y) =(f + gx) + (f+ gy) V f.g,h End (X), V x e X, ta có: e Tính chất kết hợp: ((Í+ )+h )(x) = (+ g) (x) + h (x) (f+(g+h)\(x) =f(x)+g(x)+h (x) = f(x) + (g +h)(x) = f (x) + g (x) +h (x) Do đó: ((f+ ø) + h)(x) = (f + (g + h)Xx) se Phần tử không ánh xạ không e Phần tử đối: V f€ End (X), 3f =-f € End (X) saocho: Vậy (End (X) + ) nhóm KHOA TOAN K.96 f+f =f-f=0 SVTH: NGUYEN THI TUYET SAM GVHD: TS.MY VINH QUANG LUAN VAN TOT NGHIEP b (End) (X), + ,.) vành ® (End (X),+ ) nhóm giao hoán (áp dụng câu a), e (End (X), ) nửa nhóm v f.g.h e End (X): se Luật phân phối: f(gh) = (f.g).h v f.g,h < End (X) ta có :r f (g + h) = F.g+ f.h Lis +h)f=g.f+h.f Vậy ( End (X), +,.) vành Nhóm tự đắng cấu nhóm abel : ^./ Định nghĩa: Cho X nhóm cộng abel /Ta gọi Aut (X) tập tất tự đẳng cấu X ghi là: Aut(X)= { Ê X —» X/f tự đẳng cấu nhóm X } 2.2 Mệnh đề : Giả sử X nhóm cơng abel Aut (X) tập tất cá tự đẳng cấu X Aut (X) nhóm với phép nhân xác định sau: (F.g)(X) = f(g(x)), Vf.g< End (X) Chứng minh : (Aut(X), ) nhóm Thật : Ta chifng minh Aut(X) nhóm nhóm song ánh từ X-> X ¡ Vf,g€ Aut(X), VxeX, ta có: (f.g)(x) = f(g(x)) Do : f.ge Aut(X) ii Wfe Aut(X) thi f' © Aut(X) 2.3 Bổ đề : Giả sử X vành U (X) tập hợp phần tử khả nghịch phép nhân (X,.) Khi đó: a (U(X) ,.) nhóm b U (End(X)) = Aut (X) Chifng minh a (U(x) ,.) nhóm, : s Phép tốn ngơi: V ui,uy e€U(X) : (uz°u, ”(u.0a) = 0y” (0y0y) 0; = uy us =e => u;.u,€ U(X) KHOA TOAN K.96 SVTH: NGUYEN THI TUYET SAM