Tích lũy linh của các giao hoán tử trong vành nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Trần Thanh Liêm TÍNH LŨY LINH CỦA CÁC GIAO HỐN TỬ TRONG VÀNH NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ – người trực tiếp đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi nhiều q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô tổ Đại số hai trường Đại học Sư phạm Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy trang bị cho tơi nhiều kiến thức bổ ích suốt q trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô cán phịng Khoa học Cơng nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hiệu, q Thầy Cơ tổ Toán bạn đồng nghiệp trường THPH Hàm Thuận Bắc – Bình Thuận tạo điều kiện thuận lợi tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2010 Người thực Trần Thanh Liêm MỞ ĐẦU Các kiến thức Nhóm, Vành, Trường kiến thức Đại số trừu tượng nhiều nhà Tốn học quan tâm, nghiên cứu Trong đó, kiến thức Vành đóng vai trị quan trọng, có nhiều đề tài cơng trình nghiên cứu mảng kiến thức Trên tinh thần đó, luận văn tập trung tìm hiểu sâu sắc tính chất phần tử vành cụ thể mà đặc biệt Tính lũy linh giao hốn tử vành ngun tố Đó mục đích luận văn Cấu trúc luận văn chia làm hai chương: Chương Các kiến thức lý thuyết vành không giao hoán Trong chương luận văn chủ yếu nêu lên định nghĩa, định lý, hệ quả, mệnh đề kết vành không giao hoán kết vành đặc biệt khác: vành nửa đơn, vành Artin, vành đơn, vành ngun thủy vành ngun tố Ngồi cịn nêu lên mối quan hệ vành đặc biệt Chương Tính lũy linh giao hốn tử vành nguyên tố Trong chương luận văn tập trung giải hai vấn đề sau Vấn đề Cho R vành nguyên tố, phần tử a  R Với x  R ,  a, x   ax  xa lũy linh phải lúc a  Z , với Z tâm vành R Một vấn đề tổng quát đặt : Vấn đề Cho R vành nguyên tố, phần tử a  R Giả sử tồn ideal U R ( U  (0) ) cho với x U , ta có  a, x   ax  xa lũy linh phải lúc ta a  Z Trong trình giải vấn đề nêu trên, cố gắng giải vấn đề với R vành chia được, R vành nguyên thủy R vành nửa đơn (nửa ngun thủy) Từ chúng tơi xét thêm, với giả thiết R vành nguyên thủy R có đơn n vị Lấy a  R , a  Z cho  ax  xa   Z , x  R Khi đó, ta Z  (0) trường R hữu hạn chiều tâm Z CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG GIAO HỐN Trong chương chủ yếu trình bày số kiến thức vành khơng giao hốn : Modules, Cấu trúc Radical Jacobson vành, khái niệm vành nửa đơn, vành Artin, vành đơn, vành nguyên thủy vành nguyên tố mà đặc biệt mối quan hệ vành 1.1 Modules Định nghĩa Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben M gọi R - module có ánh xạ f : M  R  M (m, r )  f (m, r )  mr Sao cho m, m1 , m2  M a, b  R thì: i) m(a  b)  ma  mb ii) (m1  m2 ) a  m1a  m2 a iii) (ma)b  m(ab) Nếu R có chứa phần tử đơn vị m1  m, m  M ta gọi M R - module Unitary Định nghĩa M gọi R - module trung thành Mr  kéo theo r  Điều có nghĩa r  Mr  Nếu M R - module ta đặt A( M )   x  R Mx  (0) gọi tập linh hóa tử R - module M Bổ đề 1.1.1 A(M ) ideal hai phía R Hơn nữa, M R A( M ) - module trung thành Chứng minh  A(M ) ideal hai phía R x, y  A( M ) : M ( x  y )  Mx  My   x  y  A( M ) x  A( M ), r  R , ta có : M ( xr )  ( Mx )r  (0)r  (0)  xr  A( M ) M (rx )  ( Mr ) x  Mx  (0)  M (rx)  (0)  rx  A( M )  M R A( M ) - module trung thành Với phép nhân M  R A( M )  M xác định sau : m  M , r  A( M )  R A( M ) : (m, r  A( M ))  m(r  A( M ))  mr Đây định nghĩa tốt r  A( M )  r  A( M ) r  r  A( M ) Suy m(r  r )  0, m  M  mr  mr   m(r  A( M ))  m(r  A( M )) Hơn nữa, M (r  A( M ))  (0) Mr  (0)  r  A( M )  r  A( M )  Do M R A( M ) - module trung thành.■ Cho M R A( M ) - module a  R ta định nghĩa ánh xạ Ta : M  M cho công thức mTa  ma, m  M Vì M R A( M ) - module (m1  m2 )Ta  m1Ta  m2Ta , m1 , m2  M nên Ta tự đồng cấu nhóm cộng M Đặt E ( M ) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng M Khi đó, ta định nghĩa phép cộng nhân sau: m  M , ,   E ( M ) : m(   )  m  m m( )  (m) Vậy E ( M ) lập thành vành với phép cộng phép nhân ánh xạ thông thường Ta định nghĩa ánh xạ  : R  E ( M ) cho (a )  Ta , a  R , ta thấy (a  b)  (a )  (b) (ab)   (a ).(b) nên  đồng cấu vành Hơn nữa, ker   A( M ) Thật vậy, a  A( M )  Ma  (0)  MTa  (0)  (a )  Ta   a  ker   A( M )  ker  Do ảnh đồng cấu R E ( M ) đẳng cấu với R A( M ) Từ ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1.2 R A( M ) đẳng cấu với vành E ( M ) Nếu M R - module trung thành A( M )  (0) hay ker   (0) Khi  đơn cấu ta nhúng vành R vào E ( M ) Định nghĩa Vành giao hoán tử R M C ( M )    E ( M ) Ta    Ta , a  R Tất nhiên C ( M ) vành E ( M ) Hơn nữa,   C ( M ) m  M , a  R ta có: (m )a  (m )Ta  m( Ta )  m(Ta )  (mTa )  (ma ) Từ ta nói  tự đồng cấu M nhóm cộng giao hốn mà cịn tự đồng cấu M R - module Chúng ta xem C ( M ) vành tất tự đồng cấu module M Định nghĩa M gọi R - module bất khả quy MR  (0) M khơng có module thực Tức M có hai module tầm thường (0) M Định lý 1.1.1 Nếu M R - module bất khả quy C ( M ) thể (hay vành chia được) Chứng minh Hiển nhiên, C ( M ) vành vành E ( M ) nên C ( M ) vành Ta cần chứng minh :   C ( M ),  tồn phần tử khả nghịch C ( M ) Trước hết ta chứng minh   C ( M ),  tồn phần tử khả nghịch E ( M ) Thật vậy, r  R ta có: (M  )r  (M  )Tr  M ( Tr )  M (Tr )  ( MTr )  ( Mr )  M  nên M  module M lại   suy M   (0) M R - module bất khả quy Do M   M suy  toàn cấu Mặt khác, ker  module module bất khả quy M nên ker   (0) ker   M   (mâu thuẫn) Từ ta có ker   hay  đơn cấu Vậy  đẳng cấu suy tồn đẳng cấu ngược  1  E (M ) Khi   C (M ) nên Ta   Ta , a  R   1Ta  Ta 1 , a  R   1  C ( M ) ■ Định nghĩa Ideal phải  R gọi quy tồn phần tử r  R cho x  rx   , x  R Nếu vành R có đơn vị (hay cần có đơn vị trái) ideal  R ideal quy Thật vậy, ta lấy r  1 R x  1x  x  x    , x  R Bổ đề 1.1.3 Nếu M R - module bất khả quy M đẳng cấu (như module) với R - module thương R  đó,  ideal phải, tối đại quy R Ngược lại,  ideal phải, tối đại quy R R  R - module bất khả quy Chứng minh Do M R - module bất khả quy nên MR  (0) Ta đặt S  u  M uR  (0) dễ dàng kiểm tra S module module bất khả quy M nên S  (0) S  M  MR  (0) (mâu thuẫn) S  (0) điều có nghĩa m  M m  mR  (0) Mặt khác, mR lại module module bất khả quy M nên mR  M Bây ta định nghĩa ánh xạ  : R  M xác định  (r )  mr , r  R Dễ dàng kiểm tra  đồng cấu mR  M nên  tồn cấu Theo định lý Noether ta có đẳng cấu R ker  M Đặt   ker   x  R mx  0 Ta chứng minh  ideal phải, tối đại quy R  Hiển nhiên,  ideal phải R   ideal phải, tối đại Giả sử có   ideal phải R cho   chứa  thực Khi đó,     (0)    module R  Mặt khác R   M nên R  R - module bất khả quy     R      R Vậy  ideal phải, tối đại R  Tính quy  Do mR  M suy tồn r  R cho mr  m Khi m( x  rx)  mx  mrx  mx  mx   x  rx  ker   , x  R Ngược lại, giả sử  ideal phải, tối đại quy R Ta chứng minh R  R - module bất khả quy  Dễ thấy R  R - module với phép nhân phép nhân vành R  ( R  ) R  (0) Do  ideal phải quy R nên tồn r  R cho x  rx   , x  R Khi x  R cho rx    ( R  ) R  (0) Vì x  R mà rx   x  rx   , x  R  x      R (mâu thuẫn)  Do  ideal phải tối đại nên R  khơng có module thực Vậy R  R - module bất khả quy ■ 1.2 Căn Jacobson vành Định nghĩa Căn Jacobson vành R kí hiệu J ( R) Rad ( R ) tập hợp tất phần tử R linh hóa tất R - module bất khả quy Nếu R khơng có module bất khả quy, ta quy ước J ( R)  R Khi đó, vành R gọi vành Radical Như theo định nghĩa ta có: J ( R)  r  R Mr  (0) với R  module bất khả quy M  Theo bổ đề 1.1.3 vành R vành Radical R khơng có ideal phải, tối đại quy Nhận xét Nếu R có đơn vị R khơng vành Radical Ta có : A( M )  r  R Mr  (0) Khi : J ( R)   A( M ) , với M chạy qua khắp tất R - module bất khả quy Do M A(M ) ideal hai phía R nên J ( R) ideal hai phía R Mặt khác, xét M R - module phải nên J ( R ) gọi Jacobson phải vành R Tương tự, định nghĩa Jacobson trái vành R Thật may mắn Jacobson phải Jacobson trái vành R lại trùng nên không cần phân biệt trái hay phải Jacobson Để hiểu rõ cấu trúc Jacobson vành, cố gắng mô tả chi tiết cấu trúc Bản chất Jacobson giao lớp ideal đặc biệt Định nghĩa Với  ideal phải R (  : R)   x  R Rx     Xét trường hợp  ideal phải, tối đại, quy R đặt M  R  theo bổ đề 1.1.3 ta có M R - module bất khả quy nữa: A(M )  r  R Mr  (0)  r  R ( R  )r  (0)  r  R Rr    (  : R) Do ta có (  : R) ideal hai phía R  Mặt khác  quy nên tồn a  R cho x  ax   , x  R Do x  (  : R) ax  Rx   suy x   Vậy ta (  : R)    Giả sử có   ideal hai phía R cho     Khi x    Rx       x  (  : R ) suy    (  : R ) Vậy (  : R ) ideal hai phía lớn R nằm  ■ Từ kết ta đến định lý sau Định lý 1.2.1 J ( R)  (  : R ) Trong  chạy qua tất ideal phải, tối đại, quy  R (  : R ) ideal hai phía lớn R nằm  Bổ đề 1.2.1 Nếu  ideal phải, quy, thực R  nhúng vào ideal phải, tối đại, quy R Chứng minh Vì  ideal phải, quy, thực R nên   R tồn a  R cho x  ax   , x  R Suy a   , a   ax    x   , x  R    R (mâu thuẫn) Gọi M tập tất ideal phải thực R có chứa  Nếu    M a    , a    ax    x  ax     , x  R  x   , x  R     R (mâu thuẫn) Áp dụng bổ đề Zorn cho tập M tập tất ideal phải, thực R có chứa  ta  phần tử tối đại M Khi đó:    ,  quy x  ax    0 , x  R  ideal phải tối đại R 1 ideal phải R có chứa  mà 1  R 1  M , tính tối đại  suy  chứa 1 hay 1  0 ■ Định lý 1.2.2 J ( R)    Trong  chạy qua tất ideal phải, tối đại quy  R Chứng minh  Theo định lý 1.2.1 ta có J ( R)  (  : R ) (  : R )   nên  J ( R)    Trong  chạy qua tất ideal phải, tối đại quy R   Chứng minh bao hàm ngược lại    J ( R) :  Ta đặt     ,  chạy qua tất ideal phải, tối đại quy R  Với x  , xét tập     xy  y y  R ta chứng minh    R Giả sử    R ,   ideal phải, quy, thực R   quy ta chọn a   x , suy y  ay  y  xy   , y  R Theo bổ đề 1.2.1 ta có   nhúng vào ideal phải, tối đại, quy  R Khi đó, y  R x   0  x    xy  0 y  xy   nên y  0 , suy R   (mâu thuẫn với tính tối đại  ) Vậy    R Do với x  tồn w  R cho  x  w  xw hay x  w  xw  (*) Ta chứng minh   J ( R) phản chứng Giả sử   J ( R) , tồn module bất khả quy M không bị  linh hóa nghĩa M   (0) , suy tồn m  M cho m  (0) Ta dễ dàng kiểm tra m module M , lại M module bất khả quy nên m  M Do tồn t  cho mt   m , lại t  theo (*) tồn s  R cho t  s  ts  Khi  m(t  s  ts)  mt  ms  mts   m  ms  ms  m Suy m  (mâu thuẫn với m  (0) ) Vậy   J ( R) hay    J ( R) ■  Như vậy, khảo sát cấu trúc Jacobson sở M R module phải Trong trường hợp M R - module trái ta có kết hoàn toàn tương tự cho Jacobson trái Định nghĩa Phần tử a  R gọi tựa quy phải tồn a  R cho a  a  aa  Phần tử a gọi tựa nghịch đảo phải a Tương tự, ta có định nghĩa phần tử tựa quy trái phần tử tựa nghịch đảo trái Chú ý Nếu R có phần tử đơn vị phần tử a  R tựa quy phải  a có nghịch đảo phải R Chứng minh Giả sử phần tử a  R tựa quy phải, tồn a  R cho a  a  aa    a  a  aa   (1  a )(1  a)  Do  a có nghịch đảo phải  a Ngược lại, giả sử  a có nghịch đảo phải R , tồn r  R cho (1  a )r   r   ar  Đặt a  r  , ta có đẳng thức a  a  aa  Do phần tử a tựa quy phải ■ Định nghĩa Một ideal phải R gọi tựa quy phải phần tử tựa quy phải Nếu Mr  ( R  ) r  (0) Rr    r  (  : R)  (0)  r  nên M  R  R module trung thành Vậy R vành nguyên thủy  Ta chứng minh vành nguyên thủy R giao hốn R trường Thật vậy, R vành nguyên thủy nên tồn  ideal phải, tối đại, quy R cho (  : R )  (0) Theo tập đại số đại cương ta có R  trường ta chứng minh R đẳng cấu với R  Xét tồn cấu tắc p : R  R  xác định r  R, p(r )  r ta chứng minh p đơn cấu, thật vậy:   ker p  r  R r   r  R r     r  R Rr     (  : R )  (0) Vậy p đẳng cấu hay R  R  nên R trường.■ Định nghĩa Cho  A  họ đại số  A  Một đại số A  A  A tích trực tiếp họ đại số gọi tích trực tiếp họ  A  với  ánh xạ tắc thu hẹp   A tồn cấu,   đồng cấu chiếu từ  A lên A biến a  thành a Khi đó, cho B  ker   A A B  A  B  (0) Ngược lại, giả sử A đại số B tập ideal A cho  B  (0) Khi đó, A đẳng cấu với tích trực tiếp họ đại số  A  A  A B Bổ đề 1.3.4.2 Một đại số nửa đơn ( hay nửa ngun thủy) tích trực tiếp đại số nguyên thủy Chứng minh  Chiều thuận Giả sử A đại số nửa đơn ( hay nửa nguyên thủy) ta có J ( A)   P nguyên thủy P  (0) ( P chạy khắp ideal nguyên thủy A ) Khi đó, A tích trực tiếp họ đại số  A P P chạy khắp ideal nguyên thủy A Vì P ideal nguyên thủy A nên A P đại số nguyên thủy  Chiều đảo Giả sử A tích trực tiếp họ đại số nguyên thủy  A  Khi với B  ker   A A B  A  B  (0) Vì A đại số nguyên thủy nên A B đại số nguyên thủy Do đó, B ideal nguyên thủy Từ ta có J ( A)   P nguyên thủy P  B  (0) Vậy A đại số nửa nguyên thủy (hay nửa đơn).■ Giả sử R vành nguyên thủy M R - module bất khả quy trung thành Nếu   C ( M )    E ( M ) : Tr  Tr , r  R vành giao hoán tử R M với r  R, Tr : M  M cho mTr  mr theo bổ đề Schur (định lý 1.1.1)  vành chia Ta xem M không gian vectơ phải  , với m  M ,   m xem tác động phần tử  E ( M ) lên m Định nghĩa Vành R gọi tác động dày đặc M (hay R dày đặc M ) với hệ n vectơ: v1 , v2 ,  M độc lập tuyến tính  hệ n vectơ bất kì: w1 , w2 , , wn  M tồn phần tử r  R cho wi  vi r , i  1,2, , n Nhận xét Ở khái niệm dày đặc hiểu theo nghĩa: Lấy tùy ý hệ hữu hạn vectơ M độc lập tuyến tính  hệ hữu hạn vectơ M với số lượng, tồn phép biến đổi tuyến tính biến hệ độc lập thành hệ Nếu dim  M  n hữu hạn Hom ( M , M )  R Thật vậy:  r  R phép nhân bên phải vi r phép biến đổi tuyến tính khơng gian vectơ M thể  : r  Tr  Hom ( M , M ), r  R Do R  Hom ( M , M )  f  Hom ( M , M ) , giả sử e1 , e2 , , en sở M Đồng cấu f hoàn toàn xác định biết ảnh e1 f , e2 f , , en f Theo tính dày đặc tồn r  R cho với w1 , w2 , , wn  M ta có ei r  wi , i  1,2, , n Do r  f suy Hom ( M , M )  R Định lý 1.3.4.2 (định lý dày đặc) Cho R vành nguyên thủy M R - module bất khả quy, trung thành Nếu   C (M ) R vành dày đặc phép biến đổi tuyến tính M  Chứng minh  Để chứng minh định lý dày đặc ta cần chứng minh điều sau: Nếu V không gian hữu hạn chiều M  m  M , m V tồn r  R với Vr  (0) mr  Từ kết ta suy định lý dày đặc Thật vậy, giả sử ta chứng minh điều tức tồn r  R với Vr  (0) mr  Khi mrR  (0) R - module M , M R - module bất khả quy nên mrR  M Do đó, tồn s  R với mrs tùy ý Vrs  (0) Cho n vectơ v1 , v2 , ,  M độc lập tuyến tính  n vectơ tùy ý w1 , w2 , , wn  M Gọi Vi (với i  1,2, , n ) không gian M sinh v j với j  i Vì vi  M , vi Vi theo tồn ti  R với viti  wi Viti  (0) Nếu đặt t  t1  t   tn ta có vit  wi với i  1,2, , n R dày đặc M  Ta chứng minh V không gian hữu hạn chiều M  m  M , m V tồn r  R với Vr  (0) mr  quy nạp theo số chiều V  Gọi V  V0  w dimV0  dim(V )  w V0 Theo giả thiết quy nạp, đặt A(V0 )   x  R V0 x  (0) với y V0 tồn r  R mà V0 x  (0) yr  nói tóm lại y V0 tồn r  A(V0 ) cho yr  Điều có nghĩa mA(V0 )  (0) m V0 (*) Dễ thấy A(V0 ) ideal phải R wA(V0 ) R - module module bất khả quy M Vì w V0 nên tồn r  A(V0 ) cho wr  suy wA(V0 )  (0) Do wA(V0 )  M Giả sử m  M , m V mà Vr  (0) mr  Ta chứng minh điều xảy Tức từ điều dẫn đến mâu thuẫn Ta định nghĩa,  : M  M sau với x  M M  wA(V0 ) nên x  wa với a  A(V0 ) , x  ma Ta chứng minh  ánh xạ, giả sử x  wa  wa với a , a  A(V0 ) ta có w(a  a)  a  a  A(V0 ) nên a  a linh hóa w V0 a  a linh hóa V hay V (a  a)  theo điều giả sử m(a  a)  suy ma  ma hay wa  wa Vậy  ánh xạ Rõ ràng   E ( M ) , x  wa với a  A(V0 ) r  R suy ar  A(V0 ) Khi xr  ( wa )r  w(ar )  ( xr )  m(ar )  (ma)r  ( x )r Từ ta có    Do với a  A(V0 ) ta có ma  ( wa )  ( w )a suy (m  w )a  0, a  A(V0 ) Theo (*) m  w V0 m V0  w  V0  w  V (mâu thuẫn) Vậy định lý chứng minh.■ 1.3.5 Vành nguyên tố Định nghĩa Vành R gọi vành nguyên tố với a , b  R từ đẳng thức aRb  (0) suy a  hay b  Nhận xét Vành R vành nguyên tố thỏa mãn điều kiện sau: a) Linh hóa tử bên phải ideal phải khác (0) R phải b) Linh hóa tử bên trái ideal trái khác (0) R phải c) Nếu A, B hai ideal R AB  (0) suy A  (0) B  (0) Bổ đề 1.3.5.1 Mọi vành nguyên thủy vành nguyên tố Chứng minh Cho R vành nguyên thủy Ta chứng minh linh hóa tử phải ideal phải khác (0) R Thật vậy, cho   (0) ideal phải R giả sử  a  (0) Vì R vành nguyên thủy nên tồn M R - module bất khả quy trung thành Do M trung thành   (0) nên suy M   (0) , dễ thấy M  module module bất khả quy M M   M Từ ta có Ma  M  a  M (0)  (0) , lại M module trung thành nên ta suy a  Vậy bổ đề chứng minh.■ Định nghĩa Một ideal P đại số A nguyên tố với ideal B, C A mà BC  P B  P C  P Đại số A gọi đại số nguyên tố (0) ideal nguyên tố A Một đại số gọi nửa nguyên tố khơng có ideal lũy linh khác (0) Một ideal B đại số A gọi nửa nguyên tố A B đại số nửa nguyên tố Bổ đề 1.3.5.2 Nếu A đại số nguyên tố A đại số nửa nguyên tố Chứng minh Gọi I ideal lũy linh đại số nguyên tố A cho n số nguyên dương nhỏ để I n  (0)  I n1.I  (0) suy I linh hóa phải ideal phải I n1  (0) A nên I  (0) Vậy đại số A không chứa ideal lũy linh khác (0) nên A đại số nửa nguyên tố.■ Định lý 1.3.5.1 A đại số nửa nguyên tố A tích trực tiếp đại số nguyên tố Chứng minh  Chiều đảo Giả sử A tích trực tiếp đại số nguyên tố A N ideal lũy linh A Khi đó, với  N    ( N ) ideal lũy linh A Do A đại số nguyên tố theo bổ đề 1.3.5.2 A đại số nửa nguyên tố từ suy N  (0) với  nên N  (0)  Chiều thuận Giả sử A đại số nửa nguyên tố cho B  (0) ideal A Chọn b1  B , Ab1 A ideal khác (0) A chứa B Do ( Ab1 A)2  Ab1 Ab1 A  (0) (do A đại số nửa nguyên tố) suy b1 Ab1  (0) Từ tồn a1  A cho b2  b1a1b1  b2  B Tiếp tục tiến trình thu dãy phần tử khác sau: b1 , b2  b1a1b1 , b3  b2 a2b2 , , bi  bi 1ai 1bi 1, chứa B với k  i, j bk  bi aij b j aij  A Vì (0)  bi    nên theo bổ đề Zorn tồn ideal P A cho P ideal tối đại tập hợp ideal A có giao với bi   P  bi    Ta chứng minh P ideal nguyên tố A Cho C D hai ideal A cho C  P, D  P Khi đó, đặt C1  C  P, D1  D  P P  C1 , P  C1 P  D1, P  D1 tồn bi  C1 b j  D1 Nếu k  i, j bk  bi aij b j  C1D1 C1D1  P Lại C1D1  CD  P nên suy CD  P Vậy P ideal nguyên tố A Vì P  bi    bi   B nên B  P Tóm lại ta chứng minh B ideal khác (0) A ln tồn ideal nguyên tố P không chứa B Từ dẫn đến  P nguyên tố chứa P  (0) Thật giả sử  P nguyeân tố  P nguyên tố P (mâu thuẫn) P  (0) tồn ideal ngun tố P khơng  P nguyên tố P  (0) Vậy A tích trực tiếp đại số nguyên tố A P ■ 1.4 Mối quan hệ vành 1.4.1 Nếu R vành đơn R có đơn vị R vành nửa đơn Thật vậy, R vành đơn J ( R) ideal vành R nên xảy hai trường hợp : J ( R)  (0) J ( R)  R Mà vành R có đơn vị nên khơng xảy trường hợp J ( R)  R Vậy J ( R)  (0) hay R vành nửa đơn 1.4.2 Nếu R vừa vành đơn, vừa vành Artin R vành nửa đơn Thật vậy, R vành đơn nên R  (0) R ideal vành R , R  R Hơn nữa, J ( R) ideal vành R giả sử J ( R)  (0) suy n J ( R)  R  R   J ( R)  R n  R  (0), n  N (*) Mặt khác, R vành Artin nên J ( R) m ideal lũy linh m  N cho  J ( R )  (0) (mâu thuẫn với (*)) Vậy J ( R)  (0) hay R vành nửa đơn 1.4.3 Nếu R vành nguyên thủy R vành nửa đơn Thật vậy, Nếu R vành nguyên thủy tồn ideal phải, tối đại, quy  cho (  : R)  (0) , mà J ( R)  (  : R ) với  chạy qua khắp ideal phải, tối đại, quy R nên J ( R)  (0) Vậy R vành nửa đơn 1.4.4 Nếu R vừa vành đơn, vừa vành nửa đơn R vành nguyên thủy Thật vậy, với  ideal phải, tối đại, quy R (  : R) ideal R , R vành đơn nên (  : R)  (0) (  : R)  R , cho  chạy qua khắp ideal phải, tối đại, quy R mà (  : R)  R J ( R)  (  : R)  R (mâu thuẫn với R vành nửa đơn), phải tồn ideal phải, tối đại, quy  R cho ( 0 : R )  (0) Vậy R vành nguyên thủy 1.4.5 Nếu R vừa vành đơn, vừa vành Artin R vành nguyên thủy Thật vậy, R vừa vành đơn, vừa vành Artin nên theo 1.4.2 R vành nửa đơn Ta có R vừa vành đơn, vừa vành nửa đơn nên theo 1.4.4 R vành nguyên thủy 1.5 Một số kiến thức PI – Đại số Định nghĩa - f gọi đồng thức A f (a1, a2 , , am )  0, ai  A - Đa thức f gọi đồng thức thực f đồng thức A tồn hệ số f khơng linh hóa A - Một đại số A vành giao hốn có đơn vị K gọi PI – Đại số hay Đại số với đồng thức đa thức tồn đa thức f (a1, a2 , , am )  K  x  đồng thức thực A Định lý 1.5 (Kaplansky – Amitsur) Cho R đại số nguyên thủy có đồng thức d  thực bậc d Khi đó, tâm Z R trường, R đơn  R : Z     2 CHƯƠNG TÍNH LŨY LINH CỦA CÁC GIAO HOÁN TỬ TRONG VÀNH NGUYÊN TỐ 2.1 Các giao hoán tử vành Định nghĩa Cho R vành khơng giao hốn ta gọi giao hốn tử vành R phần tử R có dạng xy  yx x, y  R Khi ta kí hiệu  x, y   xy  yx Nếu R vành giao hốn tất giao hốn tử R Trong chương tập trung giải hai vấn đề sau Vấn đề Cho R vành nguyên tố, phần tử a  R Với x  R ,  a, x   ax  xa lũy linh phải lúc a  Z , với Z tâm vành R Một vấn đề tổng quát đặt : Vấn đề Cho R vành nguyên tố, phần tử a  R Giả sử tồn ideal U R ( U  (0) ) cho với x U , ta có  a, x   ax  xa lũy linh phải lúc ta a  Z Trong trình giải vấn đề cụ thể nêu trên, cố gắng giải vấn đề với R vành chia được, R vành nguyên thủy R vành nửa đơn (nửa nguyên thủy) Với vành cụ thể đặc biệt nói đưa dự đốn tính chất phần tử a cho hai vấn đề nêu a  Z với Z tâm vành R , điều dự đoán khẳng đinh định lý mệnh đề sau 2.2 Tính lũy linh giao hốn tử vành nguyên tố Trong phần ta thống kí hiệu ghi nhận số kết sau: 2.2.1 Z tâm vành R , Z (T ) tâm vành T R 2.2.2 J  J ( R) kí hiệu cho Jacobson vành R 2.2.3 Ideal ideal hai phía 2.2.4 Nếu x tựa quy tựa nghịch đảo x kí hiệu x , ta có x  x  xx  2.2.5 Nếu vành R khơng có đơn vị ta dùng kí (1  x)a(a  x )1 thay cho (1  x)a (a  x)  a  xa  ax  xax 2.2.6 Một miền vành (có thể khơng giao hốn) khơng có ước 2.2.7 Cho R vành nguyên tố R miền Nếu U  (0) ideal R U vành nguyên tố U khơng phải miền Hơn nữa, U có phần tử lũy linh khác 2.2.8 Nếu x tựa quy ax  ax  2.2.9 Nếu a  J x  R t  R : (ax)  at 2.2.10 Cho R vành nguyên tố U  (0) ideal R Nếu a  R, a  ước trái có phần tử x U cho ax  xa  Định lý 2.2 Cho R vành nguyên tố mà J  (0) A vành R cho (1  x) A(1  x) 1  A, x  J Giả sử tồn phần tử khác A ước R Nếu A không chứa ideal khác R N vành sinh tất phần tử lũy linh J không chứa ideal khác R Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh A phải tồn phần tử khác mà có bình phương Thật vậy, giả sử a ước R cho  a  A tồn  x  R để ax  Vì J  (0) ideal R nên theo kết 2.2.10 tồn y  J cho ay  0, ya  Vì y  J nên y tựa quy ay  , theo 2.2.8 ay  suy ya  ya  ay  yay  (1  y )a(1  y )1  a  A Do ay  nên ( ya )2  y (ay)a  Vậy tồn  ya  A ( ya)  Lấy  a  A : a  Nếu x  J (1  ax)a(1  ax)1  A Do tồn t  R cho (1  ax)1   at nên (1  ax)a(1  ax)1  (1  ax)a  a  axa  A  axa  A , từ suy aJa  A Nếu b  A với x  J ta có (b(ax)  (ax)b)(1  ax) 1  b  (1  ax)b(1  ax)1  A Nhân vào bên trái với a áp dụng a  ta có abax(1  ax)1  A, x  J , b  A Tuy nhiên, y  J y  x(1  ax) 1  y (1  ax)  x  y  x  yax  y  (1  ya) x suy x  (1  ya) 1 y  J abaJ  A, b  A Nếu t  J (1  t )abaJ (1  t )1  (1  t ) A(1  t )1  A dẫn đến tabaJ  A hay ta có JabaJ  A Mặt khác JabaJ lại ideal R chứa A , theo giả thiết JabaJ  (0) , tính ngun tố R nên suy aba  Tóm lại, a  A a  aAa  Cho a , b  A cho a  b  theo chứng minh bJb  A  abJba  aAa   ab  ba  (do R vành nguyên tố) Nếu x  J b  (1  x)a(1  x)1  A b  Do ab  ba  nên a(1  x)a(1  x) 1  (1  x)a(1  x) 1 a  , từ ta axa  axa  Nếu u  J thỏa u  u  u  uu  u  u (u  uu)  u , ta có aua  aua   aua  tóm lại ta aua  Chúng ta chứng minh v  J lũy linh ava  Như chứng minh trên, v  J nên ta có ava  ava  Vì v  v  vv  v  v (v  vv)   v  v  v  v lũy linh nên với i  số nguyên dương nhỏ mà vi  Ta có v  v  v  v   (v)i1  v ((v)i 1  1) v  v  v  Do đó, ava  ava  Vậy với v  J lũy linh ava  Từ suy (av)2  Giả sử u  J , u  r  R uru  J (uru )2  nên theo chứng aurua  , lại R vành nguyên tố nên au  ua  Nếu au  hiển nhiên au  A Mặt khác, au  ua  , nhiên a  (1  u )a(1  u )1  (au  ua)(1  u )1  A  au (1  u )1  A hay au (1  u )  au  auu  au  au (u  uu)  au  A Do với u  J cho u  au  A Hơn theo chứng minh ta có aua  suy (au )2  Vì thế, v  J cho v  auv  (au )v  A Thật vậy, au  hiển nhiên (au )v  A , au  au  A (au )2  nên theo chứng minh ta có (au )v  A Từ ta đến kết luận: Nếu B vành R sinh phần tử J có bình phương aB  A Nếu B chứa ideal V  (0) R aV  A Kết hợp với  x x  J ta có (1  x)aV (1  x)1  (1  x) A(1  x)1  A suy xaV  A dẫn đến JaV  A , mâu thuẫn với giả thiết A không chứa ideal khác R Do B khơng chứa ideal khác R Tuy nhiên, B vành R có ước 0, B bất biến tự đẳng cấu R B không chứa ideal khác R Những điều lý luận A áp dụng cho B ta được, u  B , u  x  J lũy linh uxu  ux  B Như trên, N vành R sinh tất phần tử lũy linh J uN  B Vì B khơng chứa ideal khác R nên N không chứa ideal khác R ■ Để giải hai vấn đề nêu ta tìm cách giải toán sau : Bài toán Cho R vành nguyên tố, có đơn vị U  (0) ideal R Nếu a  R cho (au  ua) n  0, u U phải a  Z Tương đương với điều phát biểu : Nếu a  Z chắn tồn phần tử u  U , u  để au  ua không lũy linh Để giải tốn này, trước hết chúng tơi cố gắng giải toán số trường hợp đặc biệt vành R : R vành chia được, R vành nguyên thủy R vành nửa đơn (nửa nguyên thủy) Mệnh đề 2.2 Giả sử R vành nguyên tố, nửa đơn U  (0) ideal R Nếu a  R cho (au  ua) n  0, u U a  Z Chứng minh Trước hết, R vành chia bổ đề hiển nhiên Thật vậy, phản chứng giả sử a  Z tức tồn x  R cho ax  xa  R vành chia nên ax  xa khả nghịch Mặt khác từ giả thiết mệnh đề 2.2 ta chọn U  R (ax  xa)n  ax  xa khả nghịch nên (ax  xa)n 1  tiếp tục nhân hai vế cho phần tử nghịch đảo ax  xa ta ax  xa  (mâu thuẫn) Vậy bổ đề với R vành chia Bây giờ, giả sử R vành nguyên thủy cho M R - module bất khả quy trung thành Thì M U - module bất khả quy trung thành Thật vậy, hiển nhiên M U - module trung thành Ta chứng minh M U - module bất khả quy Nếu MU  (0) M trung thành nên U  (0) (mâu thuẫn) ta phải có MU  (0) Giả sử N  (0) U - module M ta có NU  N  M  NUR  MR  M nên NU R - module M mà M R - module bất khả quy NU  (0) nên NU  M  M  N  N  M Vậy M U - module bất khả quy Từ ta thấy U vành nguyên thủy với M U - module bất khả quy trung thành theo định lý dày đặc U tác động dày đặc M không gian vectơ vành chia   C (M )    E ( M ) : Tu  Tu , u U  Giả sử tồn v  M cho v va độc lập tuyến tính  tác động dày đặc U M nên có u U cho vu  (va )u  v Từ ta có v(au  ua)  v suy v(au  ua) n  v Mà (au  ua)n  nên v  (mâu thuẫn) Do với v  M v va phải phụ thuộc tuyến tính  hay va   (v)v  (v)   Vì thế, x  R (vx)a   (v)vx (va ) x  ( (v)v ) x   (v)vx suy (vx)a  (va ) x  v ( xa  ax)  0, v  M hay M ( xa  ax)  (0) Lại M R - module trung thành nên ta có xa  ax  0, x  R Vậy aZ Tiếp theo, ta giả sử R vành nguyên tố nửa đơn   Gọi Q  P U  P, P ideal nguyên thủy cuûa R   W  P U  P, P ideal nguyên thủy R Đặt I1   PQ P I   PW P Vì P W có chứa U nên I  U  I  (0) Tuy nhiên I1  I   PQW P  J  (0) (vì R vành nửa đơn) Do I1I  I1  I  (0) I  (0) nên ta có I1  (0) ( R vành nguyên tố) Ta có I1   PQ P  R tích trực tiếp họ  R P P  Q Vì P ideal nguyên thủy vành R nên R P vành nguyên thủy Theo R P ảnh a nằm tâm R P Tức ax  xa  0,  x  R P Do ax  xa  P, x  R , từ ax  xa  PQ P  I1  (0) Vậy a  Z ■ Nếu xét tập hợp tất phần tử a  R cho : (au  ua)n  với u U tập hợp bất biến tất tự đẳng cấu R mà biến U thành U Đặc biệt, tập hợp bất biến tự đẳng cấu xác định  x x J Hệ Giả sử R vành nguyên thủy R có đơn vị, với a  R, a  Z cho  ax  xa  n  Z , x  R Khi đó, Z  (0) trường, R vành đơn R hữu hạn chiều tâm Z Chứng minh n n Nếu Z  (0) ta có  ax  xa   Z   ax  xa   0, x  R R vành nguyên thủy, có đơn vị nên R vành nguyên tố (bổ đề 1.3.5.1) nửa đơn (1.4.3) theo mệnh đề 2.2 suy a  Z (mâu thuẫn giả thiết a  Z ) Vậy Z  (0) n n Vì Z  (0) nên tồn  ax  xa   0,  ax  xa   Z Khi đó, R thỏa mãn đồng thức n n thực không tầm thường  ax  xa  y  y  ax  xa   nên R PI – Đại số Do theo định lí 1.5 (Kaplansky – Amitsur) tâm Z  (0) R trường, R vành đơn R hữu hạn chiều tâm Z ■ KẾT LUẬN Qua việc tìm hiểu Jacobson vành, mối quan hệ vành đặc biệt giao hoán tử vành nguyên tố rút số kết sau:  J phaûi ( R )  Jtrái ( R) Jvành ( A)  Jđại số ( A)  Nếu R vành đơn R có đơn vị R vành nửa đơn  Nếu R vừa vành đơn, vừa vành Artin R vành nửa đơn  Nếu R vành nguyên thủy R vành nửa đơn  Nếu R vành nguyên thủy R nguyên tố  Nếu R vừa vành đơn, vừa vành nửa đơn R vành nguyên thủy  Nếu R vừa vành đơn, vừa vành Artin R vành nguyên thủy  Cho R vành nguyên tố có đơn vị với Z tâm R Nếu R vành chia hay vành nguyên thủy hay vành nửa đơn (nửa nguyên thủy) giả sử tồn ideal U R ( U  (0) ) cho với x U , mà  a, x   ax  xa lũy linh ta có a  Z Như tốn giải cho vài trường hợp đặc biệt vành R , R vành nguyên tố có đơn vị R vành chia hay vành nguyên thủy hay vành nửa đơn (nửa nguyên thủy) Trường hợp tổng quát R vành nguyên tố tùy ý phải ta có kết a  Z Và câu hỏi đặt hướng cần thiết để luận văn phát triển thêm Ngoài ta thay  a, x   ax  xa lũy linh  a, x   ax  xa  Z tính chất rút cho phần tử a gì? Vì kiến thức cịn hạn chế thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý, bảo chân thành quý Thầy, Cô bạn TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Xuân Sính, Đại số Đại cương, NXB Giáo dục A I Kostrikin, I R Shafarevich (Eds), Algebra II Noncommutative Rings Identities, Pringger-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest I N Herstein, Noncommutative Rings, published by The Mathematical Association of America I N Herstein, Center-like Elements in Prime Rings, University of Chicago, 5734 University Avenue, Chicago, Illinois 60637, communicated by the Editors, 1979 Nathan Jacobson, PI-Algebras An Introduction, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1975 T Y Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Pringger-Verlag New York, Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest ... đại số nguyên thủy có đồng thức d  thực bậc d Khi đó, tâm Z R trường, R đơn  R : Z     2 CHƯƠNG TÍNH LŨY LINH CỦA CÁC GIAO HOÁN TỬ TRONG VÀNH NGUYÊN TỐ 2.1 Các giao hoán tử vành Định... kết vành khơng giao hốn kết vành đặc biệt khác: vành nửa đơn, vành Artin, vành đơn, vành nguyên thủy vành ngun tố Ngồi cịn nêu lên mối quan hệ vành đặc biệt Chương Tính lũy linh giao hốn tử vành. .. đơn, vừa vành nửa đơn R vành nguyên thủy  Nếu R vừa vành đơn, vừa vành Artin R vành nguyên thủy  Cho R vành nguyên tố có đơn vị với Z tâm R Nếu R vành chia hay vành nguyên thủy hay vành nửa