Luận văn thạc sĩ bất biến delta của kì dị đường cong phẳng

a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI NHI ĐỀ TÀI: BẤT BIẾN DELTA CỦA KÌ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Bình Định - năm 2022 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI NHI LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI: BẤT BIẾN DELTA CỦA KÌ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 Khóa: 23 (2020 - 2022) Người hướng dẫn: TS Nguyễn Hồng Đức Bình Định - năm 2022 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn viết trung thực, nội dung tham khảo trích dẫn đầy đủ nguồn gốc quy định Quy Nhơn, tháng năm 2022 Người viết luận văn Bùi Nhi i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 23 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn TS.Nguyễn Hồng Đức, Đại học Thăng Long Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành đến thầy hướng dẫn, người kiên trì dẫn dắt em để có phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian để bảo, góp ý cho em q trình hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành tới thầy giảng viên trường Đại học Quy Nhơn Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy, truyền tải kiến thức cho chúng em trình học tập Em xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sư Phạm, Trường Đại học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi cho chúng em suốt khóa học Cuối xin gửi lời cảm ơn gia đình, người thân bạn bè em động viên ủng hộ để em có động lực hồn thành khóa học Quy Nhơn, tháng năm 2022 Bùi Nhi ii iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt (nếu có) Char(K) Đặc số trường K δ Bất biến delta γ Bất biến gamma κ Bất biến kappa K Trường đóng đại số K [[x, y]] Vành chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số K với hệ biến x, y i(f, g) Số bội giao f g m Iđêan cực đại µ Bất biến Milnor Rf Vành tọa độ f r(f ) Số nhân tử bất khả quy f Rf Mở rộng nguyên, chuẩn tắc hóa Rf m−good Bội tốt (multiplicity good) im−good Bội giao tốt (intersection multiplicity good) decart(f ) Chênh lệch (differential ecart of f ) Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Kiến thức sở 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.2 Một số bất biến kì dị đường cong phẳng 1.3 Bất biến delta kì dị đường cong phẳng 12 Công thức Milnor 20 2.1 Phép biến đổi chặt 20 2.2 Lược đồ Newton 25 2.3 Phép biến đổi Newton 30 ă Bt bin kappa v cụng thc Plucker 43 3.1 Bất biến kappa 43 3.2 Bất biến gamma 45 3.3 Cụng thc Plăucker 49 Kết luận 54 iv LỜI MỞ ĐẦU Về lý chon đề tài "Bất biến delta kì dị đường cong phẳng": "Bất biến delta" bất biến cổ điển xuất nhiều lĩnh vực khác toán học Lý thuyết số tô pô, Đại số, Lý thuyết biểu diễn, Lý thuyết kì dị Từ định nghĩa đại số nó, định nghĩa bất biến delta cho trường Nhưng hiểu biết bất biến delta trường hợp hạn chế, cần nghiên cứu cách hệ thống Việc tính tốn số delta theo vấn đề cần tìm hiểu nghiên cứu Tổng quan tình hình nghiên cứu, “Bất biến delta” kì dị đường cong phẳng f ∈ K [[x, y]] số tự nhiên định nghĩa Đại số tô pô Chúng định nghĩa chiều không gian vectơ thương Rf /Rf , Rf vành tọa độ f Đây bất biến quan trọng Đại số, Hình học đại số, Lí thuyết kì dị Lí thuyết biến dạng Hơn bất biến cịn có mối liên hệ mật thiết với bất biến khác kì dị đường cong phẳng, điều cho ta định hướng nghiên cứu cách tính tốn số delta thơng qua bất biến khác Mục đích nghiên cứu đề tài hệ thống lại kết quan trọng liên quan đến bất biến delta đường cong phẳng đưa phương pháp tính tốn số delta Trình bày chứng minh cơng thức Milnor trường có đặc số khơng âm Đối tượng nghiên cứu đề tài kì dị đường cong phẳng, đặc biệt bất biến delta bất biến liên quan Luận văn nghiên cứu thông qua phương pháp sử dụng Lý thuyết kì dị, mở rộng nguyên vành, tham số hóa, dùng phép biến đổi chặt, biến đổi Newton giải kì dị Nội dung luận văn chia làm ba chương bao gồm: Chương 1: Kiến thức sở gồm kết thuộc Lý thuyết kì dị khái niệm bất biến kì dị đường cong phẳng Chương 2: Cơng thức Milnor kết việc chứng minh cơng thức u cầu cần đạt luận văn Chương 3: Cụng thc Plăucker cng l mt cụng thc kinh điển lí thuyết kì dị có liên qua đến bất biến delta Cuối cùng, luận văn viết dựa tài liệu tham khảo, sách báo khoa học công bố rộng rãi Các kết trình bày khơng phải kết trình bày lại với chứng minh có từ trước đó, kết hợp với lập luận cá nhân Do luận văn mang tính chất tham khảo Tơi hy vọng luận văn tài liệu hữu ích cho quý đọc giả giảng viên Quy Nhơn, tháng năm 2022 Người viết luận văn Bùi Nhi Chương Kiến thức sở Mở đầu chương kiến thức sở thuộc Lý thuyết kì dị trích dẫn tham khảo từ tài liệu số[5] 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức Cho K trường đóng đại số, K [[x, y]] gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức hai biến Một chuỗi lũy thừa hình thức hai biến x, y có dạng f (x, y) := X cα,β xα y β α+β≥0 Trong cα,β 6= cα,β xα y β gọi đơn thức có cấp α + β f cα,β gọi hệ số đơn thức Đơn thức x0 y ≡ Ta nói chuỗi f f tổng đơn thức có cấp Iđêan cực đại K [[x, y]] ký hiệu m = hx, yi Định nghĩa 1.1.1 (Giá f ) P Cho f (x, y) = cα,β xα y β ∈ K [[x, y]], ta có supp(f ) = {(α, β) ∈ N2 |cα,β 6= 0} gọi giá f Một chuỗi lũy thừa hình thức f ∈ K [[x, y]] đa thức supp(f ) hữu hạn Định nghĩa 1.1.2 (Số bội) Cho f ∈ K [[x, y]], số bội f , ký hiệu ord(f ) := mt(f ) := min{α + β|(α, β) ∈ supp(f )} Ta quy ước supp(0) = ∅ ord(0) = ∞ Mệnh đề 1.1.3 Cho f, g ∈ K [[x, y]], ta có mệnh đề sau: ord(f + g) ≥ min{ord(f ), ord(g)}; ord(f.g) = ord(f ) + ord(g) X Chứng minh Giả sử f (x, y) = α+β≥ord(f ) Ta viết lại f = X fi g = i X X aα,β xα y β g(x, y) = bγ,θ xγ y θ γ+θ≥ord(g) gj fi gj đa thức có i bậc i j f g Khi ta có f + g = X (fi + gi ) Từ ta có đánh giá i ord(f + g) ≥ min{ord(f ), ord(g)} Dấu đẳng thức xảy đa thức fi + gi 6= với i = min{ord(f ), ord(g)} Ta có X f.g := aα,β bγ,θ xα+γ y β+θ α+β+γ+θ≥ord(f )+ord(g) Vậy ord(f.g) = ord(f ) + ord(g) Định nghĩa 1.1.4 (Chuỗi luỹ thừa khả nghịch) Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]] hai chuỗi lũy thừa hình thức khác đơn vị, f gọi nghịch đảo g f.g = Khi ta nói f khả nghịch K [[x, y]] Ký hiệu K [[x, y]]∗ tập chuỗi lũy thừa hình thức khả nghịch K [[x, y]] Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề Krull) K [[x, y]] ⊃ m = hx, yi iđêan cực đại, ∞ \ k=1 mk = {0} n0 k i k = = =