TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC : 2015-2016 Mơn thi: Tốn x, y , z Câu Tìm số biết: a) ( x − 1) = −8 − x = 5x − b) d )12 x = 15 y = 20 z c) x − x = x + y + z = 48 Câu 22011 31 a) Tìm số dư chia cho a, b a + b + 2007 b) Với số nguyên dương cho chia hết cho a +a+b Chứng minh rằng: chia hết cho x, y x + y = 74 c) Tìm số nguyên thỏa mãn Câu a) Cho tỉ lệ thức a b = b c a2 + b2 a = b2 + c c Chứng minh ta có tỉ lệ thức 2008, b) Trên bảng có ghi số tự nhiên từ đến người ta làm sau: lấy hai số thay vào hiệu chúng, làm đến cịn số bảng dừng lại Hỏi làm để bảng cịn lại số khơng ? Giải thích ? ABC AH Câu Cho tam giác có ba góc nhọn, đường cao Vẽ phía ngồi tam ABC ACF A ABE E F giác tam giác vuông cân Từ kẻ đường vng FN EK HA góc với đường thẳng EK = FN a) Chứng minh rằng: HA I EF b) Gọi giao điểm với đường thẳng Tìm điều kiện tam giác ABC EF = AI để Câu a + b + c + d = S Gọi tổng a, b, c, d S giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ bốn số Hỏi đạt giá trị lớn · ABC BAC = 600 b) Cho tam giác nhọn có Chứng minh 2 BC = AB + AC − AB AC a) Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện ĐÁP ÁN Câu a) ( x − 1) = −8 ⇒ x − = −2 ⇔ x = −1 − x = 5x − x≥ b) Điều kiện 9 − x = x − 12 x = 12 x =1 ⇒ ⇒ ⇔ (tm) 9 − x = − x x = x = c) x − x = 0.DK : x ≥ ⇒ x ( x = x −3 =0⇒ (tm) x = ) x y z x y z x + y + z 48 = = ⇒ = = = = =4 5 12 12 ⇒ x = 20; y = 16; z = 12 d )12 x = 15 y = 20 z ⇒ Câu 25 = 32 ≡ 1( mod 31) ⇒ ( 25 ) a) Ta có: ⇒ 22011 ≡ ( mod31) 402 ≡ 1( mod 31) 22011 31 Vậy số dư chia cho 4a ≡ 1( mod 3) ⇒ 4a + ≡ ( mod 3) a b) Vì nguyên dương nên ta có 4a + ≡ ( mod ) ⇒ 4a + 2M Mà 4a + a + b = 4a + + a + + b + 2007 − 2010M Khi ta có a, b a + b + 2007 Vậy với số nguyên dương cho chia hết cho a +a +b chia hết cho 74 x + y = 74 ⇒ x ≤ 74 ⇒ x ≤ ⇒ x ∈ { 0;1;4;9} x c) Từ mà nguyên x = ⇒ y = 10(ktm) x + = 75 − x − y M 5⇒ 2 x = ⇒ y = 2 Mặt khác ta có ⇒ ( x, y ) = { ( 3,2 ) ; ( 3, −2 ) ; ( −3;2 ) , ( −3, −2 ) } Câu a) Ta có: a a b a a b a b2 a + b2 = ⇒ = ÷ = ÷ = = = c b c c c c b c b + c2 a b = b c a + b2 a = b2 + c2 c Vậy có tỉ lệ thức ta có tỉ lệ thức S b) Gọi tổng tất số ghi bảng 2008.2009 S = + + + + 2008 = = 1004.2009 Ta có số chẵn Khi lấy ( a + b ) − ( a − b ) = 2b a, b S hai số thay vào hiệu hai số tổng bớt số chẵn Nên tổng phải số chẵn Vậy bảng khơng thể cịn lại số Câu a) Chứng minh ∆KAF = ∆HBA(ch − gn) ⇒ EK = AH ∆NFI = ∆HCA(ch − gn) ⇒ FN = AH Chứng minh EK = FN Suy ∆KEI = ∆NFI (c.g c ) ⇒ EI = FI = EF b) Chứng minh EF · · AI = ( gt ) ⇒ AI = EI = FI ⇒ IEA = IAE · · IAF = IFA Mà · · ⇒ EAF = 900 ⇒ BAC = 900 Vậy EF = AI tam giác ABC vuông A Câu a≥b≥c≥d ≥0 a) Giả sử S = a −b + b−c + c−d + a −c + a −d + b−d Ta có: ⇒ S = a −b+b−c +c −d + a −c + a −d +b−d ⇒ S = 3a + b − ( c + 3d ) Mà c + 3d ≥ ⇒ S ≤ 3a + b a + b + c + d =1⇒ a ≤1 Mặt khác S = 3a + b = 2a + a + b ≤ 2.1 + = Suy c + 3d = a = a + b + c + d = ⇔ b = c = d = a = Dấu xảy a , b, c , d S Vậy lớn bốn số có số cịn số b) Kẻ BH ⊥ AC AB · BAC = 600 ⇒ ·ABH = 300 ⇒ AH = Vì Áp dụng định lý Pytago ta có: 2 AB = AH + BH BC = BH + HC (1) ⇒ BC = AB − AH + AC − 2.AC.AH + AH ⇒ BC = AB + AC − AH AC Từ (1) ( ) ⇒ dfcm (2) ... 20 07 − 2010M Khi ta có a, b a + b + 20 07 Vậy với số nguyên dương cho chia hết cho a +a +b chia hết cho 74 x + y = 74 ⇒ x ≤ 74 ⇒ x ≤ ⇒ x ∈ { 0;1;4;9} x c) Từ mà nguyên x = ⇒ y = 10(ktm) x + = 75