1172 một số định lý cơ bản của phép tính vi phân và ứng dụng trong giải toán sơ cấp luận văn tốt nghiệp

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN ĐŐ TH± KIM HU› MËT SO бNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CAP LUŠN VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC Bình Định - Năm 2021 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN ĐŐ TH± KIM HU› MËT SO бNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CAP CHUYÊN NGÀNH: PHương PHÁP TOÁN Sơ Mà SO: 8460113 CAP LUŠN VĂN THẠC SĨ TỐN HOC NGƯÍI HƯỴNG DAN KHOA HOC TS NGUYEN NGOC QUOC THƯƠNG Mnc lnc Mð đau 1 Kien thfíc sð 1.1 Tính liên tục hàm so 1.2 Tính khả vi hàm so Mët so định lý phép tính vi phân 2.1 Định lý Fermat 9 2.2 Định lý Rolle .10 2.3 Định lý Lagrange 11 2.4 Định lý Cauchy .14 2.5 Định lý L’Hospital 15 2.6 Định lý Darboux 16 2.7 Định lý Taylor .17 Ứng dnng giải toán sơ cap 20 3.1 Cháng minh đȁng thác toán giới hạn 20 3.2 Cháng minh bat đȁng thác .27 3.3 Tìm giá trị nhỏ nhat giá trị lớn nhat hàm so, bieu thác 41 3.4 Giải phương trình, bat phương trình 52 3.5 M®t so toán thi hoc sinh giỏi, olympic toán hoc .57 Ket luªn 71 Tài li»u tham khảo 72 i Mð đau Các định lý phép tính vi phân đóng vai trị quan nen tảng giải tích tốn hoc Chúng dùng đe cháng minh nhieu định lý khác giải tích có nhieu dụng vi»c giải quyet mđt so dng toỏn s cap Luên nham nghiờn cáu trình bày m®t cách có h» thong định lý phép tính vi phân, bao gom định lý Fermat, định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy, định lý L’Hospital, định lý Darboux, định lý Taylor m®t so dụng chúng vi»c giải m®t so tốn sơ cap cháng minh đȁng thác, cháng minh bat đȁng thác, toán giới hạn, tìm giá trị nhỏ nhat giá trị lớn nhat hàm so, giải phương trình bat phng trỡnh Luên cng gii thiằu mđt so bi toán thi chon hoc sinh giỏi olympic toán hoc cỏc cap Luên s l mđt ti liằu tham khảo bő ích cho giáo viên, hoc sinh phő thơng muon tìm hieu sâu ve định lý phép tính vi phân dụng chúng giải tốn sơ cap Luªn văn hồn thành Trường Đại hoc Quy Nhơn hướng dan tªn tình TS Nguyen Ngoc Quoc Thương Tơi xin gải lời biet ơn chân thành đen thay Tôi xin cảm ơn tat thay cô trực tiep giảng dạy chương trình đào tạo cao hoc chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cap khoá 22 Trường Đại hoc Quy Nhơn Cuoi bày tỏ lịng biet ơn đoi với gia đình, người thân đong nghi»p ủng h®, đ®ng viên tạo moi đieu ki»n thuªn lợi đe tơi hồn thành tot chương trình đào tạo cao hoc M°c dù co gang het sác thời gian lực cịn hạn che nên luªn văn khơng the trách khỏi nhǎng thieu sót Tơi rat mong nhªn góp ý q thay bạn đoc đe luªn văn hồn thi»n Tơi xin chân thành cảm ơn! Bình Đành, tháng năm 2021 Hoc viên Đő Thị Kim Hu» Chương Kien thfíc sð 1.1 Tính liên tnc hàm so Trong mục này, tài li»u sả dụng [2] Định nghĩa 1.1 Cho f m®t hàm so xác định trờn têp D R Ta núi rang ã f liên tục x0 P D neu @ε ą 0, Dδ “ δpϵq ą 0, @x P D, |x ´ x0 | ă δ ñ |f pxq ´ f px0 q| ă ε • f liên tục pa, bq Ă D neu f liên tục moi x P pa, bq Chú ý 1.1 Tà định nghĩa ta rỳt mđt so lu ý quan sau: ã Trong định nghĩa giới hạn hàm so lim f x , ta khơng địi hỏif xác định x p q xÑx neu f xác định x0 giá trị f px0 q khơng ảnh hưởng đen giới hạn mà bị chi phoi giá trị f nhǎng điem gan với x0 Tuy nhiên, trường hợp hàm so liên tục, giá trị f nhǎng điem gan với x0 yêu cau f phải xác định x0 giá trị f px0 q có ý nghĩa quyet định • Neu x0 P D điem giới hạn f liên tục x0 lim f pxq “ f px0 q x • Như vªy nói f khơng liên tục x0 có nghĩa x0 điem giới hạn D (vì moi điem lªp D hàm f ln liên tục) Khi ho°c khơng ton lim f pxq, ho°c giới hạn ton không bang f px0 q Nói cách khác x Dε ą 0, @δ ą 0, Dxδ P D : |xδ ´ x0 | ă δ ñ |f pxδ q ´ f px0 q| ě ε Ví dn 1.1 Hàm so f pxq “ ln x liên tục moi x ą Lời giải Co định x0 ą Khi với moi ε ą 0, xét δ “ x0 peε ´ 1q ą Với moi x P p0, δq ta có ´ ¯ ´ ¯ x x ´ x0 ˇ ˇ xˇ ˇ ´ ` ˇ “ ˇ ln `1 ˇ ˇ ln x ´ ln x “ ˇ ln ˇ “ˇ ln x x x 0 ˇ ˇ ´ ˇ ¯ˇ ˇ ´ ¯ˇ ˇ ε εˇ x x x ´ 1q pe ˇ ˇ 0 l l “ ε `1 ă l δ ˇ ˇ “ “ ` ˇ Suy lim ln x “ln x 0, tác ln x liên tục x xÑx0 Định nghĩa 1.2 Cho f hàm so xác định ra, bs Ă R Ta nói rang • f liên tục trái b neu lim f pxq “ f pbq; xĐb´ • f liên tuc phải a neu lim f pxq “ f paq; xĐa` • f liên tục ra, bs neu f liên tục pa, bq, liên tục phải a liên tục trái b Định lj 1.1 Cho hàm so f xác đành pa, bq x0 P pa, bq Khi đó, f liên tực x0 chí f liên tực trái liên tực phải x0 Định nghĩa 1.3 Cho f hàm so xác định D Ă R Ta nói rang f gián đoạn c P D neu f không liên tục c Điem c goi điem gián đoạn f Định lj 1.2 Neu hàm so f g liên tực x0 P D cỏc hm so f ` g, f ă g liờn tực x0 Hơn nũa, neu gpx0 q ‰ f liên tực g Định lj 1.3 (Tính liên tục hàm hợp) Neu hàm so f liên tực x0 P Df g liên tực y0 “ f px0 q P Ef Ă Dg hàm so g ˝ f liên tực x0 Định lj 1.4 (Định lý őn định dau) Giả sủ f liên tực x0 P D f px0 q ą (tương úng f px0 q ă Khi ton m®t khoảng I chúa x0 cho với moi x P pD X Iq ta có f pxq ą (tương úng f pxq ă 0q Định nghĩa 1.4 Cho f m®t hàm so xác định tªp D Ă R Ta nói rang f liên tục đeu D neu @ε ą 0, Dδ “ δpϵq ą 0, @x, y P D, |x ´ y| ă δ ñ |f pxq ´ f pyq| ă ε Định nghĩa 1.5 Giả sả hàm so f xác định D Ă R x0 P D • x0 goi điem cực đại hàm so f neu ton m®t khoảng pa; bq P D cháa điem x0 cho f pxq ă f px0 q, @x P pa; bqztx0 u Khi f px0 q goi giá trị cực đại hàm so f • x0 goi điem cực tieu hàm sof neu ton m®t khoảng pa; bq P D cháa điem x0 cho f pxq ą f px0 q, @x P pa; bqztx0 u Khi f px0 q goi giá trị cực tieu hàm s o f Chú j 1.2 • Điem cực đại (cực tieu) x0 goi chung điem cực trị Giá trị cực đại (cực tieu) f px0 q hàm so goi chung cực trị Hàm so có the đạt cực đại ho°c cực tieu nhieu điem tªp hợp D • Nói chung, giá trị cực đại (cực tieu) (f px0 q) giá trị lớn nhat (nhỏ nhat) hàm so f tªp D; f px0 q giá trị lớn nhat (nhỏ nhat) hàm so f m®t khoảng pa; bq cháa x0 ã Neu x0 l mđt iem cc tr ca hàm so f điem px0 ; f px0 qq goi điem cực trị đo thị hàm so f Định nghĩa 1.6 Giả sả hàm so f xác định D Ă R • So m giá trị nhỏ nhat hàm so f D # f pxq ě m, @x P D ô Dx0 P D; f px0 q “ m # f pxq ď M, @x P D ô Dx0 P D; f px0 q “ M Kí hi»u: m “ f pxq D • So M giá trị lớn nhat hàm so f D Kí hi»u: M “ max f pxq D Định lj 1.5 (Weierstrass - Tính bị ch°n) Giả sủ f liên tực ra, bs Khi f bà ch¾n ra, bs Túc là, DA, B P R : A ď f pxq ď B, @x P ra, bs Định lj 1.6 (Weierstrass - Giá trị lớn nhat giá trị nhỏ nhat) Giả sủ f liên tực ra, bs Khi f đạt giá trà lớn nhat giá trà nhó nhat ra, bs Túc là, Dx1 , x2 P ra, bs : f px1 q ď f pxq ď f px2 q, @x P ra, bs Định lj 1.7 (Bolzano - Cauchy - Giá trị trung gian) Giả sủ f liên tực ra, bs v f paq ă f pbq Khi ton c P pa, bq đe f pcq “ Định lj 1.8 (Bolzano - Cauchy - Giá trị trung gian) Giả sủ f liên tực ra, bs Khi f nh¾n moi giá trà trung gian giũa f paq f pbq Túc là, @C P rmintf paq, f pbqu, maxtf paq, f pbqus, Dc P ra, bs : f pcq “ C Định lj 1.9 Neu hàm so f đơn đi»u mđt khong Ipa, bq no ú v hp cỏc giá trà m®t khoảng Ipm, M q f liên tực Ipa, bq Định lj 1.10 (Tính liên tục hàm so sơ cap) Moi hàm so cap đeu liên tực mien xác đành chúng 1.2 Tính khả vi hàm so Trong mục này, tài li»u sả dụng [2] Định nghĩa 1.7 Cho hàm so y “ f pxq xác định pa, bq Cho x0 P pa, bq m®t so gia ∆x đủ nhỏ cho x “ x0 `∆x P pa, bq Neu ton giới hạn f pxq ´ f px0 q lim f px0 ` ∆xq ´ f px0 q “ lim xÑx ∆xÑ0 ∆x x ´ x0 ta nói f có đạo hàm x0 Giới hạn goi đạo hàm hàm f x0 kí hi»u f px0 q Chú ý rang giới hạn phụ thu®c vào x0 nên neu f có đạo hàm moi x P D Ă pa, bq ta sě có m®t hàm so f xác định D goi đạo hàm hàm so f D Ví dn 1.2 Tính đạo hàm hàm so f pxq “ x2 Lời giải Với moi x0 P R, ta có lim xĐx0 f p xq ´ f p x0 q x ´ x0 x2 ´ x2 lim x ´ x0 “ lim px ` x0 q “ 2x0 “xÑx x Vªy f có đạo hàm moi x0 P R f px0 q “ 2x0 Định nghĩa 1.8 Hàm so xác định pa, bq goi có đạo hàm phải x0 P pa, bq neu ton giới hạn phải lim f px0 ` ∆xq ´ f px0 q “ lim ∆xÑ0` f pxq ´ f px0 q xÑx ` x ´ x0 ∆x Ta goi giới hạn đạo hàm phải hàm f x0 kí hi»u f`1 px0 q hay f px0 `q Định nghĩa 1.9 Hàm so xác định pa, bq goi có đạo hàm trái x0 P pa, bq neu ton giới hạn trái lim f px0 ` ∆xq ´ f px0 q “ lim ∆xÑ0´ f pxq ´ f px0 q xÑx ´ x ´ x0 ∆x Ta goi giới hạn đạo hàm phải hàm f x0 kí hi»u f´1 px0 q hay f px0 ´q Định lj 1.11 (Quan h» giǎa đạo hàm đạo hàm m®t phía) Hàm so f xác đành pa, bq có đạo hàm x0 P pa, bq neu chí neu f có đạo hàm m®t phía f 1 1 ´ px0 q “ f` px0 q Hơn nũa, lúc f´ px0 q “ f` px0 q “ f px0 q Chú j 1.3 Tà định lý trên, ta rút m®t so ý quan sau • Neu f khơng có m®t hai đạo hàm trái ho°c phải ho°c có hai đạo hàm trái phải khơng bang x0 f khơng có đạo hàm x0 Trong trường hợp sau, điem px0 , f px0 qq sě điem góc đo thị hàm so f • Neu f có đạo hàm trái (phải) x0 f liên tục trái (phải) x0; neu f có đạo hàm trái phải x0 f liên tục x0 Định lj 1.12 (Quan h» giǎa đạo hàm tính liên tục) Neu hàm so f có đạo hàm x P pa, bq f liên tực x Định lj 1.13 (Các phép toán) Giả sủ hàm so f g có đạo hàm x0 Khi • Hàm f ` g có đạo hàm x0 pf ` gq1 px0 q “ f px0 q ` g px0 q; ã Hm f ă g cng cú o hm ti x0 v pf ă gq1 px0 q “ f px0 qgpx0 q ` f px0 qg px0 q; • Neu gpx q ‰ hàm có đạo hàm x 0 f g ´ ¯1 f g px q0 “ f px0 qgpx0 q ´ f px0 qg px0 q r Định lj 1.14 (Định lý hàm hợp) Neu g có đạo hàm x f có đạo hàm gpxq hàm hợp f ˝ g có đạo hàm x pf ˝ gq1 pxq “ f pgpxqqg pxq Định lj 1.15 (Đạo hàm hàm ngược) Cho f hàm đơn đi»u nghiêm ng¾t pa, bq có đạo hàm x P pa, bq với f pxq ‰ Khi đó, hàm ngược f ´1 hàm f có đạo hàm y “ f pxq pf ´1 q1 pf pxqq f pxq “ Định nghĩa 1.10 Cho hàm so y “ f pxq xác định pa; bq có đạo hàm x P pa; bq Giả sả x so gia x cho x ` ∆x P pa; bq Tích f pxq∆x (hay y ∆x) goi vi phân hàm so y “ f pxq x với so gia ∆x, kí hi»u df pxq hay dy Định lj 1.16 (Quan h» giǎa đạo hàm vi phân) Hàm so f khả vi x chí f có đạo hàm x Định lj 1.17 (Các quy tac tính vi phân) Giả sủ hàm so f g khả vi x0 Khi • Hàm f ` g khả vi x0 dpf ` gqpx0 q “ df px0 q ` dgpx0 q; • Hm f ă g cng kh vi ti x0 v dpf gqpx0 q “ gpx0 qdf px0 q ` f px0 qdgpx0 q; • Neu gpx q ‰ hàm khả vi x 0 f g d ´ ¯ f g px0 qdf px0 q ´ f px0 qdg px0 q r Định nghĩa 1.11 Cho hàm so f pxq có đạo hàm f pxq pa, bq Khi đó, đạo hàm hàm so f pxq x0 P pa, bq goi đạo hàm cap hai f x0 g px q0 “ Kí hi»u: f px0 q “ pf q1 px0 q Tőng quát, đạo hàm cap n f đạo hàm cap m®t hàm đạo hàm cap pn ´ 1q f kí hi»u f pnq pxq Tác là, ta có f pnq “ pf pn´1q q1 pxq Định lj 1.18 (Quan h» giǎa đạo hàm vi phân) Hàm so f khả vi cap n x chí f có đạo hàm cap n x