CÁC ĐIỀU KIỆN HữU HẠN TRÊN VÀNH

ĐẠIHOCĐÀNȀNG TRƯÍNGĐẠIHOCSƯPHẠM TRƯƠNGCƠNGQUỲNH GIÁOT R Ì N H CÁCĐIEUKI›NHữ UHẠNTRÊNVÀNH ĐÀNȀNG-NĂM2021 PGS.TS.TRƯƠNGCƠNGQUỲNH GIÁOT R Ì N H CÁCĐIEUKI›NHữ UHẠNTRÊNVÀNH (Tàili»udànhchohocviênNgànhTốn) ĐÀNȀNG-NĂM2021 Mnclnc LÍINĨIĐAU vii DANHMỤCCÁCKÝHI›U DANHMỤCCÁCTHUŠTNGữ Chương1 Iđêannguy ênt o 1.1 Iđêannguyênto 1.1.1 Định nghĩa m®t so tínhchat 1.1.2 Iđêannguyêntocựctieu 1.2 Iđêannảanguyêntovàtínhlũylinh .10 1.2.1 Địnhnghĩavàcáctínhchat .10 1.2.2 Cănnguyênto 14 1.3 Linhhóatảvàiđêannguyêntoliênket 16 1.3.1 Linhhóatả .16 1.3.2 Môđuntrungthành 17 1.3.3 Iđêannguyêntoliênket .19 1.4 CănJacobson,vànhnguyênthủyvànảanguyênthủy 20 1.4.1 Vànhnguyênthủy 20 1.4.2 CănJacobson 22 1.4.3 Vànhnảanguyênthủy .25 BàitªpChương1 .26 Chương2 Môđunnfiađơn, Art in vàNơte 28 2.1 Môđunvàvànhnảađơn .28 2.1.1 Môđunnảađơn 28 2.1.2 Vànhnảađơn,ĐịnhlýWedderburn-Artin 30 2.2 MôđunNơte .31 2.2.1 Địnhnghĩavàm®tsotínhchat 31 2.2.2 Môđunhǎuhạnsinh 33 2.2.3 ĐịnhlýcơsởcủaHilbert 35 2.2.4 M®tsolớpvànhNơte 36 2.3 MôđunArtin 39 2.3.1 Địnhnghĩa,m®tsotínhchat .39 2.3.2 Môđunhǎuhạnđoisinh 40 iv 2.4 Bài 2.3.3 ĐịnhlýHopkins-Levitzki Đ®dàicủamơđun 2.4.1 Định lý Jordan-Holder 2.4.2 Mơđuncódãyhợpthành tªpChương2 41 44 44 45 47 Chương3 Baon ë i x 49 3.1 Mơđunn®ixạvàmởr®ngcotyeu .49 3.1.1 Mơđunn®ixạ 49 3.1.2 Mởr®ngcotyeu 53 3.1.3 Baon®ixạ 55 3.2 Mơđuncóhạnghǎuhạn .66 3.2.1 Địnhnghĩavàtínhchat 66 3.2.2 Đieuki»ncóhạnghǎuhạn 68 3.3 Chieuđeu(chieuGoldie)củamôđun .69 3.3.1 Địnhnghĩavàtínhchat 69 3.3.2 Đieuki»ntươngđươngcủamơđuncóchieuđeu 70 3.3.3 Tőngtrựctiepcủamơđunn®ixạ 71 3.4 Nguyêntotri»t 74 3.4.1 Địnhnghĩa 74 3.4.2 M®tsotínhchatkhác 75 BàitªpChương3 .76 Chương4 Vànhnfiađơncủacácvànhthương 79 4.1 Địnhnghĩavànhcácthương 79 4.1.1 TêpOre,mụunX-xoanvmụunX-khụngxoan .79 4.1.2 Vnhcỏcthngcamđtvnh 84 4.1.3 Xâydựngvànhcácthương 89 4.2 ĐịnhlýGoldie 90 4.2.1 Vànhcácthươngcőđien-Thátựtrongvành 90 4.2.2 MienOre 90 4.2.3 VànhGoldie 92 4.2.4 Thátựtrongvànhnảađơn-ĐịnhlýGoldie 96 Bài tªpChương4 99 Chương5 Môđunt rênvàn h Goldie nfi an guy ênt o 101 5.1 Phantảchínhquitrongvànhthương 101 5.1.1 Địnhnghĩavàm®tsotínhchat 101 5.1.2 Iđêannguntocựctieuvàcácphantảchínhqui 103 5.2 Mơđunn®ixạkhơngxoan .105 5.2.1 MôđunxoanvàmôđunkhôngxoantrênvànhGoldie nảanguyênto 105 5.2.2 Mơđunn®ixạvàmơđunchiađượcchínhqui 106 5.2.3 Mơđunn®ixạkhơngxoantrênvànhGoldienảangun iv 5.3 Bài to MôđunđeukhôngxoantrênvànhGoldienguyênto 5.3.1 Môđunđeu không xoan 5.3.2 MơđunkhơngxoantrênvànhGoldiengunto tªpChương5 107 109 109 111 112 Chương6 Baov àp hủ to ng quátcủa m ôđ un 114 6.1 Baotőngquátcủamôđun 114 6.1.1 Cáckháini»mvàtínhchat 114 6.1.2 Baon®ixạtinh .120 6.2 Phủtőngquátcủamôđun 126 6.2.1 Địnhnghĩavàtínhchat 126 6.2.2 Moiliênh»giǎaphủxạảnhvàphủtőngquát 131 6.2.3 Phủphȁngvàphủkhôngxoan 133 6.3 Tínhbatbiencủacácmơđun 139 6.3.1 Mơđun X -batbienđȁngcau 139 6.3.2 Môđunbatbienđȁngcau 143 6.4 Baobatbienđȁngcauvàvànha-hypercyclic .150 6.4.1 Baobatbienđȁngcaucủamôđun 150 6.4.2 Cácvànha-hypercyclic 154 BàitªpChương6 .157 Chỉmnc 160 iv LÍINĨIĐAU Ngàynay,ngànhđạisonóiriêngvàngànhtốnhocnóichungđãvàđangpháttrienmạnh mě.M®tsoketquả nghiên cáucủa m®t sotác giả đónggópchonhǎnglĩnhvựcnghiêncáutốnhocvàm®tsongànhkhoahockhác Hi»nnaym®tsongànhtốnđàotạosauđạihoccủacáctrườngđạihocđãvàđan ggiảngdạyhocphanvànhvớiđieuki»nhǎuhạn.Hocphannàygiúpchocáchoc viêncóm®tcáchnhìntőngqtvecácphancơbảncủalýthuyetcácvànhcőđienvàđ°ct rưngcủam®tsolớpvànhliênquan.Nhammụcđíchđechocáchocviêncácngàn htốncủaKhoaTốn,TrườngĐạihocSưphạm,ĐạihocĐàNȁngcóm®ttàili»u thamkhảotronglĩnhvựcnày,chúngtơiđãcogangtìmhieucáctàili»uđeđưaragiáotr ìnhnày.Đehieuvànghiêncáugiáotrìnhnàyđịihỏihocviênphảinamvǎng cáccautrúcđạisocơbảnnhư:nhóm,vành,trường,khơnggianvectơ,lýthuyetmơ đun, lýthuyetvành N®i dung giáo trình gom chương nham giới thi»u kien thác cơbảnnhatcủalýthuyetvànhcőđienvàm®tsolớpvànhlienquan.Cuoimoiphantrìnhbày chương chúng tơi đưa bàitªpmục đích giúp hocviênthựchànhcáckháini»mđãhoc Trong Chương 1, giới thi»u khái ni»m sở ve iđêan nguyênto Trong chương này, nêu khái ni»m iđêan nguyên to, iđêannguyên to cực tieu, iđêan nảa nguyên to linh hóa tả Cuoi chươngnày,chúngtơitrìnhbàykháini»mcănJacobsonvàvànhngunthủyvànảangu nthủy.Cáckháini»mcơbảnnàysěđượcsảdụngnghiêncáuchocácchươngsau N®i dung Chương trình bày ve m®t khái ni»m quan trong lý thuyetvành mơđun mơđun nảa đơn, Artin Nơte Trong chương này, chúngtơi nêu trình bày khái ni»m và mơđun nảa đơn, sau trình bày ĐịnhlýWedderburnArtin.Cácphancịnlạichúngtơitrìnhbàym®tsotínhchatliênquancủaĐịnhlýHilbertvàĐịnhlý Hopkins-LevitzkichocácvànhArtinvà Nơte Các kien thác chương có the làm nen tảng đe nghiên cáucáctínhchatsâuhơnchocácchươngsau Chương Chúng tơi trình bày khái ni»m bao n®i xạ m®t mơđun.Kháini»mnàykhơngnhǎngđóngvaitrịquantrongtronglýthuye tvànhvà mơđun mà có nhieu dụng lĩnh vực đại so ket hợp Trongchươngnày,chúngtơitrìnhbàycáckháini»mcơbản,m®tsotínhchatcủa vii baon®ixạ,mơđuncóhạnghǎuhạnvàchieuGoldiecủamơđun Chương 4, chúng tơi trình bày khái ni»m vành thương vành nảađơn.Mụcđíchcủachươngnàynêulênsựtontạicủavànhthươngtrongm®tsođieuki» n.Cụthe,trongchươngnày,chúngtơitrìnhbàycáckháini»mvàket liên quanđen kháini»m vành thương, vành thương cő đien vànhGoldie Cuoi chương, chúng tơi trình bày khái ni»m thá tự trongvànhnảađơnvàĐịnhlýGoldie Chương Chúng trình bày lớp mơđun vành Goldie nảa ngunto Trong chương này, chúng tơi trình bày khái ni»m phan tả quitrongvànhthương,lớpmơđunn®ixạvàđeukhơngxoan Chương 6, chúng tơi trình bày nghiên cáu bao phủ tőng quát cácmôđun Mục đích chương nêu lên ton bao phủ tőng quátcủac c m ô đ u n Đ o n g t h i p d ụ n g c c k i e n t h c n y c h ú n g t ô i n g h i ê n c u tínhb a t b i e n c ủ a c c m ô đ u n L p m ô đ u n b a t b i e n n y l t r n g h ợ p t ő n g quátc ủ a l p m ô đ u n t ự a n ® i x C ụ t h e , t r o n g c h n g n y , c h ú n g t ô i t r ì n h bày khái ni»m ket liên quan đen bao phủ tőng quát Tiep theo,chúngt ô i n g h i ê n c u t í n h b a t b i e n c ủ a c c m ô đ u n C u o i c ù n g c ủ a c h n g nàyc h ú n g t ô i n g h i ê n c u b a o b at b i e n đ ȁ n g c a u v c c v n h a hypercyclic ehonthnhgiỏotrỡnhnytỏcgiónhêncnhngligúpýcahđiong ỏnh giỏ giỏo trình đong nghi»p Khoa TốnTrườngĐạihocSưphạm,ĐạihocĐàNȁng.Quađóm®tsothieusótcũngnhưm®tso loi kịp thời sảa chǎa Tuy nhiên, giáo trình khơng tránh khỏinhǎng thieu sót biên soạn, mong đ®c giả thơng cảm cho chúngtơinhǎnggópýcanthiet TÁCGIẢ DANHMỤCCÁCKÝHI›U KÝHI› U NGHĨACỦAKÝHI›U 1A N Z Q R Mn(R) XạđongnhatcủavªtA Tªphợpcácsotựnhiên Vànhcácsongun Trườngcácsohǎut Trườngcácsothực Vànhcácmatrªnvngcapnlayh»sotrênvànhRJ(R) CănJacobsoncủavànhR √ I CăncủaiđêanIcủavànhRPr(R) Căn ngun to vànhRSoc(RR) ĐephảicủavànhR N≤ M NlàmôđunconcủaM eM N≤ NlàmôđunconcotyeucủaM NM Nl mơđunconđoicotyeucủaM annR(X) LinhhóatảcủaXtrongR annM(P) LinhhóatảcủaiđêanPt r o n g RmơđunphảiME(M) Baon®ixạcủaM Mod-R PhạmtrùcácR-mơđunphải Im(f) Ker(f) Q Ảnhcủaxạf Hạtnhâncủaxạf Tíchtrựctiepcủahovªt{Ai}i∈I IAi ⊕IAi Tőngtrựctiepcủahovªt{Ai}i∈I I M TíchtrựctiepcủacácI-bảnsaocủaMM(I) TőngtrựctiepcủacácIbảnsaocủaMf:ABX fđitàvªtAđenvªtB → −1 f Xạngượccủaxạf Hom(M,N) NhómcácđongcautàMđenNEnd(M)Vành tự đong cau củaMCard(A) LựclượngtªphợpA