146 đề hsg toán 7 huyện hoài nhơn 2015 2016

UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn TỐN Bài (4 điểm) a) So sánh hai số :    39    91 n2 n1 b) Chứng minh : Số A 11  12 chia hết cho 133, với n   Bài (4 điểm) a) Tìm tất cặp số  x; y  thỏa mãn  x  y   2012  x 2013 0 b) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng:     n aaa Bài (4 điểm) Ba lớp trường K có tất 147 học sinh Nếu đưa số học sinh 1 số học sinh lớp A2 số học sinh lớp A3 thi học sinh lớp giỏi cấp huyện số học sinh cịn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K A1 ,    Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có A 3B 6C a) Tính số đo góc ABC b) Kẻ AD  BC  D  BC  Chứng minh : AD  BD  CD Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M , tia đối tia CA lấy điểm N cho AM  AN 2 AB a) Chứng minh rằng: BM CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN  c) Đường trung trực MN tia phân giác BAC cắt K Chứng minh KC  AC ĐÁP ÁN Bài a) Ta có:   5 39 13  539   53   12513 ;   2 91 13  291     12813 39 13 13 13 13 Ta thấy : 125  128   125   128         b) Ta có: 91 n A 11n2  122 n1 112.11n  12. 122  121.11n  12.144 n  133  12  11n  12.144n 133.11n  12.11n  12.144n 133.11n  12. 144 n  11n  Ta thấy : 133.11n 133  144 n  11n   144  11 133  12  144 n  11n  133 133.11n  12. 144n  11n  Do suy chia hết cho 133 n2 n 1 Vậy: số A 11  12 chia hết cho 133, với n   Bài a) Ta có 2012 số tự nhiên chẵn   x  y   Và x  0  x  Do đó, từ  x  y  7 2012 2013 2012 0 0  x 2013 0 suy ra:  x  y   2012 0 & x  2 x  y  0  x 3      x  0  y 13 b) Ta có:     n  n  n  1 aaa a.111 a.3.37 Do đó, từ     n aaa  n  n  1 2.3.37 a  n  n  1 chia hết cho số nguyên tố 37  n n  chia hết cho 37 (1) n  n  1 aaa 999  n  n  1 1998  n  45 Mặt khác: (2) 2013 0 Từ (1) (2)  n 37 n  37 37.38 n 37  aaa  703(ktm) Với 36.37 n  37  aaa  666(tm) Với Vậy n 36 a 6 Bài Goi tổng số học sinh A1 ,7 A2 ,7 A3 a, b, c  a, b, c   * 1 a  a b  b c  c(*) Theo ta có: a  b  c 147  2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c         18 16 15 18 16 15 Từ (*) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a b c 147     3  a 54, b 48, c 45 18 16 15 18  16  15 49 Vậy tổng số học sinh A1 ,7 A2 ,7 A3 54;48;45 Bài A B D C       A 3B  6C   A  B C  A  B  C 180 200 6  1 a) Từ  400 , C  200  A 1200 , B    Vậy A 120 , B 40 , C 20 b) Trong ACD có: ADC 900 , C  200  A 700  A 500 0 2   Xét ABD có B 40  C 20  AB  AC  AB  AC  * Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vng ADB, ADC có: 2 AB  AD  BD AC  AD  CD 2 2 2 Do đó, từ (*)  AD  BD  AD  CD  BD  CD  BD  CD Từ (1) (2)  AD  BD  CD Bài A M B I C E K N a) Theo giả thiết, ta có: 2AB  AB  AB  AB  AM  BM AM  AN  AM  AC  CN , ABC cân A  AB  AC Do đó, từ AM  AN 2 AB  BM CN b) Qua M kẻ ME / / AC  E  BC  ABC cân A  BME cân M  EM BM CN (2)  MEI NCI ( g.c.g )  IM IN Vậy BC qua trung điểm MN c) K thuộc đường trung trực MN  KM KN (1)   ABK ACK (c.g c )  KB KC (2); ABK  ACK (*) Kết chứng minh câu a: BM CN (3)   Từ  1 ,   ,    BMK CNK (c  c  c )  ABK  NCK (**) 1800    ACK NCK  900  KC  AN Từ (*) (**)