Một số tìm hiểu về hình học phi euclide

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN Đề tài GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SV thực hiện: Nguyễn Thị Xuyên Chuyên ngành: Hình học Long Xuyên, - 2008 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xun LỜI NĨI ĐẦU Hình học nói chung môn học thú vị sinh viên Lịch sử phát triển Hình học lâu đời với ý tưởng phục vụ nhu cầu sống người Đến giai đoạn Euclide, người ta mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm “Nguyên lý” tiếng có tất 13 Tác phẩm “Nguyên lý” trình bày cách xây dựng mơn Hình học phương pháp tiên đề Trong tác phẩm, tác giả nêu định nghĩa, định đề tiên đề Trong có định đề có nội dung quan trọng vấn đề đặt định đề Euclide có phải định đề hay khơng? Hay chứng minh định lý? Việc tìm lời giải cho tốn thu hút nhiều nhà Toán học thời gian dài Và chưa làm sáng tỏ ngày 6/2/1826, vấn đề giải nhà Toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ơng trình bày nghiên cứu khoa Tốn – Lý trường đại học Ka–zan (Nga) Lobachevsky chứng minh rằng: chứng minh định đề Định đề định đề khơng phải định lý Từ đó, ơng giữ nguyên định đề Euclide thay định đề mệnh đề phủ định, dựa vào chứng minh định lý hệ thống Hình học mà ngày ta gọi Hình học phi Euclide hay Hình học Lobachevsky Nghiên cứu Hình học phi Euclide thấy kết bất ngờ thú vị hoàn toàn trái ngược với Hình học Euclide Luận văn trình bày gồm chương: +Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị +Chương II: Hình học phi Euclide +Chương III: Mẫu đĩa Poincare mẫu nửa mặt phẳng Poincare Luận văn thực hoàn thành trường Đại Học An Giang với hướng dẫn nhiệt tình cô Phạm Thị Thu Hoa Nhân dịp xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới hướng dẫn, quý thầy cô khoa Sư phạm Bộ môn Toán trường Đại học An Giang, cảm ơn bạn lớp DH5A1 giúp tơi hồn thành luận văn suốt trình học tập Xin chúc quý thầy cô dồi sức khoẻ, hạnh phúc công tác tốt Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo quý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Long Xuyên, tháng năm 2008 Tác giả Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên MỤC LỤC Lời nói đầu Mục lục Các ký hiệu Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .6 Vài nét lịch sử đời Hình học phi Euclide 1.1 Hình học Euclide 1.2 Về định đề Euclide 1.3 Sự đời Hình học phi Euclide 2.Kiến thức bổ trợ .8 2.1 Tứ giác saccheri: 2.2 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương khơng gian vectơ 2.2.1 Dạng song tuyến tính: 2.2.2 Dạng toàn phương: Thể khái niệm hình học Euclide 3.1 Mơ hình xạ ảnh khơng gian Euclide .9 3.2 Cái tuyệt đối 3.3 Khái niệm vng góc hai đường thẳng 10 3.4 Khái niệm siêu cầu: 10 Chương II HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 12 Không gian vectơ giả Euclide .12 1.1 Định nghĩa 12 1.2 Định lý 13 Hình học giả Euclide 14 2.1 Định nghĩa không gian giả Euclide tiên đề 14 2.2 Mục tiêu trực chuẩn 14 2.2.1 Định lý .14 2.2.2 Định lý .15 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên 2.3 Định nghĩa 16 2.4 Định nghĩa 16 2.4.1 Mệnh đề .16 2.4.2 Định lý 16 2.4.3 Hệ quả: 17 2.4.4 Định lý 17 2.5 Modul vectơ – độ dài đoạn thẳng .19 2.5.1 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng .19 2.5.2 Modul vectơ 19 2.5.3 Độ dài đoạn thẳng 19 2.5.4 Một số khái niệm khác 20 2.6 Định nghĩa 21 2.6.1 Định lý .21 2.6.2 Mệnh đề 22 2.6.3 Định lý 22 2.7 Mơ hình xạ ảnh khơng gian giả Ε kn 23 2.7.1 Xây dựng mơ hình 23 2.7.2 Thể khái niệm giả Euclide mơ hình 24 2.8 Phép đồng dạng khơng gian Ε kn – Hình học giả Euclide 27 2.8.1 Phương trình phép đồng dạng – phép dời Ε kn 27 2.8.2 Định lý 29 Hình học Lobachevsky 31 3.1 Định nghĩa .31 3.2 Một số quy ước 31 3.3 Các định nghĩa 32 3.4 Khái niệm vng góc .32 3.5 Phương trình phép dời hình Hn 33 3.6 Khoảng cách hai điểm Hn 33 3.7 Góc hai đường thẳng 34 Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN .35 Mẫu đĩa Poincare hình học Lobachevsky 35 1.1 Mặt phẳng Hyperbolic mẫu đĩa Poincare .35 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên 1.1.1 Các định nghĩa 35 1.1.2 Khoảng cách mêtric mặt Hyperbolic 37 1.1.3 Định nghĩa khoảng cách Hyperbolic từ A đến B 37 1.1.4 Những đường thẳng song song 38 1.1.5 Định lý 38 1.1.6 Định lý 39 1.1.7 Định lý Lobachevsky .39 1.1.8 Định lý 41 1.1.9 Định lý .41 1.1.10 Định lý 42 1.1.11 Định lý 42 1.1.12 Định lý Pythagorean Hyperbolic 42 Mẫu nửa mặt phẳng Poincare 42 2.1 Các định nghĩa 42 2.1.1 Điểm .42 2.1.2 Đường thẳng .43 2.1.3 Phép nghịch đảo 43 2.1.4 Góc .43 2.1.5 Sự đoạn thẳng góc 44 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên CÁC KÝ HIỆU Vn: không gian vectơ thực n- chiều An: không gian afin thực n- chiều Pn: không gian xạ ảnh n- chiều uuur E kn : không gian vectơ giả Euclide n- chiều số k E kn : không gian giả Euclide n- chiều số k ⊕ : Tổng trực tiếp r f: uuur E kn uuur → E kn : ánh xạ tuyến tính liên kết giữa hai không gian vectơ giả Euclide n- chiều số k H2: không gian Lobachevsky 2- chiều Pr: r- phẳng xạ ảnh Hr: r- phẳng Lobachevsky [u]*: ma trận chuyển vị ma trận [u] Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Vài nét lịch sử đời Hình học phi Euclide 1.1 Hình học Euclide Như ta biết Euclide nhà hình học vĩ đại Tên tuổi ơng gắn liền với tác phẩm “Nguyên lý” tiếng có tất 13 Trong có dành cho hình học phẳng hình học khơng gian Kiến thức sách bao gồm toàn nội dung hình học sơ cấp, mà phần dạy trường phổ thơng Về phương pháp: Ta thấy Euclide cố gắng xây dựng mơn hình học phương pháp tiên đề Trong sách Euclide nêu 23 định nghĩa khái niệm: điểm, đường, đường thẳng, mặt, mặt phẳng, đường thẳng song song Sau định nghĩa Euclide trình bày “định đề” “tiên đề” mệnh đề mà đắn thừa nhận, khơng chứng minh Có định đề nói hình học là: 1) Từ điểm đến điểm khác vẽ đường thẳng 2) Một đường thẳng kéo dài hai phía 3) Với điểm làm tâm với bán kính tuỳ ý vẽ đường trịn 4) Hai góc vng 5).Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc phía có tổng bé hai vng, hai đường thẳng cắt phía có hai góc Có tiên đề nội dung rộng dùng cho suy luận tốn học nói chung: 1) Hai thứ ba 2) Thêm vào 3) Bớt từ 4) Các hình chồng khít lên 5) Tồn thể lớn phận Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Sau có định nghĩa, định đề tiên đề Euclide trình bày định lý chứng minh định lý Các định lý cố gắng dựa vào định lý có trước tiên đề định đề 1.2 Về định đề Euclide Định đề Euclide đóng vai trị đặc biệt lịch sử phát triển hình học nói riêng Tốn học nói chung Khi nghiên cứu tập “Nguyên lý”, nhà toán học băn khoăn: Định đề có thật định đề hay khơng? Hay chứng minh định lý? Có lẽ Euclide băn khoăn vậy, ơng cố trì hỗn việc áp dụng định đề vào việc chứng minh định lý Thế nhiều nhà toán học cố gắng tìm cách chứng minh định đề Có thể nói lịch sử tốn học chưa có vấn đề tốn học nhiều người nghiên cứu đến thế, giải lại cần nhiều thời gian đến (từ kỷ II trước CN đến kỷ XIX ) Hầu hết nhà toán học thất bại Họ tưởng chứng minh định đề 5, thật khơng phải, chứng minh họ sử dụng điều tương đương với định đề Chẳng hạn, Pro–duyt (Produs Diadochus 410 – 485) chứng minh ơng sử dụng mệnh đề: “ Nếu hai đường thẳng a b song song khoảng cách từ điểm đường thẳng a tới đường thẳng b nhau” Mệnh đề hiển nhiên để chứng minh ta phải dùng định đề (vòng luẩn quẩn!) Nhiều nhà toán học chứng minh định đề phương pháp phản chứng Hãy giả sử định đề không đúng, cố rút vô lý, mâu thuẫn, họ khơng thành cơng họ tưởng tìm vơ lý thực lại chẳng vô lý chút nào! 1.3 Sự đời Hình học phi Euclide Cuối cùng, vào ngày 6/2/1826 vấn đề giải nhà toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ơng trình bày nghiên cứu khoa Tốn – Lý trường Đại học Ka–zan (Nga) Lobachevsky chứng minh rằng: Không thể chứng minh định đề Định đề định đề khơng phải định lý Ơng giữ ngun định đề Euclide thay định đề mệnh đề phủ định: “Qua điểm nằm ngồi đường thẳng kẻ hai đường thẳng song song với đường thẳng cho”, dựa vào chứng minh định lý hệ thống hình học Ngày gọi hình học mà Lobachevsky xây dựng hình học phi Euclide hay hình học Lobachevsky hồn tồn trái ngược với hình học Euclide Chẳng hạn, hình học Lobachevsky: tổng góc tam giác bé Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên 1800, có tam giác mà tổng số đo góc bé tuỳ ý, diện tích tam giác bị chặn quỹ tích điểm cách đường thẳng phải cặp đường thẳng, … Tuy nhiên nội hình học khơng có mâu thuẫn Kiến thức bổ trợ 2.1 Tứ giác Saccheri Xét tứ giác AA’B’B có hai góc vng kề đáy AB có hai cạnh bên AA’ B’B Do đối xứng qua trung trực đoạn AB, góc A’ B’ A’ H’ B’ Nếu cơng nhận định đề suy hai góc A’ B’ vng tứ giác AA’B’B hình chữ nhật A H B Ngược lại saccheri chứng minh, tìm tứ giác dạng có hai góc đỉnh vng chứng minh định đề 2.2 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương khơng gian vectơ 2.2.1 Dạng song tuyến tính Định nghĩa: Dạng song tuyến tính không gian vectơ Vn r r hàm số S( x , y ) hai vectơ xác định tồn Vn có tính chất tuyến tính vectơ, tức là: r r r r r r r ⎧ S (λ1 x1 + λ2 x2 , y ) = λ1 S ( x1 , y ) + λ2 S ( x2 , y ) (1) r r r r r ⎨ r r ⎩S ( x , µ1 y1 + µ y ) = µ1 S ( x , y1 ) + λ2 S ( x , y ) Hay cách tổng quát: r r r r r r r r r r S (λ1 x1 + λ2 x2 , µ1 y1 + µ y ) = λ1 µ1 S( x , y1 ) + λ1 µ S( x , y ) + λ2 µ1 S ( x , y1 ) + r r + λ2 µ S ( x2 , y ) Với vectơ số thực tham gia đẳng thức lấy tùy ý 2.2.2 Dạng tồn phương Định nghĩa: Trong khơng gian vectơ Vn cho dạng song tuyến đối r r r r xứng S ( x , y ) Hàm số vectơ P( x )= S ( xr , xr ) , với x ∈ V n gọi dạng r r toàn phương xác định dạng song tuyến tính S ( x , y ) r r r Ngược lại: S ( x , y ) gọi dạng đối cực dạng toàn phương P(x ) Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên 3.Thể khái niệm hình học Euclide 3.1 Mơ hình xạ ảnh không gian Euclide Ta chọn không gian xạ ảnh thực n chiều Pn, siêu phẳng Pn–1 làm siêu phẳng vô tận Như ta không gian afin thực n chiều An (như mơ tả giáo trình hình học xạ ảnh) Bằng cách định nghĩa tích vơ hướng An An trở thành khơng gian Euclide Mơ hình khơng gian Euclide gọi mơ hình xạ ảnh khơng gian Euclide Bây giờ, ta chọn khơng gian mục tiêu trực chuẩn {A n +1 ; E i }1,n , uuuuuur tức A n +1E i ∗ A n +1E j = δ ij , i, j = 1, 2, …, n Ta gọi {A i ; E } 1,n +1 mục tiêu xạ ảnh sinh mục tiêu {A n +1 ; E i }1,n Điều có nghĩa là, Ai giao điểm đường thẳng An+1Ei với siêu phẳng Pn–1, i = 1, n , E có tọa độ với mục tiêu trực chuẩn {A n +1 ; E i }1,n (1, 1, …, 1) tức : n A n +1E = ∑ A n +1E i i =1 Ta nhắc lại rằng, điểm M thuộc Εn có tọa độ mục tiêu {A n +1 ; E i }1,n (X1, X2, …, …, Xn) có tọa độ mục tiêu xạ ảnh {A ; E } i 1,n +1 (x1: x2: …: xn+1) với xn+1 ≠ X i = xi , i = 1, 2, …, n x n +1 Đối với mục tiêu trực chuẩn chọn, hai vectơ u = (u1, u2, …, un), n v = (v1, v2, …, vn) có tích vơ hướng là: u * v = ∑ u i v i = [u] [v] * i =1 3.2 Cái tuyệt đối Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu chọn {A i ; E phương trình siêu phẳng vơ tận Pn–1 xn+1 = Trong siêu phẳng Pn–1, ta chọn mục tiêu xạ ảnh {A i ; E' } 1,n } nói trên, 1,n +1 , E’ giao điểm An+1E với Pn–1 Ta xét siêu mặt trái xoan khơng T có phương trình mục tiêu chọn siêu phẳng Pn–1 là: [x]*[x] = n ∑x i =1 i =0 (1) Siêu mặt T gọi tuyệt đối T không gian xạ ảnh Pn Cái tuyệt đối mặt phẳng xạ ảnh là: x12 + x22 = cặp điểm I(1: i: 0), J(1:–i: 0) gọi cặp điểm xyclic Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng d(A, C) = d(A, B) + d(B, C) ta nói điểm B nằm hai điểm A C Tập hợp gồm hai điểm A, C điểm nằm chúng gọi đoạn thẳng AC Khoảng cách d(A, C) gọi độ dài đoạn thẳng AC (4) Độ dài d(A, B) không thay đổi qua phép dời 3.7.Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng cắt a b không gian Hn Ta gọi u v hai cát tuyến tuyệt đối T xuất phát từ giao điểm a b, nằm mặt phẳng chứa a, b Khi u v hai đường thẳng ảo liên hợp qua C, I C, J Số đo góc hai đường thẳng a b, ký hiệu ϕ (a, b) , định nghĩa : A= C* ∩ a B= C* ∩ b ϕ (a, b) = ,IJ= AB ∩ H n π ln(ABIJ) ≤ ϕ (a, b) ≤ 2 (5) Chú ý Vì (a,b,u,v) tỷ số hai số phức liên hợp, nên có dạng e Vậy i ( θ + kπ ) θ ln(a, b, u, v) = + k π 2 Điều kiện thứ hai (5) chứng tỏ chọn θ cho ≤ θ ≤ π ϕ (a, b) = θ Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra: Định lý (1) ϕ (a, b) = ⇔ a ≡ b (2) ϕ (a, b) = ϕ (b, a) (3) ϕ (a, b) không thay đổi qua phép dời (4) ϕ (a, b) = π a b vng góc với Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 34 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Mẫu đĩa Poincare hình học Lobachevsky Định đề đặc trưng hình học Lobachevsky: ƒ Qua hai điểm tồn đường thẳng chứa ƒ Cho đường thẳng bất kỳ, đoạn với chiều dài định nghĩa ƒ Với điểm làm tâm với bán kính tùy ý, vẽ đường trịn ƒ Tất góc vng ƒ Qua điểm khơng nằm đường thẳng vẽ hai đường thẳng song song với Nếu ta chấp nhận định đề Hình học Lobachevsky ta có: ƒ Tổng ba góc tam giác bé 1800 ƒ Không tồn đường thẳng cách đường thẳng khác ƒ Nếu ba góc hình tứ giác vng góc thứ tư bé vng ƒ Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song khơng cắt đường ƒ Những đường thẳng song song với đường không song song với 1.1 Mặt phẳng Hyperbolic mẫu đĩa Poincare Các định nghĩa Định nghĩa điểm mặt hyperbolic Cho đường tròn đơn vị mặt phẳng Euclide, điểm mặt hyperbolic điểm nằm bên đường tròn đơn vị A Γ O P H2 = { (x,y) | x2 + y2 < 1} Ω B Những điểm nằm đường tròn gọi điểm vơ tận Những điểm nằm ngồi gọi điểm lý tưởng Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 35 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Định nghĩa đường mặt hyperbolic Cho đường tròn đơn vị mặt phẳng Euclide, đường thẳng mặt hyperbolic cung đường tròn trực giao với đường tròn đơn vị cho nằm bên đường tròn đơn vị Cách dựng đường mặt hyperbolic + Cho đường tròn Γ tâm O + Dựng bán kính OA + Dựng đường vng góc với OA A + Chọn điểm P d, kẻ đường tròn (P, PA) Đặt B = (P, PA) ∩ Γ ⇒ AB đường thẳng mẫu đĩa Poincare Chúng ta cần dựng đường thẳng trường hợp khác với A, B hai điểm hyperbolic Ta có ba trường hợp: Ω + Trường hợp 1: A, B ∈ Γ Dựng đoạn PA, PB với P tâm đường trịn Γ Dựng đường vng góc với PA A PB B Lấy Q giao diểm hai đường Q A Γ P B Gọi Ω đường trịn tâm Q bán kính QA cắt Γ A B Đường thẳng AB cung AB Ω nằm Γ A Q + Trường hợp 2: A ∈ Γ , B nằm Γ P Gọi P tâm đường tròn Γ Nối P với A B Dựng tiếp tuyến Γ A Vẽ đoạn AB dựng đường trung trực đoạn AB Gọi Q giao điểm tiếp tuyến Γ A trung trực đoạn AB B B Gọi Ω đường trịn tâm Q, bán kính QA chứa A B Đường AB cung AB Ω nằm Γ + Trường hợp 3: A, B nằm Γ Cho đường tròn Γ tâm P, dựng đoạn PA, dựng đường vng góc với PA A, đường cắt Γ hai điểm X Y Dựng hai tiếp tuyến với Γ X Y Gọi C giao điểm hai tiếp tuyến Ω đường tròn tâm Q qua A, C Y X Γ Khóa Luận Tốt Nghiệp Q A P P B Trang 36 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên B, C Đường thẳng AB cung AB Ω nằm Γ Khoảng cách mêtric mặt hyperbolic Ta định nghĩa khoảng cách mêtric mặt hyperbolic bởi: dρ= 2dr 1− r2 (*) ρ đặc trưng cho khoảng cách hyperbolic, r khoảng cách Euclide từ tâm đường tròn Từ (*) ta thấy d ρ → ∞ r → 1, điều có nghĩa đường thẳng mở rộng vô hạn Sự liên hệ khoảng cách Euclide điểm từ tâm đường tròn khoảng cách hyperbolic là: 2du ⎛1+ r ⎞ = ln⎜ ⎟ ⎝1− r ⎠ 1− u r ρ=∫ Bây giờ, ta định nghĩa khoảng cách hai điểm đường Poincare Cho hai điểm hyperbolic A B, giao điểm AB cắt đường tròn hai điểm vô tận P Q AP / AQ AP.BQ = tỉ số A B với P Q, AP BP / BQ AQ.BP gọi độ dài cung Euclide Đặt (AB, PQ) = Định nghĩa khoảng cách hyperbolic từ A đến B d(A, B) = |ln(AB,PQ)| + Định lý Nếu điểm A nằm đường trịn đơn vị d(A, O) = ln 1+ r 1− r ( r: khoảng cách Euclide từ A đến tâm đường tròn) Chứng minh d(A, O) = ln|AP,OQ| = ln 1+ r AP.OQ AP.OQ = ln =ln ‰ AQ.OP AQ.OP 1− r + Định lý Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 37 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khoảng cách hyperbolic từ điểm đường trịn đơn vị đến kéo dài vơ tận Những đường thẳng song song Cho đường thẳng AB điểm D ∉ AB Ta vẽ hai đường thẳng qua D không cắt AB Gọi đường thẳng qua D l1 l2 Ta có l1 song song AB, l2 song song AB l1 không song song với l2 Chú ý: l2 cắt đường thẳng song song với l1 không cắt đường song song với AB Nhận thấy đường AB cắt đường tròn đơn vị hai điểm vô tận Λ Ω D A Λ B Ω Định lý Cho đường thẳng AB cắt đường tròn đơn vị Λ Ω Một điểm D nằm đường thẳng AB, từ D kẻ đường thẳng vng góc xuống đường thẳng AB M ta có Λ DM = Ω DM D c1 A M B Chứng minh Chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử Λ DM ≠ Ω DM o Trường hợp : Λ DM < Ω DM Do có điểm E nằm Ω DM Λ DM = EDM Đường ED phải cắt AB điểm D Ω đường giới hạn song song AB Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 38 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Lấy điểm F = DE ∩ AB Chọn điểm G AB đối xứng với F qua DM Do GM = FM Suy ra: ∆ GMD ~ ∆ FMD ⇒ GDM = FDM = Λ DM Điều có nghĩa là: D Λ cắt AB G (G∈ H2) (vô lý) D Λ đường giới hạn song song Vậy Λ DM = Ω DM o Trường hợp : Λ DM > Ω DM (chứng minh tương tự).‰ 1.1.6 Định lý Góc định nghĩa định nghĩa 1.1.5 góc nhọn Chứng minh Giả sử MD Ω > 900 Gọi E điểm nằm MD Ω MDE = 900 Khi DE AB vng góc DM nên DE song song AB Thật vậy, DE không cắt AB, D Ω đường giới hạn song song AB (vô lý) Do MD Ω ≤ 900 Nếu MD Ω = 900 ta có Hình học Euclide.‰ 1.1.7 Định lý Lobachevsky Cho điểm D gọi d khoảng cách hyperbolic từ D đến AB Khi góc song song θ D dường thẳng AB thỏa mãn e–d = tan θ Chứng minh Cho đường thẳng AB điểm D không thuộc AB Dựng đường thẳng qua D vng góc với AB Gọi R giao điểm AB đường vng góc qua D Gọi d = d(D, R) Ta di chuyển điểm D để trở thành tâm đường trịn đơn vị di chuyển đường thẳng để đường vng góc với AB trở thành bán kính đường trịn đơn vị Dựng bán kính từ D đến hai điểm vơ tận A B Dựng tiếp tuyến đường tròn đơn vị A B, hai tiếp tuyến cắt Q Q ∈ DR Như r khoảng cách Euclide từ D đến R ta có : d = ln Khóa Luận Tốt Nghiệp 1+ r 1− r Trang 39 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên (r khoảng cách Euclide từ R đến tâm D) (định lý 1.2.2) PD B R B A Hoặc ed = 1− r 1+ r e–d = 1− r 1+ r Bây ta nói khoảng cách Euclide (r) sử dụng tam giác mặt phẳng Euclide với bán kính 1, ta có: r = QD – QR = QD – QA = secQDA – tanQDA = sec θ – tan θ = − sin θ cos θ Như ta có: − sin θ 1− r cos θ = cos θ + sin θ − cos θ + sin θ + e–d = = + r + − sin θ cos θ − sin θ + cos θ + sin θ + cos θ 1− = sin θ cos θ sin θ cos θ + cos θ sin θ + sin θ − = = 2 cos θ − sin θ + cos θ + cos θ + cos θ + cos θ θ θ sin cos 2 = θ cos θ = tan ‰ 1.1.8 Định lý Các góc đỉnh tứ giác saccheri nhọn Chứng minh Gọi Ω điểm vô tận đường thẳng AB Ta có: E Ω F Ω đường giới hạn song song Ω Gọi BE ≅ AF BE Ω góc song song tạo nên BE E Ω F C E A Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 40 B Ω GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Tương tự AF Ω góc song song tạo nên AF F Ω Ta lại có: BE Ω + Ω EC = AFE Mặt khác: AFE + AF Ω + Ω FC = 1800 Thế vào ta được: BE Ω + Ω EC + BE Ω + Ω FC = 1800 (vì AFE = BE Ω + Ω EC, AF Ω = BE Ω (định lý Lobachevsky) Mà Ω EC < Ω FC Khi đó: BE Ω + Ω EC + BE Ω + Ω EC < 1800 ⇒ 2BE Ω + Ω EC < 1800 ⇒ 2BEF < 1800 ⇒ BEF = BE Ω + Ω EC < 900 Vậy góc đỉnh tứ giác saccheri góc nhọn‰ 1.1.9 Định lý (Tổng góc tam giác Hyperbolic) Tổng góc tam giác Hyperbolic bé 1800 Chứng minh Ta xét trường hợp o Trường hợp 1: ∆ABC nhọn A Gọi D E trung điểm AB AC Dựng BG, AF CH vng góc với DE G E D Ta có: BDG ≅ ADF (đối đỉnh) F C B Theo định lý SAA: Trong tam giác ABC ˆ ≅D ˆ, B ˆ ≅ Eˆ tam giác DEF, cho AC ≅ DE, A ∆ABC ≅ ∆DEF H Ta có: ∆BGD ≅ ∆ADF Từ suy BG ≅ AF (1) Tương tự ta có: ∆CHE ≅ ∆AEF ⇒ CH ≅ AF Từ (1) (2) suy ra: BG ≅ CH BGHC tứ giác saccheri Ta có: ABC +ACB +BAC = ABC + ACB + (DAF + FAE) =ABC + DBG + (ACB +ECH) = GBC + HCB Như vậy, tổng ba góc tam giác ABC với tổng góc đỉnh môt tứ giác saccheri nên trường hợp tam giác ∆ABC nhọn tổng góc ∆ABC nhỏ 1800 o Trường hợp 2: ∆ABC tù A Trong trường hợp ACB góc tù D Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 41 B C GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Vẽ đường vng góc từ C đến AB Đường cắt AB điểm D nằm A B Đồng thời chia tam giác tù ABC thành hai tam giác nhọn: ∆ACD ∆BCD Ta có: ABC + ACB + BAC = DBC + DAC + DCA + DCB = (DBC + DCB) + (DAC + DCA) + (ADC + BDC – 1800 ) < 1800 +1800 – 1800 = 1800 o Trường hợp 3: ∆ABC vuông (chứng minh tương tự)‰ 1.1.10 Định lý Tổng tất góc nhọn tam giác vng bé 900 1.1.11 Định lý Tổng tất góc tứ giác saccheri bé 3600 1.1.12 Định lý Pythagorean Hyperbolic Trong tam giác vuông ABC với cạnh a, b cạnhh huyền c cosh(c) = cosh(a)cosh(b) Mẫu nửa mặt phẳng Poincare 2.1 Các định nghĩa Trong mặt phẳng Euclide, ta lấy đường thẳng x nằm ngang Đường thẳng x xác định hai nửa mặt phẳng, ta quy ước gọi hai nửa “nửa trên” 2.1.1 Điểm Các điểm nửa gọi điểm phi Euclide 2.1.2 Đường thẳng Đường thẳng phi Euclide nửa vòng tròn Euclide nằm nửa trực giao với x (nghĩa có tâm x ) tia Euclide thuộc nửa trên, xuất phát từ x tạo với x góc vng 2.1.3 Phép nghịch đảo Cho vịng trịn (S) tâm O, bán kính r điểm M mặt phẳng M' O Khóa Luận Tốt Nghiệp M Trang 42 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Nếu M không trùng với O ứng với có điểm M’ nằm tia OM xác định điều kiện: OM’.OM = r2 Điểm M’ gọi biến điểm M phép nghịch đảo vòng tròn (S), hay gọi tắt điểm nghịch đảo M Ngoài ra, ta quy ước gọi M’ nghịch đảo M đường thẳng u M’ đối xứng với M qua u * Các tính chất phép nghịch đảo Nếu M’ nghịch đảo M M nghịch đảo M’ Vậy phép nghịch đảo trùng với phép biến hình đảo ngược + Trong phép nghịch đảo điểm ngồi vịng trịn (S) biến thành điểm trong, điểm thành điểm + Mỗi điểm (S) trùng với điểm ngịch đảo + Hình nghịch đảo vịng trịn vòng tròn + Nếu phép biến hình tạo nên tích số chẵn phép nghịch đảo ta có ba điểm bất biến (nghĩa điểm biến thành nó) phép biến hình phép biến hình đồng + Trong phép biến hình tạo nên tích số lẻ phép nghịch đảo,nếu ta có ba điểm bất biến phép biến hình phép nghịch đảo vòng tròn qua ba điểm + Nếu hai vịng trịn cắt góc chúng góc tạo nên hình nghịch đảo chúng phép nghịch đảo 2.1.4 Góc Góc tập hợp hai tia phi Euclide xuất phát từ điểm 2.1.5 Sự đoạn thẳng góc mẫu nửa mặt phẳng Poincare Bây ta định nghĩa khái niệm “ở giữa” đường thẳng phi Euclide: Cho điểm A, B, C đường thẳng phi Euclide (biểu diễn nửa vịng trịn a) Ta nói điểm B (theo nghĩa phi Euclide) A C B A C (theo nghĩa Euclide) nửa vịng trịn a, nói cách khác, thứ tự điểm đường thẳng phi Euclide trùng với thứ tự điểm nửa vòng tròn Euclide biểu diễn đường thẳng Trong trường hợp mà nửa vịng trịn biểu diễn đường thẳng phi Euclide không suy biến thành tia Euclide ta xác định thứ tự điểm đường thẳng phi Euclide sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 43 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Giả sử nửa vòng trịn a, tâm O (O khơng phải điểm phi Euclide biểu diễn đường thẳng phi Euclide) Ta lấy đường thẳng Euclide u song song với x Mọi đường thẳng Euclide qua O (trừ x) cắt nửa vòng tròn a điểm M, đường thẳng u điểm M’ mà ta gọi điểm tương ứng M B Như điểm A, B, C đường thẳng phi Euclide biểu diễn nửa vòng tròn a, điểm B (theo nghĩa phi Euclide) A C Khi điểm A’, B’, C’ tương ứng đường thẳng Euclide u, điểm B’ A’ C’ Theo định nghĩa thứ tự điểm đường thẳng phi Euclide trùng với thứ tự điểm nửa vòng tròn Euclide biểu diễn đường thẳng phi Euclide A C A' B' C' u x B O A Vì vậy, đoạn thẳng phi Euclide AB X x biểu diễn cung có đầu mút A B nửa vòng tròn, tia Euclide xuất phát từ điểm O biểu diễn cung OX mà đầu mút X nằm đường thẳng x ( X không kể điểm tia phi Euclide) • Sự đoạn thẳng góc mẫu nửa Poincare Ta quy ước xét phép nghịch đảo vòng tròn trực giao với đường thẳng x Với phép nghịch đảo điểm nằm nửa mặt phẳng biến thành điểm nửa • Ta nói đoạn phi Euclide AB đoạn phi Euclide A’B’ có dãy phép nghịch đảo cho tích chúng biến cung trịn Euclide AB thành cung trịn Euclide A’B’ • Cũng vậy, góc phi Euclide (h, k) gọi góc phi Euclide (h’, k’) có dãy phép nghịch đảo cho tích chúng biến cạnh góc thứ thành cạnh góc thứ hai Chú ý : Các góc theo định nghĩa không theo nghĩa mà ta hiểu Hình học Euclide góc cong Trái lại cung tròn biểu diễn đoạn phi Euclide hồn tồn khơng theo nghĩa Euclide phép nghịch đảo giữ ngun góc khơng giữ ngun kích thước hình + Mệnh đề Một phép nghịch đảo phương diện phi Euclide phép đối xứng đường thẳng Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 44 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Chứng minh Giả sử AB cung tròn biểu diễn đoạn thẳng phi Euclide Gọi S giao điểm đường thẳng Euclide AB với x (giả thiết chúng cắt nhau) C A B u S Vẽ tiếp tuyến SC cung AB X Ta có: SA.SC = SC2 Nên phép nghịch đảo nửa vịng trịn u tâm S, bán kính SC biến A thành B, biến B thành A, C bất biến Vậy cung AB biến thành nó, cung AC thành cung BC, cung BC thành cung AC Vì hai cung AC BC nghịch đảo nên chúng biểu diễn hai đoạn phi Euclide Nói cách khác C trung điểm đoạn phi Euclide AB Ta lại có: AB trực giao với nửa vòng tròn u Vậy u biểu diễn đường trung trực đoạn phi Euclide AB, hay A B đối xứng (theo nghĩa phi Euclide) đường thẳng phi Euclide biểu diễn u Bây ta xét vài kiện Hình học Lobachevsky thể nửa mặt phẳng Euclide : c b1 A b2 a P X1 X2 x Cho đường thẳng phi Euclide dạng nửa vòng tròn a trực giao x, điểm A nằm a Các đường thẳng phi Euclide qua A không cắt đường thẳng cho biểu diễn nửa vòng tròn qua A trực giao với x, khơng cắt nửa vịng trịn a Trong tất đường phải có hai giới tuyến gọi hai đường song song với đường cho theo hai hướng đường Trên hình vẽ, đường song song biểu diễn hai nửa vòng tròn b1 b2 tiếp xúc với nửa vòng tròn a hai đầu mút X1 X2 Vì điểm Euclide đường thẳng x, không kể điểm phi Euclide nên ta phải xem đường thẳng phi Euclide b1, b2 khơng có điểm chung với đường thẳng phi Euclide a Qua A ta vẽ nửa vòng tròn trực giao với x, cắt nửa vòng tròn a P góc vng Cung AP biểu diễn đường vng góc phi Euclide hạ từ A xuống đường thẳng phi Euclide a, góc mà tạo nên với cung b1 góc song song đoạn thẳng AP Trong Hình học Lobachevsky, AP phân giác góc tạo hai đường thẳng phi Euclide b1 b2 (suy từ phép nghịch đảo) Tuy nhiên, Hình học Euclide, hai góc tạo cung AP với hai cung b1 b2 phải chứng minh vất vả Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 45 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xun Vì vậy, ta chứng minh số định lý Hình học Euclide nhờ vào hình học phi Euclide Chẳng hạn định lý sau hình học Euclide “Nếu tam giác có ba cạnh ba cung tròn thuộc ba vòng tròn có tâm thẳng hàng tổng góc tam giác nhỏ hai vng” tương ứng với định lý: “Tổng góc tam giác nhỏ hai vng” hình học phi Euclide Sau xây dựng xong đối tượng mẫu nửa mặt phẳng Poincare ta kiểm tra lại tiên đề Hình học Hyperbolic thấy mẫu nửa mặt phẳng Poincare thỏa mãn tiên đề, cụ thể: + Tiên đề 1: Qua hai điểm nửa mẫu Poincare ta vẽ nửa đường tròn + Tiên đề 2: Một đường thẳng kéo dài vơ tận Thật vậy, ln tồn nửa đường trịn đường thẳng qua hai điểm mặt phẳng + Tiên đề 3: Từ định nghĩa ta suy vẽ nửa đường trịn từ điểm bán kính (căn vào số đo khoảng cách, ta vẽ nửa đường tròn) + Tiên đề 4: Ta biết phép đẳng cự bảo tồn số đo góc Euclide, mà định nghĩa số đo góc khơng gian Hyperbolic giống số đo góc Euclide hai góc vuông + Tiên đề 5: Cho đường l điểm P ∉l qua P có hai đường l1 l2 không cắt l KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiên cứu với hướng dẫn cô Phạm Thị Thu Hoa, thực hồn chỉnh đề tài nghiên cứu Khố luận tơi trình bày vấn đề Hình học phi Euclide, lý thuyết Hình học giả Euclide, Hình học Lobachevsky, Và mẫu mặt Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 46 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên phẳng Lobachevsky, mẫu đĩa Poincare mẫu nửa mặt phẳng Poincare Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu nên việc hồn thành đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế định, kính mong q thầy bạn góp ý kiến bảo Tôi chân thành cảm ơn ! Long Xuyên, tháng năm 2008 Tác giả TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hình Học Xạ Ảnh, NXBGD 1999 [2] Văn Như Cương – Kiều Huy Luân, Hình Học Cao Cấp, NXBGD 1976 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 47 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xun [3] Nguyễn Cảnh Tồn, Hình Học Cao Cấp, NXBGD 1979 [4] Văn Như Cương, Hình Học Cao Cấp, NXB Đại Học Sư Phạm 2005 [5] Nguyễn Đăng Phất, Bài Tập Hình Học Cao Cấp Tập I – Cơ Sở Hình Học, NXBGD 1964 [6] Nguyễn Cảnh Tồn, Hình Học Cao Cấp Phần thứ I – Cơ Sở Hình Học, NXBGD 1962 [7] C.Royster, Non–Euclidean Geometry, Course Spring 2002 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 48 ... định lý hệ thống Hình học mà ngày ta gọi Hình học phi Euclide hay Hình học Lobachevsky Nghiên cứu Hình học phi Euclide thấy kết bất ngờ thú vị hoàn toàn trái ngược với Hình học Euclide Luận văn... đời Hình học phi Euclide 1.1 Hình học Euclide Như ta biết Euclide nhà hình học vĩ đại Tên tuổi ơng gắn liền với tác phẩm “Nguyên lý” tiếng có tất 13 Trong có dành cho hình học phẳng hình học. .. THỨC CHUẨN BỊ .6 Vài nét lịch sử đời Hình học phi Euclide 1.1 Hình học Euclide 1.2 Về định đề Euclide 1.3 Sự đời Hình học phi Euclide 2.Kiến thức bổ trợ