Khóa luận một số tìm hiểu về hình học phi euclide

GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên LỜI NĨI ĐẦU Hình học nói chung mơn học thú vị sinh viên Lịch sử phát triển Hình học lâu đời với ý tưởng phục vụ nhu cầu sống người Đến giai đoạn Euclide, người ta mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm “Nguyên lý” tiếng có tất 13 Tác phẩm “Nguyên lý” trình bày cách xây dựng mơn Hình học phương pháp tiên đề Trong tác phẩm, tác giả nêu định nghĩa, định đề tiên đề Trong có định đề có nội dung quan trọng vấn đề đặt định đề Euclide có phải định đề hay khơng? Hay chứng minh định lý? Việc tìm lời giải cho toán thu hút nhiều nhà Toán học thời gian dài Và chưa làm sáng tỏ ngày 6/2/1826, vấn đề giải nhà Toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ơng trình bày nghiên cứu khoa Toán – Lý trường đại học Ka–zan (Nga) Lobachevsky chứng minh rằng: chứng minh định đề Định đề định đề khơng phải định lý Từ đó, ơng giữ ngun định đề Euclide thay định đề mệnh đề phủ định, dựa vào chứng minh định lý hệ thống Hình học mà ngày ta gọi Hình học phi Euclide hay Hình học Lobachevsky Nghiên cứu Hình học phi Euclide thấy kết bất ngờ thú vị hoàn toàn trái ngược với Hình học Euclide Luận văn trình bày gồm chương: +Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị +Chương II: Hình học phi Euclide +Chương III: Mẫu đĩa Poincare mẫu nửa mặt phẳng Poincare Luận văn thực hoàn thành trường Đại Học An Giang với hướng dẫn nhiệt tình Phạm Thị Thu Hoa Nhân dịp xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới hướng dẫn, q thầy khoa Sư phạm Bộ mơn Tốn trường Đại học An Giang, cảm ơn bạn lớp DH5A1 giúp tơi hồn thành luận văn suốt q trình học tập Xin chúc q thầy dồi sức khoẻ, hạnh phúc công tác tốt Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo quý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Long Xuyên, tháng năm 2008 Tác giả Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên MỤC LỤC Lời nói đầu Mục lục Các ký hiệu Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .6 Vài nét lịch sử đời Hình học phi Euclide 1.1 Hình học Euclide 1.2 Về định đề Euclide 1.3 Sự đời Hình học phi Euclide 2.Kiến thức bổ trợ .8 2.1 Tứ giác saccheri: 2.2 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương khơng gian vectơ 2.2.1 Dạng song tuyến tính: 2.2.2 Dạng toàn phương: Thể khái niệm hình học Euclide 3.1 Mơ hình xạ ảnh khơng gian Euclide .9 3.2 Cái tuyệt đối 3.3 Khái niệm vng góc hai đường thẳng 10 3.4 Khái niệm siêu cầu: 10 Chương II HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 12 Không gian vectơ giả Euclide .12 1.1 Định nghĩa 12 1.2 Định lý 13 Hình học giả Euclide 14 2.1 Định nghĩa không gian giả Euclide tiên đề 14 2.2 Mục tiêu trực chuẩn 14 2.2.1 Định lý .14 2.2.2 Định lý .15 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên 2.3 Định nghĩa 16 2.4 Định nghĩa 16 2.4.1 Mệnh đề .16 2.4.2 Định lý 16 2.4.3 Hệ quả: 17 2.4.4 Định lý 17 2.5 Modul vectơ – độ dài đoạn thẳng .19 2.5.1 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng 19 2.5.2 Modul vectơ 19 2.5.3 Độ dài đoạn thẳng 19 2.5.4 Một số khái niệm khác 20 2.6 Định nghĩa 21 2.6.1 Định lý .21 2.6.2 Mệnh đề 22 2.6.3 Định lý 22 2.7 Mơ hình xạ ảnh khơng gian giả Ε kn 23 2.7.1 Xây dựng mô hình 23 2.7.2 Thể khái niệm giả Euclide mơ hình 24 2.8 Phép đồng dạng không gian Ε kn – Hình học giả Euclide .27 2.8.1 Phương trình phép đồng dạng – phép dời Ε kn 27 2.8.2 Định lý 29 Hình học Lobachevsky 31 3.1 Định nghĩa .31 3.2 Một số quy ước 31 3.3 Các định nghĩa 32 3.4 Khái niệm vng góc .32 3.5 Phương trình phép dời hình Hn 33 3.6 Khoảng cách hai điểm Hn 33 3.7 Góc hai đường thẳng 34 Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN .35 Mẫu đĩa Poincare hình học Lobachevsky 35 1.1 Mặt phẳng Hyperbolic mẫu đĩa Poincare .35 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên 1.1.1 Các định nghĩa 35 1.1.2 Khoảng cách mêtric mặt Hyperbolic 37 1.1.3 Định nghĩa khoảng cách Hyperbolic từ A đến B 37 1.1.4 Những đường thẳng song song 38 1.1.5 Định lý 38 1.1.6 Định lý 39 1.1.7 Định lý Lobachevsky .39 1.1.8 Định lý 41 1.1.9 Định lý .41 1.1.10 Định lý 42 1.1.11 Định lý 42 1.1.12 Định lý Pythagorean Hyperbolic 42 Mẫu nửa mặt phẳng Poincare 42 2.1 Các định nghĩa 42 2.1.1 Điểm .42 2.1.2 Đường thẳng .43 2.1.3 Phép nghịch đảo 43 2.1.4 Góc .43 2.1.5 Sự đoạn thẳng góc 44 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên CÁC KÝ HIỆU Vn : không gian vectơ thực n- chiều An: không gian afin thực n- chiều Pn: không gian xạ ảnh n- chiều uuur E kn : không gian vectơ giả Euclide n- chiều số k E kn : không gian giả Euclide n- chiều số k ⊕ : Tổng trực tiếp r f: uuur uuur E kn → E kn : ánh xạ tuyến tính liên kết giữa hai không gian vectơ giả Euclide n- chiều số k H2: không gian Lobachevsky 2- chiều Pr: r- phẳng xạ ảnh Hr: r- phẳng Lobachevsky [ u]*: ma trận chuyển vị ma trận [u] Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Vài nét lịch sử đời Hình học phi Euclide 1.1 Hình học Euclide Như ta biết Euclide nhà hình học vĩ đại Tên tuổi ông gắn liền với tác phẩm “Nguyên lý” tiếng có tất 13 Trong có dành cho hình học phẳng hình học khơng gian Kiến thức sách bao gồm tồn nội dung hình học sơ cấp, mà phần dạy trường phổ thông Về phương pháp: Ta thấy Euclide cố gắng xây dựng mơn hình học phương pháp tiên đề Trong sách Euclide nêu 23 định nghĩa khái niệm: điểm, đường, đường thẳng, mặt, mặt phẳng, đường thẳng song song Sau định nghĩa Euclide trình bày “định đề” “tiên đề” mệnh đề mà đắn thừa nhận, khơng chứng minh Có định đề nói hình học là: 1) Từ điểm đến điểm khác vẽ đường thẳng 2) Một đường thẳng kéo dài hai phía 3) Với điểm làm tâm với bán kính tuỳ ý vẽ đường trịn 4) Hai góc vng 5).Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc phía có tổng bé hai vng, hai đường thẳng cắt phía có hai góc Có tiên đề nội dung rộng dùng cho suy luận toán học nói chung: 1) Hai thứ ba 2) Thêm vào 3) Bớt từ 4) Các hình chồng khít lên 5) Tồn thể lớn phận Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Sau có định nghĩa, định đề tiên đề Euclide trình bày định lý chứng minh định lý Các định lý cố gắng dựa vào định lý có trước tiên đề định đề 1.2 Về định đề Euclide Định đề Euclide đóng vai trị đặc biệt lịch sử phát triển hình học nói riêng Tốn học nói chung Khi nghiên cứu tập “Nguyên lý”, nhà tốn học băn khoăn: Định đề có thật định đề hay khơng? Hay chứng minh định lý? Có lẽ Euclide băn khoăn vậy, ơng cố trì hỗn việc áp dụng định đề vào việc chứng minh định lý Thế nhiều nhà tốn học cố gắng tìm cách chứng minh định đề Có thể nói lịch sử tốn học chưa có vấn đề toán học nhiều người nghiên cứu đến thế, giải lại cần nhiều thời gian đến (từ kỷ II trước CN đến kỷ XIX ) Hầu hết nhà toán học thất bại Họ tưởng chứng minh định đề 5, thật khơng phải, chứng minh họ sử dụng điều tương đương với định đề Chẳng hạn, Pro–duyt (Produs Diadochus 410 – 485) chứng minh ơng sử dụng mệnh đề: “ Nếu hai đường thẳng a b song song khoảng cách từ điểm đường thẳng a tới đường thẳng b nhau” Mệnh đề hiển nhiên để chứng minh ta phải dùng định đề (vịng luẩn quẩn!) Nhiều nhà tốn học chứng minh định đề phương pháp phản chứng Hãy giả sử định đề không đúng, cố rút vô lý, mâu thuẫn, họ khơng thành cơng họ tưởng tìm vô lý thực lại chẳng vô lý chút nào! 1.3 Sự đời Hình học phi Euclide Cuối cùng, vào ngày 6/2/1826 vấn đề giải nhà toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ơng trình bày nghiên cứu khoa Tốn – Lý trường Đại học Ka–zan (Nga) Lobachevsky chứng minh rằng: Không thể chứng minh định đề Định đề định đề định lý Ông giữ nguyên định đề Euclide thay định đề mệnh đề phủ định: “Qua điểm nằm ngồi đường thẳng kẻ hai đường thẳng song song với đường thẳng cho”, dựa vào chứng minh định lý hệ thống hình học Ngày gọi hình học mà Lobachevsky xây dựng hình học phi Euclide hay hình học Lobachevsky hồn tồn trái ngược với hình học Euclide Chẳng hạn, hình học Lobachevsky: tổng góc tam giác bé Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên 800tích , có tam giác mà cách tổng số đomột cácđường góc béthẳng tuỳ ý,phải diện giácthẳng, bị chặn quỹ điểm tích cặp tam đường … Tuy nhiên nội hình học khơng có mâu thuẫn Kiến thức bổ trợ 2.1 Tứ giác Saccheri Xét tứ giác AA’ B’ B có hai góc vng kề đáy AB có hai cạnh bên AA’ B’B Do đối xứng qua trung trực đoạn AB, góc A’ B’ A’ H’ B’ Nếu công nhận định đề suy hai góc A’ B’ vuông tứ giác AA’B’ B hình chữ nhật A H B Ngược lại saccheri chứng minh, tìm tứ giác dạng có hai góc đỉnh vng chứng minh định đề 2.2 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương khơng gian vectơ 2.2.1 Dạng song tuyến tính Định nghĩa: Dạng song tuyến tính khơng gian vectơ Vn hàm số S( x, y ) hai vectơ xác định tồn Vn có tính chất tuyến tính vectơ, tức là: r r r ⎧ S (λ1 x1 + λ2 x2 , y) = λ1 S(x1 , y) + λ2 S (x2 , y) (1) ⎨ r r r r r r r ⎩ S(x, µ1 y1 + µ y2 ) = µ1 S(x, y1 ) + λ2 S(x, y2 ) Hay cách tổng quát: r r r r r S (λ1 x1 + λ2 x2 , µ1 y1 + µ2 y2 ) = λ1 µ1 S(x1 , y1 ) + λ1 µ2 S(x1 , y2 ) + λ2 µ1 S(x2 , y1 ) + r r + λ2 µ S(x2 , y2 ) Với vectơ số thực tham gia đẳng thức lấy tùy ý 2.2.2 Dạng tồn phương Định nghĩa: Trong khơng gian vectơ Vn cho dạng song tuyến đối r xứng S(x, y) Hàm số vectơ P( x )=S ( x , x ), với x ∈V n gọi dạng toàn phương xác định dạng song tuyến tính S(x, y) Ngược lại: S (xr, y) gọi dạng đối cực dạng tồn phương P(x) Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên 3.Thể khái niệm hình học Euclide 3.1 Mơ hình xạ ảnh không gian Euclide Ta chọn không gian xạ ảnh thực n chiều Pn, siêu phẳng Pn–1 làm siêu phẳng vô tận Như ta không gian afin thực n chiều An (như mô tả giáo trình hình học xạ ảnh) Bằng cách định nghĩa tích vơ hướng An An trở thành khơng gian Euclide Mơ hình khơng gian Euclide gọi mơ hình xạ ảnh không gian Euclide Bây giờ, ta chọn khơng gian mục tiêu trực chuẩn {A n +1 ;Ei 1,n } , uuuuuur tức An +1Ei ∗ An+1 E j = δij , i, j = 1, 2, …, n Ta gọi {Ai ; E }1,n+1 mục tiêu xạ ảnh sinh mục tiêu {A n +1 ;Ei }1,n Điều có nghĩa là, Ai giao điểm đường thẳng An+1Ei với siêu phẳng Pn–1 , i = 1,n , cịn E có tọa độ với mục tiêu trực chuẩn {A n +1 ;Ei }1,n (1, 1, …, 1) tức : n A n +1E = ∑ A n +1Ei i=1 Ta nhắc lại rằng, điểm M thuộc Εn có tọa độ mục tiêu {A n +1 ;E } (X , X , …, …, X ) có tọa độ mục tiêu xạ ảnh n i 1,n {A ; E }1,n+1 (x 1: x 2: …: x n+1) với x n+1 ≠ i Xi = xi , i = 1, 2, …, n x n +1 Đối với mục tiêu trực chuẩn chọn, hai vectơ u = (u1 , u2 , …, un ), n * v = (v1 , v2 , …, ) có tích vơ hướng là: u * v =∑ ui iv = [u] [v] i=1 3.2 Cái tuyệt đối Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu chọn {Ai ; E } nói trên, 1,n+1 phương trình siêu phẳng vơ tận Pn–1 xn+1 = Trong siêu phẳng Pn–1 , ta chọn mục tiêu xạ ảnh là{Ai ;E' }1,n , E’ giao điểm An+1 E với Pn–1 Ta xét siêu mặt trái xoan khơng T có phương trình mục tiêu chọn siêu phẳng Pn–1 là: [x]*[x] = n ∑x i=1 i =0 (1) Siêu mặt T gọi tuyệt đối T không gian xạ ảnh Pn Cái tuyệt đối mặt phẳng xạ ảnh là: x12 + x22 = cặp điểm I(1: i: 0), J(1:–i: 0) gọi cặp điểm xyclic Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xun 3.3 Khái niệm vng góc hai đường thẳng Định lý: Điều kiện cần đủ để hai đường thẳng d d’ vng góc với hai điểm vô tận chúng liên hợp tuyệt đối T Chứng minh Ta dựng qua gốc An+1 mục tiêu{A n +1 ;Ei }1,n hai đường thẳng d1 d1 ’, song song với d d’ Trên d1 d1 ’ lấy hai điểm X X’ khác An+1 có tọa độ (X 1, X2,…, Xn) (X’1 , X’2 ,…, X’n ) Ta gọi A∞ A'∞ hai điểm vô tận d d’, tức điểm vô tận d d1’ Khi tọa độ xạ ảnh chúng mục tiêu xạ ảnh A∞ (X1 : X2 :…, Xn: O), A'∞ (X’1 : X’2 :…: X’n : O) Điều kiện cần đủ để hai đường thẳng d d’ vng góc với là: n uuuuur uuuuuur A n+1X*A n+1X' = ⇔ ∑ X i X'i = i=1 Đây điều kiện để hai điểm A∞ A'∞ liên hợp với tuyệt đối T Vậy định lý chứng minh ˆ 3.4 Khái niệm siêu cầu Định lý: Mỗi siêu mặt bậc hai không gian Euclide n chiều Εn siêu cầu cắt siêu phẳng vơ tận theo tuyệt đối T Chứng minh Mỗi siêu cầu S Εn có phương trình mục tiêu trực chuẩn n ∑(X {A n+1 ;E i }1,n là: i i=1 (2) − X i) =R2 Trong ( X10 , X 02 ,…, X 0n ) tọa độ tâm siêu cầu Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh ta đưa (2) dạng: n x i=1 xn+1 ∑( i − x0 i ) =R , hay x 0n+1 n ∑ (x i=1 x − x0i xn+1 ) = R (xn+1 ) (xn+1 )2 n+1 i (3) Muốn tìm giao siêu cầu (S) với siêu phẳng vô tận Pn–1 , ta thay xn+1 = n vào (3) ta : ∑ (x0n+1xi ) = hay n ∑ (x ) i =0 Đó phương trình tuyệt đối T Vậy siêu cầu Εn cắt siêu phẳng vơ tận theo tuyệt đối T i=1 Khóa Luận Tốt Nghiệp i=1 Trang 10 ... THỨC CHUẨN BỊ .6 Vài nét lịch sử đời Hình học phi Euclide 1.1 Hình học Euclide 1.2 Về định đề Euclide 1.3 Sự đời Hình học phi Euclide 2.Kiến thức bổ trợ ... mà Lobachevsky xây dựng hình học phi Euclide hay hình học Lobachevsky hồn tồn trái ngược với hình học Euclide Chẳng hạn, hình học Lobachevsky: tổng góc tam giác bé Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD:... trận [u] Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Vài nét lịch sử đời Hình học phi Euclide 1.1 Hình học Euclide Như ta biết Euclide