Mở đầu Vành nguyên tố là lớp các vành không giao hoán đặc biệt Càng nghiên cứu sâu thêm về chúng, ta càng phát hiện ra nhiều tính chất thú vị Chính điều này đã góp phần tác động đến việc chọn nghiên c[.]
Mở đầu Vành nguyên tố lớp vành không giao hoán đặc biệt Càng nghiên cứu sâu thêm chúng, ta phát nhiều tính chất thú vị Chính điều góp phần tác động đến việc chọn nghiên cứu lớp vành nguyên tố làm đề tài luận văn thạc sĩ Tuy nhiên, ta biết lớp vành nguyên tố đề tài rộng lớn mà trình độ kiến thức thân tơi khơng thể bao quát hết Xuất phát từ báo “Some comments on Prime rings” Herstein Lance W Small đăng năm 1979, thấy lớp vành nguyên tố đặc biệt thỏa mãn tính chất thú vị mà lớp vành nguyên tố tổng qt nói chung chưa có Cụ thể tính chất nội dung luận văn tơi tóm lượt sau Ta nhắc lại, vành gọi nguyên tố tích hai idean (hai phía) khác khơng ln khác = với , ∈ không Điều tương đương với = 0, ∀ ∈ = hay = 0, ∀ ∈ , vành nguyên tố, hay khơng? Tổng qt ta tìm vành nguyên tố = ( tức = 0) Vấn đề đặt liệu có ≠ =0ℎ cho … phần tử khác không = 0, ∀ ∈ ≠ 0, , ≠ 0, ,…, hay không? Posner Schneider tìm cách giải vấn đề thu định lý việc có hệ thức dạng … = cho lớp vành nguyên tố liên quan việc có hệ thức dạng cho lớp vành nguyên tố khác Dựa báo Herstein Small, đưa kết xa thông qua ba định lý chương luận văn Để chứng minh hoàn chỉnh định lý ta cần đến hai định lý không phần quan trọng khác định lý Goldie định lý Martindale Hai định lý liên quan đến vành thương dạng khác Định lý Goldie nói vành thương cổ điển vành Cịn định lý Martindale nói mở rộng centroid vành Mà tâm vành thương tối đại tâm vành thương Martindale đối xứng Do ta dành chương để xây dựng vành thương trình bày tính chất Tóm lại, luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm liên quan đến iđêan, môđun, bao nội xạ, bao hữu tỉ centroid môt vành; định nghĩa vành khơng giao hốn đặc biệt, tính chất mối liên hệ chúng Chương Vành thương tính chất Chương xây dựng loại vành thương: cổ điển, tối đại, Martindale phải Martindale đối xứng Sau chứng số tính chất mối liên hệ chúng Đồng thời trình bày hai định lý quan trọng Goldie Martindale Chương Một số vấn đề vành nguyên tố Đây phần luận văn Chương trình bày làm rõ vấn đề đặt báo I.N.Herstein Lance.W.Small để thấy lớp vành nguyên tố có tính chất nói cịn lớp vành khơng thể có điều Phần cuối kết luận lại làm luận văn mặt hạn chế chưa làm Mặc dù nỗ lực, cố gắng chúng tơi khó tránh khỏi sai sót hạn chế, kính mong q thầy cơ, đồng nghiệp bạn đọc sẵn lịng góp ý Xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Tập ≠ ∅ vành (1) ∀ , ∈ : − (2) gọi iđêan phải nếu: ∈ , ∈ ,∀ ∈ ,∀ ∈ Chú ý Ta có định nghĩa tương tự cho iđêan trái gọi iđêan hai phía vừa iđêan trái vừa iđêan phải, ta gọi tắt iđêan Nếu iđêan phải ( : ) = { ∈ ∣ ⊂ } Định nghĩa 1.1.2 Các iđêan đặc biệt Iđêan gọi iđêan nguyên tố , ∈ ℎ ∈ ∈ ∈ Iđêan phải (trái, hai phía) gọi iđêan phải (trái, hai phía) tối đại khơng nằm iđêan phải (trái, hai phía) thực Iđêan phải (trái, hai phía) gọi iđêan phải (trái, hai phía) tối tiểu khơng chứa iđêan phải (trái, hai phía) thực Iđêan phải gọi qui ∀ ∈ , ∃ ∈ : − Iđêan phải ∈ gọi cốt yếu có giao khác (0) với iđêan phải khác rỗng Phần tử ∈ gọi lũy linh tồn số nguyên Iđêan phải (trái, hai phía) cho = gọi nil-iđêan phải (trái, hai phía) phần tử lũy linh Iđêan phải (trái, hai phía) số nguyên Nhận xét cho … gọi iđêan phải (trái, hai phía) lũy linh tồn = với m phần tử ∈ Iđêan phải Nếu lũy linh tồn số nguyên lũy linh = (0) cho nil-iđêan (điều ngược lại nói chung không đúng) Tổng hai iđêan lũy linh lũy linh, điều cho tổng hữu hạn iđêan lũy linh Định nghĩa 1.1.3 Cho trường (tổng quát thể), không gian vectơ phải tập với hai phép tốn: +: × ⟶ + (1) phép cộng giao hoán: = ∶ × + , ∀ , (2) phép cộng có tính kết hợp: ( + ) + (3) phép cộng có đơn vị: tồn ∈ cho: ∈ , = + ( + ), ∀ , , +0= 0+ cho (4) tồn phần tử đối: ∀ ∈ , ∃ ∈ : + ⟶ ∈ , = ,∀ ∈ , = 0, (5) phép nhân ngồi có tính kết hợp: ∀ ∈ , ∀ , ∈ , ( ) = ( ), ∈ , ( + )= (6) phân phối với phép nhân ngoài: ∀ ∈ , ∀ , ∈ ,∀ ∈ , ( + ) = (7) phân phối với phép cộng: ∀ , + + , , (8) đơn vị phép nhân ngoài: ∀ ∈ , = Nhận xét Ta gọi tắt không gian vectơ phải không gian vectơ Nếu iđêan phải Định nghĩa 1.1.4 Cho ánh xạ từ ( (1) vào + )= + (3) ( ) với , vành, nhóm cộng Abel × (2) ( , biến cặp ( , ) thành + ) = = ∈ tự nhiên trở thành không gian vectơ + ( ) , , gọi R-mơđun phải có cho: , , ∈ Chú ý Ta dùng “ -môđun” để gọi tắt cho “ -mơđun phải” Nếu R-mơđun ( ) = { ∈ Định nghĩa 1.1.5 ∣ R-môđun trung thành = (0) } = (0) = Bổ đề 1.1.6 ( ) Iđêan ( )- môđun trung thành ≠ (0) gọi - môđun bất khả qui Định nghĩa 1.1.7 tầm thường (0) có hai môđun Bổ đề 1.1.8 (Bổ đề Schur) Nếu ( ) thể (vành có -mơđun bất khả qui phần tử khác khả nghịch) Bổ đề 1.1.9 Nếu đẳng cấu với môđun ⁄ với - mơđun bất khả qui ∈ phải tối đại Hơn nữa, tồn iđêan phải qui) Ngược lại, − cho ∈ ,∀ ∈ iđêan phải qui iđêan ( gọi ⁄ -môđun bất khả qui Nhận xét Nếu vành có đơn vị iđêan phải tối đại qui Vành giao hốn tử Cho R-môđun, ∈ , ánh xạ : → = cho ( ) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng cộng Kí hiệu , ∈ đồng cấu nhóm ( ) vành với phép tốn cộng nhân đồng cấu nhóm : Xét ánh xạ ( )≅ → ( ), ( ) = , ∈ = ( ) nên ( ) ( ) đẳng cấu với vành vành Đặc biệt, R-mơđun trung thành ( ) = (0), ( ) vành ta đồng Định nghĩa 1.1.11 Vành giao hoán tử ( )={ = đồng cấu vành Mà Bổ đề 1.1.10 Rõ ràng ( ) vành =( ) Do tự đồng cấu môđun , Centroid vành ≡ ∈ , = ∈ , ∀ ∈ } ( ), ∀ ∈ ,∀ ∈ đồng cấu môđun Như ta đồng ( ) = End vào ∈ ( )∣ ( ) Với đơn cấu nhúng ta có: ( ) = ( ) vành Cho : nghĩa ánh xạ ( ) vành tự đồng cấu nhóm cộng Với vành gọi → = : ( ) Gọi ( ) vành → = Với , ( ) sinh tất ánh xạ ∈ ∈ ta định , nằm với , ∈ Ta thường gọi ( ) vành nhân Định nghĩa 1.1.12 Centroid vành tập phần tử ( ) giao hoán phần tử với ( ), ta kí hiệu ( ) Nhận xét Lấy ∈ ( ), với , ( ( Suy ∈ ta có ) = ) =( = =( = ) = ( )= ( ) )= ( ) ( , )-đồng cấu song môđun Như centroid vành vành tự đồng cấu song môđun gọi đại số trường Định nghĩa 1.1.13 (1) vành (2) không gian vectơ (3) ∀ , ∈ ,∀ ∈ Nhận xét Nếu ( ) = ( có đơn vị với ∈ )=( thỏa điều kiện sau: ) nằm tâm Định nghĩa 1.1.14 Căn Jacobson vành , kí hiệu ( ) tập hợp phần tử tất môđun bất khả qui Nếu linh hố khơng có mơđun bất khả qui ta qui ước ( ) = gọi vành radical Theo định nghĩa ta có ( ) =∩ ( ), với chạy khắp -mơđun bất khả qui iđêan hai phía Bổ đề 1.1.15 Nếu iđêan phải tối đại qui Định lý 1.1.16 ( ) =∩ ( : ) với hai phía lớn Bổ đề 1.1.17 Nếu ( : ) = ( / ) chạy khắp iđêan phải tối đại qui ( : ) iđêan nằm iđêan phải qui nằm iđêan phải tối đại qui Định lý 1.1.18 ( ) =∩ Nhận xét với chạy khắp iđêan phải tối đại qui ( ) chứa nil-iđêan phía Nếu ( ) = iđêan vành Định lý 1.1.19 ∩ ( ) ( / ( )) = (0) Định lý 1.1.20 Kí hiệu vành ma trận vng cấp n Khi ( )= ( ) Môđun nội xạ bao nội xạ Định nghĩa 1.1.21 Môđun gọi nội xạ với đơn cấu : môđun -đồng cấu : → tồn -đồng cấu ℎ: → - → cho = ℎ , nghĩa biểu đồ sau giao hoán A B h I Nhận xét Tích trực tiếp = ∏ -môđun nội xạ -môđun nội xạ -đồng cấu → nội xạ với mở rộng ⊃ ta có Định nghĩa 1.1.22 (1) -môđun ⊃ = ⨁ với nội xạ chẻ Do mơđun gọi mở rộng nội xạ tối tiểu môđun nếu: nội xạ, ⊂ ′ ⊂ ′ ≠ I’ khơng nội xạ (2) Định nghĩa 1.1.23 khác (0) -môđun ⊃ gọi mở rộng cốt yếu giao không tầm thường với khơng có mơđun thực chứa Một mở rộng cốt yếu mở rộng cốt yếu ⊃ môđun gọi tối đại Chú ý ⊃ mở rộng cốt yếu, ta gọi ⊂ ⊂ môđun cốt yếu , kí hiệu với phần tử khác không ∈ tồn ∈ cho ≠ ∈ ⊂ Nếu ⊂ Bổ đề 1.1.24 Một -mơđun ′ = ⨁ với ′ nội xạ khơng có mở rộng cốt yếu thực nội xạ, xét mở rộng thực ⊃ Theo nhận mơđun khác (0) Do ∩ = (0) nên Chứng minh Đầu tiên, ta giả sử xét 1.1.21, ⊂ không mở rộng cốt yếu Ngược lại, giả sử khơng có mở rộng cốt yếu thực nhúng xạ Theo bổ đề Zorn, tồn môđun ⊂ tối đại mơđun có giao với (0) Trong thương / , môđun khác khơng , im( ) ⊂ Bổ đề 1.1.25 Bất kỳ -môđun ′ / có giao khơng khác (0) với ảnh / Mà theo giả thiết im( ) = / , điều có nghĩa = Cũng theo nhận xét phần 1.1.21, Chứng minh Cho vào -môđun nội ⨁ nội xạ có mở rộng cốt yếu tối đại -môđun, nhúng vào môđun nội xạ Xét họ mở rộng cốt yếu xếp thứ tự chúng theo quan hệ bao hàm Hợp họ mở rộng cốt yếu M Theo bổ đề Zorn, ta tìm môđun minh ⊂ = (0), mà ⊂ ⊂ Ta chứng cho ⊂ mở rộng thành : ′ → Khi ′ nên ker ( ) = (0) Do ta đồng ′ với ( ′ ) ⊂ Điều dẫn đến mâu thuẫn với cách chọn Định lý 1.1.26 Với môđun ⊂ Giả sử điều sai, tức tồn ′ ⊋ mở rộng cốt yếu tối đại ′ Do tính nội xạ với ánh xạ bao hàm ker ( ) ∩ tối đại cho tối đại ⊂ , mệnh đề sau tương đương: (1) mở rộng cốt yếu tối đại (2) nội xạ mở rộng cốt yếu (3) mở rộng nội xạ tối tiểu Chứng minh (1)⇒(2) Do mở rộng cốt yếu tối đại nên theo tính chất bắc cầu phần ý 1.1.23, khơng có mở rộng cốt yếu thực Do theo bổ đề 1.1.24, nội xạ (2)⇒(3) Gọi ′ môđun nội xạ cho với mơđun Do ∩ (3)⇒(1) mở rộng nội xạ tối tiểu mở rộng cốt yếu tối đại tối tiểu dẫn đến = ⊂ ′ ⊂ Theo nhận xét phần 1.1.21, = ′ ⊕ = (0), mà ⊂ nên = (0) hay = ′ Theo chứng minh bổ đề 1.1.25 ta có Do theo chứng minh ⊂ nội xạ theo tính chất ⊂ thỏa điều kiện tương đương ta nói Định nghĩa 1.1.27 Nếu môđun bao nội xạ Nhận xét Bất kỳ mơđun có bao nội xạ (theo mệnh đề 1.1.25) Bất kỳ hai bao nội xạ , ′ : → ′ mà đồng đẳng cấu , tức tồn đẳng cấu Môđun trù mật bao hữu tỉ Cho ⊂ -môđun ∈ Ta định nghĩa ={ ∈ | ⊂ Đây iđêan phải Nếu Định nghĩa 1.1.28 Ta nói ∈ ∈ ∈ ⊂ } \ {0} ⟹ ( môđun trù mật ) ≠ (0) , viết ≠ (0), điều có nghĩa tồn phần tử \{0}, Nếu ∈ ∈ ta gọi mở rộng hữu tỉ ⊂ ∈ , với ≠ cho Nhận xét ⊂ Nếu ⊂ Cho tập khác rỗng , ta định nghĩa ( ) = { ∈ | iđêan phải ⊂ Điều ngược lại khơng ( ta có ⊂ = 0, ∀ ∈ } Với ) = Nếu iđêan ⇔ ( ) = Từ nhận xét ta có hệ sau Hệ 1.1.29 (1) Nếu ∈ phần tử tâm khơng ước (2) Cho iđêan phải Bổ đề 1.1.30 Cho ⊂ (2) ∈ Khi ⊂ -mơđun chứa mơđun qu i phải với ∈ , Mệnh đề 1.1.31 Cho -môđun phải (1) ⊂ Hom ( / , ( )) = ⊂ ⊂ ⊂ Khi đó, ⊂ ⊂ ⊂ , mệnh đề sau tương đương: (3) Với môđun cho ⊂ ⊂ Hom ( / , )=0 Chứng minh Giả sử phản chứng, có -đồng cấu khác khơng : Khi ∩ ( ) ≠ nên tồn , ≠ mà ∈ ⟶ ( ) mà ( ) = \{0} cho ( ) = Do ∈ ⊂ nên tồn ∈ Ta có 0= ( )= ( ) = ≠ (mâu thuẫn) Bây với môđun tối đại Đặt = ( ) = End( ) với tác động bên trái Ta định nghĩa ( ) = { ∈ | ∀ℎ ∈ Đây -môđun chứa Bổ đề 1.1.32 Cho có mở rộng hữu tỉ , ℎ( ) = ⟹ ℎ( ) = 0} Ta có tính chất sau ′ môđun chứa ⊂ Khi đó, ′ ′ ⊂ ( ) ′ ⊂ ( ) ta cần chứng minh Chứng minh Nếu ℎ: ( ) ⟶ ⊂ ( ) Xét -đồng cấu ( ) = ( ) với ℎ( ) = Sau mở rộng miền xác định ℎ đến ( ) ta xem ℎ ∈ ta có ℎ ( ) = Do theo mệnh đề 1.1.31, ′, ta xét ℎ ∈ ⊂ Ngược lại 0≠ Mệnh đề 1.1.33 Giả sử Chứng minh Vì ( ) Ta có ánh xạ bao hàm ⊂ ⊂ cho ℎ( ) = Nếu ℎ( ′) ≠ ( ′/ , ( ′)) ′ Do ℎ( ′) = ta chứng minh ⊂ đơn cấu ⟶ ( ) mở rộng thành phép nhúng : nên bao hàm ( ) nên theo bổ đề 1.1.32, ( ) ⊂ ( ) Ta giả sử ⟶ ( ) Vì ′ ⊂ ( ) ⟶ ( ) mở rộng Khi có -đồng cấu : ↪ ( ) ánh xạ bao hàm ( ) ( ′/ , ( )) = ⊂ điều mâu thuẫn với ⊂ Nhưng theo định nghĩa ( ) ⊂ nên , đơn cấu Xét ánh xạ : ⟶ hai mở rộng ( ) ⟶ ( ) xác định ( ) = Vì ( ) = ⊂ Ta chứng minh xong ( )− ( ) nên theo bổ đề 1.1.31, ( ) ( ∈ ) = 0, ( )= ( ) với ∈ ... sinh Mối liên hệ vành khơng giao hốn Mệnh đề 1.2.9 Vành đơn vành nguyên tố Mệnh đề 1.2.10 Vành nguyên tố vành nửa nguyên tố Mệnh đề 1.2.11 Vành đơn có đơn vị vành nửa đơn Chứng minh vành đơn có đơn... “ -môđun phải” vành định nghĩa vành nguyên thủy phải Nếu -mơđun bất khả qui Định nghĩa 1.2.5 Vành ( ) vành nguyên thủy gọi vành nguyên tố = với , ∈ suy =0 = Bổ đề 1.2.6 Vành nguyên tố thỏa... 1.2 Khái niệm số vành khơng giao hốn Định nghĩa 1.2.1 gọi vành nửa đơn ( ) = (0) Nhận xét Nếu vành Nếu vành nửa đơn iđêan Định nghĩa 1.2.2 Vành ( ) vành nửa đơn nửa đơn gọi vành đơn ≠ (0)