Bài toán đẳng chu trong hình học vi phân và thể hiện trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Thiện Hiền BÀI TỐN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ THỂ HIỆN TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Thiện Hiền BÀI TỐN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ THỂ HIỆN TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Chun ngành : Hình học Tôpô Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu, trích dẫn, kết nêu đề tài luận văn tốt nghiệp có nguồn gốc rõ ràng, trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm cam kết Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 11 năm 2021 Học viên thực luận văn Lê Thiện Hiền LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn q Thầy Cơ Khoa Tốn− Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, q Thầy Cơ tổ Hình học, q Thầy Cơ giảng dạy lớp cao học khóa 30 trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học vừa qua Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh Vũ, người Thầy gợi mở hướng nghiên cứu, hướng giải vấn đề cách khoa học, đọc chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chương trình học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bình Thuận, Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo tỉnh Bình Thuận tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi, bạn học khóa, người ln động viên, chia sẻ giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 11 năm 2021 Học viên thực luận văn Lê Thiện Hiền MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Rn En 1.2 Đường siêu mặt không gian Euclide En 1.2.1 Đường En 1.2.2 Siêu mặt En Đa tạp vi phân 1.3.1 Đa tạp tôpô 1.3.2 Atlat khả vi – Cấu trúc khả vi 1.3.3 Đa tạp vi phân 10 1.3.4 Đa tạp 10 1.3.5 Tích đa tạp vi phân 10 1.3.6 Ánh xạ khả vi đa tạp vi phân 10 1.3 1.4 Thể tích đa tạp 11 1.5 Trường vectơ Gradient Divergence 12 Chương BÀI TOÁN ĐẲNG CHU VÀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU 2.1 Bất đẳng thức đẳng chu mặt phẳng 14 2.1.1 Bài toán đẳng chu tổng quát mặt phẳng 2.1.2 Định lý bất đẳng thức đẳng chu mặt phẳng 16 2.1.3 Vài phép chứng minh bất đẳng thức đẳng chu mặt phẳng 2.2 14 14 16 Bất đẳng thức đẳng chu không gian 24 2.2.1 Bài toán đẳng chu tổng quát không gian thông thường 24 2.2.2 Định lý bất đẳng thức đẳng chu không gian 24 2.2.3 Phép chứng minh bất đẳng thức đẳng chu không gian 2.2.4 25 Chứng minh bất đẳng thức đẳng chu khơng gian cho vật thể trịn xoay 26 2.2.5 Phác thảo phép chứng minh bất đẳng thức đẳng chu không gian cho vật thể 28 2.3 Bất đẳng thức đẳng chu không gian Euclide n−chiều 32 2.3.1 Công thức Coarea định lý Federer − Fleming 32 2.3.2 Bất đẳng thức đẳng chu không gian Euclide 36 Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP 40 3.1 Các toán đẳng chu thường gặp mặt phẳng 40 3.2 Các toán đẳng chu thường gặp không gian 47 3.3 Các tốn hình học có yếu tố bất đẳng thức đẳng chu KẾT LUẬN 52 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU I = ha, bi : Là tập sau: (a; b) , (a; b] , [a; b) , [a; b] Tx0 M : Không gian tiếp xúc M x0 TM : Phân thớ tiếp xúc M χ (M ) : Tập trường vectơ khả vi đa tạp M F (M ) : Tập hàm nhẵn đa tạp M grad f : Trường vectơ Garadiăng hàm f M div X : divecgiăng trường vectơ X V (B) : Thể tích B dA : Độ đo Riemann đa tạp (n − 1)−chiều M cn−1 : Thể tích Sn−1 ωn : Thể tích hình cầu đơn vị Bn Rn A (Λ) : Diện tích Λ =ν (Ω) : Thương số đẳng chu ν đa tạp mở Ω Iν (M ) : Hằng số đẳng chu ν đa tạp M Sν (M ) : Hằng số Sobolev đa tạp M MỞ ĐẦU Các toán đẳng chu tốn cổ xưa phép tính biến phân có lịch sử từ kỷ thứ trước cơng ngun Nó vừa tốn cổ điển tiếng Toán học sơ cấp, lại vừa toán thời Toán học đại Mặc dù toán đẳng chu đề cập đến từ thời cổ đại, nghiên cứu có tính đại cương tốn đẳng chu cơng bố lần giới nhà Toán học tiếng Bernoulli năm 1697 Nhà Toán học L Euler người nghiên cứu tốn đẳng chu cách có hệ thống năm 1732 Để tìm lời giải cho toán đẳng chu, người ta tìm cách chứng minh bất đẳng thức đẳng chu Gọi V thể tích n−chiều miền (đo được) Ω khơng gian Euclide n−chiều En , F thể tích (n − 1) −chiều siêu mặt S En bao bọc Ω, thể tích n−chiều hình cầu đơn vị n− chiều En Bất đẳng thức đẳng chu tổng quát mà biết là: nn V n−1 ≤ F n (∗) Khi n = hay n = 3, bất đẳng thức đẳng chu biết từ thời cổ đại Tuy nhiên chứng minh chặt chẽ bất đẳng thức đẳng chu (∗) với n = đưa F Edler năm 1882 Tiếp theo, trường hợp n = 3, (∗) chứng minh chặt chẽ lần Schwarz năm 1890 Năm 1939, nhà Toán học Nga L.A Liuxternik chứng minh (∗) trường hợp tổng quát (n ≥ 2) Khi cố định thể tích n−chiều F siêu mặt S không gian Euclide En , miền bao bọc siêu mặt S thế, miền Ω mà với bất đẳng thức đẳng chu xảy dấu lời giải toán đẳng chu Khi n = 2, thể tích n−chiều miền phẳng Ω diện tích thơng thường Ω mặt phẳng E2 , thể tích (n − 1) −chiều F chu vi thơng thường đường bao S (cịn gọi chu tuyến) Ω Vì F nên ta thường bảo “đẳng chu” Thay cho siêu mặt En , ta xét lớp siêu mặt S thỏa mãn hay vài điều kiện xác định đó, (∗) khơng cịn khả xảy dấu Chúng ta nhận bất đẳng thức đẳng chu (mà chúng, dấu xảy ra) toán đẳng chu tương ứng mà tràn đầy tiềm ứng dụng tốn học nói riêng (kể Tốn học sơ cấp), khoa học thực tiễn nói chung Có thể nói, tốn đẳng chu bất đẳng thức đẳng chu có mối quan hệ chặt chẽ với ngày thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học thuộc lĩnh vực khác khắp giới Như vậy, toán đẳng chu vấn đề thời có tính “tân cổ giao dun” Nó vừa đại, lại vừa soi sáng vấn đề sơ cấp Mặt khác, toán đẳng chu xuất từ thời cổ đại Toán học sơ cấp, thời điểm tài liệu, tài liệu tiếng Việt đề cập đến toán cách hệ thống Bởi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu tốn đẳng chu Cụ thể, chúng tơi muốn hệ thống lại quan điểm từ cổ điển đến đại tốn đẳng chu, trình bày chứng minh cổ điển chứng minh đại số bất đẳng thức đẳng chu Đồng thời sở số xv D 