Quyển 2 full hdg

SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ - BẢNG SỐ NGUYÊN TỐ 1) Các số sau nguyên tố hay hợp số: a) Các số 243; 128; 239; 513; 547; 997 hợp số b) Các số 1024;1512; 273 hợp số Các số 881; 181; 607 số nguyên tố 2) Gọi P tập hợp số nguyên tố Điền kí hiệu ;;   vào vng cho đúng: a) 17  P ; 153  P ;  709;823  P  189;147  P; b) 246 P ; P  N 3) Tổng 25 số nguyên tố số chẵn Vì 25 so nguyên tố có số chẵn lại 24 số nguyên tố lẻ Mà tổng hai số lẻ số chẵn nên số chẵn + = số chẵn 4) a) 173 + 1997 = 2170 hợp số ; 2738 - 1933 = 805 hợp số b) 320 + 327 = 647 số nguyên tố ; 173 - 94 = 79 số nguyên tố c) 175 + 193 = 368 hợp số ; 897 - 304 = 593 số nguyên tố d) 480 + 503 = 983 số nguyên tố ; 1786 - 1347 = 439 số nguyên tố 5) a) Sai _ VD: Số b) Đúng _VD: c) Sai _ VD: số chẵn d) Đúng _ VD: 3; 6) :  *   0;2; 4;5;6;8 a) Để 3* hợp số  *   0;1;2;3; 4;5;6;7;8 Để 47* hợp số  *   1; 4;7 Để 5*3 hợp số  *   1;2; 4;5;6;7;8 Để *17 hợp số  *   3;9 b) Để 5* số nguyên tố  *   7 Để * số nguyên tố  *   7 Để 12 * số nguyên tố  *   1; 4;5 Để *99 số nguyên tố  *   4; 5; 7;8 Để ;3*9 số nguyên tố 7) a) Với n= 3n = khơng phải số ngun tố Với n = 3n = số nguyên tố Với n > 3n  => 3n hợp số Vậy với n = 3n số nguyên tố b) Với n= 11n = khơng phải số ngun tố Với n = 11n = 11 số nguyên tố Với n > 11n 11 => 11n hợp số Vậy với n = 11n số nguyên tố c) Với n= 5n = số nguyên tố Với n = 5n = số nguyên tố Với n > 5n  => 5n hợp số Vậy với n = 5n số nguyên tố d)Với n= 7n = số nguyên tố Với n = 7n = số nguyên tố Với n > 7n 7 => 7n hợp số Vậy với n = 7n số nguyên tố 8)Điền vào bảng sau số nguyên tố p mà p2  a a 37 110 127 168 p 2;3;5 2;3;5;7 2;3;5;7;11 2;3;5;7;11 179 2;3;5;7;11;1 191 2;3;5;7;11;1 9) a) 28 = + 23 28 = 11+ b) 35 = + 13 + 19 35 = + 23 + 35 = + 11 + 19 35 = + 11 + 17 35 = + 13 + 17 10*) * Số 579 số lẻ phải tổng số nguyên tố chẵn số nguyên tố lẻ số nguyên tố chẵn Vây 579 = + 577 577 số nguyên tố Do số 579 viết dạng tổng số nguyên tố * Số 1997 số lẻ phải tổng số nguyên tố chẵn số nguyên tố lẻ số nguyên tố chẵn Vây 1997 = + 1995 Mà 1995 hợp số Do số 1997 khơng viết dạng tổng số nguyên tố Bài 11*).Chứng tỏ số sau hợp số: a) 26.6101 + = 64 (…6) + =(…4) + = (…5) chia hết 26.6101 + hợp số b) 2001.2002.2003.2004.2005 – 10 Ta có 2005 5 nên 2001.2002.2003.2004.2005  Mà 10 5 Do 2001.2002.2003.2004.2005 – 10 5 Vậy 2001.2002.2003.2004.2005 – 10 hợp số c) 1991.1992.1993.1994 + 1991.1992.1993.1994 có tận Do 1991.1992.1993.1994 + có tận nên 1991.1992.1993.1994 + chia hết cho Vậy 1991.1992.1993.1994 + hợp số d) 10100 – 10 chia dư nên 10100 chia dư chia dư Do 10100 – chia dư hay 10100 – chia hết cho Vậy 10100 – hợp số e) 111…111 (có 2007 chữ số 1) Ta có tổng chữ số 111…111 (có 2007 chữ số 1) 1 11   20073 2007 chu so1 Vậy 111…111 (có 2007 chữ số 1) hợp số f) 111…111 (có 2006 chữ số 1) 1111 11000 00         1111    1003 chu so1 1003 chu so 1111 1.1000 01        1003 chu so1 1002 chu so 1003 chuso1 1111    chia hết cho 1003 chu so1 Vậy 111…111 (có 2006 chữ số 1) hợp số 12**) a) p + p + 10  xét p = => p + = không nguyên tố  Xét p = => p + = ; p + 10 = 13 số nguyên tố Xét p > ta có dạng p = 3k + 1; p = 3k+2 (k  N) * TH1: p = 3k +1 p + = 3k +1 +2 = 3k +3 chia hết không số nguyên tố * TH2: p = 3k +2 p + 10 = 3k +2 +10 = 3k +12 chia hết không số nguyên tố Vậy với p = p +2 p+10 số nguyên tố b) p + p +  xét p = => p + = không nguyên tố  Xét p = => p + = ; p + = số nguyên tố Xét p > ta có dạng p = 3k + 1; p = 3k+2(k  N) * TH1: p = 3k +1 p + = 3k +1 +2 = 3k +3 chia hết không số nguyên tố * TH2: p = 3k +2 p + = 3k +2 +4 = 3k + chia hết không số nguyên tố Vậy với p = p +2 p + số nguyên tố c) p + 10 p + 14  xét p = => p + = 12 không nguyên tố  Xét p = => p + 13 = 13; p + 14 = 17 số nguyên tố Xét p > ta có dạng p = 3k + 1; p = 3k -1(k  N) * TH1: p = 3k +1 p + 14 = 3k +1 + 14 = 3k + 15 chia hết không số nguyên tố * TH2: p = 3k - p + 10 = 3k -1 + 10 = 3k + chia hết không số nguyên tố Vậy với p = p +10 p + 14 số nguyên tố d) p + 10 p + 20  xét p = => p + 10 = 12 không nguyên tố  xét p = => p + 10 = 13 ; p + 20 = 23 số nguyên tố  xét p > ta có dạng p = 3k + 1; p = 3k+2 (k  N) * TH1: p = 3k +1 p + 20 = 3k +1 +20 = 3k + 21 chia hết không số nguyên tố * TH2: p = 3k +2 p +10 = 3k +2 +10 = 3k + 12 chia hết không số nguyên tố Vậy với p = p + 10 p + 20 số nguyên tố e) p + ; p + 6; p + 8; p + 14  xét p = => p + = không nguyên tố  xét p = => p + = không nguyên tố  xét p = 5=> p + = ; p + = 11; p + = 13; p + 14 = 19 số nguyên tố xét p > ta có dạng p = 5k + 1; p = 5k+2 ; p = 5k+3; p = 5k+4(k  N) * TH1: p = 5k +1 p + 14 = 5k +1 + 14 = 3k + 15 chia hết không số nguyên tố * TH2: p = 5k +2 p + = 5k +2 + = 5k + 10 chia hết không số nguyên tố * TH3: p = 5k +3 p + = 5k + + = 5k + chia hết không số nguyên tố * TH4: p = 5k + p + = 5k + + = 5k + 10 chia hết không số nguyên tố Vậy với p = p + ; p + 6; p + 8; p + 14 số nguyên tố f) p + ; p + 6; p + 8; p + 12 p + 14  xét p = => p + = không nguyên tố  xét p = => p + = không nguyên tố  xét p = 5=> p + = ; p + = 11; p + = 13; p + 12 = 5+12=17; p + 14 = 19 số nguyên tố  xét p > ta có dạng p = 5k + 1; p = 5k+2 ; p = 5k+3; p = 5k+4(k  N) * TH1: p = 5k +1 p + 14 = 5k +1 + 14 = 3k + 15 chia hết không số nguyên tố * TH2: p = 5k +2 p + = 5k +2 + = 5k + 10 chia hết không số nguyên tố * TH3: p = 5k +3 p + = 5k + + = 5k + chia hết không số nguyên tố * TH4: p = 5k + p + = 5k + + = 5k + 10 chia hết không số nguyên tố Vậy với p = p + ; p + 6; p + 8;p + 12; p + 14 số nguyên tố 13**) Tìm tất số tự nhiên n để số sau số nguyên tố: n +1; n + 3; n + 7; n + 9; n + 13; n + 15 * xét n = n + = không nguyên tố * Xét n = n+ = không nguyên tố * Xét n = n+ = không nguyên tố * Xét n = n+ = 12 không nguyên tố * Xét n = n+ = 3; n + = 7; n+ = 13; n+ 13 = 17; n+15 = 19 số nguyên tố * Xét số lớn Các số 5 ta có dạng: n= 5k; n = 5k +1; n = 5k +2; n = 5k+3; n = 5k+4 (k  N) +) TH1: n= 5k n + 15 = 5k +15 chia hết cho không số nguyên tố +) TH2: n= 5k +1 n + = 5k +10 chia hết cho không số nguyên tố +) TH3: n= 5k + n + 13 = 5k +15 chia hết cho không số nguyên tố +) TH4: n= 5k + n + = 5k +10 chia hết cho không số nguyên tố +) TH5: n= 5k + n + = 5k +5 chia hết cho không số nguyên tố Vậy n = số n +1; n + 3; n + 7; n + 9; n + 13; n + 15 số nguyên tố 14**) Do p nguyên tố lớn nên có dạng: p = 3k +1; p = 3k + (k  N) * Xét p = 3k +2 P + = 3k +2 + = 3k + chia hết p + hợp số (trái với giả thiết) Vậy p có dạng p = 3k +1 đó: p + = 3k +1 + 8= 3k + chia hết p + hợp số Vậy p + hợp số 15**) *Xét p = 8p – = 15 hợp số * Xét p = 8p – số nguyên tố * xét p nguyên tố lớn nên có dạng: p = 3k +1; p = 3k+2 (k  N) TH1: Xét p = 3k +2 8p - = 24k +15 = 3k chia hết 8p – hợp số (trái với giả thiết) Vậy p có dạng p = 3k +1 đó: 8p + = 24k +1 + 8= 24k + chia hết 8p + hợp số Vậy 8p + hợp số 16**) Ta có: p = 42k + r =2.3.7k + r (k,r  N, < r < 42) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,7 Các hợp số nhỏ 42 không chia hết cho : 9;15;21;25;27;33;35;39 Loại bỏ số chia hết cho 3, cho 25 Vậy r = 25 17**) Gọi p số nguyên tố phải tìm Ta có: p = 60k + r =22.3.5k + r (k,r  N, < r < 42) Vì p số ngun tố nên r khơng chia hết cho 2,3,5 Các hợp số nhỏ 60 không chia hết cho : 9;15;21;25;27;33;35;39 ;45;49; 51;55; 57 Loại bỏ số chia hết cho 3, cho 49 Vậy r = 49 18**) Gọi p số nguyên tố phải tìm Ta có: p = 30k + r =2.3.5k + r (k,r  N, < r < 42) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5 r không nguyên tố nên r hợp số Các hợp số nhỏ 30 không chia hết cho : 9;15;21;25;27 Loại bỏ số chia hết cho 3, cho khơng cịn số Vậy r 12**) a) Với p 2 , ta có: p  4; p  10 12 Do p 2 khơng thõa mãn Với p 3 , ta có: p  5; p  10 13 Do p 3 thõa mãn Với p  , ta xét hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: p 3k  1, k   *  p  3k    k  1  3 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Trường hợp 2: p 3k  2, k   * p  10 3k  12   k    3 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Vậy p 3 thõa mãn yêu cầu toán b) Với p 2 , ta có: p  4; p  6 Do p 2 khơng thõa mãn Với p 3 , ta có: p  5; p  7 Do p 3 thõa mãn Với p  , ta xét hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: p 3k  1, k   *  p  3k    k  1  3 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Trường hợp 2: p 3k  2, k   * p  3k    k    3 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Vậy p 3 thõa mãn yêu cầu toán c) Với p 2 , ta có: p  14 16; p  10 12 Do p 2 khơng thõa mãn Với p 3 , ta có: p  14 17; p  10 13 Do p 3 thõa mãn Với p  , ta xét hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: p 3k  1, k   *  p  14 3k  15   k  5  3 Khi Do trường hợp không thỏa mãn Trường hợp 2: p 3k  2, k   * p  10 3k  12   k    3 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Vậy p 3 thõa mãn yêu cầu toán d) Với p 2 , ta có: p  20 22; p  10 12 Do p 2 khơng thõa mãn Với p 3 , ta có: p  20 23; p  10 13 Do p 3 thõa mãn Với p  , ta xét hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: p 3k  1, k   *  p  20 3k  21   k    3 Khi Do trường hợp không thỏa mãn Trường hợp 2: p 3k  2, k   * p  10 3k  12   k    3 Khi Do trường hợp không thỏa mãn Vậy p 3 thõa mãn yêu cầu tốn e) Với p 2 , ta có: p  4 Do p 2 khơng thõa mãn Với p 3 , ta có: p  6 Do p 3 khơng thõa mãn Với p 5 , ta có: p  7; p  11; p  13; p  14 19 Do p 5 thỏa mãn Với p  , ta xét bốn trường hợp sau:     Trường hợp 1: p 5k  1, k   * p  14 5k  15   k  3  5 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Trường hợp 2: p 5k  2, k   * p  5k  10   k    5 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Trường hợp 3: p 5k  3, k   * p  5k    k  1  5 Khi Do trường hợp không thỏa mãn Trường hợp 4: p 5k  4, k   * p  5k  10   k    5 Khi Do trường hợp không thỏa mãn Vậy p 5 thõa mãn yêu cầu tốn f) Với p 2 , ta có: p  4 Do p 2 khơng thõa mãn Với p 3 , ta có: p  6 Do p 3 khơng thõa mãn Với p 5 , ta có: p  7; p  11; p  13; p  12 17; p  14 19 Do p 5 thỏa mãn Với p  , ta xét bốn trường hợp sau:     Trường hợp 1: p 5k  1, k   * p  14 5k  15   k  3  5 Khi Do trường hợp không thỏa mãn Trường hợp 2: p 5k  2, k   * p  5k  10   k    5 Khi Do trường hợp không thỏa mãn Trường hợp 3: p 5k  3, k   * p  5k    k  1  5 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Trường hợp 4: p 5k  4, k   * p  5k  10   k    5 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Vậy p 5 thõa mãn yêu cầu toán 13**) Với số tự nhiên n , ta có trường hợp sau:  Trường hợp 1: n 5k  1, k    n  5k  10   k    5 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Trường hợp 2: n 5k  2, k    n  13 5k  15   k  3  5 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Trường hợp 3: n 5k  3, k    n  5k  10   k    5 Khi Do trường hợp không thỏa mãn Trường hợp 4: n 5k  4, k   n  5k    k  1  5 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn Vậy khơng có giá trị n thõa mãn yêu cầu toán 14**) Ta xét trường hợp sau:  Trường hợp 1: p 3k  1, k   * Khi   p  3k    k  3  3 Do p  hợp số Trường hợp 2: p 3k  2, k   * p  3k    k    3 Khi Do p  hợp số Trường hợp 3: p 3k , k   * Khi p hợp số (mâu thuẫn điều kiện toán) Vậy p  hợp số 15**) Với p 2 , ta có: p  15 Do p 2 khơng thõa mãn điều kiện tốn Với p 3 , ta có: p  25 Do p  hợp số Ta xét hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: p 3k  1, k   * Khi số  p  8  3k  1    8k  3  3 Do p  hợp Trường hợp 2: p 3k  2, k   * p  8  3k      8k    3 Khi Do trường hợp khơng thỏa mãn điều kiện toán Vậy p  hợp số 16**) 17**) 18**)  k , r  ,0  r  42  Ta có: p 42k  r 2.3.7.k  r Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,7 Chỉ có hợp số nhỏ 42 khơng chia hết cho 2,3,7 25 Do r 25  k , r  ,0  r  60  Ta có: p 60 k  r 2 3.5.k  r Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5 Chỉ có hợp số nhỏ 60 khơng chia hết cho 2,3,5 49 Do r 49  k , r  ,0  r  30  Ta có: p 30k  r 2.3.5.k  r Với r 1 , ta có p 31 số nguyên tố Do r 1 thỏa mãn u cầu tốn Vì p số ngun tố nên r không chia hết cho 2,3,5 Không có hợp số nhỏ 30 khơng chia hết cho 2,3,5 Do r 1 PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ 19) 20) a) 90 2.3 b) 120 2 3.5 c) 150 2.3.5 d) 1028 2 257 2436 22.3.7.29 e) 2500 2 f) a) Sai Sửa lại: 60 2 3.5 2 b) Sai Sửa lại: 180 2 c) Sai Sửa lại: 255 3.5.17 d) Sai Sửa lại: 294 2.3.7 21) a) 80 2 Do 802 805 b) 125 5 Do 1255 c) 279 3 31 Do 2793 27931 2 d) 300 2 3.5 Do 3002 , 3003 3005 e) 324 2 Do 3242 3243 f) 440 2 5.11 Do 440 2 , 44035 44011 22) Các số ước a là: 2;12;36;10;15;540 23)  1;2;3;5;6;9;10;15;18;30; 45;90 a)  1; 2;3; 4;5;6;10;12;15;20;30;60 b)  1;2;3;5;6;10;15;25;30;50;75;150 c)  1;2;4;6;8;12;24 d) 2  1;2;3; 4;6;9;12;18;36 24) 36 2 Ước 36 là: 70 2.5.7 Ước 70 là:  1;2;5;7;10;35;70 82 2.41 Ước 82 là:  1;2; 41;82 100 22.52 Ước 100 là:  1;2;4;5;10;20;25;50;100 125 53 Ước 125 là:  1;5;25;125 140 22.5.7 Ước 140 là:  1;2; 4;5;7;10;14;20;35;70;140 25) a) Ta có: 20 2 Do hai số cần tìm cặp sau:   1;20  ,  2;10  ,  4;5 b) Ta có: 48 2 Do hai số cần tìm cặp sau:   1; 48 ,  2;24  ,  3;16  ,  4;12  ,  6;8 26) Ta có: 56 2 Do chia thành tổ sau: 1;2;4;7;8;14;28;56 2 27) Ta có: 450 2.3 Do ước 450 là:  1;2;3;5;6;9;15;18;25;30;50;75;90;150;225; 450