Một số tìm hiểu tiếp theo về bổ túc xác suất

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± DUNG M®T SO TÌM HIEU TIEP THEO VE BO TÚC XÁC SUAT LU¼N VĂN THAC SY KHOA HOC Chuyên ngành : LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC Mã so : 60 46 01 06 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS PHAN VIET THƯ HÀ N®I, 2014 Mnc lnc LèI Me ĐAU BANG KÝ HIfiU MARTINGALE VÀ M®T SO ÚNG DUNG 1.1 Kỳ vQNG có đieu ki¾n 1.1.1 Trưòng hop ròi rac 1.1.2 Trưòng hop Gauss 1.1.3 Hm mắt đ cú đieu ki¾n 1.1.4 Sn ton tai tính nhat 1.1.5 Các tính chat cna kì vQNG có đieu ki¾n 1.2 Lý thuyet Martingale 1.2.1 Đ%nh nghĩa 1.2.2 Dùng tùy cHQN 1.2.3 Các bat thúc Doob 1.2.4 Đ%nh lý h®i tu 1.3 Các úng dung Martingale 1.3.1 Tőng bien ngau nhiên đc lắp 1.3.2 Martingale không âm sn thay đői đ® đo 1.3.3 Xích Markov 1.3.4 Đieu khien ngau nhiên toi ưu 8 8 9 11 13 13 14 15 18 21 21 22 25 27 QUÁ TRÌNH NGAU NHIÊN THèI GIAN LIÊN TUC 29 2.1 Q trình ngau nhiên thịi gian liên tuc .29 2.1.1 Đ%nh nghĩa 29 2.1.2 Quy đao quy 30 2.1.3 Martingale vói thòi gian liên tuc 32 2.2 H®i tu yeu 35 2.2.1 Đ%nh nghĩa 35 2.2.2 Đ%nh lý Prohorov .36 2.2.3 H®i tu yeu hàm đ¾c trưng 37 CHUYEN Đ®NG BROWN 39 3.1 Đ%nh lý Wiener 39 3.2 Tính bat bien 41 3.3 Martingale 42 3.4 Tính chat Markov manh .44 3.5 Thòi điem cham 46 3.6 Tính chat quy đao 46 3.7 Hoi quy sn nhat thòi 48 3.8 Chuyen đ®ng Brown tốn Dirichle 50 3.9 Nguyên tac bat bien cna Donsker .54 Đ® ĐO NGAU NHIÊN POISSON VÀ QUÁ TRÌNH LEVY 58 4.1 Đ® đo ngau nhiên Poisson 58 4.1.1 Cau trúc thu®c tính ban 58 4.1.2 Tích phân đoi vói m®t đ® đo ngau nhiên Poisson 60 4.2 Quá trình Levy .63 4.2.1 Đ%nh nghĩa ví du 63 4.2.2 Đ%nh lý Levy-Khinchin .64 Tài li¾u tham khao 67 LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành vói sn hưóng dan t¾n tình het súc nghiêm khac cna PGS.TS Phan Viet Thư Thay dành nhieu thịi gian q báu cna đe hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot ca q trình làm lu¾n văn Tơi muon to lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói ngưịi thay cna Tơi muon gui tói tồn the thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay đam nh¾n giang day khóa Cao HQc 2011 - 2013, đ¾c bi¾t thay tham gia giang day nhóm Xác suat thong kê 2011 - 2013 lịi cám ơn chân thành đoi vói cơng lao day suot thịi gian cna khóa HQc Tơi xin cám ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p anh ch% em nhóm Xác suat thong kê 2011 - 2013 ó quan tõm, giỳp ừ, tao ieu kiắn v đng viên tinh than đe tơi có the hồn thành đưoc khóa HQc LèI Me ĐAU Bő túc xác suat m®t q trình chuyen tiep tù khái niắm xỏc suat c ban; cựng lý thuyet đ o đe xây dnng lý thuyet xác suat hi¾n đai thơng qua giai tích ngau nhiên Vói khái ni¾m ban Lý thuyet Martingale, Xích Markov, Di đ®ng ngau nhiên, Quá trình ngau nhiên liên tuc, Quá trình Wiener, làm so đe nghiên cúu tiep ve trình ngau nhiên, phương trình vi phân ngau nhiên tiep c¾n úng dung quan TRQNG cna lý thuyet xác suat tốn tài chính, phân tích chuoi thịi gian, lý thuyet dn báo, Đây lý đe chúng tơi cHQN đe tài: M®t so tìm hieu tiep theo ve bő túc xác suat Lu¾n văn trình bày nhieu khái ni¾m đưoc HQc o chương trình cao HQc HQc khái ni¾m, đ%nh lý, tính chat chi đưoc giói thi¾u mà chưa có chúng minh đay đn Trong lu¾n văn khái ni¾m, đ%nh lý, m¾nh đe, tính chat đeu đưoc chúng minh ch¾t che Giúp tìm hieu sâu ve Bő túc xác suat Lu¾n văn gom có chương: Chương Martingale m®t so úng dnng Kỳ vQNG có đieu ki¾n: Trưịng hop rịi rac, Trưịng hop Gauss, hàm m¾t đ cú ieu kiắn, sn ton tai v nhat, tính chat ban Martingale tham so rịi rac, martingale dưói martingale trên, dùng tùy cHQN, bat thúc Doob, cat ngang, đ%nh lý h®i tu, martingale ngưoc Các úng dung cna martingale: Tőng cna bien ngau nhiên đ®c l¾p, lu¾t manh so lón, đong nhat thúc cna Wald, martingale khơng âm sn bien đői đ® đo, đ%nh lý Radon – Nikodym, đ%nh lý tích martingale cna Kaku- tani, kiem tra tính vung cna ty so hop lý, Xích Markov, đieu khien toi ưu ngau nhiên Chương Quá trình ngau nhiên thài gian liên tnc Quá trình ngau nhiên vói thịi gian liên tuc: Tiêu chuan Kolmogorov, đ%nh lý quy đao quy đoi vói martingale, martingale vói thịi gian liên tuc H®i tu yeu Rw: h®i tu cna hàm phân phoi, h®i tu đoi vói hàm liên tuc b% ch¾n, phép nhúng Skorokhod, đ%nh lý Helly, hàm đ¾c trưng, đ%nh lý liên tuc cna Levy Chương Chuyen đ®ng Brown Chuyen đ®ng Brown: đ%nh lý Wiener, tính chat chia ty l¾ phép đoi xúng, Martingale liên quan đen chuyen đ®ng Brown, tính chat Markov manh, đ%nh lu¾t phan xa, thịi gian va cham, tính chat đưịng dan, phép hoi quy sn nhat thịi, chuyen đ®ng Brown tốn Dirichle, ngun tac bat bien cna Donske Chương Đ® đo ngau nhiên Poisson trình Levy Quá trình Levy: Cau trúc thuan túy bưóc nhay cna q trình Levy boi tớch phõn oi vúi đ o ngau nhiờn Poisson, luắt chia đưoc vô han, đ%nh lý Levy – Khinchin Do thòi gian gap rút kien thúc han che nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót, v¾y, rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay ban bè đong nghi¾p, xin trân TRQNG cám ơn Hà N®i, tháng 08 năm 2014 BANG KÝ HIfiU M1: T¾p martingale kha tích đeu Mp: T¾p martingale b% ch¾n Lp vói p > gi: Giá phát sinh chi phí moi lan tói i trưóc T fi: Giá phát sinh đen tai i ∈ ∂D Dn: T¾p hop so nguyên b®i cna 2−n [0, ∞) h.c.c: hau chac chan Chương MARTINGALE VÀ M®T SO ÚNG DUNG 1.1 1.1.1 Kỳ vQNG có đieu ki¾n Trưàng hap rài rac Cho (Gi : i I) ký hiắu mđt HQ đem đưoc bien co không giao nhau, hop cna chúng ca khơng gian xác suat Đ¾t G = σ (Gi : i ∈ I) Đoi vói bien ngau nhiên kha tích X, có the đ%nh nghĩa Σ Y = E(X |Gi ) 1Gi i đ¾t E (X |Gi ) = E (X1Gi ) /P (Gi ) P (Gi ) > đ%nh nghĩa E (X |Gi ) m®t cách tùy ý P (Gi) = Khi de dàng thay Y có tính chat sau: (a) Y G-đo đưoc, (b) Y kha tích E (X1A) = E (Y 1A) vói MQI A ∈ G 1.1.2 Trưàng hap Gauss Cho (W, X) bien ngau nhiên Gauss R2 Đ¾t G = σ (W) Y = aW + b, a, b ∈ R đưoc cHQN đe thoa mãn: aE (W) + b = E (X) , a varW = cov (W, X) Khi E (X − Y ) = cov (W, X − Y ) = cov (W, X) − cov (W, Y ) = nên W X − Y đ®c l¾p Do Y thoa mãn: (a) Y G-đo đưoc, (b) Y kha tích E (X1A) = E (Y 1A) vói MQI A ∈ G 1.1.3 Hàm m¾t đ cú ieu kiắn Gia su U v V l cỏc bien ngau nhiờn cú hm mắt đ ong thũi fU,V (u, v) R2 Khi U có hàm mắt đ fU , xỏc %nh boi fU (u) = R fU,V (u, v) dv Hm mắt đ cú ieu ki¾n fV |U (v| u) cna V vói U cho đưoc xác đ %nh boi fV |U (v| u) = fU,V (u, v)/fU (u) o quy ưóc 0/0 = Cho h : R → R hàm Borel gia su rang X = h (V ) kha tích Đ¾t g (u) = ∫R h (v) fV |U (v| u) dv Đ¾t G = σ (U ) Y = g (U ) Khi Y thoa mãn: (a) Y G-đo đưoc, (b) Y kha tích E (X1A) = E (Y 1A) vói MQI A ∈ G Đe chúng minh (b) ta ý rang vói MQI A ∈ G có dang A = {U B}, vúi mđt Borel B no Khi đó, tù đ%nh lý Fubini, E (X1A ) = ∫R h (v) 1B (u) fU,V (u, v) d (u, v) = ∫R ∫R h (v) fV |U (v |u) dv Σ fU (u) 1B (u) du = E (Y 1A ) 1.1.4 SE ton tai tính nhat Đ%nh lý 1.1 Cho X m®t bien ngau nhiên kha tích G ⊆ F m®t σ-đai so Khi ton tai m®t bien ngau nhiên Y cho: (a) Y G-đo đưac, (b) Y kha tích E (X1A) = E (Y 1A) vái MQI A ∈ G Hơn nua, neu Y J thóa mãn (a) (b), Y = Y J h.c.c Chúng ta gQI Y (m®t ban cna) kỳ vQNG có đieu ki¾n cna X vói G cho viet Y = E (X |G ) h.c.c Trong trưịng hop G = σ (G) vói m®t bien ngau nhiên G đó, viet Y = E (X |G) h.c.c Ba ví du cho thay làm the xây dnng cu the kỳ vQNG có đieu ki¾n trưịng hop đơn gian Nói chung, phai tiep c¾n theo cách gián tiep đưoc cho boi đ%nh lý Chúng minh (Tính nhat.) Gia su rang Y thoa mãn (a) (b) Y J thoa mãn (a) (b) vói m®t bien ngau nhiên kha tích X J khác, vói X ≤ X J h.c.c Xét bien ngau nhiên không âm Z = (Y − Y J ) 1A , A = {Y ≥ Y J } ∈ G Khi E (Z) = E (Y 1A ) − E (Y J 1A ) = E (X1A ) − E (X J 1A ) ≤ nên Z = h.c.c, suy Y ≤ Y J h.c.c Trong trưòng hop X = X J , suy Y = Y J h.c.c (Sn Khoi gia su X ∈taLcó (F) V = vói L2 (G) khơng gianton contai.) đóng cnađau L2 (F), chúng X =Do Y +W Y ∈làVm®t W ∈V ⊥ Khi đó, vói bat kỳ A ∈ G, có 1A ∈ V , nên E (X1A) − E (Y 1A) = E (W1A) = Do Y thoa mãn (a) (b) ∧ n giò ∈ Lgia (Fsu) X 0≤ Xnngau ↑ X nhiên nkhông → ∞.âm Chúng ta phai chúng minX h, Bây bien bat kỳ Khi đó, Xn = vói moi n, ton tai Yn ∈ L (G) cho, vói MQI A ∈ G, E (Xn1A) = E (Yn1A) ≤Y ≤ Yđi¾u, n+1 h.c.c Cho Y = limn→∞ Yn , Y G-đo đưoc vànua theo0h®i tun đơn vói MQI A ∈ G, E (X1A) = E (Y 1A) Đ¾c bi¾t, neu E (X) huu han E (Y ) v¾y − ta Cuoi có thecùng, su dung cách xâybien dnngngau trưócnhiên cho Xkha vàtích X + đe Y đoi vói m®t X thu nói đưoc chung, + + − chúng Y Khi Y = Y − Y thoa mãn (a) (b) − Reψ (u) du ... dung quan TRQNG cna lý thuyet xác suat toán tài chính, phân tích chuoi thịi gian, lý thuyet dn báo, Đây lý đe cHQN đe tài: M®t so tìm hieu tiep theo ve bő túc xác suat Lu¾n văn trình bày nhieu... có the hồn thành đưoc khóa HQc LèI Me ĐAU Bő túc xác suat m®t q trình chuyen tiep tù khái ni¾m xác suat ban; lý thuyet đ® đo đe xây dnng lý thuyet xác suat hi¾n đai thơng qua giai tích ngau nhiên... Trong lu¾n văn khái ni¾m, đ%nh lý, m¾nh đe, tính chat đeu đưoc chúng minh ch¾t che Giúp tìm hieu sâu ve Bő túc xác suat Lu¾n văn gom có chương: Chương Martingale m®t so úng dnng Kỳ vQNG có đieu ki¾n: