Chu de 5 phuong trinh quy ve phuong trinh bac hai

CHỦ ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ .2 DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax  bx  cx bx  a 0 DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x -  )( ax2 + bx + c) = DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: .8 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 10 I PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ 10 II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 10 I PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM Nếu nhẩm nghiệm x  phương trình ax  bx  cx  d 0 ta tách phương trình  x    ax  b ' x  c ' 0 dạng tích  Nếu nhẩm nghiệm x   phương trình ax  bx  cx  d 0 ta tách phương   trình dạng tích   x     ax  b ' x  c ' 0 Ví dụ Giải phương trình x  x  x  0 Lời giải Nhận xét: phương trình ta nhẩm nghiệm x 2 (có thể dùng máy tính) nên ta tách nhân tử x  3 2 Cách Có x  x  x  0  x  x  x  x  x  0  x  x    x  x     x   0   x    x  x   0  x 2  x  0     x  x   0   x  1 3  x 2   x 1  3 Cách Có x  x  x  0  ( x  8)  4( x  4)  2( x  2) 0   x   x  x    x    x     x   0    x  2  x   x   0 , từ giải x 2, x 1  3 2 Cách Đặt phép chia da thức x  x  x  0 cho đa thức x  ta thương x  x  nên x  x  x   x   x  x  nên   x   x  x  0 phương trình , từ giải x 2, x 1  S  2;1  Vậy tập nghiệm phương trình cho       DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax  bx  c 0  a 0  Xét phương trình 2 Cách Đặt t  x , điều kiện t 0 , ta phương trình bậc hai at  bt  c 0 Giải t , đối chiếu điều kiện suy x Cách Giải trực tiếp cách đưa tích đưa bình phương theo x Ví dụ giải phương trình x  x  20 0 Lời giải Cách (Đặt t  x ) Đặt t  x , điều kiện t 0 , phương trình cho trở thành t  t  20 0  t  5t  4t  20 0   t    t   0  t  (loại), t 4 (thỏa mãn) x 4  x 2 S  2 Vậy tập nghiệm phương trình cho Cách (giải trực tiếp) x  x  20 0  x  x  x  20 0  x x   x  0 Có  x  x  0  x  (loại), x 4  x 2 S  2 Vậy tập nghiệm phương trình cho        DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG  x  a   x  b   x  c   x  d  k  a  c b  d   Cách giải: Ghép kết hợp   x  a   x  c     x  b   x  d   k   x   x  ac   x   x  bd  k ac  bd t x   x  2 Đặt ẩn phụ t  x   x  x  1  x    x  3  x   24 Ví dụ Giải phương trình Lời giải Cách (Đặt ẩn phụ)    x  1  x      x    x  3  24 Phương trình  x  x  x  x  24  t  1  t  1 24  t 5 , suy Đặt t  x  x  , ta phương trình  x 0, x   x  x  5  x  x   0     5 15  x     x  x  x  10  x  x     2 S  0;  5 Vậy tập nghiệm phương trình cho Cách (Đưa tích)  x  x  x  x  12 24  x  10 x3  35 x  50 x 0 Phương trình  x x  10 x  35 x  50 0  x x  x  x  25 x  10 x  50 0            x  x    x  x  10  0  x 0, x  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  0;  5 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax  bx  cx bx  a 0 Cách giải Trường hợp 1: Xét x 0 , thay vào phương trình xem thỏa mãn hay loại  a  x2  x Trường hợp 2: Xét x 0 , chia hai vế phương trình cho x  1 t x  t  x  2 x x 1     b  x    c 0 x   , đặt ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình x  x  x  x  0 Lời giải Cách 1:(Đặt ẩn phụ) Trường hợp 1: Xét x 0 , thay vào phương trình ta 0 (loại) Trường hợp 2: Xét x 0 , chia hai vế phương trình cho x 4  2   x  x    0   x     x    0 x x x  x   4 t  x   t  x    x  t  x x x Đặt   t   3t  0  t  3t  0  t  t  2t  0 Phương trình trở thành  t  t  1   t  1 0   t  1  t   0  t  1, t  , suy   x  x  x  0   x  1  x   0  x  x   x  x  0      x  x   0   x  1 3  x    x  x  0  x  x 1, x  2, x     S  1;  2;   Vậy tập nghiệm phương trình cho Cách (Đưa tích) 4 3 2 Có: x  3x  x  x  0  x  x  x  x  x  x  x  0       x  1 x  x  x  4   x  1 x  x  x  x  x  0   x  1  x    x  x   0  x 1, x  2, x   Vậy tập nghiệm phương trình cho   S  1;  2;   DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ   Biến đổi biểu thức Đặt t biểu thức đưa phương trình bậc hai t Ví dụ: Giải phương trình x  x  1  x  x  1 6 Lời giải x  x  1 x  x  6  x  x x  x  6 Có 2 Đặt t  x  x , ta t  t  0  t 2, t        t 2  x  x  0  x  1, x 2  t   x  x  0 (vơ nghiệm) Vậy tập nghiệm phương trình cho S   1; 2 DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Đặt điều kiện mẫu khác Quy đồng mẫu chung bỏ mẫu Đặt ẩn phụ    90 90   Ví dụ Giải phương trình x x  Lời giải x  0, x  Điều kiện: 90 90 10 10 20 x  90        x x 9 x x 9 x  x  9 Có  x  31x  180 0,    31  4.1   180  1681    41  x 31 41  x 36, x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  36;  5 II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x -  )( ax2 + bx + c) = Bước 1: Tách riêng phần chứa m dạng f(x) + m(x -  ) = 0, tách x -  từ f(x) ta đưa phương trình cho dạng:  x   (x -  )( ax2 + bx + c) =   ax  bx  c 0 Bước 2: Ghi nhớ số điều kiện sau:  Phương trình cho có nghiệm phân biệt  Phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt x    Phương trình cho có phân biệt  Phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm thỏa mãn x    Phương trình cho có nghiệm  Phương trình ax2 + bx + c = vô nghiệm, có nghiệm kép x   Ví dụ: Cho phương trình: x3 – 3x2 + 3mx + 3m + = (1) Tìm m để phương trình cho: a) Có ba nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm khác c) Có nghiệm x ;x x d) Có ba nghiệm phân biệt 2; thỏa mãn x1x  x x  x1x  Lời giải  Ta có: (1)  x – 3x + + 3m(x + 1) = (x + 1)(x2 – 4x + 4) + 3m(x + 1) =  x    (x + 1)(x2 – 4x + + 3m) =   x – 4x   3m 0 (2) a) (1) có ba nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt x  -1  ' 4   3m  m    m   ( 1)  4.( 1)   3m 0 Vậy m < 0, m  -3 giá trị cần tìm b) (1) có hai nghiệm khác  (2) có nghiệm x  -1 Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x  -1   ' 4   3m 0 m 0   m 0  m  (  1)  4.(  1)   3m     Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x = -1  ' 4   3m  m    m  (loại)  ( 1)  4.( 1)   3m 0 Vậy m = giá trị cần tìm c) (1) có hai nghiệm  (2) khơng có nghiệm thỏa mãn x  -1 Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x = -1  ' 4   3m 0 m 0    m  (loại)  ( 1)  4.( 1)   3m 0 Trường hợp 2: (2) vô nghiệm kép   ' 4   3m   m > Vậy m > giá trị cần tìm x ;x x d) Theo câu a) với m < 0, m  -3 (1) có ba nghiệm phân biệt 2; x ;x x Do 2; vai trò ba nghiệm (1) có nghiệm - nên ta giả sử x = -1 x1 ;x hai nghiệm (2) b c 4;x1x  3m  a a Theo định lý Vi-ét, ta có Thay x  vào x1x  x x  x1x  ta được: x1  x  x1x  (x1  x )   3m     m  (thỏa mãn) Vậy m = -2 giá trị cần tìm DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: Bài tốn: Tìm m để phương trình ax4 + bx2 + c = (a 0) (1) a) Có bốn nghiệm phân biệt b) Có ba nghiệm khác c) Có hai nghiệm khác d) Có nghiệm e) Vô nghiệm Bước 1: Đặt t = x2, t 0 , phương trình trở thành at2 + bt + c = Bước 2: Nhận xét  Với t < khơng có x  Với t = có giá trị x =  Với t > có hai giá trị x x =  t Do ta có kết sau: (2) a) (1) có bốn nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt t > 0, t > b) (1) có ba nghiệm khác (2)có hai nghiệm phân biệt t > 0, t > c) (1) có hai nghiệm khác xảy hai trường hợp: Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t = t > Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < 0< t d) (1) có nghiệm xảy hai trường hợp: Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t = t = Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < ; t = e) (1) vô nghiệm xảy ba trường hợp: Trường hợp 1: (2) vơ nghiệm Trường hợp 2: (2) có nghiệm kép thỏa mãn t = t < Trường hợp 3: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < ; t < Ví dụ : Cho phương trình x4 – (2m – 1)x2 + 2m – = (1) Tìm m để phương trình cho : a) Có bốn nghiệm phân biệt b) Có ba nghiệm khác c) Có hai nghiệm khác 4 4 d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1  x  x  x 10 Lời giải Cách 1: (Đặt ẩn phụ t =x2) Đặt t = x2 , t 0 , phương trình (1) trở thành t2 – (2m – 1)t + 2m – = (2) Nhận xét :  Với t < khơng có x  Với t > có nghiệm x =  Với t > có hai giá trị x x =  t a) (1) có bốn nghiệm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt t > 0, t > Có  = [-(2m)]2 – 4.1.(2m – 2) = (2m – 1)2 – 8m + = (2m – 3)2  (2) có hai nghiệm phân biệt t , t  >  (2m – 3) >  m   b c a = 2m – 1, t t = a = 2m – Theo định lý Vi-ét, ta có t + t = t1  t  2m     m 1  t t  2m    * t > 0, t >   Vậy với m > 1, m  giá trị cần tìm b)(1) có ba nghiệm khác (2) có hai nghiệm phân biệt t > 0, t > * Theo (2) có hai nghiệm phân biệt t , t m   0  (2m  1).0  2m  0  m 1  t  t  2m   * t = 0, t >   (thỏa mãn) Vậy m = giá trị cần tìm c) (1) có hai nghiệm khác xảy hai trường hợp:  (2m  3)2 0   m  b  2m    a  Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t = t > Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < 0< t c 2m    m   a Vậy m < 1; m = giá trị cần tìm d)Theo câu a) phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt m > 1, m  Do t > ; t > nên bốn nghiệm phân biệt (1) :  t ; x  t ;x3  t ;x  t x1 = x  x 24  x 34  x 44 (  t )2  ( t1 )2  (  t )2  ( t ) 2(t 12  t 22 ) Suy :  (t  t )2  2t1t  2  (2m  1)  2(2m  2) = 2 = 2(4m2 – 8m +5) x14  x 24  x 34  x 44 10  4m  8m  10  4m  8m 0 Do  4m  m   0  m 0 (loại), m 2 (thỏa mãn) m  Vậy giá trị cần tìm Cách (Đưa tích) 2 2 Phương trình (1)  x  2mx  x  2m  0  x  x   2mx  2m 0            x  x   2m x  0  x  x  2m  0  x 1, x 2m  a) Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 nên để phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình x 2m  phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 2m     m  1, m  2 2m   1 1 m  1, m  giá trị cần tìm Vậy b) Vì phương trình có hai nghiệm trình x 1 nên để phương trình cho có ba nghiệm khác phương trình x 2m  phải có nghiệm x 0  2m  0  m 1 Vậy m 1 giá trị cần tìm c) Vì phương trình có đủ hai nghiệm khác x 1 nên để phương trình cho có hai nghiệm khác thi phương trình x 2m  vơ nghiệm có nghiệm x 1  m 1  2m      m 3  2m  1  m  1; m = giá trị cần tìm Vậy m  1, m  d) Theo câu a) phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt Khi bốn nghiệm (1) x 1, x  2m  ,  x14  x 42  x 34  x 44 10    1  14   2m  2   2m   10     2m     2m   10   2m   4  2m  2  m 0 (loại), m 2 (thỏa mãn) Vậy m 2 giá trị cần tìm HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ Bài Giải phương trình x  4x  2x  0 Bài Giải phương trình x  x  20 0 Bài Giải phương trình  x  1  x    x  3  x   24 Bài Giải phương trình x  3x  2x  6x  0 x  x  1 x  x  6 Bài Giải phương trình 90 90   Bài Giải phương trình x x  II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ   Bài Cho phương trình x  3x  3mx  3m  0 Tìm m để phương trình cho: a) Có ba nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm khác c) có nghiệm d) Có ba nghiệm x1 , x , x thỏa mãn x1x  x x  x x1  10 x   2m  1 x  2m  0 Bài Cho phương trình Tìm m để phương trình cho: a) Có bốn nghiệm phân biệt b) Có ba nghiệm khác c) Có hai nghiệm khác x  x 42  x 34  x 44 10 d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn 11