J DIAD
TRUONG DAL HOC SU PHAM TP HO CHi MINH KHOA TOAN - TIN HOC
LUAN VAN TOT NGHIEP
MOT SO TIM HIEU VE
VANH SO HOC
Trang 2LOI NOI DAU
Năm 1986, Gido su Zenon Ivanovich Borevich có trình bày một chuyên đề
về nhóm tuyến tính tại Thành phố Hồ Chí Minh Trong chuyên để đó, Giáo sư có
giới thiệu về lớp vành số học với một số kết quả về lớp vành này
Luận văn này là một bài tập lớn mà nhiệm vụ chúng tôi là chứng minh một
phần các kết quả đã được giáo sư Zenon Ivanovich Borevich giới thiệu tại chuyên
đề trên
Luận văn gồm ba chương Chương I và chương II đóng vai trò chuẩn bị, cung
cấp những kiến thức cần thiết cho phần chính là chương HII
Ở chương I chúng tôi đã trình bày lại định nghĩa về vành và các khái niệm
liên quan như: vành con, iđêan, đồng cấu vành Khái niệm vành nói đến trong luận
văn theo quan điểm Đại số giao hoán, là vành giao hoán có đơn vị Chương này tóm tắt một vài kết quả quan trọng về vành các thương và lý thuyết modun, không có
phần chứng minh các định lí, mệnh đề
Chương II nói về khái miệm dàn, về ý nghĩa vẫn là chương chuẩn bị Tuy
nhiên khái niệm dàn khá mới mẻ đối với chúng tôi vì không được giới thiệu trong chương trình Đại học Vì lí đo đó, đàn cùng với phần chứng minh cặn kẽ các tính
chất, mệnh đề cần thiết được tách ra một chương riêng
Chương II là phần chính của luận văn Chúng tôi trình bày định nghĩa vành số học, điều kiện cần và đủ để một vành là vành số học, tính địa phương của tính
số học và mối quan hệ giữa vành số học với các vành quen thuộc như: vành Bezout, vành địa phương, nửa địa phương, vành nửa nhân, vành chính quy Von
Neumann
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Đình Lân đã dẫn dắt nhiệt tình, giúp đỡ và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn
Chúng tôi xin cám ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin Đại học Sư Phạm
TPHCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp chúng tơi hồn thành luận văn
Chúng tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý thầy cô về những thiếu sót khó
tránh khỏi của luận văn
FV HD Thành phố Hồ Chí Minh, thang 4 năm 2005
1U Người viết
en
Trang 3MUC LUC
i)
Lời nói đầu
ChươngI : Kiến thức chuẩn bị I Vành 2 Modun 3 Vành các thương ChươngH : Dan 1 Dan 3, Một số dàn đặc biệt ChươngHI : Vành số học I Vành số học
Vành số học & khái niệm dàn
Tính địa phương của tính số học
Vành số học & tính Bezout
Vành số học & tính nửa nhân
Trang 4chene) ~~ - KIEN THUC CHUAN BI » LVành Định nghĩa: Cho tập #8 #Ø trên đó trang bị hai phép toán “+ và ” # được gọi là vành nêu và chỉ nếu : * (R,+) la nhém Abel * (R,.) la vi nhém Abel, * VabceR (a+b)c=ac+be
Như vậy, vành trong định nghĩa trên chính là vành giao hoán có đơn vị so với
định nghĩa đã học trong chương trình Đại số năm 2 Trong luận văn này ta chỉ nghiên cứu vành với định nghĩa trên
Dưới đây là những kiến thức phục vụ cho luận văn Đây chỉ là nội dung của
các định lý, tính chất; phần chứng minh có thể được tìm thấy trong quyển
[ntroduction Commutative Agebra- M.F.Atiyah, I.G.Macdonal
Ménh dé 1.1:
Vành (& + ):
i) Phần tử trung hồ đối với phép tốn là duy nhất
e Phần tử trung hoà của phép + gọi là phần tử không Kí hiệu: 0 e Phân tử trung hoà của phép gọi là phần tử đơn vị Kí hiệu: I
li) Oa=0 VaeR
iii) -(-a)=a VaeR
iv) (-a)b=a(-b)=-ab Va, beR
v) VabeR,YneZ: (na)b=a(nb)=n(ab)
vì) Va,b œR (¡=l, m j=l, m): (4X b,)=Vab,
j=l l./ t=l
vii) VWa,beR,VneN: (ab)}'=a'P"
viii) Va,beR, (a+b)" => Cia'b™ =) Cia"'b
i= ixO
Nhang lưu ý:
Cho vanh (R,+,.), voi bat k) phan th ae R
a dude goi la phan wi kha nghich néu t6n tai a € R sao cho aa =1
a#0 dude goi 1a udc cia 0 néu tén tai a ER, a #0 saocho aa =0
Vành khác 0, không có ước của 0 được gọi là miễn nguyên
a được gọi là luỹ đẳng nếu đ` =a
Trang 5Uanh con Cho R 1a vanh, ACR A dude goi la vanh con cua R khi va chỉ khi: * lead * VabeA:a-bead, abead., Mệnh đề I.2: Giao của một họ vành con là một vành con Déng cdu vanh
Cho hai vanh R va S Cho 4nh xa f:R—S fdudc goi la déng cấu vành
khi va chi khi:
Yx,veR
ƒ(x+y)= /(x)+ /@)
ƒ(xy)= /(x)./(y)
ƒ£d¿)=l;
Các tính chất về đồng cấu vành, định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, ảnh của đồng cấu Im ƒ, hạt nhân của đồng cấu Kerƒ hoàn toàn tương tự như đã biết trong chương trình Đại số năm 2 dô@an Iđêan của một vành # là một tập con / c # thoả: [#2 Vabel:at+bel VxeR,ave/,Vael Kí hiệu: 7 4#
Một iđêan của R va #R dude goi 1a idéan thật sự
laR, J=Re lel
14R,1=R&3ae/: a la phan tt kha nghich
/ = {0} duge gọi là iđêan tầm thường e© Hạt nhân của đồng cấu vành là iđêan
Iđêan nhỏ nhất chứa 7 c # được gọi là iđêan sinh bởi T Kí hiệu: (7)
Dac biét: T ={x,,x,, ,x,}, (T) “(Xa 3,) được gọi là tđêan hữu hạn sinh
Mệnh đề 1.3:
(Xi, {Sax |a, e R|
i=l
* Dac biét: (x) gọi là idéan chinh, (x) =|av|ae R} =xR
Trang 6Phép todn (rên cde idéan Ménh dé 1.4:
Giao () I, cia mét ho Làn" của vành # là một iđêan của R
aeM
Ménh dé 1.5:
Cho /va J 1a hai iđêan của R Khi d6, cdc tap hợp sau : *“/+J=\x+y|xel,yeJ} la iđêan của 8
*/J= {Dam |x, Eel/,y, € 1} la idéan cba # (tổng hữu hạn các tích)
hh
* J;/=laeR|VxeJ,ave I(a/ c P)| la idéan cia R Định nghĩa:
e /+ được gọi là tổng của hai iđêan / va J,
Như vậy ta cũng có khái niệm tổng hữu hạn iđêan 7,,/, 7, L+d,+ t1, ={x, +x, + 4+%,) 4,67, =1
e /.J dude goi la tich cia hai idéan / va J Ta con viết là L/
Từ đó ta có khái niệm luỹ thừa của một iđêan:
Trang 7se Cho Aƒ 48 Aƒ được gọi là tối đại khi và chỉ khi
* MzeR
* M khéng chita nghiêm ngất trong bất kì tđêan thật sự nào của # Tập các iđêan nguyên tổ của # kí hiệu là: Spec(#)
Tập các iđêan tối đại của # kí hiệu là: A⁄Zax(#)
Mệnh đề 1.8:
/¡ 4R Khi đó:
e / là iđêan nguyên tố của # khi và chỉ khi ®&// là miền nguyên e / là iđêan tối đại của # khi và chỉ khi ®/7 là trường
Hệ quả 1.9:
e Idéan t6i dai la idéan nguyên tố
e Trong mét vanh R, 0 1a idéan nguyên tố khi và chỉ khi # là miền nguyên
Mệnh đề 1.10:
Mỗi iđêan thật sự của một vành đều chứa trong ít nhất một iđêan tối đại nào đó Hệ quả 1.11:
Cho vành # z0
e Trong # luôn có ít nhất một iđêan tối đại
e Mỗi phần tử không khả nghịch của # luôn thuộc về ít nhất một iđêan tối đại UVanh dia phuting Dinh nghia: Vành chỉ có đwy nhất một iđêan tối đại được gọi là vành địa phương Ví dụ:
* Trường là vành địa phương
* Vành Z„ với m= p” (plà số nguyên tố, @e N’) là vành địa phương
mà không là trường
Ménh dé 1.12:
Cho vành # và iđêan thật sự A4 của & Khi đó:
Trang 8i) xé€R kha nghich khi va chi khi xe M
ii) x kha nghich, y khéng kha nghich thi v + y khả nghịch Uanh tich Ménh dé 1.14: Cho họ vanh (,),., Tich Descart []&, vdi hai phép toán: I€ 4 (x, be 4 + (y, View = (x, + ¥, Pi ‘ (x; Yee CY, Vie ro (x, J, ) 4 là một vành Tập [| R và hai phép toán “+,, "được gọi là vành tích cua các vanh R, tea
Mệnh dé 1.15: Định lý Trung Hoa về phần dư
Cho 7,,f;, f„ là các iđêan của vành #, thoả: /,+7/,=,Vi, j Khi đó ta có: RIQ\L = E2
inl dwt
Cho /,,/,, ,/, la cdc idéan của vành R, thod: J +/,=R, Vi, /
Khi đó, với mọi z.#,, z, e ® Hệ phương trình đồng dư:
x=r.(mod/,) x=r,(mod/,) x=r(mod/,)
có nghiệm xe # và nghiệm này duy nhat (mod/, 0 /,0 0/,)
l2 rộng ê thu hep cda idéan
Cho ƒ:4-> là một đồng cấu vành Nếu / là một iđêan của 4, tập hợp
£(1) chưa hẳn là một iđêan trong B Ta dinh nghia idéan md réng (extension)
"của 7 là idéan sinh bởi f(/) trong B
I“=B ƒ(I)={3_v.f(x,)\x, e 1, y, e BỊ
Trang 9Ménh dé 1.17:
Cho f:A—B 1a mét déng cấu vành, z 4 4, 3848 Khi đó:
) aca" pop
i) Bf =P",a°=a™
ii) Gọi C là tập hợp các iđêan trong 44 có tính chất: œ“=œ VøeC v࣠là tập
hợp những iđêan trong Ö có tính chất: đ®“=/ Ve£.thì œ> ø“ là một song
ánh từ C lên £ (ánh xạ ngược là Ø> Ø ) nh dé 1.18:
Nếu @,,a, la nhitng idéan cla 4 và nếu /,/đ, là những iđêan của Bthi : (a, +a,) =a; +a, (A+8 58 +8; (œ,^#,)' Cai Sø; (Ø6 8;} =8 8; (z,œ;)° = (BBY 28:8: (ư,:đ,}' =(@¡ :đ;) (B,:B,) c(::8;) » 2 Modun Định nghĩa: Cho 4 là một vành và một tập ý # @ Một mođun trên vành 4 là một bộ ba thi ty (M,+,.) trong đó: e MxM-omM (x,y)>x+yw 1a phép néitodntrén M ° AxÀM -> M
(a,x) ax là phép ngoại toán trén M và thoả các điều kiện sau:
(i) (M,+) 1a một nhóm abel phần tử trung hoà là 0 (gọi là phần tử không)
(li) VaeA,Vx,yEeM: a(x+y)=ax+ay (1) Va¿be A4, VveMí: (a+b)xv=av+bx (iv) Va,be A, VxEeM: a(bx)=(ab)x
(v) VxeA/, lx=x (1 là phần tử đơn vị của vành 4)
Trang 10* Néu f:A—B 1a mét déng cau vanh thi B 1a mét A- modun véi phép toan
ngoài: ab= f(a)b,Vae A, VbeB
* Néu 44 là trường thì 4- modun là không gian vectơ trên A Tính chất: * VxeM: 0,x=0, *VacA: 0=0, *VxeM, VaeA: (-a)x=-ax=a(-x) Déng cdu modun Định: nghĩa:
N,P la hai 4- mođun Anh xạ ƒ:ă->N được gọi là một đồng cấu 4-
modun (ánh xạ 4-tuyến tính) nếu:
() ` Vx.weAf:/(x+y)= /(x)+ /() (ii) VaeA,VxreM: f(ax)=af(x)
“Tích hai ánh xạ A-fuyến tính là một ánh xa A-tuyén tinh
* Anh xạ ngược nếu có của một ánh xạ 4-fuyến tính là một ánh xa A-tuyén
tinh
* M=N ¢téntai một đẳng cấu A4- mođun ƒ:M ->N
Widen con; eaodlen 6ö Định nghĩa: Cho A- modun M , tap con NCM, N dude gọi là mođun con của M nếu: ¥ N#@ Y VxyeN, x+yveN * VaeA,VxeN:aveN
ý là một mođun con của M thì nhóm thương (A#/N,+) có cấu trúc một A-
modun với phép nhân ngoài: a(x+N)=ax+N (aeX,xeM)
* A-modun (M/N,+,.) goi la modun thuong cia modun M trên mođun con N,
* Anhxa t:M—3M/N véi z(x) =X là một toàn cấu 4- mođun được gọi là toàn
cấu chính tắc
* Cho ƒ/:M N
* Néu Aí là mođun con của 4ƒ thì /(M ) là mođun con của se Á là mođun con của ẤN thì /ˆ'(XN ) là mođun con của A/
s Kerf=f'(0)={xeM: f(x)=0} gọi là hạt nhân của đồng cấu ƒ ƒ£ là đơn cấu © ker ƒ = 0}
Trang 11Phép todn trén cdc modun
° (]M (M,:A4- modun con Mí ) là 4- mođun con,
ref
* Tổng của một họ mođun con (M,),, của 4- mođun Ä£ là mođun con nhỏ
nhất của &⁄ chứa tất cả mođun con 4, Kí hiệu: Ð M,
rel
Dễ thấy : }°M, = {Ds |x,eM, | trong đó x, =0hầu hết trừ một số hữu hạn
tel ial
* Thudng(N:P)ctia hai mođun con NvaP cia A-modun M la tap nhifng
phần tử ae 4 sao cho a?C NV Đó là một iđêan của 4
⁄ (0:Aƒ)=|lae4: ax=0, Vx e Äf| = Ann(M )
¥ Idéan /c Ann(M) thi A-modun M sé c6 cau trúc 4/7-mođun nhờ phép nhân ngoai: dv=ax (ae A,xEeM)
* Modun con sinh bdi tap Y c M 14 modun con nhỏ nhất của ă chứa X Kí hiệu (X) Mệnh đệ 1.19: Cho 4-mođun 4í i) VxeM, Ax={ax:ae A} la modun con cla M sinh bdi x ii) Với XcCM: (X)=) Ax red Dinh nghia: Cho 4-mođun M e - Một họ phần tử (x,),., của Aƒ đều là tổ hợp tuyến tính của họ (x,) bởi X ={x,¿e7} ° &⁄ được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn Nói cách khic M =(x,, X;, , X„))
c M được gọi là hệ sinh của ă nếu mọi phần tử
Khi đó A4 chính là mođun con sinh
IcÍ *
Vậy một 4-mođun hữu hạn sinh 4ƒ có dang M = > Ax, „ VỚI X,, X;, , X„ € ƒ
Trang 12» 3 Vành các thương Định nghĩa: Cho 4 là một vành Một tập con Sc 4 được gọi là tập con nhân của A néu: (i) leS (ii) VabeS abeS Vi du:
e Tap S=A\P, véi P là iđêan nguyên tố của 4, là một tập con nhân e Nếu 4 là miền nguyên thì S, = 4' = 4` {0} là một tập con nhân
se Tập S=l+/, với / là iđêan của 4, là tập con nhân
Định nghĩa:
Cho tập con nhân Š của một vành 4 Trên tập 4x Š ta định nghĩa một
quan hệ hai ngôi #= như sau:
Via,s)(a,s)EAxS — (a,s)=(a,s)©3(eS: (as —as)t=0
Dễ thấy rằng = là một quan hệ tương đương
Ta kí hiệu tập thương 4* Sf la S°'A và lớp tương đương của phần tử (a,s) là =, = § Mệnh đề 1.20: Tập S''4 cùng với hai phép qui tắc: ® Cộng: LEP ab _at+bs sf ge -£ st e Nhân: we ests a b_ab sf st Sst là một vành Vành S”'A trong mệnh để 1.20 được gọi là vành các thương của vành A theo tập con nhân ŠS s=_ S4 là vành không 0eS s Từ định nghĩa ta thấy mọi phần tử “với t,se.§ đều khả nghịch trong $''4 § Nghịch đảo ca l = Đ
đ Anh xa /:4->S'4 xác định bởi ƒ(a)= ` là một đồng cấu vành (nói chung /£ƒ không phải đơn cấu) Dễ thấy những tính chất sau:
¥ seS= ƒ(s) khả nghịch trong Š `4
Trang 13Mỗi phần tử của S '4 dude viét sudi dang f(a) f(s)' vdi ae As eS
Vành các thương của một vành được đặc trưng bởi các tính chất trên Ta cũng kí hiệu ŠˆÌ7 là ảnh của 7 (7 4 4) qua ánh xa f:A>S'A
Dia plutong hod
ChoP 1a idéan nguyén t6 cia vanh A Tap S=A\P là tập con nhân của 4
Trong trường hợp này vành các thương Sˆ'4 được kí hiệu là 4,
Ménh dé 1.21:
Vành 4, là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là tập hợp
S Pai e peP.ses| §
* Vành địa phương 4, gọi là địa phương hoá của vành 4 theo iđêan nguyên tố P * 7 là tập con của 4, ta kí hiệu K -£ ¿1.s£P|
§
Modun ede Ubuting
Cho tập con nhân S cia một vành 4 và một 4-mođun Trén tap MxS ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi # như sau:
V(m, s), (m,s)e MA xS (m, šs) =(m, s ) © 3t S: t(ms —- ms)=0 Dễ thấy rằng # là một quan hệ tương đương trên Ä⁄ x $
Trang 14Ménh dé 1.23: Cho , là những mođun con của 4-mođun 4£ và Š là tập con nhân của A thì: S'(N+P)=S'N+S"P S"(NAP)=S"*NOAS"'P S"'A-modun S"'(M/N) va (S'M)/(S"'N) đẳng cấu nhau, Ménh dé 1.24: Cho N,P 1a nhitng modun con cua A-modun M va P 1a hitu han sinh, thì $'(N:P)=(S”N:S"'P)
Tinh địa plhuting
Tính chất 7 của một vành 4 được gọi là tính địa phương nếu mệnh đề sau là đúng: A có tính chất T A,, có tính chất T với mọi iđêan nguyên tố P Mệnh đề 1.25: Cho ⁄ là một 4-mođun Khi đó các mệnh đề sau tương đương: i) M=O
ii) M„=0,VPe Spe(R)
iii) M, =0,Vme Max(R)
Ménh dé 1.26:
Cho 6:M —N 1a déng cfu A-modun Khi d6 céc ménh dé sau tudng đương:
() Ø là đơn ánh
(ii) Ø,„:Af, =>, là đơn ánh VPe Spec(R) (iÚ) Ø :ă„ >X_ là đơnánh Vme Max(É)
Ta có mệnh để tương tự nếu thay “đơn ánh” bằng “toàn ánh”
ING ring @ thu hep idéan trong vanh cdc tutong
Cho A là vành và S§ là tập con nhân của 4, ánh xạ ƒ: 4——>S”'4 xác định
như sau f(a)=— Cho C={a<Ala* =a} va E=|84S"'A|8*" = 0Ì Ménh dé 1.27:
i) Mọi iđêan trong §$''4 đều thuộc £
ii) Nếu a <A thi a” =|J(a:s) Đo đó a’=(t\exans+2
seS
Trang 15` Cheng It DAN ~ I Dan Dinh nghia: Cho tập X và quan hệ thứ tự <
*-X được gọi là dây chuyền nếu và chỉ nếu hai phần tử bất kỳ trong X có quan
hệ với nhau.( Vx,yeX x<yvVv y<x) x, EX * Phần tử x„ được gọi là cận trên đúng của X nếu: | VxeX x, SxS xX=X, * Phan wf y, dude goi 1a cin dưới đúng của X nếu: Vo € x VxEeX xSy, x=),
Một tập sắp thứ tự riêng phần X được gọi là một dan (lattice) néu mdi tap con
hai phần tử của X đều có cận trên đúng và cận dưới đúng Mệnh dé2.1: e Nếu X là dàn thì bằng cách đặt: a + ® = sup{a,b} ,ab = inf {a,b}, ta có các tính chất sau: (l) (a+b)+c=a+(b+c) (1) (ab)c = a(bc) (2) a+b=b+a (2) ab= ba (3) a+a=a (3) aa=a (4) (a+b)a=a (4) ab+a=a e Đảo lại, nếu X là một tập hợp có hai phép toán +, thod 8 tinh chat trên thì X là một dàn Ching minh: Giả sử X la dan Chứng minh: (l) (a+)+c=a+(b+c)
° (a+b)+c=sup { sup{a, b}, cÌ > sup {a, b} >a, b
Trang 16a+(b+c)=sup{a, sup{b, c}} 2a
sup{a, sup{b, c}} 2sup{b, c} 25, c
sup} a,sup)b,c}) 2supja,b Pi t6.c]j Ì — supfa,sup|b,c}Ì>sup{sup(a.ð].c}=(a+b)+e sup{a.sup{b,c}} >e =da+(b+c)>(a+b)+c (if) * (AG = (at+b)+c=at(b+c) (đpcm) Như vậy, phép toán + trong dàn có tính chất kết hợp Do đó ta có thể viết: (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c =sup{a, b, c} « Chứng minh: (2) œ+=b+a
a +b =sup{a, b} =sup{b, a} =b+a (đpcm)
s Chifng minh: (3) a+a=a a+a=sup{a,a}=a (đpcm) k Chứng minh: (4) (a+b)a = a + (a+b).a =inf {sup{a, b}, a}<a (i) asa re ng, b| >as inf {sup{a, b},c} =(a+b)a (ử) * (¡)A(i)(a+b)a= a (đpcm)
* Chứng minh: (l) (aÖ)e= a(bc)
* (ab)c =inf {inf {a, 6}, c} <¢
inf {inf {a,b}, c}<inf {a,b} <a,b
(ab}c < a
— <inf {b,c}
* albc)= inf {a, inf {d, c}} <a
inf {a, inf {b, c}} <inf {b,c} <b, ¢
re oe < inf {a, b}
= (ab)c <inf{a, inf {b,c}}=albe) (i)
ä(B6Y<£ = a(be) <inf [inf {a, b}, c}=(ab)c (ii)
*- ()^ (i) a(bc) = (ab)c (đpcm)
Trang 17* Chứng minh: (2) ab= ba
ab = inf {a,b} =inf {b, a} =ba (dpem)
* Chitng minh: (3) aa=a
aa = inf {a, a} =a (dpem)
~ Chứng minh: (4) ab+a=a
ab + a= sup |inf {a, bị, a}>a (i)
aza => > ‘i f{ bì .bÌ, aÌ =ab+ b (ii)
a>inf {a, b} a > sup|inf {a, b}, a| =ab + a ii * (/)A(i)=ab+a=dqa (đpcm) Đảo lại: Nếu X là một tập hợp có 2 phép toán +, thoả 8 tính chất trên, ta chứng minh X là một dàn Ta xây dựng quan hệ < như sau: a<b€>a=ab *® Ta chứng minh < là một quan hệ thứ tự: i) Theo tính chất (3) aa=a suy ra a<a bsa b=ba=ab ii) as<bb<c aSba=ah, bSccb=bc =>a=ab=a(bc)=(ab).c = ac >a<c <b famed —
ii) R ={3 =a=b (tínhchất (2) ab=ba)
(tinh chat (1) (ab)c = a(be))
* Ta chifng minh mdi tap con hai phan tf cla X déu c6 can én diing và cận
dưới đúng
° Theo các tính chất (I),(2).(3) ta có:
(ab)a = a(ab) = (aa)b = ab > ab < a
(ab)b = b(ab) = b(ha) = (bb)a = ba = ab > ab < b
Vay: ab sinf {a, 5}
qb <x<a
ab<x<b_ˆ
Khi đó: að = (ab)x = a(bx) = ax = x
Vậy: ab = x, suy ra:inf |a, b} = ab
Giả sử có phần tử xe X |
* Theotinh chat (4) (a+b)a=a
Ta có: G0A3:/2206 suy ra G=AeHO) suy ra: sup|a, b(a+b)=b b} <a+b
b<(a+b)
Trang 18asxsartb Giả sử có phần tử x e X : on : fans a=ax,b=bx Lúc đó: x=x(a+b) wena X=AX+X=a+x Theo tinh chat (4), ta ei x=bx+x=b+x suy ra:(a+x)+(b+x)=x+x a+b+x=x (*) (tính chất (3) ) Mat khác, theo tính chất (4) ta có : (z+b+x)\(a+b)=a+b_ (**) (*)^(**®) t(a+b)=a+b Như vậy: inf {x, (a+)} =x(a+b)=a+b Do đó : a+b< xv x<a+b v>aa+p a th up {a bj = a+b Nhu vay: Ménh dé 2.2: Đối với các phần tử của một dàn X, ta có: l) asc, bS$cma+bse 2) c<a, cSb—c<qdb 3) a<bAcSd—a+cSb+dAac<bd 4) ac+bhes(a+b)c Ching minh: * Chifng minh: 1) asc, bScma+bse asec ,b}s dinh nghia s {c, =sla }<c (định nghĩa sup) Đo đó: a+<e (đpcm) s Chứng minh:2) c<a, c<b=>c<ab < ‘ : : =c<inf{a,b| (dinh nghia inf ) Do đó: e < ab (đpcm) “ Chứng minh: 3) a<bAc<d>a+c<b+dAac<bd ae = ‘i
= sup{a,c} <sup}b, d (dinh nghia sup)
Trang 19Do đó: a+c<b+d tế = inf {a,c} <b c<sd— |infla.e}<d Do đó: ac < bá = inf{a, e} <inf{b, d} " Chứng minh: 4) ae+be<(a+b)c Ta có: Est absat+b ac S(a+b)c be S$ (a+ b)c
Theo tinh chat (1) suy ra: ac + be <(a+b)c
Theo tinh chat (3) suy ra: Ménh dé 2.3: (đpcm) (định nghĩa inf) (đpcm) (hiển nhiên) (đpcm)
Cho dàn Ý, ta có sự tương đương sau:
Trang 20~ 2 M6t sé dan dac biét
Dan phan phoi
Dinh nghia:
Dan V được gọi là dàn phân phéi néu Va,b,ce X (a+b)c=ac+ be
Ménh dé 2.4;
- Trong một dàn X, ta có các mệnh đề sau tương đương: I).Ý là dàn phân phối 2)Va,b.,ceX ab+ce=(a+c)(b+c) Ching minh: s (I2) Va.b,cexX (œ+cMb+ec)=a(b+c)+c(b+c) aye Spee =ab+ac+ €C =ab+c e (2>1) Va, bceX ac+be=(a+bc) (¢+bc) =(a+b\a+c)c =(a+b)c nh dé 2.5: _ Cho dan phân phối Y, ta có các tính chất sau: |) Va,.b.,ceX ab+ac+bc=(a+bXa+cÌ\(b+c) 2) Va,beX, nếu có ceX sao cho a+c=h+e qc = be | thi a=b Ching minh: 1) Va, bcEex
Do X 1a dan phan phối nên ta có:
Trang 23Chucns it VANH SO HOC
» 1.Vanh sé hoc
Trong một vành 4, xét n iđêan nào d6 J, /,, , /„ và mn phần tử bất kỳ Bi Ogi sii tes
Xét hệ phương trình đồng du:
x=a,(mod/,)
(I) x2a,(mod/,)
x =a,(mod/,)
Ta đã biết một diéu kiện đủ để hệ có nghiệm trong 4 là các /, nguyên tố
cùng nhau đôi một (định lý Trung Hoa về phần dư) Hơn nữa một điều kiện cần để hệ có nghiệm là:
(® a, =a,(mod/,+/,)
Vie]
Nói chung, điều kiện (*) không phdi la diéu kién dé dé hé (1) c6 nghiém Tuy
nhiên có những vành, trong đó điều kiện (*) là điểu kiện đủ để hệ có nghiệm (với mọi ø iđêan 7,,/, /„ và mphần tử bất kỳ a,, đ; 4„)
Những vành như vậy được gọi là VÀNH SỐ HỌC (arithmetic ring) Vành 4 gọi là vành số học nếu: Va,, a; a„€AÁ, Vĩ,;, ,/„eL(4) x=a,(mod/,) x =a,(mod/,) => Hé (1) = / oye ny có nghiệm xe 4 Vie] x 2a,(mod/,)
* Vidu: Vanh sé nguyén Z la vanh sé hoc
Trang 24Ta đã biết vành số nguyén Z 1a vanh chinh Do đó : J,= m,Z (m,c Z2), í=Ì, " Suy ra Í+l,=m,Z+m,Z=d,2Z (với d, =(m,m,)) Khi đó (*) được viết lại bằng ngôn ngữ số học như sau: a sa (modđ, ) đ.|(a, =4, ) (*) a Viz / Vit] va hé phugng trinh (1) chính là hệ phương trình đồng dư trong số học: x =a,(modm, ) x = a,(modm,) x =a,(modm,) Ta đã biết một định lý trong số học: (1) có nghiệm © d,|(a,=a,) Vi, j Do đó hệ (l) có nghiệm Vậy Z là vành số học
» 2 Vành số học & khái niệm dàn
Trang 25x, =a (mod /,) Vi A la vanh sé hoc néncé x, € A: (x,=0(mod/,) (1) x„ =0 (mod /,) x,-ael : - LAL, =>a=x,+(a-x, JEU, O1,)+h, = (1,41), +h)cU,o1,)+h Vay: (1,.01,)4+4.=(,4+4)00, +4) (dpem) (l)=
ii) Dan LA) la dàn phân phối => vành 4 là vành số học Vi\, lạ, l„€ L(4), Va, đ›, , A, EA x #a(mod ï,) thoả:(*)4" is ane +t) ta chứng minh hệ xe Cs fad axe nghiệm xe 4 Vit) x =a,(mod/,) Ta chứng minh bằng quy nap 4$ Xét mệnh để với mạ = 2 VI,!¿ceL(4) Va,a,e 4: a,2a,(mod/, + /,) a, =a,(mod/, + /,) ©a-da,el, +]; © 3b,cl, b,el;,:a —a, =b —b, = 4, -b =a, —b, =x, Khi dé: x, -a,=—-b, €/, => x, =a,(mod/,), i=1,2 x za,(mod /,) x =a,(mod/,)
Goi Š là tập nghiệm của hé Ta chifng minh S=x,+/,0/,
Trang 26% Giả sử mệnh để đúng với n=k ,Va,, d; dq.€A, VI, 1¿ 1 € L(A): x=a,(mod7,) a,=a,(mod/,+/,) _, hé (1) kma,(mods;) Viti : có nghiệm x=a,(mod/,) va (1) @ xehb(mods, 01, 9 01,) (b là một nghiệm của (I)) ®Xét mệnh để với ø = & + l Vi, 1, ›?!2.¡ c6 (4), Ya, đ;, d.; Gy, EA x =a,(mod/,) TIẾT, x 2a,(mod/,) Thoả { “ - a châu ta chứng minh hệ (H)4: có nghiệm xe 4 Viel x =a,(mod/,) x #a,,,(mod/,,,) Do a, =a,(mod /,+J,) Vit j; Vi,j sk x=a,(mod/,) nên hé & phuong trinh dau: (IID) /: có nghiệm x=a,(mod/,)
và nó tương đương với phương trình xe (mod/, ¬/ 1+/,), c là một nghiệm
của hệ (HH) (theo giả thiết qui nạp) Như vậy: x =c(mod /, ¬ ï, /3 1, ) | xea,.,(mod ï, ) Vi<k,dq,=a,.(mod7?,+/,.;)—>4,.—a4,6<l +1
c là nghiệm của hệ (HH) = c=a,(mod/,)>a,-ce1, Vi<k => a,,,-—c =(a,,,-—a,)+(a,-—c)el,,, +1, Visk = a,,,-cée(l,,, tL) tL) +h) eh th ah.) (vi L(A) 1a dan phan phéi ) Do d6 a,,, =c (mod/,,,+(/, S1; f11)) x=c(mod 1, ¬1; 1, ) có nghiệm là đ x=a,,,(mod/,,,) ene
Theo trường hợp ø+ = 2 suy ra hệ |
Trang 27Theo nguyén ly quy nap thi Wn, W/,,/,, /, € L(A), Va),@), ,4, EA,
x=a,(mod/,)
(*) a,=a,(mod/,+/,) = Hé (1) x=a,(mod/,)
Vie] có nghiệm x€ Á
x=a,(mod/,)
va (1) <> xsc(mod/,/, 01,), ¢ la mot gid ti nghiém cua (1)
" Vidu: Vanh chinh là vành số học
Giả sử 4 là vành chính Ta chứng minh dàn /(4) là đàn phân phối
* VYa,beA,takihiéu: (da, b)=UCLN(a, b)và [a, b}= BCNN(a, b)
* WI,J,K eEL(A)
¢ A la vanh chinh néncé a,b, ce A: ! =(a )„J =(b ), K =(c)
Ta biét ring: (x) +(y)=((x, y)) va (x) (vy) =([x, y]) Vx, ye A
Do do:
(1+ J) OK =((a)+(b))a(c) =((a, b)) O(c) = ([(a, b), c})
(10 K)+(J AK)=((a) a{e)) + ((b) A(c)) = (La, e]) + Íð, e]) = ((1a, e], [b, c]))
* Mat khdc trong vanh chính ([a, c], [b, c]) va [(a@, 6), c] 1a hai phan uf lién két
nhau
|J8:(b) _ |[a,c]:[(a, b), c]
VEE [ aR : c]{(a, b) c]
+ Ngược lại: đặt đ =({[a, c].[b, c])
Ta có: [a,c]:c và [b,c]:e do đó đ:e Vì [a, e]: đ và [b, c]: đ nên 1H C
và b:|Š) , do đó («#):|Š),
c
= ([a, e], (b, e]) : [(a, b), e] (i)
Trang 28Giả sử A là vành số học, § 1a tap con nhan bất kỳ của 4 Ấp dung địnk lý 3.1, ta chứng mình đàn L(S '4) là dàn phân phổi
VJ.,J,.J) 6(S”}A),
Gọi /:.4->S*'4 xác định như sau: are
f la đồng cấu vành, do đó 7 = ƒ"'(J)eL(4) (i=1, 2,3)
Vậy J = /(1)=S"!I, ,i=l,2,3 (theo mệnh đề J.27, œ“ =œ,VưeL(S'4)) (J,J,)+J,=(S'1¬S*1)+S'I, =S 'hnl)+s T, =§ '(Œnl,)+t) (ménh dé 1.23) =§ !'(Œ+h)nŒ;+#)) (vì 4 là vành số học) =8 (+h)n# (1+1) =(S !+®)n(S'1,+®'T) =(J,+J:)Ю(J;+d⁄:) Vậy L(S '4) là dàn phân phối, suy ra S''4 là vành số học (mệnh đề 1.2 3)
»x 3.Tính địa phương của tính số học
/./ là các 4-mođun con của mođun N va /cJ
Trang 29Định lý 3.4: ( Tính địa phương của tính số học) “Vành 4 là vành số học © 4 là vành số học với mọi ă e AfavA4 ( Chứng minh: (=>) Vành 4 là số học = 4„ là vành số học với mọi A# e MavA4 (đúng theo định lý 3.2)
(©) Ta chứng minh: /(4) là dàn phân phối
VI, J, K € L(A), YM € MaxA, A, 1a vanh sé hoc nén /(44,,) là dàn phân phối Đo đó: (lụ +Ấw )(Ju +Ấu)=(Tụ ^AJu)+Êu =(I+K)w^(J+K)„ =(T=J)„ +Ấu =((I+K)©(J+K})„ =(œJ)+K)„ (mệnh dé l7) - cr
Tacé: (1+ J)A(J+K) DU OJ)+K (hién nhién )
(1+ K)N(J+K))y =(UOS)+K)y VM eMaxA
Theo hệ qud bé dé 3.3, suy ra (1+ J) O(J + K)=UOS)+K Vay L(A) la dan phan phdi (đpcm) » 4.Vành số học & tính Bezout Một vành được gọi là vành Bezout nếu mọi iđêan hữu hạn sinh của nó đê là tđêan chính Định lý 3 $: -_ Cho vành địa phương 4, ta có các mệnh đề sau tương đương: 1, 4 là vành số học 2, VabeA4 a|bvb|a 3 Dan L(A) 1a mét day chuyền | 4 4 là vành Bezout Chứng minh:
Gọi A/ là iđêan tối đại duy nhất của vành 44 Ta biết rằng với mỗi phần tử
xcủa 4, vkhả nghịch khi và chỉ khi x £ A/ ®(1 =2)
ựa,be 4, xảy ra các trường hợp sau:
Trang 30q £ M + Trường hơp!: Trường hợp: ne ; eM => đa là phần tử khả nghịch hoặc ở là phần tử khả nghịch b=a(a"'b) bs — — a=b(b'la) |bị|a aeM beM Xét iđêan =(a})¬((b)+(a~%)] Do L(A) 1a dan phan phéi nén J =((a) 4 (b))+((a) (a -5)) „ |ae(q) ee => a=0 (mod (a) \(b) +(a) ^(a=b)) z =a(mod(a)(a—b)) z =0(mod(a)(0)) z~a e(a)(a=b) z e(a)(b) là Á: z—a=(a—-b)u = av 3s,t€A: z=as=bí + Trường hợp 2: =>ael =>3zeEA (vì 4 là vành số học) >>3zE6: ® (a-bju=av—>a(u-—v)=bu ¢ Néu wéM thi wu 1a phdn wr kha nghich Khi d6: a(u-—v)w"' =b=>alb ¢ NéuweM Xét as=bt Xảy ra hai trường hợp sau: s¢M |a=bts' |bla * Trường hợp |: rưỡng hợp le “nh * Trường hợp 2: Cy = as-a=(a-—bu=>a(u-—s+l)=bu Mặt khác: #— š e ă nên „—s+l là phần tử khả nghịch Do đó: a=b(w—s+l)ˆ, suy ra b|a
Trang 31? (2=3) Ap dung ménh dé 2.3; X là dây chuyển < (Wa,b,ce X,a=be=a=bva=c), Kcl VIJILK € L(A): K =I OJ Khido: KcJ Giả sử: in, ogee K#J ` |3beJ\K
Theo giả thiết ta có đ|b hoặc ð|ø Không mất tính tổng quát, giả sử øib
a|bh—= bAc aAc Ï bAc [=›J =K be K(!)
Vi ` ˆ + :
ay r củ Suy ra /(4) là dây chuyền
*(34)
Ta xét iđêan hữu hạn sinh bat ky cla A :/ =(a,, a), ,4,), VOid,, d,, ,4, EA
Do L(A) la day chuyén nên ta gid stt: (a,)c(a,)c c(a,) (nếu không tà có thé danh lai thif tu cdc a, )
(a,) >(a,)(i=1,2, m)=>a, |a,(i=1,2, 7) Ta chứng minh: / = (a,) + (đ,) CẢ4,,đ,, 4„) =1 (hiển nhiên) , Và €(đ,d, ,), x= Š 8/4, = Š i(ba,) (với a, =ba„Vi <n) ~ / =Qa" Ja, €(a,) => (dy đạ, đ„) C(đạ) Do đó: /=(a„), 4 là vành Bezoul ®(4=2)
e Trước hết ta chứng minh hai phẩn tử a,b bất kỳ của 4 đều có UCLN Xét iđêan (a,b) Do 4 là vành Bezout nên cé d € A: (a, b)=(d)
ae(d) 3ue 4: a= du dìa ( =
a8) 4) = rep bee b=dv =f
Trang 32Goi d=UCLN(a,b), do a#0,640 nén d #0 Tacé: a=duva b=dv Goi s =UCLN(u,v)
|u=us_ |a=dus
lv=us |b=dus
Vi d=UCLN(a,b)nén dids, do d6: 3te A: d =dst => d(st-1)=0 (*)
Néu seM, khi dé s¢—1 1A mét phần tử khả nghịch
(*)đ=0(9
Vậy s£ AM, s là phần tử khả nghịch, do đó ta có: l=CLN(u,v)
=> đs là một ước chung của a,b
(u, v)=l >3, t; 6 Á: tí, + ví, =Ì 6M
uf, £ Àƒ ueM => d=au"' = b=au"l\e => lai|b
= a “lim ee kê»: b\a
7 (3=>1)
Ta chifng minh : L(A) 1a dan phân phối
V1, J, K € L(A), ta chifng minh: (J+J)OK =U OK)4+(JOK)
L(A) la day chuyển nên 7 c J hoặc J c 7 Không mất tính tổng quát giả sử 7 c / Khi đó: (/+J)¬K=ưƯnK (/f*K)c(Jm=K)=>(I=K)+(JnK)=(7JmK) Vậy: (/+J)¬K=(¬K)+(n¬K) (đpcm) Tóm lại Ì => 2 => 3= 4= 2 =›3—>Ì Vậy các mệnh đê đã cho tương đương nhau Dinh l§ 3.6: Cho vành 4, ta có các mệnh đề sau tương đương: 1 A 1a vành số học 2.V/,J,K €L(A)vaX hữu hạn sinh, ta có: (+ J):K =(I:K)+(J:K) 3 ¥x,yed A=((x):(y))+((y):(x))
4 W/,J € L(A),/,J/ hitu han sinh, ta c6: A=(/:J)+(J:/)
Trang 33XXy EL A(X) +I O( Xy) > XXy =U, HUN) (VỚi UX, EL.O(Xy), VXy ES O(Xp)) ux, €10(x,)cl>uel:(x) + - Ta viết: x=+(x~w) Ta chứng mình: (x—w)€ J :(xụ) (X —U)X, = 1g — UX, = VX e/>(t-u)c sh.) Vậy x=u+(x-u) €(1:(x,))+(2(x)) Do đó: (ƒ+J):(xu)C(1:(xạ))+(J :(x)) - Dé thay: (/ + J):(x,) > (1 :(x,)) + (J :(xạ)) Do dé: (1 +J):(x))=(1:(x))) + (J 2(%)) Trường hợp 2: K là iđêan hữu hạn sinh, K =(x,, x5, %)- VI,J EL(A) VM € Max(A), Ay, la vanh s6 hoc địa phương Do đó 4„ là vành Bezout dia phương Khi đó: Ky, (3, BB *)=(9).K, là iđêan chính trong vanh A,, Theo trường hợp l, ta có: (I„ +): =d,„ :Xv)*(J„:Ấv) | =(/+J),,:K,, =(1, > Ky)+V,,: Ky) =((I+J):K)„ =(I:K)„ +(J:K)„ = ((I+J):K)„ =((I:K)+(J:K))ự VM € Max(A) (mệnh dé 1,23 va 1.24) Ta có: (/+):K S(I:K)+(J:K) (dễ thấy)
((I+.J):K)„ =((Œ:K)+(J:K))„ VM &€ Max(A)
=(I+J):K =(I:K)+(J:K) (hệ quả bé dé 3.3) & (2=>3) Vx.ye 4 Ta có: A=((x)+(y)):((x)+(y)) =[():(@)+()) |+[G):(@)+@))] (theo (2)) &((x):(¥)) + (@):@)) (vi VE,FEL(A) ECF =(C:F)c(C:E)VCeEL(A)) >A= ((x) : (y)) + ((v):(x)) %* (34)
WI, J € L(A), J, J hifu han sinh
1 =(X,,Xp5025%q) = (4) + (ag) + + (G)s T= (Me Vases Pn) = (i) + (V2) + + (Yn)
(1:J) = ((m,) (22) + + (a): (CH) + 02) ++ nd)
> ((m):(91) + (02) ++ Vm)) Ho # (C8) (1) + 2) + + Yad)
Trang 35=> Ay =[((x):(y)) + ((y) (2) co = — x): A +(ö À: (x t))y (mệnh để |.23) ((x)„ :(y)wy)+(Q)„ :(x)„) (mệnh dé 1.24) aE) (EE) si wanes a) ome)
l=u+veM,, (M,, la idéan t6i dai duy nhất của A,, ) => ué¢M,, v véM,, > kha nghich v v kha nghich Không mất tính tổng quát giả sử w là phần tử khả nghịch + khả nghịch =(2):(2)= ay =;<(3):(2) 3/ \f 1 \s/ \t aa Ee * +! yt, (z€ Á„) lr \s lr s x,y rt Theo định lý 3.5, ta suy ra A,, 1a vanh sé hoc Vậy 4„ là vành số học VẢ eÄaxA Theo định lý 3.4, 4 là vành số học
Như vậy l=> 2= 3= 4—©5>= 4—=\ Các mệnh đề đã cho tương đương nhau
va 5 Vanh sé hoc & tính nửa nhân
L(4) là dàn các iđêan của vành 4
e Nếu trong/(4) có hệ thức / =JK thì ta nói iđêan / chia hết cho /
e lđêan / của 4 gọi là iđêan nhân nếu VJecL(4) JCï=+>! chia hết cho 7 trong L(4) ( tức là 3X E L(A) J =/K)
Trang 36VIecL(4) ï hữu hạn sinh
+ Trường hợp l: / 1a idéan chinh, / =(a), (ae A) VJ cl,tachifng minh: J =(J:/)/ * /D(J:I)I (hiển nhiên, theo định nghia idéan (J:/)) (1) * xeJ=>xel=>x=ay,(veEA) Vzel, yz= y(az ) (vdi z=az,z €A) => yz=(ya)z => yz=xzeJ (vì xeJ) Vay: Vze/, yvreJ =viCJy€/J:l=x=aycel(J:I)JcCI(7:I) (2) Từ (1) và (2) suy ra J =(J:/)T
Như vậy ta đã chứng minh mọi iđêan chính đều là iđêan nhân
+ Trường hợp 2: [ =(a,đ;, 4„), (a,cA, ¡=l,2, n)
VWicl
VM € MaxA
A,, la vanh Bezout dia phudng nén/,, (4, ` ty 4) -(*) , la idéan chinh
JolraJdycly adJy =ly(Jy ily) (theo trường hợp l) Jy aly ll: Dy (ménh dé 1.24) = Jư =(I(J:1))„ (mệnh đê 1.23) Ta có (J:!)IcJ,((J:1)D„ =J, 0M e MaxA Theo hệ quả bổ đề 3.3, ta có (J :ƒ)f =J, vậy 7 là iđêan nhân KL: 4 là vành nửa nhân (€©) Giả sử 4 là vành nửa nhân Ta chứng minh 44,„ là vành số học VM e ÄMaxA VM e Mfax4, ta sẽ chứng mình mọi iđêan hữu hạn sinh của vành 44,„ đều là iđêan chính Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp iđêan sinh bởi hai phần tử Xét /e/(A„): 1=(3, 2), Lúc đó: /“ =(x,, x,)€ L(4)
& +x;)C i? =(x, x,) => Ke L(A) (x,+x,)=KI' (A 1a vanh nifa nhân)
Trang 37Š # => (x, +43), =Ấu (4.4) (*) Xx, ˆ A =Ky (+1) + (2) (ménh dé 1.7) a5 ne Ky: ae 254, %% Ss Sp 2 | gs, 139; =3q- 9= 2-0) s i's, ~ k k, pices k k, re * Nếu ra hoặc 7 không khả nghịch Khi đó: bê hoặc — phần tử khả “| > j ¬
nghịch Suy ra a hoặc Thu Suy ra: / -“#) hoặc / =“#)
°Ổ Nếu ¬ và 5 kha nghich, suy ra K,, = A,,
2
(*)=> (x +}, -.3)»! hay là ¡-(^*5) (đpcm)
Vậy mọi iđêan sinh bởi hai phần tử đều là iđêan chính Bằng quy nạp suy ra mọi iđêan hữu hạn sinh của 4,„ đều là iđêan chính Do đó 44,„ là vành Bezout địa phương Theo định lý 3.5, 4,„ là vành số học
Vay VM e Mfav4, Á,„ là vành số học Theo định lý 3.4, 4 là vành số học
" Ví dụ:
I Vanh Bezout la vanh sé học
Thật vậy, 4 là vành Bezout Khi đó, mọi iđêan hữu hạn sinh của 4 là iđêan
chính Theo kết quả chứng minh ở trường hợp I, phần thuận của định lý 3.7, mọi
iđêan chính là iđêan nhân Do đó, mọi iđêan hữu hạn sinh của 4 là iđêan nhân,
nên 44 là vành nửa nhân Theo định lý 3.7, 4 là vành số học 2 Vành chính là vành số học
4 là vành chính Bằng định lý 3.1 ta đã chứng minh được vành chính là vành
số học một cách khá dài dòng Tuy nhiên bằng định lý 3.7 ta thấy ngay vì mọi
iđêan của 4 đều là iđêan chính nên iđêan hữu hạn sinh của 4 là iđêan chính, do
đó là iđêan nhân Vậy 4 là vành nửa nhân, suy ra 4 là vành số học
3 Vành nhân tử hoá là vành số học
Thật vậy, ta chứng minh vành nhân tử hoá là vành nửa nhân
V/ecL(4):7 là tđêan hữu hạn sinh
Trang 38Trong vành nhân tử hoá hai phan tử bất kì đều có ước chung lớn nhất Gọi
d =(x,,x,), khi dé J =(x,,x,)=(d)
Bn Co sins Bsc) = i Myce) > ta)
Theo giả thiết quy nạp có phần tử c e 4: (x,,x; x„) =Íc)
Vậy /ƒ ={c)+(x,.,) Theo trường hợp iđêan sinh bởi hai phần tử, suy ra có ae 4: 1 =(c) +(x.) = (a)
Vậy trong vành nhân tử hoá, mọi iđêan hữu hạn sinh là iđêan chính do đó là idéan nhân nên vành nhân tử hoá là vành số học
» 6 Vành số học & tính nửa địa phương
“ Vành nửa địa phương là vành có hữu hạn iđêan tối đại Tương tự như tính
chất của vành địa phương, ta dễ thấy phần tử xe 4 là khả nghịch khi và chỉ khi
s Ta đã biết: Vành địa phương là số học khi và chỉ khi nó là vành Bezout Tương tự, đối với vành nửa địa phương, ta có định lý:
Chứng Vành nửa địa phương 4 là số học khi và chỉ khi nó là vành Bezout mình:
Giả sử 4 là vành nửa địa phương với hữu hạn iđêan tối đại là Aí,,A A, + (<=) Gia si 4 là vành Bezout Ta chứng minh 4 là vành số học
Theo định lý 3.7, ta suy ra 4 là vành nửa nhân
V/eL(4) Ứ=(x,,x,, x,}.Vì 4 là vành Bezout nên tổn tại x, 4 7 =(+x,)
Mặt khác mọi iđêan chính đều là iđêan nhân; do đó 7 là iđêan nhân (đpcm)
Trang 39a),, YM €MaxA , =(a)
Trường hợp l: /„ =
pH i WM €MaxA
e Trường hợp 2:
lụ =(b)„ #(a)„,Vie K
3Ã =li,È vŸ PC TZ, lg snh } â {152,40} i n(Â), wien ap:
Ta viết: I, =(ax, +by,),, „Vỉi€{l,2 n}
| VieK af =O reK
Trong đó;
vn ea =0 },=
Tacé: M+M,=A,Vi,jsn — (vì cácÀ/, là iđêan tối đại)
Theo hệ quả định lý Trung Hoa về phần dư:
Với n phần tử x,e 4, tổn tại x„: x, =x,(modM,) Với n phần tử y,c 4, tổn tại v„: y„ # y,(modA,) Nghĩa là: " ry, -leM,, Vie K (nw.Ì|Uw.Ì ¥,-0EM, VieK °° yy OEM, Viek \ ( to HE Vi HỆ »e|UM,| [)M,
Trang 40Mâu thuẫn lụ, #() VieK., » + Vay *' khả nghịch với mọi ¡€ K s 1 (*)=Ù _ xa + Đyu su, | | 3 =1, =(T)c (172) =1, = =(ax,+by,),, VieK (I) * Với ¿#K, !„ =(a, b)., (4) ax,+by, ax „x | Is) 4, a _ ax, +by, s su + Nếu với moi i¢ K =! kha nghich trong A,, thi — x ‘ 1 suy ra (ax, +by,),, =1y =(a), - x, + Nếu tổn tại ,£K —> không khả nghịch trong 4, b 1 tấu =(a),, = " ” ` b au u Ti ( với — “ấu, } o Xét phan uf cs 4-2), we) (Unjo®s khả nghịch trong Âu, (vì ,£@K) ek ‘ek <[f\w Ì (Um }=‡ SG không khả nghịch trong Ay ex