BËGIODÖC�ODÖC V€ € O T„OTR×ÍNG„IHÅCQUYN HÌN CI�ODÖC THÀMINHPH×ÌNG t i NÛANHÂMCÕAKœDÀ×ÍNGCONGPH� NG LUŠNV‹NTH„CSž„ I SÈV€LÞTHUY˜TSÈ B¼nhành N«m2022 BËGIODÖC�ODÖC V€ € O T„OTR×ÍNG„IHÅCQUYN HÌN CI�ODÖC T[.]
V nhcĂcchuộilụythứahẳnhthực
ChoKl mởttrữớngõngÔisố.V nhcĂcchuộilụythứahẳnhthựcnbiántrảntrữớn gK,K [[x 1 , ,x n ]],ữủcànhnghắa
MộihÔngtỷ c α x α ,c α / =0trongbiºudiạncừa f ữ ủ c gồil mởtỡ n thựccĐp
|α|vợi|α|=α 1 + +α n a thực fữ ủ c gồil thuƯnnhĐtnáu fl tờngcừacĂcỡn thực cũng cĐp.ỡn thực cõ cĐp nhọ nhĐt trong biºu diạn cừa fữ ủ c gồi l ỡn thực dănƯu cừa fv náu ỡn thực dănƯ u c ừ a fc õ h ằ s ố b ơ n g
1 thẳ fữủc gồil mởta thựcmonic. ànhnghắa1.1.Vợi f∈ K [[x 1 , ,x n ]],taànhnghắabởicừa f ,kẵhiằul mt(f) ,nhữsau mt(f)=min{|α|=α 1 + +α n |c α /=0}
Mằnhã 1.2.Cho f∈ K [[x 1 , ,x n ]]v m =⟨x 1 , ,x n ⟩l iảansinhbði x 1 , ,x n cõaK [[x 1 , ,x n ]].Khiâi,m t
( f)>0⇔f ∈ m ii,m t ( f)=0⇔ f k h Ê nghàch,tựcl tỗntÔi f −1 ∈ K [[x 1 , ,x n ]]s a ocho f.f −1 =1
Chựngminh.Chúỵrơng,náu f∈ mthẳ f= n f k x k v ợ i f k ∈f ∈ K [[x 1 , ,x n ]] nảnmt(f)>0 N g ữ ủ clÔi,náumt(f)>0 t h ẳ f= k=1
BƠygiớgiÊsỷ f∈ K [[x 1 , ,x n ]]khÊnghàch.KhiõtỗntÔi f −1 ∈ K [[x 1 , ,x n ]] saocho f.f −1 = 1⇒mt(f.f −1 ) =mt(1) =0
NgữủclÔi,vợimội f ∈ K [[x 1 , ,x n ]]t aviát f=f 0 +f 1 + = f i i≥0 trongõ f i l cĂca thựcthuƯnnhĐtbêc i
Ta s³xƠydỹng g=g o +g 1 + = g i thọamÂn fg= 1bơngcĂchquynÔpnhữ sau: i≥0
Vẳmt(f)=0nản f 0 /=0.Chồn g 0 =f 0 −1 Tacõ f 0 g 0 =1mod m
Doõ (f 0 + +f n )(g 0 + +g n )= 1 mod m n+1 v ợ imồi n≥ 0.VêytaxƠydỹng ữủc g thọ a f.g=1,hay f k h Ênghàch.
Chựng minh Ta s³ chựng minhm =⟨x 1 , , x n ⟩l i ảan cỹcÔi duy nhĐt cừaK [[x 1 , ,x n ]].TrữợcháttacƯnchúỵrơng,náui ảan N cừa K [[x 1 , ,x n ]]chựamởtphƯntỷ c∈ Kv c khĂc0thẳ N= K [[x 1 , ,x n ]].
Tẵnh cỹc Ô i : GiÊ sỷ N l mởtiảancừaK [[x 1 , ,x n ]]s a ochom N K h i â
TathĐy f 2 ∈ m ⇒f 2 ∈ N⇒c 0 =f−f 2 ∈N Doõ N= K [[x 1 , ,x n ]].Vêyml mởtiảancỹcÔ i Tẵn h du y nhĐt: Gồi N l mởti ảancỹcÔicừaK [[x 1 , ,x n ]].GiÊsỷtỗntÔi f∈N m f∈/ m,theoMằnhã1.2thẳ f khÊnghàch.Khiõ
1 =f.f −1 ∈N⇒ N= K [[x 1 , ,x n ]] iãun ymƠuthuănvợitẵnhcỹcÔ i cừa N Vêy N ⊂ m.Vẳ Nl cỹcÔ i nản
VợiAut K ( K [[x 1 , ,x n ]])l khổnggiancĂctỹ¯ngcĐuÔisốtrảnK [[x 1 , ,x n ]],taành nghắa mởt số quan hằ giỳa cĂc chuội lụy thứa trongK [[x 1 , , x n ]]nhữsau. ànhnghắa1.4.Cho f,g∈ K [[x 1 , ,x n ]], f,g ữủcgồil i,t ữ ỡ n g ữỡngphÊi,kẵhiằu f ∼ r g ,náutỗntÔi φ ∈ Aut K ( K [[x 1 , ,x n ]])t h ọ amÂn f=φ(g) ii,t ữ ỡ n g ữ ỡn g liảnkát,kẵhiằu f∼ c g ,náutỗntÔi φ ∈ Au t K ( K [[x 1 , ,x n ]])v phƯntỷkh Ênghàch u ∈ K [[x 1 , ,x n ]]thọamÂn f=u.φ(g)
Rór ngtữỡngữỡngphÊil quanhằ"mÔnh"hỡntữỡngữỡngliảnkát,nghắal
∀f,g∈ K [[x 1 , ,x n ]]: f ∼ r g⇒f∼ c g ànhnghắa1.5.X²tchuộilụythứa f∈ K [[x 1 , ,x n ]]. i, f ữủc gồil bĐt khÊ quy náu f khổng phƠn tẵch ữủc th nh tẵch cừa haihayn h i ã u c h u ộ i l ụ y t h ứ a k h ổ n g k h Ê n g h à c h t r o n gK [[x 1 , ,x n ]], t ự cl n á u f=u.v vợi u, v∈ K [[x 1 , , x n ]]thẳ f bĐt khÊ quy khiv ch¿ khi u khÊ nghàchho°c v kh£nghàch. ii, f ữủcgồil thugồnnáu f phƠntẵchữủcdữợidÔng f=f 1 f r ,trong õ f i bĐtkhÊquyvợimồi i=1, ,r v ⟨f i ⟩/=⟨f j ⟩vợimồi i/=j Khiõ r: = r (f) ữ ủ c gồil sốnhĂnhcừa f
Trong to n bở nởi dung sauƠy cừa luên vôn, cĂc kát quÊ ch¿ ữủc phĂtbiºutrảnv nhcĂcchuộilụythứahẳnhthựchaibiánK [[x,y]].L ữ u ỵrơng,náu f∈ m ⊂ K [[x,y]]t h ẳ fữủc gồil mởtkẳdàữ ớ n g congph¯ng.
CĂcbĐtbiáncừakẳdàữ ớ n g congph¯ng
Thamsèhâa
ànhn g h ắ a 1 6 C h o f∈ m ⊂ K [[x,y]]b Đ tkhÊquy.KhiõtỗntÔi(x(t),y(t)) trongK [[t]] 2 saocho f(x(t),y(t))=0 v thọamÂntẵnhphờdửngrơng:vợimội(u(t),v(t))∈ K [[t]] 2 m f(u(t),v(t))=0,tỗn tÔi duy nhĐt h(t)∈ K [[t]]sao cho u(t) =x(h(t))v v(t) =y(h(t)) Tagồi c°p(x(t),y(t))nhữtrảnl mởtthamsốhõacừa f
Sỹ tỗn tÔi cừa tham số hõa trong ành nghắa trản chẵnh l hủp th nh cừaph²pchiáuK [[x,y]] →K [[x,y]]/⟨f⟩:= R f , chuânt- chõaR f ‹→R f (theo[6],chữỡng1,Bờã3.25)v ¯ngcĐu Rf ∼ = K [[t]]
Chựng minh tham khÊo tứ [7], Mằnhã 1.2.4 Do vêy ta cõ thº xem tham sốhõa(x(t),y(t))c ừ a fbĐt khÊquynhữl mởtỗngcĐu ϕx Ă c ànhnhữsau ϕ: K [[x,y]]− → K [[t]] x −→ x(t) y −→ y(t) trongõ ker(ϕ)= ⟨ f⟩ N õ icĂchkhĂc,náu( x(t),y(t))l mởtthamsốhõacừa f v g∈ K [[x,y]]m g(x(t),y(t))=0t h ẳ g≡ 0(modf)
X ² t φ l mởttỹ¯ n g cĐut rảnK [[x,y]].Khiõ φ −1 (x(t)), φ −1 (y(t))l mởttham sốhõacừa φ(f)
NgữủclÔi,lĐy h g ∈Quot(R f ), khiõ h,g∈R f v g/ =0 M f b Đ tkhÊquynản
R f l mởtmiãnnguyản,dovêy gk h Ê nghàch.Tacõ h− g −1 h= h −h = g g g 0 trongõ−g −1 h∈R f nản h ∈R⊂Quot(R f ) Suyra
Chựngminh.TheokátquÊcõữủctứ[6],Chữỡng1,HằquÊ3.27thẳRf ∼ = K [[t]]
Tas³chựngminhRf ∼ = K [[x(t),y(t)]] Thêtvêy,tax²tỗngcĐu φ: K [[x,y]]/⟨f⟩−→ K [[x(t),y(t)]]g
Vêy ϕ l mởtỡn cĐu.DạthĐy ϕ cụngl mởtto ncĐunản ϕ l mởt¯ngcĐu,tứõsuyraRf
Quot( K [[x,y]]) ∼ =Quot(Rf)=Quot(Rf) ∼ =Quot( K [[t]])
Mởt dÔng tham số hõa °c biằt tham khÊo tứ [6, tr 163] ữủc phĂt biºutrongà n h l ẵ 1.9v ta cụng thuữ ủ c k h a i t r i º n c ừ a m ở t c h u ộ i l ụ y t h ứ a b Đ t k h Ê quynhữMằnhã1.10. ànhl ẵ 1 9 Th a msốhõaPuiseux
X²ttrữớngKvợi° c số p v f∈ m ⊂ K [[x,y]]bĐtkhÊquy.GiÊsỷordf(0,y)= b v p khổngl ữợccừa b KhiõtỗntÔi y(t)∈⟨t⟩⊂ K [[t]]th ọamÂn ft b ,y(t)= 0
Mằnhã1.10.VợigiÊ thiát nhữ ànhlẵ1.9.Náu y(t)=c k t k ∈ ⟨t ⟩ ⊂ K [[t]]thọa m Ân f(t m , y(t)) = 0, m ữ ủ c c h ồ n n h ọ n h Đ t t h e onghắagcd (m,{k|c k /= 0})=1, ta gồi ξ l mởt côn nguyản thừy bêc m cừaỡ n và.Khiõ c Ă c c h u ộ i y(ξ j t), j=1, ,m l khĂcnhauổimởtv tỗntÔi u∈ K [[x,y]]k h Ênghàchsaocho f=u
Bởigiao
• Náu f b Đ tkhÊquythẳ i 0 (f,g)=ord g(x(t),y(t)) vợi( x(t),y(t))l mởtthamsốhõacừa f
• Náu f k h ổ n g b Đ tkhÊ quy,ta phƠn tẵch f d ữ ợ i d Ô n g f= f 1 f r t r o n gõ f i l bĐtkhÊquyvợimồi i= 1, ,r Khiõ r i 0 (f,g)= i 0 (f i ,g) i=1
Mởtà n h n g h ắ a t ữ ỡ n g ữ ỡ n g c ừ a b ở i g i a o ữ ủ c t h a m khÊo tứ [6], Chữỡng 1,Mằnhã3.12,phĂtbiºunhữsau
Mằnhã 1 1 2 C h o f ∈ K [[x,y]]b Đ tkhÊquy,tacõ mt(f)=min{i 0 (f,x),i 0 (f,y)}=min{ordx(t),ordy(t)}, trongõ( x(t),y(t))l mởtthamsốhõacừa f
Chựngminh.T r ữ ợ c háttanhênx²trơng, f(x,0)/ =0v f(0,y)/=0 Th ê tvêy,vẳnáu ngữủc lÔithẳ f≡0 (modx)ho°c f≡0 (mody), iãu n y mƠu thuăn vợitẵnhbĐtkhÊquycừa f TaviátlÔi f d ữ ợ idÔng f= αx m +βy n +h.o.t, trongâ α,β/ =0
Khiâmt(f)=min{m,n}=min{ordf(x,0),ordf(0,y)} M ordf(x,0)=i 0 (f,y)=ordy(t)v ordf(0,y)=i 0 (f,x)=ordx(t) nản mt(f)=min{ordf(x,0),ordf(0,y)}
Mằnhã1.13.Vợi f,g,h∈ K [[x,y]],ta cõ i, i 0 (f,g)=i 0 (g,f) ii, i 0 (f,g)1 n ả nmtφ(h)>1 ,i ã u n ymƠuthuănvợi φ(h)= x V ê y mtφ(x)=mtφ(y)=1
⇒mt(f)= α 0 mtφ(x)+β 0 mtφ(y) =α 0 +β 0 , suyramt(f)=mt(g)
Trữợcháttax²ttrữớnghủp f,g b Đ tkhÊquy.Vợi f= u.φ(g),tacõ f x =u x φ(g)+u.φ(g) x
Gồi(x(t), y(t))l mởt tham số hõa cừaf Khiõ , t h e o
M ằ n h ã 1.7thẳ(φ(x(t)),φ(y(t)))l mởtthamsốhõacừa g Lữuỵrơngmtφ(x)=mt φ( y)=1nản cĂcÔ o h m r i ả n g c ừ a φ(x)v φ(y)h o ° c l b ơ n g 0 , h o ° c l c õ b ở i b ơ n g0, tuy nhiản khổng xÊy ra trữớng hủp cÊ haiÔo h m riảng cừa φ(x)ho°c φ(y)ãu bơng 0 Do õ, tián h nh thay tham số hõa v o hai vá cừa(1.7)v lĐyquabởigiaotaữủc i 0 (f,f x )= i 0 (g,g y ) náuordφ(x) x =0
min{i 0 (g,g x ),i 0 (g,g y )} náu φ(y) y ,φ(x)) y / =0 suyra min{ i 0 (f,f x ),i 0 (f,f y )}=min{ i 0 (g,g x ),i 0 (g,g y )} κ(f)=κ(g)
= trongõ f i =u φ (g i )∼ c g i ,∀ i= 1 , ,r Tứchựngminhcừatrữớnghủptrản,cũn gvợiMằnhã1.13, iii, tacõĂ n h giĂsau κ(f)= Σ i
⇒κ(f)= Σ s i κ(g i )+ Σ i 0 (g i ,g j ) =κ(g) ii, X²t f∼ r g t h ẳtỗntÔi φ∈Aut K K [[x,y]]s aocho f= φ(g) Khiõ f x = φ(g x ).φ(x) x +φ(g y ).φ(y) x v f y = φ(g x ).φ(x) y +φ(g y ).φ(y) y
TõmlÔi,tacõ⟨fx,fy⟩∼=⟨ gx,gy⟩ Vêy à(f)=dim K [[x,y]]/⟨f x ,f y ⟩=dim K [[x,y]]/⟨g x ,g y ⟩=à(g)
Chú ỵ1.20cho ta thĐy, số Milnor l bĐt biánối vợi quan hằ tữỡngữỡng phÊi,cỏnsốDelta,sốKappa,bởiv sốnhĂnhcụngl bĐtbiánốivợiquanhằtữỡng ữỡngliảnkát.
Nỷanhõmcừakẳdàữ ớ n g congph¯ng
ànhnghắa1.21.Cho f∈ K [[x, y]]bĐt khÊ quyv (α(t), β(t))l mởt tham sốhõacừa f TêpΓ(f) ữ ủcà n h n g h ắ a nhữ sau Γ(f):={i 0 (f,g)| g ∈ K [[x,y]]\{0}}
Chựngminh.V ẳ fb Đ t khÊquyv mt( f)=1 n ả ntacõthºviátlÔi fd ữ ợ i dÔng f= ax+by+ α+β>1 c αβ x α y β , t r o n g â (a,b)/ =( 0 ,0)
M°tkhĂc,gồi(x(t),y(t))l mởtthamsốhõacừa f KhiõK [[x(t),y(t)]] ∼ = K [[t]] v tacâ δ(f)=dim K [[t]]/ K [[x(t),y(t)]]=0
CuốicũngtacƯnchựngminhΓ(f)= N Rór ngΓ(f)⊂ N,vêytach¿cƯnchựngminhN Γ(f) T h ê tvêy,vợimồi n N,lĐy g =x n y n+1 bĐtkhÊquyv t n+1 ,t n l mởtthamsốhõacừa g n K h iõ i 0 (f,g n )=ordft n+1 ,t n =n∈Γ(f)⇒ N ⊂Γ(f)
Nhứđứũcỏ n h n g h ắ a , n ỹ a n h ú mΓ ( f)c ử am ỡ t k Ị d ỏ f l m ở t t ê p c o n cừaN Tuy nhiản, à n h n g h ắ a d ỹ a t r ả n v i ằ c q u ² t h á t t Đ t c Ê g/= 0t r o n g K [[x, y]]dữớng nhữ khổng cho ta thĐy ró cĐu trúc cừaΓ(f) CĂc kát quÊữủc trẳnh b ytrong chữỡng n y khổng nhỳng cho ph²p mổ tÊ cĐu trúc cừaΓ(f)bơng phữỡngphĂpữủc phĂt triºn bði Seidenberg, m cỏn cõ thº dỹa v oõ dạ d ng nghiảncựumởtsốquanhằcừaΓ(f)v ợ icĂcbĐtbiánkhĂccừa f, cửthºl bêcdăn c(f)v bĐt biánà(f) Nởi dung chữỡng n yữủc tĂc giÊ tham khÊo v viát lÔi tữớngminhtứ[4].
CĂckátquÊmðƯ u
Mằnhã 2.1.Cho v 0 , ,v k l mởtdÂycĂcsốnguyảndữỡng.° t d i = gcd(v 0 , ,v i ) vợi i ∈ { 0,1, ,k}v n i = d i − 1 d i vợi i ∈ { 1, ,k} K h iõ vợimồi a∈ Z d k tacõ phƠntẵchBezoutnhữsau a=a 0 v 0 +a 1 v 1 + +a k v k , trongõ a 0 ∈ Zv 0 ≤ a i < n i v ợ i i ∈ { 1, ,k} Hỡnnỳa,dÂy( a 0 , ,a k )l xĂc ànhduynhĐt.GiÊsỷrơng n i −1 v i −1 ≤ v i v ợ i i∈ { 2, ,k} K h iõ vợi a=n k v k tacõ a 0 >0 Náu a∈ N v 0 + + N v k t h ẳ a 0 ≥0
Chựng minh Trữợc hát ta chựng minh bờã Bezout cho 2 số nguyảnữủc phĂtbiºu nhữ sau: "Náu d= gcd(a, b)v ợ i a, bl h a i s ố n g u y ả n k h ổ n g Ơ m t h ẳ t ỗ n t Ô i hai số nguyản x v y sao cho d=xa+yb Hỡn nỳa d l số nguyản dữỡng b² nhĐtviátữ ủ c dữợidÔng xa+ybv mộisốnguyản ec õ dÔng xa+ybã u l bởicừa d "
Tagồi S={xa+yb|x,y∈ Z }.Cho d= min {n∈S| n>0}.ºchựngminhrơng d= g c d ( a,b),trữợcháttachựngminh d l mởtữợcchungc ừa a v b Thêt
23 a vêy,x²tph²pchiacừa ac h o dd ữ ợ i dÔng a=d.q+r,0≤r1 vợi1≤i≤h
Nhữta biát,mởttêp G⊂ Nữ ủ cgồil mởtnỷanhõmnáunõchựa0v õng vợi ph²ptoĂn cởng.BƠy giớ tax²t nỷanhõm G⊂ Nv n∈G,n>0
Theo[1],Chữỡng6,Mằnhã 6.1,tỗntÔiduynhĐtdÂy v 0 , ,v h s a ocho i, v 0 =n, ii, v k = min(G\ N v 0 + + N v k−1 ), vợi k∈{1, ,h}, Σ
Ta gồi dÂy(v 0 , , v h )nhữ trản l n -hằ sinh tối tiºu cừa G Náu n= min{G\
{0}}thẳtagồi(v 0 , ,v h )l hằsinhtốitiºucừa G Rór nggcdG=gcd(v 0 , ,v h )=d h NáugcdG= 1t h ẳtanõi G l mởtnỷanhõm°ctrững.
Mằnhã2.3.Cho G l mởtnỷanhõm°ctrữngvợi n - hằsinhtốitiºu(v 0 , ,v h ).GiÊsỷrơng n i−1 v i−1 ≤v i Khiõ
3 Hằs i n h t ố i t i º u c ừ a G l ( v 0 ,v 1 , ,v h )náu v 0 < v 1,l ( v 1 ,v 0 , ,v h )n á u v 1 < v 0v v 0 /≡0 m o d v 1, l (v 1 , v 2 , , v h )n á u v 0 ≡ 0 m o d v 1 Hỡn nỳa, hằsinh tốitiºu cừa G l mởt dÂymin(G\ {0})-°ctrững Seidenberg. h
4 Cho c= (n k −1)v k −v 0 +1.Khiõvợimội a,b∈ Z,náu a+b=c −1 thẳch¿cõúng k=1 ah o ° c bt h u ở c v o G Dovêy cl phƯntỷnhọnhĐtthuởc
Gthọa mÂnmồisốnguyảnlợnhỡnho°cbơng cã u thuởcv o G
Chựngminh.1 Vẳ G l mởtnhõm° c trữngnảngcdG= gcd( v 0 , ,v h ):= d h = 1
2, Vợimồi m∈G\{0},náu m n thẳ m≥n=v 0 NgữủclÔi, m∈G\ N n thẳ m≥v 1.Vêy m≥min{v 0 ,v 1 }, tứõtacõiãucƯnchựngminh.
4,Sốctrong phĂtbiºuữủcgồil bêcdăncừanỷanhõm G TẵnhchĐtcừabêcdăn ccõ ữủctứchự ngminhcừaCổngthựcBêcdănthamkhÊotứ[3].
ànhlþnûanhâm
CĂc kát quÊ trẳnh b y trong mửc n yữủc tĂc giÊ tham khÊo v trẳnh b ylÔi tứ [4] TĐt cÊ phĂt biºuãuữủc giÊ thiát rơng f=f(x, y)∈ K [[x, y]]l mởtchuộilụy thứabĐt khÊquy v Γ(f)l n ỷanhõm cừa f Ta cụng giÊsỷ f/ =xv °t n=i 0 (f,x).Gồi(b 0 , ,b h ),b 0 = n l n -hằsinhtốitiºucừaΓ(f)
Bờã 2 4 Γl mởtnỷanhõm° c trững,nghắal gcd(Γ(f))=1
Chựngminh.G ồ i( φ(t),ψ(t))l m ở t t h a m s ố h õ a c ừ a f TheoB ờ ã1 8 , t a c õ thºviát t∈ K ((t))vãdữợidÔng p(φ(t),ψ(t)) t= q (φ(t),ψ(t))∈ ((φ(t),ψ(t))) vợi p(x,y),q(x,y)∈ K [[x,y]],q/≡ 0(modf) L Đ ybêchaivátaữủc
{1, ,h} TứBờã 2.4,tacõ e h = 1.SauƠ y tas³phĂtbiºukátquÊchẵnhữ ủ c quantƠm,ànhlẵ2.5. ànhlẵ2 5 à n h lẵnỷanhõm
X²t chuội lụy thứa hẳnh thực hai bián f/ =x ° t n= i 0 (f, x)v ° t b 0 , ,b h l n - hằs i n h t ố i t i º u c ừ aΓ ( f) K h i õ t ỗ n t Ô i m ở t d ¢ y c ¡ c a t h ù c m o n i c f 0 ,f 1 , ,f h −1t r o n gK [[x]]
(b k ) náu k>1 th ẳ n k−1 b k−1 1 v ợ imồi k∈ {1, ,h} ºchựngminhànhlỵnỷanhõm,tagiÊthiátrơng n< +∞v thỹchiằnchựngminhb ơngquynÔp.TrữợcháttacƯnáncĂckátquÊkhðiƯusau.
Mằnhã 2.6.Tỗn tÔi mởta t h ự c m o n i c f 0 K [[x]][y]t h ọ amÂn
Bờã 2.7.(TẵnhchĐt I 0)N á u ψ l mởta thựckhĂc0vợideg y ψ i 0 (f,y+ψ).Tachồn ψ=ψ−cx a
BƠygiớgiÊsỷvợimồi i∈ N ,i 0 (f,y+ψ i )∈ N b 0 ,ψ i ∈ K [[x]] TứTẵnhchĐt III 0,taxƠy dỹngữ ủ c m ở t d  y{i 0 (f, y+ψ i )} i ∈Nt ô n g n g ° t v v ổ h Ô n T u y n h i ả n , t h e oTẵnhchĐt II 0,{i 0 (f,y+ψ i )} i ∈Nbàch°nbði b 1,iãun ymƠuthuănvợitẵnhvổhÔn vứa ch¿ ra Tứõ cho thĐy, tỗn tÔi mởta thực monic f 0bêc 1 thọa mÂn i 0 (f,f 0 )∈/
N b 0 Doànhnghắacừa b 1nảntacõ i 0 (f,f 0 )≥b 1 TứTẵnhchĐt II 0,tacõ i 0 (f,f 0 )=b 1 Mằ nhã 2 6ữủcchựngminhxong.
Mằnhã 2 1 0 G i ÊsỷtỗntÔidÂya thựcmonic f 0 ,f 1 , ,f k−1t r o n gK [[x]][y] thọamÂn
Chựng minh Sỹ tỗn tÔi cừa f 0ữủc ch¿ ra tứ Mằnhã2.6.GiÊ sỷÂ t ỗ n t Ô i f 0 ,f 1 , ,f l−1thọamÂncĂciãukiằn(a l ),(b l ),
Bờã 2.11.(TẵnhchĐt I k )Náuathực ψ/=0t h ọ am ¢ndeg y ψ∆ l =1v dÂy β 0 =n < β 1 < < β l tữỡng ựngữ ủ c g ồ i l d Ây°ct r ữ n g c ừ a thamsố hõa( t n ,y(t))a n gx²t.Gồi b 0 ,b 1 , ,b g l mởt hằ sinh tốit iºucõanûanhâmΓ(f) ,tacâ l=g v b 0 =β 0 =n,b 1
Hằq u Ê 2 2 2 N á umt(f)/≡0(modp)t h ẳ à (f)=c(f) n á uv ch¿náu i f, ∂f
Bờã2.23.Vợi p>mt(f) thẳ if, ∂f≤ à(f)+mt(f)−1, ¯ngthựcxÊyrakhiv ch¿khi b k /≡ 0(modp)v ợ imồi k= 1, ,g
=à(f)+mt(f)−1, vợi¯ngthựcxÊyrakhiv ch¿khi i 0 (f,φ)/≡ 0(modp)vợimồi φ∈P TheoMằnh ã2.20, i 0 (f,φ)/≡0(modp),∀φ∈P⇒ b k /≡ 0(modp),∀k= 1, ,g
∂ y ànhlẵ2 2 4 Cho f∈ K [[x,y]]bĐtkhÊquyv b 0 ,b 1 , ,b g l hằ sinhtốitiºucừanỷanhõmΓ(f) N á u p>mt(f) t h ẳhaiiãukiằnsaul tữỡngữỡngvợinh au: i, b k / ≡ 0(modp)v ợ imồi k=1, ,g; ii, à (f)=c(f)
Chựngminh.V ợ i giÊthiátnhữphĂtbiºucừaà n h lẵ,theoHằquÊ2.22tacõ à(f)=c(f)⇒i 0 f, ∂f= à(f)+mt(f)−1, iãum theoBờã 2.23,xÊyrakhiv ch¿khi b k / ≡ 0(modp)vợimồi k= 1 , ,g ànhlẵữủcchựngminhxong.
CĂc kát quÊ trong Chữỡng 2 cho thĐy, náu nỷa nhõmΓ(f)xĂcà n h b ð i h ằ sinh tối tiºu(b 0 , b 1 , , b g )t h ẳbêc dăn c(f)c ụ n g h o n t o nữ ủ c x Ă c à n h
T u y nhiảnnõichungsố à (f)thẳkhổngữ ủ c xĂcà n h thổngquaΓ ( f) à n h lẵ2.2 4 Â cho ta mởti ã u k i ằ n c Ư n v ừ º k i º m t r a s ố à(f)t h ổ n g q u a s ỹ x Ă cà n h cừanỷa nhõmΓ(f)v bêc dăn c(f).Cử thº ta x²tvẵ dửsau.
Vẵdử3.X²t f(x,y)=x 3 +y 2 2 +x 5 y bĐt khÊ quyv Γ(f) =4 N +6 N +13 N Theocổng thực tẵnhbêc dăn ta cõ c(f) G i Ê s ỷ p= c h a r K >m t ( f)= 4 Náu p /
Ngo i ra, ta cõ thº nhc tợi mởt giÊ thuyátữủc°t ra nhơm phĂt triºn kátquÊữ ủ c phĂtbiºutrongà n h lẵ2.16nhữsau.
GiÊthuyát2.25.Vợi f∈ K [[x,y]]bĐtkhÊquyv nỷanhõmΓ(f)= N b 0 + + N b g thẳ à(f)=c(f)⇔b k /≡ 0(modp),∀ k= 0, ,g, trongâ p=char K
Giê thuyÌt trảnđứ ũ c k h É n g ỏ n h t r o n g t r ứ ợ n g h ủ p Γ(f)= N b 0 + N b 1 ,(tham khÊo tứ [5], Vẵ dử 2) Tuy vêy trữớng hủp tờng quĂt văn a n g l m ở t c Ơ u họi.
X²ttrữớngõngÔ i sốKvợi° c số p= 0.Khiõ vợimồi f∈ m ⊂ K [[x,y]] thugồn,taluổncõ à(f)=2δ(f)−r(f)+1 ¯ng thực trản ữủc gồi l Cổng thực Milnorối vợi trữớngKcõ °c số 0 Nởidung cỏn lÔi cừaã t i s³ têp trung phĂt triºn Cổng thực Milnor nõi trản ốivợi trữớngKcõ°c số dữỡng, m cử thº l cĂc kát quÊ thổng qua mởt bĐt biánmợi,bĐtbiánGamma.
Trữợchát,vợi f∈ K [[x,y]];m t ( f)=m ,taviát f=f m +f m +1 + trongõ f i l cĂc chuội lụy thứa thuƯn nhĐt bêci,∀i≥m Khiõ f m ữ ủ c g ồ i l nõntiápxúccừa fv f m l u ổ n ữ ủ c phƠntẵchth nhtẵchcừacĂcnhƠntỷtuyántẵ nh s f m = (α i x−β i y) m i , i=1 trongõ (β i ;α i )∈ P 1 l p h Ơ n b i ằ t n h a u v m 1 +m 2 + +m s = m C Ă c c ° p h ằsố( β i ;α i ),i = 1 ,s ữ ủ cgồil cĂchữợngtiápxúc c ừ a f Náu f b Đ t khÊquythẳ f c h ¿cõduynhĐtmởthữợngtiápxúc.Tiáptheotaã cêptợikhĂiniằmph²pbiánờ i ch°tcừa mởtkẳdà f∈ K [[x,y]].
GiÊikẳdàcừakẳdàữ ớ n g congph¯ng
Cho f ∈ K [[x,y]]b§tkh£quyv ° t m= o r d (f(x,0)),n= o r d (f(0,y)).Khi õ m,n/=0v mt(f)=min{m,n} TacõthºviátlÔi f d ữ ợ idÔng f=αx m +βy n +h.o.t
Ph²pbiánờich°t∼ fcừafữ ủcànhnghắanhữsau i,Náu m