1171 một số định lý cổ điển trong hình học tổ hợp và áp dụng trong giải toán hình học luận văn tốt nghiệp

B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯÍNGĐ Ạ I H O C Q U Y N H Ơ N PHẠMTH±PHƯƠNGDUNG MËTSOбNHLÝCOĐIENTRONGHÌNHHOCTOHĐ PVÀÁPDỤNGGIẢITỐNHÌNHHOC LUŠNVĂNTHẠCSĨTỐNHOC BìnhĐịnh-Năm2021 PHẠMTH±PHƯƠNGDUNG LUŠNVĂNTHẠCSĨTỐNHOC Đetài MËTSOбNHLÝCOĐIENTRONGHÌNHHOCTOH ĐPVÀÁPDỤNGGIẢITỐNHÌNHHOC CHUNNGÀNH:PHƯƠNGPHÁPTỐNSƠCAPM ÃSO:8460113 Ngườihướngdan:PGS.TS.LÊCƠNGTRÌNH Năm2021 Mnclnc ĐịnhlýSylvester-Gallaivàápdnnggiảitốnhìnhhoc 1.1 1.2 ĐịnhlýSylvester-Gallaivàm®tsophépchángminh 1.1.1 ĐịnhlýSylvester-Gallai 1.1.2 PhépchángminhcủaGallai .4 1.1.3 PhépchángminhcủaKelly 1.1.4 PhépchángminhcủaSteinberg .8 1.1.5 ChángminhcủaKellychocâuhỏicủaSylvester M®tmởr®ngcủaĐịnhlýSylvester-Gallai 11 1.2.1 Tínhđoingau 12 1.2.2 CôngthácEuler-Pointcaré 14 1.2.3 ChángminhĐịnhlýMelchior 15 1.3 ĐịnhlýSylvester-Gallaichohođườngthȁng 16 1.4 ĐịnhlýSylvester-Gallaichođườngtròn 17 ĐịnhlýHellyvàmëtsốpdnngtrongHìnhhoctohđp 18 2.1 Dạngm®tchieucủaĐịnhlýHelly 18 2.2 ĐịnhlýCaratheodory 19 2.2.1 Tªploi 19 2.2.2 BaoloivàĐịnhlýCaratheodory 20 2.3 ĐịnhlýRadon .22 2.4 DạngtőngquátcủaĐịnhlýHelly .23 2.5 M®tsốpdụngcủaĐịnhlýHelly 25 2.5.1 ĐịnhlýKlee 25 2.5.2 ĐịnhlýRey-Pastó-Santaló 26 2.5.3 ĐịnhlýJung .27 2.5.4 ĐịnhlýHellytrongm°tphȁng 30 Ketluªn 42 Tàili »u thamkhảo 43 MÐĐAU Hình hoc tő hợp pha tr®n nguyên lý tà lĩnh vực tő hợp hìnhhoc Hình hoc tő hợp đe cªp đen ket hợp sap xep đoi tượng hìnhhoc với thu®c tính rời rạc đoi tượng Nó liên quan đen cácchủ đe đem, phủ, tô màu, gap, đoi xáng, lát, phân hoạch, đoi tượnghình hoc Hình hoc tő hợp bao gom khía cạnh tơpơ, lý thuyet đo thị, lýthuyetsovàcácngànhkhác M°c dù Hình hoc tő hợp nghiên cáu nhà toán hoc cő điennhư Euler Kepler, nhieu kien thác nâng cao ve Hình hoc tő hợp cphỏttrienketgiathek2 Chenycngóthuhỳtsquantõmcanhtoỏn hoctinngquỏcoPaulErdăos.Thuêtng"Hỡnhhocthp"dngnh c s dng lan au tiên vào năm 1955 H Hadwiger (Hadwiger vàDebrunner,1964) Có nhieu định lý cő đien Hình hoc tő hợp, với nhieu dụng thú vịtrong giải tốn hình hoc, so phải ke đen Định lý Sylvester-Gallai (đượcđe xuat Sylvester vào năm 1893 cháng minh lan đau tiên Gallaivàonăm1944),ĐịnhlýHelly(đượcđưarabởiHellyvàonăm1921), Vi»ctìmhieucác địnhlýcőđientrongHìnhhoctőhợpcùngvớicácángdụngcủachúngtronggiảitốnhìnhh oclàm®tvanđethựcsựcóýnghĩa Ngồimở đa u, k et lu ªn tà i l i » u th am kh ảo ,lu ªn v ă n đ ượcb oc ụcth àn h haichương Chương1 ĐịnhlýSylvester-Gallaivàápdụnggiảitốnhìnhhoc Trong chương tác giả trình bày phát bieu Định lý Sylvester-Gallai cùngvớim®tsophépchángminhvàmởr®ngcủaĐịnhlýnày Chương2.ĐịnhlýHellyvàm®tsốpdụngtrongHìnhhoctőhợp Trong chương tác giả phát bieu trình bày cháng minh Định lý Hellydạngm®tchieuvàdạngtőngqt,cùngvớim®tsốngdụngcủaĐịnhlýHellytrongH ìnhhoctőhợp Đe tài hồn thành hướng dan khoa hoc tªn tình PGS.TS Lê Cơng Trình Tác giả xin gải lời cảm ơn sâu sac đen Thay nhªn lờihướngdan,giúpđơđehồnthànhluªnvănnày Nhân đây, tác giả xin gải lời cảm ơn chân thành đen Ban Giám Hi»u TrườngĐạihocQuyNhơn,PhịngĐàotạoSauđạihoc,KhoaTốnvàThongkêcùngqT hayCơgiáogiảngdạylớpcaohocTốnchunngànhPhươngphápTốnsơcapkhóa22,đãtªn tìnhgiúpđơvàtạomoiđieuki»ntotnhattrongthờigianhoctªpvànghiêncáuthựchi»nđetài M°cdùluªnvănđượcthựchi»nvớisựnolựccoganghetsáccủabảnthân,nhưng đieu ki»n ve thời gian hoc têp, cụng tỏc cú hn, trỡnhđkien thỏcvkinhnghiằmnghiờncỏucũnhnchenờnchacchanluênvnkhútrỏnhkhinhng thieu sút Tác giả rat mong nhªn nhǎng góp ý thȁng than, xây dựngcủaqthaycơgiáovàcácbạnhocviênđeluªnvănđượchồnthi»nhơn QuyNhơn,tháng07năm2021 Hocviên PhạmThịPhươngDung Chương1 ĐịnhljSylvesterGallaivàápdnnggiảitốnhìnhhoc Trong chương chúng tơi phát bieu trình bày m®t so phép cháng minhcủaĐịnhlýSylvester-Gallai,cùngvớim®tsốpdụngcủaĐịnhlýnàyđegiảim®t so tốn hình hoc liên quan Các khái ni»m ket chương nàyđượctőnghợpvàtrìnhbàylạitàcáctàili»u[4],[5] 1.1 1.1.1 ĐịnhljSylvester-Gallaivàmëtsophépchfíngminh ĐịnhljSylvester-Gallai Năm 1893, Sylvester đ°t câu hi sau õy: "Cho mđt têp hu hn iemtrong mt phȁng cho đường thȁng qua hai điem tªp hp luụn chỏa mđtiem thỏ ba ca têp hp ú Khi li»u điem tªp hợp có thȁng hàngkhông?" Địnhn g h ĩ a C h o P = { p1,p2, ,pn},n≥ l t ª p h ợ p c c đ i e m k h ô n g thnghngtrongmtphng.Mđtngthnggoilngthngnoin e u nú chỏaớtnhathaiiemcatêphpvcgoilngthngthng(ordinary) neunúchchỏaỳnghaiiemtrongtêphp nhlj1.1.2(Sylvester-Gallai).Mi hpPgomn3iem khụng thnghngtrongmắtphngluụnxỏcnhớtnhatmđtngthngthng 1.1.2 PhộpchfớngminhcaGallai õy l mđt nhng cháng minh đau tiên đ°t tên cho định lý.Cháng minh đượcGallaiđưara năm 1944.Đau tiên giới thi»ukháini»mvephépbienđőixạảnh,làcơsởcủachángminh Kýhi»u E ilà khơnggianEuclidethựcichieu Định nghĩa 1.1.3.M®t xạΘ :Ei→EjcódạngΘ ( x)= j phép bien đői xạ ảnh m®t ánh A x +b ,t r o n g đ ó x l m ® t v e c t c ® t t r o→n g E i,A:E iE l mđt cTx+d matrênthc cjxi, b l m®t vectơ c®t gom j phan tả, c vectơ cđt gom i phantvdlmđtsothc Vớdn1.1.4.Cho P E2l mđttắphpnhtrongHỡnh1.1 Hỡnh1.1.TêphpP TrongH ì n h , t ª p h ợ p P g o m c c đ i e m p 1, ,p7.C c đ n g t h ȁ n g m u đ ỏ l cácđườngthȁngnoitrong Pđ i quađiem p 5.Cácđườngthȁngmàuxanhlàcácđườngth ȁngnoikhơngđiquađiem p ÁpdụngphépbiendőixạảnhsauđâytrênmoiđiempicủatªphợpP x Θ y = x−y x+2y+20 3x+4y−20 Trongphépbienđőixạảnhnày, A= 20 ,b= ,c= vàd =0 −2 − Neu ta bien đőiPbởiΘ1thì đường thȁngx=y, bao gomp5, chieu đenvơcực.Khiđóảnh Θ 1(P)giong nhưtrongHình1.2 Chúng ta thay rang ảnh đường thȁng cháa p5đeu song song vớiđường thȁngx=yvà điem thȁng hàng Pđeu nam m®t ngthngnoichung SthnghngúcngcbotontrongtrnghpPl mđttêphuhnbatk,ieun yscchỏngminhtrongHằqu1.1.6vBe1.1.7 Hỡnh 1.2.nh catêp hpP ^ nhngha1.1.5.MđttêphpPE2c goi làphự thu®c affineneu tontại m®t ho hǎu hạn điemp1, , pr∈P^v λ1, , λr∈Rkhông đong thời bang0saocho λ 1p1+ +λrpr=0và λ 1+ +r=0 Hằ qu 1.1.6.Mđt hp^P={p1, p2, p3}ph thuđc affine chí chúngthȁnghàng Chúngminh.P^= {p1 ,p2 ,p3 }thȁnghàngkhivàchỉkhitac ó thechonλ ,λ2∈ R{0}saocho λ 1(p1−p3)+λ2(p2−p3)=0 Hơnnǎa,vì λ 3= −(λ1+λ2)n ên tacó: 0= λ 1(p1−p3)+λ2(p2−p3) =λ 1p1+λ2p2−(λ1+λ2)p3 =λ 1p1+λ2p2+λ3p3 DoúP^phthuđcaffinekhivchkhibaiemp ,p ,p 3thnghng Boe1.1.7.NeuP^lmđttắphpcỏciemphthuđcaffinetrongE 2v cTp+d/ ^ =0vimoipPthỡ(P)cngphthuđcaffine.Chỳngm i n h X e m [McMullen],trang19-20 Hằqu1.1.6vBe1.1.7suyrarangbaiemthnghngtrongtêphp Pv an thȁng hàng qua phép bien đői xạ ảnh Nói cách khác, moi phép bienđőixạảnhbienm®tđườngthȁngnoithànhm®tđườngthȁngnoi Cháng minh Định lý 1.1.2 (Gallai, 1944) Chon mđt iem p1bat k trongtêpP Neup1thu®c m®t đường thȁng thường ta có đieu phải cháng minh.Ngược lại, giả sả p1khơng thu®c bat kỳ đường thȁng thường nào, tác cácđườngthȁngnoip1và m®tđiemkhácthu®cPln làđườngthȁngnoicháap1v h a i đ i e m k h c c ủ a P C h o n m ® t đ n g t h ȁ n g đ i q u a p 1n h n g k h ô n g q u a ba tkỳđiemnàokháctrongP,vàchieuxạảnhđườngthȁngnàyravôcựcbang