BËGIODÖC�ODÖC V€ € O T„OTR×ÍNG„IHÅCQUYN HÌN CI�ODÖC THÀMINHPH×ÌNG t i NÛANHÂMCÕAKœDÀ×ÍNGCONGPH� NG LUŠNV‹NTH„CSž„ I SÈV€LÞTHUY˜TSÈ B¼nhành N«m2022 BËGIODÖC�ODÖC V€ € O T„OTR×ÍNG„IHÅCQUYN HÌN CI�ODÖC T[.]
BËGIODƯC ODƯC V€ € O T„O TR×ÍNG„IHÅCQUYN HÌN CIODƯC THÀMINHPH×ÌNG Ãti NANHMCếAKDìNGCONGPH NG LUNVNTHCS I SẩVLịTHUYTSẩ Bẳnh n h -Nôm2022 BËGIODƯC ODƯC V€ € O T„O TR×ÍNG„IHÅCQUYN HÌN CIODƯC THÀMINHPH×ÌNG Ãti NANHMCếAKDìNGCONGPH NG Chuyảnngnh:ÔisốvLỵthuyát sốM Âsố:8460104 Khõa23(2020-2022) Ngữớihữợngdăn:TS.Ngu yạ nH çn g ù c Líicamo a n Tỉi xin cam oan luên vônNỷa nhõm cừakẳ dữớng cong phngl kátquÊ nghiản cựu v tờng hủp cừa bÊn thƠn,ữủc thỹc hiằn dữợi sỹ hữợng dănkhoa hồc cừa TS Nguyạn Hỗngực, giÊng viản trữớngÔi hồc Thông Long.Nhỳng phƯn sỷ dửng t i liằu thamkhÊotrongluênvônÂữủcnảurótrongphƯnt iliằuthamkhÊov trẵchdăncửthtrongquĂtrẳnhthhiằnnởidung.Tổi xin chu ho n to n trĂch nhiằm náu cõ sỹ khổng trung thỹc và cĂc thổngtinsỷdửngtrongquĂtrẳnhho nth nhluênvônn y TĂc giÊCĂiT h M i n h P h ữỡng LớicÊmỡn Trong quĂ trẳnh xƠy dỹngà cữỡng v ho n th nh luên vôn thÔcsắ,tổi Ânhênữủ c rĐtnhiÃusỹởngviản,khuyánkhẵchv giúpù cõththuênlủi ÔtữủckátquÊmongmuốn.Dovêy,tổixinữủcgỷilớicÊmỡnánquỵThƯy,Cổ v cĂcỡ n v ban cừa o tÔo sauÔi hồc tÔi TrữớngÔi h å c Quy Nhìn¢ ln ln theo dãi v tÔoiÃu kiằn suốt quĂ trẳnh tổi hồctêp v nghiản cựu tÔiƠ y H ỡ n h t l l í i t r i ¥ n s Ơ u s c n q u ỵ T h ¦ y , C ỉ g i ¡ o cừa khoa ToĂn v Thống kả ; quỵ ThƯy, Cổ l giÊng viản thnh giÊng trỹctiáp giÊng dÔy cĂc chuyảnÃ, giúp tổi cõữủc nÃn tÊng kián thực vỳng chcho nthiằnluênvônn y °c bi»t, cho ph²p tỉi÷đc b y tä sü trƠn quỵ v biát ỡn sƠu sc nhĐtá n TS Nguyạn Hỗngực, giÊng viản hữợng dăn trỹc tiáp cừa tổi Xin phpữủccÊm ỡn ThƯy vẳ sỹ hữợng dăn tên tẳnh v chuĂo, luổn sđn s ng lng nghev dăndttổii ú n g hữợngtrongvĐnà nghiảncựucừamẳnh Bản cÔnhõ, tổi cụng xinữủc gỷi lới cÊm ỡnán gia ẳnh v bÔn bÂluổn hộ trủ v khuyán khẵch tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v viátluên vôn n y Vợi thới gian nghiản cựu cỏn hÔn chá, thỹc tiạn cổng tĂc trongho ncÊnhÔidchCovid19gƠynhiÃutrngÔi,luênvônkhổngthtrĂnhkhọinhỳng thiáu sõt, tổi rĐt mong nhênữủc cĂc ỵ kián,õng gõp chƠn th nh tứquỵThƯy,CổgiĂo;ỗ n g nghiằpv bÔnb XinchƠnth nhcÊmỡn QuyNhỡn,thĂng08nôm2022 TĂc giÊCĂiThMinhPhữỡng Mửcl c DanhmửccĂckẵh i ằ u , chỳviáttt i MƯ u Chữỡng1K i n thùccìsð 1.1 V nhc¡cchilơythøah¼nhthùc .2 1.2 CĂcbĐtbiáncừakẳdữ n g congphng 1.2.1 Thamsèhâa 1.2.2 Bëigiao 1.2.3 BĐtbiánMilnor,bĐtbiánDeltav bĐtbiánKappa .11 1.2.4 Nỷanhõmcừakẳdữ n g congph¯ng 21 Ch÷ìng2à n h lẵn ỷ a nhõm 22 2.1 CĂckátquÊmƯ u .22 2.2 nhlỵnỷanhõm 25 2.3 BĐtbiánMilnorv nỷanhõmcừaữ n g congphng 31 2.3.1 NhƠntỷcừaữ n g congcỹc 31 2.3.2 KátquÊchẵnhv chựngminh .33 Ch÷ìng3C ỉ n g thùcMilnormðrëng 37 3.1 GiÊikẳdcừakẳdữ n g congphng .37 3.2 B ito¡nmðrëngtøcængthùcMilnor 39 T ili»uthamkh£o 52 Mëts è k ½ h i » u v i ¸ t t t char(K) ordf(t) csốcừatrữớngK CĐpcừachuộilụythứamởtbián f(t).gcd(a,b) ìợcchunglợnnhĐtcừaav b f,g Iảansinhbi f, g P KhổnggianxÔÊnhmởtchiÃutrảntrữớngK h.o.t Th nhphƯncõbêccaohỡntrữợcõ degy CĐpcừayt r o n g chilơythøa ψ → To nc§u ‹→ ìnc§u i Mé U à t i "Nỷa nhõm cừakẳd ữớng cong phng" l mởtà t i cờ in, nhữngvănangthuhútsỹquantƠmcừanhiÃunh khoahồc,cbiằtl nhỳngnghiảncựu trữớnghủpcsốdữỡng."Nỷanhõmcừakẳd ữớng cong phng"l nỷanhõmcừaZữủc xĂc nh ho n to n bi mởt ữớng cong phng ftrongK[[x;y]],ữủcnh nghắa thổng qua giao (intersection multiplicity), mởt bĐtbiánÔisốquantrồngtrongÔisố,HẳnhhồcÔisố,Lẵthuyátkẳd.Chúngl nhỳng thổng tin tờ hủp " ỡn giÊn" dũng nghiản cựu cĂc bĐt bián quantrồngcừaữớngcongnhữMilnornumber(à),Deltainvariants(),Zetafunction(), M ửc ẵch nghiản cựu cừaà t i l hằ thống lÔi nhỳng kát quÊ quan trồngliản quaná n n û a n h â m c õ a k ẳ d ữ n g c o n g p h ¯ n g , x ¥ y d ü n g cæng thùc M i l n o r v ÃcêptợihữợnggiÊiquyátb itoĂnmliảnquan.Dovêy,chúngtổichồnnghiản cựuÃt ivợinhiÃuvĐnÃhĐpdănn y Chữỡng1 Kiánthựccỡs PhƯnlợnnởidungchữỡngn yữ ủ c hằthốnglÔitứ[6]cũngmởtsốchựngminhcừatĂcg iÊ,cĂcchựngminhthamkhÊocụngữủctrẵchdăncửth 1.1 V nhcĂcchuộilụythứahẳnhthực ChoKl mởttrữớngõngÔisố.V nhcĂcchuộilụythứahẳnhthựcnbiántrảntrữớn gK,K[[x1 , ,xn ]],ữủcnhnghắa K[[x1, ,xn]]=(f= cαxα|c α∈ K ,α=(α1, ,αn),xα=x α1 xαn) n Nn cũngvợihaiphptoĂn+v ã ã c x + Σ c αx = α J α α∈N α∈N n n Σc α α∈N Σ ”.”n h ÷ sau: (cα+cJα)xα, N n x cJx= c.cJx+vợi+=(1+1, ,n+n) N MộihÔngtỷc x ,c ,N n / =0 tr on gbiudiạncừa fữ ủ c gồil ||vợi||=1+ +n.a thựcfữ ủ c gồil thuƯnnhĐtnáufl mởtỡ n thùcc§p têngcõac¡cìn thùc cịng c§p.ìn thùc câ c§p nhä nhĐt biu diạn cừa fữ ủ c gồi l ỡn thực dănƯu cừafv náuỡn thực dănƯ u c a fc õ hằ số bơng thẳfữủc gồil mởta thựcmonic n n nhnghắa1.1.VợifK [[x1 , ,xn ]],tanhnghắabởicừaf,kẵhiằul mt(f),nhữsau mt(f)=min{||=1+ +n|c /=0} DạthĐymt(f.g)=mt(f) +mt(g),vợimồif,g K [[x1, ,xn]].TứõtacõmởtsốkátquÊcỡbÊnsau M»nh· 1.2.Cho f∈ K [[x1, ,xn]]v m=⟨x1, ,xn⟩l i¶ansinhbðix1, ,xn cõaK[[x1, ,xn ]].Khiâi,m t ( f)>0⇔f∈ m ii,m t ( f)=0f k h Ê nghch,tựcl tỗntÔi f K [[x1, ,xn]]s a o cho f.f1=1 Chựngminh.Chúỵrơng,náuf m thẳf= nảnmt(f)>0.N g ữ ủ c lÔi,náu mt(f)>0 t h ¼ f= n Σ fk.xkv ỵ i f k∈f ∈ K [[x1, ,xn]] k=1 Σ cαxα∈ m Ph¡tbiºui,d¹ 0/=α∈Nn d ngữ ủ c chựngminh BƠygiớgiÊsỷf K [[x1, ,xn]]khÊnghch.KhiõtỗntÔif1 K [[x1, ,xn]] saocho f.f1= 1mt(f.f1) =mt(1) =0 mt(f)+mt(f1)=0 mt(f)=mt(f1)=0 NgữủclÔi,vợimội fK [[x1, ,xn]]t a vi¸t f=f0+f1+ = Σ fi i≥0 trongâ fil cĂca thựcthuƯnnhĐtbêc i Ta sxƠydỹngg= g o+g1+ = githọamÂnfg=1 bơngcĂchquynÔpnhữ i0 sau: Vẳmt(f)=0nản f0/=0.Chồng0=f01 Tacõf0 g0=1modm GiÊsỷÂxƠydỹngữ ủ c g0,g1, ,gns a o cho (f0+ +fn)(g0+ +gn)=1modmn+1 −1 Σ f0.g0=1 f ⇔ Σ k g i =0 ik −i n+1 Chång n+ = f0 f.g i n+1 = −i i 1n+1 ,tacâ n+1 Σfi gn+1−i=f0 gn+1+fi gn+1i=0 i= i= =0,1kn TứgiÊthiátquynÔptacõ f0.g0=1 k Σf i g =0 ik −i n+2 ⇔(f0+ +fn+1)(g0+ +gn+1)=1modm =0,∀1≤k≤n+1 Dô (f0+ +fn)(g0+ +gn)= modmn+1v ỵ i mồi n VêytaxƠydỹng ữủcgt h ọ a f.g=1,hayfk h £ nghàch M»nh· 1.3.K[[x1, , xn]]l mët v nhà a p h ÷ ì n g , n g h ắ a l K[[x1, , xn]]cõduynhĐtmởtiảancỹcÔ i Chựng minh Ta s chựng minh m=x1, , xnl i ảan cỹcÔi nhĐt cừaK[[x1 , ,xn ]].TrữợcháttacƯnchúỵrơng,náui ảanNcừaK[[x1, ,xn ]]chựamởtphƯntỷcK v ckhĂc0thẳN=K[[x1 , ,xn ]] Tẵnhcỹc Ô i : GiÊ sỷ N l mëti¶ancõa K [[x1, ,xn]]s a o cho m N K h i â ∃f∈N:f∈/m ⇒f= Σ cα xα ,c0/=0 α∈Nn =c0+ Σ cαxα= c 0+f2 α∈Nn,α=0 Tath§yf2∈ m f 2Nc 0=ff2N DoõN=K [[x1 , ,xn ]].Vêyml mởtiảancỹcÔ i TẵnhduynhĐt:Gồi Nl mởti ảancỹcÔicừaK[[x1 , ,xn ]].GiÊsỷtỗntÔi fN m f/m,theoMằnhÃ1.2thẳfkhÊnghch.Khiõ =f.f1N N= K[[x1, ,xn]] iÃun ymƠuthuănvợitẵnhcỹcÔ i cừa N Vêy N m Vẳ N l cỹcÔ i nản N=m,iÃun ychựngtọml i ảancỹcÔiduynhĐtcừaK[[x1 , ,xn ]] VợiAutK(K[[x1, ,xn ]])l khổnggiancĂctỹngcĐuÔisốtrảnK[[x1, ,xn ]],tanh mởt số quan hằ giỳa cĂc chuội lụy thứa K[[x1, , xn]]nhữsau nghắa nhngh ¾a 1.4 Cho f,g∈ K [[x1 , ,xn ]],f,g÷đcgåil i,t ữ ỡ n g ữỡngphÊi,kẵhiằu f rg ,náutỗntÔi ∈Aut K(K[[x1, ,xn]])t h ä a m¢n f=φ(g)