Khảo sát thể hóa học của khí lượng tử lý tưởng đa chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THÙY UN KHẢO SÁT THẾ HĨA HỌC CỦA KHÍ LƯỢNG TỬ LÝ TƯỞNG ĐA CHIỀU LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THÙY UN KHẢO SÁT THẾ HĨA HỌC CỦA KHÍ LƯỢNG TỬ LÝ TƯỞNG ĐA CHIỀU NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ MÃ NGÀNH: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021 TP Hồ Chí Minh, ngày 13 tháng 05 năm 2021 Xác nhận Giảng viên hướng dẫn Phạm Nguyễn Thành Vinh TP Hồ Chí Minh, ngày 13 tháng 05 năm 2021 Xác nhận Chủ tịch Hội đồng Lý Duy Nhất Lời cảm ơn Trong suốt trình học tập nghiên cứu Khoa Vật Lý – Đại học Sư Phạm TP.HCM, xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình ln sát cánh từ bạn bè, Thầy Cơ Gia đình Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến  Các thành viên gia đình ln quan tâm làm hậu phương vững chắc, quan tâm ủng hộ mặt tinh thần, tạo thành nguồn động lực to lớn để tơi ln phấn đầu q trình học tập, thi q trình thực khóa luận  Thầy hướng dẫn khoa học PGS.TS Phạm Nguyễn Thành Vinh ln hỗ trợ nhiệt tình dẫn dắt từ bước đầu theo đuổi thực nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, thầy cịn giúp đỡ rèn luyện tinh thần cứng rắn, tư học thuật chuyên sâu thái độ làm việc nghiêm túc để tơi hồn thiện thân đặc biệt hồn thành luận văn  Cơ ThS Trương Đặng Hoài Thu tận tâm cố vấn giúp đỡ tơi hồn thiện kỹ tư học tập bền bỉ suốt q trình tơi tham gia học tập nghiên cứu trường  Các Thầy, Cô giảng viên Khoa Vật Lý – Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM tâm huyết truyền dạy cho em ngồi kiến thức chun mơn cịn rèn luyện cho em đức tính phong cách người giáo viên  Nhóm nghiên cứu AMO – Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM, đặc biệt anh Trần Dương Anh Tài, chị Lê Ngọc Uyên, em Lê Bỉnh Hiếu, em Nguyễn Ngọc Giàu hết lòng giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Bên cạnh đó, tơi chân thành cảm ơn chị Qch Ái Mi, bạn Nguyễn Hồng Hạnh, bạn Lương Hoàng Sang, em Hoàng Tuấn Đức, em Trần Nguyên Thắng, em Trần Thị Hạnh, em Nguyễn Lê Anh Tuấn bên cạnh, quan tâm động viên suốt trình học tập nghiên cứu trường TP.HCM, ngày 28 tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thùy Uyên Mục lục Danh sách hình vẽ i MỞ ĐẦU Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Phân bố khí lượng tử lý tưởng 1.1.1 Mức lượng lượng tử 1.1.2 Mật độ trạng thái lượng 1.2 Thế hóa học 1.2.1 Định nghĩa cổ điển hóa học 1.2.2 Định nghĩa thống kê hóa học 10 1.2.2.1 Nhiệt độ rút gọn 11 1.2.2.2 Hàm Fugacity 11 1.2.2.3 Thế hóa học rút gọn 12 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH 13 2.1 Phương pháp tính vùng nhiệt độ cao 13 2.2 Phương pháp tính vùng nhiệt độ thấp 19 2.2.1 Khối khí Fermi không gian chiều chiều 19 2.2.2 Khối khí Fermi Boson không gian chiều 22 2.2.3 Khối khí Boson khơng gian chiều 24 2.2.4 Khối khí Boson không gian chiều 27 Chương 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 31 3.1 Thế hóa học Fermion không gian chiều 31 3.2 Thế hóa học Fermion khơng gian chiều 33 3.3 Thế hóa học Fermion không gian chiều 34 3.4 Thế hóa học Boson khơng gian chiều 35 3.5 Thế hóa học Boson khơng gian chiều 37 3.6 Thế hóa học Boson không gian chiều 38 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Danh sách hình vẽ Hình Thế hóa học Fermi khơng gian chiều 32 Hình Thế hóa học Fermi không gian chiều 33 Hình Thế hóa học Fermi không gian chiều 35 Hình Thế hóa học Boson khơng gian chiều 36 Hình Thế hóa học Boson khơng gian chiều 37 Hình Thế hóa học Boson không gian chiều 39 i MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Từ kỉ thứ 18, vật lý thống kê giới thiệu từ mơ hình chất khí bao gồm lượng lớn hạt nhỏ chuyển động không ngừng Daniel Bernoulli [1] Từ đó, lý thuyết động học phân tử chất khí ơng đề xuất trở thành móng sơ khai cho vật lý thống kê đại Mơ hình áp dụng định luật học cho hạt vi mơ, sở đó, tính thống kê sử dụng để nghiên cứu thông số vĩ mô hệ mở rộng cho hệ lớn (hệ vĩ mô) Cho đến nay, vật lý thống kê thu hút nhiều quan tâm nhà vật lý lĩnh vực vật lý khác Kể từ sau tiên đoán Bose Eintein vào năm 1925 ngưng tụ hạ nhiệt độ hệ khí Bose đến nhiệt độ cực thấp định, với thành công việc quan sát tượng ngưng tụ Bose – Einstein phịng thí nghiệm vào năm 1995 [2], nghiên cứu hệ khí siêu lạnh (ultracold atom) dần quan tâm nhiều Tiếp theo đó, năm 2002, nhóm nghiên cứu chứng minh tương tác khí Fermion giam chúng bẫy quang học có nhiệt độ cực thấp tác động điện trường cực mạnh [3] Như vậy, việc nghiên cứu lý thuyết hàm nhiệt động lực học hệ khí lượng tử lý tưởng bước đầu tạo sở tảng, giả thuyết kiểm chứng cho việc thiết kế thí nghiệm thích hợp để rút kết vật lý cuối Tuy nhiên, việc tìm kết hàm nhiệt động lực học nói trên, đặc biệt khơng gian nhiều chiều, cịn q trình hồn thiện Cuối năm 1973, Ebner Fu đưa hàm nhiệt động lực học không gian chiều chiều khí Fermion, nhiên hàm nhiệt động không gian chiều hay khí Boson khơng đề cập đến [4] Mặt khác, đa phần hệ khí xét đến hệ cô lập (tổng số hạt hệ số) nên hàm hóa học đặc trưng cho thay đổi nhiệt lượng hệ ta thay đổi số hạt bên chưa khai thác toàn diện Năm 1995, Cook Dickerson đưa lời giải thích cho thay đổi hóa học phụ thuộc vào nhiệt độ rút gọn chứng minh biểu thức hóa học khí lý tưởng [5] Mặc dù có lập luận phân tích hàm hóa học khí lượng tử lý tưởng, biểu thức giải tích mơ tả tính chất vật lý liên quan đến hệ khí nói khơng gian nhiều chiều cịn thiếu Trong cơng trình vào năm 2019, Cowan đưa biểu thức gần hàm hóa học khơng gian 1, 2, chiều cho hệ khí lượng tử lý tưởng Boson, Fermion, khí cổ điển [6] Tuy nhiên việc đánh giá giới hạn áp dụng biểu thức giải tích chưa đề cập Với đánh giá trên, thực đề tài “Khảo sát hóa học khí lượng tử lý tưởng đa chiều” với mục đích cung cấp chi tiết quy trình tính giải tích biểu thức hàm hóa học khơng gian nhiều chiều hệ khí lượng tử lý tưởng – Boson, Fermion, khí cổ điển Đồng thời, chúng tơi tiến hành giải số so sánh với kết giải tích nhằm tạo sở đánh giá phạm vi áp dụng biểu thức Các kết thu từ luận văn hy vọng góp phần vào nguồn tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Vật Lý Mục tiêu luận văn Trình bày quy trình thu đánh giá mức độ áp dụng cơng thức giải tích mô tả phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối hóa học khí lượng tử lý tưởng không gian nhiều chiều Phương pháp nghiên cứu Phương pháp giải tích: thực khai triển hàm tốn học lấy gần để đưa hàm giải tích tường minh hóa học theo nhiệt độ rút gọn Phương pháp giải số: sử dụng ngơn ngữ lập trình FORTRAN để giải hàm Polylog Riemann Zeta Từ đó, kết sử dụng để so sánh với kết giải tích đánh giá phạm vi áp dụng chúng Nội dung nghiên cứu  Tìm hiểu ý nghĩa hóa học xây dựng biểu thức giải tích gần khí lượng tử lý tưởng khơng gian nhiều chiều  Nghiên cứu vận dụng công thức tích phân vơ hạn, khai triển Taylor phương pháp tính gần Sommerfeld áp dụng để tính tốn biểu thức giải tích hàm hóa học  Thực lập trình tính tốn giải số tính tốn hóa học chiều khơng gian  So sánh kết giải số kết giải tích tính  Đánh giá phạm vi áp dụng biểu thức giải tích Đối tượng nghiên cứu Trong luận văn này, hóa học khí lượng tử lý tưởng miền không gian chiều, hai chiều ba chiều khảo sát Nội dung luận văn  Chương 1: Cở sở lý thuyết Trình bày tính chất phân bố hệ khí lượng tử lý tưởng vùng không gian chiều, chiều chiều Đồng thời tìm hiểu hóa học theo quan niệm cổ điển quan điểm thống kê để rút tính chất đặc trưng hàm 2.2.4 Khối khí Boson khơng gian chiều Từ công thức nhiệt độ rút gọn (16) áp dụng miền không gian chiều  d  3 ta thu 3     Li3/2  z     2/3 (80) Từ ta xác định giá trị nhiệt độ Bose hàm Fugacity z  áp dụng tính chất hàm PolyLog lúc Lis 1    s  suy     B         2/3 (81) Theo định nghĩa hàm Fugacity (15), ta biết z có giá trị khoảng  0;1 Vì thế, nhiệt độ rút gọn  theo phương trình (80) xác định    B Vậy vùng nhiệt độ thấp nhiệt độ Bose    B , hàm Fugacity z  1, hóa học   nhiệt độ tăng đến lớn nhiệt độ Bose z bắt đầu giảm xuống từ Điều cho thấy, biến đổi có ý nghĩa với vùng nhiệt độ lớn nhiệt độ Bose    B Boson không gian chiều Khai triển cho vùng nhiệt độ cực thấp (gần khơng độ tuyệt đối) đại lượng 1  z  bé, biểu thức nhiệt độ rút gọn  biểu diễn sau 2/3 5/3     8.21/3  1/6   1/2          1  z  2/3 3.3   2   1 3     10       4.21/3        z   2/3 1/3    8/3 9.3  3   2 27 (82) Kết hợp với phương trình (81), thực biến đổi phương trình (82) ta  1 3  3       10    B  1/2 2  2   z   1 z      B 3   3   9   2 2 (83) Phương trình viết lại dạng   B 1/2  a1 1  z   a2 1  z   B (84)  , 3 3   2  1 3  3       10  2 2  a2   3 9   2 (85) với hệ số a1 a2 a1  Thực kỹ thuật đổi biến phần tính tốn cho vùng nhiệt độ cao, ta viết lại phương trình 1  z  theo    B  /  B ta 1  z  1/2    B     B   A1    A2     B   B  (86) Các hệ số A1 A2 xác định từ việc đồng thức thay (86) vào (84) xác định theo a1 a2 từ phương trình (29) 28 3 3   A1    ,  3 3     1 3 A2   3/2 3       10  64       (87) Từ phương trình (86), ta suy biểu thức    B     B  1 z  A    A1 A2        B   B  (88) Kết hợp (87) (88), biểu thức hàm Fugacity khí Bose vùng khơng gian chiều miền nhiệt độ thấp xác định 3 3 9   9       B      B  2  1 3   z     3       10        16   B  64        B  (89) Vì xét hệ khí Bose miền nhiệt độ    B , nên hóa học rút gọn tính theo biểu thức  B *       B  ln z     B ln z   (90) Sử dụng biểu thức hàm Fugacity (89) thực khai triển ln z   biểu thức (37) bỏ số hạng bậc cao   ta 3 9       B   ln z       16   B  3 9       B  2  1 3   3       10     64       B  29 (91) Vậy biểu thức hàm hóa học rút gọn hệ Boson vùng không gian chiều miền nhiệt độ thấp  B *     B 3 9        B     B   16  B  3 27   2  64 (92)  1 3     B            B        2   B  30  B Chương 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Sau khí tính tốn biểu thức giải tích hàm hóa học vùng không gian, tiến hành giải số xác phương trình (18) chương trình FORTRAN để thu kết kiểm chứng tính xác biểu thức giải thích, đồng thời đánh giá phạm vi áp dụng biểu thức Trong báo cáo này, sử dụng sai số tương đối để đánh giá trùng khớp kết giải tích so với kết sai số xác, công thức sai số tương đối cho sau  agiaiso  agiaitich agiaiso , (93) agiaiso , agiaitich kết giải số xác kết giải tích gần 3.1 Thế hóa học Fermion khơng gian chiều Từ phương trình (18), thay d  ta phương trình hóa học rút gọn Fermion không gian chiều      1 F1 *     ln  Li1/2    1/2  , (94)  Biểu thức khai triển hàm hóa học Fermion khơng gian chiều trình bày (42) thay a  vào (60)  F *     2 12   4 36 Low-temp    1/2    ln     a  1/2      (95)  4 3 94 3 a a  1/2  3/2 3 3 31 High-temp Dưới đồ thị so sánh kết giải số từ phương trình (94) kết biểu thức giải tích từ (95) Hình Hình bên trái mơ tả phụ thuộc hóa học khí Fermi lý tưởng không gian chiều vào nhiệt độ rút gọn Hình bên phải mơ tả sai số tương đối kết giải số xác kết giải tích gần Đường màu đen nét liền mơ tả kết giải số xác Đường họa tiết ô vuông màu đỏ thể kết gần vùng nhiệt độ cao Đường họa tiết tròn màu xanh thể kết vùng nhiệt độ thấp Từ kết ta thấy rằng, hàm giải tích cho kết trùng khớp tốt với kết giải số xác Do đó, hàm giải tích cho vùng nhiệt độ thấp dùng khoảng   0.4  hàm giải tích cho vùng nhiệt độ cao áp dụng từ khoảng   0.5 trở Bên cạnh đó, vùng nhiệt độ  0.4    0.5  , hai hàm giải tích cho sai số 10% (số chấp nhận được) Điều chứng tỏ cơng thức giải tích chúng tơi đưa tính gần tồn vùng nhiệt độ hóa học khí Fermi lý tưởng vùng không gian chiều 32 3.2 Thế hóa học Fermion khơng gian chiều Từ phương trình (18), thay d  ta phương trình hóa học rút gọn Fermion không gian chiều     F *     ln   Li11         (96) Biểu thức khai triển hàm hóa học Fermion khơng gian chiều trình bày (43) thay a  vào (68) 1 3     24 2880 1   e2/  e3/     F *     ln         e1/  Low-temp (97) High-temp Dưới đồ thị so sánh kết giải số từ phương trình (96) kết biểu thức giải tích từ (97) Hình Hình bên trái mơ tả phụ thuộc hóa học khí Fermi lý tưởng khơng gian chiều vào nhiệt độ rút gọn Hình bên phải mô tả sai số tương đối kết giải số xác kết giải tích gần Đường màu đen nét liền mô tả kết giải số xác Đường họa tiết vng màu đỏ thể kết gần vùng nhiệt độ cao Đường họa tiết tròn màu xanh thể kết vùng nhiệt độ thấp 33 Từ kết ta thấy rằng, vùng nhiệt độ thấp   0.5 , hàm giải tích cho kết trùng khớp hoàn toàn kết giải số xác, điều dự đốn trước vận dụng tính chất hàm PolyLog d  nên làm gần lần Bên cạnh đó, hàm giải tích cho vùng nhiệt độ cao cho sai số chấp nhận khớp tốt nhiệt độ lớn, nhiên vùng xung quanh   1.5 cịn sai số lớn 3.3 Thế hóa học Fermion khơng gian chiều Từ phương trình (18), thay d  ta phương trình hóa học rút gọn Fermion không gian chiều      1 F *     ln  Li3/2    3/2   (98) Biểu thức khai triển hàm hóa học Fermion khơng gian chiều trình bày (44) thay a  vào (61)  F *     2 12   4 80 Low-temp    3/2  1/2   ln     3       16  27 2 15  16  18 7/2     81 243 3/2 High-temp (99) Dưới đồ thị so sánh kết giải số từ phương trình (98) kết biểu thức giải tích từ (99) 34 Hình Hình bên trái mơ tả phụ thuộc hóa học khí Fermi lý tưởng không gian chiều vào nhiệt độ rút gọn Hình bên phải mơ tả sai số tương đối kết giải số xác kết giải tích gần Đường màu đen nét liền mơ tả kết giải số xác Đường họa tiết ô vuông màu đỏ thể kết gần vùng nhiệt độ cao Đường họa tiết tròn màu xanh thể kết vùng nhiệt độ thấp Từ kết ta thấy rằng, hàm giải tích miền nhiệt độ cho kết trùng khớp tốt với kết giải số xác, với sai số tồn vùng không gian 8% Điều chứng tỏ cơng thức giải tích chúng tơi đưa hồn tồn tính gần tồn vùng nhiệt độ hóa học khí Fermi lý tưởng vùng không gian chiều với độ xác cao 3.4 Thế hóa học Boson khơng gian chiều Từ phương trình (18), thay d  ta phương trình hóa học rút gọn Boson không gian chiều      1 B1 *     ln  Li1/2    1/2    (100) Biểu thức khai triển hàm hóa học Boson khơng gian chiều trình bày (42) thay a  1 vào (79) 35  B1 *     2  5/2   5/2 3            2 2 16 2  7/2       7/2       2     16   2     1/2    ln      1/2       Low-temp (101)   4   1/2    3 3 3/2 High-temp Dưới đồ thị so sánh kết giải số từ phương trình (100) kết biểu thức giải tích từ (101) Hình Hình bên trái mơ tả phụ thuộc hóa học khí Bose lý tưởng khơng gian chiều vào nhiệt độ rút gọn Hình bên phải mô tả sai số tương đối kết giải số xác kết giải tích gần Đường màu đen nét liền mô tả kết giải số xác Đường họa tiết vng màu đỏ thể kết gần vùng nhiệt độ cao Đường họa tiết tròn màu xanh thể kết vùng nhiệt độ thấp Từ kết ta thấy rằng, hàm giải tích vùng nhiệt độ cao cho kết trùng khớp (sai số 10%) với kết giải số xác từ   0.7 trở Tuy nhiên, phương pháp giải tích phân Bose – Einstein để tính tốn hóa học vùng nhiệt độ thấp chưa mang lại tính xác cao nên cho sai số lớn vùng nhiệt độ Vì vậy, biểu thức giải tích hóa học khí Bose lý tưởng 36 khơng gian chiều dùng vùng nhiệt độ cao cải thiện phương pháp để giải vấn đề sai số lớn vùng nhiệt độ thấp 3.5 Thế hóa học Boson không gian chiều Từ phương trình (18), thay d  ta phương trình hóa học rút gọn Boson khơng gian chiều     B *     ln  Li11        (102) Biểu thức khai triển hàm hóa học Boson khơng gian chiều trình bày (43) thay a  1 vào (70)   1    B *      e1/  e2/  e3/  e4/   1 3   ln     1    24 2880 Low-temp (103) High-temp Dưới đồ thị so sánh kết giải số từ phương trình (102) kết biểu thức giải tích từ (103) Hình Hình bên trái mơ tả phụ thuộc hóa học khí Bose lý tưởng khơng gian chiều vào nhiệt độ rút gọn Hình bên phải mô tả sai số tương đối kết giải số xác kết giải tích gần Đường màu đen nét liền mô tả kết giải số xác Đường họa tiết vng màu đỏ thể kết gần 37 vùng nhiệt độ cao Đường họa tiết tròn màu xanh thể kết vùng nhiệt độ thấp Từ kết ta thấy rằng, hàm giải tích vùng nhiệt độ thấp khớp tốt với kết giải số xác, điều dựa việc áp dụng tính chất hàm PolyLog d  cần khai triển gần lần mối liên hệ với hóa học Fermion lý tưởng khơng gian chiều Bên cạnh đó, hàm giải tích vùng nhiệt độ cao cho kết sai số 6% khoảng từ   0.6 Vì vậy, biểu thức giải tích hóa học khí Bose lý tưởng khơng gian chiều dùng để xác định toàn miền nhiệt độ 3.6 Thế hóa học Boson khơng gian chiều Từ phương trình (18), thay d  ta phương trình hóa học rút gọn Boson không gian chiều  B *     B  3/2   1    ln   Li3/2      B      (104) Biểu thức khai triển hàm hóa học Boson khơng gian chiều trình bày (44) thay a  1 vào (92)  B *     B 3 9       B    B   16  B  Low-temp 3 27       B  2  1 3          2  B       B 64        B  1/2  3/2    ln   a   3     15  16  18 16  27 2 a  a  7/2  3/2 81 243 High-temp (105) 38 Dưới đồ thị so sánh kết giải số từ phương trình (104) kết biểu thức giải tích từ (105) Hình Hình bên trái mơ tả phụ thuộc hóa học khí Bose lý tưởng khơng gian chiều vào nhiệt độ rút gọn Hình bên phải mơ tả sai số tương đối kết giải số xác kết giải tích gần Đường màu đen nét liền mơ tả kết giải số xác Đường họa tiết ô vuông màu đỏ thể kết gần vùng nhiệt độ cao Đường họa tiết tròn màu xanh thể kết vùng nhiệt độ thấp Từ kết ta thấy rằng, hàm giải tích vùng nhiệt độ thấp (trong khoảng    B  0.44 ) khớp tốt với kết giải số xác (đối với hình bên trái) Tuy nhiên hình bên phải đề cập đến sai số hai kết cho thấy sai số nằm mức cao nhất, điều giải thích theo cơng thức tính sai số (93), kết giải số xác xấp xỉ gần khơng nên phép tìm sai số  cho kết lớn Bên cạnh đó, hàm giải tích vùng nhiệt độ cao   0.5  cho kết sai số thấp tiệm cận nhiệt độ cao Ta kết luận, biểu thức giải tích hóa học khí Bose lý tưởng khơng gian chiều chúng tơi đưa hồn tồn tính gần tồn vùng nhiệt độ hóa học khí Bose lý tưởng vùng khơng gian chiều với độ xác cao 39 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Như vậy, đề tài này, đạt số kết sau:  Chúng tơi đưa cơng thức giải tích gần mơ tả phụ thuộc hóa học khí lượng tử lý tưởng vùng khơng gian chiều, hai chiều ba chiều vào nhiệt độ tuyệt đối  Đánh giá phạm vi áp dụng cơng thức giải tích thơng qua so sánh với kết giải số Các kết giải tích mơ tả tốt phụ thuộc hóa học vào nhiệt độ tuyệt đối miền không gian Tuy nhiên, vùng nhiệt độ thấp hệ khí Boson kết giải tích cịn chưa tốt, phương pháp sử dụng để giải tích phân Bose – Einstein chưa phù hợp để có kết khớp với kết giải số, cơng trình tới khắc phục hạn chế Các kết tính tốn báo cáo tạo sở cho việc mở rộng nghiên cứu hàm nhiệt động lực học khác hệ khí lượng tử lý tưởng vùng khơng gian hàm tổng lượng, hàm entropy đặc trưng cho chuyển pha, nhiệt dung riêng hệ để quan sát lượng lượng trao đổi hệ thay đổi nhiệt độ… Điều đóng góp cho q trình nghiên cứu hệ nguyên tử siêu lạnh, đồng thời tạo nguồn tham khảo giúp bạn sinh viên chun ngành Vật Lý tìm hiểu tính chất hệ khí nhiệt độ thấp q trình biến đổi giải tích hàm nhiệt động lực học phân tích tính chất 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Flamm, D (1998) History and outlook of statistical physics arXiv preprint physics/9803005 [2] Anderson, M H., Ensher, J R., Matthews, M R., Wieman, C E., Cornell, E A (1995) Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor Science, 269(5221), 198-201 [3] O'hara, K M., Hemmer, S L., Gehm, M E., Granade, S R., & Thomas, J E (2002) Observation of a strongly interacting degenerate Fermi gas of atoms Science, 298(5601), 2179-2182 [4] Ebner, C., & Fu, H H (1974) Thermodynamic functions of ideal two-and three-dimensional Fermi gases Journal of Low Temperature Physics, 16(1-2), 43-50 [5] Cook, G., & Dickerson, R H (1995) Understanding the chemical potential American Journal of Physics, 63(8), 737-742 [6] Cowan, B (2019) On the Chemical Potential of Ideal Fermi and Bose Gases Journal of Low Temperature Physics, 197(5-6), 412-444 [7] Cowan, B (2005) Topics in statistical mechanics (Vol 3) World Scientific Publishing Company 41