lí thuyết xắc suất thống kê

lí thuyết xắc suất thống kê giáo trình,lí thuyết xắc suất thống kê giáo trìnhlí thuyết xắc suất thống kê giáo trìnhlí thuyết xắc suất thống kê giáo trìnhlí thuyết xắc suất thống kê giáo trìnhlí thuyết xắc suất thống kê giáo trình

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG Giáo trình LÝ THUYẾT XÁC SUÂT THỐNG KÊ (Dành cho sinh viên hệ đại học chuyên ngành Điện tử-Viễn thông-Công nghệ thông tin) Biên soạn: PGS.TS Lê Bá Long Hà Nội, 2008 Lời nói đầu LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết xác suất thống kê phận toán học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Ta hiểu tượng ngẫu nhiên tượng khơng thể nói trước xảy hay không xảy thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên phép thử nhau, ta rút kết luận khoa học tượng Lý thuyết xác suất sở để nghiên cứu Thống kê – môn học nghiên cứu phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút kết luận định cần thiết Ngày nay, với hỗ trợ tích cực máy tính điện tử cơng nghệ thơng tin, lý thuyết xác suất thống kê ngày ứng dụng rộng rãi hiệu lĩnh vực khoa học tự nhiên xã hội Chính lý thuyết xác suất thống kê giảng dạy cho hầu hết nhóm ngành đại học Giáo trình biên soạn cho hệ đại học chuyên ngành Điện tử-Viễn thông Công nghệ thông tin theo đề cương chi tiết chương trình qui định Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thơng Nội dung sách bám sát giáo trình trường đại học khối kỹ thuật theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giả Chính thế, giáo trình dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên trường, ngành đại học cao đẳng khối kỹ thuật Giáo trình gồm chương tương ứng với đơn vị học trình (60 tiết): Chương I: Các khái niệm xác suất Chương II: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên đặc trưng chúng Chương IV: Luật số lớn định lý giới hạn Chương V:.Thống kê toán học Chương VI: Quá trình ngẫu nhiên chuỗi Markov Điều kiện tiên môn học hai môn tốn cao cấp đại số giải tích chương trình tốn đại cương Tuy nhiên hạn chế thời gian chương trình tốn dành cho ngành kỹ thuật, nhiều kết định lý phát biểu minh họa khơng có điều kiện để chứng minh chi tiết Giáo trình trình bày theo cách thích hợp người tự học Trước nghiên cứu nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu chương để thấy mục đích ý nghĩa, yêu cầu chương Trong chương, nội dung, người đọc tự đọc hiểu cặn kẽ thông qua cách diễn đạt dẫn rõ ràng Đặc biệt bạn đọc nên ý đến nhận xét, bình luận để hiểu sâu mở rộng tổng quát kết hướng ứng dụng vào thực tế Hầu hết toán xây dựng theo lược đồ: đặt tốn, Lời nói đầu chứng minh tồn lời giải lý thuyết cuối nêu thuật toán giải toán Các ví dụ để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý thuật tốn, giúp người đọc dễ dàng tiếp thu học Sau chương có phần tóm tắt nội dung cuối câu hỏi luyện tập Có khoảng từ 20 đến 30 tập cho chương, tương ứng với -5 câu hỏi cho tiết lý thuyết Hệ thống câu hỏi bao trùm tồn nội dung vừa học Có câu kiểm tra trực tiếp kiến thức vừa học có câu địi hỏi học viên phải vận dụng cách tổng hợp sáng tạo kiến thức để giải Vì việc giải tập giúp học viên nắm lý thuyết kiểm tra mức độ tiếp thu lý thuyết Giáo trình viết theo đề cương chi tiết môn học Học Viện ban hành Các kiến thức trang bị tương đối đầy đủ, có hệ thống Tuy nhiên, người học khơng có điều kiện đọc kỹ tồn giáo trình nội dung có đánh dấu (*) coi phần tham khảo thêm (chẳng hạn: chương 3, mục 3.5 hàm biến ngẫu nhiên, mục 3.7 phân bố có điều kiện kỳ vọng có điều kiện, chương luật số lớn định lý giới hạn trung tâm, mục 6.3 chương …) Tuy tác giả cố gắng, song thời gian bị hạn hẹp với yêu cầu cấp bách Học viện, thiếu sót cịn tồn giáo trình điều khó tránh khỏi Tác giả mong đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp, học viên xa gần xin cám ơn điều Cuối chúng tơi bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thơng bạn bè đồng nghiệp khuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tập tài liệu Lê Bá Long Khoa Học Viện CNBCVT Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT GIỚI THIỆU Các tượng tự nhiên hay xã hội xảy cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) tất định (biết trước kết xảy ra) Chẳng hạn ta biết chắn lơng quạ có mầu đen, vật thả từ cao chắn rơi xuống đất Đó tượng diễn có tính quy luật, tất định Trái lại tung đồng xu ta mặt sấp hay mặt ngửa xuất Ta khơng thể biết có gọi đến tổng đài, có khách hàng đến điểm phục vụ khoảng thời gian Ta khơng thể xác định trước số chứng khoán thị trường chứng khốn… Đó tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hoàn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận có tính quy luật tượng Lý thuyết xác suất nghiên cứu qui luật tượng ngẫu nhiên Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính phương pháp lý thuyết xác suất ứng dụng rộng rãi việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế-xã hội Chương trình bày cách có hệ thống khái niệm kết lý thuyết xác suất: - Các khái niệm phép thử, biến cố - Quan hệ biến cố - Các định nghĩa xác suất: định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo thống kê - Các tính chất xác suất: công thức cộng công thức nhân xác suất, xác suất biến cố đối - Xác suất có điều kiện, cơng thức nhân trường hợp khơng độc lập Công thức xác suất đầy đủ định lý Bayes - Dãy phép thử Bernoulli xác suất nhị thức Khi nắm vững kiến thức đại số tập hợp hợp, giao tập hợp, tập con, phần bù tập … học viên dễ dàng việc tiếp thu, biểu diễn mô tả biến cố Để tính xác suất biến cố theo phương pháp cổ điển địi hỏi phải tính số trường hợp thuận lợi biến cố số trường hợp Vì học viên cần nắm vững phương pháp đếm - giải tích tổ hợp (đã học lớp 12 chương toán đại số A2) Tuy nhiên để thuận lợi cho người học nhắc lại kết mục Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Một khó khăn tốn xác suất xác định biến cố sử dụng cơng thức thích hợp Bằng cách tham khảo ví dụ giải nhiều tập rèn luyện tốt kỹ NỘI DUNG 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử (Experiment) Trong thực tế ta thường gặp nhiều thí nghiệm, quan sát mà kết khơng thể dự báo trước Ta gọi chúng phép thử ngẫu nhiên Với phép thử gieo xúc xắc, kết xảy ta liệt kê biểu diễn tất kết phép thử xuất mặt có số nốt 1, 2,3, 4,5, Ta xem kết biến cố sơ cấp Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian mẫu, ký hiệu Ω Vậy Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Phép thử ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ C Ví dụ 1.1: ƒ Phép thử tung đồng xu có khơng gian mẫu Ω = {S, N } ƒ Phép thử tung đồng thời đồng xu có khơng gian mẫu Ω = {( S , S ), ( S , N ), ( N , S ), ( N , N )} Chú ý chất biến cố sơ cấp khơng có vai trị đặc biệt lý thuyết xác suất Chẳng hạn mã hóa kết xem không gian mẫu phép thử tung đồng xu Ω = {0, 1}, biến cố sơ cấp mặt sấp xuất để mặt ngửa xuất 1.1.2 Biến cố (Event) Với phép thử C ta thường xét biến cố (còn gọi kiện) mà việc xảy hay khơng xảy hồn tồn xác định kết C Mỗi kết ω kết C ω C gọi kết thuận lợi cho biến cố A A xảy Ví dụ 1.2: Nếu gọi A biến cố số nốt xuất chẵn phép thử tung xúc xắc ví dụ 1.1 A có kết thuận lợi 2, 4, Tung hai đồng xu, biến cố xuất mặt sấp mặt ngửa (xin âm dương) có kết thuận lợi ( S , N ) ; ( N , S ) Như biến cố A đồng với tập không gian mẫu Ω bao gồm kết thuận lợi A Mỗi biến cố xảy phép thử thực hiện, nghĩa gắn với không gian mẫu Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Có hai biến cố đặc biệt sau: • Biến cố chắn biến cố ln xảy thực phép thử, biến cố trùng với khơng gian mẫu Ω • Biến cố biến cố định không xảy thực phép thử Biến cố ký hiệu φ Tung xúc xắc, biến cố xuất mặt có số nốt nhỏ biến chắn, biến cố xuất mặt có nốt biến cố khơng thể 1.1.3 Quan hệ biến cố Trong lý thuyết xác suất người ta xét quan hệ sau cho biến cố a Quan hệ kéo theo Biến cố A kéo theo biến cố B , ký hiệu A ⊂ B , A xảy B xảy b Quan hệ biến cố đối Biến cố đối A biến cố ký hiệu A xác định sau: A xảy A khơng xảy Ví dụ 1.3: Bắn phát đạn vào bia Gọi A biến cố “Bắn trúng bia” Biến cố đối A A “Bắn trượt bia” c Tổng hai biến cố Tổng hai biến cố A, B biến cố ký hiệu A ∪ B Biến cố A ∪ B xảy có A B xảy Tổng dãy biến cố {A1 , A2 , , An } biến cố n ∪ Ai Biến cố xảy i =1 có biến cố Ai xảy Ví dụ 1.4: Một mạng điện gồm hai bóng đèn mắc nối tiếp Gọi A1 biến cố “Bóng đèn thứ bị cháy”, A2 biến cố “Bóng đèn thứ hai bị cháy” Gọi A biến cố “Mạng điện” Ta thấy mạng bị điện hai bóng bị cháy Vậy A = A1 ∪ A2 d Tích hai biến cố Tích hai biến cố A, B biến cố ký hiệu AB Biến cố AB xảy hai biến cố A , B xảy Tích dãy biến cố {A1 , A2 , , An } biến cố tất biến cố Ai xảy n ∏ Ai Biến cố xảy i =1 Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Ví dụ 1.5: Một mạng điện gồm hai bóng đèn mắc song song Gọi A1 biến cố “Bóng đèn thứ bị cháy”, A2 biến cố “Bóng đèn thứ hai bị cháy” Gọi A biến cố “Mạng điện” Ta thấy mạng bị điện hai bóng bị cháy Vậy A = A1 A2 e Biến cố xung khắc Hai biến số A, B gọi xung khắc biến cố tích AB biến cố Nghĩa hai biến cố khơng thể đồng thời xảy Ví dụ 1.6: Một bình có loại cầu: cầu mầu trắng, mầu đỏ mầu xanh Lấy ngẫu nhiên cầu từ bình Gọi At , Ađ , Ax biến cố cầu rút cầu trắng, đỏ, xanh Các biến cố xung khắc đôi một, cầu có mầu Chú ý biến cố với phép tốn tổng, tích lấy biến cố đối tạo thành đại số Boole phép tốn định nghĩa có tính chất phép tốn hợp, giao, lấy phần bù tập không gian mẫu f Hệ đầy đủ biến cố Dãy biến cố A1 , A2 , , An gọi hệ đầy đủ biến cố nếu: i Xung khắc đôi một, nghĩa Ai Aj = φ với i ≠ j = 1, , n , n ii Tổng chúng biến cố chắc, nghĩa ∪ Ai = Ω i =1 { } Đặc biệt với biến cố A , hệ A, A hệ đầy đủ Ví dụ 1.7 : Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Giả sử sản phẩm nhà máy ba phân xưởng sản xuất Chọn ngẫu nhiên sản phẩm, gọi A1 , A2 , A3 biến cố sản phẩm chọn phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba sản xuất Khi hệ ba biến cố A1 , A2 , A3 hệ đầy đủ g Tính độc lập biến cố Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố Tổng quát biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập việc xảy hay khơng xảy nhóm k biến cố, ≤ k ≤ n , không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay khơng xảy biến cố cịn lại Định lý 1.2: Nếu A, B độc lập cặp biến cố: A, B ; A, B ; A, B độc lập Ví dụ 1.8: Ba xạ thủ A, B, C người bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi A, B, C biến cố A, B, C bắn trúng mục tiêu a Hãy mô tả biến cố: ABC , A B C , A ∪ B ∪ C b Biểu diễn biến cố sau theo A, B, C : Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng - D : Có xạ thủ bắn trúng - E : Có nhiều xạ thủ bắn trúng - F : Chỉ có xạ thủ C bắn trúng - G : Chỉ có xạ thủ bắn trúng c Các biến cố A, B, C có xung khắc, có độc lập khơng ? Giải: a ABC : bắn trúng A B C : bắn trượt A ∪ B ∪ C : có người bắn trúng b D = AB ∪ BC ∪ CA Có nhiều xạ thủ bắn trúng có nghĩa có hai xạ thủ bắn trượt, E = AB ∪ BC ∪C A F = ABC G = ABC ∪ ABC ∪ ABC c Ba biến cố A, B, C độc lập biến cố bắn trúng mục tiêu xạ thủ độc lập Ba biến cố A, B, C không xung khắc bắn trúng mục tiêu 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT VÀ CÁC TÍNH CHẤT Việc biến cố ngẫu nhiên xảy hay không kết phép thử điều biết đoán trước Tuy nhiên cách khác ta định lượng khả xuất biến cố, xác suất xuất biến cố Xác suất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Dựa vào chất phép thử (đồng khả năng) ta suy luận khả xuất biến cố, với cách tiếp cận ta có định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển Khi thực nhiều lần lặp lại độc lập phép thử ta tính tần suất xuất biến cố Tần suất thể khả xuất biến cố, với cách tiếp cận ta có định nghĩa xác suất theo thống kê 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử phép thử C thoả mãn hai điều kiện sau: (i) Không gian mẫu có số hữu hạn phần tử (ii) Các kết xảy đồng khả Khi ta định nghĩa xác suất biến cố A P ( A) = sè tr−êng hỵp thn lỵi đèi víi A sè tr−êng hỵp cã thĨ (1.1) Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Nếu xem biến cố A tập không gian mẫu Ω P( A) = A sè phÇn tư cđa A = sè phÇn tư cđa Ω Ω (1.1)’ Ví dụ 1.9: Biến cố A xuất mặt chẵn phép thử gieo xúc xắc ví dụ 1.1 có 3 trường hợp thuận lợi ( A = ) trường hợp ( Ω = ) Vậy P ( A) = = Để tính xác suất cổ điển ta sử dụng phương pháp đếm giải tích tổ hợp 1.2.2 Các qui tắc đếm a Qui tắc cộng Nếu có m1 cách chọn loại đối tượng x1 , m cách chọn loại đối tượng x2 , , mn cách chọn loại đối tượng xn Các cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn x j i ≠ j có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng cho b Qui tắc nhân Giả sử công việc H gồm nhiều công đoạn liên tiếp H1 , H , , H k cơng đoạn H i có ni cách thực có tất n1 × n2 × × nk cách thực cơng việc H c Hốn vị Mỗi phép đổi chỗ n phần tử gọi phép hoán vị n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính được: Có n ! hốn vị n phần tử d Chỉnh hợp Chọn k phần tử khơng hồn lại tập n phần tử ta chỉnh hợp chập k n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank = n! = n ⋅ (n − 1) ⋅⋅⋅ (n − k ) (n − k )! (1.2) e Tổ hợp Một tổ hợp chập k n phần tử tập k phần tử tập n phần tử Cũng xem tổ hợp chập k n phần tử cách chọn đồng thời k phần tử tập n phần tử Hai chỉnh hợp chập k n phần tử khác nếu: ƒ có phần tử chỉnh hợp khơng có chỉnh hợp ƒ phần tử thứ tự khác Chương 2: Biến ngẫu nhiên đặc trưng chúng Do với tổ hợp chập k n phần tử có k! chỉnh hợp tương ứng Mặt khác hai chỉnh hợp khác ứng với hai tổ hợp khác khác Vậy số tổ hợp chập k n phần tử Ak n! C nk = n = k! k!(n − k )! (1.3) Ví dụ 1.10: Tung xúc xắc hai lần Tìm xác suất để có lần nốt Giải: Số trường hợp 36 Gọi A biến cố “ lần tung xúc xắc có lần mặt 6” Nếu lần thứ mặt lần thứ hai mặt từ đến 5, nghĩa có trường hợp Tương tự có trường hợp xuất mặt lần tung thứ hai Áp 10 dụng quy tắc cộng ta suy xác suất để có lần mặt tung xúc xắc lần 36 Ví dụ 1.11: Một người gọi điện thoại quên hai số cuối số điện thoại nhớ chúng khác Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên lần số cần gọi Giải: Gọi A biến cố “quay ngẫu nhiên lần số cần gọi” Số trường hợp số cặp hai chữ số khác từ 10 chữ số từ đến Nó số chỉnh hợp 10 chập Vậy số trường hợp A10 = 10 ⋅ = 90 Số trường hợp thuận lợi A Do P ( A) = 90 Ví dụ 1.12: Cho từ mã bit tạo từ chuỗi bit bit đồng khả Hãy tìm xác suất từ có chứa k bit 1, với k = , , Giải: Số trường hợp Ω = Đặt Ak biến cố " từ mã có chứa k bit 1" Có thể xem từ mã có chứa k bit tổ hợp chập k phần tử, số trường hợp thuận 6! lợi Ak số tổ hợp chập k Do Ak = C 6k = k!(6 − k )! Vậy xác suất biến cố tương ứng P( Ak ) = 6! k!(6 − k )!2 , k = , , Ví dụ 1.13: Một cơng ty cần tuyển nhân viên Có người nộp đơn có nữ nam Giả sử khả trúng tuyển người Tính xác suất biến cố: a Hai người trúng tuyển nam b Hai người trúng tuyển nữ c Có 1nữ trúng tuyển Giải: Số trường hợp Ω = C62 = 15 a Chỉ có trường hợp nam trúng tuyển xác suất tương ứng P = / 15 10 Hướng dẫn tập P{X = 1} = / 15, P{Y = 1} = / 15 P{X = Y = 1} = 3.16 Bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên Z Z P 0,12 0,43 0,03 0,35 0,07 EX = 1,7 ; EY = 1,7 ; EZ = 2,89 3.17 Bảng phân bố xác suất đồng thời X Y Y 0,04 0,12 0,16 0,06 0,02 0,03 0,09 0,12 0,045 0,015 0,02 0,06 0,08 0,03 0,01 0,01 0,03 0,04 0,015 0,005 X P{X > Y } = 0,19 3.18 X , Y không độc lập P{X = 1} = 0,5, P{Y = 1} = 0,45 P{X = Y = 1} = 0,15 ≠ 0,5 ⋅ 0,45 P{X = 1Y = 2} = / 11 3.19 X 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 Y P{X = 1} = 0,5, P{Y = 1} = 0,45 P{X = Y = 1} = 0,15 ≠ 0,5 ⋅ 0,45 3.20 23 27 0,357 0,643 Y X = 26 P X Y = 27 P 26 30 41 50 0,1268 0,4225 0,1549 0,2958 155 Hướng dẫn tập 3.21 E[Y X = 1] = EX = 2,93 ; EY = 4,5 ; DX = 4,83 ; DY = 2,25 a α = 15 ; EX = −0, ; EY = 3.22 b cov ( X , Y ) = ⇒ ρ ( X , Y ) = c X , Y khơng độc lập P { X = 1} = , P {Y = 1} = P { X = 1, Y = 1} = 15 15 3.23 a) k = ; b) c) ⎧3 ⎧⎪ 3x nÕu < x < ⎪ (1 − y ) nÕu < y < f X ( x) = ⎨ ; f Y ( y) = ⎨ ⎪⎩ ngợc lại ngợc lại 1⎫ 1⎫ ⎧ ⎧ ⎧ X Y không độc lập P ⎨ X < , Y > ⎬ = P ⎨ X < ⎬ ≠ , P ⎨ Y > ⎬ ≠ 2⎭ 2⎭ 2⎭ ⎩ ⎩ ⎩ 3.24 Áp dụng công thức (3.14) ta f ( x, y ) = ∂ F ⎪⎧ e − x − y =⎨ ∂x∂y ⎪⎩ nÕu x > 0, y > 0; ngợc lại p dng cụng thc (3.53) ta ⎧⎪ e − x f ( x y) = ⎨ ⎪⎩ 3.25 a) C = π2 nÕu x > 0, nÕu x ≤ ; ⎞⎛ 1⎞ ⎛1 b) F ( x, y ) = ⎜ arctg x + ⎟⎜ arctg y + ⎟ ; ⎠⎝ π 2⎠ ⎝π c) F X ( x) = lim F ( x, y ) = y →∞ 1 1 arctg x + ; FY ( y ) = lim F ( x, y ) = arctg y + ; π π x →∞ Vì F ( x, y ) = F X ( x) FY ( y ) nên ta kết luận X Y độc lập { } { } d) P < X < , < Y < = P < X < P{ < Y < 1} = ⎧ ln x ⎪ 3.26 Hàm mật độ X f X ( x) = ⎨ x ⎪ ⎩ nÕu x ≥ 1, nÕu x < 156 1 ⋅ = 12 48 Hướng dẫn tập ⎧ ⎪ ⎪ 2y Hàm mật độ Y f Y ( y ) = ⎨ ⎪ ⎪⎩ nÕu ≤ y < ∞, nÕu ≤ y ≤ Từ hàm mật độ có điều kiện Y với điều kiện X = x ( x > 1) f ( y x) = f ( x, y ) 1 = ≤ y≤x; f X ( x) y ln x x Hàm mật độ có điều kiện X với điều kiện Y = y ( y > 0) ⎧ ⎪ f ( x, y ) ⎪ f ( x y) = =⎨ fY ( y) ⎪ ⎪⎩ nÕu ≤ y ≤ 1, x ≥ y x2 y y nÕu y ≥ 1, y ≤ x x2 3.27 E (2 X − 3Y ) = 2E( X ) − 3E(Y ) = 10 ; D(2 X − 3Y ) = 4D( X ) + 9D(Y ) − 12 D( X )D(Y ) ρ X ,Y = 57,6 ĐÁP ÁN CHƯƠNG IV 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Đúng Đúng Sai Sai Đúng Đúng Đúng Đúng 4.9 Gọi X số máy hỏng ca X có phân bố nhị thức EX = 0,5 , DX = Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép ta có P{ X − 0,05 < 2} ≥ − 0,475 2 = 0,88 ; P{ X − 0,05 ≥ 2} ≤ 0,475 22 = 0,12 12 4.10 Đặt S = ∑ X n ; ES = 12 ⋅ 16 = 192 , DS = 12 Theo bất đẳng thức Trêbưsép n =1 P{S − 192 ≤ ε} ≥ − 4.11 Đặt S = DS ε2 10000 ∑ X n ; ES = , ≥ 0,99 Chọn a = 157,36 ; b = 226,64 DS = n =1 P{S ≥ 500} ≤ DS 500 = 10000 Theo bất đẳng thức Trêbưsép 12 300 157 Hướng dẫn tập 4.12 Ta biết S biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức tham số p = DS = n ES = 6 5n Theo bất đẳng thức Trêbưsép 36 { } P S − ES < n ≥ − DS 31 n ⎧n ⎫ 31 = 1− = ⇔ P⎨ − n < S < + n ⎬ ≥ n 36 36 ⎩6 ⎭ 36 12 ⎧⎪ 12 ⎫⎪ 4.13 Đặt S = ∑ X n Ta cần tìm M nhỏ để P ⎨∑ X n ≤ M ⎬ ≥ 0,99 ⎪⎩n=1 ⎪⎭ n =1 Ta có ES = 192 , DS = 12 Theo bất đẳng thức Trêbưsép P{S − 192 ≤ ε} ≥ − DS ε2 ≥ 0,99 ⇒ ε = 34,64 Vậy M = 192+34,64 = 226,64 4.14 Thỏa mãn luật số lớn Trêbưsép 4.15 Thỏa mãn luật số lớn Trêbưsép 4.16 Thỏa mãn luật số lớn Trêbưsép 4.17 Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép tính xác suất P ≥ 0,9131 4.18 Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép cần kiểm tra 23.750 chi tiết 4.19 Gọi X số sản phẩm hỏng Ta có X ~ B (250 ; 0,02) X có xấp xỉ phân bố Poisson với λ = 250 ⋅ 0,02 = Từ tra bảng ta được: a) P{X = 2} = 0,0842 ; b) P{X ≤ 2} = 0,1247 4.20 Giả sử X số người chọn ăn đợt Khi 1000 − X số người chọn ăn đợt Gọi k số chỗ ngồi nhà ăn Ta phải chọn k nhỏ để P{X < k , 1000 − X < k } ≥ 0,99 ⇔ P{1000 − k < X < k } ≥ 0,99 Ta xem X có phân bố chuẩn với µ = 500 , σ = 250 Vậy ta phải có ⎛ k − 500 ⎞ ⎛ 500 − k ⎞ ⎛ k − 500 ⎞ ⎛ k − 500 ⎞ ⎟⎟ − Φ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ 0,99 ⇔ 2Φ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ 1,99 ⇔ Φ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ Φ(2,58) Φ⎜⎜ ⎝ 250 ⎠ ⎝ 250 ⎠ ⎝ 250 ⎠ ⎝ 250 ⎠ Từ k ≥ 500 + 2,58 250 = 540,49 Vậy k = 541 4.21 a) Gọi X số người trúng tuyển Ta có X ~ B (350 ; 0,9) X có phân bố xấp xỉ chuẩn ⎛ ⎞ với µ = 292,5 , σ = 5,4 Vậy P{X ≤ 300} ≈ Φ⎜ ⎟ = Φ(1,48) = 0,9306 ⎝ 5,4 ⎠ b) Giả sử n số người gọi Phân bố X xấp xỉ phân bố chuẩn với µ = 0,9n , σ = 0,3 n Vậy 158 Hướng dẫn tập ⎛ 300 − 0,9n ⎞ ⎟ ≥ 0,99 = Φ (2,33) ⇔ 300 − 0,9n ≥ (0,3)(2,33) n P{X ≤ 300} ≈ Φ⎜⎜ ⎟ n , ⎝ ⎠ Giải bất phương trình ta n ≤ 319,99 Vậy n = 319 ĐÁP ÁN CHƯƠNG V 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 Đúng Sai Đúng Đúng Đúng Sai Sai Đúng Đúng Sai 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Sai Sai 5.19 Mẫu ngẫu nhiên có kích thước 10: W = ( X , X , , X 10 ) ⎧⎪ 10 ⎧⎪ 10 ⎫⎪ 1⎫ ⎫⎪ ⎧ P ⎨ X = ⎬ = P ⎨ ∑ X i = ⎬ = P ⎨∑ X i = 5⎬ Vì X có phân bố nhị thức nên 2⎭ ⎪⎭ ⎪⎩10 i =1 ⎪⎩ i =1 ⎪⎭ ⎩ ⎧⎪ 10 ⎪⎫ 5 P ⎨∑ X i = 5⎬ = P10 (5) = C10 (0,5) ⋅ (0,5)10−5 = C10 (0,5)10 ⎪⎩ i =1 ⎪⎭ 5.20 X có phân bố chuẩn N (µ; σ ) nên X có phân bố chuẩn N (µ; { } { { } σ2 ) Vậy n ⎛ε n ⎞ ⎛−ε n ⎞ ⎛ε n ⎞ ⎟ − Φ⎜ ⎟ = 2Φ⎜ ⎟ P X − µ < ε = P µ − ε < X < µ + ε = Φ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ σ ⎟ Do ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝ ⎠ } ⎛ 0,2 100 ⎞ ⎟ = 2Φ (2) = 0,9545 P X − 20 < 0,2 = 2Φ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5.21 Bảng phân bố tần số X Tần số 2 X Tần suất 1/5 2/5 1/5 1/5 Bảng phân bố tần suất Hàm phân bố thực nghiệm 159 Hướng dẫn tập x ≤1 ⎧0 ⎪1 / < x ≤ ⎪⎪ F10 ( x) = ⎨3 / < x ≤ ⎪4 / < x ≤ ⎪ ⎪⎩1 x>4 5.22 f = x = 6,8 ; s = 1,15 , s = 1,072 ⎧nf = 1082 > 10 1082 ; Điều kiện ⎨ 2000 ⎩n(1 − f ) = 918 > 10 f (1 − f ) f − uβ n = 1082 918 ×1082 − 2,33 = 0,515 2000 2000 Vậy tối thiểu có 51,5% số phiếu bầu cho ứng cử viên A 5.23 x = ∑ xi = 34,15 = 0,976 n 35 2⎤ ⎡ ( 34,15)2 ⎤⎥ = 0, 01687 ⎢ ⎡ ( ∑ xi ) ⎥ ⎢ 33,8943 s = x − = − ∑i ⎥ 34 ⎢ 35 ⎥ n −1 ⎢ n ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇒ s = 0,1299; uβ 5.24 Tần suất mẫu f = s 0,1299 = 1,96 × = 0, 043 Khoảng tin cậy 95%: n 35 53 , điều kiện 400 [0,933 ; 1, 019] ⎧ nf = 53 > 10 ⎨ ⎩ n(1 − f ) = 347 > 10 Gọi p xác suất bắt cá có đánh dấu, khoảng tin cậy 95% p : f (1 − f ) uβ n = 1,96 53 × 347 = 0, 0332 400 400 Khoảng ước lượng [ 0, 0993 ; 0,1657 ] Mặt khác p = 2000 , N số cá hồ N Vậy 0, 0993 < 2000 2000 2000 2,086} ∑ riui = 0, ; ∑ riui = 0, 42 ⇒ 0, + 99, 25 = 99,319 ; 29 s = 25 × ⎡ 0, 42 ⎤ − 0, 42 ⎢ ⎥ = 0,37 ⇒ s = 0, 608 28 ⎢⎣ 29 ⎥⎦ (100 − 99,319) 29 = 6,032 ∈ Wα 0,608 Vậy bác bỏ H chấp nhận H1 , nghĩa sản phẩm bị đóng thiếu 5.28 Gọi µ thời gian trung bình hồn thành sản phẩm Ta kiểm định giả thiết H : µ = 14 ; đối thiết Tiêu chuẩn kiểm định T = x − 15 Đặt ui = i ⇒ x = 15 ; ⇒ s2 = × ( X − 14 ) S n H1 : µ ≠ 14 ; Miền bác bỏ Wα = {T > 1,96} ∑ riui = ; ∑ riui = 300 ⎡ ⎤ = 4,819 ⇒ s = 2,195 300 − ⎢ 249 ⎣ 300 ⎥⎦ 161 Hướng dẫn tập ⇒ Tqs = (115 − 14) 300 = 7,89 ∈ Wα 2,195 Vậy bác bỏ H chấp nhận H1 , nghĩa cần thay đổi định mức 5.29 Gọi µ mức hao phí xăng trung bình ơtơ chạy từ A đến B Ta kiểm định giả thiết H : µ = 50 ; đối thiết H1 : µ < 50 Tiêu chuẩn kiểm định T = Theo mẫu ta có x = s2 = ( 50 − X ) n S ; Miền bác bỏ Wα = {T > 2,052} 1387,5 = 49,5536; 28 ⎛ 1387,52 ⎞ 8,1696 6876375 − = 0,3026 ⇒ s = 0,55 ⎜ ⎟= 27 ⎜⎝ 28 ⎟⎠ 27 Tqs = (50 − 49,53) 30 = 4,2948 ∈ Wα 0,55 Vậy bác bỏ H chấp nhận H1 , nghĩa mức hao phí xăng có giảm xuống 5.30 Gọi µ số hố đơn trung bình hệ thống máy tính xử lý Ta kiểm định giả thiết H : µ = 1300 ; H1 : µ > 1300 đối thiết Tiêu chuẩn kiểm định T = Từ mẫu cụ thể ta có T = ( X − 1300 ) S (1378 − 1300 ) 215 n ; Miền bác bỏ Wα = {T > 1,96} 40 = 2, 294 > 1,96 Vậy bác bỏ H chấp nhận H1 , nghĩa hệ thống máy tính xử lý tốt ĐÁP ÁN CHƯƠNG VI 6.7 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Sai Sai Đúng Đúng Đúng Sai P { X = 0, X1 = 2, X = 1} = P { X = 0} P { X1 = X = 0} P { X = X = 0, X = 2} 162 Hướng dẫn tập = P { X = 0} P { X1 = X = 0} P { X = X1 = 2} = 0,3 ⋅ 0, ⋅ 0,8 = 0,168 ⎡0, 47 0,13 0, 40 ⎤ 6.8 a) P = ⎢ 0, 42 0,14 0, 44 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0, 26 0,17 0,57 ⎥⎦ b) P { X = X = 0} = P { X = X = 0} = 0,13 ; P{X = X = 0} = P{X = 1, X = X = 0} + P{X = 1, X = X = 0} + P{X = 1, X = X = 0} = P{X = X = 0}P{X = X = 0, X = 0} + P{X = X = 0}P{X = X = 0, X = 1}+ P{X = X = 0}P{X = X = 0, X = 2} = P{X = X = 0}P{X = X = 0} + P{X = X = 0}P{X = X = 1} + P{X = X = 0}P{X = X = 2} = 0,47 ⋅ 0,2 + 0,13 ⋅ 0,2 + 0,40 ⋅ 0,1 = 0,16 c) Phân bố dừng [x, y , z ] nghiệm hệ phương trình ⎧[x y z ]P = [x y z ] ⎨ ⎩ x, y , z ≥ ; x + y + z = Như x, y, z nghiệm khơng âm hệ phương trình ⎧− x + y + z = ⎪⎪ ⎨ 2x − y + z = ⎪ +y +z = ⎩⎪ x có nghiệm x = 50 21 68 , y= , z= 139 139 139 6.9 Đặt p0 = P { X = 0} a) P { X = 0, X = 0, X = 0} = P { X = 0} P { X = 0, X = X = 0} = P { X = 0} P { X = X = 0} P { X = X = 0, X = 0} = p0α ( ) b) P { X = 0, X1 = 0, X = 0} + P { X = 0, X1 = 1, X = 0} = p0 α + (1 − α ) c) P { X = X = 0} = 16(α − 1)5 + 40(α − 1) + 40(α − 1)3 + 20(α − 1)2 + 5(α − 1) + 6.10 Không gian trạng thái E = {−1, 0,1, 2,3} ⎧⎪ P {ξ = − j} nÕu i ≤ 0, Theo công thức (6.21) ta có pij = P { X (n + 1) = j X ( n) = i} = ⎨ ⎪⎩ P {ξ = i − j} nÕu < i ≤ 163 Hướng dẫn tập p −1, −1 = P{ X (n + 1) = −1 X (n) = −1 } = P (φ) = , p−1,0 = P { X (n + 1) = X (n) = −1} = P(ξ = 3) = P(φ) = , p−1,1 = P { X (n + 1) = X (n) = −1} = P (ξ = 2) = 0,3 , p−1,2 = P { X (n + 1) = X (n) = −1} = P(ξ = 1) = 0,3 , p−1,3 = P { X (n + 1) = X (n) = −1} = P(ξ = 0) = 0, , Ma trận xác suất chuyển: 0,3 0,3 0, ⎤ ⎡ ⎢ 0 0,3 0,3 0, ⎥⎥ ⎢ P = ⎢0,3 0,3 0, 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0,3 0,3 0, ⎥ ⎢⎣ 0 0,3 0,3 0, ⎥⎦ 6.12 Các trạng thái có chu kỳ Có lớp liên thông {0,1} , {2,3} , {4} 1/ 1/ 1/2 1/ 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 164 1/ PHỤ LỤC PHỤ LỤC I: GIÁ TRỊ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN BỐ CHUẨN TẮC ϕ( x) = 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0005 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2370 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 00080 0005 0004 0003 0002 2π − e 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2320 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 165 x2 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 000065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 PHỤ LỤC II: GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC t ∫e 2π −∞ Φ (t ) = − 2π x2 dx Φ (t ) t t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,5000 5398 5793 6179 6554 0,6915 7257 7580 7881 8159 0,8413 8643 8849 9032 9192 0,9332 9452 9554 9641 9712 0,9773 9821 9861 9893 9918 0,9938 9953 9965 9974 9981 5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7703 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 9131 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 5279 5675 6064 6443 6808 7156 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8132 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 Φ (t ) 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 166 PHỤ LỤC III: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ STUDENT α t α (n) Bậc tự α = 0,05 α = 0,025 α = 0,01 α = 0,005 α = 0,001 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 inf 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,796 1,703 1,701 1,699 1,645 12,706 4,303 3,128 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 1,960 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,606 2,583 2,567 2,552 2,539 2,58 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,326 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,576 318,309 22,327 10,215 7,173 5,893 5,208 4,705 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,090 167 PHỤ LỤC IV: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ KHI BÌNH PHƯƠNG χ2 α χ α2 (n) Bậc tự χ 02,995 χ 02,99 χ 02,97 χ 02,95 χ 02,05 χ 02,025 χ 02,01 χ 02,005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 5,001 5,142 5,697 6,265 6,844 7,343 8,034 8,543 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,930 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,982 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,388 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,625 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,524 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 30,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,993 48,278 49,588 50,892 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 28,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 46,645 50,993 52,336 53,672 168 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng, 1997 Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng NXB GD [2] Đặng Hùng Thắng, Bài tập xác suất, NXB Giáo dục – 1998 [3] Đặng Hùng Thắng, Thống kê ứng dụng, NXB Giáo dục,1999 [4] Nguyễn Cao Văn Trần Thái Ninh, Bài giảng xác suất thống kê toán, NXB Thống kê, Hà Nội 1999 [5] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh Nguyễn Thế Hệ, Bài tập lý thuyết xác suất thống kê toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 2002 [6] Nguyễn Phạm Anh Dũng, 1999 Các hàm xác suất ứng dụng viễn thông Trung Tâm Đào Tạo Bưu Chính Viễn Thơng [7] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên, 2000 Lý thuyết xác suất NXB GD [8] Nguyễn Duy Tiến (và tập thể), 2000 Các mơ hình xác suất ứng dụng, tập 1, 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Tống Đình Quỳ, Hướng dẫn giải tập xác suất thống kê, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2004 [10] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất Thống kê, lý thuyết thực hành tính tốn, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2004 [11] B.V Gnedenko, The theory of probability, Mir publishers, Moscow 1976 [12] D L (Paul) Minh, Applied Probability Models, Duxbury, Thomson Learning, 2001 [13] J L Doob, 1953 Stochastic Processes Willey and Sons, New York [14] S Karlin, 1966 A first Course in Stochastic Processes Academic Press, New York and London [15] M Loeve, 1977 Probability Theory, I, II 4th ed, Springer - Verlag, Berlin and New York 169