1422 hàm lồi schur và ứng dụng trong toán sơ cấp luận văn tốt nghiệp

GIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTRƯỜNGĐẠI HỌC QUY BỘ NHƠ N NGUYỄNTHỊHIỆ P HÀMLỒISCHURVÀỨNGDỤNGTR ONGT OÁ N S Ơ CẤP LUẬNVĂNTHẠCSĨTOÁNHỌC BÌNHĐ Ị N H , N Ă M 2 BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌC QU Y NHƠN NGUYỄNT H Ị H I Ệ P HÀMLỒISCHURVÀỨNGDỤNGTR ONGT OÁ N S Ơ CẤP CHUYÊNNGÀNH:PHƯƠNGPHÁPTOÁNSƠCẤPM ÃSỐ: 8460113 LUẬNVĂNTHẠCSĨTỐNHỌC Ngườihướngdẫn:TS.LÊQUANG THUẬN BÌNHĐ Ị N H , N Ă M 2 Mụcl ụ c Mởđầu Mộtsốkiếnthfícchuẩnbị 1.1 Hàmlồivàhàmđốixứng 1.1.1 Tậplồivàhàmlồi 1.1.2 Tậpđốixứngvàhàmđốixứng 1.2 BộtrộitrênRn 1.3 Matrậnhoánvị,matrậnngẫunhiênkép 6 HàmlồiSchurvàmộtsốtínhchất 2.1 HàmlồiSchurvàmộtsốđặctrưng 2.1.1 HàmlồiSchur 2.2 CáckếtquảliênquanđếnhàmlồiSchur 2.2.1 HàmlồiSchurtrêntậpconcủaRn HàmlồiSchurtrêntậpRn 2.2.2 2.3 Mộtsốkiểu hàmlồiSchur thườnggặp 12 12 12 16 16 18 19 MộtsốfíngdụngcủahàmlồiSchur 3.1 Bấtđẳngthứcđẳngliênquancácgóccủatamgiác 3.2 Bấtđẳngthứcliênquanđếncáccạnhcủatamgiác 3.3 Bấtđẳngthứcđẳngchu 3.3.1 Bấtđẳngthứcđẳngchugiảitích 3.3.2 Bấtđẳngthứcđẳngchuhìnhhọc 22 22 33 40 41 47 Kếtluận 50 Tàiliệuthamkhảo 51 LỜIC A M Đ O A N Tôi xin cam đoan luận văn với tiêu đềHàm lồi Schur ứng dụng trongtoán sơ cấplà kết nghiên cứu khoa học hướng dẫn củaTS Lê Quang Thuận, sở tham khảo tài liệu trích dẫn, làm rõvàtrìnhbàylạitheocáchhiểucủabảnthân.Nộidungkhơngsaochépcủabất kỳ chưa cơng bố hình thức nào, kết quảkhơngphảicủariêngtơiđềuđượctríchdẫncónguồngốcrõràng BìnhĐịnh,ngày29tháng07năm2022Họcv iênthựchiện NguyễnT h ị H i ệ p MỞĐẦU Năm 1923, nghiên cứu để đưa chứng minh sơ cấp cho bất đẳngthứcđịnhthứccủaHadamard,I.Schur[4]đã đưa lớp hàm quantrọng mà ngày người ta hay gọi hàm lồi Schur Trong tốn học, tabiếtrằngmộtlượnglớncácbấtđẳngthứccóthểnhậnđượcvớimộtquanhệthứt ựriêngphầnvàcáchàmbảotồnthứtựđượcxácđịnh.Giảsửďlà quan hệ thứ tự phần tiền thứ tự định nghĩa trênmột tập conAcủaRn Một hàmφ:ARđược gọi bảo Ñ tồn thứ tựnếu x,yPA,xďý đ φ pxqďφpyq Với quan hệ tiền thứ tự trội hóaă, định lý Muirhead (1903)xác định lớp hàm bảo toàn thứ tự Thêm vào hàm thếđượcnhậndạngbởiDalton(1920).ĐộngcơnghiêncứucủaDaltonlàđịnhgiásựđo cácbấtđẳngthứcthunhập,baogồm 1ÿ n pxq“ |xi´x¯|,vớix¯“ ni xi “1 i“ 1 + #1 2 φp2qpxq“ ÿn pxi´x¯q ni n ÿ p3q φ pxq“ |xi´xj | φ p1q n ÿ i,j“1 p2q Daltonlưrằngφ pxqvàφ p3qpxqthỏamãnbấtđẳngthứcchặt xăyvà xčýđφ pxqăφpyq Sựnghiêncứuđầyđủđầutiêncủacáchàmbảotồnthứtựtrộihóađượctiếnhànhbởi Schurnăm1923[4].Schurđãhạnchếchochosựtrộihóa R vàchứngtỏrằngnếuϕ:Rn ĐRcócácđạohàmriêngcấp1liên n ` tụcthì` x,yPR`n,xăyk é o the o ϕ pxqďϕpyq chỉnếuϕlà hàm đốixứng px1´x2qp Bϕ B ϕ ´ qě Bx1 0,@xPRn.` Schur gọi hàm "convex" (lồi) trái ngược với lồi theonghĩa Jensen Thực ra, gọi lớp hàm tăng Schur thích hợphơn Tuy nhiên, thuật ngữ đại, người ta người ta sử dụngkhái niệm hàm lồi Schur song song với khái niệm hàm lồi theo nghĩa JensennhưmộtsựghinhậnđónggópcủaSchur Với mong muốn tìm hiểu sâu số vấn đề hàm lồi Schur ứngdụng chúng việc thiết lập bất đẳng thức, học viên chọnđề tài ”Hàm lồi Schur ứng dụng toán sơ cấp” để nghiên cứu choluậnvănthạcsĩcủamình Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung củaluậnvăngồmbachương Chương1 : M ộ t s ố k i ế n t h ứ c c h u ẩ n b ị T ro ng c h n g n y , c hú ng t ô i n h ắ c lạimộtsốkiếnthứccơbảncóliênquannhằmphụcvụchoChương2vàChương3 Chương2:HàmlồiSchurvàmộtsốtínhchất.Nộidungchínhcủachươnglàt rìnhbàykháiniệmhàmlồiSchur,thiếtlậpcácđặctrưngtươngđươngvà tính chất chúng Chúng tơi trình bày kết liên quan đếnhàmlồiSchurvàmộtsốtrườnghợpđặcbiệtcủahàmlồiSchur Chương3: Một sốứn gdụ n g củahàm l ồi S chur Trongchươngnày,chúng tơisửdụnghàmlồiSchurvàoviệcchứngminhcácbấtđẳngthứchìnhhọctrongtamgiácnhư: Cácbấtđẳngthứcvềcácgóccủatamgiác,cácbấtđẳng thức cạnh tam giác, bất đẳng thức đẳng chu giải tíchvàbấtđẳngthứcđẳngchuhìnhhọc Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS LêQuangThuận,KhoaTốnvàThốngkê,TrườngĐạihọcQuyNhơn.Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy đãgiúpđỡtơitrongsuốtqtrìnhhọctậpvàthựchiệnluậnvăn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học QuyNhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê, qthầy giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khóa 23 đãdày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơitrongqtrìnhhọctậpvàthựchiệnđềtài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thầncủa gia đình, đồng nghiệp, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ đểtơihồnthànhtốtkhóahọcvàluậnvănnày Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng củabảnthân,nhưngdođiềukiệnthờigiancóhạn,trìnhđộkiếnthứcvàkinhnghiệm nghiêncứucịnhạnchếnênluậnvănkhótránhkhỏinhữngthiếusót Tơi mong nhận đượcnhữnggópýcủaqthầycơgiáođểluậnvănđượchồnthiệnhơn Tơixinchânthànhcảmơn BìnhĐịnh,ngày29tháng07năm2022 Họcv i ê n NguyễnT h ị H i ệ p Chương1 Mộts ố k i ế n t h f í c c h u ẩ n b ị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị tậplồi, hàm lồi, tập đối xứng hàm đối xứng Sau đó, chúng tơi trình bàycác khái niệm trội hóa, ma trận hốn vị, ma trận ngẫu nhiên kép vàcáctínhchấtcủachúngđểchuẩnbịchocácchươngsau 1.1 1.1.1 Hàmlồivàhàmđốixfíng Tậplồivàhàmlồi Địnhnghĩa1 M ộ t t ậ p c o n A c ủ a R n g ọ i l t ậ p l i n ế u @ x,yP A,@λPr0,1sthì λx`p1´λqyP A Tínhchất1.1.ChocáctậpAi m ś làtậplồitrong i“1 ś lồit r o n g R n,i“1,m.K h i đ ó , t í c h m i“1 Ai Rn Địnhn g h ĩ a C h o A Ď R n m ộ tt ậ p l i H m s ố ϕ : A Ñ Rđ ợ c g ọilàlồitrên Anếu@x,yPA,@λPr0,1s,ta có ϕpλx`p1´λqyqďλϕpxq`p1´λqϕpyq Nếubấtđẳngthứctrênlàchặtvớimọix ‰ythìtanóihàmϕlàhàmlồichặttrênA (1.1) Địnhl ý Choh àmϕ liê n tục tậplồi Alà concủaR n.Hàm ϕ hàm lồi trê nAnếuvàch ỉnế u y¯ ϕ ϕpxq `ϕpyqs,@x,yP A (1.2) ď ´ 2r x`2 Mệnhđề1.1.ChoflàhàmlồitrêntậplồiAvàglàhàmlồikhơnggiảmtrênR.Khi đóφpxq“gpfpxqqlàhàmlồitrênA.Hơnnữa,nếuflàhàmlồingặtvàglàhàml ồivàtăngngặtthìφlàhàmlồingặttrênA Chứngminh.T h e o địnhnghĩacủahàmφthì φrλx`p1´λqys“grpfpλxq`p1´λqyqs Vìflàhàmlồitrêntậplồivàglàhàmlồikhơnggiảmnên grpfpλxq`p1´λqyqsďgrλfpxq`p1´λqfpyqs ďλgrfpxqs`p1 ´λqgrfpyqs“λφpxq`p1 ´λqφpyq VậyφlàhàmlồitrênA 1.1.2 Tậpđốixfíngvàhàmđốixfíng Địnhnghĩa1.3.ChotậpAĎRn, ną1.T ậ p A đ ợ c g ọ i l t ậ p đ ố i xứngn ế u px1 ,x2 , ,xn qPAthìpxi1,xi2, , xinqPAvớib ấ t kỳh ố n vịxi1,xi2, ,xinnàocủacácsốx 1,x2, ,xn Víd ụ r 0,1sn,p´1,1qn,Rn c c t ậ p đ ố i x ứ n g Địnhn g h ĩ a MộthàmthựcϕtrênAđượcgọilàđốixứngnếu ϕpx1 , ,xn q“ϕpxi1, ,xinq,@px1 , ,xn qPA, trongđ ó x i1,xi2, ,xinl m ộ t h o n v ị b ấ t k ỳ c ủ a c c s ố x 1,x2, ,xn Bộtrộ itrên R n 1.2 Địnhn g h ĩ a C h o h a i v e c t x , yP R n.T a n ó i r ằ n g v e c t y t r ộ i h n vectxhayvectxclmtribivectyv vitxy,nu max# :1i1i2ăăăikn+ kj xi 1# j max kj yij:1i1i2ăăăikn+ v n i xi“ ,k“1, ,n´1, n ÿ yi i“ Quanhệăthõamãncáctínhchấttiềnsắpthứtựsau: • xăx,@xPA • Nếuxăy,yăxthìcácthànhphầncủayl mộthốnvịcácthànhphầnc ủax • Nếux ăyv y ă zt h ì x ăz,@x,y,zP A Địnhn g h ĩ a V i x “px1,x2, ,xnqPRn,t a k ý h i ệ u a q xr1s xr2s ăăă xrnslcỏcthnh phnca xcsp xptheothtgimdnv xểpxr1s,xr2s, ,xrnsq bq xp1q xp2q ăăă xpnqlcỏcthnhphncaxcspxptheothttngdnv xề pxp1q,xp2q, ,xpnqq Địnhl ý ( [ ] ) V i x , yP Rn,c c k h ẳ n g đ ị n h s a u đ â y l t n g đ n g a) xăy;