Chuyên đề 7 chia đa thức cho đa thức

Chuyên đề CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC A Kiến thức cần nhớ Chia đơn thức A cho đơn thức B Chia hệ số A cho hệ số B; Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B; Nhân kết với Chia đa thức cho đơn thức  A  B  : C A : C  B : C Chia đa thức A cho đa thức B Cho A B hai đa thức tùy ý biến ( B 0 ) tồn cặp đa thức Q R cho A B.Q  R , R 0 bậc R nhỏ bậc B Q gọi đa thức thương R gọi dư phép chia A cho B Nếu R 0 phép chia A cho B phép chia hết Định lý Bézout Bézout nhà tốn học Pháp Ơng sinh năm 1730, năm 1783 Bézout quan tâm đến việc giải hệ phương trình tuyến tính; nhằm mục đích ơng hệ thống hóa phép tính định thức Ông nghiên cứu phép khử, nghĩa tìm điều kiện hệ số hai đa thức để chúng có nghiệm chung Ơng cho xuất Giáo trình Tốn học tái nhiều lần Pháp nước ngồi Trong có định lý tiếng mang tên ông: Định lý Số dư phép chia đa thức f  x  cho  x  a  f  a  Hệ định lý Bézout Nếu a nghiệm đa thức f  x  f  x  chia hết cho  x  a  Người ta chứng minh rằng: Nếu đa thức f  x  nhận n số nguyên khác a1 ; a2 ; ; an làm nghiệm f  x  chia hết cho  x  a1   x  a2   x  an  Phương pháp nội suy Newton Newton nhà Toán học, Vật lý học người Anh Ông sinh năm 1642, năm 1727 Trong Tốn học ơng nhà sáng lập phát minh phép tính vi phân tích phân Ngồi ơng có nhiều cơng trình Toán học Song người đời sau nhắc đển Newton, thường ca ngợi nhũng phát minh ông vật lý học Sau phương pháp nội suy, phát tốn ơng: Để tìm đa thức P  x  bậc không n biết giá trị  n  1 điểm: C1 ;C2 ; ;C n 1 ta biểu diễn P  x  dạng: P  x  b0  b1  x  C1   b2  x  C1   x  C2    bn  x  C1   x  C2   x  C n  Bằng cách thay x giá trị C1 ;C2 ; ;C n 1 vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0 ; b1; ; bn Lược đồ Horner Horner nhà tốn học Anh Ơng sinh năm 1787, năm 1837 Ơng khơng có nhiều cơng trình tiếng phương pháp tính gần số phương trình lấy tên ơng đặt cho phương pháp Thực thuật toán người Trung Hoa biết đến từ trước, Horner phát minh cách độc lập Sau lược đồ Horner: n n a Để tìm thương dư phép chia f  x  a0 x  a1 x   an  x  a0 0  cho g  x  x   Ta lập bảng: f x  a0 a1 … ak … an b0 a0 b1 ab0  a1 … bk abk   ak … bn abn   an Với f  x   x    q  x   f  x  ; f  x  bn abn   an q  x  b0 x n   b1 x n   bn  x  bn B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép chia A : B trường hợp sau: a) A 12 x y ; b) A  B  x y 10 x y z ;  n n 2  n n c) A   x y  :  3x y    B  x yz  n  , n 2  Giải a) A : B 12 x y :   3x y   xy ;  10    x y z  :  x yz   30 x y z ; b) A : B     9  2  n n 2  n n c) A : B   x y  :  x y   x y   Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a) x8  x  1x  x  b) x  x  1x  x  Giải Tìm cách giải Khi chứng minh đa thức f  x  g  x  ta có thể: - Cách Phân tích đa thức f  x  thành nhân tử có chứa nhân tử g  x  - Cách Biến đổi đa thức f  x  thành tổng đa thức chia hết cho đa thức g  x  Trình bày lời giải a) Cách Ta có: x8  x   x8  x   x  x  x   x  x   x   x   x   x  x  1  x  x   x   x  x  1   x  1  x     x  x  1  x   x   x   x   x  x  1  x8  x  1x  x  Cách x8  x   x8  x  x  x  x  x   x  x  1  x  x  1   x  x  1  x  x3  1  x  1  x  x  1  x  x  1  x  x  1   x  x  1 x  x  5 3 2 b) x  x   x  x  x  x   x  x  x  1   x  1  x  x  1  x  x  1  x3  x  1  x  x  1 Ví dụ 3: Tìm số thực a, b, cho đa thức x  11x  2ax  5bx  chia hết cho đa thức x  x  (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 - 2013) Giải Tìm cách giải Khi tìm hệ số a, b cho đa thức f  x  chia hết cho đa thức g  x  , có hai hướng suy nghĩ: Đặt phép chia f  x  cho g  x  đến phần dư có bậc nhỏ bậc đa thức g  x  Để phép chia hết ta đồng phần dư với đa thức Còn đa thức g  x  phân tích thành nhân tử với nhân tử bậc nhất, ta viết f  x  thành tích nhân tử nhân với đa thức thương Rồi dùng đồng thức cho vế phải Trình bày lời giải Cách Thực phép chia ta được: x  11x  ax  5bx  x2  2x  x  x  12 x x  3x    a   x   2a  12  x  5bx  -3x3  6x2  9x   2a  x   5b   x 6   2a  x   12  4a  x   18  6a   5b  4a  3 x   12  6a  5b  4a  0 a 2  Để phép chia hết  12  6a 0 b 1 Cách Ta có: x  x   x  x    x  1   x   1  x     x  3  x  1 Đặt thương q  x  ta có: x  11x  2ax  5bx   x    x  1 q  x  Chọn x 3 ta có: 4.34  11.33  2a.32  5.b.3  0  15b  18a  21  5b  6a  (1) Chọn x  ta có:   1  11   1  2a   1  5.b   1  0  5b  2a 9 (2) Từ (1) (2) suy ra: 8a 16  a 2 Thay vào (2)  5.b  9  b 1 Ví dụ 4: Tìm đa thức f  x  biết: f  x  chia cho x  dư ; f  x  chia cho x  dư 8; f  x  chia cho  x  3  x   3x cịn dư Giải Tìm cách giải Ta có  x  3  x   tam thức bậc hai, phần dư chia f  x  chia cho  x  3  x   có dạng tổng quát ax  b Từ suy được: f  x   x  3  x   x  ax  b Mặt khác ta có f   3 1, f   8 Do để tìm f  x  cần xác định a b cách chọn x  3; x 4 để đồng hai vế Trình bày lời giải Theo định lý Bézout ta có f  3 1, f   8 Đặt dư f  x  chia cho  x  3  x   ax  b Suy f  x   x  3  x    ax  b Với x  tacó:    3       3  a   3  b  b  3a 1 (1) Với x 4 ta có:   3     3.4   a.4  b  b  4a 8 (2) Từ (1 ) (2) suy ra: a 7  a 1 thay vào (2) ta b 4 Từ ta được: f  x   x  3  x   x  x  Hay f  x  3x  3x  35x  Ví dụ 5: Tìm đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho  x  1 ,  x   ,  x  3 dư P   1  18 Giải Tìm cách giải Từ đề theo định lí Bézout ta có P  1 6, P   6, P  3 6, P   1  18 Như đa thức P(x) bậc ba mà biết giá trị bốn điểm 1; 2; 3; - nên ta sử dụng phương pháp nội suy Newton Trình bày lời giải Theo định lý Bézout ta có: P  1 P   , P  3 6 Do ta đặt P  x  d  c  x  1  b  x  1  x    a  x  1  x    x  3 Cho x 1 ta P  1 d , suy d 6 P  x  6  c  x  1  b  x  1  x    a  x  1  x    x   Cho x 2 ta P   6  c , suy c 0 P  x  6   x  1  b  x  1  x    a  x  1  x    x  3 Cho x 3 ta P  3 6  2b , suy b 0 P  x  6   x  1   x  1  x    a  x  1  x    x  3 Do P  x  6  a  x  1  x    x  3 Cho x  ta P   1 6  24a ,  18 6  24a suy a 1 Vậy P  x  6   x  1  x    x   Rút gọn ta được: P  x  x  x  11x Ví dụ 6: Chứng minh đa thức f  x   x  3 200   x  2 100  chia hết cho đa thức g  x  x  x  Giải Tìm cách giải Đa thức g  x  bậc n có n nghiệm phân biệt Nếu nghiệm đa thức g  x  nghiệm đa thức f  x  đa thức f  x  chia hết cho đa thức g  x  Nhận thấy g  x  có hai nghiệm x 2; x 3 , nên cần kiểm tra xem x 2; x 3 có nghiệm f  x  khơng? Trình bày lời giải Ta có: f     3 f  3   3 200 200    2    2 100 100  nên f  x   x    nên f  x   x  3 Nên f  x  chia hết cho  x    x  3 x  5x  Ví dụ 7: Cho f  x  2 x  70 x  x  x  Tìm thương dư phép chia f  x  cho x  Giải Tìm cách giải Ngồi cách chia thơng thường, đa thức chia có dạng x   nên ta dùng lược đồ Homer Trình bày lời giải Ta có sơ đồ Horner  70 f  6 12 16 Suy f  x   x   g  x   f    x    x  12 x  x  16 x  95   571 1 95 571 Vậy thương g  x  2 x  12 x  x  16 x  95 dư r  f   571 Ví dụ 8: Tìm giá trị nguyên x để giá trị đa thức A x  x  15 chia hết cho giá trị đa thức B x  Giải Đặt phép chia ta có: x3  x x 3  15 x3  3x x2  x   x2  15  x  3x 3x 15 3x 9 Muốn cho giá trị A chia hết cho giá trị B ta phải có x  x   Ö    1; 2; 3; 6 x 3 x 2 1 4 1 2 5 3 6 6 9 Vậy với x    2;  4;  1;  5;0;  6;3;  9 giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B Ví dụ 9: Tính giá trị biểu thức P 28 x5  x  2013 x3  14606 x  3447 x  x  0 Giải Tìm cách giải Với x  x  0 tìm x, ta x khơng phải số nguyên, nên thay vào biểu thức P để tính gặp nhiều khó khăn dẫn đển sai lầm Do sử dụng P chia cho x  3x  Q(x) phần dư R(x) đó, ta viết: P  x   x  x  1 Q  x   R  x  Sau thay x  x  0 vào biểu thức, ta tính P(x) đơn giản Trình bày lời giải Ta có: 28 x  x  1013x  14606 x  3447 x  3x  28 x  84 x  28 x 28 x  82 x  1795 x  5467 82 x  2041x3 82 x  246 x  82 x  1795 x  82 x  14606 x  1795 x  5385 x  1795 x  5467 x  16401x  3347  5467 x  16401x  5467 2020 Từ ta có P  x  x  1  28 x  82 x  1795 x  5467   2020 mà x  x  0  P 2020 C Bài tập vận dụng 7.1 Xác định a, b cho 2x  ax  b chia cho x  dư  , chia cho x  dư 21 Hướng dẫn giải – đáp số Theo định lý Bézout ta có: f   1  6; f   21    1  a   1  b   a  b 4 (1)  2.23  a.2  b 21  2a  b 5 (2) Từ (1) (2) suy 3a 9  a 3; b 1 7.2 Tìm đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho x,  x  1 ,  x   ,  x  3 dư 10; 12; 4; Hướng dẫn giải – đáp số Theo định lý Bézout ta có: P   10; P  1 12; P   4; P   1 Dùng phương pháp nội suy Newton Ta đặt: P  x  d  cx  bx  x  1  ax  x  1  x   Cho x 0 ta P   d , suy d 10 P  x  10  cx  bx  x  1  ax  x  1  x   Cho x 1 ta P  1 10  c , suy c 2 P  x  10  x  bx  x  1  ax  x  1  x   Cho x 2 ta P   10   2b , suy b  P  x  10  x  5x  x  1  ax  x  1  x   Cho x 3 ta P  3 10   30  6a , suy  14  6a 1  a  Vậy P  x  10  x  x  x  1  x  x  1  x   25 x  12 x  10 Rút gọn ta được: P  x   x  2 7.3 Đặt x  z a; y  zx b, z  xy c Chứng minh rằng: ax  by  cz a  b  c Hướng dẫn giải – đáp số 2 Xét ax  by  cz  x  yz  x   y  zx  y   z  xy  z  x  xyz  y  xyz  z  xyz  x  3x y  3xy  y  3x3 y  xy  xyz  x  y   z  xy  x  y  z   x  y  z    x  y    x  y  z  z   3xyz    x  y  z   x  y  z  xy  xz  yz   x  y  z   a  b  c  Suy ax  by  cz chia hết cho a  b  c 7.4 Tìm số dư phép chia biểu thức  x  1  x  3  x    x    2020 cho đa thức x  x  12 Hướng dẫn giải – đáp số Cách Ta có: f  x   x  1  x  3  x    x    2020  x  x    x  x  15   2020 Đặt x  x  12  y  f  y   y    y  3  2020 f  y   y  y  2005  f  y  : y dư 2005  f  x  chia cho x  x  12 dư 2005 Cách g  x  x  x  12 Ta có: g  x  x  x  12  x    x   Gọi đa thức thương q  x  đa thức dư ax  b , thì: f  x  g  x  q  x   ax  b Xét x  x  , ta có: f    0  2a  b   2a  b 2005 (1) Xét x  , ta có: f    0  6a  b   6a  b 2005 (2)  a 0 Từ (1) (2) suy  b 2005 Vậy đa thức dư 2005 7.5 Cho x, y, z đôi khác Chứng minh rằng: 3 A 3 x n  z  y   y n  x  z   3z n  y  x  chia hết cho B  x  y    y  z    z  x  với n số nguyên lớn Hướng dẫn giải – đáp số Ta có B 3  x  y   y  z   z  x  Xét x  y  A 0  A x  y  Xét y z  A 0  A y  z  Xét x  z  A 0  A z  x   A x  y   y  z   z  x  mà A3  A3  x  y   y  z   z  x  hay AB 7.6 Tìm số nguyên a b để đa thức A  x  x  x  ax  b chia hết cho đa thức B  x  x  x  Hướng dẫn giải – đáp số Đặt phép chia, ta có: x  3x3  ax b x  3x  x  x3  x x2   x  ax b  x  12 x  16  a  12  x   b  16   a  12 0  a 12  Để A  x  B  x    b  16 b  16 7.7 Tìm a b để f  x   x  ax  b chia hết cho x  3x  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x  x   x  1  x   Đặt thương q  x  , ta có: x  ax  b  x  1  x   q  x  - Chọn x  ta có:   1  a   1  b    1     q   1  a  b  (1) - Chọn x  ta có:   2  a     b    1     q     b  4a  16 (2) Từ (1) (2) suy ra: 3a 15  a 5  b 4 7.8 Cho đa thức P  x  ax  bx  c Biết P(x) chia cho x  dư 3, P(x) chia cho x dư P(x) chia cho x  dư Tìm hệ số a, b, c (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT Chuyên, tỉnh Nam Định, năm học 2015 - 2016) Hướng dẫn giải – đáp số Cách P(x) chia cho x dư  c 1  P  x  ax  bx  Theo định lý Bézout: P   1 3; P  1 5  a   1  b   1  3  a  b 2 (1)  a.12  b.1  5  a  b 4 (2) Từ (1) (2) ta có a 3; b 1 Kết luận a 3; b 1; c 1 Cách Viết đa thức P(x) dạng: P  x  a  x  1 x  mx  n Chọn x 0 , ta P   n  n 1 Do P  x  a  x  1 x  mx  Chọn x  , ta P   1  m    m  3  m  Do P  x  a  x  1 x  x  Chọn x 1 , ta P  1 2a   2a  5  a 3 Kết luận a 3; b 1; c 1 7.9 Çho x  x  0 Tính giá trị biểu thức B  x5  x  x3  x  20 x  2025 Hướng dẫn giải – đáp số x  3x  3x  x  20 x  2025 x2  x 1 x5  x  x3 x3  x  x  x3  x x  x3  x x  20 x  2025 x  20 x  2020 Từ ta có B  x  x  1  x  x    2020 Với giả thiết x  x  0 suy B 2020 7.10 Cho đa thức P  x  ax  bx  c Tìm a, b, c biết P   26; P  1 3; P   2020 Hướng dẫn giải – đáp số Với P   26  c 26 suy P ax  bx  26 Ta có: P  1 3  a  b  26 3  a  b  23 (1) Ta có: P   2020  4a  2b  26 2020  4a  2b 1994  2a  b 997 (2) Từ (1) (2) suy ra: a 1020; b  1043 Vậy a 1020; b  1043; c 26 7.11 Tìm phần dư phép chia sau: 100 99 98 a) f  x  x  x  x   x  chia cho g  x  x  ; 100 99 98 b) f  x  x  x  x   x  chia cho g  x  x  ; 100 99 98 c) f  x  100 x  99 x  98x   x  x  chia cho g  x  x  ; 1945 d) f  x  x  x  x  chia cho x  x  Hướng dẫn giải – đáp số a) Theo định lý Bézout, f  x  : g  x  có phần dư f  1  r  f  1 1100  199  198    101 b) Đặt f  x  chia cho g  x  thương q  x  phần dư ax  b Ta có: f  x  g  x  q  x   ax  b  x  1  x  1 q  x   ax  b Chọn x 1 ta f  1   1   1 q  1  a.1  b  101 a  b (1) Chọn x  ta f   1    1    1 q   1  a   1  b   a  b (2) Từ (1) (2) ta b 51 a 50 Vậy phần dư chia f  x  chia cho g  x  50 x  51 c) Theo định lý Bézout f  x  chia cho g  x  có phần dư f   1 suy ra: r  f   1 100   1 100 98  99   1 199  98   1     1    1  100  99  98     5051 1945 d) ta có f  x   x  x 1  x   x  x  mà x  x  chia hết cho x  x  x  chia hết cho x  x  chia hết cho x  x   x  chia hết cho x  x  648 x1945  x x  x1944  1 x   x3   1 x   x1945  x x  x    Do f  x  chia cho x  x  có phần dư  7.12 3 2 a) Xác định hệ số a, b để f  x  x  x  ax  b chia hết cho g  x  x  x  161 37 13 b) Tìm đa thức dư phép chia P  x  x  x  x  x  x  2020 cho đa thức Q  x   x  Hướng dẫn giải – đáp số a) Thực phép chia ta có: x3  x x3  x x2 x2  ax x2  x 1 b x 1 x +  a  1 x  b +x 1  a   x   b  1  a  0  Để f(x) chia hết cho g(x)  b  0 a 2  b 1 161 37 13 b) Ta có P  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  2020 161 160 Ta có x  x  x  x  1 x  mà x  1x  nên x161  1x  x 37  x  x  x 36  1 x  mà x  1x  nên x 37  1x  x  x x  x  1 x  mà x  1x  nên x  1x  Suy x161  x  x37  x  x13  x  x5  x x  Suy P  x  chia cho x  dư x  2020 7.13 Tìm phần dư đa thức f  x  chia cho đa thức g  x  x  x  biết f  x  chia cho  x  1  x  3 có số dư  45  165 Hướng dẫn giải – đáp số Đặt đa thức thương q  x  phần dư ax  b Suy f  x  g  x  q  x   ax  b  f  x   x  1  x   q  x   ax  b Theo định lý Bézout ta có: f   1 45; f  3  165 Ta có: f   1    1    3 q   1  a   1  b  a  b   a  b  45 (1) Ta có: f  3   1   3 q  3  a.3  b 3a  b  3a  b  165 (2) Từ (1) (2) suy 4a  120  a  30 Thay vào (2) ta có:  30   b  165  b  75 Vậy phần dư f  x  : g  x   30 x  75 7.14 Tìm giá trị nguyên x để giá trị đa thức C  x  x  x  chia hết cho giá trị đa thức D x2  x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Đặt phép chia ta có: x  3x  3x  x2  x 1 x3  x  x x  4x2  x   4x2  x  Muốn cho giá trị C chia hết cho giá trị D ta phải có x  x   Ư    1; 3 0;  x2  x 1 x 1;  1  Vậy với x   0;  1;1;  2 giá trị biểu thức C chia hết cho giá trị biểu thức D 2 7.15 Xác định a, b cho f  x  6 x  x  ax  3x  chia hết cho g  x  x  x  b Hướng dẫn giải – đáp số Đặt phép chia ta có: x  x3  ax x  x3  6bx  x3  x3  3x x  x   a  6b  1 +  a  6b  x +3x  x2  a  6b  1 x x2  x  b 2 +2  bx +   b x   a  6b  1 x   a  6b  1 x  b  a  6b  1  a  5b   x    ab  6b  b  Để f  x  chia hết cho g  x   a  5b  0     ab  6b  b 0  a 5b   1     5b   b  6b  b 0   Giải (2) ta có:   5b   b  6b  b 0  b  3b  0  b  b  2b  0   b  1  b   0 - Trường hợp Với b  0  b   a 5   1   - Trường hợp Với b  0  b   a 5      12 Vậy với  a; b      7;  1 ,   12;    f  x  chia hết cho g  x  3  2 7.16 Cho đa thức f  x  2 x  x  x  x  đa thức g  x  x  Tìm x   để f  x  chia hết cho g  x Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: f  x  2 x  x  x  x  2 x  x  x  x  x  2 x  x  1  x  x  1   x  1   x  1  x  x  3  f  x  g  x   5x   x  1  1; 5  x   0; 4  x   0;  2; 2 7.17 Tìm đa thức f  x  biết f  x  chia cho x  dư 2, f  x  chia cho x  dư f  x  chia cho x  x  thương  x dư Hướng dẫn giải – đáp số f  x  chia cho x  x  thương  x cịn dư  f  x  có bậc 4 Đặt f  x  ax  bx  cx  dx  e Theo định lý Bézout: f  x  chia cho x  dư  f   2  16a  8b  4c  2d  e 2 f  x  chia cho x  dư  f  3 7  81a  27b  9c  3d  e 7 Giả sử f  x  chia cho x  x  thương  x dư q  x   q  x  mx  n  f  x    x   x  x    q  x  a   f  x   x  x  x   q  x   b 5  c   2d  e    3d  e  d 0  e   f  x   x  x  x  Ngồi giải phương pháp nội suy Newton 7.18 Cho đa thức f  x  x  ax  bx  a  Xác định a, b để f  x  x  f  x  x  Hướng dẫn giải – đáp số Theo định lý Bézout: f  x  x   f   0, f   x   f  1 0 7  8  4a  2b  a  0 a     1  a  b  a  0 b 0 7.19 Tìm thương dư phép chia f  x  2 x  x  x  cho x  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có sơ đồ Horner f   2 4 Vậy thương g  x  2 x  x  x  số dư 3 5 6 Nhận xét Ngoài cịn giải cách chia thơng thường (đặt phép chia) 7.20 Tìm sổ a, b, c biết đa thức P  x  x  ax  bx  cx  chia hết cho  x  1 Hướng dẫn giải – đáp số Đặt phép chia, ta có: x4  ax  bx  cx x4  3x  3x x  a   x   b  3 x  a  3 x   a  3 x +  c  1 x x  3x  x  1 x   a  3 +1 +3  a   x   a    b  3a   x +  c  3a   x +  a   b  3a  0  Để phép chia hết thì: c  3a  0   a  0  a   b 6 c   Nhận xét Ngoài ra, quan sát hệ số cao hệ số tự đa thức bị chia đa thức chia Để phép chia hết đa thức thương phải x  Do ta có: x  ax  bx  cx   x  3x  3x  1  x  1 x  x3  x  x  Đồng thức hai vế ta đươc: a  4; b 6; c  7.21 Xác định hệ số a b để đa thức A x  x  x  ax  b bình phương đa thức Hướng dẫn giải – đáp số Ta có A bình phương đa thức thì: A  x  cx  d   x  2cx3   c  2d  x  2cdx  d Mà A x  x  x  ax  b  2c   c  2d 3  Suy   2cd a  d b   a   b 1  a  2; b 1  c   d 1 Vậy A x  x  x  x 