Vành các ma trận vuông cấp hai

BO GIAO DUC YA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM THANS PHO HO CH E14 (IÁ( E44 MINE FIIỂt 044 I-(l{\N VĂN TÔT NGHIỆP DE TAI VANH CAC MA TRAN VUÔNG CẬP HAI GVHD : TS DAU THẾ CAP KHÓA : 1999.2003 SVTH : Nguyễn Thị Hương Vân Thang § nam 2003 LOI CAMON Trai qua quảng đường Minh, c (AC hae, em quy baa, quang cáa MỚI St thương hoàn tha nhân Các học yeu, duce an Su day biết dS bon pham hoe Thanh tan tam bao tin bucte ndm nhiéu hap Hd cáo kiến thức Chi thầy hết cổ sức vao Adi thành luận văn tốt nghie p này, su giap d&, động xin chan aran trường Tại giap em ving Đế Cm thời viên nhiệt Hình cáo em nhiều nquci nhận quan tam, khoa thành bảy tỏ lịng biết ca sảa sắc viấn Thầy giáo cáa trường, Thầy cô Gide duc Tiếu học, đặc biết Thầy Đau Thế Cấp, người trực tiếp hướng cẩn em tưng suốt quấ trình thíác luận văn tốt ship Các tập để bạn cảng cảng tiến lớp động viên, bảo học từ ngày đầu bước chân tâm hộ đôn đốc công nudi dưỡng vào ngưỡng cứo Đại học, Các trink lam Và ảnh chị quan ang luận văn, hết bố mẹ, nqueri có tao moi didu kién thudn loi che em hee Môi qua lần em xin chân thành cảm Thanh phd Hd tAp om Chi Minh, then 5S ndm Sinh viên Nguyễn Thi Huong Van 2003 LỜI NÓI ĐẦU Luận văn đặt vấn đề nghiên cứu số khái niệm Đại số tuyến tính vành V giao hốn có đơn vị Dưới sư gợi ý thay giáo hướng dẫn, thời gian kiến thức có hạn, luận văn gôm nội dung sau : Chương I: VÀNH & TRƯỜNG Chương bao gồm kiến thức Cấu trúc đại số để chuẩn bị cho chương H, IH, IV Phan luận văn tập trung ba chương sau, Chương II : VÀNH CÁC MA TRẤN VUÔNG CẤP HAI Trong chương này, ta xem xét định nghĩa phép tốn tính chất phép toán ma tran, Chuong Il ; BINH THUC CAP HAI TREN VANH V GO day ta xét định nghĩa tính chất định thức cấp hai, chứng điều kiện cin đủ để ma trận vuông cấp hai khả nghịch công thức tìm ma trận nghịch đảo Chương IV : TRƯỜNG SỐ PHỨC & THỂ QUATERNION Áp dụng tính chất ma trận ta xây dựng ma trận vuông cấp hai trường số phức thể Quaternion Trên sở đó, ta có quy tắc tính thơng thường số phức đặc biệt quy tắc tính thơng thường Quaternion Các kết đưa luận văn chứng minh cách trực tiếp, rõ ràng cụ thể Trong trường hợp V = R hiển nhiên kết kết quen biết Đại số tuyến tính Tuy nhiên trường hợp kết ta thú vị có ích chứng minh trực tiếp chúng Luận văn có thiếu sót, mong nhận đóng p ý kiến thầy bạn độc giả TAI LIEU THAM KHAO Đậu Thế Cấp Toán cao cấp (cho ngành Kỹ thuật) _ Tập _ Phần Đại số tuyến tính, tJ NXB Đậu Thế Cấp ĐHQG Tp Hồ Chí Minh, 2000 Cấu trúc đai số, NXB Giáo dục, 2003 Lê Thanh Hà Các cấu trúc đại số bản, NXB Giáo dục, 2000 MUCLUC §4 Trường $5 Dong cau vành WwW WwW & §2 Mién nguyên $3 The Trang Trang Trang Trang Trang A $1 Vanh = Chudng |; VANH & TRUONG Chương II: VÀNH CÁC MA TRẬN VUÔNG CẤP HAI §1 Định nghĩa & ví dụ $2 Nhúng vành V vào vành M;(V) Trang Trang 13 Chương HI : ĐỊNH THỨC CẤP HAI TRÊN VÀNH V $1 Định nghĩa & ví dụ §2 Tính chất định thức §3 Phân tử khả nghịch M;(V) Trang 15 Trang 16 Trang 18 Chương IV : TRƯỜNG SỐ PHỨC & THỂ QUATERNION §1 Trường số phức §2 Thể Quaternion Trang 22 Trang 27 Chương I : VÀNH & TRƯỜNG §1 VANH Định nghĩa & tính chất Vành tập X hai phép toán X, thường ký hiệu cơng nhân thoả mãn tính chất : i (X, +) nhóm Abel ; il (X, ) nửa nhóm ; iii Phép nhân phân phối phép cộng, tức với x, y, Z € X ta Có : X(Y +Z)=X.Y +X.7, (y+z).X=Y.X+Z.X Một cách tương đương, ta định nghĩa (X, +, ) vành thỏa mãn điều kiện sau : LÔ ii il (l) (2) Moix,y, ze X,(x+y)+#z=x+(y +z) Mọix,y€X,x+y=yYy+Xx (3) (4) Tổntại0, e X, x e X,x+0,=x Moix e X, tổn (-x) e X,x+(-x)=0U, (5) (6) Moix, y,z € X, (x.y).z=x.(y.z) MọiX,Y,Zz€ X,X(Y+Z)=X.Y+XZ, (y+Z7)X=Y.X+Z.X Nếu phép toán nhân vành giao hoán vành gọi vành giao hốn Nếu phép tốn nhân có đơn vị vành gọi vành có đơn vị Vidu ll: (Z.+,.),(Q,+ ),(R,+, ), (Z¿, +, ) vành giao hốn có đơn VỊ Dinh ly LI: Với x, y, z vành X ta có : Bw l, x.0 = x = 0, (0, phần tử không vành X) (—X).Y =X.(-Y) =-X.Y (—X).(-Y)=Xx.Y XAY — Z)= X.Y — X.Z,(Íy- Z)}ÌX=Y.X- Z.X (tính chất phân phối phép nhân phép trừ) Với m e Z phần tử x, y vành X ta có : m.(X.Y) = (m.X).y = X.(m.y) Vành Cho X vành tập A X ổn định với hai phép toán vành X Nếu với phép toán cảm sinh (A, +, ) vành vành A gọi vành của, X aan Ví dụ [2 : Vành Z số nguyên vành vành Q số hữu tỉ Định lý L2: Tập A vành X vành vành X thoả mãn điểu kiện sau : A#U VX,YE€A,X+yYEAVàXY€A YVxreA,3(-x)EA Dinh ly L3: Tập A vành X vành vành X thoả mãn điều kiện sau : l, Az0 VxyEeAx-yeAvaxyea §2 MIEN NGUYEN Ước khơng Vành A gọi có ước khơng A có phần tử x z (); y #0 cho x.y = 0x ; phần tử x y gọi ước không Vi du 1.3: a b Vành Z số ngun khơng có ước khơng Vành Z„ lớp đồng dư mod có ước không, chẳng hạn 2: ước không Miền nguyên Miền nguyên vành giao hốn, có đơn vị, có nhiều mơi phần tử khơng có ước khơng Vành số ngun Z ví dụ miễn nguyên Trong miền nguyên phần tử khác không thoả mãn luật giản ước phép nhân Thật vậy, với a # Ô : a.b=a.c => a.(b-—c)=0 > b—-c=0 > bec §3 THE Định nghĩa Thể vành (khơng giao hốn), có đơn vị, có nhiều phần tử phần tử khác không khả nghịch Trong thể khơng có ước khơng Thể vành Cho X vành có đơn vị tập A X ổn định hai phép toán vành X Nếu với phép toán cảm sinh (A, +, ) thể A gọi thể vành X Định lý L4: tc nhuu fda met fÚ»xâa tư Tap A cua vành có đơn vị X thể thoả mãn điều kiện sau : L VX,.YE€EA,X-YEAVàX.y€Á zi Léa Vxe€A.xz03x'eA §4 TRƯỜNG Định nghĩa tính chất Trường vành giao hốn, có đơn vị, có nhiều phần tử phần tử khác không khả nghịch Một cách tương đương, ta định nghĩa (X, +, ) trường i ii, iii X phép toán cộng nhóm Abel X =X\ | với phép nhân nhóm Abel Phép nhân phân phối phép cộng Trong trường khơng có ước khơng, trường miền nguyên Mọi miễn nguyên hữu hạn trường Ví dụ l3 : S; b Với phép cộng nhân thông thường (Q, + trường (Zp,+, ) với p nguyên tô trường ).(R, + ) Trường vành Cho X vành có đơn vị tập A X ổn định với hai phép toán vành X Nếu với phép toán cảm sinh (A, +, ) trường A gọi trường vành X Đinh lý L5: Tập A vành X có đơn vị, có nhiều phần tử “nh trường vành X thoả mãn điều kiện sau : VX,YEA,X-YEAvàx.y€Á M VxeA.xz0,3x'eA VX,YEA,XY=y.X §5 DONG CẤU VÀNH Định nghĩa Cho X Y hai vành Một ánh xa f: X -> Y gọi đồng cấu vành x, y € X ta có : f(x + y) = f(x) + fly) f(x.y) = f(x) fly) Như đồng cấu vành f : X -› Y đồng cấu từ nhóm cộng X vào nhóm cộng Y đồng cấu từ nửa nhóm nhân X vào nửa nhóm nhân Y Vì f đồng cấu nhóm cộng nên : f(Ox) = Ủy, f(—x) = -f(x) Đồng cấu vành f gọi tương ứng đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu ánh xạ f đơn ánh, toàn ánh, song ánh Đồng cấu f đẳng cấu đồng thời đơn cấu toàn cấu Một đồng cấu từ vành X vào gọi tự đồng cấu