Vành các ma trận vuông cấp hai

Trang 1

BO GIAO DUC YA DAO TAO

TRUONG DAI HOC SU PHAM THANS PHO HO CH MINE E14 4 (IÁ( E44 FIIỂt 044

Trang 2

LOI CAMON

Trai qua quang thời aran an bon ndm hoe hap dưới quảng đường cáa trường Tại học Su pham Thanh pho Hd Chi Minh, c (AC MỚI St thương yeu, day dS tan tam cáo các thầy cổ hae, em đi tha nhân duce biết bao nhiéu kiến thức hết sức quy baa, giap em ving tin khi bucte vao Adi

Đế hoàn thành luận văn tốt nghie p này, em đã nhận được su giap d&, động viên nhiệt Hình cáo rất nhiều nquci quan tam, Cm xin chan thành bảy tỏ lòng biết ca sảa sắc viấn

Các Thầy cô giáo cáa trường, các Thầy cô trong khoa

Gide duc Tiếu học, đặc biết là Thầy Đau Thế Cấp, người đã trực tiếp hướng cẩn em tưng suốt quaá trình thíác hiện luận văn tốt ship

Các bạn cảng lớp đã động viên, chỉ bảo nhau trong học

tập để cảng tiến bộ ngay từ những ngày đầu khi bước chân

vào ngưỡng cứo Đại học,

Các ảnh chị đã quan tâm ang hộ và đôn đốc trong qua trink lam luận văn,

Và trên hết là bố mẹ, nqueri đã có công nudi dưỡng và tao moi didu kién thudn loi che em trong hee tAp

Môi lần nữa em xin chân thành cảm om

Thanh phd Hd Chi Minh, then 5S ndm 2003 Sinh viên

Trang 3

LỜI NÓI ĐẦU

Luận văn này đặt vấn đề nghiên cứu một số khái niệm của Đại số

tuyến tính trên một vành V giao hoán có đơn vị bất kỳ

Dưới sư gợi ý của thay giáo hướng dẫn, do thời gian và kiến thức có

hạn, luận văn này chỉ gôm các nội dung sau :

Chương I: VÀNH & TRƯỜNG Chương này bao gồm những kiến

thức rất cơ bản của Cấu trúc đại số để chuẩn bị cho chương H, IH, IV Phan chính của luận văn chỉ tập trung ở ba chương sau,

Chương II : VÀNH CÁC MA TRẤN VUÔNG CẤP HAI Trong

chương này, ta xem xét định nghĩa phép toán và tính chất của các phép

toán ma tran,

Chuong Il ; BINH THUC CAP HAI TREN VANH V GO day ta xét

định nghĩa và các tính chất của định thức cấp hai, chứng mình điều kiện cin và đủ để một ma trận vuông cấp hai khả nghịch và công thức tìm ma

trận nghịch đảo

Chương IV : TRƯỜNG SỐ PHỨC & THỂ QUATERNION Áp dụng

tính chất của ma trận ta xây dựng ma trận vuông cấp hai của trường số

phức và thể Quaternion Trên cơ sở đó, ta có quy tắc tính thông thường

của số phức và đặc biệt là quy tắc tính thông thường của Quaternion

Các kết quả đưa ra trong luận văn đều đã được chứng minh một cách trực tiếp, do đó rất rõ ràng cụ thể Trong trường hợp V = R thì hiển nhiên các kết quả ở đây là các kết quả đã quen biết trong Đại số tuyến

tính Tuy nhiên ngay cả trong trường hợp này những kết quả của ta cũng

thú vị và có ích bởi sự chứng minh trực tiếp của chúng

Trang 4

tJ

TAI LIEU THAM KHAO

Trang 6

Chương I : VÀNH & TRƯỜNG §1 VANH 1 Định nghĩa & tính chất Vành là một tập X cùng hai phép toán trên X, thường ký hiệu công và nhân thoả mãn các tính chất : i (X, +) là một nhóm Abel ; il (X, ) là một nửa nhóm ; iii Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi x, y, Z € X ta Có : X(Y +Z)=X.Y +X.7, (y+z).X=Y.X+Z.X

Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa (X, +, ) là một vành nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau :

LÔ (l) Moix,y, ze X,(x+y)+#z=x+(y +z) (2) Mọix,y€X,x+y=yYy+Xx

(3) Tổntại0, e X, mọi x e X,x+0,=x (4) Moix e X, tổn tại (-x) e X,x+(-x)=0U, ii (5) Moix, y,z € X, (x.y).z=x.(y.z)

il (6) MọiX,Y,Zz€ X,X(Y+Z)=X.Y+XZ,

(y+Z7)X=Y.X+Z.X

Nếu phép toán nhân của vành là giao hoán thì vành gọi là vành giao hoán Nếu phép toán nhân có đơn vị thì vành gọi là vành có đơn vị Vidu ll:

(Z.+,.),(Q,+ ),(R,+, ), (Z¿, +, ) là các vành giao hoán có đơn

Trang 7

Dinh ly LI: Với mọi x, y, z của vành X ta có : l, x.0 = 0 .x = 0, (0, là phần tử không của vành X) (—X).Y =X.(-Y) =-X.Y (—X).(-Y)=Xx.Y

XAY — Z)= X.Y — X.Z,(Íy- Z)}ÌX=Y.X- Z.X

(tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ)

Bw

Với mọi m e Z và mọi phần tử x, y của vành X ta có :

m.(X.Y) = (m.X).y = X.(m.y) 2 Vành con

Cho X là một vành và tập con A của X ổn định với hai phép toán

của vành X Nếu với phép toán cảm sinh (A, +, ) là một vành thì vành A gọi là vành con của, X

aan

Ví dụ [2 :

Vành Z các số nguyên là vành con của vành Q các số hữu tỉ Định lý L2:

Tập con A của một vành X là vành con của vành X nếu thoả mãn các điểu kiện sau :

1 A#U

2 VX,YE€A,X+yYEAVàXY€A

3 YVxreA,3(-x)EA

Dinh ly L3:

Tập con A của một vành X là vành con của vành X nếu thoả mãn các điều kiện sau :

l, Az0

Trang 8

§2 MIEN NGUYEN

1 Ước của không

Vành A gọi là có ước của không nếu A có những phần tử x z (); và y #0 sao cho x.y = 0x ; những phần tử x và y như thế gọi là những ước của không

Vi du 1.3:

a Vành Z các số nguyên không có ước của không

b Vành Z„ các lớp đồng dư mod 6 có ước của không, chẳng hạn

:

2 và 3 là những ước của không

2 Miền nguyên

Miền nguyên là một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn môi phần tử và không có ước của không

Vành các số nguyên Z là ví dụ về một miễn nguyên

Trong miền nguyên mọi phần tử khác không đều thoả mãn luật

giản ước đối với phép nhân Thật vậy, với mọi a # Ô :

a.b=a.c => a.(b-—c)=0 > b—-c=0 > bec

§3 THE

1 Định nghĩa

Thể là một vành (khơng giao hốn), có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch

Trang 9

2 Thể con của một vành

Cho X là một vành có đơn vị và tập con A của X ổn định đối với hai phép toán của vành X Nếu với phép toán cảm sinh (A, +, ) là một thể thì A gọi là thể con của vành X

Định lý L4: tc nhuu fda met fÚ»xâa tư

Tap con A cua vành có đơn vị X là một thể nếu thoả mãn các điều kiện sau : L VX,.YE€EA,X-YEAVàX.y€ Á zi Léa 3 Vxe€A.xz03x'eA §4 TRƯỜNG 1 Định nghĩa và tính chất

Trường là một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch

Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa (X, +, ) là một trường

i X cùng phép toán cộng là một nhóm Abel

ii, X =X\ | cùng với phép nhân là một nhóm Abel

iii Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Trong trường không có ước của không, do đó mọi trường đều là

Trang 10

2 Trường con của một vành

Cho X là một vành có đơn vị và tập con A của X ổn định với hai

phép toán của vành X Nếu với phép toán cảm sinh (A, +, ) là một trường thì A gọi là trường con của vành X

Đinh lý L5:

Tập con A của vành X có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là

trường con của vành X nếu thoả mãn các điều kiện sau : VX,YEA,X-YEAvàx.y€ Á M VxeA.xz0,3x'eA VX,YEA,XY=y.X “nh §5 DONG CẤU VÀNH 1 Định nghĩa Cho X và Y là hai vành Một ánh xa f: X -> Y gọi là một đồng cấu vành nếu mọi x, y € X ta có : f(x + y) = f(x) + fly) f(x.y) = f(x) fly)

Như vậy một đồng cấu vành f : X -› Y là một đồng cấu từ nhóm cộng X vào nhóm cộng Y và là một đồng cấu từ nửa nhóm nhân X vào nửa nhóm nhân Y Vì f là đồng cấu nhóm cộng nên :

f(Ox) = Ủy, f(—x) = -f(x)

Đồng cấu vành f được gọi tương ứng là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

nếu ánh xạ f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh Đồng cấu f là một đẳng cấu

nếu nó đồng thời là một đơn cấu và một toàn cấu

Trang 11

GVED SESSA SE SRD SANS Vanh oem 50 vubdiy ep tai 2 Tinh chat Định lý L6 : | Chof:X -+ Y,g: Y -› Z là các đồng cấu vành Khi đó g.f: X ~ Z là đồng cấu vành 2 Chof:X — Y là đẳng cấu vành Khi đó ánh xạ ngược f' : Y -› X cũng là đẳng cấu vành

Hai vành X và Y được gọi là đẳng cấu với nhau, ký hiệu X z Y,

nếu tồn tại một đẳng cấu f: X -› Y Theo định lý I.6 dễ thấy rằng quan

hệ đẳng cấu giữa các vành có các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu,

Trang 12

Chương II : VÀNH CÁC MA TRẬN VUÔNG CAP HAI

§1 ĐỊNH NGHĨA & VÍ DỤ

1 Định nghĩa

Cho V là một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử

Với mọi a, b, c, d € V ta gọi :

ƒ b \

* = a

le a]

là một ma trận vuông cấp hai trên vành V,

Hai ma trận vuông cấp hai :

b fa, 6, |

A= (2 h =|" :

cg dd 3

được gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau,

tức là a; = a;›, bị = bạ, c¡ = cạ, d, = dạ Ký hiệu : A¡= A,

Trang 13

Binh ly ILI;

M;(V) cùng hai phép toán cộng và nhân ma trận là một vành có đơn vị

Chứng mình :

Với mọi A, Ai, A2, A:€ M;(V) °

Trang 14

aj+a, 6, +b, | Le, te, di +d, LE: FE, 4, +4,) = A+ A; + ˆ 4 + * - ` - (0 q ˆ ˆ (3) Phép công có phần tử không là ma trận () = là A! That vay : \ 0 0) A+ Ow = [% i} | 0 C dj lI > a -b

(4) A= | € ñ có phần tử đối là -A=| =o; = 2} Thật vậy :

Trang 15

(5) _ Phép nhân có tính chất kết hợp : (A¡.As).A: = A¡.(A:.A:) Thật vay: a, 6, ) a, fy) aj: (Ay.A2).A3 = | bs đ, j , i d, | | ñ 2 - „m thục; ab, +d, a,b, | _ ca,+dyc, ¢,b,+d,d,} (cc đ,

{ (aja, +hc,)a, +(ab,+hd,)c, (aa, +bc,).b, +(a,b, +4,d,).d, |

\(eya, +d,c,).a, +(cb, +d,d,)c, (cya, +d,c,).b, + (eb, +d,d,).d,

_ (aaya, +hc,a, + abe, +bde, — ayayby +byc,b, +a,b,d, +b,d,d,

\ca,a, +d,c,a, +¢,b,c,+d,dyc, ¢a,b, +d,c,b, + ¢,b,d, + d,d,d,

[ avers: +b,c,)+b fce,a,+d,c,) a,fa,b, +b,d,)+b,(c,b, + d,d, |

.¢, (a,a, +bye,)+d (e,a,+d,c,) ©, a,b, +b,d,)+d,(c,b, +d,d,) i h b, | a,a,+b,c, a,b, +b,d, 7 l6: @7 ¢,a,+d,c, ¢,b,+d,d, đ x a, b, c, đ,) le, ad, | « a s x > m EE, — = AIi(A¿.Ä:)

(6› Phép nhân phân phối đối với phép cộng :

Ai.(Áa + An) = A).A2 + Ay.Agy °

Trang 17

2 Vidu

a, MZ), MAQ), MAR) la cdc vành không giao hoán, có

đơn vị và có tước của không Chứng mình :

Dễ đàng thấy Ms(Z) c M;(Q) c M:(R) nên theo định lý H.1 ta chỉ

nên A là ước của không Vậy M;(Z) có ước của không

b M;(Z,) k > 2 là vành không giao hoán, có đơn vị

Chứng mình -

Trang 18

Vì A.B z B.A nên M;(Z4) khơng giao hốn c M;(Z.),k>2 có kÌ phần tử §2 NHÚNG VÀNH V VÀO VÀNH M‹(V) Dinh lý HI,2 : Ánh xa f: V -+ M;(V) 0 abs ta) = [0 | là đơn cấu vành Chitnh minh : f là một đơn ánh ; Giả sử ay, a; c V, a, # a¿ Khi đó rõ ràng : a, 0 + a, |“: 0 0 4, 0 a,

tức là f(a¡) # f(a;) Vậy f là đơn ánh

Trang 20

Chương II: ĐỊNH THỨC CẤP HAI TRÊN VÀNH V §1 ĐỊNH NGHĨA & VÍ DỤ I Định nghĩa b` Cho A =|“ 5 | là một ma trần vuông cấp hai trên vành V Khi đó ic ta gọi định thức của A là phần tử : a h đet A = lAI z= „=ad bc e V A Một định thức dạng ˆ „ với a, b,e,d € V được gọi là một định € thức cấp hai trên vành V 2 Ví dụ ; | a Trong MZ): : =1.)-(-1).1=2 b Trong M;(2) : hl =I.l—(-l) | =i+1=#0 | |

c Vành Bulle là vành giao hoán, có đơn vị và mọi phần

tử x đều có xỶ = x Trong một vành Bulle ta có :

a A

=()e a=b

Trang 21

§2 TINH CHAT CUA DINH THUC

Cho V là một vành giao hoán, có đơn vị 1 Tinh chat 1

Khi lấy chuyển vị (đổi dòng thành cột, cột thành dòng), định thức không thay đổi a h | a c € d | 7 h d Chitng minh : aoe a =ad-—cb= |b d c |

Từ tính chất này suy ra: Mọi mệnh dé về định thức của một ma trận đã đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngược lại 2 Tính chất 2 Đổi hai dòng (cột) cho nhau thì định thức đổi dấu a +b le d | le d a b | Chứng mình : c ad a 5 : = ~ (cb - đa) = da - cb = ' c 3 Tinh chat 3

Trang 22

Chứng mình - ka kb | =kad - kbc ¢ | a - = akd - bkc la b k = k.(ad — bc) = kad — kbc | c ( So sánh ba kết quả suy ra điều phải chứng minh Hệ quả : I Thừa số chung của một dòng (cột) có thể đưa ra khỏi dấu định thức 2 Định thức có một dòng (cột) bằng không thì định thức đó bằng không Đỉnh lý HLA: Anh xa det: MV) ~ V A ys detA

là một đồng cấu của các nửa nhóm nhân, tức là với mọi A;, A; e M;(V):

Trang 23

aa,+be, ab,+bd,

det (A; A>) =

cụa, *xức, eb, +d\d,

= (a)a> + b)C2).(C,;b24+d)d>) — (ay b> + byds).(cya> + dc)

= (ajaocyb> + a;a›d,d; + b¡€ac¡b› + b,c;d;d›)

= (aib;c¡a; + a¡b;d,c¿ + bạd;e¡a¿ + bịd; dịc¿) = aia¿did; + bịcạc¡b; = a,bad,c; = bịd;c¡a;

= aidi.(azdạ —bạca) — b¡c¡.(dạa¿ — c;b›)

= (a)d, - by,c)) ° (aod, = bec)

det A;.det A>

§3 PHAN TU KHA NGHICH TRONG M,(V)

1 Phần tử khả nghịch

Cho V là một vành giao hoán, có đơn vị

a Phần tử A = Ị2 tị M;(V) khả nghịch khi và chỉ khi LAI =

ec }

ad - bc là phần tử khả nghịch của V b — Nếu A khả nghịch thì :

Trang 24

Chứng mình :

a — Giả thiết A khả nghịch, ta có : A.A”= A”.A = lụ

=> det (A.A) = det (A.A) = det Iy = |,

Theo dinh ly III.1 : det A.det A’! = det A’ det A = |,

Vậy IAI khả nghịch trong V

b Đặt :

_ d(ađ-bc)'` —-b(ad-bc}` ,

B= , ta có ;

-clad-bey' alad-bc)" |

AB= (2 ‘) ' dad — bey" sree |

c đ) |- cÁ(ad = bc} Ì a(ud — be}

z ad (ad — be)ˆ' - he(ad -bc}'— — ab(ad =bc)'` +ba(ad = be) ` ` cá (ad — be)` — deÁ(ad -bc}`— —cb(ad -be}` + da(ad = bc)'`, “= ie 0 | “lO t, = In ha d.(ad ~ be} ni ( " ~c(ad-bey' alad-bey'} \e d

Trang 28

aa, — 6b, a,b, +b,a, | \—ba,-ab, —hb, +aya, j (a,a,~-bb,) (ab, +b,a, | = € (—(a*, *+ha,.) (a,a,—b,b,)} Í a, b,\ f[ a, b, \ 2.2,=) * 7 | \-5, a, J = os ( a,a, =b.b, a,b, +b,a, | eC > \-b,a,-a,b, —6,b,+a,a, | f (a,a,-b,b,) (a,b, +b,a,)) 2 €

binh +b,a,) (aa, |

So sánh hai kết quả ta thấy 2).22 = 22.2, Vậy C là một vành con giao hoán của vành M;(R) | 0) Mặt khác lụ = F ` là phân tử đơn vị của M;(R), n= | : b Mọiz=| 7 | <C.z#0 = a hoặc b #0 = a 4 8) teh ; = | =a + bf #0, z có nghịch đảo là : |= a | ga ee - b(a) +b`}''

Trang 29

() |

b Theo định lý IL2 ánh xa f > f(a) =[° L a) | tir R vao MAR) 1

một đơn cấu vành mà C là một trường con của vành M:;(R) nên

0} ; X4

ánh xa Í —> f(a) = lọ | từ R vào € là một đơn câu trường

a

Trường C gọi là trường số phức, mỗi phần tử của C gọi là một số phức

Trang 30

® 0) @ 2) +l 5 of 0 a) \—hA (I¿ a QO) í/b 0 20, f1 “lo al*le s)*| 0 a) t0 b -| Oj

=a + b.i a được gọi là phần thực của số phức z, b được gọi là phần ảo của số phức z Theo định lý IV.2 ta có thể viết :

C=la+bila.beR}

và để thực hiện các phép tính trên C, ta thực hiện như đối với các biểu thức

thực, ở đâu xuất hiện ¡° thì thay bằng (- L)

Từ đó với mọi số phức z¡ = ay + bạ.i, Z; = a; + bạ.iÍ, ta có: Z; = Z> = (a; taz) + (b, t bạ).! Z¡.Z = (a¡â¿ — b¡bạ) + (a,b + b)a>).1 t (20th) +[=ae*hes)s, 220 _ ay +b, a, +b, -° «% Chứng mình : Với mọi Z¡, z; € C ta có ;

ZZ) = (a, + by.1) = (a> + bạ.)

= (a, t a>) + (b;.i + bạ.1)

= (ai + a;) + (bị + bạ).I

Z¡.Z; = (âi + bị.) , (8a + b>.1)

Trang 31

= i¡8› + aiba.l ng bya + bạb;.i = dịaâ› + aiba.l + bụaa.1 + bịhb›.( =l) = (đ¡a› — b¡ba) + (a,b, + b;a›).l (a, +b,.0) (a, = bs.) _(ay +b›.Í}.(a; —b„.j) aa; —a,b).1 +b, da, ~b, 1.02.1 a,” -(b;.i) a,a; —a,B;i + b,a;.¡— b,b,(—l) " 3 a, +b, (a,a, +b,b,)+(-a,b, +b,a,)4 a," +b, \ sia + bby ˆ ` + — a,b, +b, | \ a, +b, a,” + b.`

2 Mô đun và liên hợp của số phức

Số phức z = a + b.i được biểu diễn bởi điểm (a,b) trong mặt phẳng Oxy

Khi mặt phẳng dùng để biểu diễn số phức thì trục 0x được gọi là trục thực và

trục 0y được gọi là trục ảo Khoảng cách từ 0 đến z được gọi là môđun của số

Trang 32

Số z =a - b.i được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a +b.¡ Số phức liên hợp và môđun của số phức có các tính chất sau ; lzl > 0, lzl =(Ó z=(l IZ; + Zol = Izy! + lzal lZ¡.Z;l = lz¿;l lzal §2 THE QUATERNION 1 Dinh nghia Trên vành M;(C) các ma trận vuông cấp hai trên trường C xét tập con : Y= { °) a,beC | -b 3 Dinh lý IV,3 :

@ là một thể con của vành M:(C), gọi là thể Quaternion Mỗi phần tử

Trang 33

| a,—a, — ~ (=(6-6) ~-a, (a, = đ;} (b, “| : = € -(b,-b,) (a, -a,) lI — qi-G2 =|

; aa, -b,b, a,b, +ha, \ —b,a, —a,b, —b.b, +a,a,

<<

Trang 35

LJ=-JI=K That vay: fo ‘Lr Ls able "lr ol } JK=-K.J=1 That vay: le ee lee le I.K=-=K.I=1 Thật vậy : b _ Theo định lý IL2 ánh xạ z > lo " từ C vào M;(C) là đơn cấu, 0 , theo định lý [V.1b ánh xạ a — k từ R vào C là đơn câu mà a ( la thé con của vành M;(C) nên ánh xạ a — R | từ R vào © a là đơn cấu Từ định lý IV.4b ta có : R*fcR)= | [§ | aeR beg a Như vậy ta có thể coi R là một trường con của thể Q va đồng nhất số 0 le a thực a với f(a) = R Dinh ly 1V.5:

Mọi phần tử của @ đều có dạng :

Trang 36

Chiing minh : Với mọi : Í au b | q°1_¿z a} data = a;+ a>.l › b= b, + ba với ay, A>, bị, bạ € R, tả CÓ : q= | a +a, b, + by 4 | -hÒ +ÁÀ ¡ a, ~ đạt j = | a+a,i 9 | + | 0 b, +b; 4) 0 a, ~ Gs4, Lb, thy 0 J | 0 | ( oO | h b { =|? 4 | 224 + | () ‘| + 0 3 | 0 @j7 |0 ~ G34) -b, b,i Ö 0 0 \ fi 0` 0 19: ORS ( 0\/0 ji) “ a, l+ uy R |† h, +] 2 | | 0 4) \0 a) \0 -i b, -! OJ {t0 b JV 0 a¿+a;›l+b,J+b:K Từ định lý IV.Š ta có :

Q@= | ai+a›yl+b,.J+b;.K lay, a¿, bị, by c R }

3 Qui tắc tính trong thể Quaternion

Theo định lý IV.4a và IV.5 , để thực hiện các phép tính trên €) ta thực hiện như đối với các biểu thức thực, ở đâu xuất hiện lÝ, JỶ, KỶ thì thay bằng

(-1) và L.J (hay -J.Ù, J.K (hay -K.}), I.K (hay -K.U) thì lần lượt thay bằng K,

IJ

Với mọi số quaternion :

Trang 37

VHD 55S 5S aa ee AAIBS heh iter ViREE cAlp hai

q; =q2= (ai + C¡) + (ay + cạ).l +(b; + d,).] + (bạ#‡ d;).K

q::q› = (a@)Cy — axC> - bd, - b;d;) + (a\C) + aoc) + bạđ; ~ b;d,).l + (ad) + acd, + b,c; - b.c>).J + (a;d; + aod, - bạc: + b;c¡).K

q, _ | ac, +a,c; +b, + bid, | | [~c;+a;e, -bạd; + b.đ, | q: \ 6 +0; +d, +d,’ | x | -a,d, -a,d, + bịc, + bạc, | 1 38 -a,d, +b,c, + b,c, co +c, +d, +d, Cc, +C, +d," +d, Ẹ |K.a:z0 c+, +4) vá, Chứng mình ; Với mọi q¡, q› € Ó ta Có : q) qo = (a, + ap.1 + bị.] + bạ.K) ‡+ (c¡ + cạ.Í + dị.J + dạ.K) =(a,;tc;)+ (a:.Í + ca.l) + (bạ.J + d;.1) + (b„.K ‡ d>.K) = (ai ‡ c¡) + (a¿ ‡ cạ).Í + (bị + đị).J + (bạ + d;).K qi:đ: £ (âi + â¿.Í + bị.] + bạ.K) (c¡ + cạ.Í + đị.J + dạ.K) = 8¡C¡ + 8¡C¿.Ï + a;d¿.] + a,d;.K + a›.L.c¡ + aa.Lc›.l + a;.Lđ;.] + a;.L.d›.K + bị,J.c¡ + b¡.J.c;.Í + bị.1.dị.1 + bị.1.d;.K + b;.K.c¡ + b;.K.c;.l + b;.K.d¿.J + b;y.K.d;.K = a¡C¡ + a¡C:.Í + a;d¡.] + a;d;.K

+ as€i.Ï + asc¿ + aađị.LJ + azd;.I.K

+ bị€.J + bịc¿.J.I +bịdị.JÝ + bạd;ạ.J.K + bạe¿.K + bạc;.K.I + bạđ;.K.J + b;d;.K?

= đỊC¡ + ¡Ca [+ a¿d,.] + a)d>.K

+ a›€C¡.Ï + azcs.(— Ì) + a;d¡.K + a¿d;.J

+ bịc¡.J — bịc¿.K + b¿dị.(— L) + bịđ;.Í

+ bạc,.K - bec>,J - bod).1 + bod>.(— 1)

Trang 38

q, a.,+a,l+b,l+b k q› c,+c,l+d,J+d,K (a, +a l +b,.J + b K).(c, -c I-d,1J-đ K) (c, +c |+d,.J+d,.K).(c.,-c !-d,1-d,.K) Ta có : Tử số : (a, +a,I+b,.J+b, K)(c, -c,.!-đ,.J- d,.K)

= a)C, — a)C>.1 — aydy.J - a¿¡d:.K

+ a›.l.c¡ - a›.L.c›.Ï - a›.L.dị.]—- a:.l.d;.K +b;.J.c; - b¿.1.c;.l - b;.1.d;.1 - b;.1.d;.K + bạ.K.c; - b;.K.c;.l - bạ.K.d¡.1 - b;.K.d;.K = aC; — ayCp.] — aydy.J — ayd>.K

+ arc) — aco.I* — aod).1.J - apd>.1.K + byc;.J - b;c;.J.I — b,đ;.J - b,đạ.J.K + bạc,K - bạc;.K.I - b;d;.K.J - bạd;&? = 8¡C¡ — 8¡C‡.Í — a,d).J — ayd>.K + aoc).1 — ao€>.(—1) — aod) K— aod>J + b,c).J + bye K — by d,.(-1) — bydp I + boc) K + b;c;.] + bod) — bod>.(—1)

= (a)C) + AoC» + By, + body) + (— apcy + anc, — bid» + bod; ).1

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	1,41 MB