Hình học hyperbolic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN-TIN HỌC ———————o0o——————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP HÌNH HỌC HYPERBOLIC Chuyên ngành: Hình học Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN HÀ THANH Sinh viên: VÕ TRỌNG NGHĨA Mã số sinh viên: 44.01.101.097 TP.HCM, tháng năm 2022 Khóa luận tốt nghiệp Hình học Hyperbolic a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d e d TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH e e d KHOA TOÁN-TIN HỌC e d d e ———————o0o——————– d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e d e KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP d e d e d e e d e d HÌNH HỌC HYPERBOLIC d e d e d e d e d e Chuyên ngành: Hình học d e d e d e d e d e d e Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN HÀ THANH d e d e d e d e Sinh viên: VÕ TRỌNG NGHĨA d e d e d e Mã số sinh viên: 44.01.101.097 d e d e d e d e TP.HCM, tháng năm 2022 d e d e d e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh SVTH: Võ Trọng Nghĩa Mục lục Lời nói đầu 0.1 Lí chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 0.3 Phạm vi nghiên cứu 0.4 Phương pháp nghiên cứu Hình học Hyperbolic: Mơ hình 1.1 Hình học Hyperbolic 1.2 Sự tồn đường thẳng 1.3 Ảnh qua phép nghịch đảo Các 2.1 2.2 2.3 đĩa Poincaré 16 20 phép biến đổi Hyperbolic Phép biến đổi Hyperbolic phộp bin i Măobius Phép quay phép tịnh tiến Dạng tắc phép biến đổi Hyperbolic Khoảng cách hình học Hyperbolic 3.1 Cơng thức khoảng cách 3.2 Trung điểm Hyperbolic 3.3 Đường tròn Hyperbolic 3.4 Điểm đối xứng Hình học Hyperbolic 3.5 Một số kết Các 4.1 4.2 4.3 4.4 5 6 khái niệm hình học Hình tam giác Đoạn thẳng vng góc chung Tam giác vuông Đường cong cách đường d 22 22 26 28 31 31 35 36 38 39 41 41 49 54 60 Khóa luận tốt nghiệp Hình học Hyperbolic Phụ lục 1: Diện tích 65 5.1 Diện tích tam giác 65 5.2 Tesselation - Sự lắp đặt 72 5.3 Kính vạn hoa 75 Phụ lục 2: Hình học Hyperbolic: Mơ hình bán phẳng 78 Phụ lục 3: Một số tập 82 Kết luận 93 Tài liệu tham khảo 94 GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh SVTH: Võ Trọng Nghĩa Khóa luận tốt nghiệp Hình học Hyperbolic Lời cảm ơn Luận văn tốt nghiệp hồn thành, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hà Thanh, giảng viên Khoa Toán - Tin Học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn dạy tận tình, chu tơi hồn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến q thầy nhiệt tình giảng dạy cho tơi kiến thức kinh nghiệm quý giá suốt trình học tập rèn luyện trường Đại học Sư phạm TP.HCM Luận văn chăm chút thật hồn chỉnh, nhiên khơng thể khơng tránh thiếu xót, mong nhận đóng góp bảo để luận văn hồn mỹ Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện: Võ Trọng Nghĩa GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh SVTH: Võ Trọng Nghĩa Lời nói đầu 0.1 Lí chọn đề tài Như biết, Euclid người đặt móng cho mơn hình học tồn tốn học cổ đại Ơng phát triển quan điểm hình học thơng qua tiên đề mà ơng xây dựng Hình học đưa vào hệ tiên đề Euclid gọi hình học Euclid Trong số đó, tiên đề thứ Euclid khiến cho nhiều nhà Toán học phải quan tâm: “Nếu hai đường thẳng cắt đường thẳng cho trước với hai góc nhỏ 90° nằm phía đường thẳng cho trước hai đường thẳng có điểm giao phía tạo nên góc nhỏ 180°”, cách phát biểu khác tương đương “Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho.” Qua đó, ta thấy Euclid gói ghém bên quan điểm cho giới hình phẳng hồn hảo, bao bọc giới mà đường thẳng tồn kéo dài vơ hạn, dù kéo dài đến đâu chúng thẳng Tuy nhiên, Jean le Rond d’Alembert có nói rằng: “Định đề thứ năm điểm đen nhất” hình học Euclid Các nhà Tốn học cố gắng chứng minh tiên đề thứ định đề tiên đề trước khơng thành cơng ý tưởng độc đáo khác phủ định tiên đề thứ để tìm mâu thuẫn, nhiên dù kết có kỳ lạ, họ không thấy mâu thuẫn Nhưng thông qua việc làm ấy, lại mở quan điểm hình học, hình thành hình học phi Euclid bao gồm hình học Eliptic (Bernhard Riemann) hình học Hyperbolic (Nikolay Ivanovich Lobachevsky Janos Bolyai, Carl Friedrich Gauss) Nhận thấy quan điểm mẻ hình học phi Euclid nói chung hình học Hyperbolic nói riêng nên chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Hình học Hyperbolic” Khóa luận tốt nghiệp 0.2 Hình học Hyperbolic Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm tìm hiểu ý tưởng mẻ hình học phi Euclid cụ thể hình học Hyperbolic Đồng thời trình bày nội dung của hình học Hyperbolic mơ hình đĩa, phép biến đổi, khoảng cách, diện tích, hình học Hyperbolic 0.3 Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu vấn đề hình học Hyperbolic với mơ hình đĩa Poincaré, đồng thời giới thiệu số kết hình học Hyperbolic mơ hình bán phẳng 0.4 Phương pháp nghiên cứu Bài báo cáo nghiên cứu phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Phương pháp phân tích tổng thích hợp thuyết: Nghiên cứu tài liệu phân tích chúng thành phận để quan tâm sâu sắc hình học Hyperbolic, sau liên kết mặt, phận phân tích tạo hệ thơng lí thuyết từ đầu đến cuối sâu sắc hình học Hyperbolic GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh SVTH: Võ Trọng Nghĩa Hình học Hyperbolic Chương Hình học Hyperbolic: Mơ hình đĩa Poincaré Hệ tiên đề Euclid đưa định nghĩa thuật ngữ hình học quy tắc để sử dụng chúng (được gọi định đề) Và nhiều quy tắc Euclid dường hồn tồn khơng đối nghịch, chẳng hạn khẳng định thông qua hai điểm phân biệt mặt phẳng không gian xác định đường thẳng qua hai điểm đường kéo dài vô hạn theo hai hướng Trên tảng này, Euclid đưa chứng minh chặt chẽ định lí hình học sơ cấp, điều chấp nhận cách chúng thiết lập Trong số định đề cho hình học Euclid có định đề đường thẳng song song tương đương với phát biểu sau đây: Định đề song song: Cho đường thẳng l điểm P không nằm đường thẳng l, có đường thẳng m qua P không cắt đường thẳng l (hay song song với đường thẳng l) Với quan điểm này, định đề song song Euclid khẳng định hai điều: thứ nhất, tồn đường thẳng m qua P song song với l; thứ 2, đường thẳng m hay nói cách khác đường thẳng khác m qua P phải cắt đường thẳng l Tuy nhiên, quan sát thực tế khơng hợp lí, nhà khoa học cố gắng xóa Định đề song song khỏi danh sách định đề Euclid, coi định lí cố gắng chứng minh tiên đề cịn lại Tất thất bại, cuối lí giải thích: Định đề Song song khơng thể biến thành định lí theo cách có mơ hình hình học qn bên tn theo tất định đề Euclid ngoại trừ Định đề Song song Có thể nói, Định đề song song độc đáo hình học mà Euclid xây dựng Tuy nhiên, dựa vào đó, xây dựng Khóa luận tốt nghiệp Hình học Hyperbolic loại hình học khác cách thay Định đề song song Euclid cụ thể phủ định Định đề song song Euclid Chúng xin giới thiệu định đề thay sau: Cho đường thẳng l điểm P không nằm đường thẳng l, có hai đường thẳng m, n qua P không cắt đường thẳng l (hay m, n song song với đường thẳng l) Định đề thay phủ định tính Định đề song song Euclid Hình học có định đề hình học Euclid với định đề thay gọi Hình học Hyperbolic Từ đây, xin gọi định đề thay bên :"Định đề song song Hyperbolic" Trong chương này, chúng tơi giới thiệu mơ hình hình học Hyperbolic nhà Toán học Pháp Herry Poincaré mơ hình (đơn giản gọi hình học Hypebolic) không gian điểm nằm bên đĩa đơn vị D = {z : |z| < 1} tất biểu diễn hình học thể đĩa Qua đó, đưa định nghĩa đường thẳng Hyperbolic, góc Hyperbolic số kết 1.1 Hình học Hyperbolic Trước chúng tơi đưa khái niệm ban đầu điểm đường thẳng hình học Hyperbolic Khái niệm 1.1.1 Các điểm hình học Hyperbolic điểm nằm đĩa đơn vị Tức là, z điểm hình học Hyperbolic khi: z ∈ D = {z : |z| < 1} = {(x, y) : x2 + y < 1} Đặt: C = {z : |z| = 1} = {(x, y) : x2 + y = 1} Khi đó, C đường trịn (trong hình học Euclid) điểm nằm C khơng phải điểm thuộc hình học Hyperbolic Khái niệm 1.1.2 Đường thẳng d phần đường trịn tổng qt (có thể đường trịn hay đường thẳng hình học Euclid) nằm hồn tồn D trực giao với C gọi d đường thẳng d Hyperbolic GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh SVTH: Võ Trọng Nghĩa GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh 33 ! √ 949 ≈ 1, 23 73 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Khóa luận tốt nghiệp Hình học Hyperbolic √ !     2 −1 −1 + i = d 0, + i = 3 3  √  √ ! 1+   +  = ln √ √ = ln  ≈ 0, 96  5 3− 1− 3   √ √