Bài tập giải tích (giáo trình toán tập 1) phần 1

PHAM NGỌC THAO BÀI (II (Chủ biên) TAP (Giáo trình Tốn , nhóm ngành I ) TẬP MỘT ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HN TRUNG TAM THONG TIN - THU VIEN 510/32 V-G0 lots NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHAM NGOC THAO (Chủ biên) LÊ MẬU HẢI - NGUYỄN VĂN KHUÊ NGUYÊN ĐÌNH SANG - BUI DAC TAC BÀI TẬP BIẢI TÍPH (Nhom ngành |) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUOC GIA HÀ NỘI - 1998 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình tập chúng tơi soạn thảo tương ứng với c¿ phần lý thuyết giáo trình giải tích “Tốn Đại cương“ dùng cÈ nhóm ngành I Đại học Quốc gia Hà Nội Nó giáo trình chủ yếu c sinh viên luyện tập sau học lý thuyết phần I tập củ “Tốn Đại cương” giải tích Trong gồm loại tập sau: ' thuyết giới hạn, Tôpô hàm liên tục R", phép tính vi phâ R" ứng dụng, tích phân lớp, tích phân suy rộng tích phâ phụ thuộc tham số tích phân suy rộng phụ thuộc tham số, chu: số, dãy chuỗi hàm; tích phân bội, tích phân đường mặt Trong chương, sau phần tóm tắt vấn đề lý thuyết, thức dùng có liên quan đến ¿hương đó, chúng tơi cho tậ chương đó, nghĩa tập mà sinh viền cần làm c nắm kiến thức kỹ Ngay chúng t xếp tập theo loại: rèn luyện kỹ áp dụng thud túy cơng thức kỹ tính tốn, rèn luyện tư suy luận v khả sáng tạo, tập mang tính chất lý thuyết, b: tập nâng cao Một phần không nhỏ tập chương nha: bổ sung mở rộng kiến thức cho sinh viên điều kiện thời gian hạ hẹp mà việc dạy lý thuyết chưa thực Một số tập kỲ đánh dấu (*) dành cho sinh viên giỏi có ý m tìm hiểu sâu thêm kiến thức nâng cao trình độ Phần hướng dẫn trả lời cho tập lài tiết đành công sức thoả đáng Các tập dễ cho dap si số tập khó giải tỉ mỉ Mặc dù hạn hẹp th: gian trước nhu cầu cập nhật sinh viên nên khơng tránh kh: thiếu sót q trình biên soạn Chúng tơi mong nhận đưc ý kiến đóng góp đồng nghiệp độc giả để hồn thiệ giáo trình lần tái sau Nhân bày tỏ cảm ơn thành viên tron hội đồng thẩm định, đặc biệt GS TS Nguyễn Văn Mậu PG Nguyễn Thủy Thanh Phạm Chí Vĩnh đóng góp nhiều ý kiến ch hồn thiện thảo Hà nội ngày 18 tháng năm 1998 Các tác giả Chương I GIÓI HẠN A GIỚI §1 Day 1.1 Dinh Cho day a) chặn Nếu bi chan, day HẠN DÃY don diệu dãy nghia {an}: có số Ø cho ø„œ với moi n thi {an} gọi bị gọi b) chặn Nếu số œ c) Day {@n} vừa bị thể thấy cho | chặn trên, vừa bị chặn bị chặn Có M > 1.2 Day Day {@n} don gọi dãy 0 a gọi tồn chung , a, Jz„ nụ | đơn điệu + Bi dãyiy giới dãy dãy ý Oy (ea|=[m} Chú gọi nạ< a ¡fngsỞng > đn¿¡ > ) hạn tăng ngặt dãy con hạn dãy {an} Ja,| n dáấy Các giới só tự nhiên {@n} thi viết n,>k k véi tính chất a = lima, néu {@n}: giới số hạn tự nhiên mạ(£) (phụ viết n>e thuộc vào £) vdi moi cho V n> No ja, -alae gọi Day có giới hạn gọi dãy hội tụ, dãy dãy 2.2 giới phân Các kỳ tính hạn 2) dãy hạn với dãy có giới hạn chất 1) Giới Mọi không cho dãy hội tụ dãy hội tụ hội tụ có 3) Nếu lima„=a lim|øa| = |a| n>« 4) §3 Mọi dãy sử Khi chặn tỷ hữu toán tụ hội dãy limb, = n>œ n>» lim(„.b„) =ø.b n>» Néu 4.1 Day 6#0-thi Day {an} Ve>0,3 14, ~My] tu bị lim(a,+b,)=a+6 §4 Day n»œ b) 4.2 tụ lima, =a, a) c) hội phép Các Giả n>»» a a lim—=— moo b Các nguyên lý tính đầy Điều kiện dủ để dãy hội tụ co goi số ban (Day la day tự nhiên co R Cauchy) ban (hay no(€)(phu day thuộc Cauchy) néu vào €), Wa 19,V m2 No: SE Nguyén th} ly Cauchy hội tụ dãy 4.3 Nguyên lý Bolzano Từ vô hạn dãy {sa} - Weiestrass bị chặn rút dãy hội 4.4 Diều Néu kiện V đủ để n EN:6, hội ny, với n>ny va cd Vn2na thi anọạ: trên, n < Ø thÌ có ngun aœ > a,< có hạn hay cho ng V n>ng EN : đ, > À cho —M riêng giới Tima, M noe Vnem €N limsup giới a, {an } hạn C {an} lima, k> = @ thi ký tem) gọi giới hạn n>œ Giới hạn riêng nhỏ {an} gọi giới hạn ký hiéu lima, n>» NHC Chú Để hay liminf a, n>» sở l ý limø, < lma, n>e n»» la] có giới hạn ( hay hội tụ) cần lima, = Tima, n» đủ là: no § Số e sấy hạn dãy {(2 ti Giới gọi - số e viết: : c=tm (I2) BÀI Áp dụng a) lim _ 3+ lộn) (-3)"XIỂN Ae minh =1" „„=Í dãy sau: , 2n nwt) minh: 32> +1 b)x, = c) chứng —-—=0, n>e Chứng a) nt+1 neo lim nghĩa Int+2 7’ b) lim c) định TẬP Xn = ar vô cing bé tte la lim|x,|=0 n>»e Chứng minh a) %,=(-1)% dãy sau: , b) x22", c) x,= loglogn vô d) Chứng chặn 10 minh không lớn (n>1) tức , lim|x,| n>» dãy zạ=nCC phải vô lớn =+o n , n= (1,2 ) n >+o khong bi Chứng minh đẳng thức sau: n a) lim; =0(a>0), noo nk b) lim —=0(ø>1), mo © lim Ÿm =1, n>œ d) —œ : =0 lim nooo 70! Gia sử tương ứng { a} va Hãy {an} hai dãy chứng tuỳ ý tiến +©œ minh: 1 lim (1 + =)" = lim(1+—-)**=e- pow’ Pn cas’ Sn Hãy chứng tỏ dãy đơn 1 2° ne 8) Xa=l*#-s+*.tev; b) ape Hãy lta t chứng tỏ vr điệu sau có giới hạn hữu hạn: dãy sau có giới han +o: a) x, =1+—+ 4— , v2 : b) x, = logy oP logs tue Ap đơn điệu Vn dung khảo tiêu chuẩn sát hội tồn tụ n+l log—— giới hạn dãy hữu hạn dãy sau: 11 Hãy chứng f(x) a lim" Xt với minh: =m x b Chứng số T minh f liên tục > ta : 0, có (b,+œ), với b>a lim ((x+7) - f(x)) = Tm_ 206 Cho f: (0,+œ)—> gian vectơ hữu giới hạn a 207 E Giả f minh V hạn chiều x tiến tới ánh F Chứng E h = Giả không sử sup(f,g) 208 xạ điểm khả vi ||ƒfœ) | hàm w(x) = b f, gian kha g y: |x | vi, E a khả — a xạ gy: V => R cho minh khả Chứng minh +o thi f(x) cing tién ánh g(x)= a hàm sử V lân cận > E R với f(x) + tdi a không f(a) vi a cho f’(x) gian = có vectơ Chứng f'(a) = U C khả vi bdi kha vi tai hàm kha vi vectơ không : khong hai E diém Tìm điểm (x?+y*)* x? + +? #0 O tập mở U E, hàm vi Cho : + = fey) xz2+y=0 a Chứng minh f €C® (R”4o)) b Chứng minh f liên tục (0,0) không (0,0) 209 Giả sử U tập mở không gian R”" f: U > vi f°:U ánh —E,F) £>03h>0 74 F xạ liên cho khả tục với điểm U Chứng a € minh U ||x—a|| _ tai ï (4,3,4), 81 pháp tung y? yV (1-2, bọ 230 x” + có Nl IS oN II _ sau + (x 233 Tim hình - a)? bao + họ y* = đường = : p + yoke + oy, (k 234 độ tam la tham sé, Tìm hình bao giác 235 Tìm trục đối có diện hình xứng p tích bao số) họ đường khơng đổi trục thẳng elip có diện toạ độ tao với tích khơng trục toạ § đổi S, có § Dinh nghia Ta noi rang có lân cận Cho V f dat a Cuc dai (cuc tiểu) nghĩa Định (a) Dạng ® cho Định lý Định ® tiểu) va địa cho fla)) (cuc ® f: U > phương R a € L : ti€u) gọi x € < V > 0) cực R với phuong gọi € E,h h < 0) với h € phương ® : E => R gọi đổi (h) k€ E R hàm f£ đại Giá U => địa sử phương f U + R a khả hàm khả phương dương âm (khơng E dấu ® (kỳ < vi a f'{a) không cho su định z (h) >0 xác R (® gọi thuc trị địa > ® dia chung : Ð (h) = có đạt vi cấp U : Nếu f đạt cực tiểu (Œ) Nếu f đạt cực đại U ly (a) Nếu (Œb) Nếu mo : E Nếu cực lý Dinh = phương (a) thực tập U) dai phương > cuc (® tồn tiểu > (h) Dạng E € Œ phương tồn (e) a (h) Dạng dương) (cực (f(x) địa tồn ® (b) (V phu :J fix) < f(a) (fix) > fla)) véi x © V \ {a} rang cực địa B đại fla) noi € a < ta h C cực thi (âm) trị U f dat f(x) Nếu Cực f la) f”*a) Gia = su địa địa f: U phương phương => Khi đó: xác định dương xác định R a a hàm f đạt f”(a) f”{a) khả vi cực tiểu đại địa > < cấp địa phương a f ”'(a) âm f đạt cực phương thực a 85 Định vi cực U, a Nếu đại lý Giả a € U qua x = địa b Nếu tiểu địa sử phương qua x I Giả hàm khả vi cấp tập = f` thực mở R + sang - f hàm khả đổi dấu từ a f có a f đổi thực Hệ f la) a, = phương U dấu từ - sang R tập + a f có cực sử U C tai a € U mở va f’(a) a Nếu f”(a) > a f có cực b f”(a) < = R Khi f U > R : tiểu địa phương thực đại địa phương thực Nếu a f có cực Hệ Giả sử U tập mở Rˆ £ U —> R hàm khả Ký hiệu vi cấp a _ A A Nếu A (iii) Néu € U _ vf f’(a) B= vay (a) f đạt cực = C= — ao a , : (i) Nếu ( a of (a) , ax? = va A = AC - BY Khi >0, A >0 0, A > < A xo vi va: a tại a a 237 fix) > Giả k sử > phương 0, hàm k trình f(x) liên hàng f(x) = tục số Chứng có œ 0, với f(a) x >a < nghiệm (a a —fa), § > k 238 Chttng a minh: e& > 1+ x x # 0, xả cx 239 đến - @ Chting cấp n minh >W 240 Chứng 241 Xét số x < rang (x) x < sin x = x, doi dương, ø liên minh ràng cực tri tai f(x) = x gx) = có cực trị kha x < vdi tục vi lién tuc 0,1, ,.n-1) x ham x < f(x) = x, x = va x < > xo a (x-x,)"p p(x,) véi # : khixz0 0, khix = Jun = (x) x, thi p(x)>W(x) hàm | x không = W $ | > va (k > = x (x) x Chứng tiểu y - r cực Khj néu I có x = Wa) mỉnh nguyên 242 sin p(x) p(x) n < x = ham khixz0 khix=0 87 243 Cho f hàm fa) = = Chứng minh rang: a Nếu n chan su tai tai a b a Con Nếu 244 néu n a b lần a €(œ,Ø)C = ft) f%a)