HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 20 Câu 1: Cho số phức z x yi x, y thỏa mãn z 3i 5 z 4i 1 z 3i Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P x y 10 x y Giá trị M m bằng: B 28 A 32 D 28 C 32 Lời giải Chọn C M x; y Gỉa sử z x yi với x, y có điểm biểu diễn mặt phẳng phức Ta có: z 3i 5 x yi 3i 5 x y 25 (1) M thuộc hình trịn (C ) có tâm I 2;3 bán kính R 5 z 4i 1 z 4i z 3i x yi 4i x yi 3i z i Ta lại có: 2 x y x y x y 14 0 (2) A 2;0 , B 1; Đồ thị (1) (2) phần gạch chéo ( D) hình vẽ với 2 Ta biến đổi biểu thức P thành : x y 10 x y P 0 với điều kiện P 34 J 5;3 (C ) R P 34 (đường nét đứt màu phương trình đường trịn có tâm bán kính xanh lá) x y 3 25 7 x y 14 0 x y 10 x y P 0 x; y (C1 ) ( D) có điểm chung Hệ có nghiệm Đường trịn (C1 ) nằm hai đường tròn (C2 ) đường tròn (C3 ) R1 P 34 4 30 P M 2, m 30 Vậy M m 30 32 Câu 2: Một téc nước hình trụ chứa nước đặt nằm ngang, có chiều dài 3m đường kính đáy 1m Hiện mặt nước téc cách phía đỉnh téc nước 0, 25 m (xem hình vẽ) Tính thể tích nước téc (kết làm trịn đến hàng phần nghìn)? A 1,896 m B 1,895m C 1,167 m Lời giải D 1, 768 m Chọn A Ta có: HC 0, 25 IH IC HC 0,5 0, 25 0, 25m cos IH 2 AIB 2 IA 3 Xét tam giác IHA vuông H , ta có: 2 R S m2 2 12 Diện tích hình quạt IACB : 1 S1 S S IAB sin1200 m 12 2 12 16 Diện tích phần tô đậm : 3 V1 h.S1 3 m 12 16 Thể tích phần khơng chứa nước téc nước hình trụ : Thể tích nước téc : Câu 3: 1 V 2 3 3 3 m 1,896 m3 12 16 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : x y z 0 Biết mặt phẳng P chứa : x y z 1 1 mặt phẳng tạo với góc nhỏ có phương trình dạng x by cx d 0 Giá trị b c d là: A 23 B C Lời giải D Chọn A M 3; 4; 3 Gọi M giao điểm mặt phẳng Trên lấy điểm I bất kì, gọi H hình chiếu vng góc I mặt phẳng , K P , IKH d H hình chiếu vng góc đường thẳng Khi IH IH sin IKH IK IM nên IKH Ta có: nhỏ K trùng M Khi K trùng M IM d n P u , ud u , u , n 7;10; 13 Nên: Vậy phương trình mặt phẳng: P : x 10 y 13z 20 0 Câu 4: Cho hàm số P : x 1 10 y 13 z 1 0 f x x ax bx c có đồ thị C Biết tiếp tuyến d C điểm A có C điểm B có hồnh độ (xem hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hồnh độ cắt hạn d m n bằng: C m m (phần gạch chéo) n (với m, n nguyên dương phân số n tối giản) Giá trị A 29 B 15 C 31 Lời giải D 13 Chọn C d : g x mx n Giả sử phương trình tiếp tuyến g x f x x3 ax m b x n c Có: Dựa vào giả thiết nên: g x f x x ax m b x n c x 1 Nên diện tích hình phẳng: Vậy m n 31 Câu 5: x 2 27 x 1 x dx 1 Có số thực m để phương trình x m log x x 3 x x log x m có nghiệm thực phân biệt: B A vô số C Lời giải D Chọn B x m log Ta có x x 3 x x log x m 2.4 x m log x x 2 x 2.2 x 2x 2 2x x 3 x log x m log x x 3 22 x m log x m log x x 3 22 x m 2 log x m (*) t Xét hàm số f t 2 log t , t f ' t 2t.log t.ln t 2t Suy phương trình (*) 0, t y f t t ln hàm số đồng biến R f x m f x x 3 x m x x 2m x x x m x x 2m x Ta vẽ đồ thị hai hàm số y x x 1 C1 ; y x 1 C2 hệ trục tọa độ 3 m 2m 3 2m 1 m 1 2m 2 m Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt Suy có giá trị m Câu 6: Có số phức z thỏa mãn A z i z z 2i z i z C Lời giải B số thực: D Chọn D Giả sử số phức z x yi; x, y Khi 2 z i z z 2i x y 1 có: z i z x 16 y 0 1 x yi x y i x y x y x y i x y 0 x 2 y Từ phương trình y 2 1 ; số thực nên ta 2 ta có x 2 y 3 y Vậy tồn hai số phức thỏa mãn yêu cầu toán x 2 y x 2 y 4 x 16 y 0 y y 0 Câu 7: sin xdx a ln b c 16 sin x cos x Biết tích phân , với a, b, c số nguyên Giá trị a b c A Chọn C B C Lời giải D 11 sin xdx cos xdx A B sin x cos x 0 sin x cos x Đặt sin x cos x 16 16 A B dx dx dx x x 2 sin x cos x 0 sin x 2sin cos 2 6 2 6 Ta có: x x cos 6 d tan 1 1 6 6 dx dx 20 20 20 x x x 2 x 2 x 2sin cos tan cos tan 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 x ln tan 2 6 1 ln ln Mặt khác ta lại có sin x 3cos x A 3B dx sin x sin x cos x Ta có hệ phương trình cos x dx cos x A B ln A 3B 1 sin x 1 3 A 3B ln A ln A 3B 1 3 A ln 3ln 16 4 16 Vậy a 3; b 4; c a b c 3 Câu 8: P : x y z 0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng Viết phương Q P P trình mặt phẳng song song với mặt phẳng , cách khoảng cắt trục Ox điểm có hoành độ dương A Q : x y z 0 C Q : x y z 19 0 B Q : x y z 14 0 D Lời giải Q : x y z 0 Chọn B Ta có, Chọn Q song song P nên phương trình mặt phẳng Q : x y z C 0 ; C M 0;0;5 P d P ; Q d M ; Q Ta có 5C 3 C 4 C 14 2 1 2 C 4 Q : x y z 0 trường hợp có hồnh độ âm nên Q cắt Ox điểm M 7;0;0 có hồnh độ dương Q : x y z 14 0 thỏa đề Vậy phương trình mặt phẳng Câu 9: M 2;0;0 Q không thỏa đề C 14 Q : x y z 14 0 Q cắt Ox điểm Q : x y z 14 0 M 3;0; S : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm mặt cầu x 1 2 y z 9 cắt mặt cầu S Qua điểm M vẽ ba tia Mu ; Mv ; Mw đôi vng góc với điểm A ; B ; C Gọi E đỉnh đối diện với đỉnh M hình hộp chữ nhật có ba cạnh MA ; MB ; MC Biết điểm E thuộc mặt cầu cố định ba tia Mu ; Mv ; Mw thay đổi thỏa mãn đề Tính bán kính mặt cầu đó: A C 13 Lời giải B D 11 Chọn D S có tâm I 1; 2; , bán kính R 3 Mặt cầu G x; y; z Gọi trọng tâm tam giác ABC MA MB MC 3MG ME ; IA IB IC 3IG 2 2 2 MG MG MA MB MC MA MB MC MA MB MB MC MC MA MA2 MB MC Lại có: IG 9 IG IA IB IC 3 IA2 IB IC 2 2 IA IB IC IA.IB IB.IC IC.IA IA IB IB IC IC IA 2 2 3 IA2 IB IC AB BC CA2 3 IA2 IB IC MA2 MB MC IG 9 R 18MG IG MG 9 x 1 2 2 y z x 3 y z 9 2 7 2 11 x y z 4 3 3 7 11 I1 ; ; R1 Điểm G thuộc mặt cầu tâm 3 , bán kính 2 MI1 ; ; MI 3MI1 3 Mà ; ME 3MG I ; E ảnh I1 ; G qua phép vị tự tâm M , tỷ số k 3 R 11 Vậy điểm E thuộc mặt cầu tâm I , bán kính Câu 10: Cho hàm số f x f 1 1 y f x có đạo hàm Đồ thị hàm số hình bên Có bao 0; y f sin x cos x a a nhiêu số nguyên dương để hàm số nghịch biến ? B A D C Vô số Lời giải Chọn B g x f sin x cos x a g x f sin x cos x a Đặt cos x f sin x 2sin x f sin x cos x a g x f sin x cos x a Ta có cos x f sin x 2sin x 4 cos x f sin x sin x x 0; cos x 0,sin x 0;1 f sin x sin x Với 0; f sin x cos x a 0, x 0; g x 2 Hàm số nghịch biến f sin x 2sin x a, x 0; 2 4 f t 2t a, t 0;1 Đặt t sin x (*) Xét h t 4 f t 2t h t 4 f t 4t 4 f t 1 Với t 0;1 Do (*) h t h t nghịch biến a h 1 4 f 1 2.12 3 0;1 Vậy có giá trị nguyên dương a thỏa mãn