Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 236 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
236
Dung lượng
24,55 MB
Nội dung
VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu (TS vào 10-Chuyên Hải Phòng 23-24) x+2 x x +1 Cho biểu thức A = (với x ) + − : x x +1 x − x +1 x + x Rút gọn biểu thức A chứng minh A Lời giải A= ( Ta có: ( ) x +1 )( ) x +1 x − x +1 : x +1 x = x x − x +1 x x 2x − x + x − x +1 ( ) x − (luôn đúng) Vậy A Câu (TS vào 10- Chuyên TP Đà Nẵng 23-24) xy x+ y x x Cho hai biểu thức: P = : − − x − y y xy + y xy − x x x−y y −x y +y x Q = với x 0, y , x y x− y ( ) Rút gọn biểu thức P, Q chứng minh với số x, y dương phân biệt tuỳ ý 4Q + P Lời giải Ta có: P = x + y P = x + y Q= x+ y 4Q + = 2( x + y ) + Suy ra: 2(4Q + − P) = x + y + − x − y = (2 x − 1) + (2 y − 1) Vì x y nên ( 4Q + − P ) 4Q + P Câu (TS vào 10-Chuyên Cần Thơ 23-24) @ x −9 x + x +1 với x x 4, x − − x −5 x +6 x − 3− x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất số nguyên x cho P nhận giá trị số nguyên Cho biểu thức: P = a) Với x x 4, x , ta có: Lời giải VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 P= = ( x −9 x + x +1 = − − x −5 x +6 x − 3− x x −9 x −3 +) +) +) +) +) +) x −2 )( x − )( x − )( ) x + 1) = x − 3) x − 3− x = )( x −3 ) − ( )( ) ( )( ( x − )(3 − x ) x + 3 − x + x +1 x −2 x − + − x + 2x − x − ( x −2 )( x −3 ) x +1 x −3 x +1 = x −3 x −3+ 4 = 1+ x −3 x −3 P nhận giá trị số nguyên phải nhận giá trị số nguyên x −3 −4; −2; −1;1; 2; 4 x −3 = −4 x − = −1 x = (loại) x −3 = x − = x = 49 x −3 = −2 x − = −2 x = x −3 = x − = x = 25 x −3 = −1 x − = −4 x = −1 (loại) x −3 = x − = x = 16 x −3 b) Ta có: P = Để ( − x + 2x − x − ) ( ( − x + x−2 = = ( x − )( x − 3) ( x −2 )( − x −9 Tổng hợp: Duy Tường Vậy x 1;16; 25; 49 P nhận giá trị số nguyên Câu (TS vào 10-Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu 23-24) x −3 x 2x 1− x Rút gọn biểu thức P = với x 0, x 1, x − : x − x − x −1 x − x + Lời giải x −3 x 2x 1− x với x 0, x 1, x P = − : x − x − x −1 x − x + P= ( 2x 1− x − : x − x −1 − x x ( x − 3) )( x +1 ) ( ) x 2x = − : x +1 x −1 − x ) VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 x = = ( ) Tổng hợp: Duy Tường x −1 − 2x − x − x = x − x − 2x − x = x −1 x −1 − x (1 − x ) x −1 ( ) ( ) ( )( x +1 1− x ) x −1 = x Câu (TS vào 10-Chuyên Bắc Giang 23-24) @ x2 + y x− y x− y + Rút gọn biểu thức Q = với x y 2 x+ y + x− y x2 − y x − y − x + y Lời giải x2 + y x− y ( x − y)2 Q = + Với x y ta có 2 x+ y + x− y ( x + y )( x − y ) − ( x − y ) x −y 1 = x − y + x+ y + x− y x+ y − x− y x + y x2 + y x2 + y = y y x2 − y = x − y Vậy Q = x2 + y 2 x −y x2 + y với x y y Câu (TS vào 10-Chuyên Bắc Ninh 23-24) Rút gọn biểu thức P = + 2 − − 2 Lời giải Ta có: P = + 2 − − 2 = ( ) 2 +1 − ( ) −1 = + − −1 = + 1− + = Vậy P = Câu (TS vào 10- Chuyên Bình Dương 23-24) x + 16 x + x −2 + + − x + x −3 x −1 x +3 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị x nguyên để A số nguyên Lời giải x a) Điều kiện xác định x x + 16 x + x −2 Ta có: A = + + −2 x + x −3 x −1 x +3 Cho biểu thức: A = VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 = = = = ( ( x − 1)( x + 3) ( 2x + x + )( x − 1)( x −2 + Tổng hợp: Duy Tường ) + ( x − 1) − 2.( x − 1) ( x + 3) x + 3) ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) x +3 2x + x + + x + x − + x − − 2x − x + ( )( x −1 ( 2x + x − 2x ) + ( ( x+4 x +3 )( x −1 x +3 x +3 ) ) x + x + x − x + (6 − − + 6) ( = )( x −1 x +3 ) x+ x +3 x +3 ) ( )( x −1 x +3 ) x = ( ( ) ( x + 1) = ( x − 1)( x + 3) ( x +1 + )( x − 1)( x +1 )= x + 3) x +3 x +1 x −1 x +1 với x 0; x x −1 x +1 x − x − 1 Ư( 2) = −2; −1;1; 2 b) A = số nguyên = 1+ x −1 x −1 Ta có bảng sau −2 −1 x −1 −1 x Vậy A = ( x ) (loại) Vậy A có giá trị nguyên x {0; 4;9} Câu (TS vào 10-Chun Bình Định 23-24) Tính giá trị biểu thức: ( x3 + x − 23x + 1) 2024 với x = 3 − Lời giải Ta có: x = 3 − nên: ( x2 = 3 − ) ( = 31 − 12 x3 = 3 − ( ) Suy ra: x3 + x − 23x + ) = 81 − 162 + 36 − = 117 − 170 2024 ( ) ( ) + 46 + 1) = 117 − 170 + 31 − 12 − 23 3 − + 1 ( = 117 − 170 + 124 − 48 − 69 2024 2024 = 12024 = Câu (TS vào 10-Chuyên Bình Phước 23-24) Cho biểu thức P = 3a + 9a − a +1 a −2 với a , a − + a+ a −2 a + 1− a a) Rút gọn P b) Tìm a nguyên để biểu thức P nhận giá trị nguyên Lời giải VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 a) Ta có: P = ( 3a + a − a +1 a −2 − a +2 a −1 − )( a + ) ( a + 1)( a − 1) − ( a + 2)( 3a + a − = − ( a − 1)( a + 2) ( a − 1)( a + ) ( a − 1)( ( a + 1)( a + ) = a + a+3 a +2 = = ( a − 1)( a + ) ( a − 1)( a + ) a − a + ( a − 1) + 2 = = 1+ b) Ta có: P = a −1 a −1 Tổng hợp: Duy Tường ) = 3a + a − − ( a − 1) − ( a − ) a + 2) ( a − 1)( a + 2) a −2 a −1 a −1 Để P nhận giá trị nguyên a − 1 Ư 2 = −2; −1;1; 2 a −1 +) Trường hợp 1: a − = −2 a = −1 (vô nghiệm) +) Trường hợp 2: +) Trường hợp 3: a − = −1 a = a = (nhận) a − = a = a = (nhận) +) Trường hợp 4: a − = a = a = (nhận) Vậy để P nhận giá trị nguyên a 0; 4;9 Câu 10 (TS vào 10-Chuyên Cao Bằng 23-24) Rút gọn biểu thức sau: x − 108 + 23 x 75 − x x +3 P = − 1 : + , x − 16 x + x + x − 12 ( x 0, x 9, x 16 ) Lời giải Điều kiện xác định: x 0; x 9; x 16 x − 108 + 23 x 75 − x x +3 Ta có: P = − : + x + x − 12 x − 16 x + x − 16 + 23 x − 92 ( 75 − x ) x + + x + x + x − 12 = − 1 : x − 16 x + x + x − 12 23 x − 75 x + 300 − x x − x + x x + x − 12 x + 3x + x − 36 = : x + x + x − 12 x − 16 ( ( ) ( ) = 23 : x +4 ( ) ( )( ( ( )( )( ( ) ) ) 23 x − 16 + x + 23 = = 66 66 x + x + x + x − 12 66 x + 264 )( ) ) ( Câu 11 (TS vào 10-Chuyên Đăk Nông 23-24) ) ( ) x −3 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường x −1 − x + x x+ x x −1 B = x a) Tính giá trị biểu thức A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B A c) Tìm x để B Với x , cho biểu thức A = Lời giải a) Với x = 64 (thỏa mãn điều kiện x ) thì: A = Vậy A = x = 64 b) Ta có: B = x −1 − x = + x x+ x x −1− x +1 x −1 x −1 = = − x x x +1 x x +1 ( ) ( ) ( x( x ) x + 1) x −1 = x −1 x +1 x −1 với x x +1 Vậy B = c) Ta có: 64 − − = = 8 64 A B x −1 : x x −1 (ĐKXĐ: x x ) x +1 x −1 x +1 x x −1 2 x + 2−3 x x +1 − 0 − x (vì x ) 2 x x x x Kết hợp điều kiện, ta x x A Vậy x x B Câu 12 (TS vào 10-Chuyên Đồng Nai 23-24) Cho số thực x thỏa mãn x Rút gọn biểu thức: A = x −2+ x −3 + x −2−2 x−3 Lời giải Ta có: A = ( ) x − +1 + ( ) x − −1 = x − +1 + x − + Vì x nên x − , suy x − − Vậy A = x − + − x − + = Câu 13 (TS vào 10-Chuyên Đồng tháp 23-24) x − −1 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường x +2 x Cho biểu thức P = với x 0, x − x − x − x : a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P Lời giải x a) Ta có: P = − x −2 x x − ( ) = x +2 x−4 x ( x −2 ) ( x − 4) 2 = = x ( x − 4) x x +2 1 x x x Do x 0, x nên x b) P Câu 14 (TS vào 10- Chuyên Gia Lai 23-24) x −2 x x Cho biểu thức P = với x ; x Tìm x để P = − : x −2 x +2 x−4 Lời giải x −2 x x với x 0; x x − − x + : x − 2.( x + 2) ( x − 2).( x − 2) x x P = − : ( x − 2).( x + 2) ( x − 2).( x + 2) ( x − 2).( x + 2) 2.( x + 2) − ( x − 2).( x − 2) ( x − 2).( x + 2) P = ( x − 2).( x + 2) x x ( x − 2).( x + 2) −x + x P = x x ( x − 2).( x + 2) − x ( x − 6) P= x x x −6 P=− x x −6 Vậy P = − với x 0; x x x −6 Để P = − = x −3.( x − 6) = x a) Ta có: P = x + x − 18 = ( x + 6).( x − 3) = x = −6 (ktm) x = x = (tm) Vậy x = thỏa mãn đề VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Câu 15 (TS vào 10-Chuyên Hà Tĩnh 23-24) Tìm tất số thực x để p = số nguyên x− x +2 Lời giải 5 = Ta có: p = x− x +2 1 x− + 2 20 Suy ra: p = Mà p số nguyên nên p = 1; 7 + 13 + 13 TH1: p = =1 x − x −3 = x = x= 2 x− x +2 1+ 2+ = 2x − x −1 = x = x= 2 x− x +2 + 13 + Vậy có hai giá trị cần tìm x = ; 2 TH2: p = Câu 16 (TS vào 10-Chuyên Hà Nam 23-24) x x − x + x −2 Cho biểu thức A = với x 0, x 1, x − + x + x x − x − x − Rút gọn biểu thức A Tìm tất số nguyên x để A − + = A ( x ) − A = 1+ x + x ( x +1 )( x +1 − ) ( x −1 Lời giải x −2 x +1 x −2 )( ) ( x − 1)( x + x + 1) x +1 x −2 = − x +1 1+ x + x x −1 x +1 x −2 = x −1 − = = x −1 x +1 x −1 x +1 x −1 ( ( ) )( ( ) ( ) ( )( )( x +1 ) +) A − + = A A − = A − A − A ) 2 x x x +1 Kết hợp với điều kiện x 0; x 1; x x 0; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9 Câu 17 (TS vào 10-Chuyên Hải Dương 23-24) Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a.b = 1, a + b Rút gọn biểu thức: VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Q= Tổng hợp: Duy Tường 1 1 + + + + ( a + b ) a b ( a + b2 + ) a b ( a + b ) Lời giải Ta có: a + b + = ( a + b ) nên: Q= = = 2 1 1 + + + + (a + b) a b (a + b) a b (a + b) a + b3 (a + b) + ( a + b2 ) (a + b) + (a + b) (a = a + b + ab ( a + b ) + ( a + b ) + (a = ( a + b2 + 2) + b + 2a 2b ) + ( a + b ) + ( a + b2 + ) + b3 ) ( a + b ) + ( a + b ) + (a + b) = (a = a4 + b4 + ( a + b2 ) + (a + b2 + 2) + b2 ) + ( a + b2 ) + ( a + b2 + ) (a = (a 2 + b2 + ) + b2 + ) 2 =1 Vậy Q = Câu 18 (TS vào 10-Chuyên Hậu Giang 23-24) 2a − a a −2 − , với a a+2 a a +2 1) Tìm tất giá trị a để A 2) Tìm tất giá trị a để biểu thức A nhận giá trị nguyên Cho biểu thức A = Lời giải 1) Ta có: A = Do đó: A 2 Ta có: A = Dễ thấy 2a − a a −3 a a − 2a − a − a ( a − 2) a ( a − 3) a −3 = − = = = a ( a + 2) a+2 a a +2 a ( a + 2) a ( a + 2) a +2 a −3 a − a + a a 64 a +2 a −3 a + 2−5 = = 1− a +2 a +2 a +2 a + 2, với a > 5 = − A Suy A (1) a +2 a +2 5 2A + 3 a +2= a= −2= Do − A nên suy A − (2) 1− A 1− A 1− A A = 1− VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Từ (1) (2) suy − A Do A nên A = −1 A = Với A = 0, ta có a = − = a = 1− 1 Với A = −1, ta có a = −2= a = 1+1 Câu 19 (TS vào 10-Chuyên Chung Kom tum 23-24) Rút gọn biểu thức: A = ( − 1) + Lời giải A = ( − 1) ( + 1) = ( − 1)( + 1) = Vậy A = Câu 20 (TS vào 10-Chuyên Hưng yên 23-24) x 2x − x x − với x 0, x 1, x + + x −1 x −2 x −3 x + a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức: P = b) Tìm tất giá trị x để P − P = Lời giải a) Với x 0, x 1, x , ta có: P= = = = = x ( x 2x − x x − + + x −1 x −2 x −3 x + x −2 x −1 ) + 2( )+ x −1 x −2 ( 2x − x x − x −2 )( x x − 2x + x − + 2x − x x − 2 ( ( ( x −2 x −2 x −2 )( ) )( ) x −1 ) x −1 x −1 b) P − P = P = P P Khi ) x −1 x −1 x x −1 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Câu (TS vào 10-Chuyên Vĩnh Long 23-24) Tìm tất số nguyên x cho giá trị biểu thức x + x + số phương Lời giải Giải sử x + x + số phương , suy tồn số k cho x + x + = k ( x + x + ) = 4k ( 2k ) − (2 x + 1) = 23 ( 2k + x + 1)( 2k − x − 1) = 23 2k + x + = 23 TH1: x=5 2k − x − = 2k + x + = TH2: x = −6 2k − x − = 23 2k + x + = −23 TH3: x = −6 2k − x − = −1 2k + x + = −1 TH4: x=5 2k − x − = −23 Với x −6;5 x + x + số phương Câu (TS vào 10-Chuyên Thái Nguyên 23-24) Chứng minh không tồn số tự nhiên n đề hai số n n − 10 số phương Lời giải n − 10 = l ta có: k = 3l + 10 (1) Ta có nhận xét sau: m 0,1, (mod 5) Giả sử ta có n = k ; Vậy: 2 3l l 25 vi (3;5)=1 3l + 10 0;3; (mod 5) k 0;1; (mod 5) 3l + 10 25 (1) không thoả mãn Vậy không tồn n để thoả mãn Câu (TS vào 10-Chuyên Vĩnh Phúc 23-24) Tìm tất số nguyên dương n cho 3n + 1, 11n + số phương n + số nguyên tố Lời giải Do 3n + 1,11n + số phương nên ta đặt 3n + = a ;11n + = b ( a, b nguyên dương) Lại có 4a − b = 12n + − 11n − = n − hay ( 2a − b )( 2a + b ) = n + 2a + b = n + 2b = n + 4b = ( n + ) Để n + số nguyên tố mà 2a − b 2a + b 2a − b = Mà 11n + = b 44n + = 4b suy ( n + ) = 44n + n − 40n = n ( n − 40 ) = mà n số nguyên dương nên n − 40 = n = 40 Vậy n = 40 thoả mãn Câu (TS vào 10-Chuyên Yên Bái 23-24) Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn m + m = 2n + n Chứng minh m + n + số VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường phương Lời giải + Ta có: m + m = 2n + n ( m − n )( m + n + 1) = n , (*) + Vì m, n hai số tự nhiên gọi UCLN ( m − n; m + n + 1) = d , ( d *) + Suy ra: m − n d ( m − n )( m + n + 1) d n d n d m + n + d + Mà: m − n d m d m + n d d ( m − n ) ( m + n + 1) hai số nguyên tố cùng nhau; kết hợp với (*) ( m − n ) ( m + n + 1) hai số phương Vậy m + n + số phương Câu (TS vào 10-Chuyên Năng Khiếu ĐHQG TPHCM 23-24) Cho m , n số nguyên không âm thỏa mãn m − n = Đặt a = n − m Chứng minh a khơng số phương Lời giải Giả sử a số phương, đặt a = b , b Nhận xét a = vơ lý m − n = Nếu a = , vào ta ( m − n )( m + n + 1) = m = n n − m = 1 Khi đó: m2 − m − = m = (loại) Xét với a Từ: m = n + m n = m − Thay vào n − m = a , ta được: ( m2 − 1) − m = b m = ( m2 − 1) − b = ( m − − b )( m − + b ) 2 m ( m2 − + b ) m m2 − + b Mà m − + b m + 2m nên suy vơ lý Vậy a khơng thể số phương Câu (TS vào 10-Chuyên Hải Dương 23-24) Tìm tất số nguyên tố p lẻ cho p − p + 16 số phương Lời giải A = p − p + 16 Đặt Với p = A = 169 = 132 số phương Vậy p = thoả mãn Với p p 1( mod 3) Suy p = ( p ) 1( mod 3) Suy A = p − p + 16 2.1 − + 16 ( mod 3) Do số phương chia cho dư nên A khơng số phương PHẦN 4: CHUN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ Câu (TS vào 10-Chuyên Toán Hầ Nội 23-24) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) cho xy số phương x + xy + y số nguyên tố Lời giải VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Đặt xy = a ( a Tổng hợp: Duy Tường ) x + xy + y = ( x + y ) − a = ( x + y + a )( x + y − a ) Do xy nên x y dấu TH1: x 0, y x + y − a = x + y = a + ( a + 1) 4a a = Tìm ( x, y ) = (1,1) TH2: x 0, y Tương tự, tìm ( x, y ) = ( −1, −1) Kết luận: ( x, y ) = (1,1) ( x, y ) = ( −1, −1) Câu (TS vào 10-Chuyên Hà Tĩnh 23-24) Chứng minh với số tự nhiên n lớn A = n 2024 + n 2023 + n − n + số nguyên tố Ta có A = n 2024 +n 2023 + n − n +1 = (n 2024 Lời giải − n ) + ( n 2023 − n ) + ( n + n + 1) = n ( n 2022 − 1) + n ( n 2022 − 1) + ( n + n + 1) = ( n + n )( n 2022 − 1) + ( n + n + 1) 674 Ta có ( n + n )( n 2022 − 1) = ( n + n ) ( n3 ) − 1 2 = ( n + n )( n − 1) B = ( n + n ) ( n − 1) ( n + n + 1) B chia hết cho n + n + Lại có n + n + = n + 2n + − n = ( n + 1) − n = ( n + n + 1)( n − n + 1) chia hết cho n + n + Vậy A = n 2024 + n 2023 + n − n + chia hết cho n + n + với số tự nhiên n lớn nên A số nguyên tố Câu (TS vào 10-Chuyên Tuyên Quang 23-24) Tìm tất cặp số tự nhiên ( m, n ) để B = 33m + n − 22 + số nguyên tố Lời giải Nếu X = 3m + 6n − 22 B , X = 3m + 6n − 22 Ta có X = ( m + 2n − ) + X (mod 3) X = 3k + (k ) Do B = 33k + + = 9.27 k + 9.1 + (mod13) B = 13 Từ B = 13 suy m2 m2 = m = k = 3m + 6n − 22 = m + 2n − = m m = m = 2 Vậy cặp số ( m , n ) cần tìm ( 0, ) , ( 2, ) Câu (TS vào 10-Chuyên Vĩnh Phúc 23-24) Tìm tất số nguyên dương n cho 3n + 1, 11n + số phương n + số nguyên tố Lời giải VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Do 3n + 1,11n + số phương nên ta đặt 3n + = a ;11n + = b ( a, b nguyên dương) Lại có 4a − b = 12n + − 11n − = n − hay ( 2a − b )( 2a + b ) = n + 2a + b = n + 2b = n + 4b = ( n + ) Để n + số nguyên tố mà 2a − b 2a + b 2a − b = Mà 11n + = b 44n + = 4b suy ( n + ) = 44n + n − 40n = n ( n − 40 ) = mà n số nguyên dương nên n − 40 = n = 40 Vậy n = 40 thoả mãn PHẦN 5: CÁC DẠNG TOÁN KHÁC Câu (TS vào 10-Chuyên Bình Phước 23-24) Cho bảng gồm 2023 hàng, Cột 2023 cột Các hàng đánh số Hàng từ đến 2023 từ xuống dưới; cột đánh số từ đến 2023 từ trái qua phải Viết số tự nhiên liên tiếp 0,1, 2, vào bảng theo đường chéo zíc-zắc (như hình vẽ bên) Hỏi số 2024 viết hàng nào, cột nào? Vì sao? … 13 12 11 … 2023 10 2023 Lời giải Theo yêu cầu toán ta thấy: +) Đường chéo thứ đánh số +) Đường chéo thứ đánh hai số , +) Đường chéo thứ đánh ba số , , +) Đường chéo thứ n đánh n số (ta chưa cần biết cụ thể số nào) Nhận thấy đường chéo viết nhiều số nên số 2024 phải ghi vị trí đường chéo n n 2023 n ( n + 1) Khi n 2023 ta có tổng số viết là: + + ++ n = Đến ta cần tìm đường chéo liền trước đường chéo chứa số 2024 63 64 Dễ thấy = 2016 2024 Điều có nghĩa đường chéo thứ 63 có 63 số số lớn ghi 2015 (vì bắt đầu số nên số thứ 2016 2015 ) Vậy đường chéo thứ 64 có 64 số là: 2016, 2017, , 2079 số có chứa số 2024 Từ đường chéo ban đầu ta thấy đường chéo thứ 64 số 2017 , 2018 , , 2080 ghi giảm dần tính từ xuống Hàng số 2016 nên số 2024 hàng thứ 2024 − 2016 + = , cột chứa số 2024 64 − + = 56 Vậy số 2024 viết hàng cột 56 Câu (TS vào 10-Chun Đăk Lăk 23-24) Cho hình vng có độ dài cạnh số nguyên dương liên tiếp Gọi S tổng diện tích hình vng cho Tồn hay khơng hình vng có cạnh số VÀO 10 CHUN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường nguyên dương có diện tích S ? Lời giải Giả sử cạnh hình vng x , x + , x + , , x + (với x * ) 2 Ta có: S = x + ( x + 1) + + ( x + ) = x + 72 x + 204 Giả sử tồn hình vng có cạnh y , với y * Theo giả thiết ta có: y = x + 72 x + 204 y = ( 3x + 24 x + 68 ) (*) Do VP(*) nên y , mà số nguyên tố nên y Khi y hay VT(*) 9 x Lại có 72 x VP(*) Không tồn y 204 Vậy không tồn hay khơng hình vng có cạnh số ngun dương có diện tích S Câu (TS vào 10-Chuyên Đăk Nông 23-24) Cho tập hợp A = 201; 203; ; 2021; 2023 gồm 912 số tự nhiên lẻ Cần chọn số từ tập hợp A cho số chọn ln tồn hai số có tổng 2288 ? Lời giải Xét cặp số ( a, b ) tập hợp A có tổng 2288 là: ( 2023; 265) , ( 2021; 267 ) , ( 2019; 269 ) , , (1147;1141) , (1145;1143) Số cặp số ( a, b ) tập hợp A có tổng 2288 là: (*) 2023 − 1145 + = 440 Số số tập hợp A mà khơng có số ghép đơi để tổng 2288 là: 912 − 2.440 = 32 Chọn 441 số từ (*), theo Dirichlet tồn nhóm chứa số có tổng 2288 Vậy cần chọn 441 + 32 = 473 số từ tập hợp A tồn hai số có tổng 2288 Câu (TS vào 10-Chuyên Đồng Nai 23-24) Cho đa thức P ( x ) hệ số thực Khi chia P ( x ) cho đa thức ( x − ) dư chia P ( x ) cho đa thức ( x + 1) dư Xét đa thức Q ( x ) = x − x − Tìm đa thức dư chia P ( x ) cho Q ( x ) Nhận xét Q ( x ) = ( x − )( x + 1) Lời giải Gọi T ( x ) đa thức thương, R ( x ) đa thức dư chia P ( x ) cho Q ( x ) , nghĩa P ( x ) = Q ( x )T ( x ) + R ( x ) Vì bậc Q ( x ) nên bậc R ( x ) tối đa VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Khi R ( x ) = ax + b (với a, b hệ số thực) Khi chia P ( x ) cho đa thức ( x − ) dư 7, suy P ( ) = Khi chia P ( x ) cho đa thức ( x + 1) dư 1, suy P ( −1) = Ta có: P ( x ) = ( x − )( x + 1) T ( x ) + ax + b Cho x = , ta được: = 5a + b (1) Cho x = −1 , ta được: = − a + b (2) a = Từ (1) (2) suy b = Vậy R ( x ) = x + (TS vào 10-Chuyên Gia Lai 23-24) Bạn Tuấn lập kế hoạch tiết kiệm tiền để mua laptop phục vụ cho việc học tập sau: Hằng tháng, Tuấn tiết kiệm khoản chi tiêu cá nhân để dành triệu đồng Vào ngày 01 tháng Tuấn gửi vào tài khoản tiết kiệm triệu đồng bắt đầu gửi vào ngày 01 tháng năm 2023 để hưởng lãi suất 0,5% / tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa tiền lãi tháng trước cộng vào vốn để tính lãi cho tháng sau) trì việc liên tục năm (Biết tài khoản ban đầu Tuấn đồng hàng tháng Tuấn khơng rút vốn, lãi) a) Tính số tiền tiết kiệm Tuấn có tài khoản tính đến ngày 02 / / 2023 b) Tính đến ngày 02 / 10 / 2023 số tiền tài khoản tiết kiệm Tuấn (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? c) Hãy đề xuất cơng thức tính tổng số tiền tài khoản tiết kiệm sau kỳ gửi tháng thứ n ( n số tự nhiên, n ) Sử dụng cơng thức để tính số tiền Tuấn có tài khoản tính đến ngày 02 / / 2026 Lời giải a) Tính số tiền tiết kiệm Tuấn có tài khoản tính đến ngày 02 / / 2023 Sau tháng, số tiền sổ tiết kiệm S1 = (1.0,5% + 1) + = (1, 005 ) + Vậy số tiền tiết kiệm Tuấn có tài khoản tính đến ngày 02 / / 2023 là: Câu S1 = (1, 005) + = 2, 005 (triệu đồng) b) Tính đến ngày 02 / 10 / 2023 số tiền tài khoản tiết kiệm Tuấn (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Sau tháng, số tiền sổ tiết kiệm S2 = (1, 005 ) + (1, 005 ) + Sau tháng, số tiền sổ tiết kiệm S3 = (1, 005 ) + (1, 005 ) + (1, 005 ) + Vậy số tiền tiết kiệm Tuấn có tài khoản tính đến ngày 02 / 10 / 2023 là: S3 = (1, 005 ) + (1, 005) + (1, 005 ) + = 4, 030100125 (triệu đồng) c) Hãy đề xuất cơng thức tính tổng số tiền tài khoản tiết kiệm sau kỳ gửi tháng thứ n ( n số tự nhiên, n ) Sử dụng cơng thức để tính số tiền Tuấn có tài khoản tính đến ngày 02 / / 2026 Sau n tháng ( n số tự nhiên, n ), số tiền tài khoản tiết kiệm là: VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Sn = (1, 005) + (1, 005) n n −1 Tổng hợp: Duy Tường + + (1, 005 ) + (1, 005 ) (1, 005) +1 = n +1 −1 (triệu đồng) 0, 005 Vào ngày 02 / / 2026 (sau 3.12 = 36 tháng), số tiền Tuấn có tài khoản là: 36 +1 −1 40,533 (triệu đồng) 0, 005 (TS vào 10-Chuyên Hưng Yên23-24) Sn Câu (1, 005) = diện tích xung quanh, mặt nước cách đáy bình 18cm (hình vẽ bên) Cần đổ thêm lít nước để nước vừa đầy bình (Bỏ qua bề dày bình, cho = 3,14 kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Có bình thủy tinh hình trụ cao 30 cm chứa nước, diện tích đáy bình Lời giải 30cm 18cm Gọi bán kính đáy, chiều cao hình trụ, chiều cao cột nước r , h, h1 (cm) 1 h Diện tích đáy bình diện tích xung quanh nên ta có: r = 2 rh r = = 10 ( cm ) 6 Thể tích nước cần đổ thêm thể tích phần khơng có nước bình là: V = r ( h − h1 ) = 102 ( 30 − 18 ) = 3768 ( cm3 ) 3,8 ( dm3 ) = 3,8 ( l ) Vậy, cần đổ thêm 3,8 lít nước để nước vừa đầy bình Câu (TS vào 10-Chuyên Gia Lai 23-24) Cho P( x) = x81 + ax 57 + bx 41 + cx19 + x + Q( x) = x81 + ax 57 + bx 41 + cx19 + dx + e với a , b , c , d số thực Biết P ( x ) chia cho ( x − 1) số dư chia cho ( x − 2) số dư −4 Đồng thời Q ( x ) chia hết cho ( x − 1)( x − 2) Hãy xác định hệ số d , e Lời giải Ta có Q ( x) = P( x) + dx + e − ( x + 1) Q(1) = Vì Q ( x) chia hết cho ( x − 1)( x − 2) nên Q(2) = Mà P ( x) chia cho ( x − 1) số dư nên P (1) = P ( x) chia cho ( x − 2) số dư -4 nên P(2) = −4 +) Cho x = ta có Q(1) = P(1) + d + e − d + e = −2 +) Cho x = ta có Q(2) = P(2) + 2d + e − 2d + e = Khi ta có hệ phương trình d + e = −2 d = 11 2d + e = e = −13 Vậy d = 11; e = −13 thỏa mãn VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường (TS vào 10-Chuyên Hậu Giang 23-24) Tìm đa thức bậc hai f ( x) thỏa mãn f (1) = −2023 xf ( x − 2) = ( x − 4) f ( x), với x Lời giải f ( x ) đa thức bậc hai nên f ( x) = ax + bx + c Cho x = 0, ta có f (0) = nên x = nghiệm đa thức f ( x) c = Cho x = 4, ta có f (2) = nên x = nghiệm đa thức f ( x) 4a + 2b = (1) Câu f (1) = −2023 a + b = −2023 (2) 4a + 2b = a = 2023 Từ (1) (2) suy ra: a + b = −2023 b = −4046 Vậy đa thức f ( x) = 2023 x − 4046 x Câu (TS vào 10-Chuyên Lào Cai 23-24) Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần liên tiếp Tính xác suất cho tổng số chấm xuất mặt súc sắc hai lần gieo không lớn Lời giải Không gian mẫu = (1;1) , (1; ) , , (1;6 ) , ( 2;1) , ( 2; ) , , ( 2;6 ) , , ( 6;1) , ( 6; ) , , ( 6;6 ) n ( ) = 36 “ Đặt biến cố A : “ Tổng số chấm xuất mặt súc sắc hai lần gieo không lớn 6” A = (1;1) , (1; ) , , (1;5 ) , ( 2;1) , , ( 2; ) , ( 3;1) , ( 3; ) , ( 3;3 ) , ( 4;1) , ( 4; ) , ( 5;1) n ( A ) = 15 P ( A) = n ( A) n () = 15 = 36 12 Câu 10 (TS vào 10-Chuyên Phú Thọ 23-24) Bạn An viết lên bảng 11 số nguyên dương (không thiết phân biệt) có tổng 30 Chứng minh bạn An xố số cho số cịn lại bảng có tổng 10 Lời giải Gọi 11 số nguyên dương a1 ; a2 ; a3 ; ; a11 Ta có a1 + a2 + a3 + + a11 = 30 Xét dãy 11 số a1 ; a1 + a2 ; a1 + a2 + a3 ; ; a1 + a2 + a3 + + a11 Nếu dãy khơng có số chia hết cho 10 tồn hai số chia 10 có số dư Nên hiệu chia hết cho 10 Đặt hiệu A Với A tổng số số (với i1, 2,3, ,11 Ta có A 30 mà A 10 nên A10; 20 VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Nếu A = 10 toán chứng minh Nếu A = 20 mà a1 + a2 + a3 + + a11 = 30 suy số lại có tổng 10 Bài tốn chứng minh Nếu dãy số có số chia hết cho 10 Chứng minh tương tự tốn chứng minh Câu (TS vào 10-Chuyên Quảng Trị 23-24) Trên mặt phẳng có điểm tùy ý, khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn điểm đỉnh tứ giác lồi Lời giải Với cặp điểm M , N bất kì, điểm cịn lại nằm phía so với đường thẳng MN kẻ đoạn thẳng MN Các đoạn thẳng vừa kẻ tạo thành đa giác lồi Nếu đa giác lồi ngũ giác tứ giác ta có điều phải chứng minh Nếu đa giác lồi tam giác, ta gọi đỉnh A, B,C Kẻ đường thẳng qua điểm D, E lại Khi đó, đỉnh tam giác ABC, tồn điểm nằm phía so với đường thẳng DE , chẳng hạn A, B Ta A, B, D, E đỉnh tứ giác lồi Ta có điều phải chứng minh Câu (TS vào 10-Chuyên Quảng Ninh 23-24) Trên bảng cho 2023 số nguyên phân biệt, số có dạng a + b a, b số 2 nguyên Mỗi lần ta thực phép biến đổi sau: Xóa hai số tùy ý viết thêm số 2023 tích hai số vừa xóa Hỏi sau số lần biến đổi, bảng có số 26.3 hay khơng? Giải thích sao? Lời giải 2 2 2 Do đẳng thức x + y z + t = ( xz + yt ) + ( xt − yz ) nên sau lần biến đổi, số ( )( ) bảng ln có dạng a + b 2 Do a 0,1, (mod8) nên a + b 0,1, 2, 4,5 (mod8) 2023 Vì 26.3 Câu 26.3.91011 (mod8) nên số 26.32023 khơng có bảng (TS vào 10-Chun Lam Sơn Thanh Hóa 23-24) Cho tập hợp X = 1; 2; ;120 gồm 120 số nguyên dương đầu tiên, có 60 số VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường viết màu đỏ 60 số lại viết màu xanh Chứng minh tồn 40 số nguyên dương liên tiếp tập X 20 số viết màu đỏ 20 số viết màu xanh Lời giải Ta có: p − = ( p − 1)( p + 1)( p − p + 1)( p + p + 1) (*) Với p = 11 ta có p − = 1771560 = 23.32.5.7.19.37 Với p = 13 ta có p − = 23.32.7.61.157 Từ hai trường hợp trên, ta thấy n = 23.32.7 = 504 số nguyên dương lớn thõa mãn p − chai hết cho n, với p = 11, p = 13 Tiếp theo ta chứng minh n = 504 số nguyên dương lớn thõa mãn p − chia hết cho n , với số nguyên tố p 13 Vì p số nguyên tố lẻ nên ( p − 1)( p + 8) (vì tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8) Kết hợp (*), suy p − (1) Ta có: với số nguyên tố p p − = ( p − 1)( p + 1) (2) (vì lập phương số nguyên chia cho dư dư dư 6) Với số nguyên tố p 3, chia cho số dư + Nếu p chia có số dư có dạng p = 3m + Khi ( p − 1)( p + p + 1) = 3m(9m + 9m + 3) = 9m(3m + 3m + 1) + Nếu p chia cho có dư có dạng p = 3m + Khi ( p + 1)( p − p + 1) = (3m + 3)(9m + 9m + 3) = 9(m + 1)(3m + 3m + 1) Kết hợp (*), suy p − với số nguyên tố p (3) Mặt khác số 7,8,9 số nguyên dương đôi nguyên tố nhau, nên từ (1), (2) (3) suy p − 7.8.9 = 504 Vậy n = 504 số nguyên dương lớn cần tìm Câu (TS vào 10-Chuyên Tuyên Quang 23-24) Ban đầu, bảng có n số nguyên dương viết liên tiếp từ trái qua phải: 1, 2,3, , n − 1, n Ta thực trò chơi đồi số sau: Mỗi lượt chơi, lấy ba số đứng liền a, b, c đổi chỗ a với c thành c, b, a Hỏi sau hữu hạn lượt chơi ta thu dãy số ngược lại n, n − 1, , 2,1 hay không, nếu: a) n = ; b) n = 2024 Lời giải a) Với n = ta thực bước biến đổi sau: VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 5 5 Tổng hợp: Duy Tường b) Với n = 2024 : Ta thấy với cách đổi số lẻ ln vị trí lẻ cịn số chẵn ln vị trí chẵn Ban đầu số 2024 vị trí chẵn, khơng thể chuyển vị trí dãy số 2024, 2023, …, 2, Câu (TS vào 10-Chuyên Long An 23-24) Ơng Tuệ khóa két sắt mật mã có chữ số Ơng nhớ chữ số khơng có chữ số tổng chúng Hỏi ông Tuệ phải thử tối đa lần mật mã khác để chắn mở két sắt đó? Lời giải Chia thành tổ hợp số: (1;1;1;6 ) , ( 2; 2; 2;3) , (1;1; 2;5 ) , (1;1;3; ) , ( 2; 2;1; ) , ( 3;3;1; ) Có cách để thử tổ hợp số (1;1;1;6 ) , ( 2; 2; 2;3) Có 12 cách để thử tổ hợp số (1;1; 2;5 ) , (1;1;3; ) , ( 2; 2;1; ) , ( 3;3;1; ) Vậy ông Tuệ phải thực tối đa 2.4 + 4.12 = 56 lần Câu (TS vào 10-Chuyên Bình Thuận 23-24) Chia bảng vng có cạnh 23 cm thành vng có cạnh 1cm Ban đầu, tất ô vuông điền dấu "+" Sau đó, người ta thực đổi dấu (mỗi lần đổi dấu chuyển "+" thành "-", "-" thành "+") ô vng dịng cột bảng theo qui tắc sau: - Tất dịng thứ i đổi dấu i lần (i i 23) - Tất ô cột thứ j đổi dấu j + lần ( j j 23) Hỏi sau thực tất thao tác đổi dấu, bảng dấu "+"? Lời giải * Theo cách chia ta có bảng vng 23x23; có 12 dịng mà i lẻ; 11 dòng mà i chẵn 12 cột mà j lẻ; 11 cột mà j chẵn * Theo quy tắc đổi dấu vng vị trí i j (dòng thứ i cột thứ j ) phải đổi dấu i + ( j + 1) = i + j + lần * Do ( i + j + 1) − ( i + j ) = j + số lẻ nên hai số ( i + j + 1) ; ( i + j ) tính chẵn lẻ Do vng vị trí mà ( i + j ) lẻ đổi dấu số chẵn lần (do i + j + chẵn), nên ô sau đổi dấu mang dấu (+); cịn vng vị trí mà ( i + j ) chẵn đổi dấu số lẻ lần (do i + j + lẻ), nên ô sau đổi dấu mang dấu (-) *Ta có 11 12 + 12 11 = 264 ô vuông mà ( i + j ) lẻ, tức sau đổi dấu theo quy tắc trên bảng lại 264 dấu (+) Câu (TS vào 10-Chuyên Vĩnh Phúc 23-24) Sau tổ chức trận đấu giao hữu hai đội bóng lớp 9A 9B , ban tổ chức có 11 gói kẹo muốn chia cho hai đội Mỗi đội chia gói làm phần thưởng gói ban tổ chức giữ lại để liên hoan Biết dù chọn gói để giữ lại, ban tổ chức ln chia 10 gói cịn lại VÀO 10 CHUN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường cho đội mà tổng số viên kẹo gói cho đội Chứng minh 11 gói kẹo phải có số viên kẹo Lời giải Gọi a1 , a2 , , a11 số kẹo 11 gói Đặt S = a1 + a2 + + a11 Giả sử tồn k , l 11 mà ak al Theo ta suy S − a1 , S − a2 , , S − a11 số chẵn a1 , a2 , , a11 chẵn lẻ Ta thực trình sau: a a a + Nếu a1 , a2 , , a11 chẵn ta thu ( b1 , b2 , , b11 ) = , , , 11 2 a −2 a − a2 − + Nếu a1 , a2 , , a11 lẻ ta thu ( b1 , b2 , , b11 ) = , , , 11 2 Ta thấy 11 gói kẹo với số kẹo b1 , b2 , , b11 thỏa mãn đề Tiếp tục đến thu ( x1 , x2 , , x11 ) mà tồn j , i 11 cho x j = 0; xi = Mà ( x1 , x2 , , x11 ) thỏa mãn điều kiện đề Nên x1 , x2 , , x11 tính chẵn lẻ (mâu thuẫn) Điều giả sử sai Vậy a1 = a2 = = a11 Câu (TS vào 10-Chuyên Yên Bái 23-24) Cho đa giác có 23 đỉnh Tơ màu đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn ba đỉnh đa giác tô màu tạo thành tam giác cân Lời giải A1 A23 A2 A3 A13 Gọi đa giác 23 đỉnh A1 A2 A23 Vì đa giác có 23 đỉnh số lẻ nên tồn đỉnh cạnh tô màu, giả sử A1 , A2 Không tính tổng quát giả sử A1 , A2 tô mà xanh + Nếu A13 tô màu xanh, ta tam giác A1 A2 A13 cân A13 tô màu xanh VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường + Nếu A3 tô màu xanh, ta tam giác A1 A2 A3 cân A2 tô màu xanh + Nếu A23 tô màu xanh, ta tam giác A1 A2 A23 cân A1 tô màu xanh + Nếu A3 ; A13 ; A23 không tô màu xanh, ta tam giác A13 A23 A3 cân A13 tô màu đỏ Vậy tồn ba đỉnh đa giác tô màu tạo thành tam giác cân Câu (TS vào 10-Chuyên ĐHSP Hà Nội 23-24) Có hay khơng số ngun a, b cho (a + b 2023) = 2024 + 2023 2023 ? Lời giải Giả sử tồn a, b số nguyên thỏa mãn (a + b 2023) = 2024 + 2023 2023 Từ ta suy a + 2023b + 2ab 2023 = 2024 + 2023 2023 Khi ta ( 2ab − 2023) 2023 = 2024 − a − 2023b2 Vì a, b số nguyên nên 2ab − 2023 Từ ta có 2023 = 2024 − a − 2023b Điều 2ab − 2023 2024 − a − 2023b số hữu tỷ Vậy câu trả lời không tồn 2ab − 2023 số nguyên a, b cho (a + b 2023) = 2024 + 2023 2023 Câu 10 (TS vào 10-Chuyên ĐHSP Hà Nội 23-24) Trên bảng ta viết đa thức P ( x ) = ax + bx + c ( a ) vơ lý, 2023 số vô tỷ P ( x + 1) + P ( x − 1) xóa đa thức P ( x ) P ( x + 1) + P1 ( x − 1) Ta viết lên bảng đa thức P2 ( x ) = xóa đa thức P1 ( x ) Ta tiếp tục làm nhiều lần Chứng minh làm nhiều lần đến lúc ta nhận đa thức khơng có nghiệm Lời giải Bằng phép biến đổi ta có đẳng thức sau P ( x + 1) + P ( x − 1) P1 ( x ) = = ax + bx + c + a P1 ( x + 1) + P1 ( x − 1) P2 ( x ) = = ax + bx + c + 2a Tương tự phép quy nạp, ta có Pn ( x ) = ax + bx + c + na, n + Ta viết lên bảng đa thức P1 ( x ) = Lúc này, ta có Δ Pn = b − 4a ( c + na ) = b − 4ac − 4na ( ) Xét số nguyên dương n thỏa mãn n thức Pn ( x ) nghiệm b − 4ac b − 4ac (vì khơng đổi) Δ Pn Khi đa 4a 4a Câu 11 (TS vào 10-Chuyên Năng Khiếu ĐHQG TPHCM 23-24) Cho bảng tô ô đen trắng cho: i) hàng có số đen nhau; ii) cột có số đen đơi khác VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường a) Tìm số đen hàng b) Một cặp ô gọi “tốt” có đen trắng đứng cạnh Tìm số cặp tốt nhiều tính theo hàng; số cặp tốt nhiều tính theo cột Lời giải a) Cách 1: Gọi x số ô đen hàng Khi tổng số đen bảng 4x Do số ô đen cột đôi khác nên số lượng ô đen cột lân lượt bốn năm số 0,1, 2,3, Mà tổng số ô đen 4x , chia hết cho Còn tổng + + + + = 22 chia dư nên tổng phải khơng có số Khi đó: x = + + + x = Cách 2: Vì cột có số đen đơi khác nên tổng số ô đen bảng phải lớn + + + = nhỏ + + + = 10 Mà hàng có số đen nên tổng số ô đen bảng phải chia hết cho Do tổng số đen bảng Suy số ô đen hàng b) = + + + Số ô đen cột , , , Xét số cặp tốt nhiều tính theo cột: - Trong cột chứa đen ln có cặp tốt - Trong cột chứa ô đen có cặp tốt - Trong cột chứa đen ln có cặp tốt - Trong cột chứa đen ln có cặp tốt Vậy có tối đa cặp tốt tính theo cột Một ví dụ cụ thể là: Xét số cặp tốt tính theo hàng: - Mỗi hàng chứa ô đen Và hàng 1 có đen chứa tối đa cặp tốt phải cấu hình sau: - Như số cặp tốt nhiều tính theo hàng bảng = 12 Giả sử tồn cấu hình A có 12 cặp tốt tính theo hàng thỏa yêu cầu Như hàng phải có cấu hình cấu hình Và có cột chứa nên cấu hình A Tuy nhiên cấu hình khơng thỏa u cầu đề Do bảng có tối đa 11 cặp tốt theo hàng Ví dụ: VÀO 10 CHUYÊN CÁC TỈNH NĂM 2023-2024 Tổng hợp: Duy Tường Câu 12 (TS vào 10-Chuyên Năng Khiếu ĐHQG TPHCM 23-24) Cho m , n số nguyên không âm thỏa mãn m − n = Đặt a = n − m a) Chứng minh a số lẻ b) Giả sử a = 2k + , k số nguyên không âm Chứng minh k = Lời giải a) Chứng minh a số lẻ Vì m − n = số lẻ nên m , n khác tính chẵn lẻ Do a = n − m số lẻ b) Giả sử a = 2k + , k số nguyên không âm Chứng minh k = Ta có: a − = n − m − m + n = ( n − m )( n + m + 1) 2k = ( n − m )( n + m + 1) Vì n − m lẻ nên n + m + 2k , ta xét trường hợp sau: 17 (L) m = - Nếu n + m + = k n − m = , kết hợp với m − n = , ta m − n − = m = −1 Do m = (do m ) Từ suy n = m + = + = 2k = n + m + = + + = k = Vậy k = - Nếu n + m + = 2k n − m = , kết hợp với m − n = , ta được: m − n − = m = Câu 13 (TS vào 10-Chuyên ĐHSP Vinh 23-24) Cho đa thức P ( x ) = x + bx + c có hai nghiệm nguyên Biết c 16 P ( ) số nguyên tố Tìm hệ số b, c Lời giải Gọi hai nghiệm nguyên P ( x ) = x + bx + c u , v Theo định lý Vi − et ta u + v = −b, uv = c Vì P ( ) số nguyên tố nên ( − u )( − v ) số nguyên tố dẫn đến − u = − v = Khơng tính tổng qt, ta giả sử − u = u 8;10 Trường họpp u = 10 , c 16 , nên v 0;1 v −1;0;1 Mặt khác − = 8,9 − = 9,9 + = 10 không số nguyên tố nên trường hợp loại Trường họpp u = , c 16 , nên v Mà v phải số chẵn nên từ suy v −2; 2 Thử lại hai giá trị thỏa mãn ta nhận giá trị b, c tương ứng −10,16 −6, −16 Vậy tất cặp ( b, c ) thỏa mãn ( b, c ) ( −10,16 ) ; ( −6, −16 )