Một số tìm hiểu sâu hơn về lớp các vành nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Thạnh MỘT SỐ TÌM HIỂU SÂU THÊM VỀ LỚP CÁC VÀNH NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ TP Hồ Chí Minh – Năm 2010 Lời cảm ơn Lời cảm ơn xin chân thành gửi đến PGS TS Bùi Tường Trí, người thầy hướng dẫn, giúp đỡ tơi tận tình q trình thực hồn thành luận văn Kế đến, tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Toán – Tin học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh giảng dạy, truyền đạt kiến thức giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành chương trình đào tạo trường Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp khóa 17 nhiệt tình giúp đỡ, trao đổi có đóng góp tích cực q trình học tập hồn thành luận văn Và cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình mình, đặc biệt bố mẹ cố gắng tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập nghiên cứu sát cánh động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Bảng kí hiệu tốn học ( ): vành tự đồng cấu nhóm cộng ( ): vành giao hoán của Hom ( , ): nhóm -đồng cấu mơđun phải từ End ( ): vành tự đồng cấu -môđun phải : ( )= : : vành ma trận vuông cấp hệ số vành ma trận vuông cấp lấy hệ số thể phạm trù -môđun phải ( ): bao nội xạ môđun phải ( ): bao hữu tỉ môđun phải ( ): Jacobson vành ( ): tâm vành ( ): centroid vành = ( ): = đến vành thương (cổ điển) phải vành ( ): vành thương tối đại phải vành ( ): vành thương Martindale phải vành ( ): vành thương Martindale đối xứng vành = ( ( ), ( ): ( ): ): mở rộng centroid vành linh hóa tử trái, phải tập linh hóa tử iđêan Mở đầu Vành nguyên tố lớp vành khơng giao hốn đặc biệt Càng nghiên cứu sâu thêm chúng, ta phát nhiều tính chất thú vị Chính điều góp phần tác động đến việc chọn nghiên cứu lớp vành nguyên tố làm đề tài luận văn thạc sĩ Tuy nhiên, ta biết lớp vành nguyên tố đề tài rộng lớn mà trình độ kiến thức thân bao quát hết Xuất phát từ báo “Some comments on Prime rings” Herstein Lance W Small đăng năm 1979, thấy lớp vành nguyên tố đặc biệt thỏa mãn tính chất thú vị mà lớp vành nguyên tố tổng quát nói chung chưa có Cụ thể tính chất nội dung luận văn tơi tóm lượt sau Ta nhắc lại, vành gọi nguyên tố tích hai idean (hai phía) khác khơng ln khác = với , ∈ không Điều tương đương với = 0, ∀ ∈ = hay = 0, ∀ ∈ , vành nguyên tố, hay không? Tổng qt ta tìm vành nguyên tố = ( tức = 0) Vấn đề đặt liệu có ≠ =0ℎ cho … phần tử khác không = 0, ∀ ∈ ≠ 0, , ≠ 0, ,…, hay khơng? Posner Schneider tìm cách giải vấn đề thu định lý việc khơng thể có hệ thức dạng … = cho lớp vành nguyên tố liên quan việc có hệ thức dạng cho lớp vành nguyên tố khác Dựa báo Herstein Small, đưa kết xa thông qua ba định lý chương luận văn Để chứng minh hoàn chỉnh định lý ta cần đến hai định lý không phần quan trọng khác định lý Goldie định lý Martindale Hai định lý liên quan đến vành thương dạng khác Định lý Goldie nói vành thương cổ điển vành Còn định lý Martindale nói mở rộng centroid vành Mà tâm vành thương tối đại tâm vành thương Martindale đối xứng Do ta dành chương để xây dựng vành thương trình bày tính chất Tóm lại, luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm liên quan đến iđêan, môđun, bao nội xạ, bao hữu tỉ centroid mơt vành; định nghĩa vành khơng giao hốn đặc biệt, tính chất mối liên hệ chúng Chương Vành thương tính chất Chương xây dựng loại vành thương: cổ điển, tối đại, Martindale phải Martindale đối xứng Sau chứng số tính chất mối liên hệ chúng Đồng thời trình bày hai định lý quan trọng Goldie Martindale Chương Một số vấn đề vành nguyên tố Đây phần luận văn Chương trình bày làm rõ vấn đề đặt báo I.N.Herstein Lance.W.Small để thấy lớp vành ngun tố có tính chất nói cịn lớp vành khơng thể có điều Phần cuối kết luận lại làm luận văn mặt hạn chế chưa làm Mặc dù nỗ lực, cố gắng chúng tơi khó tránh khỏi sai sót hạn chế, kính mong q thầy cơ, đồng nghiệp bạn đọc sẵn lịng góp ý Xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Tập ≠ ∅ vành (1) ∀ , ∈ : − (2) gọi iđêan phải nếu: ∈ , ∈ ,∀ ∈ ,∀ ∈ Chú ý  Ta có định nghĩa tương tự cho iđêan trái  gọi iđêan hai phía vừa iđêan trái vừa iđêan phải, ta gọi tắt iđêan  Nếu iđêan phải ( : ) = { ∈ ∣ ⊂ } Định nghĩa 1.1.2 Các iđêan đặc biệt  Iđêan gọi iđêan nguyên tố , ∈ ℎ ∈ ∈ ∈  Iđêan phải (trái, hai phía) gọi iđêan phải (trái, hai phía) tối đại khơng nằm iđêan phải (trái, hai phía) thực  Iđêan phải (trái, hai phía) gọi iđêan phải (trái, hai phía) tối tiểu khơng chứa iđêan phải (trái, hai phía) thực  Iđêan phải gọi qui ∀ ∈ , ∃ ∈ : −  Iđêan phải ∈ gọi cốt yếu có giao khác (0) với iđêan phải khác rỗng  Phần tử ∈ gọi lũy linh tồn số nguyên  Iđêan phải (trái, hai phía) cho = gọi nil-iđêan phải (trái, hai phía) phần tử lũy linh  Iđêan phải (trái, hai phía) số nguyên Nhận xét cho … gọi iđêan phải (trái, hai phía) lũy linh tồn = với m phần tử ∈  Iđêan phải  Nếu lũy linh tồn số nguyên lũy linh = (0) cho nil-iđêan (điều ngược lại nói chung khơng đúng)  Tổng hai iđêan lũy linh lũy linh, điều cho tổng hữu hạn iđêan lũy linh Định nghĩa 1.1.3 Cho trường (tổng quát thể), không gian vectơ phải tập với hai phép tốn: +: × ⟶ + (1) phép cộng giao hốn: = ∶ × + , ∀ , (2) phép cộng có tính kết hợp: ( + ) + (3) phép cộng có đơn vị: tồn ∈ cho: ∈ , = + ( + ), ∀ , , +0= 0+ cho (4) tồn phần tử đối: ∀ ∈ , ∃ ∈ : + ⟶ ∈ , = ,∀ ∈ , = 0, (5) phép nhân ngồi có tính kết hợp: ∀ ∈ , ∀ , ∈ , ( ) = ( ), ∈ , ( + )= (6) phân phối với phép nhân ngoài: ∀ ∈ , ∀ , ∈ ,∀ ∈ , ( + ) = (7) phân phối với phép cộng: ∀ , + + , , (8) đơn vị phép nhân ngoài: ∀ ∈ , = Nhận xét  Ta gọi tắt không gian vectơ phải không gian vectơ  Nếu iđêan phải Định nghĩa 1.1.4 Cho ánh xạ từ ( (1) vào + )= + (3) ( ) với , vành, nhóm cộng Abel × (2) ( , biến cặp ( , ) thành + ) = = ∈ tự nhiên trở thành không gian vectơ + ( ) , , gọi R-mơđun phải có cho: , , ∈ Chú ý  Ta dùng “ -môđun” để gọi tắt cho “ -môđun phải”  Nếu R-mơđun ( ) = { ∈ Định nghĩa 1.1.5 ∣ R-môđun trung thành = (0) } = (0) = Bổ đề 1.1.6 ( ) Iđêan ( )- môđun trung thành ≠ (0) gọi - môđun bất khả qui Định nghĩa 1.1.7 tầm thường (0) có hai mơđun Bổ đề 1.1.8 (Bổ đề Schur) Nếu ( ) thể (vành có -mơđun bất khả qui phần tử khác khả nghịch) Bổ đề 1.1.9 Nếu đẳng cấu với môđun ⁄ với - môđun bất khả qui ∈ phải tối đại Hơn nữa, tồn iđêan phải qui) Ngược lại, − cho ∈ ,∀ ∈ iđêan phải qui iđêan ( gọi ⁄ -mơđun bất khả qui Nhận xét Nếu vành có đơn vị iđêan phải tối đại qui Vành giao hốn tử Cho R-mơđun, ∈ , ánh xạ : → = cho ( ) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng cộng Kí hiệu , ∈ đồng cấu nhóm ( ) vành với phép toán cộng nhân đồng cấu nhóm : Xét ánh xạ ( )≅ → ( ), ( ) = , ∈ = ( ) nên ( ) ( ) đẳng cấu với vành vành Đặc biệt, R-môđun trung thành ( ) = (0), ( ) vành ta đồng Định nghĩa 1.1.11 Vành giao hoán tử ( )={ = đồng cấu vành Mà Bổ đề 1.1.10 Rõ ràng ( ) vành =( ) Do tự đồng cấu mơđun , Centroid vành ≡ ∈ , = ∈ , ∀ ∈ } ( ), ∀ ∈ ,∀ ∈ đồng cấu môđun Như ta đồng ( ) = End vào ∈ ( )∣ ( ) Với đơn cấu nhúng ta có: ( ) = ( ) vành Cho : nghĩa ánh xạ ( ) vành tự đồng cấu nhóm cộng Với vành gọi → = : ( ) Gọi ( ) vành → = Với , ( ) sinh tất ánh xạ ∈ ∈ ta định , nằm với , ∈ Ta thường gọi ( ) vành nhân Định nghĩa 1.1.12 Centroid vành tập phần tử ( ) giao hoán phần tử với ( ), ta kí hiệu ( ) Nhận xét Lấy ∈ ( ), với , ( ( Suy ∈ ta có ) = ) =( = =( = ) = ( )= ( ) )= ( ) ( , )-đồng cấu song môđun Như centroid vành vành tự đồng cấu song môđun gọi đại số trường Định nghĩa 1.1.13 (1) vành (2) không gian vectơ (3) ∀ , ∈ ,∀ ∈ Nhận xét Nếu ( ) = ( có đơn vị với ∈ )=( thỏa điều kiện sau: ) nằm tâm Định nghĩa 1.1.14 Căn Jacobson vành , kí hiệu ( ) tập hợp phần tử tất môđun bất khả qui Nếu linh hố khơng có mơđun bất khả qui ta qui ước ( ) = gọi vành radical Theo định nghĩa ta có ( ) =∩ ( ), với chạy khắp -môđun bất khả qui iđêan hai phía Bổ đề 1.1.15 Nếu iđêan phải tối đại qui Định lý 1.1.16 ( ) =∩ ( : ) với hai phía lớn Bổ đề 1.1.17 Nếu ( : ) = ( / ) chạy khắp iđêan phải tối đại qui ( : ) iđêan nằm iđêan phải qui nằm iđêan phải tối đại qui Định lý 1.1.18 ( ) =∩ Nhận xét với chạy khắp iđêan phải tối đại qui ( ) chứa nil-iđêan phía   Nếu ( ) = iđêan vành Định lý 1.1.19 ∩ ( ) ( / ( )) = (0) Định lý 1.1.20 Kí hiệu vành ma trận vng cấp n Khi ( )= ( ) Mơđun nội xạ bao nội xạ Định nghĩa 1.1.21 Môđun gọi nội xạ với đơn cấu : mơđun -đồng cấu : → tồn -đồng cấu ℎ: → - → cho = ℎ , nghĩa biểu đồ sau giao hoán A B h I Nhận xét  Tích trực tiếp = ∏ -mơđun nội xạ -môđun nội xạ -đồng cấu →  nội xạ với mở rộng ⊃ ta có Định nghĩa 1.1.22 (1) -mơđun ⊃ = ⨁ với nội xạ chẻ Do mơđun gọi mở rộng nội xạ tối tiểu môđun nếu: nội xạ, ⊂ ′ ⊂ ′ ≠ I’ khơng nội xạ (2) Định nghĩa 1.1.23 khác (0) -môđun ⊃ gọi mở rộng cốt yếu giao không tầm thường với mơđun thực chứa Một mở rộng cốt yếu mở rộng cốt yếu ⊃ môđun gọi tối đại Chú ý  ⊃ mở rộng cốt yếu, ta gọi ⊂ ⊂  mơđun cốt yếu , kí hiệu với phần tử khác không ∈ tồn ∈ cho ≠ ∈ (0) ( ), ∩ ( ) = (0) vành nửa nguyên tố nên ∩ ( )⇒ ∈ = (0) ⇒ ∈ ( ) Do ( ) = ( ) = Bổ đề 2.4.1 Cho ( ) ta có ∈ ( ) Tương tự với ( )⊂ phần bù , giao với Mà ( ) = 0, = Mệnh đề 2.4.2 Với ∩ = nên ∈ ∩ ( ) = (0) ⇒ Khi có phần bù ( )⊂ ⨁ phần tử tối đại môđun có ⊂ ( ) Điều cho ta theo nhận xét phần 1.1.35, ∈ ( ), ∈ Chứng minh Gọi ⊂ ∩ ( ) = (0) Với ( ), gọi iđêan linh hoá tử iđêan vành nửa nguyên tố ⨁ ∩ ( )= ( ) Vì nửa nguyên tố nên ( ) phần bù ∩ Nên iđêan vành nửa ngun tố ta có điều kiện tương đương sau ( )=(0) (1) (2) ⊂ (3) ⊂ ( iđêan cốt yếu phải ) (4) ⊂ (A trù mật phải ) ( iđêan cốt yếu ) Chứng minh (4)⟹(3) Nhận xét phần định nghĩa 1.1.28 (3)⟹(2) cốt yếu phải hiển nhiên (2)⟹(1) Ta có cốt yếu ( ) iđêan ( ) ≠ (0), trái với giả thiết nên mà cốt yếu nên ( ) ≠ (0) ∩ ( ) = (0) (1)⟹(4) Nhận xét phần định nghĩa 1.1.28 Định nghĩa 2.4.3 Với vành nửa nguyên tố, ta đặt ℱ = ℱ( ) tập tất iđêan thỏa điều kiện tương đương mệnh đề Mệnh đề 2.4.4 Nếu , Chứng minh Vớ Lại có ∈ ⊂( ∩ )⇒ ∈ ℱ thì , ∩ ≠ (0), suy ( ∩ ) = (0) ( ≥ 0) thuộc ℱ ( ) = (0) ∈ ℱ nên rõ ràng Do Nếu ∈ ℱ ≠ (0) nguyên tố iđêan ( ) = (0) Do ℱ = ℱ( ) có đơn giản tập iđêan khác (0) ∈ ℱ vành nửa nguyên tố Mệnh đề 2.4.5 Cho , ( , ∈ ), | = | iđêan phải chứa Với = ≡ 0, có | = Xét phần tử Chứng minh Ta giả sử 0= ( ⊂ ) = ( ) nên ( ) = (vì ( ) = 0) Điều ∈ Do ⊂ ≡ vành nửa nguyên tố ℱ = ℱ( ) đơn giản tập iđêan Định nghĩa 2.4.6 Cho ta có mà cốt yếu phải (hay hai phía) Khi đó, ta định nghĩa tập sau: ( )={ ∈ ( )∶ ( )={ ∈ ( ): , ⊂ với ∈ ℱ đó} ⊂ với , ∈ ℱ } Nhận xét  ( ) , ( ) vành ∈ ( ) tồn hạn) nên ∩ + ∈ hay ∈ ℱ cho ( ∈ ℱ ), ∩ ( ( ) Ta lại có Hồn tồn tương tự cho vành , ( ) ⊂ , ∩ ( )⊂ ( ) Thật vậy, với ⊂ Do ℱ kín với phép giao (hữu )⊂ ⊂ Suy ( ⊂ ⊂ ( ) Dựa vào định nghĩa rõ ràng + )( ∩ ∈ , suy ⊂ ( ) gọi vành thương Martindale phải vành ( )⊂ )⊂ ( ) ( ) Khi đó, ( ) gọi vành thương Martindale đối xứng  Trong định nghĩa ( ) ta chọn , iđêan trùng ℱ ℱ đóng kín với phép giao hữu hạn Nhắc lại, theo bổ đề 1.1.29, với vành ta ln có ={ ∈ Tuy nhiên | ∈ }⊂ ( )⊂ nói chung iđêan phải , cịn định nghĩa 2.4.5 đòi hỏi phải iđêan (cốt yếu) Mệnh đề 2.4.7 ( )gồm lớp tương đương [ , ] với cặp ( , ) ( , ) gọi tương đương = ′ ∈ ℱ( ) ( , ) Hai ∩ ′ Nếu ta xem phần tử ( ) lớp tương đương có dạng [ , ] phép cộng nhân sau ∈ ( ) mô tả [ , ]+[ , ] = [ ∩ , + ] [ , ] [ , ] = [ ] , Chứng minh Ta thấy quan hệ cặp ( , ) có tính chất phản xạ đối xứng Ta có tính chất bắc cầu Giả sử ( , ) ∼ ( , , , " hàm tương ứng Rõ ràng , Với : ⟶ ( ) ta có ∈ " ⊂ ∩ ∈ Hom ( cho phép nhân trái với Ngược lại, cho trước theo định lý 2.3.8, , ∈ xác định phép nhân trái với ∩ "∈ℱ ) với ( ) Vì ( ) Như ta thiết lập tương ứng – ∈ nên theo định nghĩa ∩ ta có lớp [ , ] với ∈ ℱ Với với ∩ " Vì , " ∈ ℱ ∩ " Do ( , ) ∼ ( , f) " theo mệnh đề 2.4.4 ) ( , ) ∼ ( ", ") với , ∈ ℱ, ⊂ ( ) tập lớp tương đương dạng [ , ] ∩ Biểu diễn phép cộng lớp tương đương hợp lý có ∈ ℱ Vì ( ứng với , ∈ )⊂ ( ) ⊂ ( ) lớp [ Nhận xét [ , ] ⟼ xác định ]tương ứng với , Nếu [ , ] [ , ] tương ( ) tương ứng với điều kiện ∈ ⊂ có nên ∈ ℱ Ta xét phép nhân, ta = với ∈ ℱ = Điều liên quan đến mệnh đề 2.3.8 Ta sử dụng kết nhiều lần Mệnh đề 2.4.8 Cho = ∈ ( ) với vành nửa nguyên tố ∈ ℱ( ) Nếu = = Chứng minh Nếu ∈ ℱ cho = ⊂ Từ = = ta ( Do theo trường hợp ta Mệnh đề 2.4.9 Nếu ( ) Nếu ∈ = , ) = suy ∈ = ( ) nên tồn ( ) = = miền nguyên (tương ứng vành nguyên tố, nửa nguyên tố ) ( ) Chứng minh Trước tiên, giả sử , ∈ ℱ cho ⊂ miền nguyên Lấy , = ( ) miền nguyên ( ) cho = Ta có ⊂ Khi 0= ( điều dẫn đến ∈ ) =( )( ) = Theo mệnh đề 2.4.8, cho ta = hay = Do đó, nguyên tố Với , Tiếp theo ta giả sử ∈ ( ) ( ) cho = Chọn , ∈ℱ giống ta có nhận xét ( ) ⊂ , Vì = nguyên tố nên Trường hợp cuối =0⟹( =0⟹ ′) = = = hay = ( ) nửa nguyên tố tương ( ) =0⟹( ta lại ) ( ) ( )⊂ ( )=0⟹ =0 = Với trường hợp nguyên tố nửa nguyên tố mệnh đề ta thay ( ) ( ) Phần chứng minh ta thực tương tự Tuy nhiên trường hợp miền ngun nói chung thay đại số tự { , Cho ( ) } trường ,…, ( ) miền nguyên có ( ) Ta có ví dụ sau đây: với ≥ Khi theo mệnh đề 2.4.8 ước ( ), nghĩa ( ) không miền nguyên (Example 14.13 tài liệu [4]) Định lý 2.4.10 Cho vành (1) ⊂ vành iđêan cho ( ) = ( ) = (0) Gọi chứa Khi nguyên tố (tương ứng nửa nguyên tố ) (2) Nếu ( )= nửa nguyên tố ( ) ( )= ( ) Chứng minh (1) Ta chứng minh cho trường hợp ngun tố cịn trường hợp nửa ngun tố tương tự Giả sử nguyên tố, ta xét iđêan khác khơng Khi ≠ (0) theo giả thiết Do ′ iđêan khác khơng ⊃( nên iđêan , ′ iđêan khác không (2) Vì ) ≠ (0), ngun tố Khi với iđêan khác không , ′ nguyên tố Ngược lại, cho ta )( nằm (cũng ), ⊃( )( ) ≠ (0) Điều nguyên tố nửa nguyên thủy nên ta có tập ℱ( ) ℱ( ) Ta xây dựng đồng cấu sau : ( )⟶ ( ), : ( )⟶ ( ) ta lấy : Để định nghĩa ⊂ , ta có ⟶ với ∈ ℱ( ) Mà theo giả thiết ∈ ℱ( ) nên ∈ ℱ( ) Khi ta định nghĩa [ , ]=[ Với ′ thu hẹp , ′] ∈ Tương tự, : đến ( ⊂ ⟶ với )=0⇒( ) =0⇒ ∈ ℱ( ), ∈ ℱ( ) Hơn =0⇒ =0 nên ta định nghĩa [ , ]=[ Với ′ thu hẹp ( ), ∈ với Vì ∈ ℱ( ) Vì , ′] ∈ ( ) ∈ , ∈ Ta cần ′ -đồng cấu phải Lấy , đến ∈ , ta có ( )= Ta kiểm tra , dụng chúng để đồng ( ) = ( )( )= ( ) định nghĩa tốt nghịch đảo Do ta sử ( ) ( ) Nếu ∈ ( )⊂ ∈ ( ) Tương tự ta ( ) ⊂ ∈ ℱ( ) Nhưng ( với ( )⊂ ) ⊂ ⊂ , điều ( )= ( ) Do ( ) 2.5 Mở rộng centroid vành Đặt = ( ( ) vành thương phải tối đại vành = ) bao nội xạ môđun Bổ đề 2.5.1 Cho ∈ với , ( ) tâm ∈ ( vành Khi đó, ) giao hoán với tất phần tử Chứng minh Ta chứng minh chiều nếu, chiều hiển nhiên Giả sử Khi tồn giao hoán với phần tử ∈ cho ( − ( ) ≠ )=( ≠ ) với phần tử ∈ Theo giả thiết ta có = ( )= Điều dẫn đến mâu thuẫn Mệnh đề 2.5.2 Cho vành nửa nguyên tố Nếu ∈ ( ) ∈ ( ) Ta có Chứng minh ( ) nên ={ ∈ = ∈ ∈ ℱ Hơn nữa, nên ) =( ∈ ( = Suy ∈ } iđêan phải trù mật ∈ iđêan trái Thật vậy, với ( )=( Do ∶ ∈ Do ∈ , ta có ) = ( )∈ ⊂ ) nên )⊂ ( = ( ) Định lý 2.5.3 Với vành nửa nguyên tố ta có: ( ) = ( ∈ ( Chứng minh Với ( )) = ( ) ( )∩ ∈ ( )⊂ ) theo mệnh đề ( ) tâm giao hoán với phần tử = ( ) ( ) nên ( ) Ngược lại, phần tử tâm nên phần tử tâm phần tử ( ) hay ( ) , kết bổ đề 2.5.1 Vậy ta đẳng thức Cịn đẳng thức cuối tương tự, phần tử tâm hoán với phần tử nên phần tử tâm ( ) = Định nghĩa 2.5.4 Vành (giao hoán) centroid ( Do ( ( )) = ( )∩ giao = ( ) ) gọi mở rộng thường kí hiệu Nhắc lại, ta xem phần tử ∈ Hom ( ∈ ( ) lớp tương đương [ , ] với ∈ ℱ ) mô tả mệnh đề 2.4.6 Do phần tử mở rộng centroid , ( ) có dạng lớp tương đương [ , ] trên, nhiên có tính chất đặc = biệt hơn, là: Mệnh đề 2.5.5 Các phần tử mở rộng centroid có dạng [ , ] với ∈ ℱ : ⟶ ( , )-đồng cấu song môđun Chứng minh Lấy lớp [ , ] thỏa tính chất Khi đó, lớp tương ứng với phần tử mơđun trái nên ( phần tử − ( ), ) = với ∈ Điều nên theo bổ đề 2.5.1, ∈ Hom ( , ∈ , ta có ( ) = phép nhân trái ∈ ( ) hay ) tương ứng với phần tử = = ( -đồng cấu mơđun phải nên ) Do Vì -đồng cấu giao hoán với tất ∈ Ngược lại, giả sử lớp [ , ] với ∈ ( ) = ( ) Khi với ∈ℱ ∈ -đồng cấu môđun trái, mà đồng thời ( , )-đồng cấu song môđun Định nghĩa 2.5.6 Vành thể viết dạng Khi đó, = ∈ với ∈ có phụ thuộc vào phần tử lũy đẳng hơn, iđêan phải ∈ gọi vành qui von Neumann phần tử = ∈ = dẫn đến biểu diễn dạng với Tổng quát phần tử lũy đẳng thích hợp Mệnh đề 2.5.7 Với = ( vành nửa nguyên tố mở rộng centroid ) vành qui von Neumann Chứng minh Lấy [ , ] ∈ , ta có = ker( ) ⊂ thay iđêan Gọi ⊂ ⟶ = = xác đinh im( ) Lấy + ∈ , với ( + )= Hệ 2.5.8 Nếu ( ) = ⟶ ( ) ⊂ sau xác định im( ) ∈ ℱ vào Mà đồng cấu trường vành nguyên tố ( ) vành nguyên tố Mặt = ( ( ) miền nguyên Theo vành qui von Neumann Ta cần chứng minh phần tử khác không cấu song môđun : ⟶ ánh = ( ) = ∈ Theo mệnh đề 2.5.5 ta xem cho phép nhân bên trái ∈ lớp ( , )-đồng với ∈ ℱ Ta thấy đơn ( = ( )= ( )⊂ , = ( )= ( + ) vành nguyên tố mở rộng centroid khả nghịch Lấy ≠ ⟶ , nên ∈ ′ ∈ khác, tâm vành nguyên tố miền nguyên Do Nếu : ⊂ vành qui von Neumann Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.9 , mệnh đề 2.5.7, ⨁ ∈ , ∈ , ta có đồng cấu song mơđun từ song mơđun nên [ , ] ∈ Vậy ( ) , theo bổ đề 2.4.1 ta có ( , )-đồng cấu song môđun, với Ta kiểm tra = = ⨁ ′ ∈ ℱ Giờ ta định nghĩa : + ( ) = với ⨁ Xét iđêan song môđun ( , ) Đặt Do Do vậy, ( , )-đồng cấu song mơđun Khi phần bù ⨁ , thuộc ℱ, ta giả sử đẳng cấu với ⨁ ∈ ℱ : )= nghịch đảo : =0⟹ ⟶ =0⟹ [ =0 , ] nghịch đảo [ , ] = Định nghĩa 2.5.9 Cho vành , đại số trường Ta gọi ( , mãn đồng thức đa thức có đa thức khác khơng với hữu hạn biến khơng giao hốn ( , , … , ) = với lựa chọn ,…, PI-vành hay vành thỏa ,…, hệ số )=∑ lấy … () cho Ta mở rộng khái niệm cách tổng quát Định nghĩa 2.5.10 Vành gọi GPI-vành hay vành thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng quát hóa có đa thức ( , ,…, )= đơn thức biến nằm chen đơn thức … phần tử ∈ có vai trị hệ số , cho ( , , … , ) = Trong phần sau ta sử dụng định nghĩa cho trường hợp đặc biệt đơn thức lấy ∈ Tiếp theo ta phát biểu định lý Martindale liên quan mở rộng centroid vành nguyên tố thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng quát hóa (khơng tầm thường), cịn phần chứng minh định lý xin phép không nêu mà chúng tơi trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo Định lý 2.5.11 (Định lý Martindale) Nếu vành nguyên tố thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng qt hóa khơng tầm thường vành vành ngun thủy có chứa iđêan phải tối tiểu eS với = với mở rộng centroid phần tử lũy đẳng cho là thể đại số hữu hạn chiều ( ) gọi bao đóng tâm Với vành nửa nguyên tố vành = Và gọi đóng tâm trùng với bao đóng tâm Trong phần chứng minh định lý trên, , đồng thời tâm = với thể đại số hữu hạn chiều Chi tiết cụ thể chứng minh định lý xin tham khảo tài liệu [5] Chương Một số vấn đề vành nguyên tố Như giới thiệu phần mở đầu, tóm lược lại mà Posner Schneider làm sau: (1) Bằng việc tuyến tính hóa vài bước sơ cấp phần tử, họ = 0, ∀ ∈ ba phần tử phải vành nguyên tố (2) Với vành nguyên tố tổng quát ta xa ba phần tử Tuy nhiên, họ vành nguyên tố có Iđêan phải tối đại (và cho vành nguyên thủy có Iđêan phải tối đại) (i) Nếu … vô hạn (ii) Ngược lại hữu hạn có , = 0, ∀ ∈ ,…, có phần tử ta tìm … cho không = Hom ( , - modun trung thành bất khả qui, = 0, ∀ ∈ … cho ) phải + phần tử khác không có + phần tử khác = 0, ∀ ∈ Trong chương đưa số kết mạnh Trước tiên ta nhắc lại số qui ước, ta gọi vành Goldie thay cho vành Goldie phải, vành thương thay cho vành thương phải, thứ tự thay cho thứ tự phải Bây ta bắt đầu với bổ đề 3.1 Các bổ đề Bổ đề 3.1.1 Cho vành vành Goldie nguyên tố qui Khi (1) vành thương ta có vành Goldie nguyên tố (2) Nếu , ∈ = cho = thể Do phần tử + ⋯+ với ∈ Vì ∈ × tổng phần tử khả nghịch nên cho ∈ khả nghịch Khi tồn khả nghịch = ∈ + nên ta thấy Goldie nguyên tố = hay = , vành tất ma trận vuông cấp Chứng minh Theo định lý Goldie, Do vành sinh tất phần tử nên ta có + ⋯+ =( ∈ qui cho lấy hệ số = = + với qui Ta có + thứ tự +⋯+ ) Theo định lý Goldie vành Giả sử , ∈ qui ∈ Với = Do , ∈ = Ta viết cho ∈ = , = , = với , , , ∈ = , điều dẫn đến = vành nguyên tố nên ta , = 0, tương ứng với = = Nhận xét Do tích hai phần tử qui qui nên thật nhóm cộng sinh tất phần tử qui Bổ đề 3.1.2 Cho = vành Goldie nguyên tố vành thương Giả sử ≥ Đặt = ⋮ Khi đó, ta tìm , ∈ với ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ ∈ qui cho = ≠ = khơng miền miền nguyên Chứng minh Giả sử kết sai, có nghĩa nguyên = Ta có = )( = ) = Vì = Nếu Điều ≠ khả nghịch =0⇒ suy = qui Vì = ∈ , = với ≠ ∈ ∈ : ≠ 0, =0 qui nên ta = Do qui = Hơn khơng miền ngun Do ta tìm ≠ ( ∈ thể cho = ⇒ = vành = ( = Như ) ⇒ = sinh tất phần tử nên theo phần (2) bổ đề 3.1.1 ta thấy vô lý! 3.2 Một số kết vành nguyên tố Định lý 3.2.1 Cho … cho Chứng minh Nếu vành Goldie nguyên tố vô hạn giả sử = 0, ∀ ∈ Khi có một thứ tự = với thứ tự thể hiển nhiên Nếu ≥ giả sử khác , ,…, phần tử thể nên phần tử qui, kết Vì vơ hạn nên Đặt = ⊂ phải vô hạn , không gian vectơ phải = Theo bổ đề 3.1.2 ta viết ∈ : ta cần có ={ ∈ ∈ với = , ta có ∈ Vậy không gian véctơ phải ≠ không gian thực có ∈ , ∉ = hay = với (do ≠ 0, = ={ = , = ∈ | , … + +⋯+ thể , , = 0, ∀ ∈ ⇒( ) ≠ Hệ 3.2.2 ,…, ∈ Hệ 3.2.3 vị , ,…, Do ∈ , = Đặt , nên ta ) ( không gian véctơ trái Theo ta có ≠ , = 1, 2, … , = ≠ Ta thấy không gian véctơ trái không gian thực Ta ∈ ∈ , ∈ ∈ Vì vào ta được: … Vì ( , khơng thể hợp = 0} Theo chứng minh ≠ ∀ = 1, 2, … , cho ∈ ≠ xảy vành nguyên tố) nên ≠ với = 1, 2, … , ≠⋃ Ta có , = 1, 2, … , Đặt Đặt , khơng gian véctơ = Suy vô hạn nên ≠ 0, = 1, 2, … , Vì = Khi = suy = 0, Hơn miền nguyên Chúng = 0}, ta cần chứng minh ∣ Nếu với qui = Vì ∈ , ≠ với = 1, Để điều ta đặt với , =0 ) …( ) ( miền nguyên )=0 ≠ ta gặp mâu thuẫn! vành Noether nguyên tố vô hạn (cũng cho vành Noether đơn) cho vành ,…, ∈ … = 0, ∀ ∈ có = ngun tố vơ hạn (cũng cho vành Artin đơn vơ hạn) có đơn cho … = 0, ∀ ∈ có = Ta thấy hệ 3.2.3 trường hợp đặc biệt kết Posner Schneider Chúng ta mở rộng trường hợp vành Artin đơn hệ 3.2.2 cho vành đơn tổng quát, nhiên phải có điều kiện ràng buộc vành phải có đơn vị, tức là: Định lý 3.2.4 Cho … ,…, vành đơn vơ hạn có đơn vị giả sử = 0, ∀ ∈ Khi cho =0 = Khi Chứng minh Giả sử khơng có ∈ thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng qt hóa khơng tầm thường nên theo định lý 2.5.11, nguyên thủy có iđêan phải tối thiểu Với mở rộng centroid Tuy nhiên, vành đơn có đơn vị, tâm iđêan phải tối thiểu có đơn vị Nhưng Định lý 3.2.5 Cho ∈ … = 0, ∀ ∈ Chứng minh Giả sử ∀ ≠ Khi khơng tầm thường Do Hơn nữa, ∈ = cho ≠ thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng qt hóa với = vành nguyên thủy có iđêan thể (theo kết 2.3.11) ⊂ Vì iđêan phải ≠ với ∈ ∈ = ≠ với ={ ∈ = 0} Vì ∣ ≠ với = 1, 2, … , ∈ Đặt ∈ nên ta có phần tử , , , ∈ ∣ = 0}, thể ≠ thuộc nên = = phần tử cho trước = 0= = cho … = = ≠ 0, = cho không gian nên ta ≠ , = = ≠ =0 … , ta nhận ∈ Trong biểu thức … nên trường vô hạn ≠ với = 1, 2, … , Do cho = 1, 2, … , Và ≠ Hơn ={ ∈ tâm với , ≠ ⋃ Điều cho ta phần tử , từ có phần tử ta thay ≠ 0, nên có ∈ khơng gian véctơ Theo tính chất ngun tố , ≠ với nguyên tố nên iđêan phải khác nên khơng thể lũy linh Do cho ≠ Do khơng thể lũy linh, Hơn nữa, ≠ Thực tương tự định lý 1, ta đặt nên vơ hạn Ta có bậc hữu hạn Theo cách xây dựng , tồn iđêan = cho ≠ Vì =0 = tồn mở rộng centroid tâm ∈ có = , khác vành đơn có Artin nên theo hệ 3.2.3 có một vành nguyên tố cho mở rộng tâm ∶ phải tối tiểu Vì =0∀ mâu thuẫn với ,…, = với ∈ Đặt ∈ Ta có ≠ với ∈ … = , = với = … = = … … Tất phần tử , , ,…, ≠ vành chia mà tích chúng lại 0, ta gặp mâu thuẫn! Nhận xét Thật không rõ ràng giả thiết vành nguyên tố để đảm bảo mở rộng centroid vơ hạn Nhưng centroid vơ hạn chắn mở rộng centroid vơ hạn Do ta có hệ sau Hệ 3.2.6 Cho ∶ vành ngun tố mà centroid vơ hạn Ta có … Nhận xét Nếu khơng thể có = 0, ∀ ∈ tồn ,…, ∈ = có đặc số centroid vô hạn, nên vành … = 0, ∀ ∈ với ≠ Kết luận Trong khuôn khổ báo nội dung luận văn, lớp vành nguyên tố mà ta tìm hệ thức dạng … = với ≠ Đó lớp vành  Vành Goldie nguyên tố vô hạn  Vành Noether nguyên tố vô hạn  Vành Artin nguyên tố vô hạn  Vành nguyên tố vô hạn hay tổng quát vành đơn vơ hạn  Vành ngun tố có mở rộng centroid vơ hạn  Vành ngun tố có centroid vơ hạn  Vành ngun tố có đặc số Mục tiêu mà đề tài hướng tới ta làm mạnh thêm kết đến mức nào, tức ta làm yếu giả thiết kèm theo vành nguyên tố đến đâu để kết không thay đổi? Tài liệu tham khảo Amitsur S.A (1965), Generalized Polynomial Identities and Povotal Monomial, Transactions of American Mathematical Society, vol 114, pp 210-226 Hersein I.N (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America, USA Hersein I.N., Small Lance W (1979), Some Comments on Prime Rings, Journal of Algebra, vol 60, pp.223-228 Lam T.Y (1998), Lectures on modules and rings, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Martindale 3rd Wallace S (1969), Prime rings satisfying a generalized polynomial identity, Journal of Algebra, vol 12, pp.576-584 Zelmanowitz J (1969), A shorter proof of Goldie's theorem, Canad Bull 12, pp.597-602 ... tố vô hạn  Vành Noether nguyên tố vô hạn  Vành Artin nguyên tố vô hạn  Vành nguyên tố vô hạn hay tổng quát vành đơn vơ hạn  Vành ngun tố có mở rộng centroid vơ hạn  Vành ngun tố có centroid... tồn số nguyên thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng iđêan phải (2) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh Mối liên hệ vành khơng giao hốn Mệnh đề 1.2.9 Vành đơn vành nguyên tố Mệnh đề 1.2.10 Vành nguyên tố vành. .. đặc số centroid vô hạn, nên vành … = 0, ∀ ∈ với ≠ Kết luận Trong khuôn khổ báo nội dung luận văn, lớp vành ngun tố mà ta khơng thể tìm hệ thức dạng … = với ≠ Đó lớp vành  Vành Goldie nguyên tố