Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 45 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
45
Dung lượng
390,01 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG THỊ MAI TRANG lu an n va tn to MỘT SỐ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ p ie gh TRONG GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w a lu f an nv oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z om l.c gm @ n a Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG THỊ MAI TRANG lu MỘT SỐ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ an n va TRONG GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 a lu oi lm ul f an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN z at TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG z om l.c gm @ n a Lu n va ac th si Mục lục Kiến thức sở lu 1.1 Giới hạn liên tục hàm số 1.2 Tính khả vi hàm số an n va Một số định lý xấp xỉ giải tích Định lý xấp xỉ Weierstrass 12 2.1.1 Giới thiệu đa thức đại số 12 2.1.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass 14 Định lý xấp xỉ Taylor 18 2.2.1 Định lý giá trị trung bình 18 2.2.2 Đa thức Taylor 19 p ie gh tn to 2.1 Định lý xấp xỉ Stone f an nv 26 2.3.1 Khái niệm ví dụ 26 2.3.2 Các hệ định lý Stone 31 Định lý xấp xỉ Newman 32 oi lm ul 2.4 a lu 2.3 d oa nl w 2.2 12 nh 35 z at Ứng dụng giải tốn sơ cấp Tính giới hạn hàm số 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 35 z 3.1 gm @ Kết luận 38 41 om l.c Tài liệu tham khảo 42 n a Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu lu Lý thuyết xấp xỉ chủ đề quan trọng nhận nhiều quan tâm giải tích tốn học toán ứng dụng Ngay khái nhiệm giải tích khái niệm giới hạn (giới hạn dãy số, giới hạn hàm số) xuất phát từ ý tưởng xấp xỉ Trong giải tích nhiều toán ứng dụng cho hàm số bất kỳ, người ta mong muốn xấp xỉ hàm số có tính chất "tốt hơn", chẳng hạn hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm phân thức hữu tỉ, an n va p ie gh tn to Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống số định lý xấp xỉ quan trọng giải tích, bao gồm Định lý xấp xỉ Weierstrass, Định lý xấp xỉ Taylor, Định lý xấp xỉ Stone, Định lý xấp xỉ Newman, Luận văn đề cập đến số ứng dụng quan trọng định lý xấp xỉ giới thiệu số toán nâng cao phù hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông d oa nl w a lu Ngồi Lời nói đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Luận văn cấu trúc thành ba chương Chương trình bày số kết sở giải tích cổ điển bao gồm giới hạn, liên tục khả vi hàm số Chương trình bày định lý xấp xỉ quan trọng giải tích Chương dành cho việc giới thiệu số ứng dụng định lý xấp xỉ Taylor toán sơ cấp thơng qua nhiều ví dụ tập minh hoạ oi lm ul f an nv nh Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm muốn tìm hiểu sâu vấn đề liên quan đến xấp xỉ giải tích z at Luận văn hồn thành Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học Thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối tơi xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân tơi z om l.c gm @ a Lu Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn n n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2020 Học viên Trương Thị Mai Trang lu an n va p ie gh tn to d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Kiến thức sở lu an Trong chương nhắc lại số kiến thức sở giải tích cổ điển, bao gồm giới hạn liên tục hàm số, tính khả vi hàm số Phép chứng minh chi tiết tham khảo [3] n va p ie gh tn to 1.1 Giới hạn liên tục hàm số d oa nl w Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp E R Số x0 P R gọi điểm giới hạn hay điểm tụ tập E với ε-lân cận Vε px0 q tx P R : |x x0 | εu x0 thỏa mãn a lu f an nv Ví dụ 1.2 ra, bs rVεpx0q X E sztx0u tx P E : |x x0| εu H Mọi x P ra, bs điểm giới hạn tập pa, bq, ra, bq, pa, bs, oi lm ul Số điểm giới hạn tập t1{n : n P Nu z at nh Nhận xét 1.3 Điểm giới hạn tập E thuộc khơng thuộc tập E z Một điểm tập E điểm giới hạn khơng điểm giới hạn tập E Chẳng hạn, số P E1 p2, 3s điểm giới hạn E1 , P E2 p1, 2q Y t3u không điểm giới hạn E2 gm @ l.c Điểm x P E gọi điểm cô lập E x không điểm giới hạn E om Định nghĩa 1.4 Cho c điểm giới hạn D R, f : D Ñ R hàm số xác định D Số ` P R gọi giới hạn hàm số f x tiến đến c a Lu n @ε ¡ 0, Dδ δpεq ¡ 0, @x P D, |x c| δ ùñ |f pxq `| ε n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ký hiệu lim f pxq ` f pxq Ñ ` x Ñ c x Ñc Ta biết tồn hay không tồn lim f pxq phụ thuộc vào “dáng điệu” x Ñc f hai phía c Ta có tình đơn giản trường hợp giới hạn phía Ta hình dung giới hạn bên trái hàm số f số mà f pxq dần x tiến đến c từ phía bên trái; giới hạn bên phải hàm số f số mà f pxq dần x tiến đến c từ phía bên phải Giả sử D R, c P R điểm giới hạn D Ta ký hiệu DL tx P D : x cu; DR tx P D : x ¡ cu Chú ý DL , DR rỗng lu Định nghĩa 1.5 Cho f hàm số xác định DL bên trái f c an H Số ` gọi giới hạn n va @ε ¡ 0, Dδ ¡ 0, @x P DL, c δ x c ñ |f pxq `| ε tn to Ký hiệu p ie gh lim f pxq `, x Ñc x lim f pxq `, d oa nl w Cho f hàm số xác định DR c H Số ` gọi giới hạn bên phải f @ε ¡ 0, Dδ ¡ 0, @x P DR , c x c Ký hiệu x ñ |f pxq `| ε δ lim f pxq `, Ñc f pc q ` Dễ thấy lim signpxq 1 lim signpxq x Ñ0 x Đ0 ? Ta có lim x Thật vậy, với ε ¡ tồn δ ε2 ¡ để với x ¡ xÑ ? ? ? mà x δ ε2 ta có | x 0| x δ ε oi lm ul f an nv Ví dụ 1.6 Đc a lu lim f pxq `, x f pcq ` Ñ c0 nh z at Định lý 1.1 (Quan hệ giới hạn giới hạn phía) Giả sử f hàm số xác định D c điểm giới hạn DL DR Khi z Ví dụ 1.7 Cho hàm số x 0, x x Đ0 x Đ0 n va Đ0 n Vì lim g pxq lim g pxq nên tồn lim g pxq a Lu x ¡ om %? x D xlim f pxq ` Ñc l.c g pxq $ &x2 gm @ D xlim f pxq ` ðñ D lim f pxq ` Ñc xÑ c ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cho hàm số k pxq $ &1 %x nu x Ô 0, nu x ¡ Vì lim k pxq lim k pxq nên không tồn lim k pxq x Ñ0 x Ñ0 x Định nghĩa 1.8 Cho f hàm số xác định D Ñ0 R Ta nói P D @ε ¡ 0, Dδ δpεq ¡ 0, @x P D, |x x0| δ ùñ |f pxq f px0q| ε f liên tục x0 f liên tục pa, bq D f liên tục x P pa, bq lu an Nhận xét 1.9 Trong định nghĩa giới hạn hàm số lim f pxq, ta khơng địi hỏi x Đ x0 n va p ie gh tn to f xác định x0 , f xác định x0 giá trị f px0 q khơng ảnh hưởng đến giới hạn mà bị chi phối giá trị f điểm gần với x0 Tuy nhiên, trường hợp hàm số liên tục, giá trị f điểm gần với x0 yêu cầu f xác định x0 giá trị f px0 q có ý nghĩa định P D điểm giới hạn f liên tục x0 lim f pxq f px0 q xÑ x d oa nl w Nếu x0 a lu Như nói f khơng liên tục x0 có nghĩa x0 điểm giới hạn D (vì điểm lập D hàm f ln ln liên tục) Khi khơng tồn lim f pxq, giới hạn tồn khơng f px0 q Nói cách khác Đ x0 f an nv x oi lm ul Dε ¡ 0, @δ ¡ 0, Dxδ P D : |xδ x0| δ đ |f pxδ q f px0q| ¥ ε Định nghĩa 1.10 Cho f hàm số xác định ra, bs R Ta nói nh z at f liên tục trái b lim f pxq f pbq; xÑ b Ña @ x z f liên tục phải a lim f pxq f paq; l.c gm f liên tục ra, bs f liên tục pa, bq, liên tục phải a liên tục trái b om Hàm số liên tục đoạn ra, bs có nhiều tính chất đặc biệt mà nói chung hàm số khơng liên tục liên tục khoảng pa, bq khơng có Ở phần ta trình bày số tính chất quan trọng n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định lý 1.2 (Weierstrass - Tính bị chặn) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f bị chặn ra, bs Tức là, DA, B P R : A Ô f pxq Ô B, @x P ra, bs Định lý 1.3 (Weierstrass - Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ ra, bs Tức là, Dx1, x2 P ra, bs : f px1q Ô f pxq Ô f px2q, @x P ra, bs Định lý 1.4 (Bolzano - Cauchy - Giá trị trung gian) Giả sử f liên tục ra, bs f paq.f pbq Khi tồn c P pa, bq để f pcq lu Định lý 1.5 (Bolzano - Cauchy - Giá trị trung gian) Giả sử f liên tục ra, bs Khi f nhận giá trị trung gian f paq f pbq Tức là, an n va @C P mintf paq, f pbqu, maxtf paq, f pbqu , Dc P ra, bs : f pcq C p ie gh tn to Hệ 1.6 Giả sử f liên tục ra, bs m, M giá trị nhỏ giá trị lớn f ra, bs Khi f nhận giá trị trung gian m M Tức là, @C P rm, M s, Dc P ra, bs : f pcq C d oa nl w 1.2 Tính khả vi hàm số a lu f an nv Định nghĩa 1.11 Cho hàm số y f pxq xác định pa, bq Cho x0 gia ∆x đủ nhỏ cho x x0 ∆x P pa, bq Nếu tồn giới hạn ∆x Ñ0 f px0 ∆xq f px0 q ∆x oi lm ul lim P pa, bq số f pxq f px0 q xlim Ñx x x0 z at nh ta nói f có đạo hàm x0 Giới hạn gọi đạo hàm f x0 ký hiệu f px0 q z Chú ý giới hạn phụ thuộc vào x0 nên f có đạo hàm x P D pa, bq ta có hàm số f xác định D gọi đạo hàm hàm f D gm @ Xét hàm số f pxq x2 Với x0 0 x0 q 2x0 n a Lu om x2 x20 lim xlim px xÑ x xÑ x x x Ñx Vậy f có đạo hàm x0 P R f px0 q 2x0 lim f p xq f p x0 q x x0 P R ta có l.c Ví dụ 1.12 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Xét hàm số f pxq sin x Với x0 lim x Ñ x0 P R ta có f pxq f px0 q sin x sin x0 lim xÑ x x x0 x x0 px x0q sin x x0 cos 2 xlim Ñx x x0 lim cos px x0q cos x 0 x Vậy f có đạo hàm x0 Ñ x0 P R f 1px0q cos x0 lu Vì đạo hàm định nghĩa thơng qua khái niệm giới hạn, cách tự nhiên ta có khái niệm đạo hàm phía an Định nghĩa 1.13 Hàm số f xác định pa, bq gọi có đạo hàm phải x0 P pa, bq tồn giới hạn phải n va to tn lim ∆x p ie gh Ñ0 f p x0 ∆xq f px0 q ∆x f pxq f px0 q x x0 lim x Ñ x0 Ta gọi giới hạn đạo hàm phải hàm f x0 ký hiệu f px0 q hay f px0 q d oa nl w Định nghĩa tương tự cho khái niệm đạo hàm trái hàm f x0 ký hiệu f1 px0 q hay f px0 q Ví dụ 1.14 Xét hàm số f pxq |x| Ta có a lu lim Ñ0 f an nv x x 1 xlim Ñ0 x f pxq f p0q x oi lm ul f pxq f p0q x lim $ &x sin x 0, x gm @ %0 x z f pxq z at Xét hàm số nh xÑ0 1 nên f p0q f p0q 1 x xlim 1 Ñ0 x Ta có om l.c x sin f pxq f p0q x x sin x1 x Rõ ràng không tồn lim sinp1{xq lim sinp1{xq nên f khơng có đạo Đ0 x Đ0 n a Lu x hàm phải đạo hàm trái x n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 Sử dụng định lý Weierstrass 2.1 cho hàm số định hàm đa thức PN có dạng PN py q N ¸ | | liên tục đoạn ra, as, ta xác ci y i i cho ε || y | PN py q| Ô aÔyÔa T c0 PN p0q vi y P ra, as ta có max y | | lu với x P K an n va i ci y i1 ||y| PN pyq f x ci f x i i1 N ¸ | p q| N PN p0q| Ô r p qs ε Bổ đề ?? chứng minh trường hợp đặc biệt p ie gh tn to Từ d oa nl w Với f1 , f2 max tf1 , f2 u f1 tf1 , f2 u f1 P A |f1 2 f2| f1 2 f2 |f1 f2| f2 |f1 f2| 2 2 f2 hàm số max f1 , f2 f1 , f2 2 t u t u a lu xấp xỉ phần tử tập A xác định K Bổ đề 2.20 chứng minh cho trường hợp hàm f1 f2 thuộc A f an nv oi lm ul Trong trường hợp có hữu hạn hàm số, bổ đề ?? chứng minh phương pháp quy nạp nh z at Bổ đề 2.16 ([5]) Cho A đại số Stone xác định tập compact K Khi với x1 , x2 P K, x1 x2 với c1 , c2 P R, tồn ` P A cho z `px2 q c2 (2.24) gm @ `px1 q c1 , (2.25) n g px2 q g h hpx1 q g px2 q g px1 q a Lu f1 : om l.c Chứng minh Vì tập đại sốA tách điểm K nên tồn hàm số g cho g px1 q g px2 q Mặt khác, tập đại số A không triệt tiêu K nên tồn hàm h cho hpx1 q Khi hàm n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 29 Rõ ràng f1 px1 q f1 px2 q Tương tự, tập đại số A chứa hàm f2 cho f2 px1 q f2 px2 q Do tập đại số A không bị triệt tiêu K nên tồn hàm k px2 q f : Vì vây hàm k g px1 q g k px2 q g px1 q g px2 q ` : c1 f1 c2 f thuộc đại số A thỏa mãn điều kiện 2.24 Bổ đề 2.19 chứng minh lu Bổ đề 2.17 ([5]) Cho F hàm liên tục xác định tập compact K Khi với z P K ε ¡ 0, tồn hàm f1 , f2 , , fn P A cho bao Mz chúng thỏa mãn hai tính chất sau an n va Mz pz q F pz q; @x P K tn to Mz pxq ¡ F pxq ε p ie gh Chứng minh Theo bổ đề 2.16 với điểm x0 hàm ly cho P K với điểm y P K khác x0 tồn d oa nl w ly px0 q F px0 q ly py q F py q (2.26) ly hàm liên tục nên tồn tập mở Gy chứa điểm y cho ly pxq ¡ F pxq với x P Gy X K (2.27) a lu oi lm ul f an nv Vì K tập compact nên tồn hữu hạn điểm y1 , y2 , , yr tương ứng thuộc tập phủ hữu hạn Gy1 , Gy2 , , Gyr phủ K Bởi vậy, đặt fi lyi bao Mx0 hàm số f1 ly1 , , fr lyr thỏa điều kiện bổ đề 2.17 Vì từ 2.26 ta có ( Mx0 px0 q max f1 px0 q, , fr px0 q max ly1 px0 q, , lyr px0 q ( F px0q z at nh Mặt khác với x P K thuộc tập Gyi đó, ta có z Mx0 pxq max tly1 pxq, , lyr pxqu ¥ lyi pxq ¡ F pxq gm @ Kết hợp với (2.27), bổ để 2.17 chứng minh om l.c Bổ đề 2.18 (về xấp xỉ của hàm liên tục bao bao dưới) Cho F hàm số tùy ý liên tục tập compact K Khi với ε ¡ ln tồn họ hữu hạn bao trội Mx1 , Mx2 , ,Mxl F tương ứng với điểm khớp xi ; bao họ thỏa mãn bất đẳng thức @x P K (2.28) n ε a Lu F pxq ε mpxq F pxq n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 Chứng minh Rõ ràng hàm số Mx0 liên tục thỏa mãn hai đẳng thức bổ đề 2.17 Vì tồn tập mở Dx0 chứa điểm x0 cho Mx0 pxq F pxq ε với x P Dx0 XK (2.29) Vì K tập compact nên tồn hữu hạn điểm x1 , x2 , , xl tương ứng từ phủ hữu hạn Dx1 , Dx2 , , Dxl phủ K Ta cần chứng minh hàm m tMx1 , Mx2 , , Mxl u thỏa mãn bất đẳng thức (2.28) Mặt khác hàm Mxi thỏa mãn bất đẳng thức Bổ đề 2.17 lu mpxq ¡ F pxq ε với x P K an (2.30) n va Và với x P K thuộc tập Dxi bt kỡ, theo bt ng thc (2.29) ( Ô Mx pxq F pxq ε i (2.31) p ie gh tn to mpxq Mx1 pxq, Mx2 pxq, , Mxl pxq Từ (2.30) (2.31) suy bổ đề chứng minh d oa nl w Từ kết bổ đề ta chứng minh định lý Stone a lu Chứng minh Định lý Stone Vì bao trội Mxi F bao hữu hạn hàm số từ A, từ kết bổ đề 2.15, hàm xấp xỉ hàm số A Mặt khác m tMx1 , Mx2 , , Mxl u f an nv oi lm ul m xấp xỉ bao m r pxq có dạng r pxq tf1 , f2 , , fi u , m z at nh r pxq xấp xỉ hàm g A Từ (2.28) fi P A Theo bổ đề 2.15 hàm m tồn hàm số g P A cho z F pxq ε g pxq F pxq @x P K |F pxq gpxq| ε @x P K Vậy định lý Stone chứng minh om l.c gm @ Hay ε n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 2.3.2 Các hệ định lý Stone Hệ 2.19 (Định lý Weierstrass thứ Rk ) K tập đóng bị chặn tùy ý Rk Khi với hàm số F liên tục K với ¡ 0, tìm đa thức Pn n pn1 , n2 , , nk q số ngun khơng âm có dạng Pn n1 ¸ n2 ¸ Pn ,n , ,n px1, x2, , xk q k nk ¸ j1 j2 cj1 ,j2 , ,jk xj11 xjkk (2.32) jk x px1 , x2 , , xk q thuộc Rk Pn thỏa mãn bất đẳng thức |F pxq P n| (2.33) lu với x P K an n va p ie gh tn to Hệ 2.20 (Định lý Weierstrass thứ hai Rk ) Với hàm F tuần hồn với chu kì 2π biến xj , j 1, 2, F liên tục tồn khơng gian R2 với ¡ tồn đa thức lượng giác Tn , với n pn1 , n2 q có dạng Tn pxq Tn1 ,n2 px1 , x2 q d oa nl w n1 ¸ n2 ¸ (2.34) raj ,j cosj1xcosj2y j1 j2 cj1 ,j2 sinj1 xcosj2 y bj1 ,j2 cosj1 xsinj2 y (2.35) dj1 ,j2 sinj1 xsin2 y s (2.36) thỏa mãn bất đẳng thức a lu |F pxq T npxq| với x px1 , x2 q P R2 oi lm ul f an nv (2.37) Hệ 2.21 Với hàm F liên tục tồn tập số thực thỏa mãn nh 8 xÑ8 lim F pxq lim F pxq xÑ8 (2.38) z at a1 x b1 x an x n bn x n (2.39) thỏa mãn bất đẳng thức n với x P p8, 8q (2.40) a Lu |F pxq Rnpxq| om l.c gm a0 b0 @ Rn pxq z Khi tồn phân thức hữu tỉ Rn pxqcó dạng n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 Chứng minh Hệ 2.19, 2.20, 2.21 Tập K đóng bị chặn khơng gian hữu hạn chiều Rk tập compact, tập đa thức Pn có dạng p2.32q tập đại số Stone K.Hệ 2.19 chứng minh Vì tập hàm tuần hồn với chu kì 2π biến liên tục tồn khơng gian R2 xem tập hàm liên tục hình xuyến hình xuyến tập compact, tập đa thức có dạng (2.34) tập đại số Stone hình xuyến Hệ 2.20 chứng minh lu Tập hàm số liên tục tập số thực thỏa mãn điều kiện (2.38) tương đương với tập hàm liên tục, ví dụ tọa độ cực, đường trịn C: ρ 1, ϕ P rπ, π s tập compact, tập phân thức có dạng (2.39) tập đại số Stone an n va p ie gh tn to 2.4 Định lý xấp xỉ Newman d oa nl w Định nghĩa 2.17 ([5]) Hàm số có dạng a lu Rn pxq a1 xk1 b1 x l ak , bl (2.41) b0 0, gọi phân thức hữu tỷ bậc n oi lm ul f an nv ú Ô k, l Ô n, a0 a0 x k b0 x l nh Trước tiên, việc có hàm f liên tục mà xấp xỉ phân thức hữu tỷ bậc n tốt xấp xỉ là đa thức đại số Newman Một ví dụ hàm Newman đưa hàm f pxq |x|, x P r1, 1s z at inf max ||x| Rn pxq| Ô ?n , x Rn e n 5, 6, 7, 8, (2.42) z x c , n c const ¡ (2.43) om l.c Pn gm En p|x|q inf max ||x| Pn pxq| ¥ @ Cùng lúc bất đẳng thức sau n a Lu Trước vào định lý Newman, ta chứng minh hai bổ đề đơn giản tồn ? phân thức bậc n mà giá trị tuyệt đối chúng đoạn r1, e n s nhỏ nhiều ? đoạn re n , 1s n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 Định nghĩa 2.18 ([5]) Hàm số có dạng Nn pxq ξ ξ pnq e1{ ?n n ¹1 ξk , x (2.44) k , gọi đa thức Newman bậc n Trước trình bày định lý xấp xỉ Newman ta chứng minh hai bổ đề sau Bổ đề 2.22 ([5]) Bất đẳng thức Nn ξ 1 N ξ 1 n n p q ¹ ξk ?n e p q k 0 ξ k (2.45) lu với n ¥ an n va Chứng minh Rõ ràng với hàm số p ie gh tn to αptq p1 tqe2t p1 Ta có với t đẳng thức tq ¡ 0, αp0q 0, α1p0q α2ptq 4te2t Vì ta ln có bất d oa nl w 1t t Ô e2t vi mi t ¥ (2.46) Từ (2.45) (2.46) ta có Nn ξ 1 N ξ 1 n # a lu n p q ¹ 2ξ p q k1 e exp 2 oi lm ul f an nv Ngoài với n ¥ 5, k n ¸ + ξ k k (2.47) pn 1q ?n1 e ? q ¥ 2pe ? e ? q ¡ 2p1 ?1 12 15 2ξ p1 ξ n q 2pe * " n exp 2 ξ 11ξξ n z at nh ¡ z ? q e2.5 6.5 1ξ n ?1n 1 ξ n a Lu p q e e?n p q om Nn ξ 1 N ξ 1 n l.c Từ (2.46) ta thu 1 e ? ?1n 2n gm @ Ngoài n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 Bổ đề 2.23 ([5]) Với n ¥ x P re Nn x N x n ?n , 1s, ta cú p q Ô ?1 (2.48) pq en ta Chứng minh Ta thừa nhận với x P rξ j , ξ j s, p q ¡ Với t ¡ a ¡ bổ đề t a p2.22q, quan hệ p2.44q j j n1 n1 Nn pxq ¹ ξk x ¹ x ξk ¹ ξk ξn ¹ ξj ξk ¤ N pxq ξ k x kj x ξ k k0 ξ k ξ n kj ξ j ξ k n k 0 nj 1 n n ¹ ξ l ¹ ξ l ¹ ξ l Nn pξ 1 q ?n e (2.49) ξ l l 1 ξ l ξ l Nn pξ 1 q lnj l 1 lu Bổ đề chứng minh an n va Định lý 2.24 (Newman, [5]) Xét phân thức hữu tỷ Rn có dạng tn to Rn pxq x Nn pxq Nn pxq Nn pxq Nn pxq (2.50) p ie gh Khi Rn pxq có bậc n n chẵn có bậc n d oa nl w Rn pxq xấp xỉ hàm số y n lẻ; |x| đoạn r1, 1s cho ? |x| Rn pxq Ô 3e n (2.51) a lu với n ¥ oi lm ul f an nv Chứng minh Vì hai hàm y |x| y |Rn pxq| hàm chẳn nên ta cần chứng minh bất đẳng thức (2.51) với x ¥ Trong trường hợp này, (2.44), ta có ? @x P r0, ξ ns r0, e ns, nh Ô Nn pxq Ô Nn pxq z at v ú z Ô Rn pxq ¤ x @ Vì ? om l.c gm ||x| Rnpxq| x Rnpxq Ô x e n ? Nếu x P re n , 1s, dùng bổ đề 2.23 với n ¥ ta tìm Nn pxq ||x| Rnpxq| 2x N pxq N pxq Ô |N pxq{N2pxq| e?n2 e?3n n n n n n a Lu Định lý chứng minh n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Ứng dụng giải toán sơ cấp lu an Trong chương chúng tơi trình bày số ứng dụng định lý xấp xỉ việc giải số toán sơ cấp bậc trung học phổ thơng n va tn to Tính giới hạn hàm số p ie gh 3.1 d oa nl w Bằng cách dùng công thức khai triển Taylor đến cấp thích hợp, ta giải số tốn tính giới hạn hàm số Ta xét số ví dụ sau Ví dụ 3.1 ([2]) Tính giới hạn sau ? a lu f an nv sinpsin xq x x2 L lim xÑ x5 oi lm ul Lời giải Vì mẫu số x5 nên ta cần khai triển tử số thành đa thức Taylor với độ xác đến opx5 q x Đ Vì sin x x x Ñ nên opx5 q opsin5 xq x Ñ x5 120 x3 z sin x x z at nh Theo cơng thức Taylor, ta có opx5 q sin5 x 120 opsin5 xq, x Ñ om sin3 x l.c sinpsin xq sin x gm @ n a Lu n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn va 35 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Khi sin3 x 3 x px x6 120 opx5 qq x αpxq x3 3x2αpxq 3xα2 α3pxq αpxq x5 120 x3 opx5 q x3 Suy x6 opx5q x Ñ 0, 36 x9 α3 pxq opx5q x Ñ 216 α p xq lu an n va Do opx5 q x Ñ p ie gh tn to sin3 x x3 x5 Tiếp theo ta chứng minh sin5 x x5 opx5 q, x Ñ d oa nl w Thật vậy, a lu nên αpxq f an nv sin5 x x5 Như vậy, x Ñ ta có x3 opx5 q x Ñ x5 120 x 13 x2 19 x4 z at x x2 x3 nh ? oi lm ul sinpsin xq x Tương tự x Ñ Ñ0 90 opx5 q 19 90 x5 n a Lu x 19 opx5 q om L lim 19 x5 60 l.c Vậy opx5 q x Ñ gm ? sinpsin xq x x2 @ Do opx4 q z x 13 x3 19 x5 opx5 q n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 Ví dụ 3.2 ([2]) Tính giới hạn sau L lim x ? Ñ0 tan x ex x2 arcsin x sin x Lời giải Tử số mẫu số phân thức vô bé x Đ Vì sin x x arcsin x x x3 x3 opx3 q opx3 q x Ñ nên mẫu số có dạng lu an arcsin x sin x n va x3 opx3 q x Ñ (3.1) tn to Từ ta cần khai triển tử số với độ xác đến opx3 q Ta có 1 p ie gh ex ? d oa nl w x x2 2! x3 3! t1 1 t t2 x3 tan x x opx3 q, x Ñ 0, opt3 q, t 16 opx3 q, t Ñ 0, x Đ Và từ tan x 1 1 p tan xq p2 tan xq2 p2 tan xq3 16 x3 x2 x3 x 2 opx3q x2 x x opx3 q, x Ñ optan3 xq f an nv a lu ? oi lm ul 1 1 tan x ex (3.2) x xlim Ñ x3 opx3 q opx3 q 2 om Ñ0 tan x ex x2 arcsin x sin x x Ñ l.c x opx3 q, gm L lim ? 32 x3 @ Từ p3.1q, p3.2q ta suy x2 z z at ? nh Khi tử số có khai triển n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Ví dụ 3.3 ([2]) Tính giới hạn 1 L lim x Ñ0 1 xÑ x sin2 x 2 lim sin x x x nên ta biến đổi dạng 00 Ta có Lời giải Giới hạn cần tính có dạng L lim x sin2 x Ñ0 x2 sin2 x x xlim Ñ0 x3 x2 r x opx3 q lu opxqs2 opx4 q opx2 qs x3 xlim Ñ x2 r x2 2 x2 an n va 13 p ie gh tn to 3.2 Chứng minh bất đẳng thức d oa nl w a lu Bất đẳng thức chủ đề quan trọng thú vị tốn sơ cấp Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức Trong phần ta áp dụng công thức khai triển Taylor hàm số sơ cấp để chứng minh số bất đẳng thức Ta xét ví dụ sau f an nv Ví dụ 3.4 ([1]) Tìm số thực c cho e x ¤ ecx @x P R oi lm ul ex (3.3) nh Lời giải Điều kiện cần: Giả sử (3.3) với x P R Điều tương ng vi ex x e z at Ô ecx 2 z x e x x2 om l.c e gm Ô ecx 0, ta @ Chia hai vế bất đẳng thức cho x2 Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta ex x2 c 12 n va Ñ0 x e n x a Lu Ô lim ecx ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Từ suy c ¥ Điều kiện đủ: Xét c ¥ Áp dụng công thức khai triển Maclaurin cho hàm số y y ex , ta ex ex 12 xn ¸ ¸ p1qnxn n! n n! n x2n ¸ ex p2nq! ¸ px2 qn n Ô n n! x2 n ¸ n lu an n! n n va e Ô ecx x2 2 p ie gh tn to Kết luận: c ¥ Ví dụ 3.5 ([1]) Chứng minh d oa nl w |xx 1| x1x| ln x| @x P p0; 1q Lời giải Sử dụng khai triển hàm Maclaurin hàm số y x ln x n ¸ | a lu |xx 1| |ex ln x 1| Ô | ex ta n! n f an nv |x ln x| x ln x n1 ¸ | | pn 1q! | |x ln x|e x ln x| oi lm ul n |x ln x|ex ln x | ln x|x1x z at nh 1 n n 1e 2ne Lời giải Nhân vế với e logarit hóa hai vế, ta 1 n ln ln n n 2n 1 1 1 1 ln ln n n n n n 2n ln n a Lu ðñ om l.c gm ne @ e z Ví dụ 3.6 ([1]) Chứng minh với số nguyên n ¡ ta có n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Đặt n x, ta cần chứng minh với x P p0; 1q x lnp1 xq x lnp1 xq x ln x Ta chứng minh bất đẳng thức cách dùng khai triển Maclaurin hàm số y lnp1 xq, với |x| Ta có x x x2 x3 x x x2 x3 x x2 2x2.2 3x2.3 x2 x3 x3 x4 ¡ 3 bất đẳng thức với x x4 lu ðñ x2 an x3 22 ¡ x2 x4 32 n va p ie gh tn to Ví dụ 3.7 ([1]) Cho hàm số f pxq khả vi liên tục đến cấp hai đoạn r0, 1s thoả mãn f p0q f p1q v f pxq Ô M @x P p0; 1q Chứng minh f x d oa nl w p q Ô M2 @x P r0; 1s Lời giải Khai triển Taylor hàm số f điểm x, áp dụng điểm x x 1, ta a lu f an nv f p0q f pxq f pxqx f pxqp1 xq oi lm ul f p1q f pxq f pc1 q x, 2! c1 f pc2 q p1 xq2, 2! x, x c2 Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên, ta 1 f pc1 qx2 f pc2 qp1 xq2 z at nh f pxq Từ ú suy z |f 1pxq| Ô M2 p2x2 2x 2xpx 1q 1Ô1 @x P r0; 1s, p q Ô M2 @x P r0; 1s n a Lu f x om l.c 2x2 2x gm @ Hơn 1q n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Kết luận Luận văn đạt số kết quan trọng sau lu Trình bày cách chi tiết có hệ thống số định lý xấp xỉ quan trọng giải tích tốn học, bao gồm định lý Weierstrass, định lý Taylor, định lý Stone, định lý Newman an n va p ie gh tn to Giới thiệu số ứng dụng định lý xấp xỉ, định lý xấp xỉ Taylor việc giải số vấn đề quan trọng tốn sơ cấp, tính giới hạn hàm số, chứng minh bất đẳng thức d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn va 41 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn