Chuyên đề 11 phép cộng và phép trừ các phân thức đại số

Chương II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề 11 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ Cộng hai phân thức mẫu thức Quy tắc Muốn cộng hai phân thức mẫu thức, ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu thức Cộng hai phân thức có mẫu số khác - Quy tắc Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức cộng phân thức có mẫu thức vừa tìm - Chú ý Phép cộng phân thức có tính chất sau: + Giao hốn: A C C A    ; B D D B  A C E A C E + Kết hợp:           B D F B  D F  Phân thức đối - Hai phân thức gọi đối tổng chúng - Phân thức đối phân thức A A kí hiệu  B B A A A A    B B B B Như  Phép trừ Quy tắc: Muốn trừ phân thức A C A C cho phân thức , ta cộng với phân thức đối : B D B D A C A  C      B D B  D B Một số ví dụ Ví dụ Thực phép tính: a) A  x   x  1 2  x 1  x  x   x  1 2 x  x  1   x  x  1  x   x  1 Giải Tìm cách giải Quan sát kĩ phân thức, nhận thức tử thức phân thức phân tích đa thức thành nhân tử được, ta nên phân tích thành nhân tử tử thức mẫu thức rút gọn phân thức trước thực phép cộng Trình bày lời giải Ta có: x A x 2  x  1  x  x  1  x  x  1  x  x 1   x    x   x   x   x  x  1  x  x  1  x 2 2 2  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1 x2  x  x  x2 1 x2  x 1   x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1  A 1 x  x 1  A Nhận xét Trong thực phép cộng, trừ phân thức đại số, phân thức rút gọn được, bạn nên rút gọn trước thực Ví dụ Cho a, b, c thỏa mãn abc 1 Tính giá trị M a b c   ab  a  bc  b  ac  c  Giải Thay abc vào biểu thức, ta có: a abc.b c   ab  a  bc  abc.b  abc ac  c  abc a ab  M   ab  a  1  ab  a a   ab ab  a  M 1 ab  a  M Nhận xét  Lời giải tinh tế giữ nguyên phân thức thay số vào vị trí hợp lí để rút gọn phân thức, đưa phân thức mẫu  Sử dụng kĩ thuật bạn giải tốn sau: Cho a, b, c, d thỏa mãn abcd 1 Tính giá trị biểu thức: N   2a  3ab  4abc  3b  4bc  bcd    4c  cd  2cda  d  2da  3dab 1 2a 4a 8a Ví dụ Rút gọn biểu thức: B      a  b a  b a  b a  b a  b8 Giải Tìm cách giải Quan sát phân thức, nhận thấy khơng có mẫu hạng tử phân tích thành nhân tử nên việc quy đồng mẫu thức tất hạng tử không khả thi Nhận thấy mẫu hai phân thức đầu có dạng a – b a + b, thực trước tổng hai phân thức cho ta kết gọn.Với suy luận ấy, tiếp tục cộng kết với phân thức Trình bày lời giải 2a 2a 4a 8a Ta có: B  2    a  b a  b a  b a  b8  B 4a 4a 8a 8a 8a 16a15    B    B  a  b a  b a  b8 a  b8 a  b8 a16  b16 Ví dụ Cho  a  b  c  a  b  c Rút gọn biểu thức: a2 b2 c2 P   a  2bc b  2ac c  2ab Giải Tìm cách giải Nhận thấy quy đồng mẫu trực tiếp không khả thi mẫu không phân tích thành nhân tử quy đồng biểu thức phức tạp, mặt khác chưa khai thác giả thiết Phân tích giả thiết ta ab  bc  ca 0 , khai thác yếu tố vào mẫu thức ta được: a  2bc a  2bc  ab  bc  ca phân tích thành nhân tử Do ta có lời giải sau: Trình bày lời giải 2 2 2 Từ  a  b  c  a  b  c ta có: a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c nên ab  bc  ca 0 2 Xét a  2bc a  2bc  ab  bc  ca a  ab  ca  bc  a  b   a  c  2 Tương tự ta có: b  2ac  b  a   b  c  ; c  2ab  c  a   c  b  Do ta có: P   P  a2 b2 c2    a  b  a  c  b  a  b  c  c  a   c  b a  b  c   b2  c  a   c2  a  b   a  b  b  c  c  a Phân tích tử thức thành nhân tử, ta có: P   a  b  b  c  c  a  a  b  b  c  c  a 1 3x  3x  A B    Ví dụ Tìm A, B thỏa mãn: x  3x   x  1 x x2 Giải Tìm cách giải Để tìm hệ số A B, biến đổi vế phải Sau đồng hệ số hai vế Trình bày lời giải 3 Ta có: x  x   x  x  x  x  x  1  x  1   x  1  x  1  x  x    x  1  x  2 Từ suy ra: 3x  3x   x  1  x    A B    x  1 x  x   A  x    B  x  1  x     x  1 2  x  1  x    x  x   B  1 x   A  B   x   A  B  1  B 1   Đồng hệ số ta có:  A  B  3   A  B  3   A 3   B 2 Ví dụ Thực phép tính: A x  yz y  xz z  xy    x  y  x  z  y  z  y  x  x  z   y  z  Giải Tìm cách giải Suy nghĩ trước này, ta có hai hướng phân tích: Hướng thứ Quy đồng mẫu, thực phép cộng thường lệ Hướng thứ hai Tách phân thức thành hiệu hai phan thức, khử liên tiếp Trong này, cách không ngắn, song thể nét đẹp sáng tạo Trình bày lời giải Cách Ta có: A  x A A x  yz y  xz z  xy    x  y  x  z  y  z  y  x  x  z   y  z   yz   y  z    y  xz   x  z    z  xy   x  y   x  y  x  z  y  z x y  x z  y z  yz  xy  y z  x z  xz  yz  x y  xy 0  x  y  x  z  y  z Cách Ta có: x  yz x  xy  xy  yz x  x  y   y  x  z  x y     (1) xz xy  x  y  x  z  x  y  x  z   x  y  x  z Tương tự y  xz y z   (2)  y  z  y  x x  y y  z z  xy z x   (3)  z  x  z  y y  z x  z Từ (1), (2) (3) cộng vế với vế ta A 0 Ví dụ Cho a1 , a2 a9 xác định công thức: ak  3k  3k  k k với k 1 Hãy tính giá trị tổng:  a1  a2   a ( Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 1999 – 2000) Giải Tìm cách giải Bài tốn có tính quy luật, thay số vào tính khơng khả thi Do nghĩ đến việc tách phân thức thành hiệu hai phân thức, khử liên tiếp Nhận thấy 3k  3k   k  1  k , nên có lời giải sau: Trình bày lời giải Ta có: ak  k  1  k    3 k  k  1 k  k  1 3k  3k  k k Do đó: S 1  a1  a2   a 1  1  1999   1              2   10 1000   2   10  Ví dụ Rút gọn biểu thức: 1 1    x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 M Giải Ta có: M   1 1    x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 1     x    x    x  3  x    x    x    x    x   1 1 1 1        x x x x x x x x 1 4    x  x   x  2  x  6  C Bài tập vận dụng 11.1 Xác định số a, b biết: 3x 1  x  1  a  x  1 b   x  1 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 3x 1  x  1   a  x  1 3x 1  x  1   b  x  1 bx  a  b  x  1  x 1  x  1  a  x  1  bx  b  x  1  b 3  x  bx  a  b    a  b 1  b 3  a  11.2 Rút gọn biểu thức: A 20 x  120 x  180  3x    4x2  x  125 x2   x  5   x  3  x2  x  x  15  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 20  x  3  x    x    x    x  1 A    x  5  x  1  x 1  x    x  3  x   2  x  3 x  x   x  3   x     x  1      x    x  1 x  x   x  1  x  5  x  24 x  36  x  10 x  25  x  x   x  1  x  5 x  32 x  60  x  3  x    x  3    x 1  x    x  1  x    x  1 a4  a 3a  2a a  11.3 Cho P    a  a 1 a a a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: P  a4  a 3a  2a a    a  a 1 a a  a  a  1  a  a  1 a  a  1  3a    a  2  a  2 a a  a  3a   a  a  3a  Điều kiện a 2 b) P a  3a  2, 25  1, 75 1, 75   a  1,5  1, 75 Dấu " " xảy  a 1,5 Vậy giá trị nhỏ P 1,25 đạt a 1,5 11.4 Cho biểu thức: Q  x4  x x  3x    x  x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức Q; b) Tìm giá trị nhỏ Q Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: Q  x4  x x  3x  (ĐK: x  )   x2  x 1 x 1  x  x  1  x  x  1 1  x  x 1  x  x   x  x  x  x  1  x  1 x 1 2 b) Q x  x  0, 25  0, 25  x  0,5   0, 25  0, 25 Vậy giá trị nhỏ Q -0,25 đạt  x 0,5 a 1 a  a  a3  a  11.5 Thực phép tính: M    a a a a  a3 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: M a 1 a3  a  a  a    a a a a  a3 a   a  1  a  a  1 a  a  a     a a  a  1 a  a  1  2 a  a  a   a  1  a  1  a  a  1   a a a  a  1  a   a  a  a   a a  2a    a a a x2  y x2  y  a 11.6 Đặt x  y x2  y Tính giá trị biểu thức: M  x8  y x8  y  x8  y x8  y Hướng dẫn giải – đáp số 2 2  x  y   x  y  Từ giả thiết  a  x  y x y  2  a  x4  y  x4  y  2 2 x4  y a  x4  y 2 4 4 a x4  y x4  y  x  y    x  y  Ta có:     a x  y4 x4  y  x4  y   x4  y  8 a 2 x  y  x8  y a a         a x  y8 x  y8 a 4a a2  4a a  24a  16  M   4a a 4 4a  a   11.7 Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên A x3  x  x  x 1 Hướng dẫn giải – đáp số x Ta có: A  Để A  Z  1  x  1  x 1 x   x 1  Z  x    1  x   0;  1 x 1 11.8 Cho x  y 1 xy 0 Rút gọn biểu thức: A  2 x  y x y   2 y  x  x y 3 Hướng dẫn giải – đáp số  x  y  x4  x  y  y  x  y  x y     Biến đổi y  x3  x y   y  1  x  1 x y    x  y4    x  y   xy  y  y  1  x  x  1 2 2 x  y (do x  y 1  y   x x   y ) x2 y2   x  y   x  y   x2  y    x  y  xy  x y  y x  y  yx  xy  y  x  x  1  2 x  y x2 y   x  y   x  y  1 2 x  y   2 2 2 xy  x y  xy  x  y   x  y  xy   x y   x  y   x  x  y  y   x  y   x  y   x  x  1  y  y  1   x  y    2   2 x y 3 xy  x y  3 xy  x y   x  y    x y       x  y   x   y   y   x   xy  x y  3   x  y   x  y    xy   x  y    2 x2 y2  x y 3 xy  x y  3  2 x  y 2 x  y  0 x2 y  x2 y  11.9 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z 0 xyz 0 Tính P  x2 y2 z2   y  z  x2 z  x2  y x2  y  z ( Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên TP Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số Từ x  y  z 0  x  y  z 3xyz Từ giả thiết, ta có y  z  x  y  z  x  xy Làm tương tự, thay vào P, ta được: x2 y2 z2 x3  y  z 3xyz 3       yz  xz  xy  xyz  xyz 3 P P 11.10 Cho ba số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn điều kiện Tính giá trị biểu thức A  1   0 x y z yz zx xy   x  yz y  zx z  xy (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên TP Hồ Chí Minh, năm học 2013 – 2014) Hướng dẫn giải – đáp số 1 Ta có:   0  xy  yz  zx 0  yz  xy  zx x y z yz yz yz   x  yz x  xy  zx  yz  x  y   x  z  Tương tự: zx zx xy xy  ;  y  zx  y  z   y  x  z  xy  z  x   z  y  yz A zx   xy  x  y  x  z  y  z  y  x  z  x  z  y yz  z  y   xy  y  x   zx  x  z  1  x  y  y  z  z  x 11.11 Cho ax  by c; by  cz a; cz  ax b a  b  c 0 Tính giá trị biểu thức: P 1   x 1 y 1 z 1 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết suy ra: a  b  c 2  ax  by  cz   a  b  c 2  c  cz  2c   z  Nên: 2c  z 1 a  b  c Tương tự: 2a 2b  ;  x 1 a  b  c y  z a  b  c Suy ra: P  1 2a  2b  2c    2 x 1 y 1 z 1 a b c 11.12 Cho a, b thỏa mãn 4a  2b  ab 0 4a  b2 0 Tính giá trị biểu thức: A  3a  b 5b  3a  a  b 2a  b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 6a  ab  b  10ab  6a  3ab 14ab  6b  2 4a  b ab  3b 11.13 Tính giá trị biểu thức: A  33  13 53  23 73  33 1013  503     23  13 33  23 43  33 513  503 Hướng dẫn giải – đáp số Xét phân thức tổng quát: 2  2n  1  n3  3n  1   2n  1  n  2n  1  n  3n  3n   n  1  n3  3n  1  3n2  3n  1  3n  3n  3n  Do đó: A  3.1  1   3.2  1   3.3  1    3.5  1 3      50   50 3875 2 11.14 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1   6 x y z Tính P  x 2020  y 2020  z 2020 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết chuyển vế, ta có: x2   1  y    z   0 x y z   x x  2 1  1  1     x     y     z   0   y   x  y  z y    z   z  x 1   y 1   z 1   x 2020 1  2020 1 y  z 2020 1   P 1   3 11.15 Rút gọn biểu thức: B   1.2    2.3   2n   n  n  1  Hướng dẫn giải – đáp số Ta tách phân thức thành hiệu hai phân thức dùng phương pháp khử liên tiếp, ta được:  k  1  k  2 k  k  1 k  k  1 2k   1  2 k  k  1 n  n  2 1 1 1    Do B        2 n  n  1  n  1 (n 102 ) 11.16 Cho biểu thức A  2x   x  (với x  ) x  3x  Tính giá trị biểu thức A biết 10 x  x 3 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A   x  1  3x  1    x   3x  1  3x  1  3x  1 x  x  3x   15 x   x  x x2  3x  15 x   x  x      1 9x2  9x2   Từ điều kiện 10 x  x   x 3  10 x thay vào (1) ta có: A  x   10 x   x2     x2  9x2  11.17 Rút gọn biểu thức: A   2x  3y  xy x2    xy  x  y  xy  x  y  x  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A  2x  3y  xy x2    x  y     y   x  y     y    x  3  x  3 2x  3y  xy x2      y    x  3  y    x    x    x    x  y   x  3    xy   x  3   x    y     x  3  x  3  y    x  x  3xy  y  x  18  x y  3xy  x y  x  y  18  x  3  x  3  y    0  x  3  x  3  y   11.18 Cho a, b, c ba số đôi khác nhau, tính S ab bc ac    b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: S  ab bc ac    b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c   ab  a  b   bc  b  c   ac  c  a   a  b  b  c  c  a Xét tử thức, ta có: ab  a  b   bc  b  c   ac  c  a  ab  a  b   b 2c  bc  ac  a 2c ab  a  b   c  a  b   a  b   c  a  b   a  b   ab  ac  bc  c   a  b   b  c   a  c    a  b   b  c   c  a  Vậy S    a  b  b  c  c  a    a  b  b  c  c  a  11.19 Rút gọn a) A  1 1    ; x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 x  15 x  56 b) B    x  x  x  10 x  21 x  17 x  70 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A      x    x  5  x    x    x    x    x    x    1 1 1 1         x    x  5  x  5  x    x    x    x    x    1    x    x  5  x    x  8 b) Ta có B     x  1  x  3  x  3  x    x    x  10  B 1 1 1       x  1  x  3  x  3  x    x    x  10  B 1   x  x  10  x  1  x  10 