Bất biến delta của kì dị đường cong phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI NHI ĐỀ TÀI: BẤT BIẾN DELTA CỦA KÌ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Bình Định - năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI NHI LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI: BẤT BIẾN DELTA CỦA KÌ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 Khóa: 23 (2020 - 2022) Người hướng dẫn: TS Nguyễn Hồng Đức Bình Định - năm 2022 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn viết trung thực, nội dung tham khảo trích dẫn đầy đủ nguồn gốc quy định Quy Nhơn, tháng năm 2022 Người viết luận văn Bùi Nhi i Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa 23 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn TS.Nguyễn Hồng Đức, Đại học Thăng Long Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành đến thầy hướng dẫn, người kiên trì dẫn dắt em để có phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian để bảo, góp ý cho em q trình hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy cô giảng viên trường Đại học Quy Nhơn Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy, truyền tải kiến thức cho chúng em trình học tập Em xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sư Phạm, Trường Đại học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi cho chúng em suốt khóa học Cuối xin gửi lời cảm ơn gia đình, người thân bạn bè em động viên ủng hộ để em có động lực hồn thành khóa học Quy Nhơn, tháng năm 2022 Bùi Nhi ii iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt (nếu có) Char(K) Đặc số trường K δ Bất biến delta γ Bất biến gamma κ Bất biến kappa K Trường đóng đại số K [[x, y]] Vành chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số K với hệ biến x, y i(f, g) Số bội giao f g m Iđêan cực đại µ Bất biến Milnor Rf Vành tọa độ f r(f ) Số nhân tử bất khả quy f Rf Mở rộng nguyên, chuẩn tắc hóa Rf m−good Bội tốt (multiplicity good) im−good Bội giao tốt (intersection multiplicity good) decart(f ) Chênh lệch (differential ecart of f ) Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Kiến thức sở 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.2 Một số bất biến kì dị đường cong phẳng 1.3 Bất biến delta kì dị đường cong phẳng 12 Công thức Milnor 20 2.1 Phép biến đổi chặt 20 2.2 Lược đồ Newton 25 2.3 Phép biến đổi Newton 30 ă Bt bin kappa v cụng thức Plucker 43 3.1 Bất biến kappa 43 3.2 Bất biến gamma 45 3.3 Cụng thc Plăucker 49 Kết luận 54 iv LỜI MỞ ĐẦU Về lý chon đề tài "Bất biến delta kì dị đường cong phẳng": "Bất biến delta" bất biến cổ điển xuất nhiều lĩnh vực khác toán học Lý thuyết số tô pô, Đại số, Lý thuyết biểu diễn, Lý thuyết kì dị Từ định nghĩa đại số nó, định nghĩa bất biến delta cho trường Nhưng hiểu biết bất biến delta trường hợp hạn chế, cần nghiên cứu cách hệ thống Việc tính tốn số delta theo vấn đề cần tìm hiểu nghiên cứu Tổng quan tình hình nghiên cứu, “Bất biến delta” kì dị đường cong phẳng f ∈ K [[x, y]] số tự nhiên định nghĩa Đại số tô pô Chúng định nghĩa chiều không gian vectơ thương Rf /Rf , Rf vành tọa độ f Đây bất biến quan trọng Đại số, Hình học đại số, Lí thuyết kì dị Lí thuyết biến dạng Hơn bất biến cịn có mối liên hệ mật thiết với bất biến khác kì dị đường cong phẳng, điều cho ta định hướng nghiên cứu cách tính tốn số delta thơng qua bất biến khác Mục đích nghiên cứu đề tài hệ thống lại kết quan trọng liên quan đến bất biến delta đường cong phẳng đưa phương pháp tính tốn số delta Trình bày chứng minh cơng thức Milnor trường có đặc số khơng âm Đối tượng nghiên cứu đề tài kì dị đường cong phẳng, đặc biệt bất biến delta bất biến liên quan Luận văn nghiên cứu thông qua phương pháp sử dụng Lý thuyết kì dị, mở rộng nguyên vành, tham số hóa, dùng phép biến đổi chặt, biến đổi Newton giải kì dị Nội dung luận văn chia làm ba chương bao gồm: Chương 1: Kiến thức sở gồm kết thuộc Lý thuyết kì dị khái niệm bất biến kì dị đường cong phẳng Chương 2: Cơng thức Milnor kết việc chứng minh cơng thức u cầu cần đạt luận văn Chng 3: Cụng thc Plăucker cng l mt cụng thức kinh điển lí thuyết kì dị có liên qua đến bất biến delta Cuối cùng, luận văn viết dựa tài liệu tham khảo, sách báo khoa học công bố rộng rãi Các kết trình bày kết trình bày lại với chứng minh có từ trước đó, kết hợp với lập luận cá nhân Do luận văn mang tính chất tham khảo Tơi hy vọng luận văn tài liệu hữu ích cho quý đọc giả giảng viên Quy Nhơn, tháng năm 2022 Người viết luận văn Bùi Nhi Chương Kiến thức sở Mở đầu chương kiến thức sở thuộc Lý thuyết kì dị trích dẫn tham khảo từ tài liệu số[5] 1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức Cho K trường đóng đại số, K [[x, y]] gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức hai biến Một chuỗi lũy thừa hình thức hai biến x, y có dạng cα,β xα y β f (x, y) := α+β≥0 Trong cα,β = cα,β xα y β gọi đơn thức có cấp α + β f cα,β gọi hệ số đơn thức Đơn thức x0 y ≡ Ta nói chuỗi f f tổng đơn thức có cấp Iđêan cực đại K [[x, y]] ký hiệu m = x, y Định nghĩa 1.1.1 (Giá f ) Cho f (x, y) = cα,β xα y β ∈ K [[x, y]], ta có supp(f ) = {(α, β) ∈ N2 |cα,β = 0} gọi giá f Một chuỗi lũy thừa hình thức f ∈ K [[x, y]] đa thức supp(f ) hữu hạn Định nghĩa 1.1.2 (Số bội) Cho f ∈ K [[x, y]], số bội f , ký hiệu ord(f ) := mt(f ) := min{α + β|(α, β) ∈ supp(f )} Ta quy ước supp(0) = ∅ ord(0) = ∞ Mệnh đề 1.1.3 Cho f, g ∈ K [[x, y]], ta có mệnh đề sau: ord(f + g) ≥ min{ord(f ), ord(g)}; ord(f.g) = ord(f ) + ord(g) aα,β xα y β g(x, y) = Chứng minh Giả sử f (x, y) = α+β≥ord(f ) Ta viết lại f = fi g = i bγ,θ xγ y θ γ+θ≥ord(g) gj fi gj đa thức có i bậc i j f g Khi ta có f + g = (fi + gi ) Từ ta có đánh giá i ord(f + g) ≥ min{ord(f ), ord(g)} Dấu đẳng thức xảy đa thức fi + gi = với i = min{ord(f ), ord(g)} Ta có aα,β bγ,θ xα+γ y β+θ f.g := α+β+γ+θ≥ord(f )+ord(g) Vậy ord(f.g) = ord(f ) + ord(g) Định nghĩa 1.1.4 (Chuỗi luỹ thừa khả nghịch) Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]] hai chuỗi lũy thừa hình thức khác đơn vị, f gọi nghịch đảo g f.g = Khi ta nói f khả nghịch K [[x, y]] Ký hiệu K [[x, y]]∗ tập chuỗi lũy thừa hình thức khả nghịch K [[x, y]] Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề Krull) K [[x, y]] ⊃ m = x, y iđêan cực đại, ∞ mk = {0} k=1 42 Chứng minh Định lý 2.3.7 TH1: f bất khả quy, suy r(f ) = Theo Hệ 2.3.6 Bổ đề 2.3.9, ta có µ(f ) = 2δ(f ) + pcd(f ) TH2: Nếu f khả quy giả sử f = f1 fr , với fi , i = 1, r nhân tử bất khả quy f Xét (xi (t), yi (t)) tham số hóa fi với i = 1, r   r i(fi , (fi )x ) + i(f, fx ) = i=1 r i(f, y) = i(fi , fj ) , j=i (i(fi , y)) i=1 Cũng theo Hệ 2.3.6 Bổ đề 2.3.9, ta có µ(f ) = i(f, fx ) − i(f, y) + pcd(f ) + r =   i=1 r  i=1 r i(fi , fj ) + pcd(f ) + j=i   2δ(fi ) − + = (i(fi , y)) + pcd(f ) + i=1 j=i  (i(fi , (fi )x ) − i(fi , y)) + = r i(fi , fj ) − i(fi , (fi )x ) + i=1 i(fi , fj ) + pcd(f ) + j=i = 2δ(f ) − r(f ) + pcd(f ) + Như chương ta có câu trả lời cho câu hỏi đưa đầu chương Tuy nhiên mối liên hệ cho số Milnor số delta cách tổng qt, khơng ràng buộc ta chưa thể đưa Do ta thử tiếp cận theo hướng khác, thông qua hai bất biến chưa giới thiệu hai chương trước số gamma số kappa Ta đến với nội dung sau Chương Bất biến kappa công thc ă Plucker Chng ny trỡnh by mt s kt bất biến kappa đường cong kỳ dị v cụng thc Plăucker trng s K cú c số Char(K) = p ≥ Để bạn đọc dễ theo dõi từ số p ≥ nhắc đến đặc số trường K khơng thích thêm Trước hết ta đến với vài định nghĩa 3.1 Bất biến kappa Định nghĩa 3.1.1 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]], f thu gọn Số kappa f định nghĩa sau: κ(f ) := i f, P(α:β) (f ) = i f, α ∂f ∂f +β ∂x ∂y , (α : β) ∈ P1 tổng quát Mệnh đề 3.1.2 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] chuỗi lũy thừa thu gọn, K trường có đặc số Khi κ(f ) = µ(f ) + mt(f ) − Chứng minh Theo Bổ đề 1.3.7 ta có κ(f ) = µ(f ) + i(−βx + αy, f ) − = µ(f ) + mt(f ) − 43 44 Hệ 3.1.3 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] bất khả quy Khi κ(f ) = min{i(f, fx ), i(f, fy )} Chứng minh Lấy (x(t), y(t)) tham số hóa f Khi κ(f ) = i f, P(α:β) (f ) = ord (αfx (x(t), y(t)) + βfy (x(t), y(t))) = min{ord(fx (x(t), y(t))), ord(fx (x(t), y(t)))} = min{i(f, fx ), i(f, fy )} Chứng minh kết thúc Hệ 3.1.4 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] thu gọn có dạng phân tích f = f1 f2 fr , fi bất khả quy với i = 1, r Khi   r κ(fi ) + κ(f ) = i=1 Chứng minh Ta có  r    f = (fi )x   x i=1 r     fy = i=j fj j=i (fi )y i=1 i (fi , fj ) r ⇔ αfx + βfy =   (α(fi )x + β(fi )y ) i=1 fj fj  j=i j=i Theo định nghĩa số kappa, r κ(f ) = i(f, αfx + βfy ) = r = i(fi , αfx + βfy ) i=1    i fi , (α(fi )x + β(fi )y ) i=1 r = fj  j=i   i(fi , α(fi )x + β(fi )y ) + i=1 r = j=i   κ(fi ) + i=1 i(fi fj ) i(fi , fj ) j=i Chứng minh kết thúc Tất kết mục 3.2 sau trích dẫn từ tài liệu tham khảo số [7] chương mục 2.3 trang 47-56 bạn đọc tham khảo thêm tài liệu Ở tơi trình bày kết cần thiết để đến kết 45 3.2 Bất biến gamma Định nghĩa 3.2.1 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] thu gọn Số γ˜x,y (f ) f định nghĩa sau: 1) γ˜ (x) := 0, γ˜ (y) := 2) Nếu f bất khả quy thuận tiện, γ˜ (f ) := min{i(f, fx ) − i(f, y) + 1, min{i(f, fy ) − i(f, x) + 1} 3) Nếu f = f1 f2 fr , r γ˜ :=   i(fi , fj ) − r + γ˜ (fi ) + i=1 j=i Định nghĩa 3.2.2 (Số γ ) Giá trị nhỏ γ˜x,y (f ) với phép biến đổi tọa độ (x, y) gọi số gamma f , ký hiệu γ(f ) Nhận xét Nếu f bất khả quy thuận tiện, γ˜ (f ) = i (f, αxfx + βyfy ) − i(f, x) − i(f, y) + 1, Trong (α : β) ∈ P1 tổng quát Nhận xét Trong trường có đặc số γ(f ) = γ˜ (f ) = µ(f ) Các giá trị δ, κ, mt, r, i bất biến đối quan hệ tương đương liên kết, tức f ∼c g δ(f ) = δ(g), κ(f ) = κ(g), mt(f ) = mt(g), r(f ) = r(g) Định lý 3.2.3 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] thu gọn Khi γ(f ) ≤ γ˜ (f ) ≤ κ(f ) − mt(f ) + Dấu đẳng thức xảy p m-good cho f 46 Định lý 3.2.4 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] thu gọn cho p m-good cho f cho g ∼c f Khi γ˜ (g) = γ˜ (f ) Hơn γ(f ) = γ˜ (f ) Bổ đề 3.2.5 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] bất khả quy cho m := i(f, x) = i(f, y) Cho g ∈ K [[x, y]] cho f (x, y) = g(x, αx + βy), (β : α)P1 phương tiếp tuyến f Khi i) m = i(g, x) < i(g, y); ii) γ˜ (f ) ≥ γ˜ (g); iii) Nếu đặc số p m-good cho g không m-good cho f , γ˜ (f ) > γ˜ (g) Bổ đề 3.2.6 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] bất khả quy f˜ biến đổi chặt f , γ˜ (f ) ≥ m2 − m + γ˜ (f˜) Hơn với giả thiết i(f, x) = i(f, y) Khi i) γ˜ (f ) = m2 − m + γ˜ (f˜), với m := mt(f ) bội f ; ii) p im-good cho f , im-good cho f˜ Định lý 3.2.7 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] thu gọn Khi γ˜ (f ) ≥ 2δ(f ) − r(f ) + Đẳng thức xảy đặc số p im-good cho f Hệ 3.2.8 Giả thiết p im-good cho f Khi γ(f ) = γ˜ (f ) Định lý 3.2.9 Cho f ∈ K [[x, y]] thu gọn Khi γ(f ) ≥ 2δ(f ) − r(f ) + Dấu đẳng thức xảy đặc số p right im-good cho f 47 Định lý 3.2.10 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] thu gọn K trường số có đặc số p κ(f ) ≥ 2δ(f ) + mt(f ) − r(f ) Dấu đẳng thức xảy p m-good cho f Bổ đề 3.2.11 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]], f thu gọn.Giả sử p > κ(f ), ta có κ(f ) = 2δ(f ) + mt(f ) − r(f ) = µ(f ) + mt(f ) − Chứng minh Rõ ràng κ(f ) ≥ mt(f ) p > mt(f ) Do p m-good cho f κ(f ) = 2δ(f ) + mt(f ) − r(f ), dựa vào Định lý 3.2.10 Điều đủ để chứng minh κ(f ) = µ(f ) + mt(f ) − Cụ thể, lấy (α : β), (a : b) ∈ P1 cho α.b − β.a = κ(f ) = i(f, αfx + βfy ) i(g, x) − i(g, y) = mt(g) = mt(f ) với g(x, y) := f (αx + ay, βx + by) Cho gx = g1 gs với gi bất khả quy cho (xi (t), yi (t)) tham số hóa gi Vì p > κ(f ) ≥ ord (g(xi (t), yi (t))) p > mt(g) > ord (yi (t)) Điều khẳng định ord (g(xi (t), yi (t))) = ord d g(xi (t), yi (t)) dt +1 = ord (gy (xi (t), yi (t))) + ord d yi (t) dt = ord (gy (xi (t), yi (t))) + ord (yi (t)) Suy i(g, gx ) = i(gx , gy ) + i(gx , y) = µ(g) + mt(g) − +1 48 Do đó, nhận xét κ(f ) = i(f, αfx + βfy ) = i(g, gx ) = µ(g) + mt(g) − = µ(f ) + mt(f ) − Chứng minh kết thúc Hệ 3.2.12 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] thu gọn K trường có đặc số p > κ(f ) Khi µ(f ) = 2δ(f ) − r(f ) + Chứng minh Chứng minh suy trực tiếp từ Bổ đề 3.2.11 49 3.3 ¨ Công thức Plucker Cho C đường cong bất khả quy bậc d P2 định nghĩa đa thức F ∈ K [x, y, z] Cho Sing(C) tập kỳ dị C C ∗ := C\Sing(C) quỹ tích địa phương trơn C , cho s(C) := Sing(C) số điểm kỳ dị C Cho ˇ , P = (x : y : z) → (Fx (P ) : Fy (P ) : Fz (P )) ánh xạ đối ngẫu ρ : C ∗ −→ P deg(ρ) bậc Ta gọi bao đóng ảnh ρ P2 đường cong đối ngẫu C ký hiệu Cˇ Ta ký hiệu dˇ bậc Cˇ Với điểm kỳ dị P ∈ Sing(C) lấy hàm số địa phương fP = C P , định nghĩa δ(C) := δ(fP ), mt(C) := µ(C) := µ(fP ), r(C) := Sw(C) := mt(fP ), r(fP ), Sw(fP ) Trong tất tổng lấy P ∈ Sing(C) Trước trình by cụng thc Plăucker, ta xem li mt vi kt lý thuyết mở rộng trường đại số giao hoán dùng đến Lý thuyết mở rộng trường-Galois: Trích dẫn từ tài liệu tham khảo số [11], chương Định nghĩa 3.3.1 (Mở rộng trường) Cho K trường F ⊂ K trường Khi K gọi mở rộng trường F Định nghĩa 3.3.2 (Bậc mở rộng trường) Cho F trường K mở rộng trường F Khi K có cấu trúc F−Khơng gian vectơ với phép tốn nhân vơ hướng phép nhân trường K Ký hiệu [K : F] bậc mở rộng trường K F số chiều F−không gian vectơ K Nếu [K : F] < ∞ ta nói K mở rộng trường hữu hạn F Cịn khơng ta nói K mở rộng trường vô hạn F 50 Định nghĩa 3.3.3 (F-đồng cấu) Cho F trường K, L hai mở rộng trường F Một đồng cấu trường φ : K −→ L thoả mãn tính chất: φ(α) = α, ∀α ∈ F gọi F−đồng cấu Định nghĩa 3.3.4 (Đa thức tối tiểu) Đa thức tối tiểu a đa thức có bậc nhỏ nhận a làm nghiệm có hệ số dẫn đầu Định nghĩa 3.3.5 (Đa thức phân rã được) Cho f ∈ F[x] K mở rộng trường F Ta nói f phân rã K hay K phân rã f f viết dạng f = a(x − u1 )(x − u2 ) (x − un ) với a, ui ∈ K ∀i = 1, n Định nghĩa 3.3.6 (Trường phân rã đa thức) Cho đa thức = f ∈ F[x] Một mở rộng trường K F gọi trường phân rã f F K phân rã f f không phân rã trường thực K Định nghĩa 3.3.7 (Đa thức tách được) Một đa thức f ∈ F[x] gọi tách nhân tử bất khả quy trường phân rã khơng có nghiệm bội Định nghĩa 3.3.8 (Bậc tách bậc không tách đa thức) Cho f ∈ F[x] bất khả quy Char(F) = p Khi tồn đa thức g ∈ F[x] bất khả quy, tách cho k f (x) = g(xp ) Bậc đa thức g(x) gọi bậc tách f (x), ký hiệu sdeg(f ) Số mũ pk gọi bậc không tách f (x), ký hiệu ideg(f ) Định nghĩa 3.3.9 (Trường tách được) Một mở rộng đại số K : F gọi mở rộng tách đa thức tối tiểu phần tử F tách Lý thuyết Đại số giao hốn: Trích dẫn từ tài liệu tham khảo số [10] chương 5, 6,7,9 Cho An không gian affin n−chiều 51 Định nghĩa 3.3.10 (Hàm đa thức) Cho V ⊂ An tập điểm Hàm V −→ K gọi hàm đa thức có đa thức f ∈ K[x1 , , xn ] cho F (a) = f (a) với a ∈ V Định nghĩa 3.3.11 (Vành Toạ độ) Ta ký hiệu K[V ] tập hàm đa thức V K[V ] vành giao hoán với hai phép toán cộng nhân hai đa thức có phần tử hàm triệt tiêu V ( tức 0(x) = 0, ∀x ∈ V ), phần tử đơn vị hàm Ta gọi K[V ] vành toạ độ V Định nghĩa 3.3.12 (Ánh xạ đa thức) Với V ⊂ An W ⊂ Am ta có ánh xạ Φ: V −→ W a −→ Φ(a) = (Φ1 (a), , Φm (a)) Trong đó: Các hàm Φi hàm đa thức V Ánh xạ Φ gọi ánh xạ đa thức Định nghĩa 3.3.13 (Hàm lùi) Với hàm G : W −→ K ta gọi ánh xạ hợp thành G ◦ Φ hàm lùi G theo Φ Bổ đề 3.3.14 Φ ánh xạ đa thức hàm lùi G ◦ Φ ∈ K[V ] với G ∈ K[W ] Hơn với ánh xạ đa thức Φ, ta ký hiệu Φ∗ đồng cấu vành từ K[W ] đến K[V ] cho Φ∗ (G) := G ◦ Φ Chứng minh Thật vậy, ∀G, H ∈ K[W ], ta có Φ∗ (G + H) = (G + H) ◦ Φ = (G ◦ Φ) + (H ◦ Φ) = Φ∗ (G) + Φ∗ (H) Φ∗ (G.H) = (G.H) ◦ Φ = (G ◦ Φ).(H ◦ Φ) = Φ∗ (G).Φ∗ (H) Định nghĩa 3.3.15 (Mở rộng nguyên) Ta gọi C mở rộng nguyên A phần tử C có quan hệ nguyên A, tức ∀a ∈ C, ∃n ∈ N∗ , a1 , , an : an + a1 an−1 + + an = 52 Định nghĩa 3.3.16 (Ánh xạ hữu hạn) Cho Φ ánh xạ đa thức trội (Φ(V ) = W , Φ∗ đơn cấu) Khi K[V ] mở rộng nguyên K[W ] Φ gọi ánh xạ hữu hạn Bổ đề 3.3.17 (tính chất ánh xạ hữu hạn) Cho Φ : V −→ W ánh xạ hữu hạn Khi điểm W có số hữu hạn nghịch ảnh V Chứng minh Tham khảo [10, Bổ đề 9.7, tr.75] Bây ta xem lại định nghĩa ánh xạ ρ rõ ràng ρ ánh xạ đa thức ˇ −→ K[C] Hơn đồng cấu vành ρ∗ Như tồn đồng cấu vành ρ∗ : K[C] ˇ -trường thương K[C] ˇ đến K(C)-trường cảm sinh đơn cấu từ K(C) ˇ có bậc thương K[C] Khi ta có K(C) mở rộng trường hữu hạn K(C) ˇ Bậc ánh xạ đa thức ρ định nghĩa [K(C) : K(C)] ˇ , tức là [K(C) : K(C)] ˇ deg(ρ) := [K(C) : K(C)] Sau õy tụi xin trỡnh by cụng thc Plăucker thứ chứng minh ngắn gọn ¨ Mệnh đề 3.3.18 (Công thức Plucker thứ nhất) deg(ρ).dˇ = d(d − 1) − κ(fP ) P ∈Sing(C) [[8], Bổ đề 3.3, tr 2064] Chứng minh Ta ký hiệu sdeg(ρ) (tương ứng ideg(ρ)) bậc tách ( tương ứng bậc khơng tách được) ρ Khi tồn tập mở V ⊂ ρ(C) cho ρ−1 (R) = sdeg(ρ), với R ∈ V Dễ dàng ta thấy tồn tập mở U ⊂ C cho HQ ∩ Cˇ ⊂ V , với Q ∈ U , 53 Trong điểm Q = (α : β : γ) ∈ P2 , HQ ký hiệu đường P2 định nghĩa αX + βY + γZ Hơn theo lý thuyết phân nhánh ta có ˇ HQ , với P ∈ C ∗ , iP C, PQ = ideg(ρ).iρ(P ) C, Trong PQ ký hiệu đường cong cực C tương ứng với Q định nghĩa αFx + βFy + γFz , iP C, PQ bội giao C PQ P Từ Định lý Bézout với Q ta có, d(d − 1) = iP C, PQ P ∈C = iP C, PQ + P ∈Sing(C) iP C, PQ P ∈C ∗ ˇ HQ iP C, κ(fP ) + ideg(ρ) = P ∈Sing(C) P ∈C ∗ ˇ HQ iR C, κ(fP ) + ideg(ρ).sdeg(ρ) = ˇ R∈C P ∈Sing(C) ˇ κ(fP ) + deg(ρ)d = P ∈Sing(C) Chứng minh kết thúc Mệnh 3.3.19 [ng dng ca cụng thc Plăucker] Vi cỏc thích đầu chương, max {κ(fP )} < p P ∈Sing(C) deg(ρ).dˇ = d(d − 1) − 2δ(C) + r(C) − mt(C) = d(d − 1) − µ(C) − mt(C) + s(C) Chứng minh Áp dung công thc Plăucker 3.3.18 v B 3.2.11 Kt lun • Nghiên cứu cách có hệ thống kết liên quan đến bất biến delta, làm tài liệu tham khảo có ích cho nhà nghiên cứu lĩnh vực Đặc biệt luận văn có nghiên cứu cụ thể ứng dụng lược đồ Newton để tính số delta, mối liên hệ bất biến delta chuỗi f biến đổi Newton • Trả lời phần câu hỏi mở liên quan đến công thức Milnor Cụ thể đưa công thức Milnor trường hợp trường có đặc số khơng âm (có kèm theo vài điều kiện) chưa tổng quát hữu dụng với điều kiện khơng q mạnh • Nêu chứng minh cỏch tng quỏt cụng thc Plăucker 54 Ti liu tham khảo [1] A Campillo, Algebroid curves in positive characteristic, Lecture Notes in Mathematics, vol 813, Springer, Berlin, 1980, v+168 pages [2] Boubakri, Y.; Greuel, G.-M and Markwig, T., Invariants of hypersurface singularities in positive characteristic, Rev Math Complut, no 1, 61-85, 25(2012) [3] Evelia Rosa García Barroso · Arkadiusz Płoski, An approach to plane algebroid branches, Universidad Complutense de Madrid, 2014 [4] Evelia R Garcıa Barroso and Arkadiusz Ploski, On the Milnor formula in arbitrary characteristic,(December 18, 2018) [5] G.-M Greuel • C Lossen • E.Shustin, Introduction to Singularities and Deformations, 2007 [6] Hideyuki Matsumura,Commutative Algebra, Mathematics lecture note series,1980 [7] NGUYEN Hong Duc, Classification of singularities in positive charactristic,PhD Thesis, TU Kaiserslausen, Germany, 2013 [8] NGUYEN Hong Duc , annales del’ institut fourier, 2016 [9] R J Walker, Algebraic curves, Dover Publications, Inc., New York, 1962, x+201 pages 55 56 [10] Ngô Việt Trung, Nhập Môn Đại Số Giao Hốn Hình Học Đại Số (NXB Khoa Học Tự Nhiên 2012), 187 Trang [11] Nguyễn Chánh Tú, Lý thuyết mở rộng trường Galois, Khoa Toán, Đại Học Huế , 2006 Bình Định, ngày tháng 08 năm 2022 Người hướng dẫn khoa học Học viên thực TS Nguyễn Hồng Đức Bùi Nhi Phòng đào tạo sau đại học Chủ tịch hội đồng bảo vệ ... gọi kì dị đường cong phẳng Tiếp theo định nghĩa kết liên quan đến số bất biến kì dị đường cong phẳng Từ chuỗi f mà ta xét xem kì dị đường cong phẳng 8 1.2 Một số bất biến kì dị đường cong phẳng. .. 1.2 Một số bất biến kì dị đường cong phẳng 1.3 Bất biến delta kì dị đường cong phẳng 12 Công thức Milnor 20 2.1 Phép biến đổi chặt ... thuyết kì dị Lí thuyết biến dạng Hơn bất biến cịn có mối liên hệ mật thiết với bất biến khác kì dị đường cong phẳng, điều cho ta định hướng nghiên cứu cách tính tốn số delta thơng qua bất biến