Một số tìm hiểu sâu thêm về lớp các vành nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Thạnh MỘT SỐ TÌM HIỂU SÂU THÊM VỀ LỚP CÁC VÀNH NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ TP Hồ Chí Minh – Năm 2010 Lời cảm ơn Lời cảm ơn xin chân thành gửi đến PGS TS Bùi Tường Trí, người thầy hướng dẫn, giúp đỡ tận tình trình thực hoàn thành luận văn Kế đến, xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Toán – Tin học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh giảng dạy, truyền đạt kiến thức giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu hoàn thành chương trình đào tạo trường Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp khóa 17 nhiệt tình giúp đỡ, trao đổi có đóng góp tích cực trình học tập hoàn thành luận văn Và cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình mình, đặc biệt bố mẹ cố gắng tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập nghiên cứu sát cánh động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Bảng kí hiệu toán học ( ): vành tự đồng cấu nhóm cộng ( ): vành giao hoán của Hom ( , ): nhóm -đồng cấu môđun phải từ End ( ): vành tự đồng cấu -môđun phải : ( )= : : vành ma trận vuông cấp hệ số vành ma trận vuông cấp lấy hệ số thể phạm trù -môđun phải ( ): bao nội xạ môđun phải ( ): bao hữu tỉ môđun phải ( ): Jacobson vành ( ): tâm vành ( ): centroid vành = ( ): = đến vành thương (cổ điển) phải vành ( ): vành thương tối đại phải vành ( ): vành thương Martindale phải vành ( ): vành thương Martindale đối xứng vành = ( ( ), ( ): ( ): ): mở rộng centroid vành linh hóa tử trái, phải tập linh hóa tử iđêan Mở đầu Vành nguyên tố lớp vành không giao hoán đặc biệt Càng nghiên cứu sâu thêm chúng, ta phát nhiều tính chất thú vị Chính điều góp phần tác động đến việc chọn nghiên cứu lớp vành nguyên tố làm đề tài luận văn thạc sĩ Tuy nhiên, ta biết lớp vành nguyên tố đề tài rộng lớn mà trình độ kiến thức thân bao quát hết Xuất phát từ báo “Some comments on Prime rings” Herstein Lance W Small đăng năm 1979, thấy lớp vành nguyên tố đặc biệt thỏa mãn tính chất thú vị mà lớp vành nguyên tố tổng quát nói chung chưa có Cụ thể tính chất nội dung luận văn tóm lượt sau Ta nhắc lại, vành gọi nguyên tố tích hai idean (hai phía) khác không khác = với , ∈ không Điều tương đương với = 0, ∀ ∈ = hay = 0, ∀ ∈ , vành nguyên tố, hay không? Tổng quát ta tìm vành nguyên tố = ( tức = 0) Vấn đề đặt liệu có ≠ =0ℎ cho … phần tử khác không = 0, ∀ ∈ ≠ 0, , ≠ 0, ,…, hay không? Posner Schneider tìm cách giải vấn đề thu định lý việc có hệ thức dạng … = cho lớp vành nguyên tố liên quan việc có hệ thức dạng cho lớp vành nguyên tố khác Dựa báo Herstein Small, đưa kết xa thông qua ba định lý chương luận văn Để chứng minh hoàn chỉnh định lý ta cần đến hai định lý không phần quan trọng khác định lý Goldie định lý Martindale Hai định lý liên quan đến vành thương dạng khác Định lý Goldie nói vành thương cổ điển vành Còn định lý Martindale nói mở rộng centroid vành Mà tâm vành thương tối đại tâm vành thương Martindale đối xứng Do ta dành chương để xây dựng vành thương trình bày tính chất Tóm lại, luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm liên quan đến iđêan, môđun, bao nội xạ, bao hữu tỉ centroid môt vành; định nghĩa vành không giao hoán đặc biệt, tính chất mối liên hệ chúng Chương Vành thương tính chất Chương xây dựng loại vành thương: cổ điển, tối đại, Martindale phải Martindale đối xứng Sau chứng số tính chất mối liên hệ chúng Đồng thời trình bày hai định lý quan trọng Goldie Martindale Chương Một số vấn đề vành nguyên tố Đây phần luận văn Chương trình bày làm rõ vấn đề đặt báo I.N.Herstein Lance.W.Small để thấy lớp vành nguyên tố có tính chất nói lớp vành có điều Phần cuối kết luận lại làm luận văn mặt hạn chế chưa làm Mặc dù nỗ lực, cố gắng khó tránh khỏi sai sót hạn chế, kính mong quý thầy cô, đồng nghiệp bạn đọc sẵn lòng góp ý Xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Tập ≠ ∅ vành (1) ∀ , ∈ : − (2) gọi iđêan phải nếu: ∈ , ∈ ,∀ ∈ ,∀ ∈ Chú ý  Ta có định nghĩa tương tự cho iđêan trái  gọi iđêan hai phía vừa iđêan trái vừa iđêan phải, ta gọi tắt iđêan  Nếu iđêan phải ( : ) = { ∈ ∣ ⊂ } Định nghĩa 1.1.2 Các iđêan đặc biệt  Iđêan gọi iđêan nguyên tố , ∈ ℎ ∈ ∈ ∈  Iđêan phải (trái, hai phía) gọi iđêan phải (trái, hai phía) tối đại không nằm iđêan phải (trái, hai phía) thực  Iđêan phải (trái, hai phía) gọi iđêan phải (trái, hai phía) tối tiểu không chứa iđêan phải (trái, hai phía) thực  Iđêan phải gọi qui ∀ ∈ , ∃ ∈ : −  Iđêan phải ∈ gọi cốt yếu có giao khác (0) với iđêan phải khác rỗng  Phần tử ∈ gọi lũy linh tồn số nguyên  Iđêan phải (trái, hai phía) cho = gọi nil-iđêan phải (trái, hai phía) phần tử lũy linh  Iđêan phải (trái, hai phía) số nguyên Nhận xét cho … gọi iđêan phải (trái, hai phía) lũy linh tồn = với m phần tử ∈  Iđêan phải  Nếu lũy linh tồn số nguyên lũy linh = (0) cho nil-iđêan (điều ngược lại nói chung không đúng)  Tổng hai iđêan lũy linh lũy linh, điều cho tổng hữu hạn iđêan lũy linh Định nghĩa 1.1.3 Cho trường (tổng quát thể), không gian vectơ phải tập với hai phép toán: +: × ⟶ + (1) phép cộng giao hoán: = ∶ × + , ∀ , (2) phép cộng có tính kết hợp: ( + ) + (3) phép cộng có đơn vị: tồn ∈ cho: ∈ , = + ( + ), ∀ , , +0= 0+ cho (4) tồn phần tử đối: ∀ ∈ , ∃ ∈ : + ⟶ ∈ , = ,∀ ∈ , = 0, (5) phép nhân có tính kết hợp: ∀ ∈ , ∀ , ∈ , ( ) = ( ), ∈ , ( + )= (6) phân phối với phép nhân ngoài: ∀ ∈ , ∀ , ∈ ,∀ ∈ , ( + ) = (7) phân phối với phép cộng: ∀ , + + , , (8) đơn vị phép nhân ngoài: ∀ ∈ , = Nhận xét  Ta gọi tắt không gian vectơ phải không gian vectơ  Nếu iđêan phải Định nghĩa 1.1.4 Cho ánh xạ từ ( (1) vào + )= + (3) ( ) với , vành, nhóm cộng Abel × (2) ( , biến cặp ( , ) thành + ) = = ∈ tự nhiên trở thành không gian vectơ + ( ) , , gọi R-môđun phải có cho: , , ∈ Chú ý  Ta dùng “ -môđun” để gọi tắt cho “ -môđun phải”  Nếu R-môđun ( ) = { ∈ Định nghĩa 1.1.5 ∣ R-môđun trung thành = (0) } = (0) = Bổ đề 1.1.6 ( ) Iđêan ( )- môđun trung thành ≠ (0) gọi - môđun bất khả qui Định nghĩa 1.1.7 tầm thường (0) có hai môđun Bổ đề 1.1.8 (Bổ đề Schur) Nếu ( ) thể (vành có -môđun bất khả qui phần tử khác khả nghịch) Bổ đề 1.1.9 Nếu đẳng cấu với môđun ⁄ với - môđun bất khả qui ∈ phải tối đại Hơn nữa, tồn iđêan phải qui) Ngược lại, − cho ∈ ,∀ ∈ iđêan phải qui iđêan ( gọi ⁄ -môđun bất khả qui Nhận xét Nếu vành có đơn vị iđêan phải tối đại qui Vành giao hoán tử Cho R-môđun, ∈ , ánh xạ : → = cho ( ) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng cộng Kí hiệu , ∈ đồng cấu nhóm ( ) vành với phép toán cộng nhân đồng cấu nhóm : Xét ánh xạ ( )≅ → ( ), ( ) = , ∈ = ( ) nên ( ) ( ) đẳng cấu với vành vành Đặc biệt, R-môđun trung thành ( ) = (0), ( ) vành ta đồng Định nghĩa 1.1.11 Vành giao hoán tử ( )={ = đồng cấu vành Mà Bổ đề 1.1.10 Rõ ràng ( ) vành =( ) Do tự đồng cấu môđun , Centroid vành ≡ ∈ , = ∈ , ∀ ∈ } ( ), ∀ ∈ ,∀ ∈ đồng cấu môđun Như ta đồng ( ) = End vào ∈ ( )∣ ( ) Với đơn cấu nhúng ta có: ( ) = ( ) vành Cho : nghĩa ánh xạ ( ) vành tự đồng cấu nhóm cộng Với vành gọi → = : ( ) Gọi ( ) vành → = Với , ( ) sinh tất ánh xạ ∈ ∈ ta định , nằm với , ∈ Ta thường gọi ( ) vành nhân Định nghĩa 1.1.12 Centroid vành tập phần tử ( ) giao hoán phần tử với ( ), ta kí hiệu ( ) Nhận xét Lấy ∈ ( ), với , ( ( Suy ∈ ta có ) = ) =( = =( = ) = ( )= ( ) )= ( ) ( , )-đồng cấu song môđun Như centroid vành vành tự đồng cấu song môđun gọi đại số trường Định nghĩa 1.1.13 (1) vành (2) không gian vectơ (3) ∀ , ∈ ,∀ ∈ Nhận xét Nếu ( ) = ( có đơn vị với ∈ )=( thỏa điều kiện sau: ) nằm tâm Định nghĩa 1.1.14 Căn Jacobson vành , kí hiệu ( ) tập hợp phần tử tất môđun bất khả qui Nếu linh hoá môđun bất khả qui ta qui ước ( ) = gọi vành radical Theo định nghĩa ta có ( ) =∩ ( ), với chạy khắp -môđun bất khả qui iđêan hai phía Bổ đề 1.1.15 Nếu iđêan phải tối đại qui Định lý 1.1.16 ( ) =∩ ( : ) với hai phía lớn Bổ đề 1.1.17 Nếu ( : ) = ( / ) chạy khắp iđêan phải tối đại qui ( : ) iđêan nằm iđêan phải qui nằm iđêan phải tối đại qui Định lý 1.1.18 ( ) =∩ Nhận xét với chạy khắp iđêan phải tối đại qui ( ) chứa nil-iđêan phía   Nếu ( ) = iđêan vành Định lý 1.1.19 ∩ ( ) ( / ( )) = (0) Định lý 1.1.20 Kí hiệu vành ma trận vuông cấp n Khi ( )= ( ) Môđun nội xạ bao nội xạ Định nghĩa 1.1.21 Môđun gọi nội xạ với đơn cấu : môđun -đồng cấu : → tồn -đồng cấu ℎ: → - → cho = ℎ , nghĩa biểu đồ sau giao hoán A B h I Nhận xét  Tích trực tiếp = ∏ -môđun nội xạ -môđun nội xạ -đồng cấu →  nội xạ với mở rộng ⊃ ta có Định nghĩa 1.1.22 (1) -môđun ⊃ = ⨁ với nội xạ chẻ Do môđun gọi mở rộng nội xạ tối tiểu môđun nếu: nội xạ, ⊂ ′ ⊂ ′ ≠ I’ không nội xạ (2) Định nghĩa 1.1.23 khác (0) -môđun ⊃ gọi mở rộng cốt yếu giao không tầm thường với môđun thực chứa Một mở rộng cốt yếu mở rộng cốt yếu ⊃ môđun gọi tối đại Chú ý  ⊃ mở rộng cốt yếu, ta gọi ⊂ ⊂  môđun cốt yếu , kí hiệu với phần tử khác không ∈ tồn ∈ cho ≠ ∈