091 đề hsg toán 7 trường nguyễn trãi 2018 2019

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học 2018-2019 Câu (5 điểm) 1) Cho c ab Chứng minh rằng: a2  c2 a a) 2  b c b b2  a b  a b) 2  a c a 213 , 70 2) Ba phân số có tổng tử chúng tỉ lệ với 3;4;5 , mẫu chúng tỉ lệ với 5;1;2 Tìm ba phân số Câu (6 điểm) 17 16 15 14 Cho đa thức: f  x  x  2000 x  2000 x  2000 x   2000 x  Tính giá trị đa thức x 1999 Chứng minh m n số tự nhiên số: A  5m  n  1  3m  n   số chẵn Câu (2 điểm) 7x  Tìm số tự nhiên x đê phân số x  có giá trị lớn Câu (7 điểm)  Cho tam giác ABC cân A, B 50 Gọi K điểm tam giác cho   KBC 100 , KCB 300 a) Chứng minh BA BK  b) Tính số đo BAK  Cho xAy 60 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) KMC tam giác c) Cho BK 2cm Tính cạnh AKM ĐÁP ÁN Câu 1 a) Từ c ab a c a c a  c a  ab a  a  b  a     2    c b c b c  b ab  b b  a  b  b a2  c2 a b2  c2 b    2 2 c  b b a  c a b) Theo câu a ta có: b2  c2 b b2  c2 b b2  a b  a   2      2  a2  c2 a a c a a c a 213 70 Gọi phân số phải tìm : a, b, c , ta có: 12 15 a : b : c  : : 6 : 40 : 25  a  ; b  ; c  35 14 Và Câu f  x  x17  1999 x16  x16  1995 x15  x15  1999 x14  x14   1999 x  x  a b c  f  1999  199917  199917  199916  199916  199915  199915   19992  1999  1999  1998 Ta xét hiệu  5m  n  1   3m  n    2m  2n  Với m, n   2m  2n  số lẻ Do hai số 5m  n  3m  n  phải có số chẵn Suy tích chúng số chẵn Vậy A số chẵn Câu x   x    x  3  A     x   x  3  x  3 2  x  3 Đặt B  x  3 Đặt A lớn B lớn …… GTLN A 6  x 2 Câu A I K B C a) Vẽ tia phân giác ABK cắt CK I , ta có: IBC cân nên IB IC  CIA  1200   BIA CIA(c.c.c)  BIA ,  BIA  BIK ( gcg )  BA BK  b) Từ phần a ta tính BAK 70 2) x z B K A y M H     CAB  ACB MAC  ABC a) cân B BK đường cao nên BK đường trung tuyến  K trung điểm AC b) ABH BAK (cạnh huyền –góc nhọn)  BH  AK mà 1 AK  AC  BH  AC 2 BH  CM Ta có: (tính chất đoạn chắn) mà CK BH  AC  CM CK  MKC tam giác cân (1) 0    (2) Mặt khác: MCB 90 ACB 30  MCK 60 Từ (1) (2)  MKC tam giác  c) Vì ABK vng K mà KAB 30  AB 2 BK 2.2 4cm 2 Vì ABK vng K nên theo Pytago ta có: AK  AB  BK  16   12 KC  AC  KC  AC  12 Mà KC  AC  KC  AK  12 Mà Theo phần b) AB BC 4; AH BK 2; HM BC ( HBCM hình chữ nhật)  AM  AH  HM 6