FERUỚNG DALHOC SU PHAM TP HCM KHOA TOAN
slide
LUẬN văn tốt nGIỆP
MỐI LIÊN QUAN GIỮA
PHỔ NGUYÊN TỔ CỦA VÀNH VÀ
CẤU TRÚC CỦA MỘT SỐ LỚP VÀNH
ĐỀ TÀI:
Ấ\
GVHD GS - TS BUI TƯỜNG TRI
Trang 2L609 CAM On
Sot điêu (kêu, let xin chin thinh cam en gide si — ben vể Bai titmg Sré khea loin tuing Fob hee te Pham Shanh Phé Hé Che
Minh, ngutt thay da nhiél linh hating din led hong suél quad hinh hean
Uhinh (uậm van lel nghiép nay
Nei xin get lei tél on dén quy thdy Cé dé che led nhitng hién lhite dé
lid vt dete hinh nghiem hén bear hiding dau lien nghien ore khea hee
Thanh Phé Hb Chi Minh, 067200!
Sinh viên lớp todn 4P
Trang 3LỜI MỞ ĐẦU
[rong Đại số giao hốn, lý thuyết vành là một trong những vấn để hay
được để cập đến Việc tìm hiểu cẩu trúc các ideal nguyễn tổ, ideal tốt đại trên một vảnh giao hốn cá đơn vị A ( gọi tất là vành A] cho ta được những kết quả rất lý thi Tap hợp những ideal nguyên tế trong vành A mà ta sẽ gọi là phổ nguyên tổ Spec(A) là khong gian tépé Zariski, Day là một khơng gian tơpơ đặc biệt Mặt khác, giữa vành A
và phổ nguyên tế Spec(A) cũng cĩ những mối liên quan khá mật thiết với nhau Chẳng
han, trong vanh A ta luơn cĩ mọi ideal tổi đại là ideal nguyên tổ nhưng nếu Spec(A) lá Tị - khơng gian thì mọi ideal nguyên tổ trong A là ideal tối đại, và ngược lại Hơn mữa, trên cấu trác của một số lớp vành đặc biệt như vành Boole, vành NơIe, vành
Artin phổ nguyên tố của chúng cũng thể hiện những tính chất tơpơ tương tứng khá
sâu sắc như tính tách, tính liên thơng, tính bất khả quy, tính Nơte mà chúng ta sẽ tìm
hiểu một phần nào trong luận vấn này
Luận văn này chúng tơi chia làm hai chương, mỗi chương gồm hai phần :
* Chương [ : chúng tơi trình bày những vấn để cơ bản về lý thuyết
vành giao hốn cĩ đơn vị, mà trọng tâm là các ideal nguyên tố, ideal tối đại, các vành Boole, Nơe, Artin (Phẩn!) và một vài khái niệm, tính chất trong khơng gian tơpơ (Phan 2),
* Chương II : chúng tơi trình bày việc xây dựng phổ nguyên tố của vành A cùng với các tính chất của nĩ (Phẩn1) và những mối liên quan giữa phổ
nguyên tế với cấu trúc của một số lớp vành đặc biệt (Phần 2)
Lưu ý : trong chương I cĩ một số kết quả, định lí mà chúng tơi nghĩ rằng đã quen thuộc thì chỉ trình bày dưới dạng nhắc lại để dùng cho chương II chứ khơng
Trang 4MỤC LỤC
Lời mở đầu Qui ước, ký hiệu
Chương I : MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT CÁC VÀNH GIAO HOAN CO
PON VI VA CAC TINH CHAT CUA KHONG GIAN TOPO
Phần | : Vanh giao hốn cĩ đơn vị
[BH HE eis i ean trang |
II Phép tốn trên cắc Ideal se 5S S3 nhe trang | LID Ideal nguyên tố- Ideal tối đại -.- ĩc << <0 trang 3
PV Nabemclicat — Radical i iiasiissiicisscccascvnass ceciccsceonevancevereccanseeersssevenaacranste trang 5 V Vành Roole - Vành Nơte =Vành Artin 4-25 2.- trang 7
Phần 2 : Một vài tính chất của khơng gian tơpơ
l, Các tiên để tách .s- << Ăc*k HS HH ng ng ng trang [2 Fl TRO GIAN COMORES vcoiti066oxd cookie trang | 3
UIE::Ehơng man Nên ƠNG G2206 CS CG260201122Ÿ611 da trang 13
IV: Khơng gian B00 Wid any saci eal trang 14
VL EM Giá NI eeseseeensseeeessenseesnenennnesnnrvrrnnnrrrrrnrerrerrnandee trang 15
Chương II : PHỔ NGUYEN T6 CUA VANH GIAO HOAN CO DON VỊ VÀ MỐI
LIEN QUAN GIUA CHUNG
Phin 1 : Phổ nguyên tố của vành giao hốn cĩ đơn vị
|, TT Ho NÌề -eueeeesveeoknieseereeseoortenserederrosvgossererooseyvoseespnsnnse trang 17
Í Cổ Ø của phổ ngiyÊn Đỗ daeceoeeeeeaeieeieeaveeeeexser trang 20
II Tính tách của phổ nguyên tố .- -Ă SccsSSseesrierrie trang 22
IV Tính compact của phổ nguyên tố SG nnneeeeevee trang 23 Phần 2 : Mối liên quan giữa phổ nguyên tố của vành và cấu trúc của một số lớp
vành
I Điều kiện tách T¡ của phổ nguyên tố - -.-c5555<<2 trang 2Š II Điều kiện bất khả quy của phổ nguyên tế - -‹- trang 26 Il Ph6 nguyên tố của vành Boole .- 22 S055 trang 29
IV Phổ nguyên tố của vành Note . 5 5-55 55cscS>ssvexcee trang 33
V Phổ nguyên tố của vành Artin - Ặ Seo trang 36
Kết luận
Trang 5QUI ƯỚC, KÝ HIỆU : Vành giao hốn cĩ đơn vị
: Các phần tử thuộc vành A : Tập con của vành Á
: Các ideal của vành A
: ldeal nguyên tế của vành A : ldeal tối đại của vành A
: Tập hợp các phần tử lũy linh trong vành A
: radical của Ideal a
Phổ nguyên tế của vành A (Khơng gian tơpơ Zariski)
: Các điểm của X = Spec(A)
: Các ideal nguyên tố tương ứng với x, y thuộc X
: Tập con đĩng trong X = Spec(A) (E c A)
: Tập con mở trong X = Spec(A) (E c A)
Trang 6Mối liên quan giữa phố nguyên Íố của vànđ và cấu frúc của một số lbp vành
CH | N + *“ 4
MOT SO VAN DE VE Li THUYET CAC VANH GIAO HOAN
CO DON VI VA CAC TINH CHAT CUA KHONG GIAN TOPO
PHAN ]
VANH GIAO HOAN CO DON VI
L ĐLVH NGHĨA
Định nghĩa l.I.I
Một vành A được gọi là vành giao hốn cĩ đơn vị nếu phép nhân trong A 1A giao hốn, cĩ đơn vị, mà ta ký hiệu là | Nghĩa là :
ViigeA,tacéd: fge=g.f
fl=l.f=f
(Phần tử trung hịa của phép cơng trong vành A được ký hiệu là 0)
Như vậy trong một vành giao hốn cĩ đơn vị A, các ideal trái va ideal phải là trùng nhau, ta gọi chung là các ideal cla vành A
Trong luận văn này, chúng tơi chỉ để cập đến vành giao hốn, cĩ đơn vị, do đĩ nếu khơng nĩi gì thêm, vành A được hiểu là vành giao hốn, cĩ đơn vị
/ Glee cfc ideal
- Ta đã biết giao của một họ khơng rỗng các ideal của một vành là ideal của vành đĩ Giao của tất cả các ideal chứa tập con E của vành A là ideal bé nhất
chứa E (theo quan hệ bao hàm) Ta gọi nĩ là ¿đeal sinh bởi E và được kí hiệu
là < E > Nếu E cĩ hữu hạn phần tử thì ideal sinh bởi E được gọi là ¿đeal hữu
han sinh.Ttong trường hợp E = {f} là tập con của Á, cĩ một phần tử thì ideal sinh bởi f goi la ideal chính
Dinh li 1.1.1
Trang 7Aối lên quan giữa phố nguyên Íố của vảnĂ và cấu frúc của mộf số kop vành Hệ qua 1.1.2 Cho vanhaA: Nếu ƒ e A thì < fƒ> = ƒgÍge€A )#=ƒA Định nghia 1.1.2 Gia st? a, va a; 1a hai ideal cda vanh A Khi đĩ tập con :
da; +a;= tfi+f) / f; E a) fo € a2}
là một ideal của vành A, goi là đổng của các ideal a; và a; Dễ thấy rằng tổng của các ideal a; và a; là ideal nhỏ nhất chứa ay và a; Vì vậy :
ä¡ +ãâ;=<â\`'?8‡>
- Hồn tồn tương tư, ta cĩ thể định nghĩa tổng của mơt họ (khơng nhất thiết hữu han) các ideal cua A
Giả sử fa,}, ¡ là một họ khơng rỗng các ideal của A
Khi đĩ tập con : Ya ={ 3 f,.f,ea, và f.=0 với hấu hết ¡ e I, chỉ cĩ một số hữu hạn Í, #0} mt ” là một ideal của vành A, gọi là tổng của họ ideal {a,}, ‹ ¡ Ta cũng cĩ : Ya, = <Ua> tel vel 3/ Tích các ideal : Định nghĩa L1.3 Giả sử ay, a› là hai ideal của vành A Khi đĩ tập con :
a;a; = { Í\gị + Ísg;y + + [,g,/n 6N, Í,e€ an, g, € a;}
là mét ideal của vành A, goi là ck của hai ideal a;, a;, và ta cũng cĩ :
a¡8; =<Íg/ fe a), 2 € a>
Trang 8M61 én quan gita phố ngưyén fố của vành và cấu frúc của mĩf số ɇp vànÉ:
II IDEAL NGUYEN TO - IDEAL TOI DAI Định nghĩa 1.1.4: Một tdeal p# A của vành À goi là ¿ideal nguyên tế nếu với moi Í, g e Á mà ly pthì f e phoặc g e€p Định lí I.1.2 p là ideal nguyên tố của vành A + Aíp là miền nguyên Mệnh l1]
Cho vành A Giả sử p là một ideal nguyên tố và a, b là các ideal của A Khi đĩ: Nếu p ©ab thì p a hoặc p Đb
Chứng minh :
Bằng phản chứng, giả sử rằng a p và bơ p
Khi đĩ 3 f e a, g e h sao cho Ï £ p và g £p
Suy ra: fgep (vì p là ideal nguyên tổ) Theo định nghĩa tích hai ideal a và b thì :
fgeabcp
=fgep (mâu thuẫn f.g £ p)
Vậy p Đ a hoặc p 5 b (đfem),
Mệnh để I.1.2
Giả sử a,, a›, a„ là những ideal va p là một ideal nguyên tố của vành A, khi đĩ:
- Nếu p on a, thi Jisaocho:a;cp
Trang 9Ađố! liên quan giữa phố nguyên 16 của vảnÍ: và cấu frúc của mộf số Ép vànđ
Theo giả thiết p 5 ÍÌ#, :
Suy ra Ils ep (mau thuinl 14 €p) Vay:
Jicacp ,
*® Đặc biệt, nếu n= Na, suyrapoca VI =I1,n Theo két qua trén thi 3 ips aye p
Vay: Jig: p= ay (dpem)
Dinh nghia L1.5
Một ideal m # A cia vanh A goi 1a ideal wi dai néu né 1a phan ul ti dai (theo
quan hệ bao hàm) trong tập các ideal (khác A) của A Nghia là nếu cĩ ideal a sao
cho m c ä thì a = m hoặc a = A
Định lý 1.1
Cho vành A, m là ideal tối đại của A + A/m là trường Từ hai định lý I.1.2 và I.1.3 ta cĩ hệ quả sau :
Hé qua L1.3
Moi ideal tdi dai trong vành A là ideal nguyên tế
Bổ dé Zorn,
Cho S là một tập khơng rỗng được sắp thứ tự bởi < Nếu mọi tập con T của S, được sắp tồn phần bởi < đều cĩ cận trên thì S cĩ phần từ tối đại
Định lí 1,1,4
Moi ideal khác A của vành A đều được chứa trong một ideal tối đại Nĩi
riêng, mọi vành A khác khơng đêu cĩ ideal tối đại
Chứng minh : Giả sử a # A là mơi tdeal của A
Xét tận S gồm tất cả các ideal của A khác A và chứa a được sắp thứ tự hởi quan hệ bao hàm Tất nhiên S # $ vì a e S Lấy T = {a,}, ; ¡ là một tập con của S
được sắp thứ tự tồn phẩn bởi quan hệ bao hàm Ta chứng minh T cĩ cân trên, thật vậy : Đặt h= da, khi dé b 1a ideal cba A, vi:
¥ fg eb, Ơh â A, do T được sắp thứ tự tồn phần bởi quan hệ bao hàm nên ta cĩ thể giả sử f, g cùng nằm trong một a, e T nào đĩ, nên :
{—y e€a,, hfe a, (doa, 1a ideal cua A) Suy ra:
Trang 10M61 liên quan giữa phố nguyên fố của vànă: và cấu frúc của mộf số Éúp vành
Í=geh+à hf eb(do a,ch›)
Vậy b là ideal cua A
Mãi khác :
Vìịl#£a,V a, e T(do a, # A) nên l £b, do đĩ b # A Và ba(vì a,a)
VaybeS
Suy ra h là cận trên của T
Theo bé để Zorn, tập § cĩ phần tử tối đại m, và m chính là ideal tối đại của vành A
chứa a
Tĩm lại : mọi ideal a # A đều được chứa trong một ideal tối đại Và vì vậy mọi vành
A #0 đều cĩ ¡deal tối đại Mệnh để I.1.3 Với mọi ƒ thuộc A4, ƒ khơng khả nghịch thì ƒ được chứa trong một tdeal tốt đại Chứng minh : Trước hết, ta cĩ nhận xét sau : VfeA,fkhinghicho <f>=A =<1> That vay : f khả nghịch = 3 g e À: Íg = Ì <Íg>= A =<fF>=A (do<f><fg>) Ngược lại : < f>z= A => lIe<f>=3g€A: Ì=Íg =f khả nghịch Trở lai mệnh để : Vì f khơng khả nghịch nên < f > # A
Theo định lí I.!.4 : < f > được chứa trong một ideal tối đại Suy ra f được chứa trong
ideal tối đại này
IV NILRADICAL - RADICAL
Định nghĩa L1.6
Một phần tử f thuộc vành A được gọi là fãy linh nếu3 n e N, n>0 sao cho ƒ” = 0
Tất nhiên nếu f # 0, f lũy linh thì f là ước của 0
Định 7
Tip hop tit cd các phần tử lũy linh của vành A gọi là niađical của A, và kí
hiệu là : rad( À) Định lí L1.5
Nitradical rad(A) của vành A là giao của tất cả các ideal nguyên tố trong A Nĩi riêng, rad(A ) là ideal của A
Chứng minh :
Giả sử R là giao của tất cả các ideal nguyên tố của A
Trang 11Afố! liên quan giửa phố nguyên fố của vảnĂ và cấu Írúc của mộf số Ép vành Ta chứng minh : R = rad(A)
+VWf€ rad(A) nghĩa là f lũy linh, nên 3n eN,n >0 sao cho [” =0 ep, vđịp
la ideal nguyên tố bất kỳ trong À, suy ra f e p và tất nhiên f e R
Vậy rad(A) c R
+ Ngược lại, Y f e R, bằng phản chứng, giả sử f £ rad(A), nên Í” # 0 n > 0,
Xét tận S gồm tất cả các ideal của A sao cho :
Va e Sthì ƒ' £ a, Vn >01 S được sắp thứ tự bởi quan hệ bao ham) Tất nhiên S # $, vì 0 e S Lấy T = ‡a,}, ; ¡ là một tập con của S được sắp thứ tự tồn phần bởi quan hệ bao hàm Đặt h = Ua, Tương tư định lí [.1.4, b là tdeal của A Vìia.eSVielInênf°#£a,Viel.Vn>0 =Í°£hWn>0=beS Vậy h là cận trên của T
Theo hổ để Zorn, tập S cĩ phần tử tối đại p Ta chứng minh p là ideal nguyên tố của A :
Vg,heA:gh ep, giả sử g # p và h e p, khi đĩ, p là tập con thực sự của p+<g>va p+<h> nên các ideal n+<g>, n+<h> khơng thuộc S Vì vậy : V m, n>0 : Í”' e p+<g>, ` e p+<h> = Í”=Í\ +gịg, Í¡€ p, gì 6Á f‘= f; +hịh, fe P, hy eA =>" =f f, + f,hịh + [›g¡ự + gihygh Suy ra: {™*" & p + <gh> Như vậy, p + <gh> khơng thuộc S, do đĩ ph £ n (mâu thuẫn gh e p) Vậy g e p hoặc h e p, hay p là ideal nguyên tố Tất nhiên f £ p(vìp e §) Do đĩ, f£ R (mâu thuẫn giả thiết f e R ) Vậy f e rad(A) Suy ra : R c rad(A) Tĩm lại: R=rad(A)(đpcm) Định nghĩa L1.8
Giả sử a là một ideal bất kỳ của vành A Tập hợp tất cả các phần tử feA sao
cho: 3n£N,n>0:e a gọi là radical của tdeal a Kí hiệu là r(a)
Trang 12
Aố! liên quan giữa phố nguyên Íố của vánÍ: và cấu frúc của mĩf số Ép vành
Định lí 11,6
Radical của một ideal a của vành A là giao của tất cả các ideal nguyên tố trong A chủa a Nĩi riêng, r(a) cũng là một tdeal của A, chữa a
Chứng minh :
Giá sử a là một tdeậl của A Gọi R là giao của tất cả các tdeal nguyên tế chứa a
Ta chứng mình :; rí(a) = R *ra)CR:
vfe A,fe ría)©3neN,n>0:fea
[3s đĩ với mọi p là ideal nguyên tố chứa a, ta cĩ :
(°®ep=sFep=fFeR
Suy ra fa) CR *Rcria):
v fe A, fe R Bang phan chifng, gid sv f ¢ ra):
Gọi S là tập hợp tất cả ideal b của A sao chob>a va f ÂbVƠneN,n>0
Ta thấy S # $¿ vì ae S
Tương tự định lí I.1.5, S cĩ phần tử tối đại p, trong đĩ p là mơt ideal nguyên
tố chứa a Từ đĩ f £ p Vậy : f £ R (mâu thuẫn f e R) Suy ra : R cra) Vậy : r(a) = R (đpcm) V.V OOLE — V ;— 1/ Vành Boole : Định nghia 1.1.9 Một vành A cĩ đơn vi | dude goi ld vanh Boole néu : (*=f,Vfe A Ta kiểm tra xem phép nhân trong vành Boole A cĩ giao hốn hay khơng ? VÍgeA: Í+g =([+g)=f+fg +gf+g”=f+fg + gÍ+ g = ly = - gf = (-g = (gf = gf = lg =gÍ Vậy vành Boole A cũng là vành giao hĩan, cĩ đơn vị Mệnh để I.1.4 Moi ideal nguyén tố trong vành Boole A là ideal tối đại Chứng mình :
Giả sử p là ideal nguyên tố trong A
Nếu tấn tai mét ideal a cba A sao cho p được chứa thực sự trong a thì :
jfea: fep
Trang 13Ađố! liên quan giữa phố nguyén fố của vảnÉ và cấu frúc của mĩf số ɧp vanh Vì A là vành Boole nén: f(f- 1)=f-f=O0eEp Suy ra f— | € p(dof ¢ p va p Ia ideal nguyên tố) =>f-leéa >a>l=f-(f-lea =>a=A Do dé, p 1a ideal ti dai trong A (dpem) Mệnh dé 1.1.5 Moi ideal hitu han sinh trong vanh Boole A la ideal chinh, Chứng minh :
Giả sử a là tdeal trong vành Boole A
Nếu a = < f> thì a [a ideal chính (theo định nghĩa) Nếu a =<Í,g> : Đặth =f+ g - Íg Ta chứng mình a = <h >: + Ta cĩ h ea ><h>cŒa + Mắt khác : fh = f( + g - fg) = ƒ' + fg - g =f gh = g( + g — fg) = gf + g”— fg”= g =>f=fhe<h> g=ghe<h> >a=<f,g>c<h> Vay: a=<h>
Suy ra a là ideal chinh sinh bởi h
Bằng qui nạp, ta cĩ mọi ideal hữu han sinh trong vanh Boole A đều là ¡deal chính
2/ Vanh Note :
Đinh lí 1.1.7
Cho vành A, các điều kiện sau là tương đương :
i> Moi ideal trong A la hitu han sinh
i> Moi chudi tang cdc ideal trong A:
a; Ca; Ca;,c , saochoa, #a;,; déu hitu hạn, nghĩa là :
Jn EN, N>0 2: Ay = Anes = Ane? = »-
iii> Moi tap khéng réng S cdc ideal ciia A déu cĩ phầm uit ti dai (theo
quan hé bao ham) Chứng minh :
Trang 14
Mối liên quan giữa phố nguyên fố của ván và cấu frúc của một số Éúp vânh
tin)
Giả sử cĩ một chudi tang cdc ideal cla A:
li CạCa¡C sao cho a,#4,¿¡
bit a=Ua
I
Tương tư định lí I.1.4 ta cĩ a là ideal của A, và ideal a hữu hạn sinh theo giả thiết,
Chẳng han a sinh bởi k phần tử f¡, í; Í, : a =<Ít, Ítc> và mỗi l, nằm trong mơt a; nào đĩ (do f, e a) Do dé: 3necN,n>0 sao cho fj), fy, hk € a, Khi đĩ : <f), ty, f,>ca,cas<f, fy, > Suy ra} a = a, Do dé a, = 4,,; = (dpem) * it => ili)
Giả sử S là một tập khơng rỗng các ideal của A Lấy a; bất kỳ thuộc S Néu a, khơng là phần tử tối đại trong S thì a, được chứa thực sự trong một ideal a; e S nào
đĩ, Tương tự như ay, nếu a; khơng là tối đại thì a; được chứa thực sự trong ideal
ai e Snào đĩ Như vậy ta cĩ thể xây dựng được một chuỗi tăng các ideal trong S : a; C a2 C ay Theo giả thiết, chuỗi ideal này là hữu hạn, nên trong S cĩ phần tử tối đại (đpcm) SỈ) Giả sử a là một ideal bất kỳ trong A Lay fj ea:
- Nếu <Í,>= u thì a hữu hạn sinh
- Nếu <f¡>#a thì 3f›e a: Í› £ <fÍ¡>, và ta cĩ : < Í, >c <Í), Í;> - Nếu <ft, f› >= a thì a hữu han sinh
Nếu < Í¡, Í›¿ > # a thì 3 Í: e a : f £ <Í¡, Ấy > và ta cĩ : < Ít, Í; >cC<Ít,Ífy,f¡>
Tiếp tục như vậy ta cĩ thể tìm được một chuỗi tăng của các ideal hữu hạn sinh của A
<f;>cC<f\,fÍ;>c <Ít\,Í¿,Íy> C
Tập S # ¿ của các ideal hữu hạn sinh này cĩ phẩn tử tối đại, chẳng hạn < Í,, f›, Í, >
va ideal hifu han sinh này chính là a, nếu khơng sẽ tổn tại ideal
<f,f, fae foes > © S fray 6€ a sao cho :
<ft.Í;, Ín> C <ÏÍl, Íạ, Ín, [nv¡ >(mầu thuẫn tính tối đại của < Í¡, Í¿, [, > trong S) Vậy mọi ideal trong A 14 hữu hạn sinh (đpcm)
Định lí được chứng mình xong
Trang 15
đối liên quan giữa phố nguyên fố của vânh và cấu frúc của mĩƒ số Ép vành
Định nghĩa I.1.10
Một vành A được gọi là vànk Nơe nếu nĩ thỏa mãn một trong ba diéu kiện tiđng đương trong định lí [.1.7
3/ Vành Artin :
Dinh li Lis
Cho vành A, các điều kiện sau là tương đương : ¿) Mọi chuỗi giảm các ideal trong A :
a; Da; > , sao cho a; #a;,; déu hitu han
ii) Moi tap khơng rỗng S các ideal của A đều cĩ phần tử tối tiểu (theo quan
he bao ham)
Chifng minh : i= i)
Gia si S #o la mét tap bất kỳ các ideal của A lấy a; e S Nếu a; là phần tử
tối tiểu trong S thì mênh để được chứng minh Nếu a; khơng là tốt tiểu thì a, chứa
thưc sự một ideal a; € § nào đĩ, Tiếp tục, nếu a; khơng là tối tiểu trong S thì a; chứa
thực sư một ideal ay e § nào đĩ như vậy ta cĩ thể xây dựng mơi chuỗi giảm các Ideal trong S : a;¡ 28;24:2 Theo giả thiết chuỗi ideal này là hữu han, nên trong S cĩ phần tử tối tiểu (đpem) ii => 1) Xét một chuỗi giảm bất kỳ của cdc ideal trong A: ai Oa:DÐa2 Tập hợp :
S= {a;}¡x ¡ cĩ một phần tử tối tiểu theo giả thiết, chẳng hạn a„ [3o đĩ chuỗi ideal trên là hữu hạn (đpcm)
Định nghĩa I.1.11
Mội vành A được gọi là vành Arfin nếu nĩ thỏa mãn một trong hai điều kiện
tương đương trong định lí L.1.8 Mệnh để I.1.6 Cho a là một ideal trong vành Artin A Thế thì vành thương A/a cũng là vành Artin, Chifng minh : Xét tồn cấu chính tắc : (p:A —=t+ Ala
Giả sử :ä¡ O4; 5 là một chudi gidm cdc deal trong A/a
Khi đĩ : a¡ Đ a; Đ là một chuỗi giảm các ideal trong A, với a,= @ {ä,)
Do A la vanh Artin, nén:
Trang 16Aiối liên quan giữa phố nguyén fố của vảnĂ và cấu Írúc của mĩf số kop vanh 31neN,n>U :a,zZá„„¡= Ma a, = ga,).1= 1,2, Do dé a, = au„¡= Vậy A/a là vành Anin (đpcm) ; Ménh dé 1.1.7 Moi ideal nguyên tố trong vành Artin A là ideal tối đại Chứng minh :
Giả sử n là một ideal nguyên tố trong vành Artin A,
Khi đĩ, ta cĩ Aíp là miễn nguyên (dinh li 1.1.2)
Mặt khác :
Vfe A/p.F[zŨ , ta cĩ :
() 5() (Ÿ) 5 là chuỗi giảm các ideal trong A/p
Theo mệnh để [, I.6 thì A/p là vành Artin Dodd, 3neN,n>0: (M=(P* y= Suy ra ; Sze Ap: =" Zz 1 =f = [ khả nghịch trong A/p Từ đĩ : A/p là trường Suy ra p la ideal ti dai trong A ( dinh li 1.1.3) Mệnh để I.1.8 Trong vành Artin A chỉ cĩ hữu hạn các ideal tối đại Chứng minh : Xét tập S gồm tất cả những giao hữu hạn : mị = mạc ¬ mạ
trong đĩ m, là các ¡dcal tối đại của A
Tất nhiên § # $ và mỗi phần tử thuộc § là một ideal của A Do A là vành Anin nên tập § cĩ phần tử tối tiểu, chẳng hạn : m¡ = mạ “ mạ
¥ m là ideal tối đại trong A, ta cĩ :
MOM mạ mạ C mụị AMO OM, và m “+ m¡ › mạ mạ e S
Suy ra:
m mị S mạc ¬ my =mị mạc 5 mẹ (đo tính chất tối tiểu của my > m,)
[3o đĩ ;
mam, Om) OM,
Vì rằng m cũng là ideal nguyên tố nên theo mệnh để 1.1.2 ta cd:
3ise{l n} : mm,
Suy ra m= m„ (vì mụo là ideal tối dai trong A)
Điều đĩ nĩi lên rằng trong A chỉ cĩ hữu hạn các idal tốt đại
Trang 17M61 liên quan giữa phố nguyên fố của vành và cấu frúc của mĩf số Éưp vành
PHẦN 2 h
MOT VAI TINH CHAT CUA KHONG GIAN TOPO
Để tiên việc trình bày các kết quả cĩ được trong chương II, chúng tơi dành
riêng nhần 2 này để trình bày một số định nghĩa, định lí trong tơpơ giải tích
[ C { C TIỀN DE TA CH
Người ta thường gắn cho các cấu trúc tơnơ những điều kiện phu sau đây
thường được gọi là những tiên để tách * Tiên để Tạ :
Với mỗi cặp điểm khác nhau của khơng gian, tổn tại mơt lân cận của mơi trong hai điểm khơng chứa điểm kia
* Tiên đề T; :
Với mỗi cập điểm x, y khác nhau của khơng gian, tổn tại một lân cận của x
khơng chứa y và một lân cận của y khơng chứa x
wm Tiên dé T> *
Với mỗi cặp điểm khác nhau của khơng gian, tổn tại các lần cận rời nhau * Tiên để T) :
Một điểm và một tập đĩng trong khơng gian khơng chứa điểm đĩ cĩ những lần cân rời nhau,
* Tiên đề T„:
Hai tập đĩng rời nhau của khơng gian cĩ những lân cận rời nhau Dinh nghia 1.2.1
Một khơng gian tơpơ X được gọi là :
+ T,~ khơng gian nếu X thỏa tiên để T, (¡ = 0, 4)
+ Khơng gian chính quy nếu X thỏa 2 tiên để T: và T: + Khơng gian chuẩn tắc nếu X thỏa 2 tiên đề Tị và T:
Trong trường hợp X là Tạ - khơng gian, ta cịn gọi X là khơng gian Hausdorƒƒ Định lí I.2.1
Cho X là khơng gian tơpơ
X là T,- khơng gian c2 Vx € X, tap {x} la tap déng Hé qua 1.2.1
Khơng gian chuẩn tắc là khơng gian chính quy
Khơng gian chính quy là khéng gian Hausdorff
Trang 18
M6éi liên quan giữa phố nguyên fố của vànĂ và cấu frúc của mộf số kip vanh
Hiển nhiên khơng gian Hausdorff là T¡ - khơng gian, và T; - khơng gian là Ty -
khơng gian theo định nghĩa
Định nghĩa L.2.2
Giả sử X, (¡e [) và M là các tập con của X Họ £X,}, ;¡ được gọi là một phủ cua
M nếu MC U X, Phủ £X,},.¡ của M duoc gọi là phủ mở nếu X, là mở trongX Y iel
Ho {XJ}¿, (1< Ð cũng là phủ của M thì được gọi là phủ con của phủ {X,},«\
Dinh nghia 1.2.3
Khơng gian tơpơ X được gọi là compact nếu mỗi phủ mở của X đều cĩ mơi
phủ con hữu han Nghĩa là :
Với mỗi phủ mở {X,},¿¡ của X, 31 =I, ] hữu hạn sao cho :
x=U*,
Định nghĩa 1.2.4
Tập con M của X được gọi là đập compact nếu khơng gian con M của X là
khơng gian compact ( với tơpơ cảm sinh) Định lí 1.22
Tập con M của khơng gian tơpơ X là compact khi và chỉ khi mọi phú mở của
M đều cĩ một phủ con hữu hạn
Định lí 1.2.3
Tập đáng M trong khơng gianc compact X là tập compact
Định lí 1.2.4
Khơng gian compact Hausdorfƒ X là khơng gian chuẩn tắc LH KHƠNG GIAN LIEN THONG
Định nghĩa I.2.5
Khơng gian t6p6 X được gọi là liên thơng, nếu khơng tổn tại các tập md X),
X; khác ‡ của X sao cho :
X,OX2=0,X =X; UX;
Đình lí L2.5
Khơng gian tơpơ X là liên thơng nếu và chỉ nếu khơng tổn tại một tập con
thực sự M # ĩ vừa đáng, vừa mở của X
Trang 19
AÍố/ liên quan giữa phố nguyén fố của ván và cấu tric cia mét 36 kop vanh
Định nghia 1.2.6
Tap M của khơng gian tơpơ X được gọi là đập liên thơng, nếu khơng gian con M là hên thơng (với têpơ cảm sinh),
Định nghĩa 1.2.7
Khơng gian tơpơ X đước gọi là hồn tồn khơng liên thơng nêu như mìoi tập
liền thơng trong X là chỉ bao gầm một điểm Dinh li 1.2.6
Cho X là Tạ = khơng gian
Nếu X cĩ một cơ sở gồm những tập vừa mở, vừa đĩng thì X là hồn tồn khơng liên thơng
Chứng minh :
Giả sử M là một tập con của X cĩ nhiều hơn một phần tử
Khi đĩ V x,y eM,x#y, do X là Tạ —- khơng gian nên tổn tại một tập mở L',
chứa x chẳng hạn, mà khơng chứa y Do U, mé trong X nên :
U,= UJX,,X, thuốc cơ sở V ¡ e l VìixeU,nên3kel:xe Xạ
Xét Y=M.X,:
Với tơpơ cảm sinh trong M, do X:v thuộc cơ sở của X nên X: vừa đĩng, vừa mở trong X nên Y vừa đĩng, vừa mở trong M
Mắt khác :
VixeM.xe X, nén Yeo
- Viye Ul, mye Xmye Y, nén Y#M (do ye M)
Vay tổn tại tập Y vừa mở, vừa đĩng , Y# ¿, Y# M, trong khơng gian con M nên M
khơng liên thơng (dinh li 1.2.5)
Trang 20Mối liên quan giữa phố nguyên fố của vànÍ và cấu frúc của mĩf số Éšp vânh Dinh li 1.2.7 Khơng gian tơpơ X là bất khả quy nếu và chỉ nếu mọi tập mở khác rỗng là trù mat trong X Chifng minh : Giả sử X; là một tập mở khác rỗng trong X Vì X là bất khả quy nên mọi tập mt X; #6 Tacd: X;OX: 46 Từ đĩ X; là trị mật trong X Ngược lại nếu X;, X; là hai tập mở khác rỗng trong X thì do X; trị mật chẳng han, nên ta cĩ Xị > X:# ở Suy ra X là bất khả quy (đpcm) V KHƠNG GIAN NƠTE Định lí 1.2.8
Giả sử X là khơng gian tơâpơ, các điều kiện sau đây là tương đương : ¡) Mọi chuỗi tăng các tập mở trong X :
X; cCX; c , sao cho X, #X,., đều hữu hạn
ủi) Mọi tập khơng rỗng S các tập mở của X đều cĩ phần từ tối đại.(theo quan hệ
bao ham)
Chứng minh : ii)
Giả sử S là một tập khơng rỗng các tập mở của X Lấy X,eS, nếu X; khơng là
tối đại trong S thì 3 X; e § sao cho X¡c X; Tiếp tục như vậy ta cĩ thể xây dựng một chuỗi tăng các tập mở của X trong S : X, < X;c , sao cho X, # X,,; Theo giả thiết chuỗi này là hữu hạn nên trong S cĩ phần tử tốt đại iii) Xét chudi tang các tập mở trong X : X,c X.c , sao cho X; # Xj; Tập § = {X,};zị cĩ phần tử tối đại, chẳng hạn Xạ Do đĩ chuỗi tăng các tập mở này là hữu hạn (đfcm) Định nghĩa I.2,2
Một khơng gian tơpơ X được gọi là Nøœ nếu những tập mở của X thỏa mãn
mơi trong hai điều kiện tượng đương ở định lí L2.8
- Bởi vì trong khơng gian tơpơ X, những tập đĩng là phần bù của những tập mở nên ta cĩ định lí sau :
Trang 21
M61 liên quan giữa phố nguyên fố của vànÍ và cấu frúc của mĩf số Ép vành
Định lí 1.2.9
Cho X là khơng gian tơpơ, các điều kiện sau là tương đương
¿) X là khơng gian Note
li) Mọi chuỗi giảm các tập đĩng trong X đều hữu hạn
iii) Moi tap khơng rỗng S các tập đĩng của X cĩ phần tử tốt tiểu (theo quan
hệ bao hàm) ,
Trang 22
Ađối liền quan giữa phố nguyên 16 của vảnĂ và cấu Írúc của mĩf số Ép vành
CHƯƠNG il „
PHO NGUYEN TO CUA VANH GIAO HOAN CO DON VI
VA MOI LIEN QUAN GIUA CHUNG
2
P N
PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ
L ĐỊVH NGHĨA
Giả sử A là một vành giao hốn cĩ đơn vị 1, với mỗi tập con E của A, ta ký hiệu
V(E) là tập hợp tất cả các tdeal nguyên tố p của vành A ma p chứa E
Với những tập V(E) được định nghĩa như trên, ta cĩ những mệnh để sau : Mệnh để 1I.1.I
Cho vanh A, E la tép con của A Nếu a là ideal của A sinh bởi E thi:
V(E) = V(a) = V(r(a))
Chifng minh:
* V(E) = V(a):
- Với mọi p là ideal nguyên tố của A, ta cĩ :
Trang 23M61 én quan giữa phố nguyén fố của vànĂ và cấu frúc của mĩf số Éúp vanh Chứng minh : Thât vậy, do mọi ideal nguyên tố của A đều chứa Ø và khơng chứa l nên ta cĩ : V(0ì = X và V(l)ì=¿ Mệnh đề H.1,3 Cho vành A, nếu (E)¡ ¡ là một họ những tập con của A thi: WE,)=V( U.E,) Chứng minh :
Với mọi p là ideal nguyên tố của A, ta cĩ :
p<Í\V(E) €e+ pef(F) Viel vf = prE Viel œ pruk Vay: NV(E) = V(UE,) rel Mệnh để II.1.4
Cho vành A, nếu a, b là hai ideal của A thì :
Trang 24M61 ién quan giữa phố nguyên fố của vành và cấu Íric của mộf số Éúp vanh Viab) c Via mb) Vậy : V(ah) = V(a =¬ bì *# V(a) ‹ › V(b) = V(ab) : Với mọi p là tdeal nguyên tố của A, ta cĩ : peV(a)t/zV(h) © p € V(a) p € Vib) c© pra prob = p5aah (theo định nghia tich hai ideal) c© p € V(ab) Vay: Via) U V(b) = V(ab)
Tĩm lại : V(a) ‹ ; V(b) = V(ab) = V(a = bì (đpcm)
Từ mênh đẻ II I.I và mệnh để II, 1.4, ta đưa ra hệ quả sau :
Hệ quả II.1.1
Cho vành A, nếu E¡, E; là hai tập con cia A và a = < E,>, b = < E;> thi:
V(E,) L/V(E›;) = Viab) = Via Ob)
Ta ký hiệu X là tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của vành A và Ð =‡V(E)† ;- „ là
một họ tập con của X
Thế thì, các mệnh để II.1.2 , mệnh để II 1.3, hệ quả II.I.I cho ta biết họ Ð thỏa mãn
ba tiên đề tập đĩng, đĩ là :
i) d€D,XeD
it) V(E;), V(E¿) e D = VŒ,) ‹› V(E¿) e D
ii) VE)eDViel= NM(E) <Ð
Và khi đĩ, ta đã biết họ:
T =Ì X(Œ)=X\V(E)†z-a
là một tơpơ trên X Tơpơ này ta gọi là £ơpơ Zariski Và (X, T) được gọi là khơng
gian tơpơ Zariski Các tập V(E), E œ ÀA (và chỉ các tập này thơi) gọi là các tập đĩng,
Trang 25M61 én quan giữa phố nguyên fố của vànĂ và cấu Írúc của mĩf số kíp vanh
dj ia 11.1.1
Cho vanh A, khéng gian t6p6 Zariski X dude goi la phổ nguyên tố của vành
A K¥ hiéu Spec(A)
- Như vậy ta cĩ thể hiểu phổ Spec(A) là tập các ideal nguyên tổ của vành A Tập
con V của Spec(A) được gọi là đĩng, nếu như tổn tại ideal a của vành A sao cho V gồm tất cả các ideal nguyên tố p của A, mà a c p.Khi ấy ta kí hiệu V là V(a) Phần
hù của tập con đĩng trong Snpec(A) được gọi là tân con mở trong speci A)
Phố nguyên tố của vành số nguyên Z sau đây là một ví dụ cho định nghĩa trên.Như
ta da biét cdc ideal trong Z cé dang nZ, n e Z Dựa vào định nghĩa ideal nguyên tổ
và định nghĩa số nguyên tố trong Z ta thấy rằng các ideal nguyên tố trong Z là idcal ( và ideal pZ trong đĩ p e P, với P là tập hợp các số nguyên tố của Z
Vậy Špec(Z) = {<p>.p= 0 hoặc p e P}
Ta đã biết mỗi điểm x của khơng gian tơpơ Zariski X = Spec(A) la mét ideal
nguyên tố mà ta gọi là p, Ta qui ước là ghỉ x hay p, nếu như ta nĩi nĩ là một điểm
trong Spec(A) hay nĩi nĩ là một ideal nguyên tố của A, v.v Với mỗi f e A., ta ký hiệu X; là phẩn bù của V(f) trong X = Spec(A) Hiển nhiên X; là một tập mở, và : Vx eX =Špcc(A) xeX;c© lếp Mệnh đề H.1.5 Cho vành A Họ B= (X/}; 4 là cơ sở của khơng gian tơpơ Zariski Chứng minh ;:
- Với mọi tập mở X(E) trong X = Spec(A), E œ A, và theo mệnh để II l.3 ta cĩ:
X(E) = X\V(E) = X\ V(U 1/1)
Trang 26Ađố! lien quan giữa phố nguyén fố của vành và cấu tric của mộf số kop vanh Chứng minh : lì X:= $Flà lũy linh : That vay: X,=6@ XWI(D=6 =X = Vit) or ep Vp la ideal nguyên tố trong A or é€ rad(A) (đình ly 1.1.5) © f là lũy linh trong A (đpcm! 2)X;=X © [là khả nghịch trong A:
- Bằng phản chứng, giả sử f khơng khả nghịch, theo mệnh để I.1,3 suy ra [ thuộc mơi
ideal Wi dai nao đĩ, mà ideal 161 dai cũng là tdeal để nguyên tố, do đĩ V( # $, dẫn
đến X\ VD #X, từ đĩ X; # X (mâu thuẫn giả thiết)
- Ngược lại, f khả nghịch € (f) =(1)
=> Vif) = V(1) (mệnh để II 1.1)
=> Vif) =è (mênh để II | ,2) => X; =X
Vay: X;=X fla kha nghich trong Á (đpcm)
Trang 27M61 Lien quan giữa phố nguyên fố của vảnh và cấu frúc của mộf số Ép vànđ
Hién nhién : X; =X, @ Vif) = Viz) ViigeaA
Trang 28Ai liên quan giữa phố nguyén fố của ván và cấu frúc của mĩf số Ép vanh
Hệ qua 11.1.2
Cho vành A, X = Spec(A) Khi đĩ : tx, €Ä, thì : y € fx} © p.CP,
Chứng minh :
Theo mênh để lI.1.9 ta cĩ :
YxvyveX, ye {x} oye Vip.) op, cp, (dpem) Mệnh để II.1.10 Cho vành A, thế thì X = Spec(A) là To - khơng gian Chứng minh : Giả sử x và y là hai điểm hất kỳ, khác nhau, trong X = Spec(A) Vì x # y nénp, # py Suy ra p, Ø pv„ hoặc p, ơ p, Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử rằng : si
=y#£fx) (hệ quả II 1.2)
= Tổn tại một lân cận U, của y sao cho :
Uy¬{x}z=$ (tính chất trong tơpơ)
Tất nhiên x ¢€ U,
Do đĩ V x, y e Spec(A), x # y, luơn tổn tại một lân cận của y mà khơng chứa x ( hoặc ngược lại, tổn tại một lân cận của x mà khơng chứa y )
Vậy :
X = Spec(A) là 'Tạ ~ khơng gian
Như vậy phổ nguyên tố Spec( A) của một vành A luơn thỏa tiên để tách Tạ
Trang 29Aối liên guan giữa phố nguyên fố của vảnĂ và cấu frúc của mộf số Ép vanh
Giả sử {X‹}, ; ¡ là một phủ mở của X = Spec(A) Nghĩa là: ¥ = UX,
©X\V(I)=U (X\V(f,)) ( do V(1) = $})
©X\W(1) =X\fV())
ial
evil) =V(ULA}) ef (ménh dé IL.1.3) © V(<l>)= V(<Ui >) (mênh để II I, 1)
Nếu < LI{/} >#<l>= Athì < UiZ) > dude chifa trong mét ideal ti dai re? tf (định lí I.1.4), và do ideal tối đại cũng là ideal nguyên tố nên : V(<ULA} >) #4 = mâu thuẫn, vì V(<1>) = V(1)= è Và như vậy : <l>= <U{fi}>
Suy ra: Le < Ulf} >
=> I = >) 8&J,, voig; € A WieJ,Jcl,J hit han phan tf (dinh ly 1.1.1)
=1 e<U{đ]> (hệ quả I.1.1)
=<l>=< U {fi} >
= V(I)= V( U{Z} )
— >, U Ks ( biến đổi giống phần trên ) = , } là một nhủ mở con hữu hạn của phủ mở W, }
Do dé X = Spee( A) la khơng gian compact (đpcm)
Như vậy phổ nguyên tố của vành A luơn là một khơng gian compact.Và do đĩ
VEc A thì V(E) là tập compact trong Spec(A) (định lý 1.2.3)
Trang 30Kiối liên quan giữa phố nguyên fố của vánh và cấu frúc của mộf số Kip vanh
PHAN 2
MOI LIEN QUAN GIUA PHO NGUYEN TO CUA VANH
VÀ CÂU TRÚC CỦA MỘT SỐ LỚP VÀNH
Trước hết, ta tìm hiểu tính chất tach T, cba phổ nguyên tố trên mơt vành A ,
mỗi liên quan giữa phổ nguyên tế và các vành cĩ rad(A) là một ideal nguyên tố và vành A chỉ cĩ duy nhất một ideal nguyên tố
I DIEU KIỆN TÁCH †, CỦA PHỔ NGUYÊN TỔ Mệnh đề II.2.I Cho vành 4, khi đĩ - X = Spec(A) là T, - khơng gian khi và chỉ khi mọi ideal nguyên tố trong A la ideal ti dai Chifng minh : * Gid st¥ p, 1A mét ideal nguyên tổ trong vanh A Ta chứng minh p, là ideal tốt đai That vay :
Giả sử tổn tại mét ideal a cba A (a # A) sao cho p, Ca
Vì a # A nên a được chứa trong một ideal t6i dai m, ndo dé trong A (dinh ly 1.1.4) Tất nhiên m, cũng là ideal nguyên tố trong À Vì:p, cm, Từ đĩ ta cĩ : pcacm, =ye(|x}.(x,veX) ( hệ quả 11.1.2) Với giả thiết X = Spec(A) là T¡ - khơng gian nên tập một điểm {x} là đĩng (định lý 1.2.1) Suy ra: tx} = {X) =>ye {x} =>yva x trong nhau => p= my mip,cacm,
Trang 31M61 liên quan giữa phố nguyen fố của vàn vá cấu frúc của mộf số Éúp vanh VxeX, xét tập đĩng Ví(p,), ta cĩ : V(p,)= {yeX:pn.om} vyeX,ve Víp,)©P, 2m Theo giả thiết, tdeal nguyên tổ p, là tdeal tối đại Nén: py =p, (Vi py # A) => y và x trùng nhau Vay Vip = x} => {x} 1a tap dong trong X Do dé :
X = Spec(A) 1a T; — khéng gian = (dinh ly 1.2.1) (đpcm)
Từ mênh để này ta cĩ ngay một kết quả, nếu A là vành Boole hoặc vành
Anin thì Spec(A) là T; - khơng gian, bởi vì trong hai vanh nay moi ideal nguyên tổ là
ideal tối đại Tính tách T; này cũng cĩ được cho vành giao hốn cĩ đơn vị Á như sau mà phép nhân trong A thỏa :
VfeA,3necN,n>l ;f°=f( n phu thuộc vào F )
That vay ta chỉ cần chứng minh moi ideal nguyên tố trong A là ideal tối đại
Giả sử p là một ideal nguyên tố và a là một ideal của A thỏa p Ca, p # a Khi đĩ tốn lai [ € a,Í £ p Ta luơn cĩ : 3neN,n >l:=f => f(t"'- = "-f=0 >fit"'-lhep =>f'-1l ep (vifep) =f'-1 ea Tat nhién f*' € a (vif ea) Từ đĩ lea >a=A Vay p 1a ideal t6i dai (dpem) Cho vành A, thế thì :
Trang 32M61 Lén quan giữa phố nguyên fố của vành và cấu frúc của mộf số Ép vành Xét hai tập mở tương ứng X; và X; trong X Giả sử X; # b> va X, #6 [3o X là hất khả quy nên : X:¬X,#ơ => X46 (mênh đề II 1.7) = f[gkhơng là lũy linhtrongA (ménh dé II.1.6) => tg € rad(A) = mâuthuẫn với fg e rad(A) Vậy : X.= )hộc X, = Ú
= [ hoặc g là lũy linh trong A (mệnh đề II I.6)
= [ e rad(A) hoặc g € rad(A) Do dé :
rad( A) 1a ideal nguyén t6
* Ngược lại :
Giả sử rad(A) là ideal nguyên tố
Ta chứng minh X = Spec(A) là khơng gian bất khả quy
- Spec(A) # @ (vi rad(A) € Spec(A))
Trang 33M6i Ílên quan giữa phố nguyén fố của vànĂÄ và cấu trúc của mộf số Ép vành => Viaj=X | nasš ¬ X(E,)=6 X(E2)=@ = mâu thuẫn giả thiết X(E,) # $ và X(E;) # $ Do dé ; Viab) # X Suy ra:
X(E,) > X(E2) = X \ V(ab) # ¿
Vậy với hai tập mở hất kỳ, khác rỗng trong X, đều cĩ giao khác rỗng Do đĩ : X = Spec(A) là khơng gian bất khả quy
Mệnh để được chứng minh xong
Theo định lý L.2.7, ta cĩ ngay một kết quả là : rađ(A) là ideal nguyên tổ trong
A khi và chỉ khi mọi tập mở khác rỗng X(E), E cA đều trù mat trong X = Spec(A) ma
hệ quả sau đây là một trường hợp đặc biệt :
Hệ quả II.2.1
Cho vanhA, f € rad{A)
Nếu rad(A) là ideal nguyên tổ thì Xy trà mật trong Spec(A)
Từ mệnh để II.2.2 nầy ta suy ra rằng phổ nguyên tố của vành số nguyên Z là một
khơng gian bất khả quy.Thâật vậy, do Z là miễn nguyên nên Z khơng thể cĩ phần tử
lũy linh nào khác 0.Vì vậy rad(Z)=0.Tất nhiên 0 là ideal nguyên tố trong miền nguyên Z Từ đĩ Spec(Z) là khơng gian bất khả quy
Hộc ta cĩ thể thấy tính bất khả quy của Spec(A) trên vành A chỉ cĩ một ideal
nguyên tố p duy nhất, Khi ấy rad(A) = p Cũng trên vành Á này, Spec(A) ngồi tính
bất khả qui cịn cĩ tính chất được thể hiện qua mệnh dể sau :
Mệnh đề II.2.3
Cho vành A Khi đĩ, A cĩ duy nhất một ideal nguyên tố khi và chỉ khi Spec(4 )
là khơng gian tơnơ thơ Chứng minh : (=)
Giả sử p, là ideal nguyên tố duy nhất trong A
Khi đĩ X = Spec(A) là khơng gian tơpơ chỉ cĩ duy nhất một phần tử :
X= {x}
Trang 34M61 liên quan giữa phố nguyên tố của vảnĂ và cấu frúc của một số Kúp vanh
Từ đĩ trong X chỉ cĩ hai tập mở đĩ là X và ¿
Vậy Spec(A! là khơng gian tơpơ thé,
(<=)
Ngược lại , nếu Spec(A) là khơng gian tơpơ thơ thì :
vVfe A:X;= Xhoặc X: =@
Suyra VWfe A: hoặc fkhả nghịch hoặc f lũy linh (mệnh đề II.I.6 ) Ta giả sử trong À cĩ hai ideal nguyên tố p,, py với p„# py
Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử rằng: 3 Fe p,, Í£ p,
= Í khơng lũy linh (định lí I.1.5)
=> f là khả nghịch
=>p=A
=> p, khơng là ideal nguyên tố (mâu thuẫn giả thiết ) Vậy trong A chỉ cĩ một ideal nguyên tố duy nhất ( đpcm )
Mệnh đề được chứng minh xong
IL PHO NGUYEN TO CUA VANH BOOLE Ménh dé 11.2.4 Cho A là vành Boole và ƒ, É›, ƒ„ € A Khi dé, ton tai f e A sao cho : X/= Xp UXp UU UX pp Chifng minh : Giả sử a là ideal của A sinh bởi các phần tử ft, f, fi: a= < Uta) >
Ta cĩ ngay a là ideal hữu hạn sinh
Trang 35Ađố! liên quan giữa phố nguyen fố của vânĂ và cấu frúc của mĩf số kop vanh | X\ (UN,) =X\X;, => Xr Xv Xm = Xe Như vậy : Ví, 1›,.f, thuộc vành Boole A thì tổn tại Í e A sao cho: XY, =UN, Mệnh để 11.2.5
Cho A là vành Boole Khi do :
Moi tập X,, ƒ € A va chỉ những tập này thơi là vừa đĩng, vừa mở trong
X=Spec(A)
Chifng minh :
* Trước hết ta chứng mình ¥ f € A, X; 1a tap vita md, vita déng trong X = Spec( A) VieA,tacd:
eX; la tip mé ( hién nhién )
eX; = Vi f—1), that vay :
Do Ala vanh Boole nén vii moi ideal nguyén tố p, lace: (0= f(— 1) =f- Í e p, Suy ra: fep,orr-lep, Từ đĩ : VxreX,xeX, ofep, ©[f-lep, axe Vif-1) Vay X; = Vif-1) = X, là tập đĩng
=> X, la tip vừa mở, vừa đĩng trong X
* Hãy giờ ta giả sử M là mơi tập vừa mở, vừa đĩng trong X Ta chứng mình M cĩ dang X;.fe A: Vì M mở trong X nên : M=UY, feA ( mênh để II, 1.5 ) => {¥,}., là một phủ mở củaM Vì M đĩng trong X X z Spcc(A) là khơng gian compact ( mệnh để II 1 | L) Nên :M là tập compacl (định lý 1.2.3) Từ đĩ : 3 (Xụ X¿} là phủ con hữu hạn của {Xa}, ‹ ¡
Trang 36Ađố! liên quan giữa phố nguyén fố của vảnĂ và cấu tric của mộf số kop vanh
Nghĩa là :M =ÙX, (định lý 1.2.2)
Theo ménh dé 112.4 thi fe A: X;= U x;
rel
VâãyM=X,.feA
Mệnh đề được chứng minh xong
Như vậy nếu A là vành Boole thì cơ sở của Spec(A):
B= {Xi}rea
gồm những tập vừa đĩng, vừa mở trong X = Spcc(A)
Hơn nữa Spec(A) là Tạ — khơng gian (mệnh dé 1.1.10) Két hep dinh ly 1.2.6 ta c6 hé qua sau :
Gid sit A la vanh Boole, Thé thi :
Spec(A) là khơng gian hồn tồn khơng liên thơng
Ménh dé 11.2.6
Gid sa A la vanh Boole Khi dé
X = Spec(A) la khéng gian Hausdorff Chifng minh :
Giả sử x, y là hai điểm khác nhau trong X = Spec( A)
Vì x # y nên p, # p,
Do Ala vanh Boole nên các p,, py khơng chứa nhau (mệnh dé 1.1.4)
Suy ra : 3f e Á sao cho e p,, F £ py
Vìifep, nên f- 1 #p, ( nếu khơng, l e p,)
Vay: { f-le€p, f €p, => { xe X;,
y € X;y
"Ta cd: XpaXy., = Xag1) #8 Xo 8 ệ (mênh để II 1.6 và II 1.7)
Vậy X, ,,X¿ lấn lượt là hai lân cận mở rời nhau cua x, y
Do đĩ Y x,y eX,x#y thì luơn tổn tại hai lân cận của chúng cĩ giao là rỗng
Vậy X = Spec(A) là khơng gian Hausdorff, với A 1a vanh Boole (dpem)
Một điểu hiển nhiên , nếu A là vành Boole thì Spec(A) là T¡ - khơng gian mà ta đã biết Tổng quát hơn ta cĩ hệ quả sau :
Hệ qua 11.2.3
Giả sử A là vành Hoole Thế thì X = Spec(A) là khơng gian chuẩn tắc va do
đĩ là khơng gian chính quy
Trang 37Aiố! liên quan giữa phố nguyén fố của vảní và cấu frúc ca mộf số kíp vành
Chứng minh :
That vay, ménh để trên là sư kết hợp giữa các mênh để II.1.11, mệnh để 11.2.6, dinh ly 1.2.4 và hệ quả L2 ]
Snpcct A) là khơng gian compact, do Á là vành Boole nén Spec(A) la khong gian Hausdorff, do đĩ nĩ là khơng gian chuẩn tắc, và vì vây nĩ là khơng gian chính
quy |
Như vậy, phổ nguyên tố của vành Boole là một khơng gian compact, thỏa tất cả các tiên để tách khơng gian (T,, ¡ =0, 4), hồn tồn khơng liên thơng, Nĩi chung nĩ là một khơng gian compact Hausdorff, hồn tồn khơng liên thơng
*la cũng cĩ được những kết quả trên cho _A là vành giao hốn cĩ đơn vị thỏa : VỨcA, 3n e€Nw,n >]:ƒ =ƒ (n phụ thuộc vào ƒ)
That vay, trước hết Spec(A) là khơng gian Hausdorff, bởi vì :
VX,y€SŠpcc(Ầ): x # v = Px * Py
=3fep,, [£p, ( ta đã biết trên vành này mọi ideal nguyên tố là ideal tối đại ) Vife A nên 3neN,n>l:f*=f
Với số tự nhiên n này ;
f' ep, (vife py)
=I”!- l£ p, (nếu khơng, l e p.©p.= À) Suy fa: {* OX isn, y © X; Mặt khác : Xr X„ = A n3 u " = tt > = II oe
Do đĩ, X, X¿ lần lượt là hai lân cân mở, rời nhau của x và y nên Spec(A) là
khơng gian Hausdorff,
Từ đây, Spec(A) là khơng gian chuẩn tắc và do đĩ nĩ thỏa tất cả các tiên đề
tách khơng gian
Tiếp theo, Spec(A) là khơng gian hồn tồn khơng liên thơng Ta chi can
chứng minh những tập X: trong cơ sở {X¿};¿A của Spec(A) là những tập vừa mở vừa đĩng
Thật vậy : VfỨe A,3neœN,n >l:f'zf(n phụ thuộc vào F)
Ta đã biết với mọi ideal nguyên tố p của Á thì :
Trang 38Aố! liên quan giữa phố nguyên tố của vànĂ và cấu frúc của mĩf số Ép vanh
((/”"°- 1l) =0ep
Dodéd:fepef'-lep
Suy fa:
X,= V(t"! - 1)
Như vậy X, là tận vừa mở vừa đĩng trong Spec(À)
Vậy Spec( A!) là hồn tồn khơng liên thơng
Từ những kết quả nĩi trên, ta rút ra mệnh để tổn { sau :
Mệnh để H.2.7
Cho A là vành giao hốn cĩ đơn vị thỏa với moi f e A, tần tại một số tự nhiên
n >I sao cho f" =f (no phụ thuộc vào Í) thế thì :
Spec(A) la khéng gian compact Hausdorfƒ và hồn tồn khơng liên thơng
Một khơng gian tơpơ với các tính chất như vậy đơi khi cũng được gọ! là một khơng gian Boole
Cho A la vanh Note Khi do :
X = Spec(A) là khơng gian tépé Note Chifng minh :
Ta gid si¥ cé mét chudi gidm cdc tip déng trong Spec(A) :
V(a,) Ð V(a¿) D V(as) > sao cho V(a,) # V(a,,¡)
Ta xét chuỗi tăng các ideal trong A như sau ay Cay +a, Cay +antayc
Theo giả thiết :
A là vành Nơte nên chuỗi tăng các ideal này là hữu han Nghĩa là :
31neN:a¡+a;+ +a,=ai+ay+ +aa+a.,,VI12 Ì Khi đĩ ta cũng cĩ :
V(a„) £ V(a,„) Vị>
Thát vậy :
Giả sử 3iạ> l: V(a,) - Vian.)
Suy ra tổn tại một ideal nguyên tố p của À sao cho :
pe Viay), pé Viansw)
Vip € Via,) nénp € V(a¿) Vk=l,n
=>praVk= Í,n
=>p Da, tart +a,
> Pay +a;p + + dy + Ags
Trang 39Alối lên quan giữa phố nguyên fố của vânĂ và cấu frúc của mộf số Ép vành =P2aa¿ø => p © Via,, wo) (mau thuẫn p £ V(a„„ ¿)) Vay: Via,) = Via.) Viz I Do dé :
Spec( A) la khong gian topé Note
Mệnh đề được chứng minh xong
Ta đã biết moi vanh Euclid đều là vành chính, và vành chính cũng là vành Nơtc do
moi ideal trong vành chính là hữu hạn sinh (sinh bởi một phần tử),do đĩ phổ nguyên
tế của vành Euclid ,vành chính là khơng gian tơpơ Nơte.Chẳng hạn Spec(Z) là khơng gian tơpơ Nơte vì Z là vành chính
Ngược lai, nếu A là vành thỏa Spec(A) là khơng gian tơpơ Nơte, ta cĩ kết quả như sau :
Mệnh đề II.2.9
Cho A là vành thỏa Spec(A) là khơng gian tơâpơ Nœe
Khi đĩ, mọi chuỗi tăng thực sự của các iđeal nguyên tố trong A là hữu hạn Chứng minh : - Giả sử cĩ một chuỗi tăng thực sự các ideal nguyên tố trong A như sau Đị CP›Cpic Suy ra: V(p,) > Vip2) > Vips) >
là một chuỗi giảm của các tập đĩng trong Spec(A)
Vì Spec(A) là khơng gian tơpơ Nơte nên : 3neN,n>l : V(p,)= V(p,,)Vi>l (định lí L2.9) [3o p„ là ideal nguyên tế nên : Pu€ V(p) => pa € V(p.,) Vi>l =©SP› ĐPu , VYi>l Theo giả thiết Pac Pasi Vi21 Suy ra : Ps=pDasiVi>]T Vậy : Chuỗi tăng thực sư của các ideal nguyên tố trong A là hữu han h ia 11.2.1
Mơi tập đĩng trong khơng gian tơpơ X được gọi là đập bất khả qui nếu như
khơng thể biểu diễn được dưới dạng hợp thực sự của hai tập đĩng
Trang 40
M6i én quan giửa phố nguyén fố của vanh va cấu frúc của mộf số ɇp vành
Mén H.2.10
Cho A là vành Note Moi tap déng V trong Spec(4) cĩ thể biếu diễn được dưới
đạng hợp hữu hạn của các tập đĩng bất khả qui, và sự biếu diễn đĩ là duy nhất nếu
trong hop:
Ve=eV, VV; vu UV,
của các tập đĩng bất khả qui, khơng cĩ bao hàm thức V, Vị khi ¡ #j
Chứng minh :
* Đầu tiên ta chứng mình mọi tập đĩng V trong Snpec(A) với A là vanh Note, luơn
hiểu diễn được dưới dạng hứp hữu hạn của các tập đĩng bất khả qui :
- Giả sử rằng ho S các tập đĩng khơng biểu diễn được dưới dạng hợp hữu hạn của
các tấp đĩng bất khả qui là khác rỗng
Vì A là vanh Note nên Spec(A) là khơng gian tơpơ Nơte ( mệnh để H.2.8) [›
đĩ trong S tốn tại phần tử tối tiểu Vạ (định lí L.2.9)
Tất nhiên Vạ e S khơng thể là bất khả qui Suy ra: Vg = V' UV"
Trong đĩ V', V”" là hai tập déng trong Spec(A) va V' # Vp, V" # Vo
Suy ra V', V” là hai tập con thực sư của Vạ
= V',V" £S (do tính tối tiểu của Vạtrong S)
= V', V" cĩ thể biểu diễn được dưới dang hợp hữu han của các tập đĩng bất khả qui = Vạ cũng biểu diễn được dưới dang trên
=> Vạ £ S (mâu thuẫn Vp € S)
Vậy S = ¿(đpcm)
* Tiếp theo ta chứng minh sự hiểu diễn là duy nhất:
Giả xử :
VeV, eV ViV0V,= Ww W2u U We
là hai biểu diễn của V dưới dang hợp hữu hạn của các tập đĩng bất khả qui khơng chứa nhau Với mỗi ¡= 1 m : W,=W, OV = (Wy; V)) vu UCWy 0 Vạ) Vì : W¡~ tập đĩng bất khả qui và W; =V,,¡= 1, ,n là các tập đĩng, nên : Jip € $1, 2 0}: We= Wy Vio =>IJ we {1,2 n) > Wy Cc Vio Tương tự : 3re {1,2, ,m}:Vec W, Vay: Wyo VecW,
Vì các W), j= 1, m khơng chứa nhau nên ta phải cĩ W; = Vụạ= W,