Không gian phủ tác động nhóm cảm sinh bởi các nhóm

fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn thân làm hướng dẫn TS NGUYỄN THÁI SƠN Các kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nói chung thầy mơn Hình Học nói riêng dạy bảo dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thái Sơn, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hồn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2017 Học viên Bùi Thị Huệ fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định nghĩa 1.2 Nhóm π(X, x) 1.3 Không gian tô pô đơn liên 11 1.4 Phép co rút phép co rút biến dạng 13 1.5 Đồng cấu cảm sinh 13 1.6 Không gian tương đương đồng luân 15 1.7 Điều kiện cần đủ để nhóm nhóm Aben 17 1.8 Tính chất 18 1.9 Nhóm đường trịn 18 1.10 Không gian phủ 24 1.11 Ánh xạ nâng 28 Tác động nhóm cảm sinh nhóm π(X, x0 ), Cov(E|X) 34 2.1 Tác động nhóm 34 2.2 Tác động nhóm cảm sinh π (X, x0 ) 35 2.3 Tác động nhóm cảm sinh nhóm Aut π (ρ−1 (x0 )) 38 2.4 Tác động nhóm cảm sinh Cov (E|X) 39 2.5 Phép đối xạ tác động nhóm 43 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Một số vấn đề nâng cao không gian phủ ánh xạ phủ 47 3.1 Sự tương đương không gian phủ 47 3.2 Không gian phủ phân nhánh 51 3.3 Một vài ứng dụng 54 3.3.1 Hệ thức Riemann-Hurwitz 54 3.3.2 Đồng dư thức Kulkarni 57 3.3.3 Một số ứng dụng khác 59 Kết luận 62 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Tôpô đại số phận tốn học sử dụng cơng cụ đại số để nghiên cứu không gian tôpô Mục tiêu tìm bất biến đại số để phân loại không gian tôpô thông qua tương đương đồng luân Mặc dù tôpô đại số sử dụng đại số để nghiên cứu tốn tơpơ cơng việc ngược lại đơi thực Ví dụ, sử dụng tơpơ đại số ta chứng minh nhóm nhóm tự nhóm tự Kết thú vị phát biểu túy đại số chứng minh đơn giản gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf lại dựa tôpô Nghĩa nhóm tự G xem nhóm đồ thị X Định lý khơng gian phủ nói nhóm H G nhóm khơng gian phủ Y X , Y lại đồ thị Vì vậy, nhóm H tự Trong chương trình Tơpơ đại số mà chúng tơi học tập nghiên cứu, có đề cập đến vấn đề môn học Trong chủ yếu xây dựng nhóm đường trịn đơn vị, sau mở rộng để tính nhóm hình xuyến Sử dụng lý thuyết ánh xạ phủ không gian phủ ta chứng minh nhóm mặt cầu S n với n ≥ tầm thường Điều quan trọng ta kết thúc việc xây dựng nhóm S n với n số nguyên dương Theo hướng đó, tính nhóm khơng gian fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf xạ ảnh không gian thấu kính Ở khơng gian xạ ảnh khơng gian thấu kính khơng gian thương S n Những vấn đề mà vừa đề cập nhiều người khác nghiên cứu Về phần chúng tơi tìm kiếm lối khác, sử dụng kiến thức tảng tô pô đại số để sâu vào nghiên cứu tác động nhóm cảm sinh nhóm sau đây: nhóm khơng gian tơ pơ; nhóm tự đồng cấu Autπ1 (ρ−1 (x0 )) nhóm phép biến đổi phủ Việc nghiên cứu tác động nhóm giúp cho chúng tơi làm quen sau sử dụng thành thạo cơng cụ nhóm Cũng theo lộ trình nói trên, chúng tơi tìm hiểu số ứng dụng tô pô đại số như: Hệ thức Riemann-Hurwitz vào đồng dư thức Kulkarni Chúng tơi tìm hiểu vấn đề nâng cao nhóm bản, khơng gian phủ ánh xạ phủ Đó gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf lý mà chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Thơng qua luận văn chúng tơi nghiên cứu để đạt kết sau đây: – Các vấn đề không gian phủ, định lý nâng, đồng luân phủ phép biến đổi phủ Ngồi chúng tơi tìm hiểu tương đương khơng gian phủ – Chúng tơi nghiên cứu tìm hiểu tác động nhóm cảm sinh nhóm π (X, x0 ) , Autπ (ρ−1 (x0 )) Cov (E|X) – Cuối cùng, chúng tơi tìm hiểu số ứng dụng vấn đề mà nghiên cứu Ví dụ, vấn đề tác động nhóm nói trên, chúng tơi đưa đối quan hệ tác động nhóm, khơng gian phủ phân nhánh fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn bao gồm : – Tác động nhóm cảm sinh π (X, x0 ), Autπ (ρ−1 (x0 )) Cov (E|X) – Phép đối xạ tác động nhóm – Ứng dụng khơng gian phủ, ánh xạ phủ vào hệ thức Riemann-Hurwitz đồng dư thức Kulkarni Phương pháp nghiên cứu Để thực luận văn tổng hợp hồn thiện kết có từ báo tài liệu khoa học liên quan đến đề tài, cụ thể không gian phủ tác động nhóm cảm sinh phép biến đổi phủ ứng dụng Đây vấn đề phức tạp rộng lớn nên hạn chế mức mà gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf chúng tơi hiểu trình bày hiểu biết luận văn Cấu trúc luận văn Không kể phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương 1: Trình bày vấn đề nhóm , không gian phủ; ánh xạ phủ Tuy vấn đề luận văn kết ánh xạ phủ không gian phủ vấn đề mẻ Do chúng tơi trình bày chi tiết làm sở cho chương sau Chương 2: Chúng khảo sát tác động nhóm cảm sinh nhóm: π (X, x0 ) Autπ (ρ−1 (x0 )) Cov (E|X) Chương 3: Sử dụng kết chương 2, tiếp tục nghiên cứu vấn đề nâng cao nhóm không gian phủ ánh xạ phủ tương fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf đương không gian phủ không gian phủ phân nhánh Trên sở chúng tơi tìm hiểu số áp dụng gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong Luận văn chúng tơi nghiên cứu Nhóm không gian phủ tác động cảm sinh nhóm Để có sở tham khảo cho chương sau, chương chúng tơi trình bày số kiến thức tô pô đại số 1.1 Các định nghĩa gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tôpô, I = [0, 1] không gian đường thẳng thực R Một ánh xạ liên tục f : I → X gọi đường không gian tôpô X Điểm f (0) gọi điểm đầu, điểm f (1) gọi điểm cuối đường f Nếu f (0) = f (1) = x ta nói f đường đóng x Ví dụ 1.1.2 Một số đường thường gặp Con đường f : I → X thỏa f (s) = x0 , ∀s ∈ I gọi đường Cho đường f : I → X f : I → X thỏa f (s) = f (1 − s) gọi đường ngược lại f Cho f, g hai đường X thỏa f (1) = g(0) fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf ρ Mệnh đề 2.2.2 Cho (E, e0 ) → (X, x0 ) không gian phủ xem ρ−1 (x0 ) quan hệ bắc cầu phải tập π (X, x0 ), ∀e ∈ ρ−1 (x0 ) ta có π(X, x0 )e = ρ# π (E, e) Chứng minh Ta có π(X, x0 )e ρ# π (E, e) nhóm π (X, x0 ) nên ta đẳng thức cần chứng minh dựa vào bao hàm Cho e ∈ ρ−1 (x0 ) xét e [σ] = e, [σ] ∈ π (X, x0 ) Nếu điều kiện tác động vào đẳng thức [σ] ∈ π(X, x0 )e , theo định nghĩa e [σ] = σe0 (1), e [σ] = σe (1) = e σ vòng e, nên [σ] ∈ ρ# π (E, e) Khi π(X, x0 )e = ρ# π (E, e) Áp dụng định lí ổn định quỹ đạo định lí Lagrange vào tập ρ−1 (x0 ) nhóm π (X, x0 ), sử dụng tính chất bắc cầu ρ−1 (x0 ), ta có: −1 ρ (x0 ) = [π (X, x0 ) : π(X, x0 ) ] e (1) gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Nếu π (X, x0 ) lồi hữu hạn số tập phủ đề x0 số tập lồi ρ Mệnh đề 2.2.3 Cho E → X không gian phủ Lấy tùy ý x0 , x1 ∈ X −1 ρ (x0 ) = ρ−1 (x1 ) Chứng minh Cho e0 ∈ ρ−1 (x0 ) , e1 ∈ ρ−1 (x1 ) Ta có sơ đồ giao hốn sau: φ ψ đẳng cấu với theo định lí 1.1.2 ρ# đồng cấu ta hệ 1.3.4 Khi tồn song ánh lớp , fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf từ phương trình −1