Hướng dẫn học sinh lớp 10 học công thức lượng giác bằng sơ đồ tư duy

hướng dẫn học sinh lớp 10 học công thức lượng giác bằng sơ đồ tư duy

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Công thức lượng giác là một phần toán quan trọng trong chương trình toán lớp 10 Tuy nó không thật sự khó đối với học sinh nhưng để nắm được toàn bộ công thức chỉ trong một thời gian ngắn quả không phải học sinh nào cũng làm được Vấn đề mấu chốt ở đây là làm thế nào để học sinh ghi nhớ các công thức lượng giác một cách nhanh nhất, dễ hiểu nhất và ứng dụng được các công thức đó vào làm bài tập mà không còn sự lúng túng Sau nhiều năm giảng dạy, tôi rút

ra được kinh nghiệm đó là hướng dẫn học sinh học công thức lượng giác bằng

sơ đồ tư duy

Với sơ đồ tư duy học sinh có thể tự sáng tạo ra sơ đồ theo ý tưởng miễn làm sao mạnh kiến thức không trùng, lặp, mất mà vẫn dễ dàng tiếp cận

Với sơ đồ tư duy học sinh có cảm giác được khám phá, các em sẽ thấy tự tin hơn, mạnh dạn hơn và chắc chắn rằng sẽ dễ thuộc hơn điều đó là tiền đề tốt để các em biến đổi công thức một cách nhanh gọn, chính xác giúp ích cho việc giải phương trình lượng giác sau này

Với sơ đồ tư duy học sinh sẽ tái hiện lại toàn bộ kiến thức có liên quan, nắm được mối liên hệ giữa các công thức một cách chắc chắn mà không phải học thuộc lòng, không phải ‘‘lẩm bẩm’’ một bài thơ nào đó để tìm công thức, hoặc chí ít cũng không cần phải mang cẩm nang toán học bên người

Với những lợi ích trên, tôi đã mạnh dạn làm một sáng kiến có tên là: ‘‘ Kinh

nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 10 học công thức lượng giác bằng sơ đồ tư duy’’ góp phần nâng cao chất lượng bộ môn lượng giác nói riêng và chất lượng

học tập nói chung của học sinh

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận của vấn đề

1.1 Nghiên cứu lí luận:

-Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện tính tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh luôn trở thành nổi trăn trở đối với những giáo viên có tâm với nghề Làm sao cho giáo dục đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội trong việc đào tạo con người Để thực hiện được những quan điểm chỉ đạo này cần vận dụng những tri thức khoa học giáo dục, trước hết là những quan điểm và PPGD tích cực

- Sự phát triển không ngừng của khoa học và công nghệ làm cho nội dung môn học ngày càng gia tăng cả về chiều rộng và chiều sâu, xuất hiện mâu thuẫn với thời gian và điều kiện dạy học cụ thể (đội ngũ GV, cơ sở vật chất, quản lí chất lượng đào tạo ở trường PT…)

-Nghiên cứu thêm về các tài liệu về phương pháp dạy học toán, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo và phương pháp dạy học sơ đồ tư duy ở các bộ môn khác trên thực tế

1.2 Điều tra tìm hiểu:

-Thực nghiệm sư phạm

-Tìm hiểu qua phiếu thăm dò của học sinh

-Tìm hiểu qua đồng nghiệp

2 Thực trạng của vấn đề.

2.1 Đối với học sinh

- Học thuộc lòng đã trở thành ‘chướng ngại vật’ đối với học sinh, với các môn xã hội thì còn có thể chứ đối với các môn tự nhiên, đặc biệt là toán là điều không dễ dàng

-Công thức lượng giác được học từ lớp 10, các em còn nhiều bở ngỡ với các khái niệm mới như đường tròn lượng giác, góc lượng giác, cung lượng giác Cho nên để tiếp nhận một lượng lớn công thức học sinh cũng gặp nhiều khó khăn -Lượng công thức trong một tiết học quá nhiều có những tiết đến 18 công thức Học sinh sẽ thấy ‘ngợp’ và ‘sợ’ từ đó ảnh hưởng đến tâm lý ngại học

-Học sinh thường cố gắng học thuộc lòng nhưng vì bản chất vấn đề nắm hời hợt nên sẽ rất nhanh quên, khi gặp dạng toán này thường khá vất vả để tìm công thức

-Học sinh cũng thường nhớ bằng mẹo, bằng thơ mà các thầy cô hướng dẫn, nhưng nếu muốn có được công thức nào đó lại phải đọc cả bài thơ vậy cũng chưa hiệu quả lắm

-Học sinh thường mang theo cẩm nang toán học bên cạnh, khi cần lại giở xem, nhưng trong các cuộc thi thì điều đó là không thể

2.2 Đối với giáo viên

- Từ thói quen thuyết giảng, không ít người chỉ “chạy” theo khối lượng kiến thức

có trong sách giáo khoa, không quan tâm đến việc tìm ra những biện pháp tác động đến quá trình nhận thức của học sinh Đây là thói quen, cũng là rào cản của giáo viên khi đổi mới PPGD Bản chất của việc dạy học là làm cho học sinh chủ động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức Học sinh tiếp thu kiến thức không phải chỉ thông qua kênh nghe, kênh nhìn mà còn phải được tham gia thực hành ngay trên lớp hoặc được vận dụng, trao đổi thể hiện suy nghĩ, chính kiến của mình

- PPGD của phần lớn giáo viên bộ môn hiện nay là hướng vào người dạy, Học sinh luôn ở trong trạng thái thụ động, phải ghi nhớ máy móc những công thức mặc định, có sẵn trong giáo trình, do đó chưa đáp ứng được mục tiêu của chương trình, SGK mới cũng như yêu cầu của xã hội

-Chương trình và nội dung bài dạy dài, giáo viên sợ ‘‘cháy’’ giáo án, học sinh lại tiếp nhận một lượng lớn công thức từ đó dẫn đến việc học xong tiết học học sinh không biết mình đã có những cái gì trong tay

2.3 Đối với môi trường xung quanh

-Xu hướng ngại học có chiều hướng gia tăng đối với một số bộ phận học sinh, các em không có động lực lớn để thúc đẩy việc học, buông xuôi và ít định hướng cho tương lai Đó cũng là một vấn đề không nhỏ cho các giáo viên có tâm với nghề

3 Giải pháp và tổ chức thực hiện.

3.1 Ôn tập lại định nghĩa GTLG.

Để học công thức lượng giác với sơ đồ trước hết học sinh phải nắm vững khái niệm giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác một cách tường tận

GV nhắc lại tường tận định nghĩa như sau:

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có

sđ AM =  Khi đó :

+ Khi đó tung độ y=OK của điểm M gọi là sin của 

kí hiệu là sin  sin = y

+ Khi đó hoảnh độ x=OH của điểm M gọi là côsin của 

kí hiệu là cos  cos = x

+ Nếu cos   0, tỉ số



 cos

sin

gọi là tang của 

kí hiệu tan tan=



 cos sin

+ Nếu sin   0, tỉ số



 sin

cos

gọi là côtang của 

kí hiệu cot  cot =



 sin

cos

Các giá trị sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung  Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin

* Chú ý :

- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác

- Nếu 00

  1800 thì các giá trị lượng giác của  cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc  trong SGK HH10

Các hệ quả :

a) sin và cos đều được xác định  R Ta có:

sin( + k2) = sin

cos( + k2) = cos

1  sin , cos   1 b)  m  R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại m≤m≤ 1 đều tồn tại 1 đều tồn tại  và  sao cho sin = m và cos =m

B'

B

M (x;y)

 K

y

c) tan xác định khi  

2

 + k  , k  Z

cot  xác định khi   k  , k  Z

3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp tạo sơ đồ tư duy.

a.

Khái niệm :

Sơ đồ tư duy là gì? Sơ đồ tư duy là một hình thức ghi chép sử dụng màu sắc và

hình ảnh để mở rộng và đào sâu các ý tưởng Ở giữa bản đồ là ý tưởng trung tâm, từ ý tưởng này phát triển ra các nhánh tượng trưng cho những ý chính (nhánh chính) Các nhánh chính lại được phân thành những nhánh nhỏ để nghiên cứu chủ đề ở mức độ sâu hơn Những nhánh nhỏ này lại tiếp tục được phân thành những nhánh nhỏ hơn

Sơ đồ tư duy có rất nhiều dạng, nhưng cơ bản đều thiên hướng phát triển dạng cây nhánh, với trung tâm là trụ và rẽ nhánh ra các phía, như một mạng noron

b Các bước lập một sơ đồ tư duy

-Trước tiên để lập được sơ đồ tư duy thì học sinh cần phải biết kiến thức mình đang học thuộc dạng nào, công thức hay chữ viết, sau đó là phải nắm được ý chính của nội dung bằng cách đọc thật kĩ bởi chỉ khi hiểu rõ bản chất của vấn đề thì học sinh mới dễ dàng hệ thống được nó theo cách hiểu của mình

-Bắt đầu với tựa bài, tựa bài là phần rất quan trọng bởi nó bao quát toàn bộ nội dung bài học, do đó học sinh cần phải nắm bắt được thì mới khái quát được những nội dung tiếp theo Sau đó là quá trình xử lý thông tin

-Sơ đồ tư duy được tạo nên bởi các nhánh chính, từ các nhánh chính sẽ cho ra những nhánh phụ tương ứng với nội dung nào quan trọng sẽ ở nhánh chính, trong những nhánh chính sẽ là những nội dung nhỏ là các nhánh phụ Học sinh phải xác định được đâu là ý chính, đâu là ý phụ rồi điền vào sao cho tương ứng là được Tránh tình trạng tham lam mà cho tất cả kiến thức vào sơ đồ khiến nó bị rối tung với hàng loạt nhánh, cành lung tung và rất khó nhìn, khó học

-Thêm vào đó học sinh cũng không nhất thiết phải ghi câu cú một cách quá nắn nót, cẩn thận, vì là viết ra cho mình học nên chỉ cần viết sao cho mình có thể hiểu là được, điều đó cũng không có nghĩa là được phép cẩu thả

-Học sinh nên dùng bút mầu, tô, vẽ theo ý tưởng, có thể dùng kí hiệu riêng của bản thân để dễ nhớ hơn

c.Ví dụ

Giáo viên lấy ví dụ đơn giản để hs hiểu rõ về sơ đồ tư duy

*Vẽ sơ đồ công thức lượng giác cơ bản

Với sơ đồ I Ta có các khái niệm cụ thể như sau :

Kiến thức đang học : Dạng công thức

Tựa bài : Công thức lượng giác cơ bản

Nhánh chính : 3 nhánh mầu xanh dương ứng với công thức (1), (2),(3)

Nhánh phụ : các nhánh mầu tím, xanh lá cây

*Phương pháp học thuộc công thức bằng sơ đồ I.

Khi đã có một sơ đồ ưng ý, dễ hiểu thì việc học với hs sẽ dễ dàng hơn rất nhiều

Bước 1: Nhớ dạng công thức mình đang học(Công thức lượng giác cơ bản)

Bước 2 : Nhớ các nhánh chính (có bao nhiêu nhánh), học thuộc với các nhánh

chính đó (Có 3 ý chính, biểu thị cho 3 công thức cơ bản được tô mầu xanh

dương)

Bước 3 : Tiếp cận với nhánh phụ, với nhánh phụ học sinh nên tập tư duy một

cách chủ động: Tức là khi xây dựng sơ đồ, giữa các ý sẽ không có nối kết, do đó

khi học học sinh sẽ phải tự thêm các nối kết ở đó.(công thức này có thể suy ra

công thức kia, các điều kiện kèm theo )

VD với nhánh phụ xuất phát từ công thức sin2x + cos2x = 1(1) hs có thể tự cm

để suy ra công thức (4) và (5) Từ công thức (4),(5) hs tiếp tục suy ra các công

thức (7),(8), nhớ rằng phải có điều kiện kèm theo đấy

Chú ý :

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CƠ BẢN

sin 2 x + cos 2 x = 1(1)

Chia cho cos 2 x (x  + k , k  Z.)



2 2

1 1tan 4 cos





 



2 2

1 1cot 5 sin





 

Chia cho sin 2 x (x  k , k  Z.)

 

2

2

1 cos 7

1 tan









 

2

2

1

1 cot











sin tan 2 cos









  tan cot 1 ; 6

2



cos

cot 3

sin









k k



   

SƠ ĐỒ I

- Dù là sơ đồ dễ nhìn, dễ học thuộc hơn nhưng học sinh nên học phần nào dứt điểm phần đó Không nên tham lam quá, sẽ bị rối và hậu quả là“râu ông nọ cắm cằm bà kia”

-Khi học không nhất thiết phải học theo thứ tự các công thức giống hệt sách giáo khoa, miễn làm sao thấy được mối liện hệ giữa các công thức đó

-Khi học xong bài thì cũng cần phải ôn lại thường xuyên Nếu như học theo sách, vở thì mỗi lần ôn lại học sinh phải đọc lại từ đầu mới nhớ được thì với sơ đồ tư duy, hs chỉ cần lướt qua là có thể nắm được ý chính, sau đó thì não sẽ phải vận động để nhớ những nhánh phụ tiếp theo là như thế nào Tránh tình trạng chủ quan học xong rồi để đó, không ôn lại Dù là dễ nhớ đến đâu nhưng nếu không được ôn lại thì nó cũng sẽ nhanh quên

Với phương pháp lập sơ đồ để học thuộc này, không khó để học sinh học thuộc bài mà còn giúp các em hiểu rõ bản chất của vấn đề nữa Với các công thức khác giáo viên cũng sẽ hướng dẫn học sinh cách lập và học cụ thể

3.3 Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ cây với công thức cộng

a Cách thiết lập sơ đồ.

Công thức cộng là một công thức quan trọng trong các công thức lượng giác, có thể nói nó chính là chìa khóa để có được các công thức lượng giác khác Vì vậy học sinh không những phải thuộc mà còn phải hiểu rõ bản chất của công thức này Trước tiên giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh được công thức Với mọi số thực a , b ta có : cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb

Sau khi hiểu rõ công thức trên giáo viên yêu cầu hs lấy giấy A4, bút mầu,

thước để vẽ sơ đồ Gv đặt ra các câu hỏi sau :

Kiến thức đang học là dạng nào ? (Dạng công thức)

Tựa bài là gì ?(Công thức cộng)

Nhánh chính là nhánh nào? ( cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb)

Nêu mối liên hệ giữa các góc lg đặc biệt (Đối nhau, phụ nhau ) ?

Sau khi trả lời được các câu hỏi trên HS hãy bắt tay vào vẽ sơ đồ để suy ra các công thức cộng đối với sin,cosin, tan và cotang ?

Học sinh vẽ tự do, miễn là sao các em hiểu được mối liên hệ giữa các công thức với nhau

Sau khi hs vẽ xong gv có thể gọi 1 hs lên trình bầy ý tưởng của mình trên bảng, giáo viên cho các em khác đánh giá, nhận xét, sau đó gv chỉnh sữa và kết luận

Gv có thể nêu sơ đồ đã chuẩn bị trước (bảng phụ hoặc máy chiếu) để hs tham khảo và học hỏi cách vẽ VD sơ đồ II có thể vẽ như sau :

b.Phương pháp học theo sơ đồ

Với sơ đồ II ta có cách học như sau :

Khi nhìn vào sơ đồ học sinh sẽ thấy rối , học sinh sẽ không biết xuất phát từ đâu

Vì vậy ban đầu giáo viên cần định hướng một cách tích cực

Xuất phát từ nhánh chính Đó là công thức mấu chốt (1), Và từ (1) suy ra (2),

hoặc suy ra(4), từ (2) suy ra được (3), từ (3) suy ra (4) hoặc ngược lại

Từ (2) và (3) suy ra (6) ; từ (1) và (4) suy ra (5)

Rõ ràng nhìn vào sơ đồ ta thấy được toàn bộ mối liên hệ của nó, sự logic và tổng

quát Hs dễ học hơn , dễ nhớ hơn rất nhiều Gv yêu cầu hs vẽ nhiều lần để năng

cao khả năng tư duy, suy luận, không phụ thuộc vào sgk, rèn luyện khả năng độc

lập, sáng tạo, các em có thể vẽ bằng các kí hiệu và mầu sắc khác nhau

3.4 Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ cây với công thức nhân đôi, hạ bậc

a Cách thiết lập sơ đồ.

-Kiến thức đang học là dạng nào ? (Dạng công thức)

-Tựa bài là gì ? (Công thức nhân đôi, hạ bậc)

-Nhánh chính là nhánh nào? (Có 3 nhánh chính đó là công thức cộng của cos,

sin, và tan)

-Sau khi trả lời các câu hỏi tên, gv để hs tự tìm ra sơ đồ thích hơp, các em có thể

tự tìm thấy các mối liên hệ của nó.Có thể cho 2 học sinh lên bảng để vẽ, gọi các

em khác nhận xét, gv chỉnh sữa, kết luận

CÔNG THỨC

CỘNG

Sin(a+b)=sina.cosb + cosa.sinb (3) cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb(1)

Sin(a-b)= sina.cosb - cosa.sinb(4)

SƠ ĐỒ II

cos(a + b)= cosa.cosb - sina.sinb (2)



tan tan tan( ) 5 1tan.tan

a b ab

a b



 



 

tan tan

1 tan tan

a b

a b



 



GV có thể nêu ra một sơ đồ đã chuẩn bị sẵn, cho học sinh nghiên cứu, tìm ra cách học Sau đó hs so sánh với sơ đồ của bản thân để tìm phương án tối ưu hơn

b.Phương pháp học theo sơ đồ

-Học thuộc 3 nhánh chính

-Từ 1 nhánh chính bất kì ta phát triển các nhánh phụ Ví dụ từ nhánh chính thứ nhất (công thức (1)), ta suy ngay được công thức (4), từ công thức (4) phát triển các công thức (7),(8),(9), từ các nhánh này tiếp tục phát triển các công thức (11), (12)

-Tương tự với nhánh chính thứ 2, thứ 3, Sau khi sơ đồ dần cơ bản mới tìm mối liên hệ các công thức với nhau tạo ra các công thức mới, rõ ràng theo cách xây dựng này, công thức rất rõ ràng , mạch kiến thức logic, đầy đủ, học sinh tự tìm

ra công thức mà không phụ thuộc sách giáo khoa

Hs nên vẽ nhiều lần, có thể tô cùng mầu các công thức cùng thứ bậc (nhánh chính, phụ), đánh dấu vào các công thức quan trọng, hay gặp nhất

3.5 Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tư duy với công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.

Sau khi đã dần quen với cách lập sơ đồ, gv chỉ đặt ra câu hỏi chung Hãy vẽ sơ đồ công thức biến đổi tổng thành tích theo ý tưởng của em ?

Lúc này hs phải tự đặt ra câu hỏi và tìm câu trả lời thích đáng Gv chia thành 4 nhóm để các em tự thảo luận và đưa ra sơ đồ ưng ý nhất Sau đó gv gọi đại diện

CÔNG

THỨC

NHÂN

ĐÔI,

HẠ

BẬC

Sin(a+b)=sina.cosb + cosa.sinb (2)

a=b

SƠ ĐỒ III

cos(a + b)= cosa.cosb - sina.sinb (1)



tan tan tan( ) 3 1tan.tan

a b ab

a b



 



cos2a= 2cos2a-1 (7)

cos2a= 1-2sin2a (8)

cos2a=(cosa-sina)( cosa+sina)(9)

a=b

a=b

 

2 2

1tan cos2 13 1tan

a a a







cos2a=cos2a-sin2a (4)

sin2a=2sina.cosa (5)



2

2tan tan2 6 1tan

a a a





  2

2tan sin2 10 1tan

a a a





 

2 1cos2 sin 12 2

a

a

 

2 1 cos2 cos 11 2

a

a

nhóm lên bảng trình bày ý tưởng của mình, gv yêu cầu học sinh thuyết trình với

sơ đồ đó, cho các nhóm khác nhận xét, đánh giá và gv là người đưa ra kết luận cuối cùng

Gv trình chiếu sơ đồ của mình, hướng dẫn học sinh học theo sơ đồ, các em có thể nhận xét, rút ra kinh nghiệm cho bản thân

Học sinh có thể vẽ sơ đồ khác bằng cách xác định tích theo tổng trước, rồi mới suy ra tổng theo tích sau Không sao cả, đó là sự sáng tạo của mỗi bản thân học sinh, giáo viên nên ghi nhận và khuyến khích các em Vậy với sơ đồ trên chúng

ta bắt tay vào việc học như thế nào ?

Trước hết hãy cộng vế với vế của công thức (1) và (2) chúng ta sẽ có ngay (5) (Lưu ý biến đổi a, b theo x,y đã nhé)

Tương tự lấy vế trừ vế của công thức (1) và (2) chúng ta sẽ có ngay (6)

Với công thức (3),(4) cũng tiến hành tương tự ta sẽ có ngay công thức (7), (8) Còn (9),(10),(11) có thể suy trực tiếp từ công thức ban đầu, hoặc có thể suy từ

CÔNG

THỨC

BIẾN

ĐỔI

TỔNG

THÀNH

TÍCH,

TÍCH

THÀNH

TỔNG

Sin(a+b)=sina.cosb +cosa.sinb (4) Sin(a-b)= sina.cosb -cosa.sinb(3)

SƠ ĐỒ IV

cos(a -b)=cosa.cosb +sina.sinb(1)

 

cos(a +b)=cosa.cosb -sina.sinb (2)

+

-+

-Đặt x=a+b; y=a-b

 

 

 

Đặt x=a+b; y=a-b

     

1

2

1

2

   

1 sincos sin sin 11 2

ab ab ab  

cosa.sinb? Học sinh hãy suy nghĩ và tìm câu trả lời thõa đáng sau khi gv lấy 1

vd minh họa Hãy tính cos5 sin7

3.6 Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tổng quát với các công thức lượng giác.

Sau khi học sinh đã biết cách lập và học với các sơ đồ nhỏ, để tổng quát hơn học sinh có thể tự xác định một công việc khó hơn đó là xây dựng một sơ đồ ‘‘lớn’’ Bằng sự gắn kết các sơ đồ nhỏ lại nhưng cần sự chọn lọc và tổng quát hơn Với

sơ đồ lớn này kiến thức về công thức lượng giác đã ‘‘nằm gọn trong lòng bàn tay’’ quan trọng là xây dụng và học như thế nào nữa thôi

a Các bước để vẽ sơ đồ tổng quát

Bước 1 : Xác định kiến thức trọng tâm của chương góc lượng giác và công thức lượng giác

Bước 2 : Xác định các nhánh chính đó là những nhóm công thức nào ?

Bước 3 : Từ nhánh chính xây dựng các nhánh phụ

Bước 4 : Tìm mối liên hệ tổng quát giữa các nhánh với nhau

Bước 5 : Hoàn thiện sơ đồ và trang trí theo thẩm mĩ và kí hiệu riêng của bản thân (Các công thức cùng dạng, cùng mức độ thì cùng mầu với nhau )

b Phương pháp học với sơ đồ tổng quát

Nếu chưa làm quen với dạng này thì khi nhìn vào sơ đồ sau học sinh sẽ thấy rối, không biết bắt đầu từ đâu Nhưng học sinh đã được tiếp cận với các sơ đồ nhỏ rồi thì khi nhìn sơ đồ lớn hơn học sinh sẽ có ý thức chiếm lĩnh và thử sức Với

sơ đồ lớn này giáo viên hướng học sinh tới một công việc tổng quát hơn, khó hơn, kiên trì và bền bỉ hơn nhưng đổi lại nó sẽ cho ta thấy được nhiều điều bổ ích

-Trước hết phải học nhánh chính thứ nhất đó là công thức lượng giác cơ bản (phương pháp học đã được nêu ở sơ đồ I)

-Học sinh phải trang bị cho mình kiến thức về mối liên hệ giữa các góc đặc biệt (đối, phụ, bù )

-Tiếp tục học nhánh thứ hai, nhánh này rất nhiều nhánh phụ, nếu đã học bằng cách tách ra các sơ đồ nhỏ thì với sơ đồ lớn không vấn đề gì

-Học sinh có thể thêm vào các nét vẽ, nối biểu thị mối liện hệ các công thức với nhau, để hiểu rõ vấn đề hơn Nếu thấy quá nhiều nét vẽ (sợ rối) thì hãy tạm dừng lại, hãy học từ từ và vững chắc Khi thấy đã ổn rồi học sinh mới tiếp tục khai thác tiếp các đường vẽ

-Hãy vẽ nhiều lần, để công thức được nhuần nhuyễn hơn

Sau đây là một mẫu sơ đồ mà giáo viên giới thiệu cho học sinh