Luận văn thạc sĩ nửa nhóm của kì dị đường cong phẳng

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN CI THÀ MINH PH×ÌNG · t i NÛA NHÂM CÕA Kœ DÀ ×ÍNG CONG PHNG LUŠN V‹N TH„C Sž „I Sẩ V Lị THUYT Sẩ Bẳnh nh - Nôm 2022 BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN CI THÀ MINH PH×ÌNG · t i NÛA NHÂM CÕA K D ìNG CONG PHNG Chuyản ngnh: Ôi số v Lỵ thuyát số M số: 8460104 Khõa 23 (2020-2022) Ngữới hữợng dăn: TS Nguyạn Hỗng ực Lới cam oan Tổi xin cam oan luên vôn Nỷa nhõm cừa kẳ d ữớng cong phng l kát quÊ nghiản cựu v tờng hủp cừa bÊn thƠn, ữủc thỹc hiằn dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa TS Nguyạn Hỗng ực, giÊng viản trữớng Ôi hồc Thông Long Nhỳng phƯn sỷ dửng ti liằu tham khÊo luên vôn  ữủc nảu ró phƯn ti liằu tham khÊo v trẵch dăn cử thº qu¡ tr¼nh thº hi»n nëi dung Tỉi xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m n¸u câ sü khỉng trung thüc v· c¡c thỉng tin sû dưng qu¡ tr¼nh hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ CĂi Th Minh Phữỡng Lới cÊm ỡn Trong quĂ trẳnh xƠy dỹng à cữỡng v hon thnh luên vôn thÔc sắ, tổi  nhên ữủc rĐt nhiÃu sỹ ởng viản, khuyán khẵch v giúp ù  cõ th thuên lủi Ôt ữủc kát quÊ mong muốn Do vêy, tổi xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn án quỵ ThƯy, Cổ v cĂc ỡn v ban cừa o tÔo sau Ôi hồc tÔi Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn  luổn luổn theo dói v tÔo iÃu kiằn suốt quĂ trẳnh tổi hồc têp v nghiản cựu tÔi Ơy Hỡn hát l lới tri Ơn sƠu sưc án quỵ ThƯy, Cổ giĂo cừa khoa ToĂn v Thống kả ; quỵ ThƯy, Cổ l giÊng viản thnh giÊng  trỹc tiáp giÊng dÔy cĂc chuyản Ã, giúp tổi cõ ữủc nÃn tÊng kián thực vỳng chưc  hon thiằn luên vôn ny c biằt, cho php tổi ữủc by tọ sỹ trƠn quỵ v biát ỡn sƠu sưc nhĐt án TS Nguyạn Hỗng ực, giÊng viản hữợng dăn trỹc tiáp cừa tổi Xin php ữủc cÊm ỡn ThƯy vẳ sỹ hữợng dăn tên tẳnh v chu Ăo, luổn sđn sng lưng nghe v dăn dưt tổi i úng hữợng vĐn à nghiản cựu cừa mẳnh Bản cÔnh õ, tổi cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn án gia ẳnh v bÔn b  luổn hộ trủ v khuyán khẵch tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v viát luên vôn ny Vợi thới gian nghiản cựu cỏn hÔn chá, thỹc tiạn cổng tĂc hon cÊnh Ôi dch Covid-19 gƠy nhiÃu tr ngÔi, luên vôn khổng th trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, tổi rĐt mong nhên ữủc cĂc ỵ kián, õng gõp chƠn thnh tứ quỵ ThƯy, Cổ giĂo; ỗng nghiằp v bÔn b Xin chƠn thnh cÊm ỡn Quy Nhỡn, thĂng 08 nôm 2022 TĂc giÊ CĂi Th Minh Phữỡng Mửc lửc Danh mửc cĂc kẵ hiằu, chỳ viát tưt M Ưu Chữỡng Kián thực cỡ s 1.1 Vnh c¡c chi lơy thøa h¼nh thùc 1.2 CĂc bĐt bián cừa kẳ d ữớng cong phng 1.2.1 Tham sè hâa 1.2.2 Bëi giao 1.2.3 BĐt bián Milnor, bĐt bián Delta v bĐt bián Kappa 1.2.4 Nỷa nhõm cừa kẳ dà ÷íng cong ph¯ng Chữỡng nh lẵ nỷa nhõm 2.1 CĂc kát qu£ mð ¦u 2.2 nh lỵ nỷa nhõm 2.3 BĐt bián Milnor v nỷa nhõm cừa ữớng cong phng 2.3.1 NhƠn tû cõa ÷íng cong cüc 2.3.2 Kát quÊ chẵnh v chùng minh i 2 5 11 21 22 22 25 31 31 33 Ch÷ìng Cỉng thùc Milnor mð rëng 37 T i li»u tham kh£o 52 3.1 GiÊi kẳ d cừa kẳ d ữớng cong phng 37 3.2 B i to¡n mð rëng tø cæng thùc Milnor 39 Mởt số kẵ hiằu viát tưt char(K) ord f (t) gcd(a, b) hf, gi P1 h.o.t degy  , c số cừa trữớng K CĐp cừa chuội lụy thứa mởt bián f (t) ìợc chung lợn nhĐt cừa a v b Iảan sinh bi f, g Khổng gian xÔ Ênh mởt chiÃu trản trữớng K Thnh phƯn cõ bêc cao hỡn trữợc õ CĐp cõa y chi lơy thøa ψ To n c§u ìn cĐu i Mé U à ti "Nỷa nhõm cừa kẳ dà ÷íng cong ph¯ng" l  mët · t i cê iºn, văn ang thu hút sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh  khoa håc, °c bi»t l  nhúng nghi¶n cùu trữớng hủp c số dữỡng "Nỷa nhõm cừa kẳ d ÷íng cong ph¯ng" l  nûa nhâm cõa Z ÷đc x¡c ành ho n to n bði mët ÷íng cong ph¯ng f K[[x; y]], ữủc nh nghắa thổng qua giao (intersection multiplicity), mởt bĐt bián Ôi số quan trồng Ôi số, Hẳnh hồc Ôi số, Lẵ thuyát kẳ d Chúng l  nhúng thỉng tin tê hđp "ìn gi£n" dịng º nghiản cựu cĂc bĐt bián quan trồng cừa ữớng cong nhữ Milnor number (à), Delta invariants (), Zeta function (), Mửc ẵch nghiản cựu cừa à ti l hằ thống lÔi nhỳng kát quÊ quan trồng liản quan án nỷa nhõm cừa kẳ d ữớng cong phng, xƠy dỹng cổng thực Milnor v à cêp tợi hữợng giÊi quyát bi toĂn m liản quan Do vêy, chúng tổi chồn nghiản cựu à ti vợi nhiÃu vĐn à hĐp dăn ny Chữỡng Kián thực cỡ s PhƯn lợn nởi dung chữỡng ny ữủc hằ thống lÔi tứ [6] mët sè chùng minh cõa t¡c gi£, c¡c chùng minh tham khÊo cụng ữủc trẵch dăn cử th 1.1 Vnh c¡c chi lơy thøa h¼nh thùc Cho K l  mët trữớng õng Ôi số Vnh cĂc chuội lụy thứa hẳnh thực n bián trản trữớng K, K[[x1, , xn]], ữủc ành ngh¾a ( K[[x1 , , xn ]] = ) f= X cα xα | cα ∈ K, α = (α1 , , αn ) , xα = xα1 xαnn α∈Nn cịng vỵi hai ph²p to¡n ” + ” v . nhữ sau: ã X c x + α∈Nn • X α∈Nn X c0α xα = α∈Nn α cα x X α∈Nn c0α xα X (cα + c0α )xα , α∈Nn = X cα c0β xα+β vỵi α + β = (α1 + β1, , αn + n) ,Nn Mội hÔng tỷ cx, c 6= biu diạn cừa f ữủc gồi l mởt ỡn thực cĐp | | vợi | |= + + αn a thùc f ÷đc gåi l  thuƯn nhĐt náu f l tờng cừa cĂc ỡn thực cịng c§p ìn thùc câ c§p nhä nh§t biºu diạn cừa f ữủc gồi l ỡn thực dăn Ưu cừa f v náu ỡn thực dăn Ưu cừa f cõ hằ số bơng thẳ f ữủc gồi l mởt a thực monic nh nghắa 1.1 Vợi f K[[x1, , xn]], ta ành ngh¾a bëi cõa f , kẵ hiằu l mt(f ), nhữ sau mt(f ) = {|α| = α1 + + αn | cα 6= 0} Dạ thĐy mt(f.g) = mt(f )+mt(g), vợi måi f, g ∈ K[[x1, , xn]] Tø â ta câ mët sè k¸t qu£ cì b£n sau M»nh · 1.2 Cho f ∈ K[[x1, , xn]] v  m = hx1, , xni l  i¶an sinh bði x1, , xn cõa K[[x1, , xn]] Khi â i, mt(f ) > ⇔ f ∈ m ii, mt(f ) = f khÊ nghch, tực l tỗn tÔi f −1 ∈ K[[x1, , xn]] cho f.f −1 = Chựng minh Chú ỵ rơng, náu f m thẳ f = n X fk xk vợi fk ∈ f ∈ K[[x1, , xn]] X cα xα ∈ m k=1 nản mt(f ) > Ngữủc lÔi, náu mt(f ) > th¼ f = Ph¡t biºu i, 06=Nn dng ữủc chựng minh BƠy giớ giÊ sỷ f K[[x1, , xn]] khÊ nghch Khi õ tỗn tÔi f K[[x1, , xn]] cho f.f −1 = ⇒ mt(f.f −1 ) = mt(1) = ⇒ mt(f ) + mt(f −1 ) = ⇒ mt(f ) = mt(f −1 ) = Ng÷đc lÔi, vợi mội f K[[x1, , xn]] ta viát f = f0 + f1 + = X fi i≥0 â fi l  c¡c a thùc thu¦n X nhĐt bêc i Ta s xƠy dỹng g = go + g1 + = gi thäa m¢n f g = bơng cĂch quy nÔp nhữ i0 sau: Vẳ mt(f ) = n¶n f0 6= Chån g0 = f0−1 Ta câ f0g0 = mod m Gi£ sỷ  xƠy dỹng ữủc g0, g1, , gn cho    f0 g0 = k (f0 + + fn )(g0 + + gn ) = mod mn+1 ⇔ X  fi gk−i = 0, ∀1 ≤ k ≤ n   i=0 Chån gn+1 n+1 −1 X fi gn+1−i = f0 , ta câ i=1 n+1 X i=0 fi gn+1−i = f0 gn+1 + n+1 X i=1 fi gn+1−i = Tứ giÊ thiát quy nÔp ta cõ f0 g0 = k X  fi gk−i = 0, ∀1 ≤ k ≤ n +   ⇔ (f0 + + fn+1 ) (g0 + + gn+1 ) = mod mn+2 i=0 Do â (f0 + + fn)(g0 + + gn) = mod mn+1 vợi mồi n Vêy ta xƠy dỹng ữủc g thọa f.g = 1, hay f kh£ nghàch M»nh · 1.3 K[[x1, , xn]] l  mët vnh a phữỡng, nghắa l K[[x1, , xn]] cõ nhĐt mởt iảan cỹc Ôi Chựng minh Ta s chựng minh m = hx1, , xni l iảan cỹc Ôi nhĐt cừa K[[x1 , , xn ]] Trữợc hát ta cƯn ỵ rơng, náu iảan N cừa K[[x1 , , xn ]] chùa mët ph¦n tû c ∈ K v  c kh¡c th¼ N = K[[x1, , xn]] Tẵnh cỹc Ôi: GiÊ sỷ N l mởt iảan cõa K[[x1, , xn]] cho m N Khi â ∃f ∈ N : f ∈ /m⇒f = X cα xα , c0 6= α∈Nn = c0 + X cα x α = c0 + f α∈Nn ,α6=0 Ta th§y f2 ∈ m ⇒ f2 ∈ N ⇒ c0 = f − f2 ∈ N Do â N = K[[x1, , xn]] Vªy m l  mët iảan cỹc Ôi Tẵnh nhĐt: Gồi N l mởt iảan cỹc Ôi cừa K[[x1, , xn]] GiÊ sỷ tỗn tÔi f N m f / m, theo M»nh · 1.2 th¼ f kh£ nghàch Khi â = f.f −1 ∈ N ⇒ N = K[[x1 , , xn ]] iÃu ny mƠu thuăn vợi tẵnh cỹc Ôi cừa N Vêy N m Vẳ N l cỹc Ôi nản N = m, iÃu ny chựng tọ m l iảan cỹc Ôi nhĐt cừa K[[x1 , , xn ]] Vỵi AutK (K[[x1, , xn]]) l khổng gian cĂc tỹ ng cĐu Ôi số trản K[[x1, , xn]], ta ành ngh¾a mët sè quan h» giúa c¡c chi lơy thøa K[[x1, , xn]] nh÷ sau ành ngh¾a 1.4 Cho f, g ∈ K[[x1, , xn]], f, g ÷đc gåi l  i, t÷ìng ÷ìng ph£i, kẵ hiằu f r g, náu tỗn tÔi AutK (K[[x1, , xn]]) thäa m¢n f = φ(g) 38 Php bián ời cht f cừa f ữủc nh nghắa nhữ sau v) i, Náu m < n th¼ f (u, v) = f (uv, vm ∼ ii, Náu m n thẳ f (u, v) = f (u,unuv) Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, náu m < n th¼ ∼ m f = αu + βv n−m ∼ + h.o.t ⇒ mt f = {m, n − m} ≤ {m, n} = mt(f ) Nhên xt trản ữủc phĂt trin thnh nh lẵ giÊi kẳ d nhữ sau nh lẵ 3.1 Vợi f K[[x, y]] bĐt khÊ quy, tỗn tÔi mởt dÂy f1, f2, , fN ∈ K[[x, y]] thäa m¢n i, fi+1 l mởt php bián ời cht cừa fi, vợi måi i < N ii, fN trìn, ngh¾a l  mt(f ) = D¢y c¡c f1, f2, , fN tỗn tÔi nh lẵ trản ữủc gồi l mởt gi£i k¼ dà cõa f Chùng minh Tham kh£o [8, tr.27] M»nh · 3.2 Cho f = f0, f1, , fN l  mët gi£i k¼ dà cõa f Khi â i, ii, δ(f ) = δ(f ) = mt(f ) (mt(f ) − 1) + δ (f1 ) N −1 X i=0 mt(fi ) (mt(fi ) − 1) Chùng minh Tham kh£o [6], Ch÷ìng 1, M»nh à 3.34 Mt khĂc, vợi f bĐt khÊ quy thẳ f cụng bĐt khÊ quy Thêt vêy, giÊ sỷ ord (f (x, 0)) = m < n = ord (f (0, y)) , ta câ f = αum + βvn−m + h.o.t N¸u f l  kh£ quy v  vi¸t ữủc dữợi dÔng f (u, v) = g(u, v).h(u, v), 39 â g b§t kh£ quy v  h khỉng kh£ nghàch th¼ ta gåi (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa cõa g Khi â ∼ ord x(t) = ord g(0, y) < ord f (0, y) = n − m v  ∼ ord y(t) = ord g(x, 0) < ord f (x, 0) = m °t α(t) = x(t) y(t) v  β(t) = y(t), ta câ f (α(t), β(t)) = f (x(t), y(t)) [y(t)]n = M  ord α(t) = ord x(t) + ord y(t) < n v  ord β(t) = ord y(t) < m iÃu ny mƠu thuăn vợi tẵnh phờ dửng ối vợi mởt tham số hõa cừa f Vêy php bián ời cht cừa f bĐt khÊ quy luổn luổn b§t kh£ quy ∼ 3.2 B i to¡n mð rëng tø cổng thực Milnor CĂc kát quÊ mửc ny ữủc tĂc giÊ ồc, hiu, trẳnh by v giÊi thẵch lÔi mởt số vĐn à tứ [8] nh nghắa 3.3 Cho f thu gồn vợi phƠn tẵch f = f1 fr °c sè p = char(K) ≥ ÷đc gåi l i, tốt theo nghắa ối vợi f , kẵ hiằu m-good, náu mt(fi) 0(mod p) vợi mồi i = 1, , r ii, tèt theo ngh¾a bëi giao ối vợi f , kẵ hiằu im-good, náu vợi måi i = 1, , r ta câ i0 (fi , x) 6≡ 0(mod p) ho°c i0 (fi , y) 6≡ 0(mod p) iii, tèt theo ngh¾a bëi giao ph£i ối vợi f , kẵ hiằu im-good phÊi, náu tỗn tÔi g r f cho p l im-good ối vợi g Chú ỵ rơng nh nghắa trản l hin nhiản vợi c số 0, nghắa l p = l  m-good, im-good, im-good ph£i èi vỵi måi f thu gån Hìn núa mèi li¶n h» giúa c¡c ành nghắa trản th hiằn nhữ sau "m-good" "im-good" "im-good ph£i" Vỵi char(f ) = p ≥ 0, ta s nh nghắa bĐt bián Gamma cừa mởt kẳ d f K[[x, y]] thu gồn, ỗng thới trẳnh by cĂc kát quÊ cõ ữủc giỳa bĐt bián Gamma v cĂc bĐt bián  ữủc nh nghắa 40 nh ngh¾a 3.4 Cho f ∈ K[[x, y]] thu gån Sè ∼γ x,y (f ) (ho°c ∼γ(f ) n¸u {x, y}  ữủc ch ró) cừa f , ữủc nh nghắa nhữ sau ã (x) := 0; (y) := ã Náu f l bĐt khÊ quy v thuên ti»n (ngh¾a l  i0 (f, x), i0 (f, y) < +∞) th¼ ∼ γ(f ) := {i0 (f, fx ) − i0 (f, y) + 1, i0 (f, fy ) i0 (f, x) + 1} ã Náu f = f1 fr , th¼ ∼ γ(f ) = r X  ∼ γ(fi ) + i=1  X i0 (fi , fj ) − r + j6=i nh nghắa 3.5 BĐt bián Gamma cừa kẳ d f thu gån, k½ hi»u γ(f ), l  gi¡ trà ∼ nhọ nhĐt thu ữủc qua tĐt cÊ cĂc php ời tồa ở X, Y Tứ nh nghắa ta thĐy, γ(f ) ≤ ∼γ(f ), vỵi i·u ki»n ¯ng thùc xÊy s ữủc trẳnh by cĂc kát quÊ phẵa sau Hỡn nỳa, tỗn tÔi g r f cho γ(f ) = ∼ ∼ γ(g) M°t kh¡c, sè γ phư thc v o ph²p chån tåa ë, ngh¾a l  nõ khổng bĐt bián ối vợi quan hằ tữỡng ữỡng phÊi Chng hÔn, vợi f = x3 + x4 + y5 v  ∼ ∼ g = (x + y)3 + (x + y)4 + y , ta câ f ∼r g nh÷ng γ(f ) = 6= γ(g) = Tuy nhiản ta s thĐy (f ) = (g), ∀g ∼c f n¸u char(K) = p l  m-good èi vỵi f M°t kh¡c, vỵi ∼ ∼ ∼ u kh£ nghàch, γ(u) = v  γ(u.f ) = γ(f ) Vêy số l bĐt bián ối vợi quan hằ tữỡng ữỡng liản kát Ta nhưc lÔi mởt số kát quÊ và cĂc bĐt bián cờ in trữợc à cêp án mối quan hằ giỳa chúng vợi bĐt bián Gamma Chú ỵ 3.6 Náu f thu gồn vợi phƠn tẵch f = f1 fr thẳ X,Y (f ) i0 (f, g) = r X ∀g ∈ K[[x, y]]; i0 (fi , g) , i=1 2δ(f ) = r X 2δ (fi ) + i=1 κ(f ) = r X i=1   X i0 (fi , fj ) ; j6=i  κ (fi ) +  X i0 (fi , fj ) j6=i M»nh · 3.7 Vỵi f ∈ K[[x, y]] thu gån, ta ln câ ∼ γ(f ) ≤ γ(f ) ≤ κ(f ) − mt(f ) + vỵi ¯ng thùc x£y p l  m-good èi vỵi f 41 Chùng minh ¡nh gi¡ γ(f ) ≤ ∼γ(f ) hiºn nhi¶n theo nh nghắa, chựng minh cho bĐt ng thực cỏn lÔi ữủc tián hnh thnh hai bữợc nhữ sau Bữợc 1: Gi£ sû f l  b§t kh£ quy, ta câ mt(f ) = {i0(f, x), i0(f, fy )} Do â ∼ γ(f ) = {i0 (f, fx ) − i0 (f, y) + 1; i0 (f, fy ) − i0 (f, x) + 1} ≤ {i0 (f, fx ) − mt(f ) + 1; i0 (f, fy ) − mt(f ) + 1} = {i0 (f, fx ) , i0 (f, fy )} − mt(f ) + = κ(f ) − mt(f ) + Gi£ sû p l  m-good èi vỵi f Gåi (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa cõa f GiÊ thiát rơng m = mt(f ) = ord x(t) ord y(t) Vẳ f (x(t), y(t)) = nản fx (x(t), y(t)) x0 (t) + fy (x(t), y(t)) y (t) = Do â ord (fx (x(t), y(t)) x0 (t)) = ord (fy (x(t), y(t)) y (t)) ⇒ i0 (f, fx ) + ord x0 (t) = i0 (f, fy ) + ord y (t) ⇒ i0 (f, fx ) − ord y (t) = i0 (f, fy ) − ord x0 (t) M  ord x0(t) = ord x(t) − v  ord y0(t) ≥ ord y(t) − n¶n i0 (f, fx ) − ord y(t) ≥ i0 (f, fy ) − ord x(t) = i0 (f, fy ) − m suy ∼ γ(f ) = i0 (f, fy ) − m + Khi â v  i0 (f, fy ) ≤ i0 (f, fx) ∼ γ(f ) = i0 (f, fy ) − m + = {i0 (f, fx ) , i0 (f, fy )} − m + = (f ) mt(f ) + Bữợc 2: Náu f thu gồn vợi phƠn tẵch f = f1 fr , õ fi l bĐt khÊ quy vợi måi i = 1, r Sû dưng k¸t qu£ câ ữủc tứ bữợc v Chú ỵ 3.6 ta cõ ∼ γ(f ) = r X  ∼ γ (fi ) + i=1 ≤ r X i=1  X i0 (fi , fj ) − r + j6=i  κ (fi ) − mt (fi ) + +  X j6=i i0 (fi , fj ) − r + 42 = r X i=1  κ (fi ) +  X i0 (fi , fj ) − r X mt (fi ) + i=1 j6=i = (f ) mt(f ) + Dạ thĐy ng thùc cơng x£y p l  m-good èi vỵi f Ti¸p theo ta chùng minh γ(f ) = (f ) náu p l m-good ối vợi f Thêt vêy, gồi g tữỡng ữỡng phÊi vợi f thọa γ(f ) = ∼γ(g) V¼ g ∼r f ⇒ g ∼c f ⇒ mt(f ) = mt(g) n¶n p cơng l m-good ối vợi g Theo kát quÊ cừa chựng minh trản ta ữủc (g) = (g) mt(g) + v  ∼γ(f ) = κ(f ) − mt(f ) + M  sè Kappa cơng l  mët b§t bián ối vợi quan hằ tữỡng ữỡng liản kát, vêy ∼ ∼ γ(f ) = γ(g) = κ(g) − mt(g) + = κ(f ) − mt(f ) + = (f ) Ta kát thúc chựng minh tÔi Ơy Chựng minh cừa mằnh à trản cụng  ch rơng số l bĐt bián ối vợi quan hằ tữỡng ữỡng liản kát lợp cĂc chuội lụy thứa m  p l  m-good, cư thº ph¡t biºu nh÷ sau M»nh · 3.8 Cho f ∈ K[[x, y]] thu gån thọa mÂn p l m-good ối vợi f Khi â ∼ ∼ γ(f ) = γ(g) vỵi måi g c f Trữợc án vợi kát quÊ chẵnh, ta s³ chùng minh c¡c bê · cho ph²p so s¡nh sè Gamma qua mët ph²p bi¸n êi ch°t Bê · 3.9 Cho f ∈ K[[x, y]] b§t kh£ quy câ i0(f, x) = i0(f, y) := m Gåi g thuëc K[[x, y]] cho f (x, y) = g(x, αx y) vợi (, ) P1 l hữợng tiáp tuy¸n cõa f Khi â i, m = i0(g, x) < i0(g, y) ii, ∼γ(f ) ≥ ∼γ(g) iii, Náu c số p l im-good ối vợi g khổng im-good ối vợi f thẳ (f ) > γ(g) 43 Chùng minh i, X²t ph²p êi tåa ë φ ÷đc cho bði φ(x) = x v  φ(y) = αx−βy Ta câ i0 (g, x) = i0 (φ(g), φ(x)) = i0 (g(αx − βy, y), x) = i0 (f, x) = m, v  i0(g, y) = i0 (φ(g), φ(y)) = i0 (g(αx − βy, y), αx − βy) = i0(f, αx−βy) > m ii, Gåi (x(t), y(t)) l  mët tham sè hâa cõa f Khi â X(t) = x(t) Y (t) = αx(t) − βy(t) l  mët tham sè hâa cõa g V¼ f (x, y) = g(x, αx − βy) n¶n fx (x, y) = gx (x, αx − βy) + αgy (x, αx − βy) fy (x, y) = −βgy (x, αx − βy) V vẳ thá fx (x(t), y(t)) = gx (X(t), Y (t)) + αgy (X(t), Y (t)) fy (x(t), y(t)) = −βgy (X(t), Y (t)) Ta x²t c¡c tr÷íng hđp sau ã Náu i0 (f, fx ) i0 (f, fy ) th¼ ∼ γ(f ) = {i0 (f, fx ) − i0 (f, y) + 1, i0 (f, fy ) − i0 (f, x) + 1} = i0 (f, fy ) − m + = i0 (g, gy ) − i0 (g, x) + ∼ ≥ (g) ã Náu i0 (f, fx) < i0 (f, fy ) suy ordfx (x(t), y(t)) < ordfy (x(t), y(t)) = ordgy (X(t), Y (t)) , ta câ ordfx (x(t), y(t)) = ordgx (X(t), Y (t)) < ordgy (X(t), Y (t)) , tùc l  i0 (f, fx) = i0 (g, gx) < i0 (g, gy ) Do â ∼ γ(g) = {i0 (g, gx ) − i0 (g, y) + 1, i0 (g, gx ) − i0 (g, y) + 1} = i0 (g, gx ) − i0 (g, y) + < i0 (f, fx ) − i0 (g, x) + = i0 (f, fx ) − m + ∼ = γ(f ) 44 iii, Theo chùng minh cõa m»nh · ii, n¸u i0 (f, fx) < i0 (f, fy ) th¼ ∼γ(f ) > (g) Ta ch cƯn xt trữớng hủp i0 (f, fx) ≥ i0 (f, fy ) Theo chùng minh tr¶n ta câ ∼ γ(f ) = i0 (g, gy ) − i0 (g, x) + V¼ p khỉng im-good ối vợi f nản i0(g, x) = m (modp) M p l im-good ối vợi g nản i0(g, y) 6≡ 0(modp) Do â, v  ordY (t) = ordY (t) − = i0 (g, y) − ordX (t) > ordX(t) − = i0 (g, x) − M°t kh¡c, g (X(t), Y (t)) = ⇒ X (t).gx (X(t), Y (t)) + Y (t).gy (X(t), Y (t)) = ordX (t) + ordgx (X(t), Y (t)) = ordY (t) + ordgy (X(t), Y (t)) i0 (g, gx ) − ordY (t) = i0 (g, gy ) − ordX (t) Cũng vợi kát quÊ trản ta ÷đc i0 (g, gx ) − i0 (g, y) < i0 (g, gy ) − i0 (g, x) Khi â, ∼ γ(g) = {i0 (g, gx ) − i0 (g, y) + 1, i0 (g, gx ) − i0 (g, y) + 1} = i0 (g, gx ) − i0 (g, y) + < i0 (g, gy ) − i0 (g, x) + ∼ = γ(f ) Kát quÊ ữủc chựng minh xong Bờ à 3.10 Cho f ∈ K[[x, y]] b§t kh£ quy v  ∼f l  ph²p bi¸n êi ch°t cõa f Khi â   ∼ ∼ ∼ γ(f ) ≥ m − m + f vợi m = mt(f ) Náu i0(f, x) 6= i0(f, y) th¼ i, ii, ∼ ∼ ∼ γ(f ) = m2 − m + γ f l  im-good èi vỵi f v  ch¿ p l  im-good èi vỵi f ∼ p 45 Chùng minh i, N¸u i0(f, x) = +∞ ho°c i0(f, y) = +∞ th¼ f = x.u ho°c f = y.v vợi u, v no õ khÊ nghch (vẳ f bĐt khÊ quy) v bờ à hin nhiản úng B¥y gií gi£ sû i0(f, x) < i0(f, y) < +∞ v  f (u, uv) = umf (u, v) Khi â ∼ ∼ fx (u, uv) + vfy (u, uv) = mum−1 f (u, v) + um f u (u, v) v  ∼ ufy (u, uv) = um f v (u, v) Suy m ∼  m xfx (x, y) + yfy (x, y) = mu f (u, v) + u v  m yfy (x, y) = u  ∼ ∼  uf u (u, v)  v f v (u, v) , â x = u v  y = uv ∼ Gåi (u(t), v(t)) l  mët tham sè hâa cõa f Khi â x(t) = u(t) v  y(t) = u(t)v(t) l  mët tham sè hâa cõa f Ta câ m x(t)fx (x(t), y(t)) + y(t)fy (x(t), y(t)) = u(t) v  m y(t)fy (x(t), y(t)) = u(t)  ∼   u(t)f u (u(t), v(t)) ∼  v(t)f v (u(t), v(t)) Vỵi (α : β) ∈ P1 ta câ αx(t)fx (x(t), y(t)) + (α + β)y(t)fy (x(t), y(t)) = u(t) m  ∼ ∼  αu(t)f u (u(t), v(t)) + βv(t)f v (u(t), v(t)) LĐy cĐp cừa hai vá ng thực trản, lữu ỵ ord u(t) = ord x(t) = i0(f, x) = m, vợi tẵnh chĐt cừa giao ối vợi tham sè hâa ta câ ∼ ∼ ∼  i0 (f, αxfx + (α + β)yfy ) = m2 + i0 f , αuf u + βv f v B¶n cÔnh õ i0 (f, x) + i0 (f, y) = ord x(t) + ord y(t) = ord u(t) + ord u(t) + ord v(t) ∼  ∼  = m + i0 f , u + i0 f , v 46 M f thuên tiằn nản (f ) = i0 (f, αxfx + (α + β)yfy ) − i0 (f, x) − i0 (f, y) + ∼ ∼ ∼ ∼   ∼  = m − m + i0 f , αuf u + βv f v − i0 f , u − i0 f , v + ∼ ∼ =m −m+γ f ii, Kh¯ng ành câ ÷đc tø hai ¯ng thùc ∼  i0 (f, x) = ord x(t) = ord u(t) = i0 f , u v  ∼  ∼  i0 (f, y) = ord y(t) = ord u(t) + ord v(t) = i0 f , u + i0 f , v BƠy giớ ta xt trữớng hủp i0(f, x) = i0(f, y) Gåi (β : α) l  hữợng tiáp tuyán cừa f v g K[[x, y]] thäa m¢n f (x, y) = g(x, αx − βy) Theo Bê · 3.9 ta câ ∼ ∼ i0 (g, x) < i0 (g, y) v  γ(f ) < γ(g) Tø chùng minh i, ta câ ∼ ∼ ∼ γ(g) = m − m + γ g , vỵi ∼g l  ph²p bi¸n êi ch°t cõa g ∼ M°t khĂc, f tÔi im (, ) l trũng vợi g tÔi im (1 : 0) Thêt vêy,   f u, u v + f (u, v) = α β um Do â, ∼γ(f ) ≥ ∼γ(g) ≥ m2 − m + ∼γ ∼ g  = g (u, −βuv) ∼ ∼ = g(u, v) um ∼ ∼ = m2 m + f Chú ỵ rơng số Delta cụng cõ kát quÊ tữỡng tỹ ữủc phĂt biu Mằnh à 3.2 Tuy nhiản Ănh giĂ tữỡng tỹ ối vợi số Kappa văn ang l mởt cƠu họi Ta án vợi kát quÊ chẵnh ữủc phĂt biu cho bĐt bián Gamma hai nh lẵ sau ành l½ 3.11 Cho f ∈ K[[x, y]] thu gån Khi â ∼ γ(f ) ≥ 2δ(f ) − r(f ) + ¯ng thùc x£y v  ch¿ °c sè p l  im-good èi vỵi f Chựng minh Ta tián hnh chựng minh nh lẵ theo hai bữợc Bữợc 1: Ta xt f l bĐt khÊ quy v s quy nÔp theo số (f ) rơng (f ) 2(f ), 47 ỗng thới ch ∼γ(f ) = 2δ(f ) v  ch¿ p l im-good ối vợi f Náu (f ) = th¼ mt(f ) = 1, suy ∼γ(f ) = = 2δ(f ), x£y ¯ng thùc úng vợi phĂt biu cừa nh lẵ GiÊ sỷ (f ) > v nh lẵ úng vợi mồi g bĐt khÊ quy thọa mÂn (g) < (f ) Chú ỵ rơng (f ) > thẳ m = mt(f ) ≥ v  sû dưng k¸t qu£ cõa M»nh · 3.2 ta câ δ(f ) = ∼ ∼ m(m − 1) +δ f >δ f (     m ≥ 2) Sû dưng gi£ thi¸t quy nÔp cho f vợi Bờ à 3.10 ta ÷đc ∼ ∼ ∼  ∼ γ(f ) ≥ m2 − m + γ f ∼ ≥ m2 − m + 2δ f = 2δ(f ) (pcm) B¥y gií ta gi£ sû p l  im-good èi vỵi f Ta c¦n ch¿ ¯ng thùc ∼γ(f ) = 2δ(f ) Náu i0(f, x) 6= i0(f, y) thẳ pcụng imgood ối vỵi f tø Bê · 3.10 Theo  l    giÊ thiát quy nÔp ta cõ f = 2δ f Khi â ∼ • ∼ ∼ ∼ γ(f ) = m2 − m + γ f ( ∼ theo Bê · 3.10) = m2 − m + 2δ f = 2δ(f ) • ( theo Mằnh à 3.2) Náu i0(f, x) = i0(f, y) thẳ p l im-good ối vợi f nản i0 (f, x) = i0 (f, y) = m 6≡ (mod p) Gåi g ∈ K[[x, y]] cho f (x, y) = g (x, αx − βy) vỵi (β : ) l hữợng tiáp tuyán cừa f Khi õ, theo Bê · 3.9 ta câ i0(g, x) < i0(g, y) Do õ theo chựng minh cừa trữớng hủp trản th¼ ∼γ ∼g = 2δ ∼g v  theo Bê · 3.10 th¼   ∼ ∼ ∼ γ(g) = m2 − m + γ g Cuèi còng g ∼c f n¶n ∼ ∼ γ(f ) = γ(g) ∼ ∼ =m −m+γ g  ∼ = m − m + 2δ g = 2δ(g) = 2δ(f ) 48 Vêy náu p l im-good ối vợi f thẳ (f ) = 2(f ) Ngữủc lÔi, náu p khổng im-good ối vợi f thẳ (f ) > (f ) Thêt vêy, vẳ p khổng im-good ối vợi f n¶n m ≥ p, v  â δ(f ) ≥ p(p 1) , dĐu bơng xÊy m = p v  δ(f ) = ∼ • N¸u δ(f ) = p(p 2− 1) , ta vi¸t f = fp + fp+1 + vỵi fp = (αx − βy)p, β 6= Ta s³ chùng minh α 6= Ph£n chùng r¬ng α = ta câ i0(f, y) > p = i0(f, x) M  i0(f, y) ≡ (mod p) n¶n i0(f, y) ≥ 2p Do â ∼ mt(f ) = {i0 (f, x), i0 (f, y) − i0 (f, x)} ≥ p > iÃu ny cõ mƠu thuăn (f ) = thẳ mt(f ) = Vêy 6= Tiáp tửc lĐy g K[[x, y]] nhữ Bờ · 3.9, ta câ p = i0(g, x) < i0(g, y) Hìn núa ∼ mt( g) = v¼ ∼ ∼ p(p − 1) p(p − 1) ∼ ∼ = δ(f ) = δ(g) = + δ( g) ⇒ δ( g) = 2 M  i0(∼g, u) = p > n¶n i0(∼g, v) = Gåi (u(t), v(t)) l  mët tham sè hâa cõa ∼ g , â x(t) = u(t) v  y(t) = u(t).v(t) l  mët tham sè hâa cõa g Ta câ ∼ i0 (g, y) = ord y(t) = ord (u(t).v(t)) = ord x(t) + ord v(t) = i0 (g, x) + i0 ( g, x) ⇒i0 (g, y) = p + 6≡ 0(mod p), hay p l  im-good èi vỵi g Sû dửng kát quÊ cừa trữớng hủp trản ta ữủc (g) ≥ 2δ(g) = 2δ(f ) M°t kh¡c, theo Bê · 3.9, ∼γ(f ) > ∼γ(g) Vªy ∼ γ(f ) > 2(f ) ã Náu (f ) > p(p 1) v  i0(f, x) 6= i0(f, y) th¼ theo Bê · 3.10, p l  khỉng ∼ ∼ im-good èi vỵi f Sỷ dửng giÊ thiát quy nÔp cho f ta ÷đc ∼ ∼ ∼ γ(f ) = m(m − 1) + γ(f ) ∼ > m(m − 1) + 2δ(f ) = 2δ(f ) 49 Tr÷íng hđp i0(f, x) = i0(f, y), lĐy g K[[x, y]] nhữ Bờ à 3.9 Náu p khổng l im-good ối vợi g, v  i0(g, x) 6= i0(g, y), theo chùng minh trản ta ữủc (g) > 2(g) v õ ∼ γ(f ) ≥ γ(g) > 2δ(g) = 2δ(f ) ( Chú ỵ 1.20) Náu p l im-good ối vợi g thẳ theo Bờ à 3.9, (f ) > (g) Cũng vợi giÊ thiát quy nÔp ta cõ ∼ γ(f ) > γ(g) ≥ 2δ(g) = 2δ(f ) Bữợc ữủc thỹc hiằn xong tÔi Ơy Bữợc 2: GiÊ sỷ f thu gồn vợi phƠn tẵch f = f1 fr , õ fi bĐt khÊ quy vợi måi i = 1, , r Khi â, sû döng kát quÊ cừa bữợc ta cõ (f ) = r X  ∼ γ(fi ) +  X i=1 ≥ r X i0 (fi , fj ) − r + j6=i  2δ(fi ) + i=1  X i0 (fi , fj ) − r + j6=i = 2δ(f ) − r + ¯ng thùc x£y v  ch¿ p l  im-good èi vỵi fi, ∀i = 1, r, hay p l  im-good ối vợi f nh lẵ  ữủc chựng minh xong Hằ quÊ 3.12 Náu p l im-good ối vợi f thẳ (f ) = (f ) Chựng minh LĐy g l  t÷ìng ÷ìng ph£i cõa f cho γ(f ) = ∼γ(g) Khi â sû dưng ành l½ 3.11 v Chú ỵ 1.20 ta cõ (f ) ≥ γ(f ) = γ(g) ≥ 2δ(g) − r(g) + = 2δ(f ) − r(f ) + = γ(f ), Do â γ(f ) = ∼γ(f ) ành l½ 3.13 Cho f ∈ K[[x, y]] thu gån Khi â γ(f ) ≥ 2δ(f ) − r(f ) + ¯ng thùc x£y v  ch¿ p l  im-good ph£i èi vỵi f 50 Chùng minh LĐy g l tữỡng ữỡng phÊi cừa f cho γ(f ) = ∼γ(g) v  sû dưng ành l½ 3.11, Chú ỵ 1.20 ta ữủc (f ) = γ(g) ≥ 2δ(g) − r(g) + = 2δ(f ) − r(f ) + 1, vỵi ¯ng thùc x£y v  ch¿ p l  im-good èi vỵi g  kát thúc chựng minh ta cỏn cƯn ch rơng náu p l im-good phÊi ối vợi f thẳ γ(f ) = 2δ(f ) − r(f ) + Thªt vªy, gåi h ∈ K[[x, y]] cho h r f v p l im-good ối vợi h Tiáp tửc sỷ dửng nh lẵ 3.11 v Chú ỵ 1.20 ta ÷đc ∼ γ(f ) = γ(h) ≤ γ(h) = 2δ(h) − r(h) + = 2δ(f ) − r(f ) + ≤ γ(f ) i·u n y cho th§y γ(f ) = 2δ(f ) − r(f ) + v ta kát thúc chựng minh tÔi Ơy Kát luên v Kián ngh Trản Ơy l ton bở nởi dung m tĂc giÊ  nghiản cựu ữủc v hằ thống lÔi, và cỡ bÊn  hon thnh ữủc mởt số mửc tiảu ban Ưu à ra: ã nh nghắa v nảu mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa cĂc bĐt bián cờ in; ã mổ tÊ ữủc cĐu trúc nỷa nhõm cừa mởt kẳ d ữớng cong phng v dỹa trản cĐu trúc õ ữa mởt số quan hằ giỳa nỷa nhõm v cĂc bĐt bián khĂc; ã xƠy dỹng bĐt bián Gamma, tứ õ hon thiằn cổng thực Milnor m rởng ối vợi trữớng cõ c số dữỡng Tuy nhiản, GiÊ thuyát 2.25 ữủc t quĂ trẳnh tĂc giÊ nghiản cựu văn chữa tẳm ữủc cƠu trÊ lới, cụng nhữ tham vồng muốn tẳm hiu mối liản hằ giỳa nỷa nhõm cừa cĂc kẳ d ữớng cong phng qua cĂc php bián ời cht văn chữa ữủc giÊi quyát TĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ quan tƠm, ỵ kián õng gõp cừa quỵ ThƯy, Cổ giÊng viản v bÔn ồc  cõ ữủc hữợng i mợi viằc giÊi quyát cĂc vĐn à n y Xin ch¥n th nh c£m ìn T¡c gi£ C¡i Thà Minh Ph÷ìng 51 T i li»u tham kh£o [1] A Campillo Algebroid Curve in Positive Characteristic, Springer, Berlin, 1980 [2] A Hefez Irreducible Plane Curve Real and Complex Singularities, Lecture Notes in Pure and Appl Math , New York, 2003 [3] A Sathaye, J Stenerson Plane, Polynomial Curves Algebraic Geometry and t Applications, Springer, New York, 1994 [4] Evelia Rosa Garc½a Barroso, Arkadiusz Ploski An approach to plane algebroid branches, Revista Mat Complutense 28 (2015), 227 - 252 [5] Evelia Rosa Garc½a Barroso, Arkadiusz Ploski The Milnor number of plane irreducible singularities in positive characteristic, Bull London Math Soc 48 (2016), 94-98 [6] G.-M Greuel, C Lossen, E Shustin Introduction to singularities and deformations, Springer, Berlin, 2007 [7] Nguyạn Hỗng ực, Classification of singularities in positive characteristic, University of Kaiserslautern, 2013 [8] Nguyạn Hỗng ực, Invariants of plane curve singularities and Plucker formulas in positive characteristic, Annales de l'institut Fourier, 2016 52