20 đề thi thử TN THPT 2021 môn toán penbook đề số 20 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu Hàm số x − x + có điểm cực trị ? A B C D Câu Cho log a b > a, b số thực với a ∈ ( 0;1) Khi kết luận sau đúng? A b > B b > C < b ≠ D < b < Câu Tìm đạo hàm hàm số y = 102x +1 2x + 1) 102x +1 ( y′ = 2x A y′ = ( 2x + 1) 10 B C y′ = 2.102x ln10 D y′ = 20.102x ln10 ln10 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M ( 2; −3) điểm biểu diễn số phức z Khi số phức z có phần thực, phần ảo A -3 B -3 C -2 D Câu Cho số phức z thỏa mãn z = z Trong khẳng định sau, đâu khẳng định đúng? A z số ảo Câu Cho hàm số y = B z số thực C z = D –z số ảo 2x − Mệnh đề sau sai ? x+2 A Hàm số đồng biến tập xác định B Hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) C Hàm số khơng có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ D Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Câu Cho bảng biến thiên hàm số y = f(x) nửa khoảng ( −2;3] hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A Hàm số khơng có điểm cực đại y = B max x∈( −2;3] y = −3 C x∈( −2;3] D Cực tiểu hàm số Câu Có 10 sách Tốn khác Chọn cuốn, hỏi có cách ? A 30 B C10 C A10 D 310 Trang Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) có phương trình x + y − z + = 2x − y + 2z − = Vectơ sau vectơ phương đường thẳng d? uu r A n1 = ( 1; −4; −3) uur B n = ( 1; 4; −3) Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − uu r C n = ( 2;1;3) ( x + 1) x2 − + C A ∫ f ( x ) dx = 2 ( x + 1) C ∫ f ( x ) dx = x2 + + C 2 ( x + 1) Câu 11 Đồ thị hàm số y = A uur D n = ( 1; −2; −2 ) x2 − + C B ∫ f ( x ) dx = ( x + 1) D ∫ f ( x ) dx = x2 + + C ( x + 1) 16 − x có đường tiệm cận? − x + 4x − B C D a Câu 12 Cho số thực a, b, c thỏa mãn log a b = 2, log a c = Tính giá trị T = log c b A T = B C T = − 2 D − Câu 13 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = 3− x B y = 3x C y = log x D y = − log x Câu 14 Hàm số sau đồng biến khoảng xác định nó? A f ( x ) = 2x − B f ( x ) = ln x −x C f ( x ) = e + x D f ( x ) = 2x + x +1 Câu 15 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) Đồ thị y = f ′(x) cho hình vẽ bên Giá trị nhỏ f(x) đoạn [ 0;3] A f(0) B f(2) C f(3) D khơng xác định Câu 16 Cho hình nón có chu vi đáy 8π cm thể tích khối nón 16π cm3 Khi đường sinh l hình nón có độ dài A l = cm B l = cm C l = cm D l = cm Trang Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I ( 1; −1; ) cắt mặt phẳng ( α ) : x − 2y + 2z − = theo giao tuyến đường trịn có bán kính r = Khi diện tích mặt cầu (S) A 5π B 52π C 24π D 13π Câu 18 Biết z = − 2i nghiệm phức phương trình z + az + b = với a, b ∈ ¡ Khi a − b bao nhiêu? A a − b = −7 B a − b = Câu 19 Tính giá trị lớn hàm số y = sin x − A B C a − b = −3 khoảng 27 cos x C D a − b =  π  0; ÷  2 D 2 Câu 20 Biết C n + C n = 210 Hỏi đâu khẳng định ? A n ∈ ( 5;8 ) B n ∈ ( 10;15 ) C n ∈ ( 22; 25 ) D n ∈ ( 19; 22 ) Câu 21 Tìm cơng thức tính diện tích S hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b hình c b a c A S = ∫ [ f (x) − g(x) ] dx + ∫ [ g(x) − f (x) ] dx c b a c S = ∫ [ g(x) − f (x) ] dx + ∫ [ f(x) − g(x) ] dx B b C S = ∫ [ g(x) − f (x)] dx a b D S = ∫ [ f(x) − g(x)] dx a Câu 22 Phương trình x − 3.3x + = có hai nghiệm x1 , x với x1 < x Tính giá trị A = 2x1 + 3x A A = B A = log C A = 3log D A = Câu 23 Biết hàm số y = − x + 2x − có đồ thị bốn đồ thị liệt kê phương án A, B, C, D Hỏi đồ thị nào? A B C D Trang e 2 Câu 24 Cho tích phân I = ∫ x ln xdx Mệnh đề sau đúng? e e B I = x ln x − e e e 2 A I = x ln x − 2∫ x ln xdx e e C I = x ln x − ∫ x ln xdx 31 2 x ln xdx ∫1 e D I = x ln x − ∫ x ln xdx 1 Câu 25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxyz, điểm M điểm biểu diễn số phức z Biết số phức w = z + i biểu diễn bốn điểm P, Q, R, S hình vẽ Hỏi điểm biểu diễn w điểm nào? A P B Q C R D S Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, · · ABC = ASC = 60° Biết SA vng góc với mặt đáy (ABCD) Thể tích V khối chóp S.ABCD A V = a3 a3 C V = a3 D V = Câu 27 Biết 3a B V = dx ∫ ( x + 1) ( x − ) = a ln + b ln + c, với a, b, c số hữu tỉ Tính S = a − 3b + c A S = B S = C S = −2 D S = Câu 28 Cho khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ tích V Một hình nón có đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD đỉnh tâm hình vng A′B′C′D′ Khi thể tích khối nón A V B V C πV 12 D πV Câu 29 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y − mz + = đường thẳng ∆ : x −1 y z + = = (với m, n ∈ ¡ n ≠ ) Biết ∆ vng góc với (P) Khi tổng m + n −2 n bao nhiêu? A m + n = −2 B m + n = C m + n = D m + n = −5 Trang Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật AB = 2a, BC = a Biết hình chiếu vng góc S xuống mặt đáy (ABCD) trung điểm H AB Biết góc tạo mặt (SBC) (ABCD) 60° Tính khoảng cách h hai đường thẳng SC HD A h = a 66 11 B h = a 264 11 C h = a 30 D h = a 30 Câu 31 Biết y = 2017x − 2018 phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm có hồnh độ x = x Biết g(x) = xf (x) − 2017x + 2018x − Tính giá trị g′ ( x ) A g′ ( x ) = B g′ ( x ) = C g′ ( x ) = −2018 D g′ ( x ) = 2017 Câu 32 Cho hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm cấp hai ¡ có đồ thị (C) hình vẽ Biết ∆ tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = Tính tích phân I = ∫ xf ′′ ( x ) dx A C B D  x2 +1  Câu 33 Cho hàm số y = log  log5 ÷ có tập xác định D Khi có số thuộc tập hợp x +3   D số nguyên ? A B C D Câu 34 Trong không gian Oxyz, cho vật thể nằm hai mặt phẳng x = x = π, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, ( ≤ x ≤ π ) tam giác cạnh sin x Tính thể tích vật thể A V = 3π B V = Câu 35 Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = C V = D V = 8π ax + b cx + d Mệnh đề sau đúng? A ad > bc > B > ad > bc C ad < bc < D < ad < bc Trang Câu 36 Tổng góc tất mặt khối đa diện loại { 5;3} A 12π B 18π Câu 37 Tính ( sin x + cos x + 1) lim x→ D 36π + 2018 ( sin x − ) 4x − π2 x π 22019 A π C 24π 2018 1009.22017 B − π2 22018 C − π dx = ln Câu 38 Cho a, b số thực dương thỏa mãn ∫ ax + b a 1009.22018 D π2 dx ∫ bx + a = b ln 2a + Khi tổng T = a + b ? A T = B T = Câu 39 Cho số phức z thỏa mãn ( − i ) z − C T = D T = 25 = − 2i Khi z thuộc khoảng khoảng z sau? A ( 2; ) B ( 4;6 ) C ( 9;11) D ( 11;14 ) x Câu 40 Xét hàm số f (x) = e ( a sin x + b cos x ) với a, b tham số thực Biết tồn x ∈ ¡ để f ′(x) + f ′′(x) = 10e x Khi đó, nhận định sau đúng? A a + b = 10 B a + b ≥ 10 C a − b ≤ 10 D a + b = 10 Câu 41 Gọi S tập hợp số có ba chữ số có dạng abc Tính xác suất để rút ngẫu nhiên số từ tập S thỏa mãn a, b, c ba cạnh tam giác cân, đồng thời tam giác nhọn A 72 B 50 C 25 D 61 900 Câu 42 Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho điểm A ( −1; −4; ) , B ( 1;7; −2 ) , C ( 1; 4; −2 ) Mặt phẳng ( P ) : 2x + by + cz + d = qua điểm A Đặt h1 = d ( B, ( P ) ) ; h = 2d ( C, ( P ) ) Khi h1 + h , đạt giá trị lớn nhất, tính T = b + c + d A T = 52 B T = 33 C T = 65 D T = 77 Câu 43 Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa hai mặt phẳng vng góc với · · Biết BC = a, BAC = 60°, BDC = 30° Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A V = 39πa 54 B V = 13 39πa 54 C V = 13 39πa 27 D V = πa 27 3 Câu 44 Cho hàm số f (x) = ( m − 1) x + 3x + ( m − ) x + Biết f(x) ≤ với ∀ x ∈ [ 3;5] Khi có tất số nguyên m thuộc đoạn [ −100;100] ? A 100 B 101 C 99 D 201 Trang Câu 45 Có giá trị nguyên m ∈ [ −10;10] để phương trình π m  sin  2x − ÷− 3  2018 log 2019 ( sin 2x − m + 12 ) = log 2019 A (  π 5π  cos 2x + 12 có nghiệm thuộc  ;  ?   ) B C D Câu 46 Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên sau Khi phương trình f ( x ) = m có bốn nghiệm x1 , x , x , x thỏa mãn x1 < x < x < < x A < m < B < m < C < m < D < m < Câu 47 Cho dãy số ( u n ) với u1 = u n +1 = 2u n 3u 3n + với ∀n ≥ Hỏi có tất số hạng   ;1 ? dãy ( u n ) có giá trị thuộc đoạn   2018  A 31 B 30 C 2017 D 2018 Câu 48 Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 − + 3i = z − + i = z + + 3i Giá trị nhỏ biểu thức T = z1 − z bao nhiêu? A B 15 C 10 D Câu 49 Cho hình trụ (T) có bán kính đáy chiều cao R, hai đáy hai hình trịn (O) (O′) Gọi AA′ BB′ hai đường sinh (T) M điểm di động đường trịn (O) Thể tích lớn khối chóp M.AA′B′B bao nhiêu? A R3 B R3 C 3R 3 D R3 Câu 50 Cho khối đa diện tám mặt (bát diện đều) tích V Gọi V′ thể tích khối đa diện có đỉnh trọng tâm mặt khối tám mặt cho Tính tỉ số A B C V′ V D Trang Đáp án 1-C 11-A 21-A 31-A 41-C 2-D 12-C 22-C 32-D 42-C 3-D 13-B 23-D 33-B 43-B 4-D 14-B 24-C 34-C 44-B 5-B 15-B 25-D 35-C 45-D 6-A 16-C 26-D 36-D 46-B 7-B 17-B 27-B 37-B 47-A 8-B 18-A 28-D 38-D 48-C 9-A 19-A 29-A 39-B 49-B 10-C 20-D 30-C 40-B 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Ta có ab = −1 < 0, suy hàm số có điểm cực trị Chú ý: Hàm số trùng phương y = ax + bx + c (với a ≠ ) +) Có cực trị ab ≥ +) Có cực trị ab < a ∈ ( 0;1) ⇒ < b < Câu 2: Do  log a b > a, b ∈ ( 0;1) a ∈ ( 0;1) a > Chú ý: log a b > ⇔  log a b < ⇔   b >  b ∈ ( 0;1) a, b > Câu 3: Ta có ( a u ) ′ = u′a u ln a ⇒ y′ = ( 102x +1 ) ′ = 2.102x +1 ln10 = 20.10 2x ln10 Câu 4: Ta có M ( 2; −3) ⇒ z = − 3i ⇒ z = + 3i ⇒ z có phần thực, phần ảo Câu 5: Đặt z = a + bi, đó: z = z ⇔ a + bi = a − bi ⇔ 2bi = ⇒ z = a số thực Câu 6: TXĐ: ¡ \ { −2} Ta có y′ = ( x + 2) > 0, ∀x ≠ −2 Suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) Suy A sai (đúng phải hàm số đồng biến khoảng xác định nó) Chú ý : Ở B hàm số đồng biến ( −2; +∞ ) đồng biến ( 2; +∞ ) Câu 7: +) Hàm số đạt cực đại x = → A sai y = → B +) Giá trị lớn hàm số max x∈( −2;3] +) Hàm số không xác định x = −2 ⇒ giá trị nhỏ → C sai +) Cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu hàm số Nên cực tiểu hàm số → D sai Câu 8: Chọn sách từ 10 (không quan tâm tới thứ tự) nên số cách chọn là: C10 Trang r  n ( P ) = ( 1;1; −1) r r r ⇒ u d =  n ( P ) , n ( Q )  = ( 1; −4; −3) Câu 9: Ta có  r  n ( Q ) = ( 2; −1; )   x2 dx = + + C ÷ Câu 10: Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫  x −  ÷ x + x + ( ) ( )   −2 ≤ x ≤ 16 − x ≥ ⇔ ⇔ x ∈ [ −2; 2] \ { 1} ⇒ Đồ thị hàm số khơng có tiệm Câu 11: Điều kiện   x ≠ 1, x ≠  − x + 4x − ≠ y ) cận ngang (Vì không chứa −∞ +∞ nên không tồn xlim →+∞ x = Xét − x + 4x − = ⇔  x = +) Với x = ⇒ 16 − x = 15 ≠ ⇒ x = tiệm cận đứng +) Với x = ⇒ 16 − x không xác định nên x = tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng đường x = Câu 12: Ta có T = log c log a b a 1 = log c a − log c b = − = − =− b 2 log a c log a c 2.3 Câu 13: Hàm số xác định tập ¡ → Loại C, D Hàm số đồng biến ( −∞; +∞ ) → Loại A   Câu 14: Ta dễ thấy hàm số f (x) = ln x đồng biến ( 0; +∞ )  y′ = > 0, ∀x > ÷ x   Câu 15: Ta có dấu f ′ ( x ) [ 0;3] sau: Suy bảng biến thiên: f ( x ) = f ( 2) Suy [ 0;3] Câu 16: Ta có C = 2πr = 8π ⇒ r = cm 2 Suy ra: V = πr h = 16π ⇒ h = cm ⇒ l = r + h = cm Trang Câu 17: Ta có: h = d ( I, ( α ) ) = 1+ + −1 =2 ⇒ R = h + r = + = 13 ⇒ S = 4πR = 52π Câu 18: Cách 1: Do z = − 2i nghiệm thức phương trình z + az + b = ⇒ ( − 2i ) + a ( − 2i ) + b = a + b − = a = −2 ⇔ a + b − − ( a + 2) i = ⇔  ⇔ ⇒ a − b = −7 a + = b = Cách 2: Phương trình bậc với hệ số thực có nghiệm phức số phức liên hợp Suy phương trình cho có nghiệm z1 = − 2i z = + 2i a = − ( z1 + z ) = −2 ⇒ ⇒ a − b = −7 b = z1.z =  π 2 Câu 19: Đặt cos x = t ⇒ sin x = − t , x ∈  0; ÷⇒ t ∈ ( 0;1)  2 Khi y = − t − 2 ⇒ y′ = −2t + , y′ = ⇔ t = ∈ ( 0;1) 27t 27t 1 y = y  ÷= Dựa vào bảng biến thiên, ta có max ( 0;1)  3 n ∈ ¥ * Khi phương trình tương đương: Câu 20: Điều kiện  n ≥ n+ n ( n − 1)  n = 20 n ≥2 = 210 ⇔ n + n − 420 = ⇔  → n = 20 ∈ ( 19; 22 )  n = −21 Câu 21: Dựa vào hình vẽ cho ta biết: +) Trên [ a;c ] : f (x) ≥ g(x) hay f (x) − g(x) ≥ +) Trên [ c; b ] : g(x) ≥ f(x) hay g(x) − f(x) ≥ b c b a a c Do đó: S = ∫ g(x) − f (x) dx = ∫ f (x) − g(x) dx + ∫ f (x) − g(x) dx c b a c = ∫ [ f (x) − g(x) ] dx + ∫ [ g(x) − f (x) ] dx 3x = x = x x ⇔ ⇒ A = 2x1 + 3x = 3log Câu 22: Phương trình − 3.3 + = ⇔  x x = log =   Câu 23: Ta có a = −1 < 0, suy “điểm cuối” đồ thị có hướng xuống loại C Ta có ab = −2 < 0, suy hàm số có cực trị → loại B Trang 10 Do d = −1 < 0, suy đồ thị cắt trục hoành Oy điểm có hồnh độ âm ln x  du = dx e e   u = ln x  x 2 ⇔ I = x ln x − x ln xdx Câu 24: Đặt  Khi  3 ∫1 dv = x dx v = x  Câu 25: Ta có M ( x;1) ⇒ z = x + i ⇒ w = z + i = x ⇒ điểm biểu diễn w điểm S · Câu 26: Do ABC tam giác cân ABC = 60° nên tam giác ABC ⇒ SABCD = 2SABC = Lại có: SA = a2 AC a a a3 = = ⇒ V = SA.SABCD = · tan 60° tan ASC Câu 27: dx x−2 = ln Ta có I = ∫ x + 1) ( x − ) x + ( = ln = ln − ln + = a ln + b ln + c a =   Do a, b, c ∈ ¤ ⇒ b = − ⇒ S = a − 3b + c =  c = Chú ý: Ta có cơng thức tính nhanh tích phân dx ax + b ∫ ( ax + b ) ( cx + d ) = ad − bc ln cx + d Câu 28: Gọi cạnh hình lập phương a ta có V = a Hình nón có đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD đỉnh tâm hình vng A′B′C′D′  a 1 πV R = ⇒ ⇒ V( N ) = hπR = πa = 6 h = a  r  n ( P ) = ( 1; 2; − m ) r r Do ∆ vng góc với (P), suy n ( P ) , u ∆ phương Câu 29: Ta có  r  u ∆ = ( −2; n; ) Do đó:  n = −4 −m = = ⇔ ⇒ m + n = −2 −2 n m = Câu 30: Dựng hình bình hành HDCE Suy HD / /CE ⇒ HD / / ( SCE ) Khi đó: h = d ( HD,SC ) = d ( HD, ( SCE ) ) = d ( H, ( SCE ) ) = HK (như hình vẽ) Ta có: EC = HD = AH + AD = a Trang 11 Suy ra: HI = SHDCE SABCD 2a = = = a EC EC a · = 60° Tam giác SAB cân S ( SB, ( ABCD ) ) = SBA Suy ∆SAB cạnh AB = 2a ⇒ SH = a Ta có: 1 1 = + = 2+ = 2 HK SH HI 3a 2a 6a ⇒ HK = a 30 a 30 Vậy d ( HD,SC ) = 5 Câu 31: Ta có: g′ ( x ) = f ( x ) + xf ′ ( x ) − 4034x + 2018 Suy ra: g′ ( x ) = f ( x ) + x 0f ′ ( x ) − 4034x + 2018 (*) f ′ ( x ) = 2017 Gọi M ( x ;f ( x ) ) tiếp điểm tiếp tuyến, suy ra:  (2*) f ( x ) = 2017x − 2018 Thay (2*) vào (*), ta g′ ( x ) = 2017x − 2018 + x 2017 − 4034x + 2018 = dt = 2xdx Câu 32: Đặt t = x ⇒  x : → ⇒ t : → 1 Khi đó: I = 1 1 f ′′ ( t ) dt = f ′ ( t ) = ( f ' ( 1) − f ' ( ) ) (*) ∫ 20 2 Do hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị x = ⇒ f ′ ( 1) = Phương trình đường thẳng ∆ : x y + = ⇔ y = − x + (1) 1 Suy hệ số góc đường thẳng ∆ −1 ⇒ f ′ ( ) = −1 (2) 1 Thay (1), (2) vào (*), ta được: I = ( − ( −1) ) = 2  x2 +1  x2 +1 ≤1 Câu 33: Điều kiện log  log5 ÷ ≥ = log 1 ⇔ < log x +3  x +3  ⇔ log < log x2 +1 x2 +1 ≤ log 5 ⇔ < ≤5 x +3 x +3   −3 < x < −1  x2 − x −  >  x +  −2 ≤ x < −1  x > ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ D = [ −2; −1) ∪ ( 2;7 ] 2 < x ≤  x − 5x − 14 ≤   x < −3  x +   −2 ≤ x ≤  x ∈ D → x ∈ { −2;3; 4;5;6;7} : có số ngun Khi đó:  x ∈ ¢ Trang 12 sin x có diện tích: S ( x ) = ( Câu 34: Tam giác cạnh π π 0 ) sin x = sin x π Suy thể tích vật thể là: V = ∫ S ( x ) dx = ∫ sin xdx = − cos x = − ( −1 − ) = Câu 35: Dựa vào đồ thị ta có: +) Hàm số nghịch biến khoảng xác định, suy ra: y′ = ad − bc ( cx + d ) < 0, với x ≠ − d ⇔ ad − bc < ⇔ ad < bc ( *) → loại A, B c +) Đồ thị cắt trục hồnh Ox điểm có hồnh độ x = − +) Đồ thị có tiệm cận ngang y = b > ⇔ ab < (1) a a > ⇔ ac > (2) c Từ (1), (2) ⇒ a bc < ⇔ bc < (2*) (vì a ≠ ) Từ (*), (2*) ⇒ ad < bc < Câu 36: Để trả lời câu hỏi ta cần xác định khối đa diện loại { 5;3} có mặt mặt có đỉnh (cạnh) ? +) Loại { 5;3} cho ta biết mặt có đỉnh (5 cạnh) hay mặt ngũ giác (chia thành tam giác), suy tổng góc mặt là: 3.180° = 3π (rad) (*) +) Loại { 5;3} khối đa diện mười hai mặt đều, nên có 12 mặt (2*) Từ (*) (2*), suy tổng góc tất mặt là: 12.3π = 36π Chú ý: Một đa giác n cạnh (n đỉnh) có tổng góc là: ( n − ) 180° = ( n − ) π Câu 37: Ta có: ( sin x + cos x + 1) L = lim x→ + 2018 ( sin x − ) 4x − π2 x π 2018 ( sin x + cos x + 1) 2018 + 2018 sin x  − 2019  = limπ  π π  x→ x− 4x  x + ÷ 2  Đặt f ( x ) = ( sin x + cos x + 1) 2018 + 2018.sin x π π L = f ′  ÷.limπ = f ′  ÷ Khi   x → 4x  x + π    2π  ÷ 2  Ta có: f ′ ( x ) = 2018 ( sin x + cos x + 1) Suy L = −2018.22017 2017 π ( cos x − sin x ) + 2018.cos x ⇒ f ′  ÷ = −2018.2 2017 2 1009.22017 = − 2π2 π2 Trang 13 f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 Chú ý: Cho hàm số y = f ( x ) f ′ ( x ) = xlim →x Câu 38: Với a, b > 0, ta có: +) dx ∫ ax + b = a ln ax + b +) dx ∫ bx + a = b ln bx + a ⇒ 2a + b 2a + b = ln = ln ⇒ = ⇔ 2a = 3b (*) a b a b = 2b + a 2a + ln = ln b a b 2b + a 2a + = ⇔ 6b + 3a = 2a + a (2*) a Thay (*) vào (2*), ta được: a = a >0 ( *) 4a + 3a = 2a + a ⇔ 2a ( a − 3) = ⇔  → a =  → b = a = Suy T = a + b = Câu 39: Điều kiện toán tương đương: ( − i) z − + 2i = 25 25 ⇔ ( z − 6) − ( z − 2) i = z z ⇒ ( z − 6) − ( z − 2) i = 25 ⇔ z Đặt t = z > 0, (*) có dạng: ( z − 6) + ( z − 2) ( 2t − ) 2 + ( t − 2) = 25 = z (*) 25 625 ⇔ 5t − 28t + 40 = t t ⇔ 5t − 28t + 40t − 625 = ⇔ ( t − ) ( 5t − 3t + 25t + 125 ) = (2*) 2 Do ( 5t − 3t + 25t + 125 ) = ⇔ t ( 5t − 3t + 25 ) + 125 > 0, ∀t > 0, suy ra: (2*) ⇔ t = ⇔ z = ∈ ( 4;6 ) x x Câu 40: Ta có: f ′ ( x ) = e ( a sin x + b cos x ) + e ( a cos x − b sin x ) = e x ( a − b ) sin x + ( a + b ) cos x  = e x [ A sin x + B cos x ] với A = a − b; B = a + b ⇒ f ′′ = e x ( A − B ) sin x + ( A + B ) cos x  = e x ( −2b sin x + 2a cos x ) x x Suy ra: 10e = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) = e ( a − 3b ) sin x + ( 3a + b ) cos x  ⇔ ( a − 3b ) sin x + ( 3a + b ) cos x = 10 Điều kiện phương trình có nghiệm: ( a − 3b ) + ( 3a + b ) ≥ 102 ⇔ a + b ≥ 10 2 Câu 41: Số số có ba chữ số là: n ( Ω ) = 9.10.10 = 900 Gọi A biến cố rút số từ tập S thỏa mãn a, b, c ba cạnh tam giác vừa cân, vừa nhọn Trang 14 Do tam giác cân, nên ta gọi ba cạnh tam giác là: a;b;c với a=c Gọi α góc đỉnh cân (hình vẽ) Khi tam giác nhọn ⇔ cos α = 2a − b > ⇔ 2a > b 2a  2a > b ⇔ 2a > b Vậy điều kiện để tam giác cân đồng thời nhọn là:  2 2a > b  +) Với a = ⇒ b = ⇒ ∆ lấy từ số 111, nghĩa có cách +) Với a = ⇒ b ∈ { 1; 2} ⇒ số khả + = (cách) (gồm tam giác đều, tam giác cân không đều) +) Với a = ⇒ b ∈ { 1; 2;3; 4} ⇒ số khả + 3.3 = 10 (cách) +) Với a = ⇒ b ∈ { 1; 2;3; 4;5} ⇒ số khả + 4.3 = 13 (cách) +) Với a = ⇒ b ∈ { 1; 2;3; 4;5;6;7} ⇒ số khả + 6.3 = 19 (cách) +) Với a = ⇒ b ∈ { 1; 2;3; 4;5;6;7;8} ⇒ số khả + 7.3 = 22 (cách) +) Với a ∈ { 7;8;9} ⇒ b ∈ { 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} ⇒ số khả ( + 8.3) = 75 (cách) Suy n ( A ) = + + 10 + 13 + 19 + 22 + 75 = 144 Vậy xác suất cần tính là: P ( A ) = n ( A ) 144 = = n ( Ω ) 900 25 Câu 42: Ta dựng thêm điểm D cho C trung điểm AD ⇒ D ( 3;12; −8 ) Gọi H1, H3 hình chiếu vng góc B, D lên mặt phẳng (P) Khi đó: d ( D, ( P ) ) = 2d ( C, ( P ) ) = h = DH Trường hợp 1: B, C phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ)  19  Gọi I, H trung điểm BD, H1H3 ⇒ I  2; ; −5 ÷   Suy ra: h1 + h = BH1 + DH = 2IH ≤ 2IA = 33 (*) Trường hợp 2: B, C khác phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ) Suy ra: h1 + h ≤ BI + DI = BD = 65 (2*) Từ (*), (2*) suy ra: ( h1 + h ) max = 33 Dấu “=” xảy IA ⊥ ( P ) uuur uur  27  ⇒ n ( P ) = IA =  −3; − ;9 ÷/ / ( 2;9; −6 )   Trang 15 Suy phương trình ( P ) : ( x + 1) + ( y + ) − ( z − ) = b =  ⇔ ( P ) : 2x + 9y − 6z + 62 = ⇒ c = −6 ⇒ T = 65 d = 62  Câu 43: Do ( ABC ) ∩ ( DBC ) = BC ( ABC ) ⊥ ( DBC ) nên theo mô hình 3, ta có:  BC  R c = R 12 + R 22 −  ÷ với R , R bán kính đường tròn   ngoại tiếp tam giác ABC DBC BC a a   R1 = 2sin A = 2sin 60° = Ta có:  a  R = BC = =a  2sin D 2sin 30°  a  a 39 13 39πa  a  ⇒ Rc =  + a − = ⇒ V = πR c =  ÷ ÷ 54  3  2 Câu 44: Ta có: f ( x ) ≤ với ∀x ∈ [ 3;5] ⇔ ( m − 1) x + 3x + ( m − ) x + ≤ 0, ∀x ∈ [ 3;5] ⇔ ( mx ) + 3mx ≤ x − 3x + 6x − 4, ∀x ∈ [ 3;5] ⇔ ( mx ) + 3mx ≤ ( x − 1) + ( x − 1) , ∀x ∈ [ 3;5] 3 ⇔ g ( mx ) ≤ g ( x − 1) với g ( t ) = t + 3t hàm số đồng biến ⇔ mx ≤ x − 1, ∀x ∈ [ 3;5] ⇔ m ≤ Ta có h ′ ( x ) = Vậy m ≤ x −1 = − = h ( x ) , ∀x ∈ [ 3;5] ⇔ m ≤ h ( x ) [ 3;5] x x > 0, ∀x ∈ [ 3;5] , suy h ( x ) đồng biến [ 3;5] ⇒ h ( x ) = h ( 3) = [ 3;5] x m∈[ −100;100]  → m : −100 → 0, nghĩa có 101 số ngun m m∈¢ Câu 45: Ta có: π m m sin 2x − cos x − m  sin  2x − ÷− = sin 2x − cos 2x − = 3 2 2   u = sin 2x − m + 12 , phương trình có dạng: Đặt   v = cos 2x + 12 2018 u −v log 2019 u = log 2019 ( v⇔ ( ) 2018 ) 2018 u v log 2019 u = log 2019 v Trang 16 ⇔ ( ) u 2018 log 019 u = ( ) v 2018 log 2019 v ⇔ f ( u ) = f ( v ) f ( t ) = ( ) t 2018 log 2019 t π m  ⇔ u = v ⇔ sin 2x − m + 12 = cos 2x + 12 ⇔ sin  2x − ÷ = (*) 3  π m  π 5π   Do x ∈  ;  ⇒  2x − ÷∈ [ 0;3π] nên để (*) có nghiệm thì: ≤ < 3 6   m∈¢ ⇔ ≤ m <  → m ∈ { 0;1} : có giá trị m thỏa mãn Câu 46: Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , ta suy bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau: Vì tốn quan tâm tới việc thứ tự nghiệm với giá trị x = ta cần tính giá trị hàm số x = Nhưng ta nhận thấy M(0;6) N(2;0) hai điểm cực trị hàm số Khi đó, trung điểm I(1;3) MN thuộc đồ thị hàm số hay f ( 1) = nên ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên này, suy phương trình f ( x ) = m có bốn nghiệm x1 , x , x , x thỏa mãn x1 < x < x < < x < m < Câu 47: Ta có: u n +1 = ⇔ 2u n 3u 3n + ⇔u n +1 8u 3n = ⇔ 8u 3n +1 + 3u 3n u 3n +1 − 8u 3n = 3u n + 8 8 + − = ⇔ = + (*) un u n +1 u n +1 u n ( *) Đặt v n = → v n +1 = v n + 3, suy ( v n ) cấp số cộng có un   v1 = = u1  d =  Trang 17 Khi ⇒ v n = v1 + ( n − 1) d = 3n − ⇒ 8 = 3n − ⇔ u 3n = un 3n −     ;1 ⇔ u 3n ∈  ;1 ⇔ Xét số hạng: u n ∈   2018   2018  ≤ ≤1 2018 3n − n∈¥ * ⇔ ≤ 3n − ≤ 2018 ⇔ 3,3 ≤ n ≤ 34,  → n : → 34, có 31 số hạng  M ( z1 ) , đó: z1 − + 3i = ⇔ MI = với I ( 1; −3) Câu 48: Gọi   M ( z ) Suy M thuộc đường trịn tâm I ( 1; −3) , bán kính R =  A ( 1; −1) Ta có: z − + i = z + + 3i ⇔ z − + i = z + − 3i ⇔ NA = NB đó:   B ( −2;3) Suy N thuộc đường thẳng ∆ : x − 8y + 11 = đường trung trực AB Khi đó: T = z1 − z = MN ≥ M H với H hình chiếu vng góc I ∆ IH ∩ ( C ) = { M } (như hình vẽ) M H = IH − IM Ta có: = d ( I, ∆ ) − R = Suy T ≥ + 24 + 11 +8 2 −4= 10 1 ⇒ Tmin = 10 10 Câu 49: Gọi H hình chiếu vng góc M AB ⇒ MH ⊥ ( AA′B′B ) 1 R Khi đó: VM.AA′B′B = MH.SAA′B′B = MH.AB.AA′ = MH.AB 3 Vậy để ( VM.AA′B′B ) max ⇔ ( MH.AB ) max Khi AB cố định ( MH.AB ) max ⇔ MH max ⇔ M nằm cung lớn AB, suy O ∈ MH ⇒ H trung điểm AB MH = MO + OH = R + x Đặt OH = x ⇒  2 2 AB = 2HB = OB − OH = R − x Suy ra: MH.AB = ( R + x ) R − x Trang 18 ⇔ ( MH.AB ) = ( R + x ) (R − x ) = ( R + x ) ( R + x ) ( R + x ) ( 3R − 3x )  ( R + x ) + ( R + x ) + ( R + x ) + ( 3R − 3x )  27R ≤  ÷ = 3 4  Dấu “=” xảy khi: R + x = 3R − 3x ⇔ x = Suy MH.AB ≤ R 3R R 3R R 3 R3 ⇒ VM.AA′B′B ≤ = ⇒ ( VM.AA′B′B ) max = 2 Câu 50: Gọi SABCDS′ khối đa diện cạnh a 1 a3 Khi đó: VSABCDS′ = SS′.SABCD = a 2.a = 3 Khối đa diện có đỉnh trọng tâm mặt khối tám mặt SABCDS′ hình lập phương có cạnh MN (như hình vẽ bên) Gọi I trung điểm CD Khi đó: MN IM 1 a = = ⇒ MN = SS′ = SS′ IS 3 Khi thể tích hình lập phương: 2a  a  2a V′ = 327 = V′ =  = Suy ÷ ÷ V a 27   3 Chú ý: Khối bát diện cạnh a tích: V = a3 Trang 19 ... 201 8 u −v log 201 9 u = log 201 9 ( v⇔ ( ) 201 8 ) 201 8 u v log 201 9 u = log 201 9 v Trang 16 ⇔ ( ) u 201 8 log 019 u = ( ) v 201 8 log 201 9 v ⇔ f ( u ) = f ( v ) f ( t ) = ( ) t 201 8 log 201 9 t π m... x + π    2π  ÷ 2  Ta có: f ′ ( x ) = 201 8 ( sin x + cos x + 1) Suy L = ? ?201 8. 2201 7 201 7 π ( cos x − sin x ) + 201 8.cos x ⇒ f ′  ÷ = ? ?201 8.2 201 7 2 1009. 2201 7 = − 2π2 π2 Trang 13 f... 39-B 49-B 10-C 20- D 30-C 40-B 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Ta có ab = −1 < 0, suy hàm số có điểm cực trị Chú ý: Hàm số trùng phương y = ax + bx + c (với a ≠ ) +) Có cực trị ab ≥ +) Có cực trị ab