Hàmlồivàhàmđốixứng
Tậplồivàhàmlồi
Địnhnghĩa1 1 M ộ tt ậ p c o nA c ủ aR n đ ư ợ c g ọ i l à t ậ p l ồ i n ế u@x,yP A,@λPr0,1sthì λx`p1´λqyPA.
Tínhchất1.1.ChocáctậpA i m lồit r o n gR n ,i“1,m.K h iđ ó , t í c h m
A i i“1 làtậplồitrong R n i“ 1 Địnhn g h ĩ a 1 2 C h o AĎR n là m ộ tt ậ p l ồ i H à m s ốϕ :AẹRđ ư ợ cg ọilàlồitrênAnếu@x,yPA,@λPr0,1s,ta có ϕpλx`p1´λqyqďλϕpxq`p1´λqϕpyq (1.1)
7 ¯ Địnhl ý 1 1 Choh àmϕliên tụctrêntậplồiAlàconcủaR n Hàm ϕlàhàm lồi trênAnếuvàch ỉnếu ϕ ´x` 2 y 1 ď2r ϕpxq `ϕpyqs,@x,yPA (1.2)
Mệnhđề1.1 ChoflàhàmlồitrêntậplồiAvàglàhàmlồikhônggiảmtrênR.Khi đóφpxq“gpfpxqqlàhàmlồitrênA.Hơnnữa,nếuflàhàmlồingặtvàglàhàml ồivàtăngngặtthìφlàhàmlồingặttrênA.
Chứngminh.T h e ođịnhnghĩacủahàmφthì φrλx`p1´λqys“grpfpλxq`p1´λqyqs.
Vìflàhàmlồitrêntậplồivàglàhàmlồikhônggiảmnên grpfpλxq`p1´λqyqsďgrλfpxq`p1´λqfpyqs ďλgrfpxqs`p1 ´λqgrfpyqs“λφpxq`p1 ´λqφpyq.
1.1.2 Tậpđốixfíngvàhàmđốixfíng Địnhnghĩa1.3.ChotậpAĎR n , ną1.T ậ p A đ ư ợ cg ọ i l à t ậ p đ ố i xứngn ế upx 1 ,x 2 , ,x n qPAthìpx i 1,x i 2, , x i n qPAvớib ấ t kỳh oá n vịx i 1,x i 2, ,x i n nàocủacácsốx 1 ,x 2 , ,x n
Víd ụ 1 1 r0,1s n ,p´1,1q n ,R n là c á c t ậ p đ ố i x ứ n g Địnhn g h ĩ a 1 4 MộthàmthựcϕtrênAđượcgọilàđốixứngnếu ϕpx 1 , ,x n q“ϕpx i 1, ,x i n q,@px 1 , ,x n qPA,trongđ óx i 1,x i 2, ,x i n làm ộ t h o á n v ị b ấ t k ỳ c ủ a c á c s ốx 1 ,x 2 , ,x n
Tậpđốixứngvàhàmđốixứng
BộtrộitrênRn
Địnhn g h ĩ a 1 5 C h oh a i v e c t ơx , yPR n T an ó i r ằ n g v e c t ơy t r ộ ih ơ n vectơxhayvectơxđượclàmtrộibởivectơyvàviếtxăy,nếu max k j“
:1ďi 1ăi 2㨨¨ăi k ďn + ďmax và kj
• Nếuxăyv à yăzt h ì xăz,@x,y,zPA. Địnhn g h ĩ a 1 6 V ớ i x“px 1 ,x 2 , ,x n qPR n ,t a k ý h i ệ u a x r1s x r2s x rnslàcácthành phầncủaxđượcsắpxếptheothứtựgiảmdầnvà x Ó“px r1s ,x r2s , ,x rnsq. b x p1q x p2q x pnqlàcácthànhphầncủaxđượcsắpxếptheothứtựtăngdầnvà x Ò“px p1q ,x p2q , ,x pnqq. Địnhl ý 1 2 ([ 1 ] ) V ớ ix , yPR n ,c á c k h ẳ n g đ ị n h s a u đ â y l à t ư ơ n g đ ư ơ n g a) xăy; i“
3,3,3 ni “1 ni “1 d) x ris “ř n x ris “ř n y ris và k x ris ď i“1 y ris và k x piq ě i“ 1 ki
“1 y ris ,@k“1,2, ,n´1; y piq ,@k“1,2, ,n´1. convtx i 1`¨¨¨`x i j :1ďi 1ď ¨¨¨ďi j ď nu Ďconvty i 1`¨¨¨`y i j :1ďi 1ď ¨¨¨ďi j ď nu
2, b) VớiA,B,Cl àbagóccủamột tamgiác,tacó ´π π π ¯
Matrậnhoánvị,matrậnngẫunhiênkép
Nhưvậy,matrậnhoánvịlàmộtmatrậnvuôngmàmỗihàngvàmỗicộtchỉc ómộtphầntửcógiátrị1,cácphầntửcònlạicógiátrị0. ř b) ř c) ăpA,B,Cqăpπ,0,0q. ÿ
00 1 Địnhnghĩa1.8.M ộ tmatrậnS“rs ij scấpnxnđượcgọilàmatrậnngẫunhiênké pnếus ij ě0,với1ďi,jďn,và j“1 n i“1 s ij “1, i“1,2, ,n; s ij “1, j“1,2, ,n.
Víd ụ 1 5 Mat r ậnS“rs ij ngẫunhiênkép. svớis ij “ n,1ďi,jď nl àm ộ t m a t r ậ n Địnhl ý 1 3 ([ 1 ] ) V ớ ix , yPR n ,c á c k h ẳ n g đ ị n h s a u đ â y l à t ư ơ n g đ ư ơ n g a) xăy; b) TồntạimộtmatrậnngẫunhiênképSs a o chox“yS.
“pa 1`a 2`a 3q{2l à n ử a c h u v i c ủ a t a m g i á c v às 1” 2ps ´a 1q“´a 1`a 2`a 3 ,s 2”2ps´a 2q“a 1´a 2`a 3 ,s 3”2ps´a 3q“a 1`a 2´a 3 Khi đó a 1“ 1
Từđây,theoĐịnhlý1.3tasuyra pa 1 ,a 2 ,a 3qăps 1 ,s 2 ,s 3q.
Hàml ồi S ch u r v àm ộ t s ố t ín h c hất
Hàm lồi Schur được giới thiệu bởi I Schur năm 1923[4].Trong chươngnày,chúngtôitìmhiểukháiniệmhàmlồiSchurvàmộtsốđặctrưng,tínhch ất của hàm lồi Schur Các khái niệm và kết quả trình bày ở đây đượcthamkhảotừsáchchuyênkhảo[1].
HàmlồiSchurvàmộtsốđặctrưng
HàmlồiSchur
CáchàmbảotoànthứtựcủasựtrộihóađượcgọilàhàmlồiSchurhaylồitheonghĩa củaSchur. Địnhn g h ĩ a 2 1 C h o A R n là mộttậpkhôngrỗng.Hàmsốϕ:A R đượcgọilàlồiSchurnếu
Hàmϕđượcg ọ i l à l ồ i S c h u r c h ặ t n ế ux , yA, xăy, xk h ô n gl à m ộ t hoánvịcủayt h ì ϕxϕ y.
Tươngtự, hàmϕđược gọi là lõm Schur nếu
Hàmϕ đ ư ợ cg ọ i l à l õ m S c h u r c h ặ t n ế u@x,yPA,xă y ,xk h ô n gl à m ộ t h oánvịcủayt h ì ϕpxqąϕpyq.
Nhậnxét 2.2.Vì trênR n quan hệ trội hóaăcó tính chấtxăxPăxvới mọi ma trận hoán vịP,nên nếuϕlà hàm lồi Schur trên tập đối xứngAthìϕlà hàm đối xứng trênA.Do vậy, nếuϕlà hàm đối xứng trên tậpđốix ứ n gA v àl ồ i S c h u r t r ê nDXAt h ìϕ l àl ồ i S c h u r t r ê nA,t r o n gđ ó
Mệnhđ ề 2 1 C h oϕ l à h à m t h ự c x á c đ ị n h v à l i ê n t ụ c t r ê nD.K h i đ ó ϕ làhàmlồiSchurkhiv àch ỉkh i@zPDv àk“1, ,n´1, ϕpz 1 , ,z k´1 ,z k `ε,z k`1´ε,z k`2 , ,z n q (2.1) tăngt h e o εvới v ớ i
Mệnhđ ề 2 2 C hoϕ l à h àm thự c x á c đ ịn h v à li ên tụ c t rênD.Kh i đ ó , ϕ làh à m l ồ i S c h u r c h ặ t k h i v à c h ỉ k h i ( 2 1 ) l à t ă n g c h ặ tt h e o εvới đ ã c h ỉ r a
MộthàmϕxácđịnhvàliêntụctrênAlàlồiSchurkhivàchỉkhiϕlàđốixứngv à ϕpx 1 ,s´x 1 ,x 3 , ,x n qt ă n gv ớ i x 1ě đốiv ớ i m ỗ i b ộ c ố đ ị n h s , x 3 , ,x n 2 Để thấy điều này, lưu ý rằng tính đơn điệu của(2.1)theoεvớicó thể dễdàngthuđượcbằngcáchsửdụngtínhđốixứngcủahàmϕ.
CácđiềukiệncủaMệnhđề2.1có thểđượcbiểudiễndướidạngkhácnếuϕlà hàm khả vi Trong trường hợp này, đạo hàm riêng củaϕ k được xácđịnhbởi ϕ pk qpzq“B ϕp zq
d Định lý 2.1 Cho ϕ là hàm thực, xác định, liên tục trênDvà khả vi,liên tục trên phần trong củaD Khi đó, ϕ là hàm lồi Schur khi và chỉ khiϕ pkqpzqlàgiảmvớik“1, ,n.
Chứngminh.V ì ϕliêntụctrênD.Dođó,điềukiện của Mệnhđề 2.1cóthể đượcthaythếbởiđiềukiệnvớimọizthuộcphầntrongcủaDthì ϕpz 1 , ,z k´1 ,z k `ε,z k`1´ε,z k`2 , ,z n q làhàmtăngtheoεvớikhi
Vìϕlàhàmkhảvinênđiềukiệnnàytươngđươngvới dεvớiϕpz 1 , ,z k´1 ,z k `ε,z k`1´ε,z k`2 , ,z n qě0, đólà ϕ pkqpz 1 , ,z k´1 ,z k `ε,z k`1´ε,z k`2 , ,z n q
—ϕ pk`1qpz 1 , ,z k´1 ,z k `ε,z k`1´ε,z k`2 , ,z n qě0, trongđ ópz 1 , ,z k´1 ,z k `ε,z k`1´ε,z k`2 , ,z n qth u ộ cp h ầ n t r o n g c ủ a
Giảsử ϕ pi,jq pzq“ B 2 ϕpzqB zB i z j
(S chur, 1 9 2 3 ) C h oϕ l à h à m t h ự c , x á c đ ị n h t r ê nD v àkhảv i c ấ p h a i t r ê n p h ầ n t r o n g c ủ aD.G i ả s ử ϕ l à h à m l ồ i S c h u r t r ê nD.
Nếuϕ pkqpzq“ϕ pk`1qpzqsuyra ϕ pk,kq pzq´ϕ pk,k`1q pzq´ϕ pk`1,kq pzq`ϕ pk`1,k`1q pzqą0, (2.2) thìϕl àh àm l ồ iS ch ur ch ặ t t rênD.
Chứngm i n h G i ả s ử ϕlà một hàm thực xác định trên một tập đóngra, bs ĂRvà khả vi cấp hai trênpa, bq.Nếuϕ 1 pxq ě0,@xP pa, bqvàϕ 2 pxq ą0,@xsaoc h oϕ 1 x0 ,t h ì ϕ l àh à m t ă n g c h ặ t t r ê na , b T h e oM ệ n h đ ề 2 1 thìĐịnhlýđãđượcchứngminh. ĐịnhlýsauđâylàsựkếthợpcủaĐịnhlý2.1vàNhậnxét2.2. Định lý 2.3 (Schur, 1923; Ostrowski, 1952)Giả sử IĂRlà mộtkhoảngm ở v à ϕ :I n R làh àm k h ả v i ,l i ê n tục Đi ều k i ệ n cầ n v à đ ủđ ể ϕl ồiSchurtrên I n là ϕđốixứngtrênI n (2.3) và ϕ piq pzql àg i ả m v ớ i i“1, ,n @zPDXI n (2.4)
Ngoàir a , ϕ l à l ồ i S c h u r t r ê n I n k h iv à c h ỉ k h i ( 2 3 ) x ả y r a v à v ớ i m ọ i i‰j,thì pz i ´z j qϕ piqpzq´ϕ pjqpzqě0, @zPI n (2.5)
Schur(1923) đ ư a ra Đị nh lý 2 3 t ro ng t r ư ờ ng hợ pI 0, vàOs- trowski(1952)đưarakếtquảđốivớimộtkhoảngmởtùyý.
Kếthợpkếtquảcủa(2.3)và(2.5)tađượckếtquảđơngiảnhơnđểkiểmtrahà mlồiSchurlà pz 1´z 2q“ ϕ p1qpzq´ϕ p2qpzq‰ ě0, @zPI n (2.6)
Khiđó,nếuϕlàhàmliêntục,khảvitrênphầntrongcủaAvàliêntụctrênAthìtrongĐịnhlý 2.3cóthểthayI n bởiA.
“ pq “ p pq pq q Định lý 2.4 Giả sử ϕ:R n ẹRlà hàm khả vi cấp hai, nếu điều kiện(2.3)và(2.4)thỏamãnvànếuϕ pkqpzq“ϕ pk`1qpzqsuyra(2.2).Khiđó,ϕlàlồiSch urchặttrênR n
Nhận xét 2.4.Do tính đối xứng của hàmϕnên để chứng minh hàmϕlàhàm lồi Schur chúng ta thường xét trong trường hợpn2 mà vẫn khônglàmmấttínhtổngquátcủanó.
CáckếtquảliênquanđếnhàmlồiSchur
HàmlồiSchurtrêntậpconcủaRn
Mệnhđ ề 2 4 C h oAĂR n ,c á c h à m t h ự c ϕ 1 , ,ϕ k x á cđ ị n h t r ê nA v à hl à h à m t h ự c x á c đ ị n h t r ê nR k ,x é t h à m ψ xh ϕ 1 x, ,ϕ k x
(5) Nếuh t ă n g t r ê nR k v à m ỗ i ϕ i làt ă n g v à l ồ i S c h u r t r ê nA t h ìψ l à t ăngvàlồiSchurtrênA.
(6) Nếuh g i ả m t r ê nR k v à m ỗ i ϕ i làt ă n g v à l ồ i S c h u r t r ê nAt hìψ l à gi ảmvàlõmSchur trênA. p pq pq q ď p pq pqq ś
(7) NếuhtăngtrênR k v à mỗiϕ i làgiảmvàlõmSchurtrênAthìψl à giả mvàlõmSchur trênA.
(8) NếuhgiảmtrênR k v à mỗiϕ i làgiảmvàlõmSchurtrênAthìψl à tăng vàlồiSchurtrênA.
(9) Nếuh t ă n g t r ê nR k v à m ỗ i ϕ i làg i ả m v à l ồ i S c h u r t r ê nAt hìψ l à gi ảmvàlồiSchurtrênA.
(10) NếuhgiảmtrênR k v à mỗiϕ i làtăngvàlõmSchurtrênAthìψl à giả mvàlồiSchurtrênA.
(11) NếuhtăngtrênR k v à mỗiϕ i làtăngvà lõmSchu rtrênAthìψl à tăn gvàlõmSchurtrênA.
(12) Nếuh g i ả m t rê nR k v à m ỗ i ϕ i làg i ả m v à l ồ i S c h u r trênAthìψ l à tă ngvàlõmSchurtrênA.
Giảs ửxă yt r ê nD,v ìm ỗ iϕ i l à l ồ i S c h u r n ê nϕ i pxqď ϕ i pyq, i“1, ,k.Màhtăngnênhϕ 1 x, ,ϕ k x h ϕ 1 y, ,ϕ k y Khiđó,trườnghợ p(1) đã được chứng minh.C á c t r ư ờ n g h ợ p c ò n l ạ i c h ứ n g minhtươngtự.
Mệnhđ ề 2 5 Nếuϕ 1 , ,ϕ k lànhữnghà m lồ i Schurthì minpϕ 1 , ,ϕ k qv à m a x pϕ 1 , ,ϕ k q cũnglànhữnghàmlồiSchur.
Mệnhđ ề 2 6 N ế uϕ 1 , ,ϕ k l àn h ữ n g h à m l ồ i S c h u r v à ϕ i pxqě0v ớ i mọii v à x t h ì ψpxq“ś k ϕpxqlàhà m l ồ i S ch u r i
Mệnhđ ề 2 7 G i ảs ử ϕ l à l ồ i S c h u r t r ê nA R n v à v ớ im ọi x A.X ét hàm ψpxq“$
’%0n g oàira Khiđ ó , ψ t làh à m l ồ i S c h u r t r ê nA. Điềuđó cón g h ĩ a l àhà mtx|ϕpxqětulàl ồ i S c hu rk hiϕ làlồi Sc hu r.
HàmlồiSchurtrêntậpR n
Mệnh đề 2.8 Cho ϕ:R n ẹRvà g:RẹR, xột hàm ψpxq“ ϕ g x 1 , , g x n , t r o n g đ ó x x 1 , , x n Khi đó, chúng ta có cáctrườnghợpsau
(1) NếuϕlàhàmtăngvàlồiSchur,glà hàmlồithìψlàhàmlồiSchur.
(4) NếuϕlàhàmgiảmvàlồiSchur,glàhàmgiảmvàlõmthìψl àhàmtăngv àlồiSchur.
(5) Nếuϕ là h à m t ă ng v à l ồ iS ch u r , g l à h à m g i ả mv à l ồ i th ì ψ l à hà mgiả mvàlồi Schur.
(6) NếuϕlàhàmgiảmvàlồiSchur,gl à hàmtăngvàlõmthìψl à hàmgiảmv àlồi Schur.
Xéttrườnghợp(1)Giảsửx“px 1 ,x 2q,y“py 1 ,y 2qvớiαPr0,1s,α“1´α i“
1 vàx 1“αyy 1 `αyy 2 ,x 2“αyy 1 `αyy 2 Vìϕlàhàmtăngvàgl ồ inên ϕpgpx 1q,gpx 2qq“ϕpgpαy 1`αyy 2q,gpαy 1`αyy 2qq ďϕpαgpy 1q `αgpy 2q, αgpy 1q
`αgpy 2qq“ϕtαrgpy 1q,gpy 2qs`αyrgpy 2q,gpy 1q su.
Vì ϕtαrgpy 1q,gpy 2qs`αyrgpy 2q,gpy 1qsuăpgpy 1q,gpy y qq vàϕlàhàmlồiSchurnên ϕtαrgpy 1q,gpy 2qs`αyrgpy 2q,gpy 1qsuďϕrgpy 1q,gpy 2qs.
Hay xăyủ ϕrgpx 1q,gpx 2qsďϕrgpy 1q,gpy 2qs xăyủψpxqďψpyq
Khiđó,trườnghợp(1)đãđượcchứngminh.Cáctrườnghợpcònlạichứngminh tươngtự.
Mộtsốkiểu hàmlồiSchur thườnggặp
Địnhlý2.5([4]) ChoIĂRlàmộtkhoảngmởvàg:IẹRlàmộthàmlồi.Khiđú,h àmϕ:I n ẹRxỏcđịnhbởi ÿ n làh à m l ồ i S c h u r t r ê n I n
Chứngminh.D oN h ậ n x é t 2 4 , c h ú n g t a c h ỉ c ầ n x é t t r o n g t r ư ờ n g h ợ pn“2.G i ảs ửx“px 1 ,x 2q,y“py 1 ,y 2qvàx 1“αyy 1`αyy 2 ,x 2“αyy 1` αyy 2 ,vớiαPr0,1s,α“1´αy.Nếuxăythìtheotínhlồicủahàmgt acó gpx 1q`gpx 2q“gpαy 1`αyy 2q`gpαy 1`αyy 2q ďrαgpy 1q`αygpy 2qs`rαgpy 1q`αygpy 2qs“gpy 1 q`gpy 2q. ϕpxq“ gpx i q,x“px 1 ,x 2 , ,x n qPI n ř
VậyϕlàhàmlồiSchur. xăyủϕpxqďϕpyq.
Hệq u ả 2 1 G i ảs ử IĂRl àm ộ t k h o ả n g m ở v à ϕpxq“ đúg:IẹR.Khi đú n i“1 gpx i qtrong i) Nếug l à h à ml ồ i c h ặ tt rê n I t h ì ϕ l à h à m l ồ i S c h u r c h ặ tt rê n I n ii) Nếuϕ l à h à m l ồ i S ch u r c h ặ t t rê n I n t h ì g l à h à m l ồ i c h ặ t t r ên I.
Chứng minh.Trong cách chứng minh của Định lý2.5,nếuglà hàm lồichặt,α 0 ,1v à y 1 y 2t h ì b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t r o n g c h ứ n g m i n h đ ó l à c h ặ t
Do đó, trường hợp (i) được chứng minh; trường hợp (ii) được suy ra từMệnhđề2.2.
Hệq u ả 2 2 Gi ảsửIĂRlàmột k hoảngmởv à gl à h àmli ên tục trên I.
1 gpx i qlàhàmlồiSchurtrênI n thìgl à hàmlồitrênI.Nếu ϕpxq“
I. gx i làh à m l ồ i S c h u r c h ặ tt r ê n I n t h ìg l à h à m l ồ i c h ặ tt r ê n i“1
2 y 2 ,x“y,i“3,4, ,n.Khiđótheo i tínhlồiSchurcủahàmϕchúngtacó ÿ n ÿ n tứclà xăyủ i“
1 y 1`1 y 2 ˙ď1 gpy 1q`1 gpy 2q. Địnhlý 2 6 ([1]) NếuϕlàhàmđốixứngvàlồithìϕlàhàmlồiSchur.
Chứngminh.D on h ậ n x é t 2 4 , n ê n c h ú n g t a c h ỉ x é tt r o n g t r ư ờ n g h ợ p n“ 2.G i ảs ửx“ px 1 ,x 2q,y“py 1 ,y 2q,v ớ i αPr0,1s,α“ 1´αyv à x 1“αyy 1 `αyy 2 ,x 2“αyy 1 `αyy 2 Vìϕlàhàmlồinênnếuxăyt h ì ϕpx 1 ,x 2q“ϕpαy 1`αyy 2 ,αy 1`αyy 2q“ϕrαpy 1 ,y 2q`αypy 2 ,y 1qsďαyϕpy 1 ,y 2 q`αyϕpy 2 ,y 1q “ϕpy 1 ,y 2q.
Hệq u ả 2 3 N ế uϕ l à đ ố i x ứ n g v à l ồ i t r o n g m ỗ i c ặ p đ ố i s ố , c á c đ ố i s ố khácđượccốđịnh th ìϕlà hà mlồiSchur.
Hệq u ả 2 4 N ế uϕ l à đ ố i x ứ n g v à ϕpx 1 ,s ´x 1 ,x 3 , ,x n qlồit h e o x 1 v ớ i mỗis, x 3 , ,x n cốđ ịnh th ì ϕ làh àm l ồ iS ch u r.
Hàm lồi Schur được giới thiệu bởi I Schur năm 1923[4]và có nhiều ứngdụng quan trọng trong bất đẳng thức Mục đích của chương này nhằmtrìnhbàylạimộtsốbấtđẳngthứchìnhhọcliênquantrongtamgiácdướicách nhìntừtínhchấtcủahàmlồiSchur Chúngtôicũngtìmhiểumộtsố ứng dụng tính chất của hàm lồi Schur trong việc mở rộng các bất đẳngthức đẳng chu giải tích và bất đẳng thức đẳng chu hình học Các kết quảtrìnhbàyởđâyđượcsưutầmvàlàmrõtừtàiliệuthamkhảo[1]và[3].
3.1 Bấtđ ẳ n g t h f í c đ ẳ n g l i ê n q u a n c á c g ó c củat a m g i á c Để thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến các góc của một tam giácdùngđịnhnghĩahàmlồiSchur,tathiếtlậpcácbộtrộisauđây:VớiA,B,C làc á c g ó c c h o t r ư ớ c c ủ a t a m g i á cA B C,t a c óA`B`C“ πv àt ồ n t ạ iεvớią
3,3,3 ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq (3.1) ´π π π ¯ ´ π π ¯ nếutamgiácABCl à´ tamgiácnhọnvà π π π ¯
2,4,4 ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq
2 nếutamgiácABClàtamgiáctù.Dođó,nếuϕ:R 3 RlàhàmlồiSchurthì ϕ´π π π ¯ ďϕpA,B,Cqďϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq (3.4)
2 2 nếutamgiácABCl àtamgiácnhọnvà ϕ´π π π ¯ ďϕpA,B,Cqďϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq (3.6)
Như vậy, bằng cách chọn hàm lồi Schur khác nhau, ta sẽ đưa ra đượccác bất đẳng thức khác nhau liên quan đến các góc của tam giác. Trongcác kết quả về hàm lồi Schur trong phần này, hàm lồi Schurϕtheo
3 biếnsẽđượclấyởdạng ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“gpx 1q`gpx 2q`gpx 3q, trongđóglàhàmlồimộtbiếnchotrước.
Trong các bài toán sau, các bất đẳng thức được đưa ra với các hàmlượnggiácthườnggặpsin,cosvàtan.
Bàitoán1.Chứngminhrằng: a) Vớimọi tamgiácABC,ta có
Lờig i ả i X é th à m s ốfpxq“´sinxt r ê np0,πq.T ac ó , f 1 pxq“´cosx,f 2 pxq“sinxą0, @xPp0,πq.
Dođ ó , h à mfpxq“´sinxl àl ồ i c h ặ t t r ê np0,πq.T h e oĐ ị n h l ý 2 5 , h à m số ϕ:p0,πq 3ẹ Rxỏcđịnhbởi ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“´sinx 1´sinx 2´sinx 3 làh à m l ồ i S c h u r t r ê np0,πq 3 a) VớiABClàtamgiácbấtkỳchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho ´π π π ¯
Khiđó,từtínhlồiSchurcủahàmϕ,tasuyra ϕ´π π π ¯ ďϕpA,B,Cqďϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq hay
3ď´sinA´sinB´sinCď´sinpπ´2εvớiq´2sinεvới.
0ăsinpπ´2εvớiq`2sinεvớiďsinA`sinB`sinCď3
Bấtđẳngthứcđãđượcchứngminh. b) VớiABCl àtamgiácnhọnchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho ´π π π ¯ ´ π π ¯
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ ´π π π¯ ďϕpA,B,Cqďϕ´π ´ ε,π ´ ε,2εvới ¯ hay
3 ď´sinA´sinB´sinCă´2sin´π ´ ε ¯´sin2εvới. ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq. ăpA,B,Cqă
2sin´π ´ ε ¯`sin2εvớiďsinA`sinB`sinCď3
`sin2εvớią2vớimọiεvớią0đủnhỏ,tacóbấtđẳngthứccầnchứngminh. c) VớiABClàtamgiáctùchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho ´π π π ¯
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ ´π π π¯ ăϕpA,B,Cqăϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq hay π
4ď´sinA´sinB´sinCď´sinpπ´2εvớiq´2sinεvới.
0ăsinpπ´2εvớiq`2sinεvớiďsinA`sinB`sinCď1`?2.
Bàitoán2.Chứngminhrằng: a) Vớimọi tamgiácABC,ta có
Lờig i ả i Xéth à m s ốfpxq “´lnpsinxqtrênp0,πq.T a c ó f 1 pxq“´cotpxq,f 2 pxq“1 ą0,@xPp0,πq. ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq.
Dođó,hàmsốfpxq“´lnpsinxqlàlồitrênp0,πq.TheoĐịnhlý2.5,hàmsốϕ:p0
,πq 3ẹ Rxỏcđịnhbởi ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“´lnpsinx 1q´lnpsinx 2q´lnpsinx 3q làh à m l ồ i S c h u r t r ê np0,πq 3 a) VớiABClàtamgiácbấtkỳchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho ´π π π ¯
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ´π π π ¯ ďϕpA,B,Cqďϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq
2 ď´lnpsinAsinBsinCqď´lnpsinpπ´2εvớiqq´2lnpsinεvớiq
Bất đẳng đã được chứng minh. b) VớiABClàtamgiáctùchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho ´π π π ¯
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ´π π π ¯ ďϕpA,B,Cqďϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq
2 ď´lnpsinAsinBsinCqď´lnpsinpπ´2εvớiqq´2lnpsinεvớiq
Bất đẳng đã được chứng minh. ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq. ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq.
0ă? sinA`? sinB`? sinCď1`23 Lờig i ả i Tacóthểkiểmtrarằnghàmsốfpxq“´? sinxlàlồitrênp0,πq.
TheoĐ ị n h l ý 2 5 , h à m s ốϕ :p0,πq 3ẹ Rxỏcđ ị n h b ở i ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“´? sinx 1´? sinx 2´? sinx 3 làh à m l ồ i S c h u r t r ê np0,πq 3 a) VớiABClàtamgiácbấtkỳchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho ´π π π ¯
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ´π π π ¯ ďϕpA,B,Cqďϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq
3,3,3 hay ´3csinπď ´? sinA´? sinB´? sinCď´a sinpπ´2εvớiq´2? sinεvới.
B`?sin C ď3 ď3 ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq. ď?sin A`?sin B `?sin C ď3
4 2 2 2 b) VớiABCl àtamgiácnhọnchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho ´π π π ¯ ´ π π ¯
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ ´π π π¯ ďϕpA,B,Cqďϕ´π ´ ε,π ´ ε,2εvới ¯
2 2 hay ´3csinπď ´? sinA´? sinB´? sinCď´2csin´π´ ε ¯´? sin2εvới
2 ˆ 3 ˙ 1 4 Đểýrằng2 sin π´ ε `?sin2εvớią2vớimọiεvớią0đủnhỏ,tathuđược bấtđẳngthứccầnchứngminh. c) VớiABClàtamgiáctùchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho ´π π π ¯
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ ´π π π¯ ăϕpA,B,Cqăϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq hay
2csinπď ´? sinA´? sinB´? sinCď´a sinpπ´2εvớiq´2? sinεvới.
0ăa sinpπ´2εvớiq`2? sinεvớiď? sinA`? sinB`? sinCď1`23
2 `?sin2εvới ď?sin A`?sin B `?sin C ď3 ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq.
Tacó f 1 pxq“1 sinx,f 2 pxq“1 cosxą0,@xP´0,π ¯
3ẹR,xỏcđịnhbởi lồit r ờ n ´ 0, π ¯ T h e oĐ ị n h l ý 2 5 , h à m s ố ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“sin 2 x 1
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ ´π π π¯ ďϕpA,B,Cqďϕ´π ´ ε,π ´ ε,2εvới ¯ hay
3sin 2 πď sin 2 A` sin 2 B` sin 2 C ď2sin 2´ π εvới¯ sin 2 εvới.
2sin 2´ π εvới¯ sin 2 εvới. Đểýrằng2sin 2´ π εvới¯ sin 2 εvớiă1vớimọiεvớią0đủnhỏ.Tanhậnđược bấtđẳngthứccầnchứngminh.
Tacó f 1 pxq“sinx,f 2 pxq“cosxą0,@xP´0,π¯
Dođ ó , h à mfpxq“´cosxl àl ồ i t r ê n ´ 0, π ¯ T h e oĐ ị n h l ý 2 5 , h à m s ố ϕ:´0,π ¯
3ẹRxỏcđịnhbởi ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“´cosx 1´cosx 2´cosx 3 làh à m l ồ i S c h u r t r ê n ´ 0, π ¯ ´ 3. π π π ¯ ´ π π ¯
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ ´π π π¯ ďϕpA,B,Cqďϕ´π ´ ε,π ´ ε,2εvới ¯ hay
3ď´cosA´cosB´cosCď´2cos´π ´ ε¯´cos2εvới.
1ă2cos´π ´ ε ¯`cos2εvớiďcosA`cosB`cosCď3
`cos2εvớią1v ớ i m ọ iεvớią0đ ủ n h ỏ , t a n h ậ n đ ư ợ c bấtđẳngthứccầnchứng minh.
Tacó f 1 pxq“1 sinx,f 2 pxq“1 cosxą0,@xP´0,π ¯
3ẹRxỏcđịnhbởi lồit r ờ n ´ 0, π ¯ T h e oĐ ị n h l ý 2 5 , h à m s ố ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“´cos 2 x 1 ´cos 2 x 2 ´ cos 2 x 3 ăpA,B,Cqă
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ´π π π ¯ ďϕpA,B,Cqďϕpπ´2εvới,εvới,εvớiq hay ´3cos 2 π
3,3,3 ď´cos 2 A´ cos 2 B´ cos 2 Cď ´cos 2´ π ´ ε ¯´2cos 2 εvới
2ăcos 2´ π ´ ε ¯`2cos 2 εvớiď cos 2 A` cos 2 B` cos 2 Cď9
Lờigiải.a)Vớimě1,xéthàmsốfpxq“tan m x,@xP´0,π¯
Tacó f 1 x mtan m´1 x1 tan 2 x, f 2 pxq“mtan m´2 x
3ẹRx ỏ cđ ị n h b ở i ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“tan m x 1`tan m x 2`tan m x 3 ăpA,B,Cqăpπ´2εvới,εvới,εvớiq.
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ´π π π ¯ ďϕpA,B,Cq hay
Dođ ó , h à m s ốfpxq“´lntan x lồi c h ặ t t r ê n ´ 0, π ¯ T h e oĐ ị n h l ý 2 5 , hàms ốϕ :´0,π ¯
3ẹRx ỏ cđ ị n h b ở i ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“´lntanx 1 ´ lntanx 2 ´ lntanx 3
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕ´ π ππ ¯ ďϕpA,B,Cq ăpA,B,Cq. ăpA,B,Cq. π A B ą lnˆtanA
3.2 Bấtđ ẳ n g t h f í c l i ê n q u a n đ ế n c á c c ạ n h củatamgiác Đểthiếtlậpcácbấtđẳngthứcliênquanđếncáccạnhcủamộttamgiácdùng định nghĩa hàm lồi Schur, ta cũngsẽ thiết lập một số bộ trội chocácc ạ n h c ủ a t a m g i á c G i ả s ửa 1 ,a 2 ,a 3l à đ ộ d à i 3 c ạ n h c ủ a m ộ tt a m g i á cABC.Đ ặ ts“pa 1`a 2`a 3q{2l à n ử a c h u v i c ủ a t a m gi á c v à
0đủnhỏsaochocácbộtrộisauđâyđúng. pa,a,aqăpa 1 ,a 2 ,a 3qăps´ε,s´ε,2εvớiq.
Hơnnữa,đốivớicáctamgiáccân,tacó pa¯,a¯,a¯qăpa 1 ,a 2 ,a 3qă´s´2εvới,s
2 ϕpa,a,aqďϕpa 1 ,a 2 ,a 3qďϕ´s´2εvới,s
Dovậ y , n ế uϕ :p0,sq 3ẹ Rlàh à m l ồ i S c h u r t h ỡ ϕpa,a,aqďϕpa 1 ,a 2 ,a 3qďϕps´ε,s´ε,2εvớiq.
Sauđâylàmộtsốbất đẳngthứcđượcthiếtlập bằngcáchápdụngcủa cáckếtquảnhậnxétởtrênvớicáchchọnhàmϕthíchhợp.
Bàit o á n 8 G i ảs ửa 1 ,a 2 ,a 3l à b a c ạ n h c ủ a t a m g i á cA B C.C h ứ n g m i n h rằng a)
Lờig i ả i Vìh à m s ốfpxq“x 2 l ồ i t r ê np0,sq.T h e oĐ ị n h l ý 2 5 , h à m s ố ϕ:p0,sq 3 ẹ
` ε ¯ ϕpa,a,aqďϕpa 1 ,a 2 ,a 3qďϕ´s´2εvới,s
2 εvới a) VớitamgiácABCb ấ tkỳchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho pa,a,aqăpa 1 ,a 2 ,a 3qăps´ε,s´ε,2εvớiq.
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra ϕpa,a,aqďϕpa 1 ,a 2 ,a 3qďϕps´ε,s´ε,2εvớiq hay 3paq 2 ď a 2 `a 2 `a 2 ď2ps´εq 2 `4εvới 2
1ď a 2 `a 2 `a 2 ă1 pa 1`a 2`a 3q Bấtđẳngthứcđãđượcchứngminh. b) VớiABClàtamgiáccânchotrước,tồntạiεvớią0đủnhỏsaocho
Khiđó,doϕlàhàmlồiSchur,tasuyra hay
1pa 1`a 2`a 3q 2 ďa 2 `a 2 `a 2 ď3 ` a 2 `a 2 `a 2 ˘ ´2εvới„1 pa 1`a 2`a 3q´3εvới
1ď a 2 `a 2 `a 2 ă3 pa 1`a 2`a 2q Bấtđẳngthứcđãđượcchứngminh. c) VớiABClàtamgiáctùchotrước,tồntạiˆ εvớią0đủnhỏsaocho
, 2s ˙ďϕpa 1 ,a 2 ,a 3qďϕps´ε,s´ε,2εvớiq hay
2 s ,2 s ,2 s ˙ăps 1 ,s 2 ,s 3qăp2s,0,0q đúngchomọitamgiác.Trongmộtsốtrườnghợpđặcbiệt,tacókếtquảsauđ ây:
Bàit o á n 9 G i ảs ửa 1 ,a 2 ,a 3l à b a c ạ n h c ủ a t a m g i á cA B C C h ứ n gm i n h rằng
Lờig i ả i VớiAB Cl àt am giác bất kỳchot rư ớ c cócáccạnha 1 ,a 2 ,a 3,t ồntạiεvới ą0đủnhỏsaocho ´s s s ¯ ´ s 1 s 2 s 3 ¯ 2
Hơnnữa,hàmsốfpxq“´? xlàlồitrênp0,sq.TheoĐịnhlý2.5,hàmsố ϕ:p0,sq 3 ẹ
R,x“px 1 ,x 2 ,x 3qịẹϕpxq“´? x 1´? x 2´? x 3 làh à m l ồ i S c h u r t r ê np0,sq 3 T ừ ( 3 1 2 ) , t a s u y r a ϕ´s s s ¯ďϕ´s 1 ,s 2 ,s 3¯ ďϕps´2εvới,εvới,εvớiq hay ´3c sď ´c s 1 ´ cs 2 ´ cs 3 ď´? s´2εvới´2? εvới.
?să? s´2εvới`2? εvớiďcs 1 ` cs 2 ` cs 3 ď?
Bàit o á n 1 0 G i ảsửa 1 ,a 2 ,a 3l à bacạnhcủat am giácAB C.Chứngminh rằng 9
“ s 1 ` s 2 ` s 3 Lờig i ả i V ớ i ABCl àtamgiácbấtkỳchotrước,tồntạiεvới
3 1 1 1 ϕ:p0,sq ẹR,x“px 1 ,x 2 ,x 3qịẹϕpxq“ s´x 1
`s´x 3 làhàmlồiSchur.Khiđó,do(3.13),tasuyra ϕpa¯,a¯,a¯qďϕpa 1 ,a 2 ,a 3q
2slàchuvivà∆làdiệntíchcủatamgiác.Chứngminhrằng aqps 1{2qps 2{2qps 3{2q“ps´a 1qps´a 2qps´a 3qď´s ¯
Lờig i ả i a )V ớ iA B C l àt a m g i á c b ấ t k ỳ c h o t r ư ớ c , t ồ n t ạ iεvới 0 đủ nhỏsaocho pa,a,aqăpa 1 ,a 2 ,a 3q.
Vỡh à m s ốfpxq“´lnps´xqlồit r ờ np0,sqnờnh à m s ốϕ :p0,sq 3 ẹ
R ϕpx 1 ,x 2 ,x 3q“´lnps´x 1q´lnps´x 2q´lnps´x 3q làh à m l ồ i S c h u r t r ê np0,sq 3 T ừ đ ó t a s u y r a ´3lnps´aqď´lnps´a 1q´lnps´a 2q´lnps´a 3q hay
Dođó lnrps´a 1 qps´a 2 qps´a 3 qsďlnps´a¯q 3
Bấtđẳngthứcđẳngchucổđiểntrongmặtphẳnglàmộtbấtđẳng thứcl iênhệ giữachu vi vàdiện tíchcủa hình phẳng,được phátbiểu như sau: Địnhlý3.1([2]) GiảsửClàmộtđườngcongphẳng,kín,trơntừngkhúc,cóđộdài LvàAlàdiệntíchcủamiềnphẳnggiớihạnbởiC.Khiđó,tacó
Hơnnữa,dấuđẳngthứctrong(3.14)xảyranếuvàchỉnếuClàmộtđườngtròn. Đối với các đường congClà cạnh của đa giác, Lhuilier năm 1782 đãchứngminhrằngvớimộtđagiáclồiPtrongmặtphẳngbấtđẳngthứcsauđúng:
L 2 ě4αA, (3.15) trong đóαlà diện tích của đa giác ngoại tiếp hình tròn đơn vị có các cạnhsong song với các cạnh củaP Rõ ràngαπ Hơn nữa, đẳng thức trong(3.15)đúngnếuvàchỉnếuPl àđagiácngoạitiếpmộthìnhtròn. p3 2 π n π ÿ ÿ ÿ ÿ1 ÿ ř π ˜ ÿ á ÿ
Nếu chúng ta cố định số cạnh của đa giác, tức là xét trong lớp các đagiácncạnh.Khiđó,giátrịnhỏnhấtcủaαđạtđượcchođagiácđềuvàtac ó αěntan n“:d n
Mộtbấtđẳngthứcmạnhhơnđúngchocácđagiáctrongmặtphẳng,nhưsau: Địnhl ý 3 2 ([ 2 ] ) N ế uP n l àm ộ t đ a g i á c n c ạ n h c ó c h u v i L n v àd i ệ n tíchcủ ađ agiácl àA n thì
Một phiên bản khác của bất đẳng thức đẳng chu hình học(3.16)đãđược đưa ra ở dạng giải tích như sau Giả sửP n là một đa giác phẳngncạnh, nội tiếp trong một hình tròn tâmO, bán kínhr Gọia i là độ dàicạnh thứicủaP n và 2θ i là số đo góc ở tâm chắn cạnh thứicủaP n , tươngứng.Khiđó,chuviL n vàdiệntíchA n củađagiácP n là
2 sinθ i ěd n n i“1 sinθ i cosθ i (3.17) cospπ{ nq d n “ntanpπ{nq“nsin pπ {nq. pq pq“ ÿ ř
Từs i n 2θ `cos 2θ “1,h à mfpθq“sinθt h ỏ am ã n h ệ t h ứ c đ ạ o h à m fpθqf 2 pθq“´1`rf 1 pθqs 2 (3.18)
Hiệnnay,t ừ b ấ t đ ẳ n g t h ứ c ( 3.17)v à h à mf θ s i n θt h ỏ am ã n đ ẳ n g th ức(3.18),nhiều nhà toán học đã thiết lập các bất đẳng thức loại đẳngchu giải tích đối với các hàmfθkhác thỏa mãn đẳng thức đạo hàm tổngquáthơnđẳngthức(3.18).
Phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một số kiểu mở rộng bất đẳngthứcloạiđẳngchugiảitíchsửdụngmộtlớpđặcbiệtcáchàmlồiSchur Đểđ ơ n g i ả n , t a x é tI“p0,lq,v àk ý h i ệ u
D n “I n XH n pm,lq, Ω“ pδ, δ, , trongđóδ“ n i “ n 1 θ δqml
Bổ đề 3.1([3]) Nếuf:I n ẹRlà một hàm lồi Schur thỡfpΩqlà cựctiểutoàncụctrênD n Hơnnữa,nếuflàhàmlồiSchurchặttrênI n thìf pΩqlàcựctiểutoàncụcduynhấttrên D n
Chứngminh.V ì fl àhàmlồiSchurtrênI n nên fpSΘqďfpΘq, với mọi ma trận ngẫu nhiên képSvà mọi Θ trongI n Bây giờ, với Θ“pθ 1 , ,θ n qtrongI n ,lấy
S“rs ij s,s ij “ n,1ďi,jďn. fpΩq “fpSΘq ďfpΘq.
1 ÿ ˜ ÿ ÿ ÿ ˜ ÿ ÿ ÿ ff pq pq pq “p q pq “ “p q m Địnhlý3.3([3]) Giảsửfpθqlàmộthàmdươngthỏamãnđiềukiện fpθqf 2 pθq“a 0`a 1 f 1 pθq`a 2rf 1 pθqs 2 , (3.19) trongđ óa 0 ,a 1 v à a 2 l à nhữn g h ằn g số Với θ i Pp0,lq,i “1, ,n, n i“
1 θ i “mlp0ămănq,v à σ“ n , giảs ử r ằ n g f 1 pθqf 2 pθq‰0t r ê np0,lq,v à
(i) 2f 1 pσqăa 1`pa 2`1qrf 1 pθ 1q`f 1 pθ 2qsnếuf 1 pθqf 2 pθqă0;h oặc
(ii) 2f 1 pσqąa 1 `pa 2 `1qrf 1 pθ 1 q`f 1 pθ 2 qsnếuf 1 pθqf 2 pθqą0.
1 fpθ i qf 1 pθ i q´ ô nfpσq´ n i“1 fpθ i q , và chú ý rằngFΩ 0,trong đó Ωσ , , σ Chúng ta sẽ chứng minhrằngFΘ l à hà mlồ i Schurchặtt r ênI n trongđóI0 ,l Khiđó ,Đị nh l ý3.3được suy ra từ Bổ đề3.1.DoFΘ l à h à m đ ố i x ứ n g t r ê nI n ,đểchứng tỏFΘlà hàm lồi Schur chặt trênI n ,ta chỉ cần chứng minh rằngtrênI n ,bấtđẳngthứcsauđúng á ff
BΘ i n i n i i i n i a 1rf 1 pθ 1q´f 1 pθ 2qs`pa 2`1q pf 1 pθ 1 qq 2 ´pf 1 pθ 2 qq 2
2Lpθqf 1 pθq´d!fpθqf 2 pθq`rf 1 pθqs 2 )`2rnfpσq´LpΘqsf 1 pθq
“2nfpσqf 1 pθ i q´d n !a 0`a 1 f 1 pθ i q`pa 2`1qrf 1 pθ i qs 2 ) , i“1,2.
Trường hợp 1: Giả sửf 1 pθqf 2 pθqă0.Nếuf 2 pθqă0 thìf 1 là hàm gi mảm trênp0, lqvàd n ą 0.N ế u f 2 pθqą0,t h ì f 1 l àh à m t ă n g t r ê np0, lqvàd n ă0.Dovậy,taluôncó
Trường hợp 2: Giả sửf 1 pθqf 2 pθqą0.Nếuf 2 pθqą0,thìf 1 là hàm tăngtrênp0, lqvàd n ą0.N ế u f 2 pθqă0,t h ì f 1 làh à m g i ả m t r ê np0, lqvàd n ă0.Dovậy,taluôncó
2 pq “ nếuθ 1‰θ 2 H ơnnữa the o giảthi ết(i i ), a a 2` 1 f 1 pσqą ` rf 1 pθ 1q`f 1 pθ 2qs.
“ntan n.B ấ t đ ẳ n g t h ứ c x ả y r a d ấ u đ ẳ n g t h ứ c k h i v à c h ỉ k h i θ 1“¨¨¨“θ n “ n. Chứngm i nh Từ´hệth¯ức(3.19),choa 0“´1,a 1“0vàa 2“1.Khiđó, fθ sinθ,θ
0,2 ,làmộthàmdươngvàthỏamãnđẳngthức(3.19). f 1 pθqf 2 pθq“´sinθcosθă0, với θP´0,π ¯
Khôngm ấ t t í n h t ổ n g q u á t , g i ả s ửθ 1ďθ 2ď ¨¨¨ďθ n K h iđ ó , t a c ó f 1 pσq“cosπ ăcosθ 1`cosθ 2“a
Hệquả 3 3 Giảsửfpθqlàmộthàmdươngthỏamãnđiềukiện fpθqf 2 pθq“a 0`a 1 f 1 pθq`a 2rf 1 pθqs 2 trongđ óa 0 ,a 1 v à a 2 l à nhữn g h ằn g số Với θ i Pp0,lq,i “1, ,n, n i“
1 θ i “mlp0ămănq,v à σ“ n , giảs ử r ằ n g f 1 pθqf 2 pθq‰0t r ê np0,lq,v à
(i) 2f 1 pσqăa 1`pa 2`1qrf 1 pθ 1q`f 1 pθ 2qsnếuf 1 pθqą0;
(ii) 2f 1 pσqąa 1 `pa 2`1qrf 1 pθ 1q`f 1 pθ 2qsnếuf 1 pθqă0.
Từđósuyra n i“1 fpθ i qf 1 pθ i qěn 2 rfpσqs —2nfpσq n i“1 fpθ i q,
0,t he obất đ ẳ ng t hứ c Jensen’stacó n i“
1 fpθqďnfpσq, (3.24) fpθ i qW i `nfpσq.
Hệquả3.3nóirằngnếufθ vàcáckếtquảliêncósựkhácbiệtnhấtđịnhphụthuộcvàohệthức fpθqf 2 pθq“a 0 `a 1 f 1 pθq`a 2 rf 1 pθqs 2 trong đóa 0 ,a 1vàa 2là những hằng số; và bất đẳng thức vi phân. Chúngtac ó t h ể c ó m ộ t b ấ t đ ẳ n g t h ứ c k h á c t ừ ( 3 2 4 ) S o s á n h ( 3 2 3 ) v à ( 3 2 4 ) , nó thật thú vị khi lưu ý rằng các giả thiết trong hệ quả(3.3)là điều kiệnđủchobấtđẳngthứccótrọngsốsau n i“
1 fpθ i qW i , trongđóW i f 1 pθ i q f 1 pσq >0,i“1, ,n.B ấ tđ ẳ n g t h ứ c x ả y r a d ấ u đ ẳ n g thứckhivàchỉkhiθ 1“¨¨¨“θ n “σ.
Trong phần này, chúng ta áp dụng các bất đẳng thức đẳng chu giải tíchnhậnđượctrongphầntrênđểđưaracácchứngminhđơngiảnchomộtsốbất đẳng thức hình học trong hình học sơ cấp Trong hình học, chúng tagọih ệ s ốL 2 ´4d n A n làt h â m h ụ t đ ẳ n g c h u c ủ a đ a g i á cP n N ó đ o đ ộ l ệ c h củaP n so với đa giác đều Bất đẳng thức(3.16)có thể được thay thế bởibấtđẳngthứckiểuBonnesensau
(iii) B n cónghĩalàtiệmcận. Điều quan trọng là phải tìm nhiềuB n khác nhau, vì nó sẽ cung cấp giớihạnthấphơnchosựthâmhụtđẳngsốcủaP n
Tronghìnhhọcphẳng,mộtđagiácđượcgọilà"cyclic"nếunónộitiếpđược trong một đường tròn Để đưa ra các bất đẳng thức đối với đa giác,chúng ta cần chú ý đến tính nội tiếp của đa giác đó. n n
2 π ÿ ÿ ˜ ÿ ÿ ÿ ˜ ÿ ÿ π ÿ n n n n Địnhlý3.4 ChoP n làmộtđagiácphẳngcóncạnhnộitiếptrongmộtđườngtrònb ánkínhRcóchuviL n vàdiệntíchA n Khiđó
“ntan , (3.26) trong đó l n là chu vi của đa giác đều n cạnh nội tiếp trong cùng đường trònvớiP n B ấ t đ ẳ n g t h ứ c x ả y r a d ấ u đ ẳ n g t h ứ c k h i v à c h ỉ k h i P n l àđ a g i á c đều.
Chứng minh.Nếua i là độ dài cạnh thứicủaP n ,vàθ i là nửa góc ở tâmđượcphụthuộcbởicạnhthứicủaP n ,i“1, ,n,khiđó
Tương tự,nếuchúngtađịnhnghĩachiềucaoh i củaP n làkhoảngcách n n n á ˜ á á á n
“ từt â m c ủ aP n đ ế nc ạ n h t h ứi c ủ a P n ,i“1, ,n,v àg ọ iH n “ř h i ,l à tổngchiềucaocủa
P n thìchúng tacócáchgiải thích hìnhhọcsauđâycủa π π ÿ “ 1 ÿ ˜ ÿ ÿ ÿ ˜ ÿ ÿ ÿ n n n n n n ÿ n Địnhl ý 3 5 C h oP n l àm ộ t đ a g i á c p h ẳ n g n c ạ n h n ộ i t i ế p t r o n g đ ư ờ n g trònbá nk ính R v ớ i t ổng c h i ều ca o H n ,c ó d i ệnt íc h A n K h i đ ó
, d “ncot , (3.27) trongđ ó H n “nRcos nl à t ổ n g c h i ề u c a o c ủ a đ a g i á c đ ề u n c ạ n h n ộ i t i ế p trongcùngđườngtrònvớiP n Bấtđẳngthứcxảyradấuđẳngthứckhivàchỉk hiP n làđ agiá cđều.
Chứng minh.Nếua i là độ dài cạnh thứicủaP n ,vàθ i là nửa góc ở tâmđượcphụthuộcbởicạnhthứicủaP n ,i“1, ,n,khiđó
1 Trìnhbàymộtsốkiếnthứccơbảnvềtậplồi,hàmlồi;tậpđốixứng,hàmđối xứng;matrậnhoánvị,matrậnngẫunhiênkép.