Một số tìm hiểu về vành số học

J TRUONG DAL HOC SU PHAM TP HO CHi MINH KHOA TOAN - TIN HOC LUAN VAN TOT NGHIEP MOT SO TIM HIEU VE VANH SO HOC Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Dinh Lan Sinh viên thực : Bùi Thị Thiện Mỹ Treing THU Vics Oa TY HC} 34/Hci VW TP Hồ Chí Minh 04/ 2005 DIAD LOI NOI DAU Năm 1986, Gido su Zenon Ivanovich Borevich có trình bày chun đề nhóm tuyến tính Thành phố Hồ Chí Minh Trong chun để đó, Giáo sư có giới thiệu lớp vành số học với số kết lớp vành Luận văn tập lớn mà nhiệm vụ chứng minh phần kết giáo sư Zenon Ivanovich Borevich giới thiệu chuyên đề Luận văn gồm ba chương Chương I chương II đóng vai trị chuẩn bị, cung cấp kiến thức cần thiết cho phần chương HII Ở chương I chúng tơi trình bày lại định nghĩa vành khái niệm liên quan như: vành con, iđêan, đồng cấu vành Khái niệm vành nói đến luận văn theo quan điểm Đại số giao hốn, vành giao hốn có đơn vị Chương tóm tắt vài kết quan trọng vành thương lý thuyết modun, khơng có phần chứng minh định lí, mệnh đề Chương II nói khái miệm dàn, ý nghĩa chương chuẩn bị Tuy nhiên khái niệm dàn mẻ chúng tơi khơng giới thiệu chương trình Đại học Vì lí đo đó, đàn với phần chứng minh cặn kẽ tính chất, mệnh đề cần thiết tách chương riêng Chương II phần luận văn Chúng tơi trình bày định nghĩa vành số học, điều kiện cần đủ để vành vành số học, tính địa phương tính số học mối quan hệ vành số học với vành quen thuộc như: vành Bezout, vành địa phương, nửa địa phương, vành nửa nhân, vành quy Von Neumann Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Đình Lân dẫn dắt nhiệt tình, giúp đỡ đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Chúng xin cám ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin Đại học Sư Phạm TPHCM tạo điều kiện thuận lợi giúp chúng tơi hồn thành luận văn Chúng tơi mong bảo quý thầy cô thiếu sót khó tránh khỏi luận văn FV HD 1U en 'S Nguyin Dink Lin Thành phố Hồ Chí Minh, thang năm 2005 Người viết MUC LUC i) Lời nói đầu ChươngI : Kiến thức chuẩn bị I Vành Trang Trang 2 Modun Trang Vành thương Trang ChươngH : Dan Dan 3, Một số dàn đặc biệt ChươngHI : Vành số học I Vành số học Vành số học & khái niệm dàn i Tính địa phương tính số học Vành số học & tính Bezout Vành số học & tính nửa nhân Vành số học & tính nửa địa phương Vành số học & tính quy Lời kết Tài liệu tham khảo Trang 13 Trang 13 Trang 18 Trang Trang Trang Trang Trang 21 21 22 26 27 Trang 33 Trang 36 Trang 39 chene) ~~ - KIEN THUC CHUAN BI » LVành Định nghĩa: Cho tập #8 #Ø nêu : trang bị hai phép toán “+ ” # gọi vành * (R,+) la nhém Abel * * (R,.) la vi nhém Abel, VabceR (a+b)c=ac+be Như vậy, vành định nghĩa vành giao hốn có đơn vị so với định nghĩa học chương trình Đại số năm Trong nghiên cứu vành với định nghĩa luận văn ta Dưới kiến thức phục vụ cho luận văn Đây nội dung định lý, tính chất; phần chứng minh tìm thấy [ntroduction Commutative Agebra- M.F.Atiyah, I.G.Macdonal Ménh dé 1.1: Vành i) li) (& + ): Phần tử trung hồ phép tốn e Phần tử trung hoà phép + gọi phần tử khơng Kí hiệu: e Phân tử trung hoà phép gọi phần tử đơn vị Kí hiệu: I Oa=0 VaeR iii) -(-a)=a iv) (-a)b=a(-b)=-ab v) VabeR,YneZ: vì) Va,b œR VaeR Va, beR (na)b=a(nb)=n(ab) (¡=l, m j=l, m): (4X t=l vii) VWa,beR,VneN: b,)=Vab, j=l l./ (ab)}'=a'P" viii) Va,beR, (a+b)" => Cia'b™ =) Cia"'b i= ixO Nhang lưu ý: Cho vanh (R,+,.), voi bat k) phan th ae R a dude goi la phan wi kha nghich néu t6n tai a € R cho aa =1 a#0 dude goi 1a udc cia néu tén tai a ER, a #0 saocho aa =0 Vành khác 0, khơng có ước gọi miễn nguyên a gọi luỹ đẳng đ` =a a gọi luỹ linh tổn ne N,n 21 cho a” =0 Uanh Cho R 1a vanh, ACR * A dude goi la vanh cua R va khi: lead * VabeA:a-bead, abead., Mệnh đề I.2: Giao họ vành vành Déng cdu vanh Cho hai vanh R va S Cho 4nh xa f:R—S fdudc va chi khi: goi la déng cấu vành Yx,veR ƒ(x+y)= /(x)+ /@) ƒ(xy)= /(x)./(y) ƒ£d¿)=l; Các tính chất đồng cấu vành, định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, ảnh đồng cấu Im ƒ, hạt nhân đồng cấu Kerƒ hoàn toàn tương tự biết chương trình Đại số năm dơ@an Iđêan vành # tập / c # thoả: [#2 Vabel:at+bel VxeR,ave/,Vael Kí hiệu: 4# Một iđêan R va #R dude goi 1a idéan thật laR, J=Re lel 14R,1=R&3ae/: e© a la phan tt kha nghich / = {0} duge gọi iđêan tầm thường Hạt nhân đồng cấu vành iđêan Iđêan nhỏ chứa c # gọi iđêan sinh T Kí hiệu: (7) Dac biét: T ={x,,x,, ,x,}, (T) “(Xa 3,) gọi tđêan hữu hạn sinh Mệnh đề 1.3: (Xi, {Sax i=l |a, e R| * Dac biét: (x) gọi idéan chinh, (x) =|av|ae R} =xR * Mién nguyén ma moi idéan iđêan gọi vành Phép todn (rên cde idéan Ménh dé 1.4: Giao () I, cia mét ho Làn" vành # iđêan R aeM Ménh dé 1.5: Cho /va J 1a hai iđêan R Khi d6, cdc tap hợp sau : *“/+J=\x+y|xel,yeJ}la iđêan */J= {Dam |x, Eel/,y, € 1} la idéan cba # (tổng hữu hạn tích) hh * J;/=laeR|VxeJ,ave I(a/ c P)| la idéan cia R Định nghĩa: e /+ gọi tổng hai iđêan / va J, Như ta có khái niệm tổng hữu hạn iđêan 7,,/, 7, L+d,+ t1, ={x, +x, + 4+%,) 4,67, =1 e /.J dude goi la tich cia hai idéan / va J Ta viết L/ Từ ta có khái niệm luỹ thừa iđêan: Pell, Tào I'=(LI)I=l°l, Mal :ƒS?z=?7s 57 Hệ [.6: {x.,x,, x,)=x,Ñ+x,R+ +x„R Mệnh đê I.7: Cho /,J,K iđêan vành #.(/„)„ họ iđêan ca # Khi ú: se e /ằ%J/ơjU j(J+K)=JUJ+lK đe /C(I:J), ® (I:J)JCI (I:J):K=(I:JK)=(I:K):/ s« (ƒ]!,):Z=ƒ1.:2) aca acA ⁄:(_!,)=[(\Œ:1„) aed Dinh aeaA nghia: e ChoP| 0° beP se Cho Aƒ 48 Aƒ gọi tối đại * MzeR * M khéng chita nghiêm ngất tđêan thật # Tập iđêan nguyên tổ # kí hiệu là: Spec(#) Tập iđêan tối đại # kí hiệu là: A⁄Zax(#) Mệnh đề 1.8: /¡ 4R Khi đó: e e / iđêan nguyên tố # ®&// miền nguyên / iđêan tối đại # ®/7 trường Hệ 1.9: e Idéan t6i dai la idéan nguyên tố e Trong mét vanh R, 1a idéan nguyên tố # miền nguyên Mệnh đề 1.10: Mỗi iđêan thật vành chứa iđêan tối đại Hệ 1.11: Cho vành # z0 e e Trong # ln có iđêan tối đại Mỗi phần tử không khả nghịch # ln thuộc iđêan tối đại Dinh nghia: UVanh dia phuting Vành có đwy iđêan tối đại gọi vành địa phương Vídụ: * Trường vành địa phương * Vành Z„ với m= p” (plà số nguyên tố, @e N’) vành địa phương mà không trường Ménh dé 1.12: Cho vành # iđêan thật A4 & Khi đó: ¡) — Nếu Vye\A/:x khả nghịch # vành địa phương va M iđêan tối dai ii) Néu Ä/ iđêan tối đại R, ¥VxeM I+x khả nghịch # vành địa phương Hé qua 1.13: Vành địa phương# với A4 iđêan tối đại R Khi do: i) xé€R kha nghich va chi xe M ii) x kha nghich, y khéng kha nghich thi v + y khả nghịch Uanh tich Ménh dé 1.14: Cho họ vanh (,),., Tich Descart []&, vdi hai phép toán: I€ (x, be (x; Yee + (y, View CY, Vie ro = (x, + ¥, Pi ‘ (x, J, ) vành Tập [| R hai phép tốn “+,, "được gọi vành tích cua vanh R, tea Mệnh dé 1.15: Định lý Trung Hoa phần dư Cho 7,,f;, f„ iđêan vành #, thoả: /,+7/,=,Vi, j Khi ta có: RIQ\L = E2 inl dwt Cho /,,/,, ,/, la cdc idéan vành R, thod: J +/,=R, Vi,/ Khi đó, với z.#,, z, e ® Hệ phương trình đồng dư: x=r.(mod/,) x=r,(mod/,) x=r(mod/,) có nghiệm xe # nghiệm nhat (mod/, /,0 0/,) l2 rộng ê thu hep cda idéan Cho ƒ:4-> đồng cấu vành Nếu £(1) chưa iđêan / iđêan 4, tập hợp B Ta dinh nghia idéan md réng (extension) "của idéan sinh f(/) B I“=B ƒ(I)={3_v.f(x,)\x, e 1, y, e BỊ Nếu / iđêan Ư, ƒˆ'(J) iđêan 4, goi idéan thu hep (contraction) J“ J Ménh dé 1.17: Cho f:A—B ) i) 1a mét déng cấu vành, z 4, 3848 Khi đó: aca" pop Bf =P",a°=a™ ii) Gọi C tập hợp iđêan 44 có tính chất: œ“=œ hợp iđêan Ư có tính chất: đ®“=/ ánh từ C lên £ (ánh xạ ngược Ø>Ø nh dé Ve£.thì VøeC v࣠tập œ> ø“ song ) 1.18: Nếu @,,a, la nhitng idéan cla /,/đ, iđêan Bthi : (a, +a,) =a; +a, (A+8 58 +8; (œ,^#,)' Cai Sø; (Ø6 (z,œ;)° = (BBY (ư,:đ,}' =(@¡ :đ;) (B,:B,) c(::8;) 8;} =8 8; 28:8: » Modun Định nghĩa: Cho vành tập ý # @ Một mođun vành e MxM-omM (x,y)>x+yw ba thi ty (M,+,.) đó: ° AxÀM 1a phép néitodntrén M -> M (a,x) ax phép ngoại toán trén M thoả điều kiện sau: (i) (M,+) 1a nhóm abel phần tử trung hồ (gọi phần tử không) (li) VaeA,Vx,yEeM: a(x+y)=ax+ay (1) Va¿be A4, VveMí: (a+b)xv=av+bx (iv) Va,be A, VxEeM: a(bx)=(ab)x (v) VxeA/, lx=x (1 phần tử đơn vị vành 4) Khi vành gọi vành hệ tử modun modun M ”, *® Mỗi iđêan vành modun , AM Ta thường gọilà A-modun N6i riéng vanh Vanh da thifc A[x] 1a mét A- modun A “ A- 4- * Néu f:A—B ngoài: * 1a mét déng cau vanh thi B 1a mét A- modun véi phép toan ab= f(a)b,Vae A, VbeB Néu 44 trường 4- modun khơng gian vectơ A Tính chất: * VxeM: 0,x=0, *VacA: *VxeM, 0=0, VaeA: (-a)x=-ax=a(-x) Déng cdu modun Định: nghĩa: N,P la hai 4- mođun Anh xạ ƒ:ă->N modun gọi đồng cấu 4- (ánh xạ 4-tuyến tính) nếu: () ` Vx.weAf:/(x+y)= /(x)+ /() (ii) VaeA,VxreM: f(ax)=af(x) “Tích hai ánh xạ A-fuyến tính ánh xa A-tuyén tinh * Anh xạ ngược có ánh xạ 4-fuyến tính ánh xa A-tuyén * tinh M=N ¢téntai đẳng cấu A4- mođun ƒ:M ->N Widen con; eaodlen 6ö Định nghĩa: Cho A- modun M , tap NCM, ¥ Y * N#@ VxyeN, x+yveN VaeA,VxeN:aveN ý mođun M modun với phép nhân ngoài: * A-modun * Anhxa N dude gọi mođun M nếu: nhóm thương (A#/N,+) có cấu trúc A- a(x+N)=ax+N (aeX,xeM) (M/N,+,.) goi la modun thuong cia modun M mođun N, t:M—3M/N véi z(x) =X toàn cấu 4- mođun gọi tồn cấu tắc * Cho ƒ/:M N * Néu mođun 4ƒ /(M ) mođun se Á mođun ẤN /ˆ'(XN) mođun A/ s © Kerf=f'(0)={xeM: f(x)=0} gọi hạt nhân đồng cấu ƒ ƒ£ đơn cấu © kerƒ = 0} Imf={f(x)eN:xeM} £ toàn cấu = Imf=N gọi ảnh đồng cấu ƒ